Estudo de Função

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS

CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo

MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]

1

FUNÇÃO

Dados dois conjuntos não vazios A e B , denominamos função toda relação BAf →: na qual, para todo

elemento de A , existe um único correspondente em B .

Uma função BAf →: é também representada por:

A lei de formação é uma sentença matemática, representada por:

Exemplo:

1. São dados { }2,1,0,1−=A , { }5,4,3,2,1,0,1,2 −−=B e BAf →: definida por ( ){ }xyBAyxf 2|, =×∈= .

Encontre os pares ordenados de f . .

2. Considere { }11| ≤≤−∈= xZxA , { }22| ≤≤−∈= yZyB e a relação BAR →: , definida por

( ){ }2|, xyBAyxR =×∈= .

.

Observe que para cada elemento de A há um único elemento em B, portanto R é uma função.

� � � �� Par ordenado �1 2�1� � �2 �1,�2� 0 20� � 0 0, 0� 1 21� � 2 1, 2� 2 22� � 4 2, 4�

� � � �� Par ordenado �1 �1�� 1 �1, 1� 0 0� � 0 0, 0� 1 1� � 1 1, 1�

Observe que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função.

Desta forma podemos observar que, um diagrama de relação de � em � representa uma função se:

� de cada elemento de � parte apenas uma flecha;

� não “sobra” elemento em �.

� � ��, �� ∈ � � �|"�� !"#çã "&

� � �� é denominado variável independente e �, variável dependente

� �

�1012

�2 �1 0 1 2 3 4 5

01�1�201 �1

2

� �




2

� DEFINIÇÃO Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de ℝ faz corresponder exatamente

um elemento chamado fx�, em um subconjunto C de ℝ. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Exemplo: Sendo IRIRf →: , onde ( ) 42 += xxfx a , temos:

a. ( ) 4404020 =+=+⋅=f

b. ( ) ( ) 0444222 =+−=+−⋅=−f

c. ( ) ( ) 624224121 +=++=++⋅=+ hhhhf

� DOMÍNIO E IMAGEM E CONTRA DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Seja BAf →: , como toda função é uma relação, temos que o domínio de f é:

A Imagem de f é formada pelos elementos de B que são correspondentes dos elementos do domínio e é definida por:

O contradomínio de f é o próprio conjunto B :

Exemplo

1. Seja a função BAf →: representada pelo diagrama abaixo:

, � �

-" � �� ∈ �|� � ��&

., � �

� �

�1235

45678

9 , � � -" � �4, 5, 6, 7& ., � �

Temos:




3

EXERCICIOS

1. Dada a função IRIRf →: definida por ( ) 13

−=x

xf calcule ( ) ( ) ( )0231 fffA ⋅−+−= .

2. Para a função IRIRf →: definida por ( )

<

≥−=

2,2

2,1

xparax

xparaxxf , determine:

a. ( )1−f

b. ( )3f

c. ( )2f

d. ( ) 4, =xfqueparax

3. Dada a função IRIRf →: definida por ( ) 82 −= xxf , determine o elemento do domínio para cada uma das

imagens: a. 3−=y

b. ( ) 8=xf

c. ( ) 0=xf

d. 8−=y

4. Dadas as funções ( ) pxxf += 2 e ( ) qxxg +−= , determine p e q , sabendo que ( ) 41 =−f e ( ) 32 −=g .

� DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO E IMAGEM

� IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL DEFINIÇÃO:

A imagemdeumafunçãoreal CDf →: éosubconjuntodepontos Cy ∈ paraosquaisexistepelomenosum Dx ∈ talque ( ) yxf = :( ) ( ){ }yxfcomDxCyf =∈∃∈= |Im

Exemplo:

1. Seja a função definida por

( ) xxfx

IRIRg

2

:

=

→

a

Determine a imagem da função.

( ) IRg =Im

2. Seja a função definida por

( ) 2

:

xxfx

IRIRg

=

→

a

Determine a imagem da função.

( )

( ) [ )+∞=

= +

,0Im

Im

g

ou

IRg




4

� DOMÍNIO

Quandoumafunçãorealédefinidaapenaspelasualeideassociação,convenciona-sequeoseudomínioéomaiorsubconjuntode IR paraoqualépossívelavaliarafunção.

