52

Soluções das questões

e

algumas propostas de resolução

53

Tema I e II - Soluções

Expressões Algébricas e Condições

1.a) {-2;0} \IR em 2

3

x

x b) 0} {-3;\IR em 3

x

x c) }2;2{-\IR em )2(2

1

x

d) {-1;1}\IR em 1

12112 2

x

xx

1} ; {-3/2\IR em

32

22 )e

2

x

xx

{0;1}\IR em )23(

)fx

x

{0}\IR em

1

1 )g

2

3

xx

x

2. 0} {-4;\IR em

3

2 )a

x 1} 1;- IR{-2, em

1

5 )b

x

{0;1,3}\IR em )1)(3(

104 )c

xx

x

3.7 )a x

{0;3}\IR em 9/2 x1 )b x

{-2;2}\IR em mpossível )c i mpossível )d i

}4;4{ c.s. )e

{3;11} .s. )e c

{1}.s. )f c

4.

[2;4]\IR )a x

[-5;3]\IR )b x

[-3;2]\IR )c x

) 3;3[U{5}-] (\IR )d x

][2;35[;] )e x

}1;0[\{3;] )f x

[13 ;2/1] )g x

[22;0]014

041

41

21

41

log

4)(log)1(log)(log4)1(log )h

2

224

22

2

2

2

22

2

2

xx

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxx

54

;-21[-] )i x -2 )j x

IR em mpossível )k i

1) quemenor é base a porque(09

5

9

5

19

155

9

155595 )l

0

2/32/3x32x

x

x

x

x

x

x

03313

0)13(0)33)(13(03323

06343234632 )m

0xx

xxxx2x

x2xx2x

x

[13]0, )n x

5.2.

5.3.

<=> <=>

<=>

6. Escolha c) 7. Escolha D) 8. ]-∞;-2]U[-1;5]

9. 2(x- ) (x+ )(x-1)(x+1)2 10.1. O resto é 8 10.2. -2x(x- ) (x-1+ )(x-1).

11. Escolha B) 12. Escolha a)

13. <=> <=>

<=> <=> <=> as raízes são θ =

13.1. a) X=-3 v x=0 v x=3 v x=5 b) elaborar o quadro dos sinais

c) [-3;0] U [3;+∞[ d) deslocar à esquerda 4 unidades,

55

13.2. a) IR\{-3,0;3} 14.2. b) IR\{-2,2;4}

14.

x 3 0 3 +

sinal de P(x) + 0 0 0 -

14.1. Sem determinar o P(x), resolve as condições:

a) (x 5) . P(x) = 0

(x 5) . P(x) =0 x-5=0 v P(x) = 0 x =5 V x=-3 V x=0 V x=3.

b) (x2 4) . P(x) 0 xЄ [-3;-2] U [0;2] U [3; +∞[.

x 3 -2 0 2 3 +

sinal de P(x) + 0 - - 0 + + 0 -

x2 4 + + 5 + 0 - -4 - 0 + 5 + +

(x2 4).P(x) + + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - -

c) P(x) 0

P(x) 0 P(x) < 0 xЄ ]-3; 0 [ U ]3; +∞[.

d) P(x 4) > 0

x - -7 -4 -1 +

sinal de P(x +4)

+ +

0 0 + 0 +

P(x + 4) > 0 x - , - 7 - 4, -1

14.2. O conjunto dos valores reais de x que dão significado a cada uma das

expressões é o domínio da expressão:

a) )(

2

xP

x Domínio= IR\ {-3;0;3}

b) )1( xP

x. Domínio= IR\ {-2;1;4}

56

Tema III

Geometria no plano - Soluções

1. A) k=-1 2. D) 3. A) 4. B) 5. B) 6.1. B) 6.2. K=

7. C) 8. B) 9. B) 10.B) 11. C) 12.1. m = => (4,3)

12.2 (-3,4) 12.3. 12.4.

