LISTA DE APLICAES DAS LEIS DO SENO E COSSENO - GABARITO 1) Um tringulo tal que AB = 2 3 cm e AC = 6cm. Calcule a medida do lado BC sabendo que os ngulos internos dos vrtices B e C so tais que B = 2C. Soluo. O lado AC est oposto ao ngulo B. O lado AB est oposto ao ngulo C. Aplicando a lei

dos senos, temos:

6 2 3 . O termo sen2C pode ser desenvolvido como: 2senCcosC. = sen2C senC

Voltando ao problema, temos:2 3 ( 2senC cos C ) 6 2 3 6 6 3 3 = 6 = 6 = 4 3 cos C cos C = = = . sen 2C senC senC 2 4 3 4 3 3

Logo C = 30

e B = 2C = 60. Esse resultado indica que o terceiro ngulo vale 90 e o tringulo retngulo. O lado BC oposto ao ngulo reto hipotenusa e vale:a = 62 + 2 3

(

)

2

= 3 + 2 = 4 =4 3cm . 6 1 8

2) No tringulo da figura, x = 30, y = 15 e AC mede 15 2 . Calcule o lado BC. Soluo. O ngulo B vale: 180 - (30 + 15) = 135. Aplicando a lei dos senos, temos:15 2 BC 15 2 BC 15 2 BC = = = 1 senB senx sen135 sen30 2 2 2 15 2 . 1 2 = BC . BC = 15. 2 2

3) Considere um tringulo cujos lados medem 5cm, 6cm e 9cm. Qual a rea de um quadrado cujo lado a mediana relativa ao maior lado do tringulo considerado em centmetros quadrados? Soluo. Aplicando a lei dos cossenos, temos: i)6 2 = 5 2 + 9 2 2(5)( 9) cos y cos y = 36 106 70 = 90 90

ii)

9 9 m 2 = 5 2 + 2(5)( ) cos y 2 2 . 81 70 2 2 2 m = 25 + 45( ) m = 10,25cm 4 90

2

4) Calcule o cosseno do ngulo obtuso x do tringulo ABC. Soluo. Aplicando a lei dos senos, temos:

3 4 3 4 1 = = 3senx = 4. 1 senx sen30 senx 2 2 2 2 3senx = 2 senx = . cos x = 1 3 3 cos x = 1 cos x = 4 5 5 = = 9 9 32

5 (obtuso negativo) 3

5) Calcule a soma dos lados AC e BC do tringulo. Soluo. Aplicando a lei dos senos, temos:

i)

3 2 BC 3 2 4 3 2 = = 1 sen30 sen 45 2 2 2 2 32 . BC 2.3.2 = BC = =6 2 2 2

( )

2

= BC .

1 2

ii) Aplicando a lei dos cossenos em relao ao lado AB, temos:

(3 2 ) 2 = BC 2 + AC 2 2( BC )( AC ) cos 30 12 = 36 + AC 2 2(6)( AC ).2

3 2

12 3 AC AC 18 + 36 = 0 AC 2 6 AC + 18 = 0 AC 2 6 3 AC + 18 = 0 2

. Resolvendo:

AC =

( 6 3 ) 108 4(1)( +18 ) 6 3 36 6 3 6 = = = 3( 3 1) . Como o ngulo oposto 2 2 2

ao lado AC obtuso, ele o maior lado. Logo AC = 3( 3 + 1). Logo a soma pedida AC + BC ser o valorA C +C = + ( B 6 3 3 + ) ( 2,7 ) + =4 ,2. 1 3 3 6 1

6) Calcule o valor de cos x no tringulo da figura. Soluo. Aplicando a lei dos cossenos, temos:

3R 2 2 2 2 2 = R + R 2( R )( R ) cos x 9 R = 8 R 8( R ) cos x 2 1 R 2 = 8( R 2 ) cos x cos x = 8

2

7) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapzio como na figura. As bases WZ e XY do trapzio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Se o ngulo XYZ o dobro do ngulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica margem do rio : (A) 7,5. (B) 5,7. (C) 4,7. (D) 4,3. (E) 3,7. Soluo. Traando uma paralela ao lado WX, construmos um tringulo issceles com os dois ngulos iguais a b. Logo, o lado YZ possui a mesma medida de 3,7km do outro lado.

8) Dois edifcios, X e Y, esto um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no p do edifcio X (ponto P), mede um ngulo em relao ao topo do edifcio Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifcio X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retngulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ngulo em relao ao ponto Q no edifcio Y. Sabendo que a altura do edifcio X 10 m e que 3 tg = 4 tg , a altura h do edifcio Y, em metros, : (A)40/3 (B)50/4 (C) 30. (D) 40. (E) 50. 3tg = 4tg, temos: Soluo. Observando os tringulos QPT e QRS, calculamos as tangentes de e :

tg =

QT QS h 10 h = = e tg = . Como PT PT RS PTh h 10 = 4. PT PT 3h = 4h 40 h = 40 m 3.

9) Calcule a rea do tringulo. Soluo. A rea do tringulo dada pelo metade do produto da base pela altura: A =

b.h . A base x pode ser calculada 2

7 2 = 5 2 + x 2 2(5)( x) cos 60

pela lei dos cossenos:

1 49 = 25 + x 2 10 x x 2 5 x + 24 = 0 2 ( x 8)( x + 3) = 0 x = 8( positiva ) 3 (8).( 5). 2 40 3 = A= = 10 3 17 2 4

h Como = sen60 h = 5sen60 , a rea do tringulo ser: 5