MATEMÁTICA - gopem.com.br · reflexão e ao estudo sobre os âgulos agudos, ... Função seno Definição ... Variação da função seno x sen x

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71




1EM

_V_M

AT

_025

Funções trigonométricas,

equações e inequações

trigonométricasA redução ao 1.° quadrante facilita o aluno à

reflexão e ao estudo sobre os âgulos agudos, partindo somente da variação nos sinais.

Redução do 2.° ao 1.° quadrante

Seja um arco AP = x, com 2

< x < , observe que:

AP’ = PA’

AP’ + PA’ =

AP + AP’ = AP’ = – AP AP’ = – x

É imediato que:

sen x = sen( – x)

cos x = – cos( – x)

tg x = sen x cos x

= sen x ( – x) – cos x ( – x)

= – tg ( – x)

cotg x = – cotg( – x)

sec x = – sec( – x)

cossec x = cossec( – x)

Exemplos: `

sen 23

= sen ( – 23 ) = sen 3 = 3

2cos

23

= – cos ( – 23 ) = – cos 3 = –1

2sen 150º = sen(180º –150º) = sen 30º = 1

2cos 150º = – cos(180º –150º) = – cos 30º = 3

2–


2 EM

_V_M

AT

_025

Redução do 3.º ao 1.º quadrante

Seja um arco AP = x, tal que < x < 32

e P’ o

ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro.

Temos:

AP – AP’ = x –

É imediato que:

sen x = – sen(x – )

cos x = – cos(x – )

tg x = sen x cos x

= – sen x (x – ) – cos x (x – )

= tg (x – )

cotg x = cotg(x – )

sec x = – sec(x – )

cossec x = – cossec(x – )

Redução do 4.º ao 1.º quadrante

Seja o arco AP = x, tal que 32 < x < 2 e P’ o

ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Temos:

AP + PA = 2PA = AP’

x + AP’ = 2 AP’ = 2 – x

É imediato que:

sen x = – sen (2 – x)

cos x = cos (2 – x)

tg x = – tg (2 – x)

cotg x = – cotg (2 – x)

sec x = sec (2 – x)

cossec x = – cossec (2 – x)

Fórmulas de adição e diferença

Conhecidas as funções trigonométricas de dois arcos de medidas a e b, vamos obter fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma (a + b) e da diferença (a – b).

Cosseno da soma

No ciclo, construímos dois arcos AC e BD que possuem a mesma medida, portanto, as cordas AC e BD são iguais.

As coordenadas dos pontos A, B, C e D em rela-ção ao sistema cartesiano mOn são: A(1; 0),

B(cos a; sen a), C(cos(a + b); sen(a + b) e

D[cos(–b); sen(–b)] = D(cos b; –sen b).

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos da geometria analítica, temos:

d2 = (xC– xA)2+(yC– yA)2 =AC

= [cos(a + b) – 1]2 + [sen(a + b) – 0]2

= cos2(a + b) – 2 cos(a + b) + 1 sen2 (a + b) =

= 2 – 2 cos(a + b)

d2 = (xD– xB)2+(yD– yB)

2 =BD

= (cos b – cos a)2 + (–sen b – sen a)2 =

= cos2 – 2 cos a . cos b + cos2 a + sen2 b +

+ 2 sen a . sen b + sen2 a = 2 – 2 cos a . cos b +

+ 2 sen a . sen b

dAC = dBD ⇒ 2 – 2cos(a+b) = 2 – 2cos a . cos b + 2sen a . sen b


3EM

_V_M

AT

_025

então, vem a fórmula:

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

Cosseno da diferençacos(a – b) = cos[a + (–b)] =

= cos a . cos(–b) – sen a . sen(–b)

então:

cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

Seno da soma

sen(a + b) = cos[ π2

– (a + b)] =

cos[( π2

– a)] = cos ( π2

– a) . cos b +

+ sen ( π2

– a) . sen b

então:

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

Seno da diferençaAnalogamente, temos:

sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a

Tangente da soma

tg(a+b) = sen(a+b)

cos(a+b)

