Apostila Sist Dinamicos

8/6/2019 Apostila Sist Dinamicos

1/72

Sumario

1 INTRODUCAO 41.1 SISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS . . . . . . . . . 5

1.1.1 CALCULO DE JUROS COMPOSTOS . . . . . 51.1.2 MODELAGEM INGENUA DO CRESCIMENTO

POPULACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 O MODELO LOGISTICO DE CRESCIMENTO

POPULACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 CALCULANDO RAIZ QUADRADA . . . . . . 7

1.2 SISTEMAS DINAMICOS CONTINUOS . . . . . . . . 81.2.1 O PROBLEMA DE SITNIKOV . . . . . . . . . . 8

1.3 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 CONTINUIDADE EM ESPACOS METRICOS 122.1 ESPACOS METRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 CONTINUIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 FUNDAMENTOS DE ANALISE 203.1 ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES . . . . . . . 203.2 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 ORBITAS 274.1 ITERACAO DE FUNCOES . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 ANALISE GRAFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 ORBITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6 PONTOS FIXOS E PONTOS PERIODICOS . . . . . 35

1


2/72

4.7 PONTOS ATRATORES, REPULSORES OU NEU-

TROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.8 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.9 ORBITAS PERIODICAS ATRATORAS OU REPUL-

SORAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 BIFURCACOES 435.1 DINAMICA DA

APLICACAO QUADRATICA . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 A BIFURCACAO SELA-NO . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 O DIAGRAMA DE BIFURCACAO . . . . . . . . . . . 475.4 A BIFURCACAO DUPLICADORA DE PERIODO . 48

6 A FAMILIA QUADRATICA 506.1 O CASO C = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2 O CASO C < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 O CONJUNTO TERNARIO DE CANTOR . . . . . . . 53

7 DINAMICA SIMBOLICA 547.1 ITINERARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.2 O ESPACO DAS SEQUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . 557.3 A APLICACAO DESLOCAMENTO (shift) . . . . . . 577.4 CONJUGACAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4.1 ESPACOS HOMEOMORFOS . . . . . . . . . . . 60

8 SISTEMAS DINAMICOS CAOTICOS 628.1 CARACTERIZACAO DE UM SISTEMA CAOTICO 628.2 A APLICACAO Qc E CAOTICA EM . . . . . . . . . 63

9 ALGUMAS PROVAS ANTIGAS 659.1 PRIMEIRA PROVA DE 2007.1 . . . . . . . . . . . . . . 659.2 SEGUNDA PROVA DE 2007.1 . . . . . . . . . . . . . . 679.3 TERCEIRA PROVA DE 2007.1 . . . . . . . . . . . . . . 68

2


3/72

ULTIMA ATUALIZACAO: 26/03/2008

ATE PAGINA 40.

CAOS: UMA INTRODUCAO VIA

SISTEMAS DINAMICOS

DISCRETOS

PROFESSOR OFERTANTE : Marcelo Domingos Marchesin

CARGA HORARIA : 60 Horas

PRE-REQUISITO : CALCULO I

PUBLICO ALVO: Alunos da Licenciatura ou Bacharelado em Matematica.

3


4/72

Captulo 1

INTRODUCAO

Na tentativa de definir formalmente o que vem a ser um Sistema Din amico,eu recorri a varios autores consagrados em textos de varios nveis diferentese contudo nao encontrei algo que me satisfizesse. Muitos autores utilizamapenas a caracterizacoes dos sistemas com os quais vao trabalhar, outrostantos nem se importam em tentar definir. Cheguei a conclusao que talvezuma definicao formal, nos termos que estamos acostumados na matematica,talvez nao fosse mesmo um coisa fundamental. Talvez na tentativa de definirpudessemos acabar restringindo desnecessariamente o conceito mais geral.Resolvi entao tentar apresentar aqui uma ideiado que hoje em dia se en-tende por sistemas dinamicos sem defini-lo formalmente. Vejamos: Minha

ideia e entender os termos envolvidos e assim, deixar o leitor a interpretacaoda expressao toda. A palavra sistema em matematica tem um significadobastante abrangente mas que em nveis mais elementares poderia ser en-tendido como um problema mais geral que e formado por sub-problemas.Na grande maioria dos casos tal problemapode ser modelado atraves deum conjunto de equacoes inter-relacionadas. Ja a palavra dinamiconosremete a ideia de transformacao, ou seja, algo que esta se alterando com opassar do tempo. Para podermos entender nossos exemplos seguintes nestecontexto e importante que entendamos tempoem um sentido tambem dis-creto, ou seja os varios instantes em que algo ocorre. Por exemplo, se es-

tamos interessados em estudar eclipses lunares entao isto nos leva direta-mente a estudar algumas fases particulares da lua, por exempo a lua cheia.Assim, torna-se de nosso interesse o estudo dos instantes em que a lua seencontra dessa fase e os instantes passados entre uma lua cheia e outra,perdem interesse. Neste contexto e que falamos em variacao discreta do

4


5/72

tempo. Finalmente para entendermos corretamente a nocao de sistema

dinamicoprecisamos voltar ao sentido de inter-dependencia entre os sub-problemas do problema geral. Muitas vezes estaremos estudando o efeitode um dado evento sobre o evento imediatamente sub-sequente. Talvez umbom exemplo disso seria um estudo de comportamento da bolsa de valoresonde o comportamento dos investidores hoje diretamente influenciara o com-portamento de amanha de mesma forma que tambem sofrem influencia docomportamento de ontem. Ou seja, em um sistema dinamico nos vamos estarinteressados em fazer previsoes sobre eventos que vao ocorrer no futuroapartir da informacao que temos sobre o sistema no tempo presenteou pas-sado; de forma que os eventos estao relacionados e sofrem influencia deeventos que ocorreram anteriormente.

Bem, como foi dito inicialmente muitos autores nem se preocupam emtentar definir o que vem a ser um sistema dinamico. Espero que os exemplosque vem a seguir sejam mais esclarecedores.

1.1 SISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS

Nesta secao apresentaremos superficialmente alguns exemplos de sistemasdinamicos discretos.

1.1.1 CALCULO DE JUROS COMPOSTOS

EXEMPLO 1.1.1 Suponhamos o problema de se calcular os lucros sobreum montante inicial D0 sujeito a rendimento anual segundo uma taxa de

juros fixa de q%. Suponhamos que os rendimentos sao acrescidos ao mon-tante inicial sempre ao final de um ano e de uma unica vez. Para fixarmos aideia vamos trabalhar, inicialmente, com uma taxa de juros de 10% ao ano.Assim, ao final do primeiro ano se tem:

D1 = D0 + 0, 1D0 = (1, 1D0)

ao final do segundo ano se tem:

D2 = D1 + 0, 1D1 = (1, 1D0) + 0, 1(1, 1D0) = (1, 1)2D0

e assim sucessivamente e facil perceber que ao final do n-esimo ano o valordo montante inicial acrescido dos juros e de:

5


6/72

Dn = (1, 1)nD0

OBS: 1) E claro que o valor obtido apos n anos depende diretamente do valorinicial. Assim, para explicitarmos tal relacao deveramos ter escrito Dn(D0)na equacao acima.

2) Tambem, considerando-se o caso geral de uma taxa de juros de q% teramosDn(D0) = (1 +

q

100)nD0.

O processo acima pode ser interpretado como um sistema dinamico atravesda aplicacao da funcao f(x) = 1, 1x repetidas vezes. Isto e: Dn(D0) =f f ... f(D0) , n vezes. Em matemaica, isto e o que chamamos deiteracao da funcao n vezes.

1.1.2 MODELAGEM INGENUA DO CRESCIMENTOPOPULACIONAL

EXEMPLO 1.1.2 Neste modelo consideramos que o crescimento de uma

populacao e proporcional unicamente ao seu tamanho. Matematicamente sePn denota a populacao na n-esima geracao e r a taxa de crescimento, entaoPn+1 = rPn. Este modelo e totalmente analogo ao anterior e entao e f acilperceber que o tamanho da populacao apos a n-esima geracao sera de Pn =rnP0, onde P0 e a populacao inicial. Temos 3 casos a considerar dependendodo valor de r ser menor, igual ou maior que 1. Se r = 1, a populacaonunca se altera e fica constante e igual a P0. Se r < 1, a populacao decresceprogressivamente ate se extinguir completamente. Se r > 1 a populacaocresce indefinidamente.

1.1.3 O MODELO LOGISTICO DE CRESCIMENTOPOPULACIONAL

EXEMPLO 1.1.3 O terceiro caso do exemplo anterior parece nao levar emconta alguns problemas facilmente previsveis de uma populacao que cresce

6


7/72

alem de certos limites. No modelo mais realista, que analisamos agora, lev-

amos em conta o tamanho do habitat e a possvel escassez de alimento eespaco fsico para o crescimento populacional. Assim, supondo que saibamosque exista um limitante superior para o tamanho da populacao, digamos Pmaxe denotando por Pn a fracao dessa populacao maxima atingida na n-esimageracao, temos: Pn+1 = Pn(1 Pn). A constante depende do problema aser modelado e, para uso futuro, salientamos que sera de muito interesse oscasos em que 0 < 4. Note que se Pn atinge os valores 0 ou 1 entao apopulacao se extingue como era de se esperar.

Assim, para compreendermos completamente o crescimento ou declnio dapopulacao (ou seja, para compreendermos a dinamica populacional) deve-mos iterar a funcao logstica F = x(1

x). Salientamos que, ao contrario

dos exemplos anteriores, tal funcao e quadr atica e esta simples mudanca degrauleva a consequencias surpreendentes na analise de sua dinamica, comoveremos mais adiante.

1.1.4 CALCULANDO RAIZ QUADRADA

EXEMPLO 1.1.4 Considere o problema de se encontrar um valor aproxi-mado para

2 (tal problema e equivalente ao de se encontrar uma raiz para a

equacao x2 2 = 0 e pode tambem ser analisado neste contexto utilizando-seo Metodo de Newton. Tal abordagem sera apresentada mais adiante). Ve-

jamos como um procedimento de aproximacoes sucessivas para o valor de

2pode ser interpretado como um sistema dinamico: Vamos escolher um valorinicial positivo para

2, digamos x0 = 0. Como nao sabemos se tal valor e

maior ou menor que

2 temos que fazer nossa analise sempre considerandoas duas possibilidades: i) x0 2.Ou seja:

2 > 2x0

Em qualquer dos casos temos que

2 esta entre x0 e2

x0embora nao saibamos

qual desses numeros e o maior. Assim, vamos melhorar nossa aproximacao

7


8/72

inicial tomando a media aritmetica entre essses dois valores. Vamos denotar

esta nova aproximacao por x1, ou seja: x1 =1

2(x0 +2

x0 ). Este valor naonecessariamente esta mais proximo do valor exato de

2 do que nosso pal-

pite inicial x0, (exerccio: Faca um desenho esbocando esta possibilidade).Contudo, se chamarmos de In o intervalo cujos extremos sao xn e

2xn

, entao2 In para todo n, e ainda o comprimento destes intervalos tende a zero

quando n tende ao infinito. Assim, procedendo de mesma forma sucessiva-mente vamos nos aproximando arbitrariamente do valor exato de

2.

1.2 SISTEMAS DINAMICOS CONTINUOS

Nesta secao apresentaremos superficialmente um exemplo de um sistemadinamicos contnuo. O aluno nao deve se assustar se nao obtiver uma com-preensao global deste exemplo. O importante e entrar em contato com novasideias e deixar o tempo amadurece-las.Embora nao faca parte do escopo deste curso, resolvemos apresentar um ex-emplo de um sistema dinamico nao-discreto. Vamos fazer isso por dois mo-tivos: Primeiro, simplesmente para situar o aluno em um contexto mais gerale segundo para mostrar a utilidade de algumas ferramentas provenientes desistemas dinamicos discretos na analise de sistemas dinamicos mais compli-cados, ou seja, os contnuos. A ferramenta a que me refiro aqui e a DinamicaSimbolica que sera objeto de nosso estudo neste curso.

