Modelagem Matematica de Sistemas Dinamicos

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CONTROLE LINEARCONTROLE LINEAR

Março / 2006

Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

Prof. Dr. Paulo Sérgio da [email protected]

Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

Sumário

• Introdução• Métodos de Determinação de Modelos Matemáticos• Método Analítico de Obtenção de Modelos Matemáticos• Modelagem Analítica de Sistemas Dinâmicos• Linearização de Modelos• Representação de Modelos no Espaço de Estado

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Introdução

• O objetivo da modelagem é determinar uma representação matematicamente tratável para um sistema físico.

• A essa representação damos o nome de modelo.• Portanto, um modelo é uma idealização da realidade que

retém suas principais característica e que ématematicamente tratável.

• A modelagem é uma etapa importante no projeto de sistemas de controle, posto que o êxito dessa tarefa dependerá do modelo criado para o sistema em questão.

• A modelagem matemática de um sistema dinâmico éconstituída por um conjunto de equações diferenciaisque representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de uma forma aceitável.


Métodos para Determinação de Modelos Matemáticos

• Existem dois métodos básicos de modelagem:

1) Modelagem Teórica (ou Analítica)Utiliza os princípios da física e da química para obter as equações diferenciais que regem o processo a ser modelado.

2) Modelagem Experimental (ou Empírica)Usa a observação direta dos dados operacionais do processo para obter as equações diferenciais que o descrevem.Geralmente, aplica-se uma sinal de entrada conhecido e mede-se a saída correspondente.

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosObtenção de Modelos Matemáticos de Sistemas• Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico

é gerado em duas etapas:1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo

comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real.Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída escolhidas.

2. Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações dinâmicas do modelo físico.Para tanto, as leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e de saída.

• Com o modelo matemático obtido analiticamente, pode-se estudar o comportamento dinâmico do sistema, através da solução das equações diferenciais que o descrevem e projetar estratégias de controle para obter-se o comportamento desejado.


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosModelo Físico: do Sistema Real ao Modelo Físico• Um modelo físico representa um sistema físico imaginário

que se assemelha ao sistema físico real em suas características mais importantes, mas que é mais simples (uma idealização) e, portanto, mais propício ao estudo.

• A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração.

• Os seguintes tipos de aproximação são possíveis:– Desprezar pequenos efeitos;– Assumir que o ambiente em torno do sistema não seja afetado por

ele;– Substituir características distribuídas por concentradas;– Assumir relações lineares de causa-e-efeito entre as variáveis

físicas;– Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo;– Desprezar incertezas e ruídos.

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosEquações Dinâmicas: do Modelo Físico ao Modelo Matemático

• Para obter as equações dinâmicas de um processo, os seguintes passos devem ser seguidos:

1. Definição das variáveis de entrada e de saída;2. Escrever as relações sistêmica (relações de equilíbrio

ou de compatibilidade inter-elementos);3. Escrever as relações constitutivas para cada

elemento (são puramente empíricas) ; e4. Combinar as relações obtidas, obtendo as equações

dinâmicas.


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas de Nível de Líquido• Sistemas de nível de líquido são aqueles que envolvem o

fluxo de fluidos e o seu armazenamento em tanques.• Um exemplo típico desse tipo de sistema é uma caixa

d’água com vazão de entrada e vazão de saída, sendo esse último regulado por uma válvula (Sistema Real).

Modelamento Físico• Pode-se imaginar para o sistema físico real o modelo físico

mostrado abaixo:

eQaP

sQH

R aPmP

eT ρe

mTm

Área do tanque = A

ρm

sTρs

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas de Nível de Líquido

Obtenção das Equações DinâmicasVariáveis utilizadas: Vazão, Q(t) e

Nível, H(t).

Equação de Sistema - balanço de massa:

mm AHρ=

m e e s sdm dHA Q Qdt dt

ρ ρ ρ⇒ = = −

Vamos assumir as seguintes:– A massa específica da água é constante, isto é, ρm = ρe = ρs ;– As dilatações térmicas do tanque são desprezível, portanto, sua

área é constante.

Então:e sQ QdH

dt A−

=



Equação Constitutiva - vazão por uma válvula como função da perda de pressão:

( )Para escoamento laminar: s v v m aQ C P C P P= ∆ = −

Para escoamento turbulento: s v v m aQ C P C P P= ∆ = −

Porém, sabendo que:

Para escoamento laminar: s vQ C g Hρ=

Para escoamento turbulento: s vQ C g Hρ=

vem:

m aP P g Hρ= +

Onde o parâmetro Cv é uma característica da válvula

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Equação Dinâmica - introduzindo a equação constitutiva na equação de sistema, temos:

Para escoamento laminar: e vQ C g HdHdt A

ρ−=

Para escoamento turbulento: e vQ C g HdHdt A

ρ−=

A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:– Parâmetro do sistema: Cv, ρ, g e A;– Variáveis externas a serem fornecida em função do tempo para que

a equação tenha solução: Qe(t);– Incógnita: H(t);– Condição inicial: H(0); e– Caso se tome dH(t)/dt = 0, tem-se o modelo estacionário.


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• Sistemas térmicos são aqueles que envolvem troca de

calor entre dois corpos.• Um exemplo típico desse tipo de sistema é uma tanque

para aquecimento de uma dada substância (Sistema Real).

