Introdução

A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que lida modelos de fenômenos ale-atórios. Intimamente relacionado com a teoria de probabilidade está a Estatística, que se preo-cupa com a criação de princípios, métodos e critérios a fim de tratar dados relativos fenômenosaleatórios ou dados experimentais e outras observações do mundo real.

A teoria de probabilidade teve inicio com os jogos de azar no seculo XVI, mas sua teoriaaxiomática, só veio em 1930 com o matemático soviético Kolmogorov. A teoria elementar daprobabilidade é baseada na teoria de conjuntos.

Na natureza é comum encontrarmos situações que envolvem um elemento de incerteza, oualeatoriedade. Essas situações são denominadas fenômenos ou experimentos aleatórios. Osmodelos de probabilidade, visam descrever experimentos aleatórios, isto é, experimentos quepodem ser repetidos (indefinidamente) e onde os resultados futuros não pode ser exatamenteprevisto, devido à aleatoriedade, mesmo que o experimento seja totalmente controlado.

A fundação de estatísticas encontra-se na ideia de um experimento aleatório. Um expe-rimento é chamado aleatório se seu resultado não pode ser predito precisamente porque ascondições em que é realizado não podem ser predeterminadas com precisão suficiente.

Exemplos:Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. Resultados possíveis

1, 2, 3, 4, 5, 6

Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem re-posição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas.Resultados possíveis 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. Resultados possíveis[0,∞)

1

TEORIA DE CONJUNTOS

Um conjunto é qualquer coleção bem definida de objetos, chamados elementos. São exem-plos de conjuntos:

• O conjunto de todos os números inteiros,

• O conjunto de todos os alunos da UFMT

• O conjunto de todos os seres humanos vivos atualmente,

• O conjunto de todos os números reais maiores que zero e menores que 1,

• O conjunto de todos os jogadores da atual seleção

• O conjunto de todas as letras do alfabeto romano.

Conjuntos são representados por letras maiúsculas: A,B,C, S, e os elementos de um con-junto são representados por letras minúsculas: a, b, x, y.. Em geral, podemos especificar umconjunto descrevendo os seus elementos por meio de uma condição ou então enumerando osseus elementos.

Exemplo 1.1: Seja A o conjunto de todos o números inteiros maior que 5. Este conjuntopode ser representado por:

A = x ∈ N|x > 5

onde se lê: x pertence ao conjunto dos numero naturais tal que x seja maior que 5.

Exemplo 1.2: Seja B o conjunto de todos as cores da bandeira do Brasil.

B = verde, amarelo, azul, branco

Podemos definir um conjunto de diversas formas. Se um conjunto tem poucos elementos,podemos listá-los, um a um, em qualquer ordem, entre chaves. Por exemplo, o conjunto cujoselementos são os números inteiros 2, 3 e 5 pode ser escrito A = 2, 3, 5. Assim, por exemplo,temos que 3 ∈ A, mas 4 6∈ A.

Existem alguns conjuntos de números que são muito usados em matemática, e tem notaçõesconvencionais bem estabelecidas:

Teoria de Conjuntos 3

• o conjunto dos números naturais N = 0, 1, 2, 3, 4, ...

• o conjunto dos números inteiros Z = ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

• o conjunto dos números racionais Q = x = ab/a, b ∈ Z e b > 0

• o conjunto dos números irracionais I = x|x 6∈ Q

• o conjunto dos números reais R = x|x ∈ Q ou x ∈ I

Definição 1.1: O Espaço Amostral, representado por Ω, é o conjunto de todos os resultadospossíveis de um experimento aleatório.

Exemplo 1.3: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. Ω =

(0, 1, 2, 3, 4).

• 0 - 1 possibilidade (Co,Co,Co,Co);

• 1 - 4 possibilidades (Co,Co,Co,Ca); (Co,Co,Ca,Co); (Co,Ca,Co,Co); (Ca,Co,Co,Co);

• 2 - 6 possibilidades (Co,Co,Ca,Ca); (Co,Ca,Co,Ca); (Co,Ca,Ca,Co); (Ca,Co,Co,Ca); (Ca,Co,Ca,Co);(Ca,Ca,Co,Co)

• 3 - 4 possibilidades (Co,Ca,Ca,Ca); (Ca,Co,Ca,Ca); (Ca,Ca,Co,Ca); (Ca,Ca,Ca,Co);

• 4 - 1 possibilidades (Ca,Ca,Ca,Ca)

Exemplo 1.4: Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então um pos-sível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto é, Ω = [0,∞)

Definição 1.2: Conjunto vazio, representado por ∅ é o único conjunto que não possuielementos.