Desenvolvendo, encontramos:

tg(a+b) = tg a+tg b

1– tg a . tgb

a, b e (a+b) devem ser diferentes de π + kπ2

Tangente da diferençaAnalogamente, temos:

tg(a – b) = tg a – tg b 1+ tg a . tgb

com a, b e (a – b) diferente de π kπ2

Arco duplo

Cos 2acos 2a = cos(a + a) = cos a, cos a – sen a . sen a

então: cos 2a = cos2a – sen2a

Sen 2asen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a .

cos a

então: sen 2a = 2 sen a . cos a

Tg 2a

tg 2a = tg(a+a) = tg a + tg a 1– tg a . tg aentão:

tg 2a = 2 tg a 1 – tg2a

Transformação em produtoO objetivo é transformar uma soma algébrica de

funções trigonométricas de arcos em um produto de funções trigonométricas dos mesmos arcos.

Vimos que:

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (I)

cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (II)

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (III)

sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (IV)

Somando ou subtraindo, temos:

(I) + (II) cos (a + b) + cos (a – b) =

2 cos a . cos b

(I) – (II) cos (a + b) – cos (a – b) =

– 2sen a . sen b

+


4 EM

_V_M

AT

_025

(III) + (IV) sen (a + b) + sen (a – b) =

2 sen a . cos b

(III) – (IV) sen (a + b) – sen (a – b) =

2 sen b . cos a

Fazendo-se:

a+b=p ⇒a–b=q

a = p+q

2

b = p – q

2

Substituindo, obtemos:

Função seno

Definição

Consideremos um arco AP = x e seja N a proje-ção ortogonal de P sobre o eixo (n) dos senos.

Por definição, chama-se seno do arco AP a me-dida algébrica do segmento ON .

sen x = ONOP

ON1

sen x =ON

Observe que a um arco AP qualquer de determi-nação x corresponde a um único segmento ON, cuja medida algébrica representaremos por y.

Portanto, podemos definir uma função de R em R, tal que a cada x associa um y = sen x = ON.

Variação da função seno

x sen x

x = 0º sen x = 0

0º < x < 90º sen x > 0

x = 90º sen x = 0

90º < x < 180º sen x > 0

x = 180º sen x = 0

180º < x < 270º sen x < 0

cos p + cos q = 2 cos p + q . cos p – q 2 2

cos p – cos q = – 2 sen p + q . sen p – q 2 2

sen p + sen q = 2 sen p + q . cos p – q 2 2

sen p – sen q = 2 sen p – q . cos p + q 2 2

QuadrantesConsideremos um ciclo trigonométrico de ori-

gem A e os eixos m e n que dividem a circunferência em quatro arcos: AB, BA, A’B’ e B’A. Dado um arco AP ou ângulo central AÔP (AP = AÔP = x), temos:

x está no 1.º quadrante ⇔ P AB

x está no 2.º quadrante ⇔ P BA’

x está no 3.º quadrante ⇔ P A’B’

x está no 4.º quadrante ⇔ P B’A


5EM

_V_M

AT

_025

x = 270º sen x = –1

270º < x < 360º sen x < 0

x = 36º sen x = 0

Observe que o ponto P, numa volta completa no ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (ON) variar entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se repete. A função seno é uma função periódica e seu período é 2π.

Gráfico

PropriedadesA função seno (y – sen x) é periódica e seu a) período é 2π.

A função y = sen x é ímpar [sen(–x) = – sen x].b)

A função y = sen x é crescente no 1.º e 4.º c) quadrantes e decrescentes no 2.º e 3.º qua-drantes.

Sinaisd)

D(f) = Re)

Função cosseno

Definição

1

Consideremos um arco AP = x e seja M a proje-ção ortogonal de P sobre o eixo (m) dos cossenos.

Por definição, chama-se cosseno do arco AP a medida algébrica de OM .

Variação da função cosseno

x sen x

x = 0º cos x = 1

0º < x < 90º cos x > 0

x = 90º cos x = 0

90º < x < 180º cos x < 0

x = 180º cos x = –1

180º < x < 270º cos x < 0

x = 270º cos x = 0

270º < x < 360º cos x > 0

x = 360º cos x = 1

Observe que o ponto P, numa volta completa no ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (OM) variar entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se repete. A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π.


