Invariantes analítico pars curvaa irredutíveiss 1...deste trabalho. Agradeço à minha lind ea querida família e, a todos o s meus amigo pels o apoio e força em todo os s momentos

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 17/10/2005 n

Assinatura:

Invariantes analíticos para curvas irredutíveis1

Maria Elenice Rodrigues Hernandes

O r i e n t a d o r a : Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título dc Doutor em Ciências - Matemática.

U S P - São Ca r lo s O u t u b r o d e 2005

^ s t e trabalho teve suporte financeiro do CNPq

Aluna: Maria Elenice Rodrigues Hernandes

A Comissão Julgadora:

Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas

Prof. Dr. Daniel Levcovitz

Prof. Dr. Abramo Hefez

Prof. Dr. Arnaldo Leite Pinto Garcia

Prof. Dr. Alexandre Cesar Gurgel Fernandes

você, meu querido esposo

Marcelo, minha profunda

gratidão e amor.

Agradecimentos

À Deus, pelas bênçãos de todos os dias.

0 meu sincero agradecimento à Profa. Maria Aparecida Soares Ruas, pela amizade e por toda a atenção, paciência e carinho dedicados na orientação deste trabalho.

Aos meus amados pais, Alipio e Adete, por todo o incentivo e compreensão pela minha ausência.

Ao meu querido esposo Marcelo, que com tanto amor, dedicação e paciência suportou esta distância comigo. E por todas as discussões que tanto contribuíram para a elaboração deste trabalho.

Agradeço à minha linda e querida família, e a todos os meus amigos pelo apoio e força em todos os momentos.

Aos amigos da pós: Elíris, João Carlos, Lizandro, Begoria, Roland, Silas, Vanda, Be-nito e tantos outros que não pude citar, por todos os momentos felizes que compartilhamos juntos.

Aos queridos amigos Andrea, Billy e a Ana Cláudia por me receber em sua casa com tanto carinho.

A todos os professores do ICMC-USP, que direta ou indiretamente contribuíram para a minha formação e aos funcionários que com tanta atenção e carinho me auxiliaram neste projeto.

Ao CNPq, pelo auxílio financeiro.

Resumo

O objetivo deste trabalho é o estudo de invariantes associados às curvas analíticas irre-dutíveis em C" . Para curvas definidas por unia parametrização C"', apresentamos uma descrição algébrica do invariante «4,,-codimonsão de é, que denotamos por Arcod(q!>), em termos das ordens de certas diferenciais de Kãhler. Como consequência, obtemos uma relação entre a Aecod(é) e alguns invariantes clássicos <la teoria. de curvas. Uma, descrição mais simples para tal relação é apresentada no caso de curvas planas irredutíveis.

Para curvas monomiais em C", o principal resultado apresenta uma fórmula para a A,.cod(<p) em termos do invariante delta, da dimensão de mergulho e do tipo Cohen-Macaulay do anel local da curva. Comparamos ainda os resultados obtidos para a Aecod((p), com as relações existentes na literatura sobre o número de Tjurina, 110 caso de curvas de interseção complet a.

Abstract

The aim of this work is to study invariants of analytic irreducible curves in C n . For curves given by a parainetrizatioii <j> : C —• C" , wc present an algebraic description of the invariant. ,/1,-eodimension of (j>, denotod by A(,cod((j>), in terins of orders of certain Kálilor diffcrcntials. As a conscquence of this approach wc get a relation between Aecod(<f>) and .some classieal invariante of curvo theory. The simplest description of sucli rolation is given when (p is the ])arametrization of an irreducible plaiu; curve.

A more detailed study of monoinial curves is given. The main result in this setting is a formula for the Accod((p) in terms of the delta invariant, the embedding diinensioii and the Cohen-Macaulay type of the local ring of curve. Formulas relating the Accod{(,6) and the Tjurina number of a complete interscction is also obtained.