12.5. t (x,y)= (0; -3) +K(-1;1)

12.6 < => então F ( , )

13.1. Falsa 13.2. Verdadeira 13.3. Verdadeira

14. 1. D (-2; -11) 14.2 . t (x,y)= (-1; 2) +K(2;8) 14.3. y= 2x - 3

14.4. x = 3k y = kЄ IR.

15.1. y = x + b. Se passa por A(5, 2) então verifica 2= .5 + b < => b= assim a

equação reduzida da recta é dada por y = x .

15.2. AB // => // =>

16. D) 17. Comece por ver que há triângulos rectângulos com um dos ângulos agudos

iguais e por isso semelhantes. Utilize a projecção de um vector sobre outro.

18. B) 19) B) 20.

cos

2sen

= cosα+ (-cosα)= 0 donde opção A)

21. 25√5 21.2 x= π/2 e A(x)= 50sen (π/2) = 50x1= 50.

57

22.1. 22.2. . ou

22.3. b = . 23.1. 3= -(-3) +2 é falso 23.2. ou

23.4. 24.A) 25. E) 26. B) 27.B) 28. D)

29. x = . 30. 1

31.1

31.2. =2

.

Mas como então só pode ser k= -1 donde

32.1. . 32.2. .

58

Tema IV

Sucessões – Soluções

1. D) 2.1. e 2.2

2.3 =

2.4. . Assim, será a partir do 8º termo inclusivé.

3.(An)

= =

.1. e 4.2. Não porque . 4.3. Estritamente decrescente

tendo em conta que , . 4.4

4.5 (Un) é monótona e limitada logo (Un) é convergente. 5. C)

6. O n=799 a menor ordem que verifica 0,1( 3)nU V

6.2 b= 1/3

6.3. r= 1/3 => S= 6.4 U1= 7.

8.1. 8.2. 1425 8.3. n = 112 9. É 1

10.1. 10.2. . 12. A) 13. B)

14.1. n = 33 14.2. (Xn) é estritamente dec. 14.4. Nenhum termo pertence ao

intervalo referido. 14.5. 15. 15.2. A)

16. B) 16. A) 17. A) 18. C) 19. B)

20. A) 21. A) 22. C) 23.1. Tn+1 - Tn = 2 (m. crescente)

23.2. . 24.1. +

24.2. , -1 <Zn<1

59

24.3. Não é limitada porque admite uma subsucessão (a dos termos de ordem par) que

tem limite -1 e uma outra subsucessão (a dos termos de ordem impar) que tem limite 1.

25.1. lim Wn= +∞. 25.2 Com base na alínea anterior (Wn) não é limitada.

25.3 Wn+1- Wn = n+19>0 V Wn+1- Wn= 2n-13 que só é positivo a partir de n> 7

25.4 1+3n >1020 2n-15>1020 n> n > n>517,5 para n> 518.

60

Tema V e VI

Funções Reais de Variável real;

Derivadas e suas aplicações - Soluções

a. 3 1.2. .,3

)12(3

2 Zkkxkx

2. C) 3. B) 4. A) 5. B) 6. D) 7. Y= 1/3

7.2. ln ( ) 7.3 é decrescente em todo o domínio. 8.1 Não existe limite

8.2. Não é contínua para x=1. 8.4. em IR-, f‟(x)= 1/ (x-1) => f‟(0)= 1/ (0-1)= -1

8.5 y = - x 9. 10. 2.

4

7,

4

5,

4

3,

4

10.3 7;1

11.1 D= ;11; CD= ;22; 11.2 x=1 y= -2

11.3 y= x

x

22

34

11.4 V, F, F, F, F. 12.1 j(x)=

x22

12

em IR\{2}

12.2 Os gráficos são iguais. 13. A) 14. C) 15. C) 16. f(x)=0x=0vx=6

y=x e y=6x-x2 x=0vx=5 . para x=5 y=5 donde A(5,5).

16.2 Area= 6x5/2= 15 unidades de medida. 16.3 TMV=

16.4. f‟(x)= 6-2x => f‟(4)= 6-8 = -2. 16.5 C(3/2 , 27/4).