Modelamento Físico• Pode-se imaginar para o sistema físico real o modelo físico

mostrado abaixo:

eq (t)

eT

sTmsT

Aquecedor

Misturador

sq (t)dm

Substância Fria

SubstânciaQuente

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos

Obtenção das Equações Dinâmicas• Hipóteses:

– O tanque é termicamente isolado;– Não há armazenamento de calor no isolamento;– O líquido no tanque está perfeitamente misturado, isto é, a

temperatura é uniforme e igual a temperatura de saída.• Variáveis utilizadas:

– Temperatura: T(t) [°C]– Quantidade de calor armazenado em um corpo: Q(t) [kcal]– Fluxo de calor: q(t) [kcal/s]

• Relações de Sistema:– Quando dois corpos de temperaturas diferentes são postos em

contato, fluirá calor do mais quente para o mais frio, até que as temperaturas do dois se igualem.

( )2 1( ) ( )( )

T t T tq t

R−

=



onde:R = 1/k = resistência térmica [s °C/kcal]k = constante de transmissão [kcal/s °C]

• Relações Constitutivas:– A taxa temporal de variação de temperatura de um corpo é

proporcional à diferença entre o fluxo de calor que entra no corpo menos o fluxo de calor que sai do corpo.

onde:C = capacidade (capacitância) térmica do corpo [kcal/°C] = m cm = massa do corpo [kg]c = calor específico do corpo [kcal/°C kg]

( ) ( )( ) e sq t q tdT tdt C

−=

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• Equação Dinâmica:

Em um intervalo de tempo dt, entra no tanque uma massa dm à temperatura Te < Ts.

Portanto, a massa m transfere calor para a massa dm.

Por outro lado, a massa m recebe calor do aquecedor.

Como dm é muito pequena quando comparada a m, a temperatura de dm varia de Te a Ts no intervalo de tempo dt.

Então, para a substância de saída (quente):

( ) ( ) ( )se s

dT tC q t q tdt

= −



Por outro lado, usando a relação de sistema:

( )( ) ( )( ) s e

s

T t T tq t

R−

=

Logo:

( )( ) ( )( ) ( ) s ese

T t T tdT tC q tdt R

−= −

( ) ( ) ( ) ( )ss e e

dT tRC T t R q t T tdt

+ = +

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:

– Parâmetro do sistema: C e R;– Variáveis externas a serem fornecida em função do tempo para que

a equação tenha solução: qe(t) e Te(t);– Incógnita: Ts(t);– Condição inicial: Ts(0); e– Caso de tome dTs(t)/dt = 0, tem-se o modelo estacionário.


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• No contexto desta disciplina, Sistemas Elétricos são

sistemas formados pela combinação de três elementos elétricos básicos: resistor, capacitor e indutor.

Modelamento Físico

• Os três componentes elétricos ideais são representados pelos seguintes símbolos:

Resistor:

Capacitor:

Indutor:

R

C

L

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Elétricos

Obtenção das Equações Dinâmicas

• Variáveis utilizadas:

Corrente: i(t) [A]

Tensão: v(t) [V]

• Relações de Sistema:

Lei de Kirchhoff das correntes: “a soma algébrica de todas as correntes que entram e que saem de um nó ézero.”

Lei de Kirchhoff das tensões: “a soma algébrica de todas as tensões ao longo de uma malha é zero.”



Capacitor:

0

( ) ( ) 1( ) ( ) (0)t

CC C

dV t i t ou V t i t dt Vdt C C

= = +∫onde C é a Capacitância [F]Indutor:

0

( ) 1( ) ( ) ( ) (0)t

L Ldi tV t L ou i t V t dt idt L

= = +∫onde L é a Indutância [H]

• Relações Constitutivas:Resistor:

( ) ( )RV t R i t=

onde R é a Resistência [Ohm]

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ExemploSeja o circuito elétrico abaixo. Obter a equação dinâmica que descreve o comportamento do sistema.

RL

Ci(t)EV (t) OV (t)



Relação de Sistema:

( ) ( ) ( ) ( )L R C EV t V t V t V t+ + =

Relações Constitutivas:

( )( )Ldi tV t Ldt

=0

1( ) ( ) (0)t

C CV t i t dt VC

= +∫( ) ( )RV t R i t=

Equação Dinâmica:

0

( ) 1( ) ( ) (0) ( )t

C Edi tL R i t i t dt V V tdt C

+ + + =∫

Como se está interessado em VC(t), substitui-se i(t) por:( )( ) CdV ti t C

dt=

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2

2( ) ( ) ( ) ( )C C

C Ed V t dV tLC RC V t V t

dt dt+ + =

• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:– Parâmetro do sistema: L, C e R;– Variáveis externas a serem fornecida em função do

tempo para que a equação tenha solução: VE(t);– Incógnita: VC(t);– Condição inicial: (0) (0)C CV e V&


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais• No contexto desta disciplina, Sistemas Mecânicos

Translacionais são aqueles construídos a partir da combinação de três componentes básicos, que representam idealizações de fenômenos físicos que ocorrem nos sistemas reais: massa, mola e amortecedor.

Modelamento Físico

• Os três componentes mecânicos ideais são representados pelos seguintes símbolos:

Massa:

Mola:

Amortecedor:

k

b

m

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais


• Variáveis utilizadas:Deslocamento Linear: y(t) [m]Velocidade Linear: v(t) [m/s] Aceleração Linear: a(t) [m/s2]Força: f(t) [N]

• Relações de Sistema:2ª Lei de Newton: “a soma de todas as forças externas agindo em uma massa é igual a força inercial agindo na mesma massa.”Lei dos Deslocamentos: “se dois corpos estão unidos, então os mesmos são forçados a se deslocarem com a mesma posição, velocidade e aceleração.”



Mola: obedece a lei de Hooke.

[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t k y t y t F t k y t y t= + − = − −

• Relações Constitutivas:

Massa: ( ) ( ) ( ) ( )IF t m a t m v t m y t= = =& &&

1m

2y1y

0>2 1y > y

2m

+

onde: F1(t) = força aplicada pela mola ao componenteconectado ao terminal 1.