Definição 1.3: Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A é elemento de B, então A échamado um subconjunto deB, ou seja, A ⊂ B, essa representação pode se escrita da seguinteforma:

A ⊂ B ≡ ∀x[(x ∈ A)→ (x ∈ B)]

Definição 1.4: Qualquer subconjunto A do espaço amostral Ω, isto é A ⊂ Ω, ao qualatribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório.

1.1 OPERAÇÕES DE CONJUNTOS

Definição 1.5: A união de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A ∪ B, é oconjunto dos elementos x tais que x pertence a pelo menos um dos dois conjuntos A e B. Ouseja:

A ∪B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B

Teoria de Conjuntos 4

Teorema 1.1: Propriedade da União. Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos deX . Então temos:

a) O elementos neutro A ∪∅ = A

Demonstração. Seja x ∈ A ∪∅⇔ x ∈ A ou x ∈ ∅⇔ x ∈ A. Logo A ∪∅ = A

b) Lei de idempotência A ∪ A = A

Demonstração. Seja x ∈ A ∪ A⇔ x ∈ A ou x ∈ A⇔ x ∈ A. Logo A ∪ A = A

c) Lei comutativa A ∪B = B ∪ A

Demonstração. Seja x ∈ A ∪ B. Então por definição de união x ∈ A ou x ∈ B,o que éequivalente a x ∈ B ou x ∈ A, assim, A ∪B = B ∪ A

d) Lei associativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

Demonstração. Seja x ∈ A∪(B∪C)⇔ x ∈ A ou x ∈ (B∪C), e x ∈ (B∪C)⇔ x ∈ Bou x ∈ C. Assimx ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ou (x ∈ B ou x ∈ C)x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ (x ∈ A ou x ∈ B) ou x ∈ Cx ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ (x ∈ A ∪B)ou x ∈ Cx ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ (x ∈ A ∪B) ∪ CLogo A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

Definição 1.6: A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A ∩ B, é oconjunto dos elementos x tais que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Ou seja:

A ∩B ⇔ x ∈ A e x ∈ B

dizemos que A e B são conjuntos disjuntos, se

A ∩B = ∅

Teorema 1.2: Propriedade da Intersecção Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntosde X . Então temos:

a) O elementos neutro A ∩X = A

b) Lei de idempotência A ∩ A = A

c) Lei comutativa A ∩B = B ∩ A

Teoria de Conjuntos 5

d) Lei associativa A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

As demonstrações das propriedades da intersecção são análogas a da união.

Teorema 1.3: Leis distributivas. Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X .Então temos:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Demonstração. Seja x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ x ∈ A e x ∈ (B ∪ C). Assimx ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ x ∈ A e (x ∈ B ou x ∈ C)

x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ (x ∈ A e x ∈ B) ou (x ∈ A e x ∈ C)

x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ (x ∈ A ∩B) ou (x ∈ A ∩ C)

x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ (x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Logo A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A demostração da segunda parte é análoga.

Definição 1.7: Seja A um de subconjunto Ω o seu complementar, é o conjunto Ac, doselementos que não pertencem a A.

Ac = x ∈ Ω|x 6∈ A

Teorema 1.4: Seja A um subconjunto de Ω, e Ac o seu complementar. Então temos:

• A ∩ Ac = ∅

Demonstração. Seja x ∈ Ω, tal que x ∈ A, por definição se x ∈ A então x 6∈ Ac, logonão existe um elemento x, tal que x ∈ A e x ∈ Ac, ou seja A ∩Ac não possui elementos,e assim A ∩ Ac = ∅.

• A ∪ Ac = Ω

Demonstração. Por definição temos que se A ⊂ Ω então Ac ⊂ Ω, assim Ω contém todosos elementos de A e Ac, então não existe um elemento de Ω que não pertença a A ou Ac,logo A ∪ Ac = Ω.

Teoria de Conjuntos 6

Definição 1.8: Sejam dois conjuntos quaisquer A e B,a diferença de A \ B ou A − B,é oconjunto dos elementos que pertencem a A e que não pertencem a B.