57. De uma função f de domínio [1; 3] sabe-se que:

• f é contínua em todo o seu domínio

• f(x) < 0 para qualquer x do intervalo [1; 3]

• f(1)= f(3)

Das afirmações seguintes em relação à função f, identifique as que são verdadeiras: As resoluções passam pela procura de um contra-exemplo

g) A função f é uma função constante.

61

Pode ser verdadeira mas também pode ser falsa pelo que não pode ser

escolhida Ex: para f1(x)= x2 - 4x verifica as condições do enunciado mas não é

constante.

h) O gráfico da função f situa-se no semi-plano inferior direito. Verdadeira para qualquer função nas condições do enunciado. O Domínio coloca o gráfico no semi-plano direito e as imagens negativas situam o gráfico no semi-plano inferior.

i) A função f é ou monótona crescente ou monótona decrescente. Falsa, porque por exemplo a função f1(x)= x2-4x não é monótona no intervalo [1;3] embora verifique as condições do enunciado.

j) A função f admite x = 1 e x = 3 como maximizante.

Falsa, porque por exemplo a função f2(x)= -x2+4x-5, x=1e x=3 não são maximizantes.

k) Se a função f não for constante então admite extremos. Verdadeira.

l) Nada se pode concluir em relação à injectividade da função f. Falsa. Porque a função é certamente não injectiva já que 1≠3 e f (1)= f(3).

58. De uma função f, de domínio IR, sabe-se que:

a sua derivada, f‟ , é definida por f ‟(x) = (2-x)ex

a ordenada do ponto de intersecção do seu gráfico com o eixo dos yy‟ é 3

65.1 Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto em que

intersecta o eixo dos yy‟.

A recta tangente tem equação y = mx+b.

A recta é tangente no ponto (0; 3) e m= f’(0) = (2-0)e0= 2x1= 2.

Então uma equação é y = 2x + 3 (por ser 3 a ordenada na origem).

58.2. Identifique os intervalos de monotonia da função f .

A monotonia pode ser estudada através dos sinais da função derivada:

x -∞ 2 +∞

f ’(x) + 0 -

f(x) Max

Assim, de acordo com o quadro podemos concluir que f é monótona crescente para xЄ ] - ∞; 2] e decrescente para x Є [2; + ∞[.

58.3. Conclua sobre a existência de extremos.

62

De acordo com a análise do quadro anterior a função admite um máximo no ponto de abcissa x=2.

60. Sabe-se que a concentração, C, em miligramas por litro, de um analgésico, na circulação sanguínea, t horas após a sua ingestão, é dada por:

C(t) = 10 (e-t – e-2t)

60.1 Determine o tempo necessário para que a concentração desse analgésico seja superior a 0,01.

C(t)>0,01 10 (e-t – e-2t) )>0,01 e-t (1– e-t)>0,001 – e-2t +e-t - 0,001>0 e-2t -e-t - 0,001< 0 Calc. Auxiliares e-2t -e-t - 0,001= 0 (e-t )2 - e-t - 0,001= 0 e-t =

2

996,01 v e-t = 2

996,01 e-t

2

998,1 v e-t

2

002,0

e-t 1 v e-t 1000 t 0 v t 1000ln t 0 v t 9,6

Assim, o tempo necessário para uma concentração superior a 0,01 miligrama é entre perto das 0 horas até cerca 6,9 h depois.

60.2 Mostre que C‟(t) = 10 (2e-2t – e-t) C’(t) = (10 (e-t – e-2t))’= 10(-e-t – (-2)e-2t )= 10(-e-t +2 e-2t)= 10(2e-2t – e-t)

60.3 Determine o tempo (hora) a partir do qual a concentração começa a diminuir. Começa a diminuir depois de atingir um máximo: Verificar se o valor que anula a derivada é um máximo. C’(t) =0 10(2e-2t – e-t)=0 10e-t(2e-t-1)=0 2e-t-1=0

e-t=1/2 t=ln2 t 69,0

t 0 ln2 +∞

C ’(t) + 0 -

C (t) Max

Logo começa a diminuir cerca de 0,7 de horas após ter sido ingerido.