1.2.1 O PROBLEMA DE SITNIKOV

EXEMPLO 1.2.1 A Mecanica Celeste e uma sub-area dos Sistemas Dinamicose fundamentalmente se baseia no estudo do sistema de equacoes diferenci-ais advindas da utilizacao da segunda lei de Newton em consonancia coma lei de gravitacao universal,isto e: F = ma, onde a forca resultante con-siderada, F, e a forca gravitacional existente entre dois corpos, o desafioda Mecanica Celeste e resolver o Problema dos N-Corpos, ou seja, ser ca-paz de descrever o comportamento que teriam N corpos de massas pontu-

ais m1, m2,...,mN, sujeitos unica e exclusivamente a mutua atracao gravita-cional entre eles. Tal problema e complicadssimo de ser resolvido analiti-camente ja que ele se traduz em um sistema de equacoes diferenciais nao-lineares com 6N equacoes. Vejamos um exemplo para fixarmos as ideias.Vamos considerar o caso de N = 3. Entao da Segunda Lei de Newton com

8


9/72

forca resultante dada pela forca gravitacional, temos, em relacao ao corpo

m1, (denotando o vetor posicao de m1 porr1) que o vetor aceleracao e dadopor sua velocidade segunda, aqui denotada por r1. Assim, se temos apenas 3corpos envolvidos, a forca gravitacional que age sobre m1 e a soma das forcasgravitacionais proveniente dos outros dois corpos. Assim temos, agindo sobrem1:

F = m1a = m1r1

onde F e a soma das forcas gravitacionais proveniente dos outros dois corpos,

ou seja:

F = G

m1m2(r2 r1)

|r2 r1|3 +m1m3(r3 r1)

|r3 r1|3

onde G e a constante gravitacional universal. Assim temos, para m1:

m1r1 = G

m1m2(r2 r1)

|r2 r1|3 +m1m3(r3 r1)

|r3 r1|3

dividindo ambos os lados por m1,e denominando v1 = r1 obtemos o sistema:

v1 = r1

v1 = G

m2(r2r1)|r2r1|3 +

m3(r3r1)|r3r1|3

Contudo o vetor posicao r1 e um vetor de R3 e portanto tem 3 componentes

r1 = (x1, y1, z1). Assim, nosso sistema acima e um sistema com6 equacoes.Finalmente, tudo que aqui foi feito para a massa m1 deve tambem ser feito

para os demais corpos, de forma que cada corpo envolvido no problema daorigem a 6 equacoes, no caso no nosso exemplo entao, N = 3, teremos umsistema com 18 equacoes nao-lineares de primeira ordem!!O caso N = 2 foi totalmente resolvido por Newton, que mostrou que a solucaodo problema de 2-corpos e sempre uma conica (elipse, hiperbole uo parabola).

9


10/72

Para N = 3 so existem solucoes de problemas bem especficos. Dentre eles,

os de mais facil tratamento sao os conhecidos como Problemas Restritos. OProblema Restrito dos 3-Corpos consiste em se descrever o movimento deum corpo de massa infinitesimal sujeito a influencia da atracao gravitacionalde outros dois corpos que descrevem uma solucao do Problema dos 2-Corpos,ou seja, uma conica. Tradicionalmente estes dois corpos sao chamados deprimarios na literatura classica.

Dois tipos particulares do Problema Restrito dos 3-Corpos despertam enormeinteresse do ponto de vista matematico. O Problema Elptico de Sitnikov eo Problema Circular de Sitnikov. O problema de Sitnikov canonico (o casoelptico) se caracteriza pela presenca de dois corpos de massa positiva de-

screvendo uma solucao elptica do Problema de 2-Corpos em um plano. Pelofoco comum das elpses descritas pelos primarios passa uma reta vertical per-pendicular ao plano do movimento destes. Sobre esta reta se encontra umterceiro corpo, , de massa desprezvel. Devido a simetria da posicao dosprimarios e a condicoes iniciais convenientemente tomadas o movimentodeste terceiro corpo fica confinado a este eixo vertical e o problema trata

justamente de estudar as possveis orbitas descritas por ele. No problema deSitnikov circular, tambem conhecido como problema de MacMillan, a excen-tricidade das elpses descritas pelos primarios e nula, ou seja seus movimen-tos sao circulares. Chazy ([4],[5],[6]) na decada de 20 conjecturou sobre a

existencia de solucoes oscilatorias e tambem forneceu uma classificacao daevolucao final do Problema dos 3-Corpos. Em 1960 o proprio Sitnikov [14]conjecturou que o caso elptico do problema que hoje leva seu nome, admitiaa possibilidade de uma solucao oscilatoria. Por solucoes oscilatoria entende-mos solucoes q(t) que satisfazem:

limt

inf|q(t)| = 0 limt

sup|q(t)| = .

Em 1969, Alekseev ([1],[2],[3]) usou o Problema Elptico de Sitnikov para

mostrar que todas as combinacoes de evolucoes finais propostas por Chazy de fato ocorriam. Ele utilizou dinamica simbolica para mostrar a existencia desolucoes oscilatorias no problema restrito dos tres corpos. Em 1973 Moser[12], usando um ponto de vista geometrico, fornece um outro argumento parademonstrar o resultado de Alekseev. Desde entao muito se tem pesquisado

10


11/72

sobre os problemas de Sitnikov e sao dezenas os artigos publicados sobre o

assunto nas revistas especializadas (ver tambem [16]).

Se tomamos condicoes iniciais para o corpo , de tal forma que ele inicieo movimento no plano dos primarios, r(0) = (x(0) = 0, 0, 0) com velocidadepositiva na direcao da reta vertical: r(0) = (v0 = v(0), 0, 0) podemos tiraralgumas conclusoes sobre as orbitas solucoes do problema analisando a ve-locidade nos instantes em que o corpo passa pelo plano dos primarios. Porexemplo, se olhamos para a sequencia de instantes (tk)kN tais que x(tk) = 0e olhamos para a sequencia de velocidades nestes instantes, isto e, (v(tk))kN,podemos concluir sobre a existencia de orbitas periodicas se notarmos umaconfiguracao que repita a configuracao inicial, isto e , mesma posicao dos

primarios e mesma velocidade da massa, demonstrando que a partir daqueleinstante nos voltamos a mesma situacao que no instante inicial o que nosleva a concluir sobre a repeticao do movimento, ou seja, orbita periodica para.

Assim, um sistema dinamico contnuo e analisado fazendo-se uso de umsistema dinamico discreto auxiliar, a saber, o comportamento da sequenciadas velocidades nos instantes de passagem pelo plano dos primarios, e otempo gasto entre duas passagens consecutivas por tal plano. Esta ideiavoltara a ser estudada futuramente quando falarmos em dinamica simbolica.

Poderamos nos prolongar e citar varios outros exemplos do uso da dinamica

simbolica no estudo do problema de Sitnikov. De fato, a dinamica neste prob-lema e riquissma e a utilizacao da dinamica simbolica em seu estudo foide uma criatividade mpar e que abriu portas para sua utilizacao em diver-sos outros problemas. Contudo, preferimos ficar apenas com o exemplo dasorbitas periodicas e indicar aos estudantes mais curiosos uma vasta fonte deinformacao sobre o assunto.

1.3 EXERCICIOS

1. Chame de |In| o comprimento dos intervalos do exemplo , 1.1.4 , cujos

extremos sao xn e

2

xn . Mostre que |In| tende a 0.

11


12/72

Captulo 2

CONTINUIDADE EMESPACOS METRICOS

2.1 ESPACOS METRICOS

Um dos conceitos mais importante em matematica e a nocao de continudadede funcoes. Quando dizemos que uma funcao e contnua, estamos querendodizer que pontos proximossao levados em valores proximos. Claramenteesta nocao esta bastante vaga colocada assim em poucas palavras, no entanto

ja e evidente que a nocao de continuidade deve ser precedida de uma nocaode proximidade, ou seja de distancia entre pontos de um determinadoconjunto.Vamos tentar aprofundar um pouco mais nosso conceito. Para isso vamostrabalhar inicialmente com objetos que ja nos sao bastante familiares, ou sejafuncoes reais. Vejamos a definicao matematica de continuidade neste caso:

DEFINICAO: Considere uma funcao f : R R. Dizemos que f e contnuano ponto x0 se: Para qualquer , positivo, por menor que ele seja, sempreexiste um , positivo, que, em geral, depende do de modo que:

|x x0| < |f(x) f(x0)| < .

Se pararmos para pensar um pouquinho, vamos perceber que |x| nos dizqual e a distancia de x a origem. Um passo a mais em nosso raciocnio e

12


13/72

percebemos que |x y| nos fornece a distancia entre x e y. Assim, nossadefinicao de continuidade para funcoes reais esta simplesmente dizendo quenos podemos encontrar pontos ,x, cuja imagem pela funcao f esta arbi-trariamente proxima da imagem de x0 pela mesma f, bastando para issotomarmos tais xs suficientemente proximos de x0.

Isto significa que o conceito de continuidade de funcoes reais esta di-retamente ligado a maneira como nos medimos distancias entre numerosreais. Sendo o conceito de continuidade um dos conceitos fundamentais namatematica, e natural se esperar que tal conceito, quando generalizado, nostraga grandes e importantes resultados. Isto justifica que tentemos ex-pandira ideia de distancia entre numeros reaise amplia-la para casos maisgerais. Vamos entao, definir o que deve ser entendido como uma funcao

distancia, aqui chamada de metrica!!E natural que, se queremos definir uma funcao que vai medir a distancia

entre dois pontos de um conjuntoela deve ter propriedades que consideramosinerentes as distancias geometricasou seja: 1) A distancia entre dois pontosindepende de a partir de qual ponto voce inicia a medicao. 2) (Como em umtriangulo) a distancia entre quaisquer dois vertices deve ser menor ou igualque a soma das distancias dos do terceiro vertice a qualquer um dos outrosdois. 3) O resultado deve ser um numero nao negativo. E o caso do resultadoser 0 deve ocorrer unicamente quando se esta calculando a distancia de umponto a si mesmo. Em termos matematicos estamos prontos para definir

uma metrica em um conjunto nao vazio, arbitrario E.

DEFINICAO: Dado um conjunto nao vazio E, chamaremos de d umametrica definida em E ( e passaremos a chamar ao par (E, d) de EspacoMetrico), uma funcao d : E x E R+ que satisfaca as seguintes pro-priedades: Para quaisquer elementos x, y e z em E:

1. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) d(x, z) + d(z, y)3. d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 x = y

OBS: Quanto temos um espaco metrico (E, d), por analogia ao espaco euclid-iano, chamaremos os elementos de E de pontos. Contudo, devemos ter emmente que o carater geometrico desses elementos vem unicamente da nocaode distancia o introduzida e nada tem a ver com o nossa intuicao geometricado que comumente chamamos de ponto.

13


14/72

EXEMPLOS:

1. A funcao valor absoluto: | | : RxR R+ satisfaz as 3 propriedadesacima.

2. Toda norma, || ||, em um espaco vetorial normado, da origem a umametrica pela seguinte relacao: d(x, y) = ||x y||.

3. Seja E um dicionario sem palavras repetidas. Defina uma metrica paraE.

4. Seja O espaco de sequencias em dois smbolos 0s ou 1s ou seja o

conjunto:

= {(s0, s1, s2, ...)|sj {0, 1}}

definimos uma metrica em da seguinte maneira: Sejam s = (s0, s1, s2, ...)e t = (t0, t1, t2, ...) dois pontos do nosso espaco , definimos adistancia entre eles por:

d(s, t) =

i=0

|si ti|2i

(, d) e um espaco metrico! Verifique!!!