6 EM

_V_M

AT

_025

PropriedadesA função cosseno (y = cos x) é periódica e a) seu período é 2π.

A função y = cos x é par [cos(–x) = cos x].b)

É crescente no 3.º e 4.º quadrantes e decres-c) centes no 1.º e 2.º quadrantes.

Sinaisd)

D(f) = Re)

Função tangente

DefiniçãoDado um arco AP = x, com x real e x = 90º + k .

180º (k ∈ Z). Consideremos a reta 2OP e seja T a inter-seção com das tangentes (t). Denominamos tangente de AP a medida algébrica do segmento AT.

OA = R = 1

ATtg x = OA

tg x = AT1

tg x = AT

De forma análoga,

teremos: y = tg x (função tangente)

Variação da função tangente

180º < x < 270º

Gráfico

PropriedadesA função tangente é periódica e seu período é a) π. De fato, a cada meia volta verificamos que os valores da função y = tg x se repetem.

A função y = tg x é ímpar [tg(–x) = – tg x].b)

A função y = tg x é crescente quando x per-c) corre qualquer um dos quatro quadrantes.


7EM

_V_M

AT

_025

Sinaisd)

D(f) = e) {x ∈ R/x ≠ π + kπ, k ∈ Z}

2

Equações trigonométricasNa resolução de uma equação (ou inequação)

trigonométrica é importante saber:

sen sen = + 2k

ou,

= ( – ) + 2k

k Z

Exemplos: `

a) sen x = sen 60º

x = 60º + 360º . k ou x = 120º + 360 . k; k Z

b) sen x = sen 53

x = 53

+2k ou x = – 23

+ 2k ; k Z

c) sen x = 12

sen x = sen 30º

x = 30º + 360º . k ou x = 150º + 360º . k; k Z

cos = cos = + 2k

ou,

= (2 – ) + 2k

k Z

Exemplos: `

a) cos x = cos 45º

x = 45º + 360º . k ou x = 315º + 360º . k; k Z

b) cos x = cos 23

x = 23

2k ou x = 43

+ 2k ; k Z

c) cos x = –1

cos x = cos 180º

x = 180º + 360º . k, k Z

tg = tg { = + k , k Z

Exemplos: `

a) tg x = tg 30º

x = 30º + 180º . k, k Z

b) tg x = –1

tg x = tg 135º

x = 135º + 180 . k; k Z

c) tg x = tg 2

Como tg 2

não existe, não existe x.

Inequações trigonométricasNas inequações trigonométricas, devemos

achar o intervalo satisfatório.

Exemplos: `

Ache as soluções das inequações para x [0, 2 ].

a) sen x 12

sen x sen 30o

sen 150o

S = [30º, 150º]


8 EM

_V_M

AT

_025

b) cos x < – 12

cos x < cos 120o

cos 240o

S = ]120º, 240º[

c)

tg x 1

tg x tg 45°

tg 225°

S = 4

, 2

54

, 32

Se sen1. = 13

, então o valor de sen (25 + ) –

sen (88 – ) é:

– a) 13

13

b)

– c) 32

0d)

23

e)

Solução: ` D

sen (25 + ) – sen (88 – ) =

sen ( + ) – sen (2 – ) =

– sen – (– sen ) =

– sen + sen = 0

Para x =2. 3 , determine o valor da expressão:

E = cos sec (2 + x)

cotg x + 2 . sec x + 2

Solução: `1

sen (2π + x)E =

1

tg x + π2

. 1

cos x + π2

1sen x

E =1

sen x + π2

E =sen x + π2

sen x =

sen x

cos x

3

E =212

3 =

O seno de um dos ângulos de um losango é igual a 3. 12

, portanto a tangente do maior ângulo interno é:

–1a)

– b) 32

– c) 33

d) 3332

e)


9EM

_V_M

AT

_025

Solução: ` C

Se sen = 12

e + = 180º

= 180º – (θ > )

sen = sen (180º – )

sen = sen

12

= sen

sen2 + cos2 = 1 12

2

+ cos2 = 1 cos = 32

,

como > tg = – 33

Simplifique a expressão:4.

sen(a+b) – sen(a – b)cos(a+b) – cos(a – b)

Solução: `sen a cos b + sen b cos a – (sen a cos b – sen b cos a)cos a cos b – sen a sen b – (cos a cos b + sen a sen b)

sen a cos b + sen b cos a - sen a cos b+sen b cos acos a cos b – sen a sen b – cos a cos b – sen a sen b

2 . sen b . cos a = – cos a = – cot g a–2 . sen a . sen b sen a

Calcule cos 22º 30’.5.