63. Considere o triângulo da figura inscrito numa semi-circunferência de centro C.

63.1 Justifica que o triângulo é rectângulo. Trata-se de um triângulo inscrito numa semi-circunferência e como todos nessas condições ele também é por isso rectângulo.

63.2 Exprima a área (A) do triângulo em função do

raio e do cateto x.

x

. C

63

Num triângulo rectângulo a área é dada pela metade do produto dos catetos. Um dos catetos é x, a hipotenusa = 2r (diâmetro da circunferência ). O outro cateto pode ser obtido através do teorema de Pitágoras por c2=

224 xr

e a área por A(x) = x r x4

2

2 2

63.3 Qual deve ser o raio da circunferência para que o ângulo tenha área 10 e um cateto seja o dobro do outro?

Se x é um cateto e é o dobro do outro então c1=x e c2=2x e A = x2 (1/2 do

produto dos catetos). Se A =10 então x = 10 . Pelo teorema de Pitágoras

(2r)2 = (2x)2 + x2 4r2 = 4x2+ x2 4r2 = 5x2 , então r = 5

4

2x

.

Se x = 10 , então r = 5

410

r = 5 2

2

.

63.4 Se o raio for igual a 5, qual é a maior área do triângulo inscrito?

Seja b o outro cateto. 102 = b2 + x2 , então b = c donde A = x x100

2

2

.

A’(x)= ( x x100

2

2

)’=

2

2

1002

2100

x

x

A’(x)=0 <=> 2

2

100

2100

x

x

= 0 <=> 100-2x2= 0

<=> x2= 50 <=> x = 25 v x = 25 . Como x deve ser positivo então a solução

é analisada apenas para x = 25 .

Pela análise do quadro seguinte podemos concluir que se trata de um máximo. Assim a área do triângulo é máxima para um triângulo rectângulo de catetos

iguais a 25 x 0 25 10

A’(x) 10 + 0 +

A(x) 0 25

0

64. Na figura pode encontrar parte da representação gráfica de uma função f, de

domínio IR.

Tal como a figura sugere, o eixo OX e a recta de equação Y=1 são assímptotas

do gráfico de f.

Seja g a função, de domínio IR, definida por g(x) = ln [ f (x) ]

Numa das opções dadas está parte da representação gráfica da função g.

Em qual delas?

64

Trata-se da opção A pelas seguintes razões:

Como então

Como então

x=0 é maximizante para f donde sê-lo-á também para g já que ln é injectiva e

estritamente crescente.

65

Testes

De

Instituições diversas

66

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E ENSINO SUPERIOR

INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA

Prova de Selecção para os Candidatos ao Curso de Licenciatura em Matemática referente ao Ano Lectivo 2006/07

Data: 05/09/2006 Duração: 2h30m

1. Desligue o seu telemóvel. 2. Não utilize calculadoras. 3. Leia atentamente cada uma das questões antes de iniciar a sua resolução. 4. Apresente todos os cálculos que efectuar e justifique todos os passos nas suas resoluções. 5. Antes de entregar certifique-se que não se esqueceu de responder a nenhuma questão.

1. Factorize o mais possível o polinómio 5 4 3 2( ) 2 2 6 6 4 4A x x x x x x ,

sabendo que ele é divisível por (2x +2).

2. Num r.o.n. O, (e, )f

são dados os vectores 2( 2,3), ( 3, )a b b

e

1 2( , 1),c c c

com 1,c 2 ,c 2b IR .

a) Determine para que valor(es) reais de 2 ,b o vector b

faz um ângulo de 30º com e

( o 1º

vector da base).

b) Identifique a relação que deverá existir entre 1,c 2 ,c de modo a garantir a ortogonalidade

entre os vectores c

e a

.

3. Seja

1T um triângulo equilátero. Construa-se 2T a partir de

1T , unindo os pontos médios dos

lados de 1T e pintando a negro o triângulo central. Construa-se

nT a partir de n-1T , (n > 2)

repetindo, em cada um dos triângulos que ficaram em branco, a construção indicada, de acordo com a figura.

a) Quantos triângulos brancos há em 5T ?

b) Sendo Xn o número de triângulos brancos da figura nT , e sendo An a área de cada um deles,

mostre que as sucessões (Xn) e (An) são progressões geométricas e identifique aquela que for crescente.

