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Atividades – Trigonometria
A trigonometria é um ramo da matemática que exerce um papel importantíssimo em vários
contextos do nosso dia-a-dia. Graças a ela foi possível o homem criar desde pequenas obras à
grandes e maravilhosas construções e observar fenômenos que possuem comportamentos cíclicos
no qual é possível modelá-los através de funções trigonométricas, dentre vários outros fenômenos
utilizados na Engenharia, Arquitetura, Aeronáutica e até mesmo na Medicina.
Observe alguns exemplos de onde podemos utilizar a trigonometria de diversas formas:
Apesar de enumerarmos várias aplicações da trigonometria, você realmente sabe como ela é
aplicada no dia-a-dia? Consegue identificar as características trigonométricas de cada fenômeno?
Ou até mesmo consegue identificar um ciclo gráfico de uma função trigonométrica qualquer? Antes
de partirmos para a aplicação precisamos conhecer e entender o que é e como a trigonometria é
formada a partir de seus conceitos básicos.
Para uma maior compreensão de outros exemplos que utilizam a trigonometria assista ao vídeo
“Discovery na escola – Conceitos de Trigonometria [Discovery Channel]” disponível no link:
I. Utilizado na Engenharia para a construção de rodas gigantes
II. Na medicina ao estudar o sistema de batimentos cardíacos, que são movimentos regulares de bombeamento do sangue pelas artérias.
III. Na topografia
http://www.dailymotion.com/video/x10bzkz_discovery-na-escola-conceitos-de-trigonometria-
discovery-channel_school
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Atividade 1 – Comparando as relações trigonométricas
Uma das grandes dúvidas é desvendar as relações trigonométricas e qual sua ligação com os ângulos no círculo trigonométrico...
No círculo trigonométrico o eixo das abscissas representa os valores dos cossenos dos ângulos, o eixo das ordenadas representam os senos e a tangente do ângulo está representada por uma reta tangente ao círculo trigonométrico. Respeitando sempre o sinal em relação à origem. Ângulos no primeiro quadrante: Observe o círculo trigonométrico a seguir:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
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3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?
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____________________________________
6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no primeiro quadrante o seno de qualquer ângulo
é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é
________________________.
Por exemplo:
30° _______ 45° _______ 60°
𝑠𝑒𝑛(30°)______________𝑠𝑒𝑛(45°)___________𝑠𝑒𝑛(60°)
𝑐𝑜𝑠(30°)______________𝑐𝑜𝑠(45°)___________𝑐𝑜𝑠(60°)
𝑡𝑔(30°)_____________𝑡𝑔(45°)_______________𝑡𝑔(60°)
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Ângulos no segundo quadrante: Observe o círculo trigonométrico ao lado:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?
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______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no segundo quadrante o seno de qualquer ângulo é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é ________________________.
Por exemplo:
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120° _______ 135° _______ 150°
𝑠𝑒𝑛(120°)______________𝑠𝑒𝑛(135°)___________𝑠𝑒𝑛(150°) 𝑐𝑜𝑠(120°)______________𝑐𝑜𝑠(135°)___________𝑐𝑜𝑠(150°)
𝑡𝑔(120°)_____________𝑡𝑔(135°)_______________𝑡𝑔(150°)
Ângulos no terceiro quadrante: Observe o círculo trigonométrico ao lado:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?
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6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no terceiro quadrante o seno de qualquer ângulo é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é ________________________.
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Por exemplo:
180° _______ 215° _______ 240°
𝑠𝑒𝑛(180°)______________𝑠𝑒𝑛(215°)___________𝑠𝑒𝑛(240°) 𝑐𝑜𝑠(180°)______________𝑐𝑜𝑠(215°)___________𝑐𝑜𝑠(240°)
𝑡𝑔(180°)_____________𝑡𝑔(215°)_______________𝑡𝑔(240°)
Ângulos no quarto quadrante: Observe o círculo trigonométrico a seguir:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
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𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?
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______________________________________________________________________________
6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no quarto quadrante o seno de qualquer ângulo é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é ________________________.
Por exemplo:
300° _______ 315° _______ 330°
𝑠𝑒𝑛(300°)______________𝑠𝑒𝑛(315°)___________𝑠𝑒𝑛(330°)
𝑐𝑜𝑠(300°)______________𝑐𝑜𝑠(315°)___________𝑐𝑜𝑠(330°)
𝑡𝑔(300°)_____________𝑡𝑔(315°)_______________𝑡𝑔(330°)
Ângulos das abscissas e das ordenadas: Observe o círculo trigonométrico a seguir:
1) Quais são ângulos das abscissas? _______________________________________________________________ 2) Por que possuem este nome?
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______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________
3) O que caracteriza um ângulo da abscissa? Dê outros exemplos.