A−B = x ∈ A|x 6∈ B = A ∩Bc

Exemplo 1.5: Seja Ω = (x, y) ∈ R|0 ≤ x ≤ 1, e 0 ≤ y ≤ 1

Sejam os subconjuntos de Ω

• A1 = (x, y) ∈ R|0 ≤ x ≤ 1, e 0 ≤ y ≤ 12

• A2 = (x, y) ∈ R|0 ≤ x ≤ 12, e 0 ≤ y ≤ 1

• A3 = (x, y) ∈ R|0 ≤ x ≤ 12, e 0 ≤ y ≤ 1

2

• A4 = (x, y) ∈ R|0 ≤ x ≤ y ≤ 1

Pode-se verificar as relações nos subconjuntos:

• A3 ⊂ A1

• A3 ⊂ A2

Teoria de Conjuntos 7

• A3 ⊂ A4

• A1 ∩ A2 = A3

• Ac3 = (x, y) ∈ R|0 ≤ x ≤ 1 se 1

2< y ≤ 1 e 1

2≤ x ≤ 1 se 0 < y ≤ 1

2

• A1 ∪ Ac3 = Ω

• Ac1 = (x, y)|0 ≤ x ≤ 1, e 1

2< y ≤ 1

Teorema 1.5 (Lei de De Morgan Generalizada): Teorema de De Morgan: Seja A1, A2, ..., Anuma coleção de subconjuntos de Ωu. Então

a)

(n⋃i

Ai

)c

=n⋂i

Aci

b)

(n⋂i

Ai

)c

=n⋃i

Aci

Demonstração. Prova parte a) (⇒) Seja x ∈

(n⋃i

Ai

)c

. Então x 6∈n⋃i

Ai, ou seja, x 6∈ Ai, ∀i.

Assim, x ∈ Aci , ∀i, logo x ∈

n⋂i

Aci .

(⇐) Seja x ∈n⋂i

Aci . Então x ∈ Ac

i , ∀i, e ainda x 6∈ Ai, ∀i. Dessa forma x 6∈n⋃i

Ai, e

assim, x ∈

(n⋃i

Ai

)c

Demonstração. Prova parte b)

(⇒) Seja x ∈

(n⋂i

Ai

)c

. Então x 6∈n⋂i

Ai, ou seja, para algum i x 6∈ Ai, isto é, x 6∈

A1 ou x 6∈ A2 ou , ..., ou x 6∈ An, então x ∈ Ac1 ou x ∈ Ac

2 ou , ..., ou x ∈ Acn. Dessa forma

x ∈n⋃i

Aci

(⇐) Seja x ∈n⋃i

Aci . Então para algum i x ∈ Ac

i , isto é, x ∈ Ac1 ou x ∈ Ac

2 ou , ..., ou x ∈

Acn, então, x 6∈ A1 ou x 6∈ A2 ou , ..., ou x 6∈ An. Dessa forma, x 6∈

n⋂i

Ai, logo, x ∈(n⋂i

Ai

)c

.

Vale ressaltar que as Leis de Morgan também são válidas para o caso em que n =∞

Exemplo 1.6: SejaA1, A2, A3 subconjuntos de Ω, podemos indicar as operações como pelodiagram de Venn.

Teoria de Conjuntos 8

1.2 CLASSES DE CONJUNTOS

Definição 1.9: Uma classe de conjuntos ou coleção de conjuntos é um conjunto cujos ele-mentos são subconjuntos de um dado espaço. São usados geralmente quando queremos tratarde alguns subconjuntos de um dado conjunto. Uma coleção de conjuntos pode ser denotadapor letras caligráficas maiúsculas A;B; C

Definição 1.10: Uma classe A de subconjuntos de Ω é chamada de álgebra se

1. Ω ∈ A

2. Se A ∈ A então Ac ∈ A (a classe é fechada pela complementariedade)

3. Se A1, A2, ..., An ∈ A entãon⋃i

Ai ∈ A (a classe é fechada pela união finita)

Definição 1.11: Uma classe A de subconjuntos de Ω é chamada de σ-álgebra se

1. Ω ∈ A

2. Se A ∈ A então Ac ∈ A

3. Se A1, A2, ... ∈ A então∞⋃i

Ai ∈ A

Proposição 1.1: Se A é uma σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Então:

Teoria de Conjuntos 9

1. ∅ ∈ A

2. Se A1, A2, ... ∈ A então∞⋂i

Ai ∈ A

Demonstração. .Parte 1)A é uma σ-álgebra então Ω ∈ A e Ωc = ∅ ∈ A.Parte 2)

Se A1, A2, ... ∈ A, então Ac1, A

c2, ...,∈ A, assim

∞⋃i

Aci ∈ A. Então

(∞⋂i

Ai

)c

∈ A, como a

classe é fechada pela complementariedade∞⋂i

Ai ∈ A

Exemplo 1.7: Seja a coleção A = ∅,Ω , verifique se é uma σ-álgebra.