Nao se preocupe se este exemplo pareceu muito abstrato. Ele nos sera muitoutil e por isso voltaremos a ele em breve. Na proxima secao introduzire-mos de maneira mais formal o conceito de sequencia de numeros reais.Recomendamos fortemente que TODOS os exerccios propostos referentes aespaco metricos sejam feitos.

14


15/72

2.2 CONTINUIDADE

Vamos terminar esta seccao justificando sua existencia. Por que pre-cisamos de espacos metricos?A resposta a esta pergunta esta diretamente relacionada a nocao de con-tinuidade. Segue da nossa definicao de funcao contnua, que tal conceito estadiretamente ligado ao fato de pontos proximosserem levados pela funcao emvalores proximos. Assim, o conceito de continuidade se estende de formanatural a espacos onde podemos falar em proximidade,ou seja, aquilo quedefinimos como sendo espacos metricos. Portanto, somos levados de formabem natural a seguinte definicao que generaliza nossa ideia de continuidade

de funcoes:

DEFINICAO: Considere E e F espacos metricos, (ou seja, E = (E, d1)onde E e um conjunto nao nulo qualquer e d2 e uma metrica definida em Ee analogamente para F = (F, d2)). Seja f : E F uma funcao qualquer.Dizemos que f e contnua no ponto x0 E se, > 0 existe um > 0 talque, se d1(x, x0) < entao d2(f(x), f(x0)) < . Dizemos que f e contnuaem E se f for contnua em todo ponto de E.

Embora, a princpio, possa parecer que tal definicao e uma abstracao semmaiores proveitos praticos, em breve, fazendo uso do exemplo a seguir, mostraremosque nada esta mais longe da verdade do que tal pensamento.

Vamos voltar ao nosso exemplo envolvento sequencia a dois smbolos (0se 1s), isto e nosso espaco do exemplo 4:

= {(s0, s1, s2, ...)|sj {0, 1}}

munido da seguinte metrica:

d(s, t) =

i=0

|si ti|2i

EXEMPLO 2.2.1 A aplicacao deslocamento para a esquerda, ou simples-mente deslocamento ou ainda, da terminologia em ingles: shift : e definida por: ((s0, s1, s2,...)) = (s1, s2,...).

15


16/72

Vamos agora mostrar que a aplicacao e contnua em todo ponto de . Para

tanto necessitaremos entender o significado de proximidade de dois pontosdeste espaco. Isto nos e dado pelo seguinte teorema:

TEOREMA 2.2.1 O TEOREMA DA PROXIMIDADE Consider-emos duas sequencias de , s e t. Se si = ti para i = 0, 1,...n entaod(s, t) 1

2n. Reciprocamente se d(s, t) < 1

2nentao si = ti i n

DEMONSTRACAO: Primeiramente vamos demonstrar a afirmacao:Sesi = ti para i = 0, 1,...n entao d(s, t) 12n . Vejamos:

d(s, t) =

i=0 |

si

ti

|2i =

i=n+1 |

si

ti

|2i

i=n+1

1

2i =

1

2n

agora vamos demonstrar a outra afirmacao, ou seja: se d(s, t) < 12n

entaosi = ti i n. Suponhamos por absurdo que exista n0 n tal que sn0 = tn0 .Entao:

d(s, t) =

i=0

|si ti|2i

=1

2n0+

i=0, i=n0

|si ti|2i

12n0

12n

TEOREMA 2.2.2 (A Aplicac~ao e contnua) A aplicacao deslocamento : definida por: ((s0, s1, s2,...)) = (s1, s2,...) e contnua em todosos pontos de seu domnio

DEMONSTRACAO: Vamos seguir aqui a abordagem feita em sala deaula. Embora este caminho nao seja o mais elegantecreio que vale a penasegui-lo por ele ter sido fruto do raciocnio escolhido pelos alunos. Inicial-mente mostraremos a continuidade na origem 0 = (0, 0, 0,...)

Vamos escrever o que queremos mostrar:

> 0 > 0 / d1(x, 0) < d2((x), (0)) <

16


17/72

Vamos re-escrever a expressao acima numa forma mais palatavel:

Considere > 0 um numero real fixado. Devemos exibir um numero realpositivo , (que possivelmente dependera do tal dado) de tal forma quepara qualquer x = (x1, x2,...) que satisfaca d1(x, 0) < , a imagemdeste x pela , ou seja (x) deve satisfazer d2((x), (0)) < . Porem,(0) = 0 e assim devemos encontrar > 0 tal que d2((x), 0) < .

No nosso caso em particular temos que E = F e d1(s, t) = d2(s, t) =

d(s, t) =

i=0

|si ti|2i

. Ou seja:

i=0

|xi 0|

2i

<

i=0

|xi+1|

2i

<

ou seja:

x0 +x12

+x222

+x323

+ ... < x1 + x22

+x322

+x423

+ ... <

x0 +1

2(x1 +

x22

+x322

+ ...) < x1 + x22

+x322

+x423

<

Portanto basta tomarmos = x0 +2

e claramente a implicacao se verifica.

OBS: E facil de se perceber que o que satisfaz a definicao de continuidadenao e unico. Assim, se um verifica a implicacao, qualquer < tambemo faz. Assim, se tivessemos escolhido =

2tambem teramos conseguido

demonstrar a continuidade de em 0. Tente fazer isso como exerccio!

Agora vamos verificar que e contnua em um ponto s qualquer de . Aideia que seguiremos sera um pouco diferente do que foi feito acima pois ofato de termos escolhido inicialmente o ponto 0 simplificou demais nossoscalculos.


> 0 > 0 / d(x, s) < d((x), (s)) <

17


18/72

O truque aqui e fazermos uso do teorema da proximidade que diz que duas

sequencias estao tao mais proximas quanto maior for a quantidade de en-tradas iniciais coincidentes. A dificuldade inicial e que tal nocao nos remetea uma proximidade medida em termos de potencias de 1/2.Isto pode ser con-tornado com o seguinte raciocnio: Fixado o > 0 encontre n N tal que(1/2)n < . Assim, basta encontrarmos > 0 tal que:

> 0 > 0 / d(x, s) < d((x), (s)) < 12n

mas, do teorema da proximidade sabemos que a segunda desigualdade ocorrese as duas sequencias: (x), (s) coincidirem ate a n-esima entrada. Isto

acontecera se as sequencias originais, x e s coincidirem ate a n + 1-esimaentrada.O que por sua vez, significa que d(x, s) < 12n+1 . Portanto tomando = 1

2n+1o resultado segue.

2.3 EXERCICIOS

1. Verifique que os exemplos acima sao, de fato, espacos metricos.

2. Seja d : RxR

R+ , definida por d(x, y) = (x

y)2. Verifique se d e

uma metrica.

3. Seja d : ExE R+ definida por d(x, y) = 1 se x = y e d(x, y) = 0 sex = y. Verifique se d e uma metrica.

4. Para cada uma das 4 condicoes que caracterizam uma metrica, obtenhauma funcao d : RxR R que nao a cumpre mas satisfaz as outras 3.

5. Seja d : ExE R+ uma metrica. Verifique que (x, y) =

d(x, y),

(x, y) = d(x,y)1+d(x,y)

e (x, y) = min{1, d(x, y)} sao metricas em E.6. Mostre que =

2

tambem serviria na para demonstrar a continuidadede .

7. Use o Teorema da Proximidade para explicitar um criterio que permitadizer quando duas sequencias dadas s e t, tem, entre si, uma distanciamaior ou igual a 1

2n0.

18


19/72

8. Dada s = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0,...).

(a) Encontre, se existir, t tal que 137

< d(s, t) < 17

.

(b) Quantas possibilidades distintas existem para t se exigirmos que6(t) = 6(s)

9. Dada s = (0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0,...).

(a) Encontre uma sequencia t tal que 0, 001 < d(s, t) < 0, 01.(b) Exiba todas as sequencias que satisfacam as condicoes do tem

anterior.

(c) Identifique, dentre as sequencias obtidas no tem anterior, a maisproxima e a mais distante a s.

19


20/72

Captulo 3

FUNDAMENTOS DEANALISE

3.1 ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES

Muitas vezes, quando estamos estudando uma funcao, as informacoes maisimportantes estao contidas no conjunto imagem desta funcao. Isto certa-mente e o caso das sequencias (ou sucessoes) reais:

DEFINICAO 3.1.1 (Sequ^encia) Uma sequencia , (ou sucessao) real euma funcao S : N R.

EXEMPLOS:

1. S(n) = n2 + 1. Como salientado anteriormente, no caso das sequenciasreais estamos mesmo e interessados na imagem dessa funcao e em seucomportamento quando n . Assim, para simplificar nosso en-tendimento de sequencias, usaremos a seguinte notacao: S(n) = sn eapresentaremos o conjunto imagem desta funcao ordenando esses val-ores e colocando-os entre parenteses. Neste nosso exemplo entao segue

que: s1 = 2, s2 = 5, s3 = 10, etc. E diremos simplesmente que nossasequencia e S = (2, 5, 10, 17,...)

2. S(n) = 1n

. Ou simplesmente: S = (1, 1/2, 1/3, 1/4,...). Este exemplonos leva naturalmente ao conceito de convergencia de sequencias.

20


21/72

Parece muito natural a seguinte afirmacao Esta sequencia se aproxima

indefinidamente do 0, ou em outros termos: Esta sequencia tendea 0, ou ainda Esta sequencia converge para 0. Na tentativa dedefinirmos precisamente este conceito precisamos tentar responder aalgumas perguntas: 1) O que entendemos por este se aproxima? 2)O que significa indefinidamente?

Depois da introducao de metrica na seccao anterior, fica claro que onosso conceito de se aproximardepende da metrica a ser adotada. Comoo conceito de proximidade em questao diz respeito aos termos da sequencia(numeros reias, portanto) e o 0,(tambem um numero real), entao nosso con-ceito de proximidade depende de uma metrica a ser escolhida para R. No

caso mais geral, poderia ser qualquer metrica em R (existem outras?), noentanto vamos preferir a metrica chamada de metrica euclidiana canonica,isto e: d(x, y) = |x y|.

OBS: Indefinidamente, ou arbitrariamente significa: tanto quanto se queira,ou seja, se quisermos encontrar termos de nossa sequencia cuja distancia ao 0e menor que um bilionesimo; deveramos ser capazes de consegu-lo. Vamosformalizar isto matematicamente:

DEFINICAO 3.1.2 (Sequ^encia convergente) Dada uma sequencia real

Sn e um numero real L, dizemos que Sn converge a L se, para qualquer ,positivo (por menor que ele seja), existe n0, uma posicao na sequencia, apartir da qual a distancia dos termos da sequencia ao numero L e menor que. Matematicamente, existe n0 tal que:

n n0 |xn L| < .

EXEMPLOS: Voltando ao exemplo 2, se considerarmos = 0, 00000001entao,para mostrarmos que nossa seqquencia converge a 0,devemos exibirum n0, ou seja uma posicaona sequencia a partir da qual todos os ele-

mentos da sequencia estao a uma distancia do 0 menor que = 0, 00000001.Vamos encontrar tal posicao!

A nocao de convergencia formalizada acima nos diz que os valores dasequencia se aproximam arbitrariamente de L. Como a nocao de continuidade

21


22/72

de funcoes esta diretamente ligada a este conceito, podemos fornecer uma

definicao de continuidade baseada inteiramente no conceito de sequencias.Pode ser mostrado que tal definicao e inteiramente equivalente a definicao decontinuidade dada por s e s mas isto esta alem dos objetivos deste curso.

TEOREMA 3.1.1 (Continuidade) Considere f : R R uma funcao realqualquer. Dizemos que f e contnua no ponto x0 R se, para toda sequenciareal, (xn) tal que xn x0 temos que a sequencia das imagens, isto e f(xn)converge para f(x0). Dizemos que f e contnua em R se f for contnua emtodo ponto de R.