Solução: `

cos 2 = cos2 – sen2

cos 2 = 2 cos2 – 1

cos2 = 1 + cos2 2

1 + cos2 2

cos = ±

cos 22,5°= +21+2

2

cos 22,5° =2 2

2

Calcular y = sen6. 2 24º – sen2 6º, dado sen 18º = 5 – 14

.

Solução: `

sen2 24º – sen2 6º = (sen 24º+sen 6º)(sen 24º – sen 6º) =

2.sen 30°2

. cos 18°2

2.sen 18°2

. cos 30°2 =

2 . sen 15º . cos 9º . 2 . sen 9º . cos 15º =

2 . sen 15º . cos 15º . 2 . sen 9º . cos 9º =

sen 30º . sen 18º =

12 =. 5 – 1

4 5 – 1

8

O valor máximo assumido por 7. y = 5 cos x + 3 2

é igual a:

4a)

3b)

2c)

6d)

5e)

Solução: `

Como –1 ≤ cos x ≤ 1 temos

y = 5 . 1 + 3 → y = 4 2

Obter o domínio da função: 8. f(x) = 1 + tg x sen 2x

.

Solução: `

Domtg x

sen x

tg x x k k Z

sen x x k k

.

,

,

≠≠

≠ → ≠ + ∈

≠ → ≠ ∈

0

2 0

02

2 0 2

ππ

π ZZ x k k Z

Dom x R x k k Z

→ ≠ ∈

= ∈ ≠ ∈

π

π2

2

,

. { / , }

Um professor de eletricidade mostrou para seus alunos 9. um dispositivo eletrônico que transforma as correntes alternadas em um único polo e o seu gráfico fica parecido com o da função

f xsen x

( ) = +22

Esboce o gráfico desta função.


10 EM

_V_M

AT

_025

Solução: `

f xsen x

'( ) = +22

f xsen x

( ) = +22

O número de raízes da equação sen x + cos x = 0, no 10. intervalo [0, 2 ], é:

0a)

1b)

2c)

3d)

4e)

Solução: `

sen x + cos x = 0 sen x = – cos x

sen xcos x = –1 ⇒ tg x = –1 . S = 3

4, 7

4O número de soluções serão duas.

Determine o conjunto solução da inequação sen x . cos 11. x > 0, para x [0, 2 ].

Solução: `

Serão os quadrantes onde sen x e cos x possuam o mesmo sinal.

S = 0, 2

, 32

Pedro foi ao parque e observou que a roda 12. gigante tinha 2m de raio e o ponto mais baixo fica a 1m do solo. Considerando a roda gigante como um círculo trigo-nométrico e o ponto mais baixo como início, quantos graus a roda gigante rotaciona para uma pessoa atingir a altura exata de 4m?

Solução: `

A roda rotaciona 120º ou 240º.

(PUC-SP)1. O valor de sen 1 200o é igual a:

cos 60a) o

– sen 60b) o

cos 30c) o

– sen 30d) o

cos 45e) o

(Cescea-SP) O valor da expressão 2. cos 150o + sen 300o – tg 225o – cos 90o é:

− −3 1a)

− +3 1b)

3 1+c)

− −3 3

2d)

(Uberlândia) Simplificando-se a expressão: 3.