F2(t) = força aplicada pela mola ao componenteconectado ao terminal 2.

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Amortecedor:

[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t b y t y t F t b y t y t= + − = − −& & & &

1mb

1 22y1y

0>2 1y > y

2m

+

onde:

F1(t) = força aplicada pelo amortecedor ao componenteconectado ao terminal 1.

F2(t) = força aplicada pela amortecedor ao componenteconectado ao terminal 2.


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais• Procedimento de Modelagem:

1. Arbitrar a direção e deslocamento linear para todo corpo Ou junção que puder possuir deslocamento diferente dos demais.

2. Supor 0 < y1 < y2 < … < yn

3. Para cada corpo (massa) obter o diagrama de corpo livre e aplicar a 2ª Lei de Newton.

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ExemploSeja o modelo físico abaixo para o amortecedor de um automóvel. Obter a equação dinâmica que descreve o comportamento do sistema (deslocamento da carroceria).

u(t)

y(t)2m

Y

U



Solução1. Arbitrar deslocamentos para todos os corpos e

junções.De acordo com a figura, escolheu-se y(t) e u(t) de forma que quando y = 0 e u = 0 o corpo está em equilíbrio estático sob a força da gravidade.Dessa maneira, a ação do peso está sendo compensada pela deflexão permanente da mola.

2. Assumir que y(t) > u(t)3. Diagrama de corpo livre para a massa

Na massa estão agindo duas forças externas, uma aplicada pela mola (FM) e outra pelo amortecedor (FA), e a força inercial (FI).Relação de Sistema: FI = FM + FA

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( ) ( )IF t m y t= &&

[ ]( ) ( ) ( )MF t k y t u t= − −

[ ]( ) ( ) ( )AF t b y t u t= − −& &


[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t u t k y t u t= − − − − ⇒&& & &

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t b u t k u t+ + = +&& & &


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:

– Parâmetro do sistema: m, b e k;– Variáveis externas a serem fornecida em função do

tempo para que a equação tenha solução:– Incógnita: y(t);– Condição inicial: (0) (0)y e y&

( ) ( )u t e u t&

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais• Sistemas Mecânicos Rotacionais são aqueles

construídos a partir da combinação de três componentes básicos, que representam idealizações de fenômenos físicos que ocorrem nos sistemas reais: massa em rotação (inércia), mola torcional e amortecedor rotacional.

Modelamento Físico

• Os três componentes mecânicos ideais são representados pelos seguintes símbolos:

Massa em rotação:

Mola torcional:

Amortecedor rotacional:

ωk

2θ1θω

b

b

1ω 2ω


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais

Obtenção das Equações Dinâmicas• Variáveis utilizadas:

Deslocamento Angular: θ(t) [rad]Velocidade Angular: ω(t) [rad/s] Aceleração Angular: α(t) [rad/s2]Torque: T(t) [N m]

• Relações de Sistema:Balanço de Torques: “a soma de todos os torques externos agindo em uma massa rotacional é igual ao Torque Inercial agindo na mesma massa.”Lei dos Deslocamentos: “se dois corpos estão unidos, então os mesmos são forçados a se deslocarem com a mesma posição, velocidade e aceleração angular.”

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m

ωr

• Relações Constitutivas:

Inércia:

( ) ( ) ( ) ( )IT t J t J t J tα ω θ= = = &&&

onde:

J = Momento de Inércia em torno do eixo de rotação.

= ∫ 2

Volume

J r dm

Para massa distribuída:



Mola Torcional:

[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T t k t t T t k t tθ θ θ θ= + − = − −

2Jk

2θ1θ0>2 1>θ θ

1J

onde: T1(t) = torque aplicado pela mola ao componenteconectado ao terminal 1.

T2(t) = torque aplicado pela mola ao componenteconectado ao terminal 2.

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Amortecedor Rotacional:

1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T t b t t T t b t tθ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦& & & &

0ω ω >2 1>

onde:

T1(t) = torque aplicado pelo amortecedor ao componenteconectado ao terminal 1.

T2(t) = torque aplicado pela amortecedor ao componenteconectado ao terminal 2.

1ω

b1J

2ω2J

b

1ω 2ω


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais• Procedimento de Modelagem:

1. Arbitrar a direção e deslocamento angular para todo corpo ou junção que puder possuir deslocamento diferente dos demais.

2. Supor 0 < θ1 < θ2 < … < θn

3. Para cada corpo (massa) obter o diagrama de corpo livre e aplicar a Lei de Balanço de Torques.

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ExemploSeja o modelo físico abaixo. Obter as equações dinâmicas que descrevem o comportamento do sistema.

T(t) é o torque externo aplicado ao sistema.

2b1θ 2θ θ3

1k 2k

1b

T

3b



Solução1. Arbitrar deslocamentos para todos os corpos e junções.

Adota-se θ1, θ2 e θ3 como mostrado na figura. 2. Assumir que: 0 < θ1 < θ2 < … < θn

3. Diagrama de corpo livre para a inércia J1

Em J1 estão agindo três torques externos: o aplicado (T), o devido ao atrito com a base (b1) e o devido ao atrito com J2(b2).

Relação de Sistema: TI (t) = T(t) + T1(t) + T2(t)Relações Constitutivas:

= &&θ1 1( ) ( )IT t J t ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦& &θ θ1 1 1 1 1( ) 0 ( ) ( )T t b t b t

⎡ ⎤= −⎣ ⎦& &2 1θ θ2 2( ) ( ) ( )T t b t t

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⎡ ⎤= − + − ⇒⎣ ⎦&& & & &θ θ θ θ1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t T t b t b t t

( )+ + − =&& & &θ θ θ1 1 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )J t b b t b t T t

• Diagrama de corpo livre para a inércia J2

Em J2 estão agindo três torques externos: o devido ao atrito com a base (b1), o devido ao atrito com J1 (b2) e o devido a mola (k1).