Isto e o mesmo que dizer que se fe contnua em x0 entao

xn x0 f(xn) f(x0)

ou ainda:

limn

f(xn) = f( limn

(xn))

DEFINICAO 3.1.3 (Ponto Fixo) Considere f : R

R uma funcao real

qualquer. Dizemos que f tem um ponto fixo em x = x0 se f(x0) = x0.

TEOREMA 3.1.2 (Teorema do Valor Intermediario) Sejaf : [a, b] R contnua e suponha que y0 seja um valor intermediario aos valores f(a) ef(b). Entao y0 e a imagem de algum ponto x0 [a, b].

OBS: A demonstracao deste teorema nao sera feita pelo professor, nestecurso. Qualquer voluntario que o deseje fazer tera no professor um orienta-

dor devotado. Contudo, vale a pena salientar que tal resultado, fortementeintuitivo, tem uma demonstracao nao trivial. Tal fato justifica um estudomais aprofundado de certos temas mesmo por aqueles que pretendem sededicar exclusivamente a ensinar matematica no ensino medio.

22


23/72

TEOREMA 3.1.3 (Primeiro Teorema do Ponto Fixo:) Toda funcao contnua

de um intervalo fechado nele mesmo, admite pelo menos um ponto fixo.

DEMONSTRACAO: Considere a funcao H(x) = f(x) x. Se [a, b] e ointervalo de definicao da f entao tambem o sera para H. Claramente temosque:

H(a) = f(a) a 0 H(b) = f(b) b 0

Segue entao do teorema anterior que c [a, b] tal que H(c) = 0. E istoresolve nosso problema.

TEOREMA 3.1.4 (Segundo Teorema do ponto fixo) Se f e uma funcaocontnua e a sequencia das iteradas por f, isto e : xn+1 = f(xn) e umasequencia convergente, entao o limite desta sequencia e um ponto fixo.

DEMONSTRACAO: Definimos a sequencia das iteradas: xn+1 = f(xn) eseja x0 = lim

xxn. Devemos mostrar que x0 = f(x0). Vejamos

f(x0) = f( limx

xn) = limx

f(xn) = limx

xn+1 = x0.

onde a segunda igualdade acima e valida devido a continuidade da funcao f.

DEFINICAO 3.1.4 ( Sequ^encia de Cauchy) Uma sequencia real Sn echamada de Sequencia de Cauchy se para qualquer , positivo (por menor queele seja), existe n0, uma posicao na sequencia, a partir da qual a distanciaentre termos da sequencia e menor que . Matematicamente, existe n0 talque:

n > m

n0 |

xn

xm|

< .

TEOREMA 3.1.5 Toda sequencia convergente e uma sequencia de Cauchy.

23


24/72

DEMONSTRACAO: : Dado > 0, qualquer, devemos exibir um n0 Ntal que

n > m n0 |xn xm| < .

porem (xn) e convergente. Tomando =2 , temos que existe m0 N tal que:

n m0 |xn L| < .

basta entao tomarmos n0 = m0, e assim temos que n > m n0 = m0temos:

|xn xm| < |xn L + L xm| < |xn L| + |xm L| < + =

TEOREMA 3.1.6 Toda sequencia de Cauchy e uma sequencia convergente.

OBS: A demonstracao deste resultado e mais tecnica e nao sera fornecidaaqui. Uma demonstracao pode ser encontrada em ([9])

DEFINICAO 3.1.5 (Contracao) Considere f : R R uma funcao realqualquer. Dizemos que f e uma contracao se (0, 1) tal que x, y Rtemos |f(x) f(y)| |x y|.

TEOREMA 3.1.7 (Terceiro Teorema do ponto fixo) Seja f : R Ruma contracao. Entao f admite um unico ponto fixo p. Ademas a sequenciadas iteradas , xk+1 = (f(xk), onde o ponto inicial x0 e arbitr ario, convergepara este ponto fixo.

DEMONSTRACAO: A ideia e mostrar que a sequencia das iteradas e deCauchy e portanto convergente. Vejamos, para todo k > 1, temos:

|xk+1 xk| = |f(xk) f(xk1)| |x1 x0|

e pela desigualdade triangular segue que:

24


25/72

|xn+m xn| |xn+m xn+m1| + |xm+n1 xm+n2| + ... + |xn+1 xn|

(n+m1 + n+m2 + ... + n)|x1 x0| |x1 x0|

= n(m1 + m2 + ... + 1)|x1 x0| |x1 x0|

e a soma entre parentesis e menor do que a soma da p.g. infinita de razao0 < < 1, assim obtemos:

|xn+m xn| < n 11 |x1 x0| (3.1)

e como n 0 quando n tende ao infinito, segue que a sequencia das it-eradas e uma sequencia de Cauchy. Portanto existe p = lim

xxn. Segue da

continuidade da f que p e ponto fixo, como ja vimos anteriormente. Alemdisso, usando novamente o fato de que f e uma contracao, segue que talponto fixo e unico.

3.2 EXERCICIOS

1. Mostre que se uma sequencia e convergente entao seu limite e unico.

DEFINICAO 3.2.1 (Sequencia Limitada) Dado uma sequencia(xn),dizemos que ela e limitada se existe uma constante positiva M tal que|xn| < M para todo n N.

(a) Mostre que toda sequencia convergente e limitada.

(b) Toda sequencia limitada e convergente?

(c) Mostre, sem utilizar o teorema (3.1.6), que toda sequencia deCauchy e limitada.

2. A partir da equacao (3.1):

25


26/72

(a) Demonstre, em detalhes, que o fato de que n 0 quando n tendeao infinito, acarreta que a sequencia das iteradas e uma sequenciade Cauchy.

(b) Mostre que p e o unico ponto fixo.

3. Mostre que a sequencia (an) converge pra 0 se |a| < 1.

26


27/72

Captulo 4

ORBITAS

4.1 ITERACAO DE FUNCOES

Somente para fixar a notacao, vale a pena deixar claro que neste texto rep-resentaremos a composicao de uma funcao real F : R R , n vezes porFn(x) ou seja: Fn(x) = F F ... F(x), n vezes. Inicialmente estaremosinteressados apenas em funcoes reais, contudo o conceito de iteracao pode,e sera, generalizado para aplicacoes quaisquer, como e o caso da aplicacaodeslocamento, : , apresentada incialmente no exemplo 2.2.1 Talnotacao nao deve em hipotese alguma ser confundida com (F(x))n que sig-

nifica (F(x))(F(x))...(F(x)), n vezes. Observe que (F(x))

n

sempre esta bemdefinido ao passo que o mesmo nem sempre acontece para Fn(x). Chamare-mos o processo de repeticao do calculo da funcao F em um ponto x de:iteracao de F em x.

EXEMPLOS:

1. f(x) =

x. Obviamente para falarmos na iterada de um ponto xpor essa funcao devemos escolher um valor nao negativo de x. Nestascondicoes temos:

f2

(x) = f(f(x)) = f(

(x)) =

(x)

f3(x) = f(f2(x)) = f(

(x)) =

(x)

27


28/72

e assim sucessivamente.

Claramente a condicao de que o ponto inicial pertenca ao domnio dafuncao e uma condicao necessaria mas de maneira alguma suficiente,como veremos no exemplo seguinte:

2. Note que a iteracao de uma determinada funcao em um ponto x poruma quantidade arbitrariamente grande de vezes nem sempre e possvel.Por exemplo considere f(x) =

x 1 e calcule f5(10), caso isso seja

possvel. Na verdade, podemos mostrar (exerccio) que para qualquerponto inicial x0 existe, para esta funcao em particular um N, chamadode ultima iteracao possvelcuja caracterstica e justificar seu nome.

4.2 EXERCICIOS

1. Considere a funcao f(x) =

x 1, entao para todo x [1, ) existea ultima iteracao possvel?

2. Dada uma funcao qualquer f : D R tal que Im f D, entao x0 D e para qualquer n N existe fn(x0) ?

3. Se D esta estritamente contido em Im f entao:

(a) Para todo x D existe a ultima iterada?

(b) Se f nao possui pontos fixo entao para todo x D existe a ultimaiterada?

(c) Existe x0 D para o qual existe a ultima iterada?

4.3 ANALISE GRAFICA

Vejamos como uma analise grafica pode nos ajudar a entender o que esta

acontecendo

EXEMPLOS:

1. f(x) = 4x(1 x) Com ponto inicial x0 = 0, 2

28


29/72

4.4 ORBITAS

DEFINICAO 4.4.1 (Func~ao Injetiva) Dizemos que uma funcao f : R R e injetiva se f(x) = f(y) implica x = y.

DEFINICAO 4.4.2 (Func~ao Sobrejetiva) Dizemos que uma funcao f :R R e sobrejetiva quando todo ponto do contra-domnio e imagem dealguem pela funcao f.

OBS: Graficamente podemos dizer se uma funcao f : R R e injetiva ousobrejetiva imaginando retas paralelas ao eixo x passando por todos os pontosdo eixo y. Se pelo menos uma destas retas interceptar o grafico de f em maisde um ponto entao f nao sera injetiva. Se pelo menos uma destas retas naointerceptar o grafico de f entao f nao sera sobrejetiva.

DEFINICAO 4.4.3 ( Orbita do ponto x pela func~ao f) Fixada umafuncao f e um ponto x chamamos de orbita do ponto x pela funcao f ,(ou simplesmente de orbita de x quando nao houver possibilidade de con-

fusao em relacao a qual funcao falamos), que denotaremos por O(x) e quese trata da sequencia de pontos formada pelas iteradas de f em x. Ou seja,a sequencia (xn) dada por xn+1 = f(xn).

OBS: 1) As vezes denotamos a funcao identidade por f0 dessa formapodemos dizer que x = f0(x).

EXEMPLOS:

1. Ha uma diferenca importante entre a orbita de um ponto x0, que de-

notaremos por O(x0) e o conjunto dos pontos da orbita de x0, ou seja,{xn} = {x R tal que x O(x0)}. A primeira e uma sequenciae, como tal, tem implcita uma nocao de ordenacao alem de ser con-stituda de um numero infinitos de entradas, mesmo que nao necessari-amente distintas enquanto que o segundo e simplesmente um conjunto

29


30/72

de numeros reais cujos elementos sao os numeros reais que aparecem

na orbita de x0. Vejamos um exemplo:Considere f(x) = x2 1. A orbita do ponto 0 e a sequencia de pontos(0, 1, 0, 1, 0, 1,...) enquanto que o conjunto dos pontos dessa orbitae A = {1, 0} = {0, 1}.

2. Orbita de um ponto fixo Definimos um ponto fixo como um pontox que satisfaca f(x) = x. A simplicidade de tal conceito poderia noslevar a pensar que tais pontos nao devem ser de grande importancia.Ledo engano, como veremos adiante. Segue imediatamente da definicaoque a orbita de um ponto fixo e uma sequencia constante: (x,x,x,...)e o conjunto de seus elementos e um conjunto unitario. A = {x}Analiticamente um ponto fixo pode ser encontrado resolvendo-se aequacao f(x) = x. Exemplo: encontre um ponto fixo, caso exista,para a funcao f(x) = x2 3x 7. Graficamente um ponto fixo podeser encontrado analisando-se a interseccao dos graficos de f(x) e dey = Id(x) = x.

EXEMPLOS: 1) f(x) = x2

2) f(x) = x3

3) f(x) = x2 x 4

3. DEFINICAO 4.4.4 (Ponto periodico) Seja k N definimos, x umponto periodico de perodo k como um ponto x que satisfacafk(x) = x.