2cos86

33

11

4

π π− tg , obtém-se:

–4a)

−2 3b)

2c)


11EM

_V_M

AT

_025

1 3+d)

4e)

(UFF) 4. cos sen cotx x tg x gx+ + + − − +( )

( )π

π2

, em

que 02

< <xπ

, é equivalente a:

2

2sen xa)

xb)

2 cos 2xc)

tgx

xd)

x cotg xe)

(Unificado) Se x é um ângulo agudo, tg(90° + x) é 5. igual a:

tg a) x

cotg b) x

– tg c) x

– cotg d) x

1+ tg e) x

Sendo dado que: 6.

sen cos

cos

180 90

360 180

3

2

° − ⋅ ° −° − ⋅ ° +

=( ) ( )

( ) ( )x x

tg x x. Tem-se neces-

sariamente:

cos x =1

2a)

xo= 60b)

90° < x < 180°c)

tgx = − 3d)

x = 45e) O

Para todo x real, podemos afirmar que:7.

cos cosx x= − +( )πa)

cos cosx x= + −( )πb)

cos senx x= − −( )π 2c)

− = −( )cos cosx x2πd)

cos senx x= +( )2πe)

(Fuvest)8. Sendo sen ,α =9

10 com 0

2< <α

π, tem-se:

sen sen senαπ

α< <3

2a)

sen sen senπ

α α3

2< <b)

sen sen senα απ

< <23

c)

sen sen sen23

απ

α< <d)

sen sen sen23

α απ

< <e)

(PUC) Se sen 9. x =3

5, um possível valor de sen 2x é:

4

5a)

6

5b)

5

12c)

24

25d)

12

13e)

(UERJ)10. Lembrando que cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b sen (a + b) = sen a . cos b + sen b cos a

demonstre as identidades:a)

cos 1) 2 2 12θ θ( ) = −cos

cos 2) 3 4 33θ θ θ( ) = −cos cos

Sabendo-se que 11. x y− = °60 , assinale a alter-nativa que corresponde ao valor da expressão

cos cos sen senx y x y+ + +( ) ( )2 2

1a)

1

2b)

2c)

3d)

3

2e)

(Unificado)12. Considerando-se sen . sen ,x =1

2

25

6

π

o valor de cos 2x será:

7

8a)

5

8b)


12 EM

_V_M

AT

_025

3

8c)

3

4d)

1

2e)

(PUC)13. Os ângulos agudos a e b são tais que tg a =1

3

e tg b =1

2. O ângulo a + b é igual a:

arctg1

2a)

30°b)

45°c)

60°d)

90°e)

(UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos 14. os valores possíveis para sen2x + cos2x.

O domínio máximo da função dada por 15.

f x x( )

= −sec 2

3

π é o conjunto:

x R x k∈ ≠ +{ }| ,π

π2

a) onde k ∈Ζ

x R x k∈ ≠ +{ }| ,5

12 2

π πb) onde k ∈Ζ

x R x k∈ = +{ }| ,5

12 2

π πc) onde k ∈Ζ

x R x k∈ = +{ }| ,π π

6 2d) onde k ∈Ζ

x R x k∈ ≠ +{ }| ,π π

6 2e) onde k ∈Ζ

(Unificado)16. Assinale o gráfico que representa a função real definida por y x= −2 sen .

a)

2

1

3

x0

y

π/2 π 3π/2 2π

b)

1

-1

2

-2

0

y

xπ/2

π 3π/22π

c)

0

1

y

-1x

π/2

π 3π/2 2π

d)

0

-1

-2

-3

y

x

π/2 π 3π/2 2π

e)

0

1

2

3

Y

xπ/2 π 3π/2 2π

(Rural) Analise o gráfico abaixo:17.

f(x)

2

0 π 2π 3π 4π

-2

x

A função f R: ,0 4π[ ] → que pode ter como gráfico o desenho acima é f ( x ) igual a:

− ( )2 2sen xa)

4 3sen x( )b)

− ( )3 2sen xc)

−

22

senx

d)

22

senx

e)


13EM

_V_M

AT

_025

Construa o gráfico da função 18. f R: , ,− →

3

24

π defi-

nida por f x

se x

x se x( )

=

≤ ≤

− ≤ <

1 0 4

3

20

,

cos ,π

(PUC) Seja 19. f x x x( ) ( )= 2 . cos π função definida em

R. Então, f f2 2( ) ( )− − vale:

16a)

8b)

4c)

2d)

0e)

A função que melhor se adapta ao gráfico é:20.

