FUNÇÃO AFIMFUNÇÃO AFIM

Função afim

Uma função f: ℝ ℝ é função afim quando existem os números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo x ℝ.

Exemplos

Os números reais a e b são os coeficientes da função afim sendo a = taxa de variação da função

h(x) = –5, em que: a = 0 e b = –5 

g(x) = –7x, em que: a = –7 e b = 0

f(x) = , em que: a = e b = – 6

Uma função f: ℝ ℝ é função constante se é definida por f(x) = b, com b ℝ, para todo x do domínio.

Casos particulares de função afimA função afim pode ser:

constante n(x) = –5 g(x) = f(x) = –13 f(x) =

linear h(x) = –7x h(x) = 3x g(x) = –6x f(x) = x

Uma função f: ℝ ℝ é função linear quando existe número real a, com a ≠ 0, tal que f(x) = ax, para todo x ℝ.

Valor de uma função afimDada a função afim g(x) = x – 1, vamos calcular g .Nesse caso, temos x = ; então:

Logo: g

g 

Valor de uma função afim

Se f(–1) = 7, então para x = –1 temos f(x) = 7, ou seja: 7 = a ∙ (–1) + b (I)

Dada a função afim f(x) = ax + b e conhecendo f(–1) = 7 e f(4) = 2, vamos determinar a lei de formação dessa função.

Se f(4) = 2, então para x = 4 temos f(x) = 2, ou seja: 2 = a ∙ 4 + b (II) Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema formado pelas equações (I) e (II):

Como –a + b = 7, temos: –a + 6 = 7 –a = 1 a = –1

Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = –x + 6

1. Dada a função afim f(x) = 10x + 35, calcular x para f(x) = 5. 

10x + 35 = 5 → 10x = – 30 → x = – 3

EXEMPLO

2. Sabendo que f(x – 1) = x + 5, calcular f(2) para todo x real.

Para calcular f(2), x – 1 tem que ser igual a 2, então x – 1 = 2 → x = 3. Logo f(2) = 3 + 5 = 8

3. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. Determine o lei que determina o salário desse vendedor em função do total de vendas.

4. O custo de fabricação de x unidades de um produto é C = 100 + 2x. Cada unidade é vendida pelo preço de R$ 3,00. Para haver um lucro de R$ 1200,00 devem ser vendidas k unidades. Determine o valor de k.

EXEMPLO

Gráfico da função afim – Construção do gráficoComo exemplo, vamos construir o gráfico da função f(x) = 3x – 2.

x f(x)

–1 –5

023

2 4

0 –2

1 1

g(x) = –2x + 1

Dois pontos distintos são suficientes para determinar uma reta.

Exemplos de gráfico de função afim

x g(x)–1 32 –3

f(x) = 3

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x, por isso podemos traçá-la conhecendo um único ponto.

Exemplos de gráfico de função afim

x f(x)

1 3

O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0).

Exemplos de gráfico de função afim h(x) = x

x h(x)

–1 –1

1 1

Determinação de uma função a partir do seu gráfico

1. Dado o gráfico de uma função afim, vamos determinar a lei de formação dessa função.

Exemplo

A(–2, 1)

Portanto: f(x) = x + 3 

2a + b = 1a + b = 4

⇒ a = 1 e b = 3

B(1, 4)

1 = a ∙ (–2) + bx = –2 e y = 1

4 = a ∙ (1) + bx = 1 e y = 4 Então: 

2. Determinar o ponto de intersecção das retas correspondentes aos

gráficos das funções afins f(x) = 4x + 11 e g(x) = –x + 1. 

Para que as retas tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x de modo que as imagens desse valor pelas duas funções coincidam, ou seja, f(x) = g(x).

4x + 11 = –x + 1 5x = –10 x = –2 

Exemplo

Para x = –2, temos: f(–2) = g(–2) = 3

Logo, o ponto de intersecção é (–2, 3).

3. Um arquiteto pretende construir duas casas com piscina, uma ao lado da outra. Ele

desenhou uma planta incluindo as duas casas vizinhas e está em dúvida sobre a

medida de um dos lados de cada piscina, pois precisa construir as casas de modo

que a área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2 seja maior que a área ocupada

pela casa 1 e pela piscina 1. Nessas condições, qual deve ser o valor de x?

Vamos determinar as leis das funções que representam a área que cada casa e sua piscina ocupam em função da medida x.

Vamos determinar as leis das funções que representam a área que cada casa e sua piscina ocupam em função da medida x.

RESOLUÇÃO

Área ocupada pela casa 1 e pela piscina 1: A1 =

Área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2: A2 =

Para A1 = A2, temos x = 11, que é abscissa do ponto de intersecção dos gráficos que representam A1 e A2.

