Trigonometria em Livros Didáticos do 9° Ano do Ensino Fundamental

Aprovados Pelo PNLD/20141

Luana Vieira Ramalho2

GD2: Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental

Resumo: Este artigo é um recorte da pesquisa de Mestrado em desenvolvimento no Programa de Pós-

Graduação em Educação Matemática (PPGEduMat), na Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Nosso

objetivo é analisar o ensino da Trigonometria nos livros didáticos do 9o ano do ensino fundamental aprovados

no Programa Nacional do Livro Didático (2014). Para tal estudo, a Teoria Antropológica do Didático se

constitui como referencial teórico e metodológico, por meio da qual é possível analisar as organizações

matemática e didática propostas nos livros didáticos. Pretendemos, assim, com essa pesquisa, caracterizar,

tanto a Matemática presente quanto às escolhas didáticas dos autores de cada livro analisado.

Palavras chaves: Ensino; Trigonometria; Praxeologia.

Introdução

Em experiências como bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência

(PIBID) do período de 2011 a 2013, percebia que muitos estudantes chegavam ao Ensino

Médio com dificuldades relativas à trigonometria o que consequentemente dificultava a

compreensão de novos conceitos trigonométricos. Essa observação despertou meu

interesse em investigar, entre outros fatores, como está sendo proposto o ensino de

Trigonometria nos livros didáticos, em particular no ensino fundamental, tendo em vista

que é nesse nível escolar que os estudos relativos à Trigonometria têm início. Para iniciar

essa investigação buscamos, em alguns documentos oficiais, compreender o que é proposto

para o ensino da trigonometria no ensino fundamental. Em seguida fizemos uma primeira

busca de pesquisas que discutem o ensino e a aprendizagem da Trigonometria, com o

objetivo de começar a fazer um breve mapeamento do que tem sido feito relativo a esse

tema. A seguir discutimos brevemente os principais pontos dessas leituras.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCN) (BRASIL, 1998)

relatam que o ensino da Matemática deve levar o aluno a valorizar essa ciência como

instrumento para compreender o mundo à sua volta, além de estimular o interesse, a

curiosidade, a investigação e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. No

1 Pesquisa estricto sensu em nível mestrado financiado pela Coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal

de Nível Superior - CAPES 2 Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, e-mail: luana-ramalho@hotmail.com , orientadora: Prof. ª

Dra. Marilena Bittar

que diz respeito à Trigonometria, encontramos nos Parâmetros Curriculares do Ensino

Médio (PCNEM) (BRASIL, 1999) que,

[...] tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o

desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigonometria, desde que

seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no

cálculo algébrico das identidades e equações para enfatizar os aspectos

importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos.

Especialmente para o indivíduo que não prosseguirá seus estudos nas carreiras

ditas exatas, o que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na

resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de

distâncias inacessíveis, e na construção de modelos que correspondem a

fenômenos periódicos. (BRASIL, 1999, p.44)

Esse documento sugere que o critério central do ensino da Trigonometria deve ser a

contextualização, para que o aluno estabeleça conexões entre diversos conceitos da

Matemática e diferentes formas do pensamento matemático. Vale dizer que, o documento

Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCNEM) (BRASIL, 2006) pontua a

necessidade dos conhecimentos básicos da Trigonometria para a continuidade de seu

estudo no ensino médio, em particular no estudo das funções trigonométricas.

Desse modo, no estudo inicial das razões trigonométricas seno e cosseno, deve-se ressaltar

que são as propriedades de semelhança de triângulos que dão sentido a essas definições. A

partir das definições e de propriedades básicas de triângulos, devem ser justificados os

valores de seno e cosseno relativos aos ângulos de medida 300º, 450º e 600º. (BRASIL,

2006). Esse estudo primário da Trigonometria é apresentado no 9º ano do Ensino

Fundamental, o que diante dos documentos oficiais mostra-se pertinente no que diz

respeito a fundamentar um estudo mais abrangente em séries posteriores.