Claramente, assim como esta definido, o perodo nao e unico. Se x eum ponto periodico de perodo k tambem o e de perodo 2k, 3k,...,nk,

assim, definimos o menor de tais valores como sendo o perodo fun-damental de x. Segue imediatamente da definicao que a orbita de umponto periodico e uma sequencia formada por blocos que se repetem,isto e: (x1, x2,...,xk1, x1, x2,...,xk1, x1,...) e o conjunto de seus ele-mentos e um conjunto finito: {x1, x2,...,xk1}.

30


31/72

OBS: Outra observacao facil de ser verificada e que todo ponto per-tencente a orbita de um ponto k-periodico e tambem k-periodico (ex-erccio).

OBS: Se x e k-periodico para f entao x e um ponto fixo para g(x) =fk(x). Assim, para encontrarmos pontos periodicos, devemos buscarpontos fixos de alguma iterada de f.

EXEMPLOS: 1) f(x) = x2 1 e x0 = 0 ou x0 = 1.

1) Nem sempre e facil encontrar um ponto periodico: f(x) = x2 2.Exerccio: Encontre um ponto periodico de perodo 3.

2) f(x) = 32

x2 + 52

+ 1 e x0 = 0, x0 = 1 ou x0 = 2. Veja figura abaixo.

EXEMPLO 4.4.1 Exemplo: Achar um ponto nao nulo de perodo 2para a f(x) = x x3. (Obs: Este exerccio apareceu em sala, fruto denossos itinerarios errantes pelo conteudo da disciplina. Achei que valiaa pena registra-lo para memoria. A dica aqui e manter as fatoracoestanto quanto possvel. Um bom exerccio seria tentar resolver a equacaof2(x) = x sem olhar a resolucao abaixo e depois comparar as tortuosi-dades e/ou atalhos dos diversos caminhos escolhidos). Vejamos:

f2(x) = (x x3) (x x3)3 = x(1 x2)(1 x2(1 x2)2))

Como buscamos um ponto nao nulo onde f2(x) = x, segue que devemoster entao:

31


32/72

1 = (1 x2)(1 x2(1 x2)2)) = (1 x2) (1 x2)x2(1 x2)2

ou seja,

0 = x2(1 + (1 x2)3)

e como x = 0 segue entao que devemos ter 0 = 1 + (1 x2)3, istosignifica1 = (1 x2)3, isto e 1 = 1 x2, portanto x = 2.

4. DEFINICAO 4.4.5 (Ponto eventualmente periodico) Definimos, xum ponto eventualmente periodico se x nao for periodico mas existek tal que y = fk(x) e um ponto periodico.

Se x e um ponto eventualmente periodico segue imediatamente dadefinicao que, sua orbita e uma sequencia formada por um bloco inicialseguido por blocos que se repetem, isto e:(x1, x2,...,xk1, y , y1, y2,...,yp1, y , y1,...) e o conjunto de seus elemen-tos e um conjunto finito: A =

{x1, x2,...,xk

1, y , y1, y2,...,yp

1

}OBS: Para encontrarmos um ponto eventualmente periodico devemosescolher um elemento pertencente a orbita de um ponto periodico eolhar para um elemento de sua pre-imagem que nao seja ele proprioum elemento da orbita periodica sob consideracao, caso exista.

5. DEFINICAO 4.4.6 (Ponto eventualmente fixo) Definimos, x um pontoeventualmente fixo x nao for fixo mas exite k tal que y = fk(x) e umponto fixo.

Se x e um ponto eventualmente fixo segue imediatamente da definicaoque sua orbita e uma sequencia formada por um bloco inicial seguido deuma sequencia constante, isto e: (x1, x2,...,xk1,y,y,y,. . .) e o conjunto

32


33/72

de seus elementos e um tambem um conjunto finito:

A = {x1, x2,...,xk1, y}

OBS: Para encontrarmos um ponto eventualmente fixo devemos olharpara um elemento da pre-imagem de um ponto fixo que nao seja oproprio ponto fixo, caso exista.

Se a funcao e injetiva entao nao vai haver pontos eventualmente periodicosnem eventualmente fixos! Verdade ou mentira? Prove ou de um contra-exemplo!

EXEMPLOS: f(x) = x2

e x0 = 1, f(x) = x2

1 e x0 = 1 respecti-vamente. Vamos achar um outro ponto eventualmente periodico paraf(x) = x2 1. Como fazer? Encontrar uma pre-imagem de 1 por essaf. Exerccio!!

6. EXEMPLO 4.4.2 (A Funcao duplicadora). Esta funcao aparente-mente simples e acessvel a qualquer aluno do ensino medio escondesegredos valiosssimos no aspecto de sua dinamica. O domnio e ocontra-domnio desta funcao coincidem com o intervalo semi-aberto[0, 1) e a lei da funcao e dada por:

D(x) =

2x , se 0 x < 12

2x 1 , se 12

x < 1

7. EXEMPLO 4.4.3 (A Funcao tenda). Esta funcao aparentemente sim-ples e acessvel a qualquer aluno do ensino medio esconde segredosvaliosssimos no aspecto de sua dinamica. O domnio e o contra-domnio desta funcao coincidem com o intervalo fechado [0, 1] e a leida funcao e dada por:

T(x) =

2x , se 0 x 122 2x , se 12 < x 1

33


34/72

4.5 EXERCICIOS

1. Dada a funcao f(x) = ax2 + bx + c, encontre condicoes sobre a, b ec para que tal funcao tenha respectivamente, zero, um ou dois pontosfixos.

2. Dada a funcao f(x) = ax +

bx + c, encontre condicoes sobre a, b ec para que tal funcao tenha respectivamente, zero, um ou dois pontosfixos.

3. Esboce os graficos de D(x), D2(x), D3(x) e Dn(x).

4. Calcule a quantidade de pontos fixos de D(x), D2(x), D3(x) e Dn(x).

5. Calcule as orbitas por D dos seguintes pontos: 13

, 23

, 15

e 19

.

6. Esboce os graficos de T(x), T2(x), T3(x) e Tn(x).

7. Calcule a quantidade de pontos fixos de T(x), T2(x), T3(x) e Tn(x).

8. Exerccios: Pag 26 : 2,3,5,6,7,8, de 10 a 19.

9. Pag 34: 1-c,e,f ; 2-b,c ; 4-b,c,e,f ; 5,6,7

10. Mostre que todo ponto pertencente a orbita de um ponto k-periodico

e tambem k-periodico.

11. Se a f e injetiva entao nao vai haver pontos eventualmente periodicosnem eventualmente fixos! Verdade ou mentira? Prove ou de um contra-exemplo!

12. Esboce o grafico da funcao abaixo conhecida como aplicacao de Gauss

G(x) =

1x

[ 1x

] , se 0 < x 10 , se x = 0

13. Esboce os graficos de G2(x), G3(x) e Gn(x).

14. Calcule a quantidade de pontos fixos de G(x), G2(x), e Gn(x).

34


35/72

4.6 PONTOS FIXOS E PONTOS PERIODICOS

Segue direto do exemplo f(x) =

x 1 que podemos ter problemas parafazer iteradas de uma fucao nos casos em que o conjunto Imagem contemo conjunto domnio. Vamos entao nos restringir as funcoes onde vale ocontrario, isto e o conjunto Imagem esta contido no conjunto domnio. Noentanto sera conveniente, como veremos abaixo, trabalharmos com funcoesonde o conjunto domnio coincide com o conjunto contra-domnio, assim, noscasos seguintes, sem perda de generalidade podemos supor este fato.

4.7 PONTOS ATRATORES, REPULSORESOU NEUTROS

Antes de definirmos o que vem a ser um ponto atrator ou repulsor, ve-jamos a analise grafica de alguns exemplos:

1. f(x) = x2. Vamos fixar um ponto positivo x0 e analisar graficamentesua orbita. A facil observar que temos dois casos bem distintos a con-siderar: x0 < 1 ou x0 > 1. Descreva o que acontece com a orbita doponto em cada um dos casos mencionados.

2. f(x) = kx com k > 1. Vamos fixar um ponto positivo x0 e analisargraficamente sua orbita.

3. f(x) = kx com k < 1. Vamos fixar um ponto positivo x0 e analisargraficamente sua orbita.

Para a demonstracao do proximo teorema precisaremos de um resultado

muito conhecido de Calculo I: O Teorema do Valor Medio, aqui chamadode Lema por razoes obvias. Geometricamente ele nos garante a existencia deum ponto c entre a e b onde a inclinacao da reta tangente ao grafico de fcoincide com a inclinacao da reta que passa pelos pontos extremais do mesmografico no intervalo [a, b].

35


36/72

LEMA 4.7.1 (Teorema do Valor Medio:) Sejaf uma funcao diferenciavel

no intervalo [a, b]. Entao existe c [a, b] satisfazendo:f(c) =

f(b) f(a)b a

DEMONSTRACAO: EXERCICIO

DEFINICAO 4.7.1 (Ponto fixo localmente atrator) Sejap um ponto fixo de uma funcao f : R R, se existe um intervalo J = (a, b) tal que asequencia das iteradas de qualquer ponto x0 J converge para p, entao p echamado um ponto fixo localmente atrator.

DEFINICAO 4.7.2 (Conjunto estavel de um ponto fixo). Seja f :R R e p um ponto fixo para f. Definimos W(p) o conjunto estavel de pcomo sendo o conjunto de todos os pontos tal que a sequencia de suas iteradasconverge para p. Ou seja: W(p) = {x R /(fn(x)) p}

Dois pontos fixos atratores distintos nao podem ter conjuntos estaveis que seinterseptem. Exerccio!

EXEMPLO 4.7.1 Considere a funcao f(x) = x2 +32

. Encontre o unicoponto fixo, p, para f e mostre que W(p) = R

EXEMPLO 4.7.2 Considere a funcao g(x) = 2x 3. Encontre o unicoponto fixo, p, para g e mostre que W() = (, 3) (3, )

Estes exemplos foram feitos em sala. Refaca-os como exerccio.

TEOREMA 4.7.1 (Teorema do Ponto Fixo Atrator ) Sejap um pontofixo de uma funcao f : R R cuja derivada primeira exista e e contnua emtodo R. Se |f(p)| < 1 entao p e um ponto fixo localmente atrator.

36


37/72

DEMONSTRACAO: Escolha um tal que |f(p)| < < 1. Pela con-tinuidade da f existe > 0 tal que x J = [p, p + ] temos |f(x)| < .Seja x um ponto deste intervalo, entao pelo teorema do Valor Intermediariotemos que existe c entre x e p tal que :

|f(x) f(p)| = |f(c)||p x| < |p x|

ou seja:

|f(x) p| < |p x|

ja que p e ponto fixo por hipotese. Assim, segue que f e uma contracao

quando restrita ao intervalo J. Portanto, pelo teorema (4.7.2) temos que talfuncao tem um unico ponto fixo .

OBS: Nossa demonstracao acima esta correta mas talvez nos devessemos serum pouco mais cuidadosos. Vejamos, no teorema (4.7.2) temos o resultadomencionado porem exigimos que nossa funcao seja uma contracao na retatoda. No teorema acima, nos mostramos que f e uma contracao quandorestrita ao intervalo J. Sera que podemos afirmar que o resultado do teoremacontinua valido quando restringimos o domnio de nossa contracao?Para podermos fazer isso, primeiramente precisamos saber se uma contracao

leva um intervalo dentro dele mesmo. Matematicamente falando isto nos levadiretamente ao conceito de invariancia de conjunto:

DEFINICAO 4.7.3 (Conjunto invariante) Considere f : R R umafuncao real qualquer. Dizemos que A R e um conjunto invariante por f sef(A) A.