1. Ω ∈ A

2. Ω ∈ A, temos que Ωc = ∅ ∈ A

3. ∅,Ω ∈ A então ∅ ∪ Ω = Ω ∈ A

Como as três propriedades são satisfeitas logo A é uma σ-álgebra.

Exemplo 1.8: Sejam A,B,C subconjuntos não vazios de Ω, disjuntos, e tais que

A ∪B ∪ C = Ω

Seja a coleção A = ∅, A,B,C,A ∪B,A ∪ C,B ∪ C,Ω , verifique se é uma σ-álgebra.

1. Ω ∈ A

2. Os complementares dos elementos de A está em A

∅c = Ω, Ωc = ∅, Ac = B ∪ C, Bc = A ∪ C,Cc = A ∪B, (A ∪B)c = C, (A ∪ C)c = B, (B ∪ C)c = A

3. As uniões de todos os elementos de A está em AA união do ∅ dá os próprios elementos;A união de Ω com qualquer elemento da o próprio Ω;

A ∪B, A ∪ C, A ∪ (A ∪B) = (A ∪B), A ∪ (A ∪ C) = (A ∪ C), A ∪ (B ∪ C) = Ω ∈ AB ∪ A, B ∪ C, B ∪ (A ∪B) = (A ∪B), B ∪ (A ∪ C) = Ω, B ∪ (B ∪ C) = (B ∪ C) ∈ AC ∪ A, C ∪B, C ∪ (A ∪B) = Ω, C ∪ (A ∪ C) = (A ∪ C), C ∪ (B ∪ C) = (B ∪ C) ∈ A

Teoria de Conjuntos 10

Como as três propriedades são satisfeitas logo A é uma σ-álgebra.

Exemplo 1.9: Seja Ω = 1, 2, 3 e A = ∅, 1, 2, 1, 3, 2, 3,Ω, verifique se A éuma σ-álgebra.

1. Ω ∈ A

2. Os complementares dos elementos de A está em A

∅c = Ω, Ωc = ∅, 1c = 2, 3, 2c = 1, 3, 1, 3c = 2, 2, 3c = 1

3. As uniões de todos os elementos de A está em AA união do ∅ dá os próprios elementos;A união de Ω com qualquer elemento da o próprio Ω;

1 ∪ 2 = 1, 2 6∈ A

Como a terceira propriedade não é satisfeita, logo A não é uma σ-álgebra.

Definição 1.12: Seja Ω um conjunto com uma σ-algebra associada, A, então o par (Ω,A)

é chamado de espaço mensurável.

Definição 1.13: Se Ω = R um conjunto com uma σ-algebra associada, R, então o par(R,R) é chamado de espaço de Borel. A σ-algebra de Borel, ou Borel-σ-algebra, é definidacomo a σ-algebra gerada por conjuntos abertos de R. Os elementos de R são chamados debolerianos.

São borelianos todos os tipos de intervalo. Comecemos com os intervalos do tipo

x ∈ R|x < c

Pela segunda propriedade da definição de σ-álgebra temos:

x ∈ R|x < c ∈ R ⇒ x ∈ R|x ≥ c ∈ R

Pela terceira propriedade da definição de σ-álgebra temos:

x ∈ R|x < c =∞∑n=1

x ∈ R|x ≤ c− 1

n

∈ R

Teoria de Conjuntos 11

Como interseções de elementos deR pertencem àR , podemos escrever

(a, b] = x ∈ R|x > a ∩ x ∈ R|x ≤ b ∈ R[a, b) = x ∈ R|x ≥ a ∩ x ∈ R|x < b ∈ R(a, b) = x ∈ R|x > a ∩ x ∈ R|x < b ∈ R[a, b] = x ∈ R|x ≥ a ∩ x ∈ R|x ≤ b ∈ R

Os subconjuntos unitários pertencem àR, pois a = [a, a] ∈ R

1.3 FUNÇÃO INDICADORA

Definição 1.14: Seja Ω um espaço amostral e seja A algum subconjunto de Ω. A funçãoindicadora de A, denotaa por IA, é uma função com seu dominio em Ω e e contradomíniobinário 0, 1.

IA(ω) =

1 se ω ∈ A0 se ω 6∈ A

Teorema 1.6 (Propriedades da função indicadora): Seja Ω um espaço amostral e F umacoleção de subconjuntos de Ω

Exemplo 1.10: Seja a função f definida por

f(x) =

0 se x ≤ 0

x se 0 < x ≤ 1

2− x se 1 < x ≤ 2

0 se x > 2

Usando uma função indicadora f(x) pode ser escrita da seguinte forma:

f(x) = xI(0,1](x) + (2− x)I(1,2](x)

1. IA(ω) = 1− IAc(ω) para todo A ∈ F

2. IA1∩A2∩...∩An(ω) = IA1(ω)IA2(ω)...IAn(ω)

3.