Pelo esboço dos gráficos, podemos perceber que A2 é maior que A1 quando x

> 11, pois, nesse intervalo, o gráfico de A2 está acima do gráfico de A1. Portanto, x tem de ser maior que 11 m.

4. Física. O movimento uniforme é caracterizado pelo fato de a velocidade do móvel ser constante. Por esse motivo, o espaço percorrido em intervalos iguais é sempre o mesmo. Assim, a função horária desse movimento é dada pela lei s(t) = s0 + v ∙ t, em que s

é a posição (em metro) do móvel no instante t (em segundo), s0, o espaço inicial quando t = 0, e v, a velocidade constante (em m/s).

a) Qual é a função horária do movimento correspondente ao gráfico?b) Quais são o domínio e o conjunto imagem dessa função?c) Qual será a posição do móvel após 10 segundos?d) Após quanto tempo o móvel estará na posição 120 metros?

a) Observando o gráfico, percebemos que s0 = 20; então: s(t) = 20 + vt

Como s(2) = 30, então: 20 + 2v = 30 v = 5. Portanto, a função horária do movimento é: s(t) = 20 + 5t

b) Pelo gráfico, podemos observar que D(s) = e Im(s) = {s ℝ 𝖨 s ≥ 20}. c) Para t = 10, temos: s(10) = 20 + 5 ∙ 10 = 70Portanto, após 10 segundos, o móvel estará na posição 70 metros.d) Para s(t) = 120, temos: 20 + 5 = 120 t = 20

Portanto, após 20 segundos, o móvel estará na posição 120 metros.

Intersecção da reta...

... com o eixo x: zero da função... com o eixo y: coeficiente b

Análise do gráfico da função afim

Exemplo

Vamos determinar o zero da função f(x) = x – e o ponto onde a reta intercepta o eixo x.

x – = 0 x = (zero da função)

f(x) é crescente

Quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de f(x) também aumentam.

Crescimento e decrescimento de uma função afim f(x) = 2x – 1 

g(x) é decrescente

Quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de g(x) diminuem.

g(x) = –3x + 1

Crescimento e decrescimento de uma função afim

Função crescente (a > 0)

x2 > x1 ax2 + b > ax1 + b, ou seja, f(x2) > f(x1)

Crescimento e decrescimento de uma função afim

Função decrescente (a < 0)

x2 > x1 ax2 + b < ax1 + b, ou seja, f(x2) < f(x1)

Crescimento e decrescimento de uma função afim

Função crescente (a > 0)

f(x) = 0 para x =

f(x) > 0 para x >

f(x) < 0 para x <

Estudo do sinal da função afim

Função decrescente (a < 0)

f(x) = 0 para x =

f(x) > 0 para x <

f(x) < 0 para x >

Estudo do sinal da função afim

Determinar o valor de m para que o gráfico da função

j(x) = (–3 + 6m)x + 5 intercepte o eixo das abscissas no ponto (1, 0).

ResoluçãoComo o ponto (1, 0) pertence ao gráfico da função j, então j(1) = 0.

Assim: 0 = (–3 + 6m) ∙ 1 + 5 ⇒ 6m = –2 ⇒ m = –

Logo, para m = – , o gráfico da função interceptará o eixo das abscissas no ponto (1, 0).

Exemplo

Dada a função afim f(x) = (–3 + m)x + 7, discutir para quais valores de m a função é crescente, decrescente ou constante.

ResoluçãoObserve que o coeficiente de x nessa função é (–3 + m).

A função é crescente se: –3 + m > 0 ⇒ m > 3A função é decrescente se: –3 + m < 0 ⇒ m < 3A função é constante se: –3 + m = 0 ⇒ m = 3

Para esses casos temos uma função do tipo ax + b, com a ≠ 0.

Exemplo

Exemplos:Considere a função g(x) = (m – 2)x + 1, com m real.a) Calcule m de modo que g seja crescente.b) Determine m para que o ângulo entre o eixo x e a reta de g seja

obtuso.Resolução:

a)Para que f seja crescente, m – 2 > 0. Logo, m > 2.

b)Se o ângulo é obtuso, então o gráfico é decrescente. Logo, m – 2 < 0. Conclui-se que m < 2.

O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 unidades monetárias, e daqui a 5 anos valerá 1.000 unidades monetárias, calcule seu valor daqui a 3 anos.

Exemplo

1. Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = - 8, calcule:a) Os valores de m e n. b) f(10)

Exemplo

b) f(x) = 4x – 12. Então f(10) = 4.10 – 12 = 40 – 12 = 28