Exemplo:

1.1.1.1. Determine o domínio dafunção ( )x

xf1

= .C.E.: 0≠x Logo,

( ) { }

( ) { }0

0|

−=

≠∈=

IRfD

ou

xIRxfD

2.2.2.2. Determineodomíniode 42 −= xy .C.E.:

22

4

42

042

≥

≥

≥

≥−

x

x

x

x

Logo,( ) { }

( ) [ )+∞=

≥∈=

,2

2|

yD

ou

xIRxyD

3.3.3.3. Qualéodomíniode ( )xx

xf−

=1 ?

C.E.:

000

00

0

><⇔

>−<+⇔

>−<⇔

>⇔

⇔>−

oux

xxouxx

xxouxx

xx

xx

Logo,( ) { }

( ) ( )0,

0|

∞−=

<∈=

fD

ou

xIRxfD




5

EXERCÍCIOS1. Encontre o domínio das seguintes funções:

a. ( ) 24 −= xxf

b. ( )x

xg2

=

c. ( )3

1

+=

xxf

d. ( )xx

xxf

4

252 −

+=

e. ( ) xxh =

f. ( ) 3 2+= xxt

g. ( ) 8462 −+−= xxxf

h. ( )2

62

−

+=

x

xxh

i. ( )8

2

−

+=

x

xxg

j. ( )16

22 −

−=

x

xxg

k. ( )3

4 24

93

657

−

+−−+=

x

xxxxf

� RESUMO: DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO

Podemos determinar o domínio e a imagem de uma função a partir de seu gráfico.

Projetando a curva sobre o eixo � obtemos o domínio e projetando a curva sobre o eixo � obtemos a imagem:

�� U��ℎ�� ⟹ ℎ�� ≠ 0; �� ZU��[\] ⟹ U�� ≥ 0; �� U��

Zℎ��[\] ⟹ ℎ�� > 0

, � �� ∈ ℝ|�` ≤ � ≤ ��& -" � �� ∈ ℝ|�` ≤ � ≤ ��& Desta forma temos que:




6

Exemplo:

1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções representadas graficamente:

� NOÇÕES BÁSICAS DE PLANO CARTESIANO

, � b�2, 1c -" � b0, 4c , � b�2, 3c -" � b�1, 4c , � ℝ∗ -" �c1, 2b∪c � 2, 0b , �c � 2, 2b -" � �1, 2&




7

� GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Para obtermos o gráfico de funções definidas por leis ( )xfy = , procedemos, em geral, da seguinte maneira:

a. Construímos uma tabela a partir de valores Dx ∈ , obtendo ( )xfy = .

� � � f�� g �`

��

�h �i

⋮ ⋮

b. A cada par ( )yx, associamos um ponto no plano cartesiano.

Exemplo

1. Construa o gráfico da função BAf →: , definida por ( ) 1+= xxf , para { }2,1,1,2 −−=A e

{ }4,3,2,1,0,1−=B .

� �� + 1 Par ordenado �2 �2 + 1 � �1 �2,�1� �1 �1 + 1 � 0 �1, 0� 1 1 + 1 � 2 1, 2� 2 2 + 1 � 3 2, 3�

Dependendo do domínio e da lei de formação que define uma função, é importante notar que o seu gráfico pode ter apenas um ponto, alguns pontos, ou ainda infinitos pontos.

Observe que neste caso, o gráfico da função não é contínuo, pois o domínio é um conjunto de números inteiros.




8

2. Construa o gráfico das seguintes funções: a. ( ) xxf 2=

b. ( ) 2xxf =

c. ( ) ( )xsenxf =

� � � ��g 2�1� � �2l 20� � 0g 21� � 2� 22� � 4

� � � �� 2�� 4�g �1�� 1l 0�� 0g 1� � 1� 2� � 4

� � � mno��l 0p �q 1p 0

hp �q �1�p 0




9

d. ( )x

xf1

=

e. �� r� + 2, s�� < �2�� 4, s� � 2 ≤ � < 35, s�� ≥ 3

EXERCÍCIO

1. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 12 +−= xy .

2. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 5+= xy .

3. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 24 +−= xy .

� RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉ DO GRÁFICO

Além de construir o gráfico de uma função, é possível também reconhecer se um determinado gráfico de uma relação representa ou não uma função.

Para tanto, verificamos se a cada x do domínio corresponde uma única imagem, traçando retas paralelas ao eixo y e observando se cada uma delas intercepta o gráfico em um único ponto.

� � � gv�� 12�g �1g 1� 1/2h 1/3




10

Exemplo:

1. Verifique se os gráficos das relações representam ou não funções

� RAIZ DE UMA FUNÇÃO

Raiz ou zero de uma função é todo valor de x ∈ D que faz fx� � 0.