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______________________________________________________________________________
_________________________________
4) Quais são ângulos das ordenadas? _______________________________________________________________ 5) Por que possuem este nome?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________
6) O que caracteriza um ângulo da ordenada? Dê outros exemplos.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________
7) Considerando que o círculo trigonométrico possui raio unitário, quais são os valores de:
A) 𝑠𝑒𝑛(0°) = G) 𝑠𝑒𝑛(180°) = B) cos(0°) = H) 𝑐𝑜𝑠(180°) = C) 𝑡𝑔 (0°) = I) 𝑡𝑔(180°) =
D) 𝑠𝑒𝑛(90°) = J) 𝑠𝑒𝑛(270°) = E) cos(90°) = K) 𝑐𝑜𝑠(270°) = F) 𝑡𝑔 (90°) = L) 𝑡𝑔(270°) =
Atividade 2 – O arco côngruo
Todos os arcos de um círculo trigonométrico, sem exceção, possuem uma determinação principal (na primeira volta). Porém dois ou mais arcos podem possuir a mesma determinação mesmo que não possuam o mesmo comprimento, e isto ocorre porque podem possuir um número diferentes de voltas sobre o círculo trigonométrico. É preciso, então, aplicar a definição geral para representar um arco e seus respectivos côngruos. Observe:
Pegaremos como exemplo o ângulo de 30° ou 𝜋
6
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Para descobrirmos os arcos côngruos a 30° ou 𝜋
6 no primeiro quadrante basta adicionarmos k-voltas
em graus ou radianos a este valor. Em graus
Arco de 30°
Nº de voltas completas Arco côngruo
1 30° + (1).(360°) = 380°
2 30° + (2).(360°)=750°
3 30° + (3).(360°)=1100°
4 30° + (4). (360°)= 1470°
k 30° + 360°.k
Em radianos
Arco de 𝝅
𝟔
Nº de voltas completas Arco côngruo
1 𝝅
𝟔+ 𝟏. 𝟐𝝅 =
𝟏𝟑𝝅
𝟔
2 𝝅
𝟔+ 𝟐. 𝟐𝝅 =
𝟐𝟓𝝅
𝟔
3 𝝅
𝟔+ 𝟑. 𝟐𝝅 =
𝟑𝟕𝝅
𝟔
4 𝝅
𝟔+ 𝟒. 𝟐𝝅 =
𝟒𝟗𝝅
𝟔
k 𝝅
𝟐+ 𝟐𝒌𝝅
Isto significa que todos estes ângulos possuem o mesmo ponto dentro do círculo trigonométrico, ou seja, possuem o mesmo seno, cosseno, tangente e qualquer outra relação trigonométrica.
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1) Siga os mesmos passos do exemplo anterior e encontre os arcos côngruos (em graus e em radianos) de cada ângulo a seguir e ao final represente-os no círculo trigonométrico. A) 45° B) 160°
C) 3𝜋
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D) 5𝜋
3
Porém, dentro de uma mesma volta um ângulo possui seus arcos côngruos em cada um dos quadrantes. Ainda pegando o 30° como exemplo:
Representação no I Quadrante
Representação no II Quadrante
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Como desenvolver: Como temos o arco de 30°, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das abscissas até a um ponto do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no segundo quadrante. Como calcular:
Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 180° ou 𝜋, ou seja,
180° - 30° = 150° ou 𝝅 −𝝅
𝟔=
𝟓𝝅
𝟔
2) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no III Quadrante pode ser calculado por:
_______________________________ ou _____________________________
Representação no III Quadrante
Como desenvolver: Como temos o arco de 30°, se prolongarmos a reta que define o arco no I quadrante ao longo do III quadrante até um ponto do círculo teremos seu arco côngruo no III quadrante, formando assim
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ângulos opostos pelo vértice. Logo podemos dizer que de 180° até o ponto formado pelo encontro da reta e a circunferência temos um arco de 30°. Como calcular:
Basta somar o ângulo original no I quadrante a 180° ou 𝜋, ou seja,
180° + 30° = 210° ou 𝝅 +𝝅
𝟔=
𝟕𝝅
𝟔
3) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no III Quadrante pode ser calculado por:
_______________________________ ou _____________________________
Representação no IV Quadrante
Como desenvolver: Como temos o arco de 30°, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das ordenadas até a um ponto do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no quarto quadrante. Como calcular:
Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 360° ou 2𝜋, ou seja,
360° - 30° = 330° ou 𝟐𝝅 −𝝅
𝟔=
𝟏𝟏𝝅
𝟔
4) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no IV Quadrante pode ser calculado por: _______________________________ ou ____________________________
5) Dados os ângulos a seguir encontre os seus respectivos côngruos(em graus e em seguida represente-os no círculo trigonométrico radianos) da primeira volta em cada um dos quadrantes : A) 15° B) 60°
C) 7𝜋
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D) 𝜋
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Os sinais das funções trigonométricas de um ângulo em relação aos seus côngruos Observe o círculo trigonométrico a seguir:
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6) Agora responda, colocando o sinal de (+) ou (-): A) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝛼) D) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝛼) B) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝛼) E) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝛼)
C) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝛼) F) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(2𝜋 − 𝛼) 7) Agora, em relação a tangente, podemos fazer a mesma relação? ________Sim __________ Não 8) Se sim, relacione a 𝑡𝑔(𝛼) com as tangentes dos arcos côngruos a 𝛼 na primeira volta: 9) O que podemos dizer sobre tangente de um ângulo em relação ao seus seno e cosseno? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 3 – Arcos côngruos nas determinações negativas
Sabemos que a determinação de um círculo trigonométrico é anti-horária, na qual denominamos de sentido positivo.