2

1

0 ππ 3π 2π2 2

x

y

y x= +1 sena)

yx

= cos2

b)

y x= +1 senc)

y x x= +sen cosd)

y x= +1 2sene)

(Unificado) Se cos 21. 21

4x = , então tg x2

é igual a:

3

5a)

5

8b)

8

5c)

5

3d)

8

3e)

(Unirio)22. O conjunto-solução da equação sen cos ,x x= sendo 0 2≤ <x π, é:

π

4{ }a)

π

3{ }b)

5

4

π{ }c)

π π

3

4

3,{ }d)

π π

4

5

4,{ }e)

(U FRJ)23. Resolva a equação para x [0,2π] :sen . . sec cos . cot . cos sec .x tg x x x g x x=

(Unirio) O conjunto-solução da equação 24. cos ,21

2x =

onde x é um arco da 1.ª volta positiva, é dado por:

60 300° °{ },a)

30 300° °{ },b)

30 150° °{ },c)

30 150 210 330° ° ° °{ }, , ,d)

15 165 195 345° ° ° °{ }, , ,e)

(UFF)25. Determine o valor do número real m na equação

m = sen cos cos ,2 2 22 2x x x m− + + =( )

(UCBA)26. Se θπ

π∈

2

; , os valores reais de m, para os

quais cos ,θ =−3 1

4

m são tais que:

m >1

3a)

m < 3b)

− < <11

3mc)

− < <1

31md)

m ou m> < −5

31e)


14 EM

_V_M

AT

_025

(Unirio) O valor numérico da expressão1.

sen cos

sec cos sec cot

π

π

4240 750

2

12009

4

5

+

+

o tg o

o gπ

6

2

3 2

6

+( )a)

−+( )3 2

6b)

3 2

6

−( )c)

−−( )3 2

6d)

0e)

Dados: tg 252. o = a e m=-

+

tg o tg o

tg o tg o

205 115

245 335, o valor de

m é:

1

1

+

-

a

a

2

2a)

a

a

+

−

1

1b)

ac)

0d)

1 + ae) 2

(Cesgranrio) O valor de cos 3. 29 4 16 3π π( ) ( )+ tg é:

3 2

2

−a)

3 2

2

+b)

− −3 2 2 3

6c)

1

1

+

-

a

a

2

2d)

+ +32

2e)

Simplificando a expressão:4.

( )( )( )( ) ( )cos

cos

sen

sen

sec

cos sec

90

270

180 90o

x

ox

ox

x

ox+

+ +–

+

–

+

– xx

cos xa)

– 1 b)

1c)

0d)

3e)

Simplificando a expressão:5.

yx x

x x=

+ ⋅ +

+ ⋅ −

( ) ( )( ) ( )

sen sen

cos cos

3 2 3 2

2

π π

π π

y = tg xa)

y = cotg xb)

y = sen xc)

y = cos xd)

y =1e)

(Unificado) Sendo 6.

Ax x

x

=− − +

−

( ) ( )

7 5 3 3

82

cos cos

sen

π π

π

com x k≠ +π

π2

, k Z∈ , então:

A = -1a)

2A = 1 b)

2A + 1 = 0c)

4A + 5 = 0d)

5A – 4 = 0e)

(UEPG) O quadrante em que a tangente, a co-tangente, 7. a secante e o cosseno são negativos é o:

1ºa)

2ºb)

3ºc)

4ºd)

n.d.a.e)

Sendo A 8. = + + + +cos cos cos cos12 25 38 168o o o oK . Calcular o valor de 1 + 2A.

(Fuvest) No quadrilátero ABCD onde os ângulos B e D 9. são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen Â é:


15EM

_V_M

AT

_025

A

2x

2x x

x

B

C

D

5

5a)

2 5

5b)

4

5c)

2

5d)

1

2e)

(Cesgranrio) No retângulo ABCD da figura AB = 5, 10. BC = 3 e CM = MN = NB. Determine tg MÂN.