Para calcular a raiz, ou raízes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação assim obtida.

�x é raiz de � � �� ⟺ ��x� � 0

Raiz �`

Raiz ��

Raiz �i

Raiz �z

É FUNÇÃO

Qualquer reta paralela ao eixo � intercepta o gráfico em um único ponto.

NÃO É FUNÇÃO

Existe uma ou mais de uma reta paralela ao eixo � que intercepta o gráfico em mais de um ponto.




11

Exemplo

1. O gráfico abaixo representa uma função f definida em um subconjunto de IR . Determine: a. O domínio da função b. A imagem da função c. Os valores de ( )4−f , ( )2−f , ( )0f e ( )3f .

d. Quais os zeros (raízes) de f .

� ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNÇÃO

Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores do domínio essa função assume valores positivos, nulos ou negativos.

Sendo 1x , 2x e 3x raízes de ( )xf

para � < �` ou �� < � < �i ⟹ �� < 0

para � � �` ou � � ��ou � � �i ⟹ �� 0

para �` < � < �� ou � > �i ⟹ �� > 0




12

Exemplo

1. Faça o estudo do sinal da função f definida pelo gráfico abaixo.

� FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE

• Uma função real � � ��, de domínio ,, é crescente num intervalo contido em , se, para quaisquer �` e �� desse intervalo, com �� > �`, ocorrer �� > ��`�.

• Uma função real � � ��, de domínio ,, é decrescente num intervalo contido em , se, para quaisquer �` e �� desse intervalo, com �� > �`, ocorrer �� < ��`�.

• Se em um dado intervalo do domínio a função não é crescente nem decrescente, então é uma função

constante.

Exemplo

� é Decrescente nos intervalos:

� < �` e �� < � < �i

� é Crescente nos intervalos:

�` < � < �� e �i < � < �z

� é constante para � > �z




13

� FUNÇÃO CRESCENTE

DEFINIÇÃO:

Uma função real y � fx�, de domínio D, é crescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x`ex� desse intervalo, com x� > x`, ocorrer, fx�� > �x`�.

Exemplo:

A função fx� � 2xi + x � 1 é crescente no intervalo b�1, 1c, ou em qualquer outro intervalo.

� FUNÇÃO DECRESCENTE

DEFINIÇÃO:

Uma função real y � fx�, de domínio D, é decrescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x`ex� desse intervalo, com x� > x`, ocorrer, fx�� < �x`�.

Exemplo:

A função fx� � �2xi + x � 1 é decrescente no intervalo b�∞,�1c,




14

� FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR

� FUNÇÃO PAR

DEFINIÇÃO:

Uma função real f: D ⟶ C é par se f�x� � fx�, ∀x ∈ D.

Exemplo:

1. �� é uma função par, pois:

( ) ( ) ( )

( ) ( )xfxf

Assim

xfxxxf

=−

==−=−

,

22

2. �� 3�z + 5 é uma função par, pois:

( ) ( ) ( )

( ) ( )xfxf

Assim

xfxxxf

=−

=+=+−=−

,

5353 44

3. A função �� 2 � 3�z é uma função par, pois:

( ) ( ) ( )

( ) ( )xfxf

Assim

xfxxxf

IRx

=−

=−=−−=−

∈∀

,

3232

,44

O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y!




15

� FUNÇÃO ÍMPAR

DEFINIÇÃO:

Uma função real f: D ⟶ C é ímpar se f�x� � �fx�, ∀x ∈ D.

Exemplo:

1. �� i é uma função ímpar, pois:

( ) ( ) ( )

( ) ( )xfxf

Assim

xfxxxf

−=−

−=−=−=−

,

33

2. �� 3�i + � é uma função ímpar, pois:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )xfxf

Assim

xfxxxxxxxf

−=−

−=+−=−−=−+−=−

,

333 333

3. A função �� i � 3� é uma função ímpar, pois:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )xfxf

Assim

xfxxxxxxxf

IRx

−=−

−=−−=+−=−−−=−

∈∀

,

333

,333

O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação origem!




16

� OBSERVAÇÕES:

1. Existem funções que não são nem pares nem Ímpares

Exemplo:

A função fx� � 1 � x~

Pois f�2� � 1 � �2�~ � 1—32 � 1 + 32 � 33

e f2� � 1 � 2~ � 1 � 32 � �31, logo f�2� ≠ f2� e f�2� � 33 ≠ 31 � �f2�

2. Existe uma única função que é par e ímpar ao mesmo tempo, a função nula em ℝ.

fx� � 0

� FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função f: A ⟶ B, Bijetora, podemos obter uma função f�` de DemC invertendo-se a ordem dos pares ordenados de f. Essa função é chamada de inversa.