A princpio, como sabemos que uma contracao diminui a distancia dasimagens de dois pontos, poderamos ser levados a acreditar que, de fato,intervalos sao conjuntos invariantes por contracoes. Infelizmente isto tambemnao e o caso, basta tomar como exemplo uma das contracoes mais simples:f(x) = kx + b com k < 1. Porem, felizmente, no caso do nosso teorematemos que a resposta e verdadeira. Mais precisamente:

37


38/72

TEOREMA 4.7.2 (Contracao) Considere f : R R uma funcao realqualquer. Se J e um intervalo da reta real contendo um ponto fixo e tal quef restrita a J e uma contracao, entao J e invariante por f.

DEMONSTRACAO: EXERCICIO.

Fazendo uso do teorema acima, nossa demostracao esta melhor justificada.

OBS: A hipotese de que a derivada primeira de f seja contnua e importantemas nao e necessaria. Ou seja, o teorema pode ser demosntrado sem ela.Contudo a demonstracao e mais complicada e por isso optamos por estaversao. Alem do mais funcoes contnuas com derivadas descontnuas nao sao

muito faceis de serem encontradas o que ampara nossa opcao. Veja uma talfuncao:

f(x) =

x2sen( 1x

) + x2 , se x 0

0 , se x = 0

E de facil verificacao que f(0) existe contudo f nao e contnua no 0.

DEFINICAO 4.7.4 (Ponto Fixo Repulsor) Sejaf : R R uma funcaoqualquer e x0 e um ponto fixo para f. Dizemos que x0 e um ponto fixorepulsor, se existir um intervalo J, contendo x0 em seu interior, tal quetodo ponto deste intervalo, exceto o proprio x0, tem sua orbita escapandodeste intervalo, ou seja, existe um iteracao, n tal que fn(x) esta fora desteintervalo.

TEOREMA 4.7.3 (Teorema do Ponto Fixo Repulsor) Sejap um ponto

fixo de uma funcao f : R R cuja derivada primeira exista e e contnua emtodo R. Se |f(p)| > 1 entao p e um ponto fixo localmente atrator.

DEMONSTRACAO: EXERCICIO

38


39/72

4.8 EXERCICIOS

1. EXERC. do livro: 1) Pag 50: 1-a,b,e,g,h,j ; 2-a,b,d,f ; 3

2) Estude completamente a dinamica de f(x) = x x3

2. Se for verdadeiro, mostre! Caso contrario apresente um contra-exemplo:

(a) Seja f uma funcao derivavel em x0 onde x0 e um ponto fixo de ftal que f(x0) < 1 entao G(x) = f(x) x muda de sinal em x0.

(b) Sejam x0 e x1 pontos fixos sucessivos de f entao |f(x0)| < 1 |f(x1)| > 1.

3. secao 5.6 do livro: Atratores Fracos; velocidade de convergencia. Ex-ercicios de 5 a 9 pag 50

4. Dado p um ponto fixo para f, mostre que Ws(p) = .5. Mostre que o conjunto estavel de dois pontos fixos distintos nao se

interseptam. Em outras palavras: Se p1 e p2 sao pontos fixos distintosentao Ws(p1) Ws(p2) =

4.9 ORBITAS PERIODICAS ATRATORASOU REPULSORAS

Analisemos o exemplo f(x) = x2 1. 0 e 1 sao pontos de perodo 2pertencentes a mesma orbita. Ou seja: O(0) = (0, 1, 0, 1,...). Tambempodemos ver isso analisando os pontos fixos de f2(x) = x42x2. Observamospara futura referencia que (f2)(x) = 4x(x2

1) que se anula tanto em 0

quanto em 1. Assim sendo, tais pontos sao pontos fixos atratores de f2.Estendendo a definicao, podemos definir:

39


40/72

DEFINICAO: Se x0 e um ponto periodico de perodo k para f, dizemos

que O(x0) e uma orbita atratora se |(fk

)(x0)| < 1 e dizemos que O(x0) euma orbita repulsora se |(fk)(x0)| > 1.

OBS: Para que nossa denominacao preserve algum sentido e como todos ospontos pertencentes a uma mesma orbita periodica tem mesmo perodo, paraque nossa definicao acima nao dependa do ponto escolhido, duas perguntastem que ser respondidas:

1) Pontos periodicos de perodo k pertencentes a uma mesma orbitatem todos a mesma caracterstica em relacao a satisfazer |(fk)(x0)| < 1ou

|(fk)(x0)

|> 1 ?

A resposta e afirmativa como veremos abaixo

TEOREMA 4.9.1 REGRA DA CADEIA EM PONTOS PERIODICOSSuponha que os pontos x1, x2,...,xk1 pertencam a um mesmo ciclo de perodok para f e que xi = f

i(x0). Entao

(fk)(x0) = f(xk1) ... f(x1) f(x0)

DEMONSTRACAO: Da regra da cadeia temos que (F(G(x))) = F(G(x))G(x). Portanto, como fk(x) = f(f(...(f(x)...)) k vezes, segue imediatamenteque (fk(x0)) = f(fk1(x0)) ... f(f(x0)) f(x0) e como xi = fi(x0), o re-sultado segue.

COROLARIO 4.9.1 Suponha que os pontos x1, x2,...,xk1 pertencam aum mesmo ciclo de perodo k para f e que xi = f

i(x0). Entao

(fk)(x0) = (fk)(x1) = ... = (fk)(xk1)

DEMONSTRACAO: O resultado segue direto do teorema anterior visto

que (fk

)(x0) e dado exatamente como produto das derivadas na k-esimaiterada de f em todos os pontos do ciclo e os pontos do ciclo sao os mesmosindependente de qual seja o ponto escolhido para semente.

A segunda pergunta:

40


41/72

2) Orbitas periodicas atratoras, atraem?

A resposta e sim mas tal resultado nao sera demonstrado neste curso.Contudo a analise de um exemplo particular e interessante. Vejamos:Exemplo: Considere novamente a funcao f(x) = x2 1 (antes de mais nadatalvez seja interessante esbocar o graficode f de f2, encontrar os pontos fixosde f2 e estudar a concavidade de f2) e O(0) = (0, 1, 0, 1,...), uma orbitaperiodica atratora. 1) Vejamos o que acontece com a orbita de um pontox0 1, porem maior que -1, digamos x0 = 1 + , onde > 0 pequenoo suficiente de modo a garantir que x0 (1, 1

5

2 ). Isto nos garante que

f2(x0) < 0 pois os pontos fixos de f2 sao: {1, 1

5

2 ), 0,1+5

2 )} e entre osdois primeiros pontos fixos nossa funcao f2 e convexa de forma que o grafico

de y = x esta acima do grafico de f2, o que garante nossa afirmacao. Assim1 < f2(x0) < x0 e o ponto x0 voltou para uma posicao mais proxima de1 do que a propria semente x0.

2) Vejamos agora o que acontece com a orbita de um ponto x0 1,porem menor que -1, digamos x0 = 1 , onde > 0 pequeno o suficiente(Exerccio: Terminar a analise da maneira como foi feito em sala de aula).

Vamos estudar a dinamica da funcao f(x) =

x + 2. Primeiramenteprocuremos os pontos fixos desta aplicacao. Isto significa resolver a equacaox =

x + 2, ou seja x2x2 = 0, cujas razes sao x0 = 1 e x1 = 2, contudo

note que x0 nao satisfaz a equacao inicial, esta raiz apareceu indevidamente

ao elevarmos ao quadrado os dois lados de nossa equacao original. Contudotal raiz da equacao de segundo grau x2 x 2 = 0 nos sera util quandobuscarmos pontos periodicos. Assim sendo o unico ponto fixo de f e x1 = 2.Como 0 < x1, tal ponto pertence a imagem de nossa funcao e podemos(tentar) encontrar um ponto eventualmente fixo buscando uma pre-imagemde x1 pela f, ou seja resolvendo a equacao:

2 = f(x) =

x + 2

Assim encontramos que 2 e o unico ponto cuja imagem e x1 = 2. MAsentao tal ponto e fixo e portanto nao pode ser um ponto eventualmente fixo.

De maneira similar, para encontrarmos pontos 2-periodicos devemos resolvera equacao x = f2(x) =

x + 2 + 2 e novamente observamos que para

tal devemos exigir que x > 0. Tal equacao nos leva a x4 4x2 x + 2.Segue do calculo do ponto fixo que x0 = 1 e x1 = 2 sao tambem razesdesta equacao de grau 4. Assim podemos escrever x4 4x2 x + 2 =

41


42/72

(x +1)(x2)(x2 +x1) = 0 (verifique!!) e assim encontramos as duas razesrestantes x2 =

15

2 e x3 = 1+5

2 . Poderamos entao esperar que tais pon-tos fossem pontos 2-periodico. Contudo isso nao acontece. Vejamos porque:Note inicialmente que para encontrarmos pontos 2-periodicos devemos re-solver a equacao x = f2(x), contudo, ao elevarmos ambos os membros destaequacao ao quadrado para nos livrarmos do radical, acabamos por resolver aequacao x2 = f4(x) e, embora toda equacao da primeira tambem, sera umasolucao da segunda, a recproca nao e sempre verdadeira. Em particularnosso caso nos apresentou duas razes de x2 = f4(x) que nao sao razes dex = f2(x). Vejamos: x2 claramente nao pode satisfazer a equacao x = f

2(x)visto que x2 < 0. Entao dentre os 4 candidatos a pontos 2-periodicos so nosresta o x3 como possibilidade. Mas isto nos leva a um absurdo pois sendo x3um ponto 2-periodico, sua imagem tambem deveria ser no entanto nao exiteoutra raiz de x4 4x2 x + 2 = (x + 1)(x 2)(x2 + x 1) = 0. Portantonao ha pontos 2-periodicos para f.

42


43/72

Captulo 5

BIFURCACOES

5.1 DINAMICA DA

APLICACAO QUADRATICA

Vamos agora estudar funcoes quadraticas. Consideremos a seguinte famliade funcoes indexadas por um numero real c: Qc(x) = x

2 + c. isto significaque para cada valor de c temos uma funcao quadratica distinta. Queremosser capaz de dizer como varia a dinamica desta famlia com a variacao doparametro c. Vejamos inicialmente como se comportam os pontos fixos:

x2 x + c = 0nos fornece os pontos fixos: p+ =

12

(1 +

1 4c) e p = 12(1

1 4c).Como estamos buscando ponto fixos reais, segue imediatamente que se c >1/4, entao nao ha ponto fixo algum e ainda p+ p e a igualdade so ocorrese c = 1/4. Neste caso temos p = p+ = 1/2.

No caso em que c > 1/4 a dinamica e muito facil de ser analisada atravesdo grafico e ve-se claramente que todas as orbitas tendem ao infinito, pois ografico de Qc esta acima da reta y = x. Assim, ao decrescermos o valor de cpassamos da situacao em que nao ha pontos fixos, c > 1/4, para o caso emque ha somente um ponto fixo,c = 1/4, e depois para o caso onde ha doispontos fixos, c < 1/4. Por este motivo diremos que ha uma bifurcacao emc = 1/4.

Quanto ao magnetismodos pontos fixos, como Qc(x) = 2x, e facil veri-ficar que p+ e sempre repulsor se c < 1/4 e p e atrator se 3/4 < c < 1/4,

43


44/72

neutro se c = 3/4 e repulsor se c < 3/4. Para verificar isto basta analisara desigualdade 1 < Qc(p) = 1 1 4c < 1. Resumindo, obtivemos:

TEOREMA 5.1.1 PRIMEIRA BIFURCAC AO. Considere a famlia de funcoesquadraticas Qc(x) = x

2 + c. Pode-se afirmar que:

1. Se c > 14 , entao todas as orbitas tendem ao infinito.

2. Se c = 14 , entao Qc tem um unico ponto fixo em p+ = p = 1/2 e esteponto fixo e neutro.

3. Se c < 14 , entao Qc tem dois pontos fixos em p+ e p

e p+ e sempre

repulsor. Quantos a p temos 3 sub-casos a considerar:

(a) Se 34

< c < 14

, entao p e atrator.