Relação de Sistema: TI (t) = T1(t) + T2(t) + T3(t)



Equações Constitutivas:

[ ]⎡ ⎤= − − − + − ⇒⎣ ⎦&& & & &θ θ θ θ θ θ2 2 1 2 2 2 1 1 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t b t b t t k t t

( ) [ ]+ + − + − =&& & &θ θ θ θ θ2 2 1 2 2 2 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0J t b b t b t k t t


= &&θ2 2( ) ( )IT t J t

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦& &θ θ1 1 2 1 2( ) 0 ( ) ( )T t b t b t

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦& &2 1θ θ2 2( ) ( ) ( )T t b t t

[ ]= −3 2θ θ3 1( ) ( ) ( )T t k t t

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais• Diagrama de corpo livre para a inércia J3

Em J3 estão agindo três torques externos: o devido ao atrito com a base (b3), o devido a primeira mola (k1) e o devido a segunda mola (k2).

Relação de Sistema: TI (t) = T1(t) + T2(t) + T3(t)

Equações Constitutivas:= &&θ3 3( ) ( )IT t J t

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦& &θ θ1 3 3 3 3( ) 0 ( ) ( )T t b t b t

[ ]= − −3 2θ θ2 1( ) ( ) ( )T t k t t

[ ]= − = −3 3θ θ3 2 2( ) 0 ( ) ( )T t k t k t



• A análise da equações dinâmicas revela os seguintes fatos:– Parâmetro do sistema: J1, J2, J3, b1, b2, b3, k1 e k2;– Variáveis externas a serem fornecida em função do

tempo para que a equação tenha solução: T(t)– Incógnitas: θ1(t), θ2(t) e θ3 (t),– Condições iniciais: θ θ θ θ θ θ& & &

1 1 2 2 3 3(0), (0), (0), (0), (0) (0)e

[ ]= − − − − ⇒&& &θ θ θ θ θ3 3 3 3 1 3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t b t k t t k t

( )+ + + − =&& &3 3 3 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0J t b t k k t k tθ θ θ θ


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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos• Sistemas Eletromecânicos são sistemas que convertem

energia elétrica em mecânica e vice-versa.• São extensivamente utilizados em engenharia e

automação.• Exemplos:

– Motores– Geradores– Sensores– Microfones– Alto-Falantes


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos

ExemploSeja um sistema composto por um motor de corrente contínua acionando uma carga, conforme o modelo físico mostrado abaixo.Obter as equações dinâmicas que descrevem o comportamento do sistema.

ARAL

Ai (t)Av (t)Mv (t)

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• Variáveis utilizadas:

Corrente: iA(t) [A]

Tensão: vA(t) [V]

Velocidade de rotação: ω(t) [rad/s]

• Relações de Sistema:

+ + =( ) ( ) ( ) ( )L R M Av t v t v t v tMotor:

Carga: = +( ) ( ) ( )I bT t T t T t




Motor:

ω ω=( ) ( )Mv t k t

Carga:

=( ) ( )m AT t k i t

=( )( ) A

L Adi tv t L

dt=( ) ( )R A Av t R i t

= &( ) ( )IT t J tω = −( ) ( )bT t b tω

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Equações Dinâmicas:

Motor:

Carga:

[ ] [ ]ωω ω ω+ + + + =&& &( ) ( ) ( ) ( )A A A A m m AJ L t bL J R t bR k k t k v t

ω ω+ + =( ) ( ) ( ) ( )A

A A A Adi tL R i t k t v t

dt

ω ω+ − =( ) ( ) ( ) 0m A

d tJ b t k i tdt

Eliminando iA(t):


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:

– Parâmetro do sistema: LA, RA, Kω, Km, J– Variáveis externas a serem fornecida em função do

tempo para que a equação tenha solução: vA(t)– Incógnitas: ω(t)– Condições iniciais: ω ω&(0) (0)e

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Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Hidráulicos e Pneumáticos• Serão vistos nas disciplinas:

– Acionamento de Sistemas Hidráulicos e Pneumáticos e– Modelagem de Sistemas Mecânicos


Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosAtraso de Transporte• Seja o sistema abaixo:

eQaP

sQH

R aPmP

eT ρe

mTm

Área do tanque = A

ρm

sTρs

• Suponha que ocorra uma variação em Te.• É intuitivo que deva existir um período de tempo durante o qual não se

verifica qualquer modificação de Ts, pois o fluido leva um certo tempo para se deslocar da saída do tanque até o sensor.

• A esse intervalo, relacionado com o transporte de massa ou energia de um ponto a outro do processo e durante o qual a perturbação ainda não chegou ao ponto observado, dá-se o nome de atraso de transporte, tempo morto, atraso puro, dead time ou pure time delay.

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Linearização de Modelos

• O estudo de sistemas lineares é importante porque mesmo equações não-lineares podem ser linearizadas em torno de condições operacionais estacionárias.

• As equações linearizadas descrevem adequadamente a resposta dinâmica do sistema em alguma região em torno das condições estacionárias.

• A extensão da região, a qual está relacionada com a precisão da aproximação linear, depende do tipo de não-linearidade e da magnitude da perturbação imposta ao sistema.

• O quanto uma solução linear se aproxima da realidade somente pode ser determinado por comparação com a solução da equação original.


Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Uma Variável• Considere um sistema com entrada u(t) e saída y(t).• Seja a relação entre u(t) e y(t) dada pela função não-linear

y(t) = f(u(t))

• Se o ponto estacionário de operação corresponde à:

= =

= = + − + − +2

22

1( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ...2!

o o

o o ou u u u

df d fy t f u t f u u u u udu du

então a equação que descreve a dinâmica do sistema pode ser expandida em uma Série de Taylor em torno desse ponto:

=( ) ( ( ))o oy t f u t

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Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Uma Variável

• Se a variação em torno do ponto de operação for pequena, podemos desprezar as derivadas de ordem maior que 1.

• Então teremos a seguinte aproximação linear para a função:

=

≅ + −( ) ( ) ( ( ) ( ))o

o ou u

dfy t y t u t u tdu

=

∆ ≅ ∆( ) ( )ou u

dfy t u tdu


Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Uma Variável

( )f u

u

= ( )o oy f u

ou

=

inclinação =ou u

dfdu

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Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável• Seja y(t) uma função não-linear de duas variáveis, u1(t) e

u2(t), isto é, y(t) = f(u1(t),u2(t)).• Se o ponto estacionário de operação corresponde à:

∂ ∂= = + − + − +

∂ ∂

∂ ∂+ − + − +

∂ ∂

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 21 2, ,

2 22 2

1 1 2 22 21 2, ,

( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ...2! 2!

o o o o

o o o o

o o ou u u u

o o

u u u u

f fy t f u u f u u u u u uu u

f fu u u uu u

então a equação que descreve a dinâmica do sistema pode ser expandida em uma Série de Taylor em torno desse ponto:

= 1 2( ) ( ( ), ( ))o oy t f u t u t


Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável• Supondo que as variações em torno do ponto de operação

são pequenas, podemos desprezar as derivadas de ordem maior que 1.

• Então teremos a seguinte aproximação linear para a função:

∂ ∂≅ + − + −

∂ ∂1 2 1 2

1 2 1 1 2 21 2, ,

( ) ( , ) ( ) ( )o o o o

o o o ou u u u

f fy t f u u u u u uu u

∂ ∂∆ ≅ ∆ + ∆

∂ ∂1 2 1 2

1 21 2, ,

( ) ( ) ( )o o o ou u u u

f fy t u t u tu u

30


Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável

• Exemplo: Linearizar a função abaixo em torno do ponto de operação especificado. Avaliar o erro de utilização da aproximação quando u1 = 5 e u2 = 10.

= = = =1 2 1 2 1 2( , ) com 6 11o oy f u u u u u e u

Solução: a aproximação linear será:

= + − + −1 1 1 2 2 2( ) ( )o o oy y k u u k u u

onde:

= ⋅ = ⋅ =1 2 6 11 66o o oy u u


Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável

logo:

===

=

∂= = =∂ 1

212

61 21161

11

11uuu

u

fk uu

===

=

∂= = =∂ 1

212

62 11162

11

6uuu

u

fk uu

= + ⋅ − + ⋅ −1 266 11 ( 6) 6 ( 11)y u u

Avaliação do erro quando u1 = 5 e u2 = 10:

Pela função real temos y = 5 •10 = 50

Pela função aproximaday = 66 +11(5 – 6) + 6 (10 –11) = 49 ⇒ erro = -2%

31


Linearização de ModelosExemplo: Mola não-linear

• Obs.: o gráfico da força mostra somente sua intensidadeem função da compressão ou distensão da mola, mas não a sua direção.


Linearização de ModelosExemplo: Mola não-linear• O ponto de operação é a posição de equilíbrio que ocorre

quando a força da mola equilibra a força gravitacional.Assim,

of Mg=

Portanto, para a mola não-linear com f =y2, a posição de equilíbrio será:

( )1/ 2oy Mg=

E o modelo linear para pequenos desvios será:

f m y∆ = ∆onde

2o

oy

dfm ydy

= =

32



Então, a equação que descreve o movimento da massa será

( ) ( )M y t f t∆ = −∆&&

( ) 2 ( )oM y t y y t∆ = − ∆&&

( ) 2 ( ) 0oM y t y y t∆ + ∆ =&&



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

2.5

3

3.5

4

4.5Sistema Massa-Mola: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para M = 1kg

Tempo [s]

y(t)

[m]

Nao-LinearEquilibrioLinearizado

33


Linearização de ModelosExemplo: Pêndulo



• A condição de equilíbrio para a massa é

0 0o oe Tθ = =o

O Torque aplicado a massa pela força gravitacional éT M g L senθ= −

E o modelo linear para pequenos desvios será:

coso

odsenT M g L M g L M g L

d θ

θ θ θ θ θθ

∆ = − ∆ = − ∆ = − ∆

ou, como To e θo, então:

T M g Lθ= −

34



Então, a equação que descreve o movimento da massa será

( ) ( )J t T tθ∆ = ∆&&

( )J t M g Lθ θ∆ = − ∆&&

( ) 0J t Mg Lθ θ+ =&&

mas2J M L=

logo( ) 0gt

Lθ θ+ =&&



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Sistema Pendulo: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para L = 1m

Tempo [s]

Thet

a(t)

[gra

us]

Nao-LinearLinearizado

35



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-30

-20

-10

0

10

20

30

40Sistema Pendulo: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para L = 1m

Tempo [s]

Thet

a(t)

[gra

us]

Nao-LinearLinearizado


Modelos no Espaço de EstadosIntrodução• Forma de representação utilizada na Teoria de Controle

Moderno:– Iniciada por volta de 1960;– Criada para tratar de sistema MIMO e variantes no

tempo;– É centrada no domínio do tempo;– É baseada no conceito de estado.

36


Modelos no Espaço de EstadosDefinições• Variáveis de Estado (VE): é o menor conjunto de

variáveis tal que uma vez conhecidos os seus valores em t = t0, a descrição do comportamento do sistema é feita de modo único para todo t ≥ t0.