Assim temos:

Exemplos:

1.1.1.1. Encontreainversadafunção�:ℝ ⟶ ℝ,definidapor� � 2� + 3.

( )2

3

,

2

3

32

32

32

1 −=

−=

−=

+=

+=

− xxf

Assim

xy

xy

yx

xporyeyporxTrocando

xy

Domínio de ��` � Imagem de �

Imagem de ��` � Domínio de �




17

2.2.2.2. Vamosobterainversa,odomínioeaImagemdafunção ( )

85

23

−

+=

x

xxf bemcomodesua

inversa.

( )

( )

( )35

28

35

28

2835

2835

2385

2385

85

23

85

23

:

1

−

+=

−

+=

+=−

+=−

+=−

+=−⋅

−

+=

−

+=

−

x

xxf

Assim

x

xy

xxy

xyxy

yxxy

yyx

y

yx

xporyeyporxTrocando

x

xy

inversadaCalculo

( )

( )

( )[ ]

−=

≠

≠

≠−

−

+=

5

8,

5

8

85

085..85

23

:

IRxfDomAssim

x

x

xEC

x

xxf

xfdadomíniodoCálculo

( )

( )

( )[ ]

−=

≠

≠

≠−

−

+=

−

−

−

5

3,

5

3

35

035..35

28

:

1

1

1

IRxfDomAssim

x

x

xEC

x

xxf

xfdadomíniodoCálculo

Como o domínio da ( )xf é a imagem de ( )xf1− , e o domínio da ( )xf

1−

é a imagem de ( )xf (devido a serem funções bijetoras), então:

−→

−

−→

−

−

5

8

5

3:

5

3

5

8:

1 IRIRf

IRIRf




18

Podemos construir o gráfico de f�` utilizando sua lei ou a partir do gráfico de f.O gráfico de f�` é

simétrico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes:

Exemplo:

Gráfico de fx� � xi e sua inversa f�` � √x�

� COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES:

A composição de f e g é a função fog:Dg ⟶ Cf definida por: fog�x� � f�gx��. Exemplos:

1. Sendo ( ) 32 += xxf e ( ) xxg = , calcule:

a. ( )xgf o

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) 33322

+=+=+== xxxgxgfxgf o

b. ( )xfg o

( ) ( )[ ] ( ) 32 +=== xxfxfgxfg o

Em geral ( ) ( )xfgxgf oo ≠ .




19

Novas funções a partir de antigas: transformações de funções

Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < � < 1) verticalmente o gráfico de f.

Exemplo:

Para ( ) xxf cos= e ( ) xxg cos2= .

Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito

geométrico de alongar (para 0 < � < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f.

Exemplo:

Para ( ) xxf cos= e ( ) ( )xxg 2cos= .

1. U�� ∙ ��: ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES VERTICAIS

2. U�� · ��: ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES HORIZONTAIS




20

Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de transladar verticalmente para cima

(quando c > 0) ou verticalmente para baixo (quando c < 0) o gráfico de f. Exemplo:

Para ( ) xxf cos= e ( ) ( ) 2cos += xxg .

Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar

horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f.

Exemplo:

Para ( ) xxf cos= e ( ) ( )2cos += xxg .

3. U�� + �: TRANSLAÇÕES VERTICAIS

4. U�� + ��: TRANSLAÇÕES HORIZONTAIS




21

Multiplicar uma função f por �1tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo x o gráfico de f.

Exemplo:

Para ( ) 42 −= xxf e ( ) ( )42 −−= xxg .

Multiplicar a variável independente x de uma função f por �1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo y o gráfico de f .

Exemplo:

Para ( ) 3xxf = e ( ) 3

xxg −= .

5. U�� : REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO �

6. U�� : REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO �




22

� FUNÇÃO DO 1º GRAU

Denominamos função do 1º grau a função f:ℝ → ℝ, definida pela lei y � ax + b, com a e b reais e a≠ 0.

Gráfico

� O gráfico da função �� #� + � é uma reta.

� Os pontos onde a reta intercepta os eixos são:

Em ��: � � 0 ⇒ � � � �� ⇒ ��

� , 0�

Em ��: � � 0 ⇒ � � � ⇒ 0, ��

� Onde a é chamado de coeficiente angular e b coeficiente linear.

