Prof. Ade1000son

INTRODUÇÃO AO ESTUDO

DE FUNÇÃO

2

CONCEITO DE

FUNÇÃO

✓ Foi o matemático e filósofo francês René Descartes o criador daparte da Matemática que relaciona as ideias da Álgebra com aGeometria, chamada de Geometria Analítica.

✓ Em sua homenagem, o sistema de coordenadas foi denominadoplano cartesiano.

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Quando estudamos o conjunto dos números reais (R), verificamosque o número zero fica localizado entre os números reais positivose os números reais negativos.

0 +1 +2 +3-1-2-3-10 +10

+2-2

+2,5-2,5

Reta dos números reais

O plano cartesiano é formado por uma região geométrica plana,cortada por duas retas perpendiculares entre si.

Retas perpendicularesformam ângulos de 900 entre si.

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Eixo das ordenadas.

Eixo das abscissas.

A reta horizontal é denominada deeixo das abscissas. Representada porx, xR.

A reta vertical é denominada de eixodas ordenadas. Representada por y,yR.

✓ As retas dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Denomina-se par ordenadoao par (x, y), no qual oprimeiro elemento pertenceao eixo das abscissas e osegundo elemento pertenceao eixo das ordenadas.

EXEMPLOS

Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:a) A (2, -3)b) B (-5, 1)

2

-3

-5

1

0 x

y

A

B

EXEMPLOS

Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:a) A (-5, 0)b) B (0, -4)

- 4

- 5 0 x

y

A

B

Na figura a seguir, temos um recorte do layout de uma planilha do Excel. Nele,consta uma lista de compras feita por uma família pernambucana. Nessascondições, relacionando as linhas e colunas dessa planilha, indique ascoordenadas da posição da célula do Excel em que está o AZEITE.

Ima

ge

m:

Va

nia

Te

ofi

lo/ C

rea

tive

Co

mm

on

sA

ttri

bu

tio

n-S

ha

reA

lik

e3

.0 U

np

ort

ed

.

SOLUÇÃO

Analisando o layout do recorte do Excel, podemos concluir que aposição do AZEITE é C3.

Exemplo

No plano cartesiano a seguir, estão localizados alguns pontos. Determine as coordenadas desses pontos.

x

y

AB

C

DE

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3

2

1

-1

-2

-3

A(3, 2) B(-3, 3) C(0, 0) D(-3, -2) E(1, -3)

Desenhe o plano cartesiano no caderno e, em seguida,localize os pontos abaixo. Indique também seusrespectivos quadrantes.

a) P (-2, 3)b) M (0, -5)c) N (-2, -4)d) K (5, 0)

P(-2, 3) - 2º QuadranteM(0, -5) - OrdenadaN (-2, -4) - 3º QuadranteK(5, 0) – Abscissa

P

MN

K

FUNÇÕES – INTRODUÇÃO

ANÁLISE GRÁFICA INTUITIVA

[Exemplo] Ao acionar o freio de um automóvel, a distância para que ele pare é

denominada “espaço de frenagem”. Este depende de vários fatores, entre eles, a

velocidade em que o carro se encontra quando o freio é acionado.

Através da análise do gráfico acima, determine:

a) Quais as variáveis envolvidas Velocidade [km/h] e Espaço de Frenagem [m].

b) Qual a variável independente? Velocidade; que identificaremos por “x”.

c) Qual a variável dependente?Espaço de Frenagem; que identificaremos por “y” ou

por f(x).

d) Qual o intervalo de variação da “velocidade” no experimento em questão?

Trata-se do Domínio da função, que é: D = { x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 120 }.

e) Qual o intervalo de variação do “espaço de frenagem” no experimento em questão?

Trata-se do Conjunto Imagem da função, que é: Im = { y ∈ ℝ | 0 ≤ y ≤ 70 }.

f) Quantos metros o automóvel ainda deverá percorrer quando freado a uma

velocidade de 60 km/h? E a 80 km/h? E a 100 km/h?

x = 60 km/h y ≅ 18𝑚 / x = 80 km/h y = 30 m / x = 100 km/h y 49 m

g) A que velocidade deve estar o veículo para que o espaço de frenagem seja de 40 m?

Se o espaço de frenagem é y = 40 m então a velocidade é de x 𝑥 ≅ 90𝑘𝑚/ℎ.

h) Quando aumentamos a velocidade de 80 para 120 km/h, em quantos metros

aumentará o espaço de frenagem?

Para tal situação, o espaço de frenagem aumentará em 40 m.

i) O “espaço de frenagem” aumenta ou diminui quando aumentamos gradativamente a

velocidade?

O espaço de frenagem [y] aumenta. Para tal comportamento, dizemos que a função

é crescente

Relação entre grandezas variáveis:

A função é um modo especial de relacionar grandezas físicas (variáveis). A função

pode aparecer em forma de tabela ou gráfico, através de diagramas e também como

equação matemática (fórmula ou lei de associação).

Exemplo: Um indivíduo pretende abastecer o seu carro com gasolina. O tanque de

combustível do seu veículo possui capacidade máxima de (aproximadamente) 50

litros. Considerando que o litro de gasolina custa R$ 3,80 em um determinado posto,

pode-se montar a seguinte tabela (veja ao lado):Gasolina Preço a pagar

1 3,8

2 7,6

3 11,4

: :

50 190

a) Quais as variáveis envolvidas no problema?

“Quantidade de Gasolina” e “Preço a pagar”

c) Qual é a variável independente?

“Quantidade de Gasolina” (dada em litros). Representaremos esta grandeza por “x”

d) Qual é a variável dependente?

