Introdução à Trigonometria

Circunferência e Relações Trigonométricas

RANILDO LOPES

1

-1

A função seno

0

π/2

π

3π/2

2π π/2π

3π/2 2π x

y

D = RIm=[-1,1]P = 2π

1

-1

A função cosseno

0

π/2

π

3π/2 2π

π/2π

3π/2 2π x

y

D = RIm=[-1,1]P = 2π

π/2 π 3π/2 2π

1

-1

y=senx

Y=2senx

y=3senx

A função tangente

0

π/2

π

3 π/2

2π

0 π/2 π x

y

Estudo da funEstudo da funçção senoão seno

6

f(x) = sen x

x sen x

0

π/6

π/4π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

0

0

0

1/ 2

1/ 2

1/ 2−

1/ 2−

2 / 2

2 / 2

2 / 2−

2 / 2−

3 / 2

3 / 2

3 / 2−

3 / 2−

1

1−

7

Estudo da funEstudo da funçção senoão senoObservaObservaçções:ões:

1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de xexiste um e apenas um valor para sen x.

2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [−1,1].

3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [−1,1] ≠ , isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.

4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de xtemos o mesmo f(x). Por exemplo,

5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja x∈D(f) = temos sen x = −sen (−x). Por exemplo,

5 3 ... 1.2 2 2π π π⎛ ⎞= = − = =⎜ ⎟

⎝ ⎠sen sen sen

1 1 .6 2 6 2π π⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠sen sen

8

Estudo da funEstudo da funçção senoão senoPeriodicidade:Periodicidade:

O período da função seno é de 2πe indicamos assim: p = 2π

9

Estudo da funEstudo da funçção senoão senoSinal:Sinal:

A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3ºe 4º quadrantes.

10

Estudo da funEstudo da funçção ão cossenocosseno

f(x) = cos x

x cos x

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/25π/3

7π/4

11π/6

2π

0

1−

0

3 / 2

3 / 2−

3 / 2−

3 / 2

2 / 2

2 / 2−

2 / 2−

2 / 2

1/ 2

1/ 2−

1/ 2−

1/ 2

1

0

11

Estudo da funEstudo da funçção ão cossenocosseno

ObservaObservaçções:ões:

1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoidetransladada π/2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno.

2ª) O domínio é o mesmo: D =

3ª) A imagem é a mesma: Im = [−1,1].

4ª) O período é o mesmo: p = 2π.

5ª) A função cosseno não é nem injetiva.

6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (−x).

12

Estudo da funEstudo da funçção ão cossenocossenoSinal:Sinal: A função é positiva para

valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2ºe 3º quadrantes.

x cos x

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/25π/3

7π/4

11π/6

2π13

0

0

0

3 / 3

3 / 3−

3 / 3

3 / 3−

1

1−

1

1−

3

3−

3

3−

∃

∃

Estudo da funEstudo da funçção tangenteão tangente

f(x) = tg x

14

ObservaObservaçções:ões:

Estudo da funEstudo da funçção tangenteão tangente

1ª) Domínio:

2ª) Imagem: Im = .

3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.

4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x = − tg (−x).

5ª) Período: p = π.

| , .2

D = k kx x π⎧ ⎫− ∈ = + π ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

15

Estudo da funEstudo da funçção tangenteão tangenteSinal:Sinal:

A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2ºe 4º quadrantes.

16

FunFunçções trigonomões trigonoméétricastricas

x sen x y = 2 + sen x

0

2π

π

32π

2π

0

1

0

1−

0

2 0 2+ =

2 1 3+ =

2 0 2+ =

( )2 1 1+ − =

2 0 2+ =

( ) 2 .f x sen x, com x= + ∈

17

FunFunçções trigonomões trigonoméétricastricas

( ) .f x cos 2x, com x= ∈x 2x y = cos 2x

0

2π

π

32π

2π

1

0

1−

0

1

0

4π

2π

34π

π

FunFunçções trigonomões trigonoméétricas inversastricas inversas

Para admitir a inversa, a função deve ser bijetora.

Dada a função x = sen y, a função inversa será y = arcsen x.

Dada a função x = cos y, a função inversa será y = arccos x.

Dada a função x = tg y, a função inversa será y = arctg x.

( )

1 .2 2 2 6

2 30 .2 4

53 .2 2 3

Se x e x arcsen , então x

Se x e x arccos , então x

Se x e x arctg , então x

π π π− < < = =

⎛ ⎞ π< < π = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

π π π− < < = − =

FUVEST- A figura a seguir mostra parte dográfico da função:a)Senxb)2senx/2c)2senxd)2sen2xe)sen2x