Exemplo:

1. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:

2.

,

12

2

22

2

20

20

+=

+=

=

=

−=−

−=

=

=

−=→=

=→=

xy

baxy

Assim

a

a

a

a

bx

entãob

yb

xyPara

yxPara




23

2. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:

42.

,

22

4

42

4

20

40

+=

+=

=

=

−=−

−=

=

=

−=→=

=→=

xy

baxy

Assim

a

a

a

a

bx

entãob

yb

xyPara

yxPara

� CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

O domínio e o conjunto Imagem da função do 1º grau são: D � ℝeIm � ℝ.

Se a> 0, a função é dita crescente se a< 0 a função é dita decrescente.




24

� FUNÇÃO QUADRÁTICA

Denominamos função quadrática ou função do 2º grau a função IRIRf →: , definida pela lei

( ) cbxaxxf ++= 2 com IRcba ∈,, e 0≠a .

O gráfico é uma parábola, se a> 0 a parábola é côncava para cima (VALOR MÍNIMO) se a< 0 a parábola é côncava para baixo (VALOR MÁXIMO).

Gráfico

� O gráfico da função ( ) cbxaxxf ++= 2 é uma parábola.

� As coordenadas do vértice são:

a

bxv 2

−= e a

yv 4

∆−= .

O vértice é dado pelo ponto

∆−−=

aa

bV

4,

2.

� Para o cálculo das raízes, utilizamos báscara ou soma e produto.

báscaraa

acbbx →

−±−=

2

42

produtoesoma

a

cxxP

a

bxxS

=′′⋅′

−=′′+′

:

:

� Domínio e imagem:

Para 0>a : IRDom = e

∆

−≥∈=a

yIRy4

|Im

Para 0<a : IRDom = e

∆

−≤∈=a

yIRy4

|Im




25

Exemplo:

1. Determine as raízes, valor máximo ou mínimo o domínio e a imagem das funções:

a. ( ) 652 +−= xxxf

b. ( ) xxxf 126 2 −=

c. ( ) 162 −= xxf

� FUNÇÃO MÓDULO:

Da definição do módulo de um número temos:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

<−

≥==

0,

0,

xfsexf

xfsexfxfxg

Exemplo:

Para ( ) xxf cos= e ( ) ( )2cos += xxg .

Exemplo:

1. Esboceográficode� � 4 � |� � 2|.




26

� FUNÇÃO EXPONENCIAL

Para estudarmos função exponencial devemos relembrar alguns conceitos:

� POTÊNCIA

Se x ey são números racionais, temos então as seguintes propriedades:

Exemplo:

1. Utilizando as propriedades das potências, simplifique as expressões:

a. =⋅⋅ −345 333

b. =8

7

5

5

c. =4

35

e

ee

d. =

⋅

⋅

−

−

53

74

2

12

22

1

e. =⋅ −+

n

nn

π

ππ 22

f. =⋅⋅

+

+−

52

12

4

444n

nnn

� EQUAÇÃO EXPONENCIAL

Exemplo:

1. Dê o conjunto solução de cada uma das equações:

a. 93 2 =+x

b. 812 497 =+x

c. ( ) ( ) 131 2,05 −+ =xx

d. 13333 11 =++ +− xxx

e. 055625 =+⋅− xx

��#��sã � s�� s�ú"�! s��sã ��#�s��!�ú"�! s!�#�s, ��ã : PROPRIEDADES DA POTÊNCIA

1. #�� #� . # 2. #�� ¡�¢ 3. #�� #�

4. #�� #�� 5. #¡¢ � √#�¢




27

� INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

Exemplo:

1. Dê o conjunto solução das seguintes inequações exponenciais:

a. 62525 12 ≥−x

b. 4

1

2

12

≥

−xx

c. 3349 −>⋅− xx � FUNÇÃO EXPONENCIAL

As funções exponenciais são as funções da forma fx� � a£, onde a base aé uma constante positiva. Os

gráficos de y � 2£ e y � �`��£ são mostrados abaixo. Em ambos os casos �∞,+∞� é o domínio e a imagem é 0, +∞�.

Gráficos:

a. xy 2=

b. x

y

=

2

1

#� < # ⇔ � < � Para # > 1

#� < # ⇔ � > � Para 0 < # < 1




28

c. xey =

Como a base é positiva e diferente de zero temos que ax � 1, portanto todo gráfico de fx� � a£, corta o eixo y no ponto 0,1�. Se a> 1� é crescente se 0 < # < 1 f é decrescente.