Nas pesquisas de Lindegger (2000) e de Rossa (2011) é observado que o ensino e a

aprendizagem da trigonometria no ensino fundamental, apresentam características de um

aprendizado mecanizado. Nesta perspectiva, o interesse de Lindegger foi de investigar uma

abordagem para o ensino da trigonometria no triângulo retângulo a partir da manipulação

de modelos. A questão de pesquisa de Lindegger foi “Como abordar o conteúdo relativo à

trigonometria do triângulo retângulo (seno, co-seno e tangente) de forma a possibilitar que

o aluno compreenda seus conceitos? E, consequentemente investigar quais os fatores que

interferem na aquisição desses conceitos.” Lindegger teve como hipótese que o

desenvolvimento de uma sequência de ensino com situações problemas, a partir de

questões simples e contextualizadas, proporcionariam um ambiente facilitador para a

construção e a apropriação de conceitos trigonométricos. A pesquisa foi desenvolvida com

dois grupos: no primeiro foi aplicada uma sequência de ensino com pressuposto teórico

construtivista; já no segundo a abordagem da trigonometria se deu de forma tradicional,

considerado pelo autor como definições seguidas de exercícios. Nas análises finais após

comparar os resultados obtidos da experimentação com os dois grupos, o autor concluiu

que o primeiro grupo apresentou um desempenho satisfatório e superior ao do segundo

grupo. Em geral, a pesquisa proporcionou pistas significativas sobre o processo de ensino e

aprendizagem. Segundo o autor a mais valiosa delas foi que o processo de construção dos

conceitos básicos da trigonometria, a exemplo da história da trigonometria, adquire força

quando inicia-se a partir da resolução de problemas concretos, advindos da realidade,

dirigindo para problemas formais, quando os conceitos ganham significado mais abstrato e

abrangente.

Rossa (2011) analisou o processo do pensamento conceitual da trigonometria, em

particular o conceito de seno de um ângulo, tendo como base uma atividade de ensino

planejada à luz da teoria histórico-cultural de Vygotsky. Teve como questão de pesquisa

“Quais as manifestações de aprendizagem do conceito de seno, por 32 alunos do 9º ano

escolar, ao executar uma atividade de estudo que tem como referência as significações do

ciclo trigonométrico?”. Para responder esse questionamento, a autora analisou o processo

de execução das tarefas e das operações referentes à construção do ciclo trigonométrico

proposto na atividade de ensino. Para as análises foram estabelecidos três focos: a

execução das operações referentes à construção do ciclo trigonométrico, as operações

referentes às inter-relações entre as ideias ou significações conceituais e as elaborações

conceituais de seno. A autora concluiu que a atividade de ensino oportunizou o

desenvolvimento do pensamento conceitual da trigonometria pelos alunos, dentro dos

limites que se propôs, produzindo reflexos positivos e de real significado para professor e

aluno, de modo a propiciar algumas reflexões sobre o ensino da trigonometria no ensino

fundamental.

Observa-se que as pesquisas de Lindegger (2000) e de Rossa (2011) são voltadas para a

aprendizagem da trigonometria, mas o que chama nossa atenção é que essas pesquisas

apresentam um tópico em que se discute, por um viés analítico, como que está sendo

introduzido o conteúdo de trigonometria pelo livro didático (LD). Por exemplo, Rossa

(2011) argumenta que mesmo não sendo o foco da sua pesquisa, o estudo desse conteúdo

no livro didático se faz necessário ao buscar significações atuais para sala aula, e isto

possibilitou à autora verificar a rotina de estudo sobre o tema no 9º ano do ensino

fundamental diante do que estava proposto pelo livro didático.