1.4 EXERCÍCIOS

1.4.1 Teóricos

1) Demonstre as propriedades da intersecção.2) Sejam A e B dois subconjuntos não-vazios contidos em um espaço amostral Ω. Mostre que

Teoria de Conjuntos 12

a) A = (Ac ∪Bc)c ∪ (Ac ∪B)c

b) (A ∪B) ∩ (A ∩B)c = (A ∪Bc) ∪ (Ac ∩B)

3) Prove que:

a) A ∪ (Ac ∩B) = A ∪B

b) A ∪ (A ∩B) = A

b) (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) = A

4) Sejam A,B e C conjuntos. Mostre que se A∪B = A∪C e A∩B = A∩C. Então B = C

5) Sejam A e B dois conjuntos. Sob que condições o conjunto A ∩ (A ∪B)c e vazio?6) Seja Ω um conjunto não-vazio, prove que se A e B são σ-álgebras de subconjunto de Ω,então A ∩ B também é uma σ-álgebra.

1.4.2 Práticos

1) Sejam A, B e C três eventos em um espaço de probabilidade. Expresse os seguintes eventosem termos de A, B e C:

a) Apenas A ocorre;

b) A e B ocorrem, mas C não ocorre;

c) Os três eventos ocorrem;

d) Pelo menos um dos três eventos ocorre;

e) Nenhum dos três eventos ocorre;

f) Exatamente um dos três eventos ocorre;

g) No máximo um dos três eventos ocorre;

h) Pelo menos dois dos três eventos ocorrem.

2) Verifique se as relações são verdadeiras:

a) (A ∪B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C)

b) (A ∪B) = (A ∩Bc) ∪B

c) Ac ∩B = A ∪B

d) (A ∪B)c ∩ C = Ac ∩Bc ∩ C

e) A ∩Bc

Teoria de Conjuntos 13

3) Considere o espaço amostral Ω indicado pelo quadrado definido num sistema de eixos carte-sianos de tal forma que 0 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ 10. Ilustre graficamente os eventos abaixo:

a) A : x ≤ y

b) B : max(x, y) ≤ 3

c) C : mix(x, y) ≥ 3

d) D : x− y ≤ 3

e) B ∩ C

4)Sejam os conjuntos A = x ∈ R| − 2 < x < 6 e B = x ∈ R|x > 3, determine:

a) A ∩B

b) A ∪B

c) A ∪Bc

d) Ac ∩B

e) A ∩Bc

f) A∪Bc

5) Sejam os conjuntos A = x ∈ R|1 < x ≤ 2, B = x ∈ R| − 2 ≤ x < 4 e C = x ∈R| − 1 < x < −1, determine:

a) (A ∩B) ∩ C

b) A ∪ (B ∩ C)c

c) (A ∪ C) ∩Bc

d) (Ac ∩Bc)c ∪ C

6) Seja Ω = 1, 2, 3 e A = ∅, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3,Ω, verifique se A é umaσ-álgebra.7) Seja Ω = 1, 2, 3, 4 e verifique se as coleções de conjuntos abaixo são σ-álgebras.

a) A = ∅, 1, 2, 3, 4,Ω,

b) A = ∅, 1, 2, 3, 4,Ω,

8) Um curso exigirá 2 provas para aferir o conhecimento do aluno, cuja nota pode variar de 0a 10. As provas têm peso P1 e P2 e para passar o aluno deve receber nota igual ou superiora 6. Mostre graficamente o espaço amostral de resultados que o aluno pode receber no cursoe indique o evento "A: o aluno passou no curso", dentro do espaço amostral, considerando 2casos:

Teoria de Conjuntos 14

a) P1 = 1 e P2 = 1

b) P1 = 1 e P2 = 2

9) Seja Ω = 0, 1, 2, 3 obtenha uma σ-álgebra.10) Considere Ω = [0, 1] e os seguintes subconjutos:

A = x ∈ Ω|x ≤ 1

2 B = x ∈ Ω|x ≥ 1

3

Expresse os subconjuntos resultantes das operações abaixo em termos de funções indicadoras

a) (A ∩B)

b) A ∪B)

c) (Ac ∪B)

d) (Ac ∩Bc)