• O Estado de um sistema em um instante t, é o conjunto de valores das VE em t.

• Vetor de Variáveis de Estado: o conjunto de variáveis de estado de um sistema pode ser considerado como sendo um vetor (coluna) x(t) de dimensão n x 1.

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tnt x t x t x t=x


Modelos no Espaço de EstadosDefinições• Equações dinâmicas: denominação dada ao conjunto de

equações que descreve as real ações entre entradas, saídas e estado.Seja um sistemas com n variáveis de estado, r entradas e m saídas.Então, o sistema pode ser descrito pelas seguintes equações:

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )

.

.

.( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )

n r

n r

n n n r

x t f x t x t x t u t u t u t tx t f x t x t x t u t u t u t t

x t f x t x t x t u t u t u t t

==

=

&

&

&

37


Modelos no Espaço de EstadosDefinições

Definindo-se

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

.

.

.( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

n r

n r

m m n r

y t g x t x t x t u t u t u t ty t g x t x t x t u t u t u t t

y t g x t x t x t u t u t u t t

==

=

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tnt x t x t x t nx1=x

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Trt u t u t u t rx1=u

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tmt y t y t y t mx1=y



1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

( , , )...

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

n r

n r

n n r

f x t x t x t u t u t u t tf x t x t x t u t u t u t t

t nx1

f x t x t x t u t u t u t t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

f x u

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

( , , )...

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

n r

n r

m n r

g x t x t x t u t u t u t tg x t x t x t u t u t u t t

t mx1

g x t x t x t u t u t u t t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

g x u

Pode-se escrever:( ) ( , , ) ( )( ) ( , , ) ( )t (t) (t) tt (t) (t) t==

x f x u Equação de Estadoy g x u Equação de Saída&

38



Se o sistema for linear, pode-se escrever:

( , , )( , , )

(t) (t) t (t) (t) (t) (t)(t) (t) t (t) (t) (t) (t)

= += +

f x u A x B ug x u C x D u

então:

( )( )( )( )

tttt

≡≡≡≡

A Matriz de Estado B Matriz de Entrada C Matri

( )( )

(z de Saída D Matriz de Transmi

)(ã )ss o

n x nn x r

m x nm x r

onde:

(t) (t) (t) (t) (t)(t) (t) (t) (t) (t)= += +

x A x B uy C x D u&



Portanto, a estrutura básica de representação de um sistema linear em VE é a seguinte:

(t)D

(t)A

(t)B (t)C∫dt++ ++r(t)u

(t)x& (t)x (t)y

r m

n

n

n

n

n m m

m x r

n x r

n x n

m x n

39



Se o sistema, além de linear, possuir parâmetros invariantes no tempo, tem-se:

e são matrizesA B C D constantes, ,

onde:

(t) (t) (t)(t) (t) (t)= += +

x A x B uy C x D u&


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Nesta seção será apresentado um método para obter-se a

representação no Espaço de Estado (E) de Equações Diferenciais Lineares (EDL).

• Utilizando a notação vetorial-matricial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representada por uma equação diferencial vetorial-matricial de primeira ordem, isto é, por n equações diferenciais de primeira ordem.

• Seja a EDL genérica:

( ) ( -1)

1 1 0( ) ( -1)

1 1 0

( ) ( ) ... ( ) ( )(1)

( ) ( ) ... ( ) ( )

n n

nn n

n n

y t a y t a y t a y t

b u t b u t b u t b u t

−

−

+ + + + =

= + + + +

&

&

40


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Definindo:

1 0

2 1 1 0 1

3 2 2 0 1 2

1 1 2

1 1 0 1 2 1

( ) ( ) ( ) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (5)n n n

n n n n n

x t y t u tx t x t u t y t u t u tx t x t u t y t u t u t u t

x t x t u t y t u t u t u t u t

ββ β ββ β β β

β β β β β− − −

− − − −

−− = − −− = − − −

− = − − − − −

& & &

& && && &

M

& &


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Então a EDL original pode ser escrita como:

1 2 1

2 3 2

3 4 3

1 1

0 1 1 2 2 3 1

( ) ( ) ( ) (6)( ) ( ) ( ) (7)( ) ( ) ( ) (8)

( ) ( ) ( ) (9)( ) ... ( ) (10)

n n n

n n n n

x t x t u tx t x t u tx t x t u t

x t x t u tx t a x a x a x a x u t

βββ

ββ

− −

−

= += += +

= += − − − − − +

&

&

&

M

&

&

com a saída dada por

1 0( ) ( ) ( )y t x t u tβ= +

41


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Onde:

0

1 1 1 0

2 2 1 1 2 0

0 1 1 2 2 3 3 1 1 0 0

(11)(12)(13)

... (14)

n

n n

n n n

n n n n n n n

bb ab a a

b a a a a a

ββ ββ β β

β β β β β β

− −

− − −

− − − − − −

== −= − −

= − − − − − −

M

• Ou seja:

1

(15)i

i n i n j i jj

b aβ β− − −=

= −∑


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Ou, na forma matricial:

( ) ( ) ( )t t u t= +x A x B&

onde

1 1

2 2

1 1

0 1 2 11 1

( ) 0 1 . . . 0 0( ) 0 0 . . . 0 0. . . . . .