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Porém, há situações em que temos o sentido horário, denominado de sentido ou determinação negativa.
Como calcular o ângulo na determinação negativa?
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Observe que 𝛼 = - 30°. Isto significa que 𝛼 distanciou 30° de 360° no sentido negativo , logo na primeira determinação positiva temos que 𝛼 = 360° - 30° = 330°. Este cálculo também pode ser efetuado se o ângulo estiver em radianos. Podemos concluir que – 30° = 330° na primeira determinação positiva. Se um ângulo ultrapassar – 360° na determinação positiva procedemos da seguinte forma: Por exemplo: - 795° - 795 : 360° (1 volta completa) = 2 voltas completas em sentido negativo e sobraram – 75°. 360° - 75° = 285°. Isto significa que na primeira determinação positiva o ângulo – 795° = 285°. 1) Observando o exemplo encontre o valor de cada ângulo em sua primeira determinação principal.
A) – 182° E) – 1540° I) −16𝜋
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B) – 240° F) – 2486° J) −2𝜋
C) – 180° G) −5𝜋
4 K) −
25𝜋
2
D) – 270° H) −7𝜋
3 L) −
37𝜋
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Funções trigonométricas em relação aos ângulos na determinação negativa
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2) Analise o círculo a seguir e complete as lacunas com (+) ou (-): A) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = _____𝑠𝑒𝑛(−𝛼) B) cos(𝛼) = _____cos (−𝛼)
C) 𝑡𝑔(𝛼) = ______𝑡𝑔(−𝛼)
3) Essa relação é sempre a mesma para qualquer valor de 𝛼? Justifique.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
___________________________________________________
4) Discuta em sala se há alguma aplicação de problema que devemos utilizar a determinação
negativa e qual seu significado.
Atividade 4 – Construindo meu próprio ciclo trigonométrico
Chegou a hora de você mesmo construir seu próprio ciclo trigonométrico. Ao manipularmos algo concreto podemos perceber e intender muitos outros conceitos que não percebemos ao apenas executar listas de exercícios. Material utilizado:
Papel cartão, papelão ou algo similar (pode ser feito em A4, porém quanto mais rígido for o
papel melhor);
Régua;
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Transferidor;
Compasso;
Tesoura;
Barbante;
Lápis.
Construção: 1º Passo: Utilizando o compasso com uma abertura de 10 cm, desenhe um círculo no papel escolhido para executar o trabalho e com uma régua trace os eixos cartesianos.
2º Passo: Divida os eixos de 1 em 1 centímetro e os marque da seguinte forma:
3º Passo: Utilizando o transferidor. Marque pontos sobre a circunferência de 10 em 10 graus.
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4º Passo: Pegue um pedaço de barbante com um pouco mais de 10 cm de comprimento e cole uma de suas pontas no centro da circunferência. Em seguida corte a sobra até que ele fique com exatamente 10 cm de comprimento (mesmo tamanho do raio da circunferência confeccionada). A ideia é que o barbante sirva como seu raio. 5º Passo: Recorte, com a tesoura, o círculo para que fique melhor de manuseá-lo e carregá-lo. A ideia é encontrar os valores aproximados dos senos e cossenos dos ângulos e definir os valores das outras funções (tangente, secante, cossecante e cotangente). Se quiser uma aproximação melhor faça o círculo trigonométrico maior e o divida em mais partes.
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Referências:
Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Ferris_wheel#/media/File:Riesenrad_centro_park_oberhausen.jpg> -
Acesso em: 14 out. 2015
Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blood_vessels#/media/File:Circulatory_System_zh.svg> - Acesso
em: 14 out. 2015
Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Topography#/media/File:Field-MapBirdie2.JPG> - Acesso em: 14
out. 2015
![UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO · Figura 9 – (a) A abscissa de P 2 é o cosseno de um x ∈[0;2p] que tem como imagem na circunferência o ponto P e (b) sinal do cosseno em cada quadrante](https://img.document.onl/doc/110x75/607600d4eceec25114592e4d/universidade-de-sfo-paulo-figura-9-a-a-a-abscissa-de-p-2-o-cosseno-de-um.jpg)