(b) Se c = 34

, entao p e neutro.

(c) Se c < 34

, entao p e repulsor.

Para futura referencia nos salientamos que, para os valores c 14

, toda adinamica interessante ocorre no intervalo (

p+, p+). Observe que Qc(

p+) =

Qc(p+) = p+, logo p+ e um ponto eventualmente fixo. Uma simples analisegrafica nos convence de que, nestes casos, fora do intervalo acima mencionado,toda orbita tende ao infinito.

Uma analise grafica simples tambem nos leva a conclusao de que se 34

0 tal que:

1. Se (0, 0 + ) entao F nao possui ponto fixo algum em I.2. Se = 0, entao F possui um unico ponto fixo (neutro) em I.

3. Se (0 , 0) entao F possui dois pontos fixos algum em I, umatrator e outro repulsor.

O que a definicao acima esta dizendo e que o ponto 0 tem a pro-priedade de que ao variarmos o parametro passando pelo valor por ele,nossa dinamica tem 0, 1 ou 2 pontos fixos dependendo da posicao de emrelacao a 0. Esta e a caracterstica fundamental de 0 de forma que o caso

45


46/72

analogo onde passa por 0 no sentido oposto tambem recebe o nome de

Bifurcacao Sela-no.Outra observacao e que tal definicao pode ser facilmente estendida a pon-tos periodicos bastando ve-los como pontos fixos de Fn , a n-esima iterada deF.

Geometricamente tais bifurcacoes ocorrem quando o grafico de F temuma tangencia de grau dois com o grafico da identidade num ponto (x0, x0) oque justifica a denominacao alternativa de bifurcacao tipo tangente. Isto eF0(x0) = 1 mas F

0

(x0) = 1. Isto garante que proximo do ponto x0 a funcaoe concava ou convexa de forma que uma pequena alteracao no parametro levaa 1 ou 2 pontos fixos.

Finalmente nao devemos nos esquecer de salientar o carater local do ponto

de bifurcacao o que justifica o aparecimento do intervalo I em sua definicao.

EXEMPLOS

1. A famlia quadratica

O estudo deste exemplo ja foi feito na seccao anterior

2. E(x) = ex + . Neste caso na busca por pontos fixos teramos quere-

solver a equacao nao trivial E(x) = ex + x = 0. Para evitarmos as

dificuldades que apareceriam, vamos nos valer de nosso conhecimentode calulo 1 a respeito das funcoes envolvidas. Ou seja: F(x) = ex + ea funcao exponencial trasladada para cima > 0 oupara baixo < 0e o grafico desta funcao so intersepta o grafico da identidade y = x se 1 (exerc. justifique!). Na verdade se = 1 a interseccao e umunico ponto. Se < 1 entao ha sempre dois pontos de interserccao(justifique!). Esta descricao do comportamento dos pontos fixos a me-dida que o paramentro varia, junto com o estudo da atratibilidade detais pontos nos garantem que, para esta famlia de funcoes temos umabifurcacao sela-no em = 1. O diagrama de bifurcacao que veremosa seguir deixara este resultado mais evidente.

3. F(x) = x(1 x)Observe que x = 0 e um ponto fixo para F para todo valor de .Tambem F(0) = de forma que se 1 < < 1 entao tal ponto fixoe atrator, neutro se = 1. Contudo para qualquer valor de proximo

46


47/72

mas distinto de 1 ha sempre um outro ponto fixo proximo a 0. Assim

nao temos uma bifurcacao sela-no.Vamos encotrar este novo ponto fixo: x(1 x) = x nos leva a x((1 x) 1) = 0 e temos duas solucoes: x0 = 0 que ja sabemos ser sempreum ponto fixo ou x1 = 1 1 . (note que no caso particular de = 1entao x1 = x0). Vejamos se tal ponto sera atrator ou repulsor: F

(x) =

(1 2x) e entao 1 < F(1 1 ) = (1 2(1 1 )) = + 2 < 1 eisto nos fornece que x1 sera atrator se 3 > > 1. O Ponto fixo x0 = 0sera sempre atrator!

5.3 O DIAGRAMA DE BIFURCACAO

O diagrama de bifurcacao nos permite entender graficamente e de formabem simples o que acontece em um ponto de bifurcacao. Basicamente odiagrama nos fornece o valor dos pontos fixos x em funcaodo parametro. Observamos que o diagrama em geral nao sera o grafico de uma funcao.Tambem, em geral e mais facil esbocarmos como uma funcao de x do queo contrario. Em geral, faremos isso e depois uma troca de posi cao dos eixosdo sistema cartesiano para obtermos o resultado desejado. Voltemos aosexemplos considerados na seccao anterior:

1. A famlia quadratica

Da equacao que determina os pontos fixos temos diretamente que x2 x + c = 0, ou seja c = x(1 x). Assim, c = c(x) = x(1 x) e umaparabola concava para baixo passando pela origem e pelo ponto (1, 0).Trocando-se as posicoes dos eixos coordenados obtemos o diagrama debifurcacao. Note que, tracando-se retas verticais paralelas ao eixo x,obtemos os pontos fixos procurados nos pontos de interseccao destasretas com o diagrama. O resultado ja era esperado por nos: retastracadas emvalores de c maiores que 1

4nao interseptam nosso diagrama.

No valor c = 14 a reta so intersepta o diagrama em um unico ponto.Para c < 1

4, as retas interseptam em dois pontos. Por esta razoes,

conclumos que esse formato ( de parabola deitada) e um diagramatpico de uma bifurcacao sela-no.

2. E(x) = ex +

47


48/72

Da equacao que determina os pontos fixos temos diretamente que ex +

x = 0, ou seja (x) = ex

+ x. Analisando-se as derivadas de vemos facilemnte que tal funcao tem um maximo (absoluto) em x = 0e e monotona crescente para valores negativos de x = 0 e e monotonadecrescente para valores positivos de x = 0. Novamente trocando-se aordem nos eixos coordenados chegamos ao grafico bastante semelhanteao de uma parabola deitada.

3. F(x) = x(1 x)Da equacao x((1x)1) = 0 obtemos diretamente que x = 0 e sempreponto fixo independente do valor de (desde que = 0). Graficamenteisto significa que a reta horizontal dada por x = 0 menos a origem faz

parte de nosso diagrama de bifurcacao. Outro conjunto de pontos fixosaparece da resolucao da equacao (1 x) 1 = 0 ou seja x = 1 1

que nada mais e do que o grafico de um hiperbole deslocada.

5.4 A BIFURCACAO DUPLICADORA DEPERIODO

DEFINICAO: Considere uma famlia de funcoes a um paramentro F.Dizemos que tal famlia passa por uma bifurcacao duplicadora de perodo em0), se existe um intevalo aberto I e > 0 tal que:

1. Se [0 , 0 + ] entao F possui um unico ponto fixo p em I.2. Se (0, 0 + ] F nao possui 2-ciclos em I e seu unico ponto fixo

p em I e atrator (respec. repulsor).

3. Se (0 , 0) entao F possui um unico 2-ciclo atrator (respec.repulsor) , q1, q

2 em I, com F(q

1) = q

2. E o ponto fixo, p repulsor

(respec. atrator).

4. Quando 0 entao qi p0

48


49/72

OBSERVACOES:1) Ha dois tipos de bifurcacao duplicadora de perodo. A medida que o

parametro varia o ponto fixo muda de atrator para repulsor e ao mesmotempo da origem a um 2-ciclo atrator. O outro caso seria a medida que oparametro varia o ponto fixo muda de repulsor para atrator e ao mesmotempo da origem a um 2-ciclo repulsor.

2) Como no caso da bifurcacao sela-no, o caso analogo onde passa por0 no sentido oposto tambem recebe o nome de Bifurcacao duplicadora deperodo.

3) A mesma nocao pode ser estendida a ciclo. Neste caso um n-ciclo daorigem a um 2n-ciclo o que justifica a denominacao da bifurcacao.

4)A Bifurcacao duplicadora deperodo acontece quando o grafico de F eperpendicula a diagonal, ou seja F(p0) = 1. Neste caso temos pela regrade cadeia que (F2 )

(p0) = 1, de forma que o grafico da segunda iterada de Fe tangente a diagonal quando uma Bifurcacao duplicadora deperodo ocorre.

EXEMPLOS

1. A famlia quadratica Qc(x) = x2 + c

2. F(x) = x x3Observe que x = 0 e um ponto fixo para F para todo valor de .Tambem F(0) = de forma que se 1 < < 1 entao tal pontofixo e atrator, neutro se = 1 e neste ponto ha uma bifurcacao deduplicacao de perodo. Para vermos isso basta usar o fato de que F empar. Assim temos que procurar um ponto x0 que satisfaca a equacaoF(x0) = x0 pois este fato acarreta em F2 (x0) = x0. Portanto nabusca de 2-ciclos para uma funcao mpar devemos resolver a equacaoF(x0) = x0, ou em nosso caso particular: x x3 = x cujas razessao 0, que e ponto fixo, e x = + 1 mas isso so faz sentido quando > 1. Verifique que nesse caso, este 2-ciclo e repulsor.

49


50/72

Captulo 6

A FAMILIA QUADRATICA

Neste captulo nos dedicaremos a estudar a famlia Qc(x) = x2 + c. Inicial-

mente estudaremos o caso c = 2, isto e Q2(x) = x2 2. Vamos verificarque tal funcao tem uma infinidade de pontos periodicos, e pontos periodicosde todos os perodos.

6.1 O CASO C = 2Recordamos que a dinamica interessante para a famlia Qc ocorre no inter-valo [p+, p+], no caso c = 2 temos p+ = 2, assim concentraremos nossoestudo no intervalo I = [2, 2]. Analisando-se o grafico de Q2 vemos quea imagem do intervalo [0, 2] e o proprio intervalo I e o mesmo ocorre parao intervalo [2, 0]. Assim, excetuando-se o ponto x = 2, todo ponto deI tem exatamente duas pre-imagens em I, uma em cada metade do propriosegmento I. Passando para a analise de Q22 o mesmo raciocnio ocorre emcada metade de I o que acarreta que o grafico de Q22 tem dois valesem I.Repetindo-se o raciocnio acima para as demais iteradas de Q2 e analisandoo significado grafico disso somos levados a concluir que Qn2 tem 2

n1 pontosfixos. Pois o grafico de Qn2 deve interseptar a diagonal y = x exatamente 2

n

vezes. Assim acabamos de demonstrar o seguinte resultado:

TEOREMA 6.1.1 A funcao Q2 tem ao menos 2n pontos periodicos deperodo n no intervalo I = [2, 2]

Observando nosso estudo feito anteriormente nos casos c > 54 , vimos quepoucos pontos periodicos ocorriam para estes valores do parametro. Agora,

50


51/72

acabamos de concluir que ao chegarmos ao valor c = 2 aparecem pontosperiodicos de todos os perodos. Gostaramos de ser capaz de entender comotais pontos aparecem. Isso e o que faremos na proxima seccao.

6.2 O CASO C < 2Com a ajuda de um computador poderamos analisar o que ocorre com algu-mas orbitas para valores do parametro c < 2, muito provavelmente seramoslevados a pensar que a maioria das orbitas tendem ao infinito nestes casos, oque tipificaria uma dinamica bastante simples. Veremos, a seguir, que o quede fato ocorre esta longe de ser uma dinamica simples.

No que segue estaremos estudando a funcao Qc para um valor fixo c < 2.A rigor deveramos carregar o ndice c durante todo este estudo, contudo, coma intencao de tornarmos a leitura mais agradavel, omitiremos tal ndice.