( ) . . . . . .. . . . . .( ) 0 0 . . . 0 1

( )n n

n n n nn x n x n n x

x tx t

t

x tx t a a a a

ββ

ββ

− −

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x A B

( ) ( ) ( )y t t u t= +Cx D

42


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE

[ ][ ]

1

0 1 1

1 0 . . . 0 0x n

xβ

=

=

C

D



Para obter a equação (10)

Derivar (5) para obter a derivada n-ésima de y(t):

1

0 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (16)n n n

n n nx t y t u t u t u t u tβ β β β−

− −= − − − − −& && &

A n-ésima derivada de y(t) pode ser obtida de (1) como sendo

( ) ( -1)

1 1 0( ) ( -1)

1 1 0

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (17)

n n

nn n

n n



−

−

= − − + − +

+ + + + +

&

&

43



Substituindo (17) em (16):

( ) ( )

( ) ( )

( 1)

1 1 0( ) ( 1)

0 1 1

2 2 1 1 0

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (18)

n

n nn n

n n

n n

x t a y t a y t a y t

b u t b u t

b u t b u t b u t

β β

β β

−

−

−

−

− −

= − − + − +

+ − + − + +

+ − + − +

& &

L

&& &

As demais derivadas de y(t) são obtidas de (2), (3), ..., (5) e substituídas em (18), produzindo (10) quando os βi são escolhidos de acordo com (15).


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Obter a representação no EE da seguinte EDLIT.

( ) 6 ( ) 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )y t y t y t y t u t+ + + =&&& && &

Solução:

Como não existem derivadas da variável de entrada, então:

0 1 2 3 00 e bβ β β β= = = =

logo1

1 2

2 3

3 0 1 1 2 2 3 3

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y t x t ex t x tx t x tx t a x a x a x u tβ

==== − − − +

&

&

&

44



tem-se

[ ] [ ]

1 1

2 2

3 3

1

2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0( ) ( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 10 5 6 ( ) 10

( )( ) 1 0 0 ( ) 0 ( )

( )

x t x tt x t x t u t

x t x t

x ty t x t u t

x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x&

& &

&

como

0 1 2 010 5 6 10a a a e b= = = =



( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t u t+ + =&& &

Solução:

Como não existem derivadas da variável de entrada, então:

0 1 2 00 e bβ β β= = =

logo1

1 2

2 0 1 1 2 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y t x t ex t x tx t a x a x u tβ

=== − − +

&

&

45



tem-se

[ ] [ ]

1 1

2 2

1

2

0 1 0( ) ( )( ) ( )1( ) ( )

( )( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x tt u tk bx t x t

m m m

x ty t u t

x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

x&

&&

como

0 1 01k ba a e b

m m m= = =



Solução: A equação deve ser reescrita na forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t b u t k u t+ + = +&& & &

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b k b ky t y t y t u t u tm m m m

+ + = +&& & &

Portanto,

0 1 0 1 2 0k b k ba a e b b bm m m m

= = = = =

46



Assim,

Então,

0 2

1 1 1 0

2

2 0 1 1 0 0

0

0

0

bb b bb am m m

k b b k k bb a am m m m m m

β

β β

β β β

= =

= − = − ⋅ =

⎛ ⎞= − − = − ⋅ − ⋅ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 1 1

1 2 1 2

2

2 0 1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y t x t u t x t u t x t ebx t x t u t x t u tm

b k k bx t a x a x u t x x u tm m m m

β

β

β

= + = + =

= + = +

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − + = − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

&

&



Logo,

[ ] [ ]

1 12

2 2

1

2

0 1( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) 1 0 0 ( )

( )

bx t x t m

t u tk bx t x t k bm m m m

x ty t u t

x t

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

x&

&&

47


Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• Caso a EDL seja função de mais de uma variável de

entrada, por exemplo, u1(t) e u2(t) então:( ) ( -1)

1 1 0

( ) ( -1)

,1 1 1,1 1 1,1 1 0,1 1

( ) ( -1)

,2 2 1,2 2 1,2 2 0,2 2

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (1)

( ) ( ) ... ( ) ( )

n n

n

n n

n n

n n

n n




−

−

−

+ + + + =

+ + + + +

+ + + +

&

&

&

• Como a equação é linear, a solução y(t) pode ser decomposta em duas parcelas, uma devido a u1(t) e outra devido a u1(t).


Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• Denominando y1(t) a parcela devido a u1(t) e y2(t) a devido

a u2(t), a EDL original produz as seguintes duas equações:

( ) ( -1)

1 1 1 1 0 11( ) ( -1)

,1 1 1,1 1 1,1 1 0,1 1

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (2)

n n

n

n n

n n



−

−

+ + + + =

+ + + +

&

&

( ) ( -1)

1 2 1 2 0 22( ) ( -1)

,2 2 1,2 2 1,2 2 0,2 2

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (3)

n n

n

n n

n n



−

−

+ + + + =

+ + + +

&

&

48


Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• A solução da equação (2) é:

1 1 1 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( )(4)

( ) ( ) ( )

t t u t

y t t u t

= +

= +

x A x B

Cx D

&

onde1,1

2,1

1

1,1

,10 1 2 1 1

0 1 . . . 0 00 0 . . . 0 0

.. . . .

.. . . .

.. . . .0 0 . . . 0 1 n

nn n n x n n xa a a a

ββ

ββ

−

− −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B

[ ] 1 0,11 1 11 0 . . . 0 0

x n xβ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦C D


Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• A solução da equação (3) é:

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )(5)

( ) ( ) ( )

t t u t

y t t u t

= +

= +

x A x B

Cx D

&

onde1,2

2,2

2

1,2

,20 1 2 1 1

0 1 . . . 0 00 0 . . . 0 0

.. . . .

.. . . .