Desse modo, percebemos uma proximidade dessas pesquisas ao que pretendemos

investigar, no que se refere à análise do ensino da trigonometria no livro didático. Nessas

pesquisas, essa análise contribuiu no sentido de fornecer elementos para inferir ou

caracterizar, como possivelmente estava sendo abordado esse tema na sala de aula, visto

que Lindegger (2000) pontua que o LD pode influenciar ou servir de referência para os

professores na formação de estratégias para a abordagem um conteúdo. Em geral, mesmo

apresentando uma discussão em torno do ensino da Trigonometria nos livros didáticos, elas

mantêm seu foco em questões relativas à aprendizagem, o que de certo modo, deixa

margem à minha pretensão em analisar o livro didático, especificamente a Trigonometria

que por ele é abordada.

Segundo Frison et. al. (2009) os livros didáticos são tidos como um recurso educacional

importante, uma vez que são neles que estão propostos os conteúdos considerados

essenciais a serem ensinados e aprendidos. Desse modo, o livro didático pode influenciar o

planejamento das aulas, embora os Parâmetros Curriculares Nacionais sugiram aos

professores o uso também de outras fontes de saber, como material de apoio para

elaboração das aulas. Tendo em vista a influência do livro didático na prática do professor

e a minha inquietude em analisar o ensino da trigonometria, apresentamos a seguinte

questão Como é proposto o ensino da Trigonometria em livros didáticos do 9º ano do

ensino fundamental? A escolha pelo 9° ano do ensino fundamental se dá por ser nessa

fase que os estudos sobre o tema têm início.

O Guia do Programa Nacional do Livro Didático disponibiliza a qualquer interessado uma

análise, em forma de resenha, das coleções aprovadas pelo PNLD. Essa publicação

objetiva auxiliar os professores na escolha do livro didático para o triênio, uma vez que o

governo federal compra os livros didáticos de três em três anos. Em busca de mais

informações sobre o ensino da trigonometria, analisaremos de forma detalhada esse

conteúdo nos livros didáticos do 9º ano aprovados pelo PNLD/2014 que, de certa forma,

enriquece as dados já conhecidos por meio das resenhas publicadas no Guia de 2014.

Assim, com objeto geral de caracterizar o ensino de trigonometria em livros didáticos

destinados ao 9o ano do ensino fundamental, aprovados pelo PNLD/2014, elencamos dois

objetivos específicos: identificar e analisar, em livros didáticos destinados ao 9º ano do

ensino fundamental, conceitos, procedimentos e algoritmos relativos à trigonometria, e as

escolhas didáticas realizadas por autores desses livros relativas ao ensino de trigonometria.

A análise do ensino da trigonometria nos livros didáticos será realizada por intermédio da

Teoria Antropológica do Didático (TAD), desenvolvida por Yves Chevallard nos anos de

1990; ela oferece instrumentos teóricos e metodológicos para investigar e modelar a

atividade Matemática, constituindo-se um recurso para a análise de livros didáticos. Esses

recursos permitem analisar a organização matemática, em que se refere a que matemática

está sendo proposta? E também analisar a organização didática, ou seja, a maneira como

esse conteúdo está sendo apresentado no livro didático.

Teoria Antropológica do Didático (TAD)

A Teoria Antropológica do Didático nos oferece instrumentos que permitem modelar e

investigar a atividade matemática. Um dos postulados básicos da teoria é que toda

atividade humana pode ser entendida por uma praxeologia e nesse sentido a atividade

matemática está situada no conjunto das atividades humanas e das instituições sociais. A

praxeologia é entendida como a forma de entender as ações humanas de maneira a permitir

a análise e a modelagem das práticas sociais, em particular da atividade matemática.

Chevallard (1999) pontua o estudo da atividade matemática por meio do modelo

praxeológico, constituído pela noção de tipo de tarefa ( ), técnica ( ), tecnologia ( ) e

teoria ( ), o qual pode ser representado pela notação , , ]. Esse autor

caracteriza o modelo praxeológico como sendo formado por dois blocos, o prático técnico

[T, ] referindo-se ao saber-fazer, que está relacionado à prática. E o tecnológico-teórico

[ ] compreendido como o saber.

Na análise praxeológica associada a um saber, relativo às práticas de ensino, devemos

considerar duas realidades: primeiro, a realidade matemática que pode ser constituída e que

será denominada praxeologia matemática (ou organização matemática) e, em segundo

lugar, a maneira pela qual ela pode ser apresentada, que se denomina organização didática.