D

A

C

B

N

M

(UFF)11. Sendo k Z∈ , n N e x R∈ ∈* , a expressão

sen cos senx x xn

+ −( ) ( )

22 é equivalente a:

sen 2kn

π( )[ ]a)

cos 2kn

π π+( )[ ]b)

cos nkπ( )c)

sen 22

k

n

ππ

+

d)

sen nkπ( )e)

(UFF)12. Se ˆ ,M ˆ ˆN e P são ângulos internos de um triângulo não-retângulo, pode-se afirmar que tgM tgN tgPˆ ˆ ˆ+ + é:

–1a)

0b) 1

tgM tgN tgPˆ ˆ ˆ+ +c)

tgM tgN tgPˆ . ˆ . ˆd)

tgM tgN tgPˆ . ˆ ˆ+e)

(PUC) A soma das soluções de sen 2x = cos x contidas 13.

no intervalo fechado 0 2, π[ ] é:

3

2

πa)

2πb)

5

2

πc)

3πd)

7

2

πe)

O valor de 14. sen , cos ,22 5 22 52

° + °( ) é:

1 2

2

−a)

1 2

2

+b)

2 2

2

+c)

2 2

2

−d)

1e)

Simplificando-se 15. y = ° + ° − °cos cos cos ,80 40 20 obtém-se:

0a)

sen 20°b)

1c) 1

2d)

-1e)

(UFRRJ) Em um triângulo ABC, cujos ângulos são 16. designados por A, B e C supõe-se que:

2 02

tg A tg B tg C e A= + < <π

. A relação que vale

neste triângulo é:

tg B tg C. = 3a)

cos cosB C A+ =( ) 2b)

cos secB C A− =( ) 2c)

tg B tg C tg. = 3d)

tg B tg C tg A. =e)


16 EM

_V_M

AT

_025

(Fuvest) O valor de 17. tg g10 10 20° + ° °( )cot sen é:

1

2a)

1b)

2c)

5

2d)

4e)

(UERJ)18. Considere a função real, de variável real x,

definida por f x x x x( ) [ ]= − + ∈1 0 22sen cos , , .π Utilizando esses dados, responda aos itens A e B.

Calcule a) f π( ).

Esboce o gráfico cartesiano e f.b)

(Unirio) Assinale o gráfico que melhor representa a 19. função real definida por y x= −cos .1

a)

0,60y

1,2

1,8

2,4

3,14 3,

7

4,3

4,9

5,5

6,3

1

x

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

b)

0,60

y

1,2

1,8

2,4

3,14 3,

7

4,3

4,9

5,5

6,3

1

x

0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

c)

0,60

y

1,2

1,8

2,4

3,14 3,

7

4,3

4,9

5,5

6,3

1,21

0,80,6

0,40,2

0

0,2x

d)

0,60

y

1,2

1,8

2,4

3,14 3,

7

4,3

4,9

5,5

6,3

0,20

-0,2-0,4

-0,6-0,8

-1-1,2

x

e)

0,60

y

1,2

1,8

2,4

3,14 3,

7

4,3

4,9

5,5

6,3

2,5

2

1,5

1

0,5 0

x

(Fuvest) A figura abaixo mostra parte do gráfico da 20. função

2π 4 π

-2

2

sen xa)

2 sen xb)

22

senx

c)

2 sen 2xd)

sen 2xe)

(UFF)21. A figura abaixo representa parte do gráfico das funções y senxey x= =cos .

−2π −π π xP

Q

R

y

− 3π2

− π2

π2

Sobre os pontos P, Q e R são feitas as afirmações:

O ponto I) P(x, y) é tal, que x é um arco do 2.º qua-drante.

O ponto II) Q(x, y) é tal, que x é um arco do 3.º qua-drante.

O ponto III) R(x, y) pertende à reta y = x.