Exemplo:

1. Esboce o gráfico da função � � 3 � 2� e determine seu domínio e sua imagem.

O domínio de uma função exponencial em geral é o conjunto dos números reais

Podemos observar que a Imagem é Im � �∞,3�.

� � � h � �� , ¥¦�g �, ¦l g� �gh �¦




29

2. A meia-vida do estrôncio-90 é de 25 anos. Isso significa que metade de qualquer quantidade determinada de

estrôncio será desintegrada em 25 anos.

a. Se uma amostra de �!§x tem uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para a massa que permanece após anos de t.

A cada 25 anos a massa de 24mg do estrôncio 90 cai pela metade dessa forma temos: m0� � 24

m25� � 12 24� m50� � 12 ∙ 12 24� � 12� 24� m75� � 12 ∙ 12� 24� � 12i 24� m100� � 12 ∙ 12i 24� � 12z 24�

Observe que após t anos a massa é:

mt� � 12�̈~ 24� � 24.2��̈~

b. Encontre a massa restante após 40 anos. A massa restante após 40 anos é :

"40� � 24.2�zx�~ � 7,9"U




30

� FUNÇÃO LOGARÍTMICA:

Seja a função exponencial fx� � a£, a sua inversa f�` é chamada de função logarítmica na base a, a> 0 e a≠ 1.

log� � � � ⇒ # � �� PROPRIEDADES:

Exemplo:

1.1.1.1. Useaspropriedadeseencontreovalordelog� 80 � log� 5:2.2.2.2. Usandoaspropriedadesdesenvolvaasexpressões:a.a.a.a. ( )zyx ⋅⋅log b.b.b.b. zyx ⋅⋅3log c.c.c.c. ( )3

4log xy

1. log� #� � � para todo � ∈ ℝ 2. #«¬\ � � � para todo � > 0

3.log�� log� � + log� � 4. log� �� log� � � log� �

5. log��®� � ! log� #�




31

� EQUAÇÃO LOGARÍTMICA

É toda equação da forma log¯ x � k ⇒ x � a± ou log x � logm ⇒ x � m, m > 0�# > 0�# ≠ 1.

Exemplo:

1. Encontre a solução das equações: a. ( ) 312log 2 =+x

b. ( ) ( )xx 28log15log 33 −=−

c. ( ) ( ) 313log1log 22 =+++ xx

d. ( ) 2210log 1 =−− xx

� MUDANÇA DE BASE

Dado log¯m, para transformá-lo em um logaritmo de base b, basta obtermos o quociente de log²m por log¯m.

log¯m � log²mlog²a

DEMONSTRAÇÃO: log¯m � x ⇒ a£ � m1� Aplicando logaritmos de base b nos dois membros da igualdade (1):

log² a£ � log²m ⇒ x log² a� log²m ⇒ x � log²mlog²a

Exemplo:

1. Vamos calcular o valor de logz 8, mudando-o para a base 2:

2. Dê o Conjunto solução de cada uma das equações logarítmicas:

a. ( ) ( ) ( )52log6log13log 2

8

12 −=−−− xxx

b. ( ) ( ) 01log6

11loglog 248 =+++− xxx




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� INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Exemplo:

1. Dê o conjunto solução das inequações logarítmicas: a. ( ) 8log42log 33 <+x

b. ( ) ( ) 14log1log2

1

2

1 −≤−−− xx

� LOGARITMO NATURAL

O logaritmo com base e é chamado de logaritmo natural e tem uma notação especial:

As propriedades são as mesmas, vistas anteriormente:

log� � > log� � ⇔ � > � Para # > 1

log� � > log� � ⇔ � < � Para 0 < # < 1

log³ � � ln �

1. ln �� para todo � ∈ ℝ

2. �«´ � � � para todo � > 0

log³ � � � ⇔ � � �

ln � � 1




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Exemplos:

1. Encontre o valor de � sabendo que ln � � 5

ln x � 5 ⇒ e~ � x

Ou podemos aplicar a função exponencial em ambos os membros e«´ £ � e~ pela propriedade 2 acima temos; x � e~

2. Resolva a equação �~�i� � 10.

Basta tomar o logaritmo natural de ambos os lados

ln e~�i£ � ln 10

5 � 3x � ln 10

x � 5 � ln 103

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Estudo de Função