A teoria permite estudar a organização didática e a organização matemática pelo quarteto

praxeológico. Outro recurso que a teoria oferece e que usaremos para a análise da

organização didática são os momentos didáticos, que a nosso ver se adequam melhor aos

nossos objetivos. Desse modo, apresentaremos a seguir a noção de cada um dos elementos

que compõem o quarteto praxeológico que usaremos para a análise da organização

matemática e, em seguida, discursaremos sobre os momentos didáticos.

Elementos do modelo praxeológico e os momentos didáticos

Segundo Saddo (2007), a modelagem da atividade matemática usando o modelo

praxeológico se baseia em dois postulados:

1° - Toda prática institucional pode ser analisada, sob diferentes pontos de vistas

e de diferentes maneiras, em um sistema de tarefas relativamente bem

delineadas.

2° - O cumprimento de toda tarefa decorre do desenvolvimento de uma técnica.

(SADDO, 2007 p. 144)

Assim, dentre os elementos do quarteto praxeológico pelo qual se representa uma

praxeologia, tem-se o tipo de tarefa (T) o qual se exprime por um verbo de ação, a exemplo

o verbo calcular. Por outro lado, note que quando dizemos “calcule”, essa palavra sozinha

não nos diz o que é para ser realizado ao certo, ou seja, o que é para ser calculado? Assim,

quando referimos apenas ao verbo fica caracterizado com gênero de tarefa, e quando

especificamos o que é para ser feito como: calcular sen x° + cos x°, dizemos que é um tipo

de tarefa. O Tipo de tarefa pode ser considerado como um conjunto de tarefas (t) que

tenham características comuns, por exemplo, dentro do conjunto: calcular sen x° + cos x°,

podemos der várias tarefas, como: calcular sen 20° + cos 30°; calcular sen 300° – cos 15°.

Podemos entender melhor a relação entre tipos de tarefas e suas respectivas tarefas (t1, t2,

t3, ..., tn) por meio do diagrama a seguir.

Figura 1. Representação gráfica da relação entre tipo de tarefa (T) e tarefa (t).

Fonte: Nossa autoria

Para realizar um tipo de tarefa, bem como, uma tarefa, é necessária uma maneira de fazer,

ou seja, utilizar-se de um artifício com finalidade de desenvolver o tipo de tarefa que foi

proposto, essa maneira de fazer ou realizar a tarefa é tido como técnica. O que justifica e

mostra o alcance da técnica utilizada é chamado de tecnologia ( e essa justificativa é

realizada por meio de um discurso descritivo. E o que justifica e esclarece a tecnologia,

bem como a torna inteligível é a teoria ( .

Para melhor compreender esses elementos praxeológicos, analisaremos a resolução

proposta no exercício a seguir, retirado de um dos livros a serem analisados. A atividade

requer o cálculo da altura da altura de um prédio:

Figura 2. Cálculo da tangente do ângulo de 30°.

Fonte: Praticando Matemática - Matemática - 9° ano, p. 215.

Observe que foram dados, no exercício, a medida de um ângulo (30°) e de um cateto

adjacente (60 metros), e pede-se a altura do edifício que corresponde ao outro cateto do

triângulo equilátero. Como o livro traz a tabela trigonométrica, com valores aproximados

para o seno, cosseno e tangente dos ângulos de 1° a 90°, o aprendiz pode olhar nessa tabela

os valores das relações trigonométricas para dar continuidade à resolução do exercício.

Uma das maneiras de solucionar esse problema é usando, como técnica ( ), a fórmula para

o cálculo da tangente de um ângulo (tg =

. Observemos a resolução

proposta no livro didático.

Figura 3. Figura 2. Cálculo da tangente do ângulo de 30°.

Fonte: Praticando Matemática - 9° ano, p. 215.