67

c) Mostre que a sucessão cujo termo geral é a área total da parte branca da figura nT , é um

infinitésimo. (Caso não tenha conseguido o termo geral da sucessão pedida, utilize a

sucessão 3

n 2 9

1-3nw =

2n - n ) .

continua

4. Calcule

7

lim5

nn

n

.

5. Resolva em IR a seguinte inequação, 2 1

- 11- 2

xx

x

6. As funções g e j estão definidas respectivamente por 22

( )3

xg x

x

e ( ) - 3j x x .

a) Transcreva para a sua prova a igualdade correcta (ou A ou B ou C).

A:18

( )( ) 2 x 12x

g j x B:22

( )( ) -33

xg j x

x

C:

22 ( x -3)( )( )

3

xg j x

x

b) Analise a função g quanto à monotonia e existência de extremos. c) Averigüe e justifique com três características se o gráfico de g podia ou não ser o seguinte:

7. Considere a função real de variável real f , definida por

2( ) log cos(2 ) f x x

a) Calcule, na sua forma mais simples, a imagem de 7

8

dada por f .

b) Determine o domínio de f. c) Analise e justifique se f é ou não uma função limitada.

Questão 1. 2.a 2.b 3.a 3.b 3.c 4. 5. 6.a 6.b 6.c 7.a 7.b 7.c

Cotação 15 15 15 10 15 15 15 15 10 15 15 15 15 15

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

Bibliografia

Abrantes, P., Carvalho, R. (1986). M 12- Matemática. Lisboa. Texto Editora.

Abrantes, P., Carvalho, R. (1986). M 11- Matemática. Lisboa. Texto Editora.

Agudo, F. R. Dias. (1989). Análise Real , Volume I .Lisboa. Escolar Editora.

Alves, A., Neves, M. A., Vieira, M.T., (1984). Exercícios de Matemática: 12ºano.Porto. Porto Editora.

Apostol,Tom (2001). Cálculo Vol I . Barcelona. Editorial Reverté, S.A.

Campos, J. Ferreira Introdução à Análise Matemática. Lisboa. Fund. Calouste Gulbenkian.

Demidovicth, B. () Análise Matemática. Brasil. Editora MCGraw Hill.

Gomes, F., Lima, Yolanda (1994). 11º Matemática: XEQMAT. Lisboa. Editorial o Livro.

Guidorizzi, Hamilton (1998). Um Curso de Cálculo Vol I e II. 3ª edição. Rio de Janeiro. Editora LTC, S.A.

Neves, Mª Augusta, (2000). Matemática 11ºano - Parte 1: Geometria 2. Porto. Porto Editora.

Neves, Mª Augusta, (2000). Matemática 11ºano - Parte 2: Funções 2. Porto. Porto Editora.

Neves, Mª Augusta, (2000). Matemática 11ºano - Parte 3: Sucessões. Porto. Porto Editora.

Neves, Mª Augusta, (2000). Matemática 12ºano - Parte 2: Funções 3. Porto. Porto Editora.

Neves, Mª Augusta, (2000). Matemática 12ºano - Parte 3: Trigonometria. Porto. Porto Editora.

Neto, José (2003). Como se faz? Matemática 12ºano: Exercícios e Resoluções. Lisboa. Edições ASA.

Sequeira, F. (2001). Análise Matemática Vol I e II. Portugal. Editora Litexa.

Silva, J.S. (1975-78). Compêndio de Matemática e Guias de Utilização. Edição GEP – Ministério da Educação, Lisboa. Piskounov,N. (1975).Cálculo Diferencial e Integral, Vol I. Porto. Livraria Lopes da Silva Editora.

http://www.min-edu.pt/outerFrame.jsp?link=http%3A//www.gave.min-edu.pt/

http://www.somatematica.com.br/index2.php

http://matematicaresolvida.com/category/testes-intermedios/