“Preço a pagar” (dado em reais). Representaremos esta grandeza por “y”.

e) Neste caso, qual é a lei de associação?

A lei de associação ou fórmula matemática é: y = 3,80x ou ainda: f(x) = 3,80x

Exemplo: Um indivíduo pretende abastecer o seu carro com gasolina. O tanque de

combustível do seu veículo possui capacidade máxima de (aproximadamente) 50

litros. Considerando que o litro de gasolina custa R$ 3,80 em um determinado posto,

pode-se montar a seguinte tabela (veja ao lado):Gasolina Preço a pagar

1 3,8

2 7,6

3 11,4

: :

50 190

f) Quanto pagará para abastecer 35 litros de gasolina?

𝑦 = 3,80𝑥

𝑦 = 3,80.35

𝑦 = 133,00

Pagará R$ 133,00 para abastecer 35 litros de gasolina.

g) Quantos litros abastecerá, pagando R$ 98,80?

𝑦 = 3,80𝑥

98,80 = 3,80𝑥

98,80/3,80 = 𝑥

𝑥 = 26Poderá abastecer 26 litros pagando R$ 98,80.

Definição e notação

Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma

relação que indica como associar cada elemento x do conjunto A a um único

elemento y do conjunto B.

Usamos a seguinte notação:

“A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função .”

A B

: A → B

x f(x)

Gráfico de funçãoO gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham

x pertencente ao domínio da função e y = f(x).

Reconhecimento do gráfico de uma função

Para saber se um gráfico representa uma função é preciso verificar se cada

elemento do domínio existe apenas um único correspondente no

contradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular

ao eixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto.y

x

y

x

y

x

00 0

●

y

x

y

x

y

x000●

É função Não é função É função

É função Não é função Não é função

Domínio e imagem a partir do gráfico

x

y

a b

f(b)

f(a)

Domínio: a x b ou [a, b]

Imagem: f(a) x f(b) ou [f(a), f(b)]

Domínio → projeção ortogonal do

gráfico sobre o eixo das abscissas [x].

Imagem → projeção ortogonal

do gráfico sobre o eixo das

ordenadas [y]

D = { x ∈ ℝ | – 4 ≤ x < 5 }

Im = { y ∈ ℝ | –3 ≤ y < 2 } D = { x ∈ ℝ | x < 0

Im = { y ∈ ℝ | y > –2 }

D = { x ∈ ℝ | x < 7 }

Im = { y ∈ ℝ | y = –3 ou 2 < y ≤ 6 }

D = ℝIm = { y ∈ ℝ | y < –1 ou 0 < y < 3 }

D = { –3, –1, 1, 3 }

Im = { 0, 1, 2, 3 }

D = ℝIm = ℝ

Exemplo 1: O Domínio da função y = 6600 + 70x D = ℝ

Exemplo 2: O Domínio da função y = 1/x D = ℝ*

D = ℝ+Exemplo 3: O Domínio da função 𝑓 𝑥 = 4 𝑥

Exemplo 4: O Domínio da função 𝑔 𝑥 = 5𝑥 − 5

𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 1}

5𝑥 − 5 ≥ 0

5𝑥 ≥ 5

𝑥 ≥5

5→ 𝑥 ≥ 1

Exemplo 5: O Domínio da função ℎ 𝑥 =

3𝑥 − 8

12𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅}

Exemplo 6: O Domínio da função 𝑇 𝑥 =𝑥−3

4𝑥+6

4𝑥 + 6 ≠ 0

4𝑥 ≠ −6

𝑥 ≠ −6

4

𝑥 ≠ −3

2

𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠ −3/2}

Exemplo 7: O Domínio da função 𝑓 𝑥 =7𝑥

2−9𝑥

2 − 9𝑥 > 0

−9𝑥 > −2 . (−1)

9𝑥 < 2

𝑥 < 2/9

𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 2/9}

Função crescente Função decrescente

aumenta o valor de x

aumenta o valor de y

aumenta o valor de x

diminui o valor de y

Função constante

aumenta o valor de x

permanece o valor de y

[Exemplo] Vamos considerar que uma Litorina [Automotriz] fará uma pequena

viagem partindo de uma estação A até uma estação B. Veja abaixo, a representação

gráfica da velocidade pelo tempo de viagem.

(ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar a vista do público o gráfico

mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo

medicamento ao longo do ano de 2011.

De acordo com o gráfico, os meses

em que ocorreram,

respectivamente, a maior e a

menor venda absoluta em 2011

foram

a) março e abril.

b) março e agosto.

c) agosto e setembro.

d) junho e setembro.

e) junho e agosto.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a

menor venda absolutas em 2011 foram junho e agosto. Portanto item E.

Imagem: INEP-MEC

1) A função y = f(x) é crescente para 1 ≤ x < 3, decrescente para 3 ≤ x < 4 e é

constante para x ≥ 4. O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x)

é

2) Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [–5, 6].

Essa função é decrescente em

a) [– 5, – 3] U [3, 5]

b) [– 3, 0] U [0, 3]

c) [– 3, – 1] U [4, 6]

d) [– 3, 0] U [5, 6]

e) [– 1, 2] U [2, 4]

Imagem: SEE-PE

Imagem: SEE-PE

a) {x ∈ R| x > 7}

b) {x ∈ R| x ≤ 2}

c) {x ∈ R| 2 ≤ x < 7}

d) {x ∈ R| x ≤ 2 ou x > 7}

:7

2 real função da domínio O ) CE- UFC( é

x

xy

−

−=

2

02

2

−

−

x

x

numeradorx

7

07

rdenominado7

−

−

x

x

x

Logo, o domínio da função deve ser maior que 7