Se entendemos a técnica como sendo constituída de ações realizadas na resolução da

tarefa, identificamos, nessa resolução, duas técnicas:

− aplicação da definição de tangente;

− resolução da equação do 1º grau.

Essas técnicas podem ser justificadas por meio da relação trigonométrica da tangente, que

passa a ser a tecnologia dessas técnicas. A teoria ( que justifica o uso dessa tecnologia é

a trigonometria no triângulo retângulo.

Nogueira (2008) pontua que um conjunto de técnicas, de tecnologias e de teorias

organizadas em torno de um tipo de tarefa forma uma praxeologia pontual. Da mesma

forma a reunião de várias praxeologias pontuais justificados pela mesma tecnologia,

constitui a praxeologia local. Consequentemente a reunião de várias praxeologias locais

justificadas pela mesma teoria, forma a praxeologia regional. Essas organizações podem

ser agrupadas como segue:

Figura 4. Níveis de determinação das estruturas praxeológicas matemáticas

Fonte: Carvalho 2012, p. 48

Observa-se neste esquema que a organização pontual se desenvolve em torno de um tipo

de tarefa. As praxeologias locais agregam várias organizações locais constituídas em torno

de uma tecnologia comum. A organização regional consiste da reunião de várias

praxeologias locais que se referem a uma mesma teoria.

Para o estudo das escolhas didáticas de apresentação de um conteúdo no livro didático, a

identificação e análise dos momentos didáticos constitui ferramenta teórica e metodológica

pertinente. De acordo com Chevallard (1999) o primeiro momento didático refere-se ao

primeiro encontro com a organização matemática que será construída e modificada durante

o processo de estudo; ele pode acontecer com um (re) encontro do objeto de estudo por

meio de pelo menos uma tarefa ou algum comentário do professor. Na análise do livro

didático é observado o que o autor apresenta, pela primeira, para abordar o estudo da

trigonometria.

O segundo momento consiste da exploração do tipo de tarefa e do início da elaboração da

técnica para resolver esse tipo de tarefa. Esse momento é reservado para discussões sobre

as técnicas que levaram à resolução do problema e por esse motivo é considerado por

Chevallard como coração da atividade Matemática. Ou seja, nesse momento é observado

o que o autor utilizou para explorar o primeiro momento com o objeto de estudo. O

terceiro momento é a constituição do entorno tecnológico-teórico relativo ao trabalho com

a técnica. Esse momento está articulado com os momentos anteriores, tendo em vista que a

resolução das tarefas consiste numa série de aplicações do bloco tecnológico-teórico. O

quarto momento é reservado para o trabalho com técnica, no sentido de melhorar e torná-la

mais eficaz e mais confiável, na tentativa de solucionar uma tarefa, determinando sua

precisão e seu alcance, implicando ou não no surgimento de uma nova técnica.

O quinto momento é dedicado à institucionalização dos objetos matemáticos que farão

parte da organização matemática. Podemos dizer que é o momento em que os

conhecimentos são oficializados de acordo com a instituição em que se desenvolveu a

atividade. Esse momento pode ser exemplificado quando os autores dos livros didáticos

depois de definirem os objetos matemáticos fazem a distinção dos elementos que entraram

de maneira definitiva na organização matemática. O sexto momento, é o momento da

avaliação, que se articula com o momento da institucionalização, visto a suposição de

relações institucionais, mas transcendentes as pessoas. Dizemos que é o momento em que

se faz um balanço, caracterizando como um momento de reflexão de tudo que foi estudado.

A compreensão de como esses momentos ocorre e a sua identificação são fundamentais

para a análise da organização didática proposta pelos autores dos livros didáticos, tendo em

vista que esses momentos não precisam necessariamente seguir uma ordem pré-

determinada. Pode acontecer também que o autor inicie o estudo de um determinado tema

por meio de uma abordagem axiomática, e nesse caso observa-se que o primeiro momento

acontece, no entanto coincide com o terceiro momento Por isso a importância para a

análise da organização didática a identificação desses momentos. Bosch e Chevallard

(1999) definem, ainda, os objetos ostensivos e não ostensivos, para se referir a todo objeto

de natureza sensível e de certa materialidade.