Destas afirmações, é(são) verdadeira(s) apenas a(s) de número(s):

Ia)

IIb)


17EM

_V_M

AT

_025

IIIc)

I e IId)

II e IIIe)

(UERJ)22. O aluno que estudar Cálculo poderá provar com facilidade que a área da superfície plana limitada pelos gráficos de f(x) = sen x e f(x) = 0, no intervalo 0

2≤ ≤x

π, como ilustra o gráfico abaixo, é igual a 1.

y

x

0

1 Área = 1

2

π

A partir dessa informação, pode-se concluir que a área limitada pelos gráficos de f(x) = cos x e f(x) = 0, no

intervalo −

≤ ≤π π

2

3

2x , é:

0a)

3b)

4c)

5d)

6e)

(Unirio) Considerando que o movimento de um 23. determinado pêndulo é definido pela equação

x t= +

3

2 6cos ,

π π em que x é a posição da mas-

sa do pêndulo (em m) no instante t (em s) em relação à posição de equilíbrio (x = 0) e convencionando o deslo-camento à direita como positivo, e negativo à esquerda, como mostra a figura, determine:

x = 0 x > 0x < 0

o gráfico do deslocamento em função do tempo, a) equivalente a um período completo da função.

a distância máxima do corpo à posição de equilí-b) brio.

o período do pêndulo.c)

a posição do corpo em t = 1s.d)

(Unirio)24. O menor valor real e positivo de x tal que

41

2

− =senx é:

πa) π

2b)

π

3c)

π4

d)

π

6e)

(PUC)25. Resolva a equação sen cos .2 2 1

2x x− =

(Cesgranrio)26. Se 02

< <xπ

, a equação sen :1

0x

=

tem uma infinidade de soluções.a)

não tem solução.b)

tem somente uma solução.c)

tem exatamente quatro soluções.d)

tem um número finito, maior do que quatro, de so-e) luções.

(Unicamp) Ache todos os valores de x, no intervalo 27.

0 2, ,π[ ] para os quais sen cos .x x+ =+2 3

2Determine os va lores de 28. x ∈[ ]0, π ta is que 4 3cos secx x=

Resolvendo a equação 29. cos sen ,θ( ) = 1 obtém-se:

θ = 0a)

θ π=2

b)

θ π= ∈k k, Ζc)

θ π= ∈2k k, Ζd)

θ π= + ∈( )2 1k k, Ζe)

(Cesgranrio)30. Das equações abaixo, aquela que tem maior número de raízes no intervalo 0 106≤ ≤x é:

sen x3 0=a)

sen x2 0=b)

sen x = 0c)

sen x12 0=d)

sen x3 0=e)

(Unirio)31. Obtenha o conjunto solução da inequação

sen , ,2 0 5x = sendo 0 2≤ <x π.


18 EM

_V_M

AT

_025

(UFF)32. Determine o(s) valor(es) de x IR∈ que satisfaz(em) a desigualdade: cos sen2 2 1x x≥ +( )No intervalo 0 < x < 233. π, a equação trigonométrica:

sen sen sen ... sen :9 8 7 1 0x x x x+ + + + + =

Não tem soluçãoa)

Tem uma soluçãob)

Tem duas soluçõesc)

Tem três soluçõesd)

Tem infinitas soluçõese)

(Unicamp) Encontre todas as soluções o sistema:34.

sen

sen

x y

x y

+ =

− =

( )( )

0

0 que satisfazem

0 0≤ ≤ ≤ ≤x e yπ π.


19EM

_V_M

AT

_025

C1.

A2.

C3.

A4.

D5.

A6.

A7.

D8.

D9.

Demonstração.10.

D11.

A12.

C13.

-1 e 114.

E15.

E16.

D17.

18.

1

1 2 3 4

− π 2- π

2- 3π

E19.

A20.

A21.

E22.

S =

π π π π4

34

54

74

, , ,23.

D24.

125.

C26.


20 EM

_V_M

AT

_025

B1.

A2.

D3.

E4.

B5.

C6.

B7.

28.

C9.

527

10.

D11.

D12.

D13.

C14.

A15.

A16.

C17.

18.

Zeroa)

2

0 2 π π2π

23π

b)

D19.

C20.

B21.

C22.

A23.

3

233

35

39

38

311

314

-3

E24.

x k k z= ± ∈π π2 6

,25.

A26.

π π π π6 3

76

43

, , ,

27.

S =

π π6

56

,28.

C29.

A30.

A solução da equação é 31. π π π π4

34

54

74

, , ,

4 32

kk Z

+

∈π,,32.

B33.

0 0 0 02 2

, , , , , , , , ,( ) ( ) ( ) ( )

π π π π π π34.


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