Seja c < 2 fixado. Analisaremos o grafico de Qc no intervalo I =(p+, p+). Ao contrario do caso da seccao anterior, aqui o valor mnimodesta funcao se encontra abaixo da reta y = p+. Isto se verifica facilmentepois c < 2 acarreta que 4c(c + 2) > 0. De onde segue que:

2c 1 = |2c + 1| =

(2c + 1)2 >

1 4c

ou seja:

c < 1 +

1 4c2

= p+

Sendo assim, todos os pontos de I tem exatamente 2 pre-imagens em I.Tambem, podemos identificar um intervalo centrado na origem cuja imagemnao esta em I. Para estes pontos a dinamica e simples pois tais pontostenderao ao infinito. Chamemos entao de A1 o sub-conjunto de I cuja im-agem da primeira iterada por Qc esta fora de I. Olhando para a pre-imagemde A1 encontramos um conjunto de pontos (mais precisamente a uniao dis-

junta de dois intervalos abertos) tais que sua imagem por Q2c esta fora de I.

Chamaremos tal conjunto de A2. Assim sucessivamnte chamaremos de Ano conjunto de pontos que estao fora de I pela n-esima iterada de Qc. Claroque se um ponto se encontra em algum An entao sua orbita mais cedo oumais tarde deixara o intervalo I e portanto tendera ao infinito. A pergunta

51


52/72

que naturalmente se coloca e se o complementar, desse conjunto de pontos

em I e nao-vazio e, no caso afirmativo, que propriedades tem tal conjunto.Note que: = {x I/Qnc (x) I para todo valor de n}. Veremos que talconjunto tem propriedades muito parecidas com as do Conjunto Ternario deCantor.Precisamos definir o que sao os conjuntos abertos e fechados da reta real:

DEFINICAO: i) A R e dito ser um sub-conjunto aberto de R, se paratodo ponto x A podemos encontrar um intervalo aberto (a, b) tal quex (a, b) A.

ii) B

R e dito ser um sub-conjunto fechado de R, se o seu complementar

em R for um conjunto aberto.

EXEMPLOS: Os exemplos mais simples de tais conjuntos sao respectiva-mente os intervalos abertos e os intervalos fechados, mas claramente eles naosao os unicos com tais propriedades.

AFIRMACAO 1: e um sub-conjunto fechado de I.

Este resultado e facil de ser visto uma vez que os An sao todos intervalosabertos e a uniao de intervalos abertos e um aberto, sera fechado por ser

o complementar de um intervalo aberto.AFIRMACAO 2: nao contem intervalo algum. Conjuntos com tais pro-priedades sao chamados de totalmente desconexosVamos provar a afirmativa acima no caso particular em que c < 5+2

5

4 . Ocaso geral exige mais trabalho e nao sera tratado aqui.Verifique que para estes valores de c temos que |Qc(x)| > > 1 para todosos valores de x I A1 (basta verificar que Qc(x) e crescente na semi-retapositiva e tomar = Qc(x1) com x1 o extremo direito do intervalo A1 .Mostraremos por contradicao que nao contem intervalo algum. Vejamos,se isso nao fosse verdade, entao existiria um intervalo J , chamemos del o comprimento de tal intervalo. Assim, dados x e y em J, teramos pelo

teorema do valor medio que existe entre x e y tal que:

|Qc(x) Qc(y)| = Qc()|x y| > |x y|chamando de J1 = Qc(J) podemos repetir o argumento para J1 pois sabemosque J1 continua dentro de . Assim, teramos o comprimento de J1 maior

52


53/72

que 2l. Repetindo-se o processo indefinidamente chegaremos rapidamente

a uma contradicao visto que n

, contudo Qn

c (J) continua dentro de Icujo comprimento e finito. Assim sendo, acabamos de demonstrar o seguinteresultado:

TEOREMA 6.2.1 Se c < 2 entao o conjunto acima descrito, cujasorbitas por Qc nao saem de I e um conjunto fechado em I que nao contemintervalo algum.

6.3 O CONJUNTO TERNARIO DE CAN-TOR

53


54/72

Captulo 7

DINAMICA SIMBOLICA

Os resultados que vamos obter ao final deste captulo justificarao a introducaode alguns conceitos que, a princpio, parecerao muito abstrato e sem qualquerconexao com os problemas estudados nos camptulos prescedentes. Assim,faz-se necessario que o leitor tenha um certo nvel de paciencia ate que elealcance a maturidade suficiente para compreender a introducao destes novosconceitos. Ao final do captulo estara mais facil acreditar na existencia deDeus.

7.1 ITINERARIOS

Seguindo o estudos dos captulos precedentes, seguiremos estudando exclu-sivamente a famlia de funcoes Qc(x) = x

2 + c no caso especfico em quec < 2. Relembramos ao leitor que em tais casos toda a dinamica interes-sante se da on intervalo I = [p+, p+], onde p+ = 1+

14c2

e o ponto fixopositivode Qc. Mantndo a notacao anterior chamaremosde A1 o subc0njuntode I cuja imagem por Qc nao esta em I e o subconjunto de I cuja imagempor qualquer iterada de Qc nunca sai de I. Assim, I A1.I A1 eclaramente formado por doisintervalos disjuntos que denotaremos por I0 eI1. Assim, I A1 = I0 I1. Assim, se x entao sua orbita nunca sai deI0

I1 e podemos associar a esta orbita uma sequencia formada apenas por

0s e 1s dependendo se na n-esima iterada o ponto x se encontra em I0 ouem I1.

DEFINICAO: Seja x um ponto de . Chamamos de itinerario de x a

54


55/72

sequencia infinita de 0s e 1s dada por:

S(x) = (s0 s1 s2 ...)

onde sj = 0 se Qjc(x) I0 e sj = 1 se Qjc(x) I1.

EXEMPLO:

7.2 O ESPACO DAS SEQUENCIAS

DEFINICAO: O espaco de sequencias em dois smbolos e o conjunto:

= {(s0 s1 s2 ...)|sj {0, 1}}

Nossa ideia e associarmos a cada orbita um itinerario e portanto umasequencia de smbolos 0 ou 1. Desta forma, como veremos a seguir poderemossimplificar nossa analise sobre o estudo das orbitas das iteracoes de pontosatraves da famlia Qc(x).

Para tal se faz necessario definirmos a nocao de distancia entre duassequencias. Isso em matematica se faz definindo no espaco de trabalho umafuncao matematica, conhecida como metrica, que fara no espaco em consid-eracao, o mesmo que a funcao valor absoluto faz no conjunto dos numeros

reais. Para entendermos bem o significado disso precisamos revisar o signifi-cado geometrico de |x y|. Observe que geometricamente |x y| mede adistancia entre os numeros reais x e y. Isto e bastante simples de se perceberolhando para alguns exemplos em particular. Por exemplo, analise o signifi-cado de |3 0|, |0 3|,|4 9|, |9 4|. Entao e natural que se queremosdefinir uma funcao que vai medir a distancia entre dois pontos de um con-

junto elas devem ter propriedades que consideramos inerentes as distanciasgeometricasou seja: 1) o resultado deve ser um numero nao negativo. 2) Aordem em que a medida e feita nao deve alterar o resultado. 3) a distancia deum ponto a si mesmo deve ser 0 e este deve ser o unico caso em que isso acon-tece e 4) (Como em um triangulo) a distancia entre quaisquer dois vertices

deve ser menor ou igual que a soma das distAncias dos do terceiro vertice aqualquer um dos outros dois. Em termos matematicos estamos prontos paradefinir uma metrica em um conjunto E (qualquer).

55


56/72

DEFINICAO: Dado um conjunto nao vazio E, chamaremos de d uma

metrica definida em E ( e passaremos a chamar ao par (E, d) de EspacoMetrico), uma funcao d : ExE R+ que satisfaca as seguintes propriedades:Para quaisquer pontos x, y e z em E:

1. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) d(x, z) + d(z, y)3. d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 x = y

Verifique a a funcao valor absoluto: | | : RxR R+ satisfaz as 3 pro-priedades acima.

Consideremos agora nosso espaco das sequencias cujos unicos smbolossao 0s ou 1s e vamos definir uma metrica neste espaco:DEFINICAO: Seja O espaco de sequencias em dois smbolos 0s ou 1sou seja o conjunto:

= {(s0, s1, s2, ...)|sj {0, 1}}

definimos uma metrica em da seguinte maneira: Sejam s = (s0, s1, s2, ...)e t = (t0, t1, t2, ...) dois pontos do nosso espaco , definimos a distanciaentre eles por:

d(s, t) =

i=0

|si ti|2i

TEOREMA 7.2.1 A funcao d definida acima e uma metrica em

DEMONSTRACAO: A demonstracao acima baseia-se fortemente no fatode que |x y| define uma metrica em R e e deixada como exerccio.

Agora, nos gostaramos de poder dizer quando que duas sequencias estaoproximas uma da outra, atraves de uma visualizacao rapida das sequenciaenvolvidas:

56


57/72

TEOREMA 7.2.2 O TEOREMA DA PROXIMIDADE Consider-

emos duas sequencias de , s e t. Se si = ti para i = 0, 1,...n entaod[s, t] 12n

. Reciprocamente se d[s, t] < 12n

entao si = ti i n

DEMONSTRACAO: Exerccio.

Ou seja, duas sequencias estao tao mais perto quanto maior for a coincidenciade termos iniciais.

7.3 A APLICACAO DESLOCAMENTO (shift)

Agora vamos definir uma aplicacao que fara um papel fundamental natraducao da dinamica no espaco das sequencias para a dinamica das iter-adas da funcao Qc(x) no conjunto . Vejamos:

DEFINICAO: A aplicacao deslocamento para a esquerda, ou simplesmentedeslocamento ou ainda, da terminologia em ingles: shift : edefinida por: ((s0, s1, s2,...)) = (s1, s2,...).

EXEMPLOS:

O que podemos dizer sobre as iteradas de ? Vejamos: 2((s0, s1, s2,...)) =

(((s0, s1, s2,...))) = ((s1, s2,...)) = (s2, s3,...)).

De forma geral podemos dizer que a n-esima iterada da aplicacao deslo-camento, desloca as entradas da sequencia, n posicoes para a esquerda.

Como podemos encontrar os pontos fixos, periodicos, eventualmente fixose eventualmente periodicos para ?? A resposta a estas perguntas e bemsimples. Tente responde-las vopce mesmo.

Nosso interesse na aplicacao se da principalmente por que ela faz a traducao

entre a dinamica em e a dinamica em . Assim, sera importante, por ex-emplo, sabermos se esta traducaoe feita de forma contnua, ou seja sepontos proximos em sao traduzidos em pontos proximos em . Paratal precisamos generalizar nossa nocao de continuidade para uma ideia mais

57


58/72

abstrata de tal conceito. Ou seja continuidade em espacos metricos. Vejamos

esta definicao:

DEFINICAO: Considere E e F espacos metricos, (ou seja, E = (E, d1)onde E e um conjunto nao nulo qualquer e d2 e uma metrica definida em Ee analogamente para F = (F, d2)). Seja f : E F uma funcao qualquer.Dizemos que f e contnua no ponto x0 E se, > 0 existe um > 0 talque, se d1(x, x0) < entao d2(f(x), f(x0)) < . Dizemos que f e contnua emE se f for contnua em todo ponto de E.

Vamos agora mostrar que a funcao e contnua em todo ponto de . Vamosseguir aqui a abordagem feita em sala de aula. Embora este caminho nao

seja o mais elegantecreio que vale a pena segui-lo por ele ter sido fruto doraciocnio escolhido pelos alunos. Inicialmente mostraremos a continuidadena origem 0 = (0, 0, 0,...)


> 0 > 0 / d1(x, 0) < d2((x), (0)) <

Vamos re-escrever a expressao acima numa forma mais palatavel:Considere > 0 um numero real fixado. Devemos exibir um numero realpositivo , (que possivelmente dependera do tal dado) de tal forma quepara qualquer x = (x1, x2,...) que satis

Documents

Apostila Sist Dinamicos