.. . . .0 0 . . . 0 1 n

nn n n x n n xa a a a

ββ

ββ

−

− −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B

[ ] 2 0,21 1 11 0 . . . 0 0

x n xβ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦C D

49


Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• Combinando as equações (4) e (5):

( ) [ ]

( ) [ ]

1 2 1 1 1 2 2 2

11 2 1 2

2

11 2 1 2 1 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

t t t t u t t u tu t

t tu t

t t

u ty t y t y t t t

u t

t t

= + = + + +

⎡ ⎤= + + ⎢ ⎥

⎣ ⎦= +

⎡ ⎤= + = + + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= +

x x x A x B A x B

A x x B B

A x Bu

C x x D D

Cx Du

& & &


Modelos no Espaço de EstadosGeneralização

onde

[ ]

[ ]

1,1 1,2

2,1 2,2

11 2

2

1,1 1,2

,1 ,2 2

1 2 0,1 0,2 1 2

. .( )

. .( )( )

. .

n n

n n n x

x

u tt

u t

β ββ β

β ββ β

β β

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= = ⎣ ⎦

u B B B

D D D

50


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Um circuito elétrico pode ser representado pelo

seguinte sistema de EDLIT:

Obter a representação desse sistema de EDLI no EE assumindo a saída como sendo a corrente i1(t).

( )

( )

11 2 1

2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

1 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2)c

di tL R i t i t u tdt

i t dt v R i t i t u tC

+ − =

+ − − = −∫

Solução: A equação (2) pode ser reescrita na forma

1 2 22

1 ( ) ( ) ( )( ) (3)di t di t du ti t RC dt dt dt

⎛ ⎞− − = −⎜ ⎟⎝ ⎠



Isolando i2(t) em (1)

(4) em (3) fornece

12 1 1

( ) 1( ) ( ) ( ) (4)L di ti t i t u tR dt R

= + −

11 1

1 1 21 1

( ) 1( ) ( )1 ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )

L di td i t u tL di t di t du tR dt Ri t u t R

C R dt R dt dt dt

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟+ − − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

21 1 1 1 1 2

1 1 2

21 1 1 2

1 12

( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 1 1 ( ) ( )( ) ( )

L di t di t d i t di t du t du ti t u t R L RRC dt C RC dt dt dt dt dt

d i t L di t du t du tL i t u tdt RC dt C RC dt dt

⎛ ⎞+ − − − − + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

51



Chamando i1(t) de y(t) em (5) e dividindo por L,

Portanto

1 1 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6)y t y t y t u t u t u tRC LC L RC L

⎛ ⎞+ + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

&& & & &

0 1

0,1 1,1 2,1

0,2 1,2 2,2

1 1

1 1 0

10 0

a aLC RC

b b b eRC L

b b bL

= =

= = =

= = − =

21 1 1 2

1 12

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) (5)d i t L di t du t du tL i t u tdt RC dt C dt RC dt

⎛ ⎞+ + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠



Assim,

0,1 2,1

1,1 1,1 1 0,1

2,1 0,1 1 1,1 0 0,1

01 1 10

1 1 1 1 1 10

b

b aL RC L

b a aRC RC L LC RC RLC

β

β β

β β β

= =

= − = − ⋅ =

= − − = − ⋅ − ⋅ = −

0,2 2,2

1,2 1,2 1 0,2

2,2 0,2 1 1,2 0 0,2

01 1 10

1 1 1 10 0

b

b aL RC L

b a aRC L LC RLC

β

β β

β β β

= =

= − = − − ⋅ = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − ⋅ − − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

52



Logo,

[ ] [ ]

1 1

2 2

1

2

1 10 1( ) ( )

( ) ( )1 1 1 1 1( ) ( )

( )( ) 1 0 0 0 ( )

( )

x t x t L Lt tx t x t

LC RC RC RLC RLC

x ty t t

x t

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞− − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

x u

u

&&

&


Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Resolver o exemplo anterior supondo agora que

a saída do sistema é a tensão no resistor, isto é R(i1(t)-i2(t)).

Solução: As equações (1) e (2) podem ser reescritas na forma:

11

2 22 2

2 2

( ) 1 1( ) ( ) (7)

( ) ( ) ( ) (8)

di t y t u tdt L L

di t d y t d u tC Cdt dt dt

+ =

+ = −

Subtraindo (8) de (7) tem-se:2 2

212 2

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) (9)dy t d y t d u ty t C u t CR dt L dt L dt

+ − = +

53



Rearranjando (9):

2 22

12 2

( ) 1 ( ) 1 1 ( )( ) ( ) (10)d y t dy t d u ty t u tdt RC dt LC LC dt

− − = − −

Portanto

0 1

0,1 1,1 2,1

0,2 1,2 2,2

1 1

1 0 0

0 0 1

a aLC RC

b b b eLC

b b b

= − = −

= − = =

= = = −



Assim,

0,1 2,1

1,1 1,1 1 0,1

2,1 0,1 1 1,1 0 0,1

010 0 0

1 1 1 10 0

b

b aRC

b a aLC RC LC LC

β

β β

β β β

= =

= − = + ⋅ =

= − − = − + ⋅ + ⋅ = −

0,2 2,2

1,2 1,2 1 0,2

2

2,2 0,2 1 1,2 0 0,2

11 10 ( 1)

1 1 1 1 10 ( 1)

b

b aRC RC

b a aRC RC LC LC RC

β

β β

β β β

= = −

= − = + ⋅ − = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − ⋅ − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

54



Logo,

[ ] [ ]

1 12

2 2

1

2

100 1( ) ( )( ) ( )1 1( ) ( ) 1 1 1

( )( ) 1 0 0 1 ( )

( )

x t x t RCt t

x t x tLC RC LC LC RC

x ty t t

x t

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

x u

u

&&

&


Transição entre Modelos

Equações Diferenciais

Espaço deEstados

Função de Transferência

Transformada de Laplace (TL)

Linearização

Condições Iniciais NulasTransformada de Laplace Inversa (TL)

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