Os objetos ostensivos são aqueles que possuem materialidade, sendo possível manipular e

de serem percebidos por algum dos órgãos dos sentidos, a exemplo: as figuras geométricas

e a escrita são perceptíveis pela visão, e até mesmo pela fala e/ou sons. São considerados

objetos não ostensivos os que não são manipuláveis, como o pensamento e os conceitos.

Por exemplo, podemos dizer que o registro escrito f(x) = sen (2x) e o gráfico dessa função

é considerado um objeto ostensivo e por outro lado, a ideia de função é um objeto não

ostensivo.

Segundo Chevallard e Bosch (1999), quando estamos usando uma técnica a fim de resolver

uma atividade, estamos manipulando os objetos ostensivos. Estes ostensivos são

conduzidos pelos não ostensivos, tendo em vista que todo discurso tecnológico ou teórico

se executa pela manipulação dos ostensivos. Em particular essa manipulação é realizada

por meio dos discursos escritos, os quais permitem materializar as explicações e

justificativas; isso porque os objetos não ostensivos, como os conceitos, só podem serem

invocados pela manipulação de certos objetos ostensivos que lhe são associados, como

uma palavra, uma frase, um gráfico, um gesto ou todo um discurso.

No exercício descrito e resolvido anteriormente, o cateto adjacente mede 60 metros e

queremos saber a medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. Para calcularmos a altura do

prédio, temos que pensar em qual técnica que poderia auxiliar na resolução do exercício,

ou seja, o ato de pensar, refletir quem é o cateto oposto e o cateto adjacente e qual

definição trigonométrica utilizar– o conceito-, é considerado objeto não ostensivo. É

observado ainda, que para resolvê-lo houve a manipulação de objetos ostensivos, que

foram os códigos, ou seja, os registros escritos. Sendo assim, podemos dizer que em geral a

resolução das tarefas consiste na articulação entre certo número de objetos ostensivos e não

ostensivos.

Assim, segundo Saddo (2007), os ostensivos são ferramentas materiais para ação nas

organizações matemática e desse modo, dizemos que muitos objetos ostensivos aparecem

na realização das atividades matemáticas sem poder ser ativados individualmente, porque

dependem da técnica adotada e dos registros utilizados.

Procedimentos metodológicos

Em busca de atingir os objetivos traçamos alguns procedimentos para a pesquisa.

Inicialmente foi realizada a escolha dos livros didáticos, os quais foram escolhidos

mediante a leitura do Programa Nacional do Ensino Médio (PNLD) (BRASIL, 2014).

Desse modo, escolhemos os livros aprovados pelo PNLD/2014. Em seguida, faremos um

estudo sobre a TAD de maneira a dar condições de realizar o estudo praxeológico do

conteúdo proposto.

Em seguida faremos a análise do ensino da trigonometria no livro didático, buscando

identificar na organização matemática, quais tipos de tarefas, técnicas, tecnologia e teoria.

E na organização didática, por meio dos momentos didáticos, como está apresentado o

conteúdo.

Nossa análise se iniciará pelo livro mais vendido, tendo em vista que a planilha do PNLD

2014 - Coleção mais distribuída por componente curricular (BRASIL, 2014) - fornece a

quantidade de livros vendidos. Para termos uma referência de como poderia ser o ensino da

trigonometria, e até para nos posicionar a respeito, faremos leituras dos PCN e de outras

fontes que acharmos conveniente.

Resultados esperados

Ao analisar o ensino da trigonometria proposto pelos autores dos livros didáticos, por meio

da análise praxeológica da organização didática e da organização matemática, esperamos

caracterizar o tipo de abordagem matemática e didática que esses autores estão propondo.

Assim, buscaremos compreender a proposta de ensino apresentada de modo a contribuir

também para o campo das pesquisas em Educação Matemática que analisam livros

didáticos.

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