Sumário

I n t r o d u ç ã o 1

1 P r e l i m i n a r e s 7 1.1 Subvariedades Analíticas Complexas 7 1.2 Teoria de Curvas 9

1.2.1 Semigrupo de Valores 12 1.2.2 Módulo de Diferenciais de Kálilcr 15

1.3 Teoria de Singularidades de Aplicações 17 1.3.1 Os Grupos de Mather 7v. C. A. C <• K' 18 1.3.2 Desdobramento Versai 22 1.3.3 Determinação Finita 23

1.4 Invariantes Aritméticos 25

2 C u r v a s Ana l í t i c a s e m C" + 1 29 2.1 „4e-codimensão de Curvas Parametrizadas 29 2.2 Ae('o<l{(l>) e as Diferenciais de Kãliler 34

3 C u r v a s Ana l í t i ca s M o n o m i a i s 49 3.1 Curvas Monomiais em Cn+Í 50 3/2 Tjurina x _4e-codimensão(^) 60 3.3 Curvas Monomiais em C:! 63 3.4 Resultados Gerais 64

4 C u r v a s Ana l í t i c a s P l a n a s 69 4.1 ^4e-codimensão de Curvas Planas 69 4.2 Fórmula para a Accod((p) 73

4.3 Deformações de Curvas Planas 76

R e f e r ê n c i a s Bib l iográ f icas 79

í n d i c e Remis s ivo 83

Introdução

Este trabalho tem como objetivo o estudo de invariantes associados às curvas analíticas

irredutíveis em C" . Na teoria analítica de curvas, alguns invariantes se destacam, entre

eles, o semigrupo de valores de uma curva, o invariante delta, o número de Milnor, o

número de Tjurina, entre outros. Sc consideramos </> : C —> C" uma curva irredutível

dada parametricamente, então a „4R-codimensão do espaço tangente à órbita de pela

ação do grupo A de Mather, denotada por Aecod((p): c um invariante analítico importante

na teoria de singularidades de aplicações, pois exprime o número mínimo de parâmetros

de um desdobramento versai de (p, 110 espaço de todas as parametrizações de curvas em

C".

É inegável a importância dos invariantes no estudo local de singularidades, em questões

como as de classificação e deformação de singularidades ou na busca de propriedades

analíticas c/ou topológicas associadas às mesmas.

Uma das abordagens para este assunto é considerar uma deformação fiat de uma dada

curva e buscar propriedades sobre a família de curvas obtida. Nesta direção, Buchweitz

e Grcuel provam, em [BG] que uma família fiat de curvas reduzidas, com singularidade

isolada, é topologicamente trivial se, e somente se, o número de Milnor é constante na

família. A importância do número de Milnor neste contexto, vem do fato que ele controla

a topologia numa família fiat de curvas reduzidas.

Similarmente, Briançon, Galligo e Granger cm [BGGJ, comparam as diferentes noções

de equisingularulade, introduzidas por diferentes autores, 110 caso de deformações ílat de

germes de curvas reduzidas o apresentam condições necessárias e/ou suficientes para que

uma família de curvas seja equisingular fixado um certo número de invariantes.

Este trabalho aborda o estudo de invariantes clc curvas, não como membro de uma

família, mas como objeto isolado. Considerando uma curva analítica C dada como o

conjunto de zeros de aplicações analíticas, digamos j\,..., definidas numa vizinhança

1

da origem de C" temos que se C é irredutível e 0 é uma singularidade isolada da curva,

então existe uma parametrização <j) de C, isto é, uma aplicação de C em C" que descreve

o conjunto de zeros de / 1 ; . . . , fk numa vizinhança da origem.

Bruce e Gaffney em [BGa|, estabelecem uma conexão entre germes de parametrizações

(j) : C —> C2 de germes de curvas algébricas e as equações que definem estas curvas

implicitamente, estabelecendo a noção de equivalência adequada em ambos os casos. Mais

especificamente, se j\ e f2 definem curvas analíticas planas irredutíveis e (pi e <f>2 são suas

respectivas parametrizações, então (j>i c <j>2 são ^-equivalentes se, e somente se, / , e f2

são /C-equivalentes. Utilizando este resultado c a classificação de germes de funções dada

por Arnol'd em [Ar], Bruce e Gaffney obtêm urna lista dos germes A simples de C em C2

considerando as equações que definem a sua imagem.

Mais geralmente, para o estudo de curvas em C", a noção de equivalência dada pelo

grupo de contato K. é mais adequada para curvas dadas implicitamente, e a do grupo A,

para curvas parametrizadas. Uma questão pertinente é: como se comportam os invariantes

dentro de cada uma destas classes de curvas?

Uma importante área na teoria de singularidades de aplicações é o estudo de deforma-

ções. Uma deformação de um germe / é versai se ela descreve, num certo sentido, todas

as possíveis deformações de / , a menos de elementos que pertençam à mesma classe de

equivalência. O número mínimo de parâmetros em uma deformação versai de um germe

de interseção completa, definida por uma aplicação / , e dado pelo número de Tjurina

r. Tjurina em [Tj], prova que neste caso, r é exatamente a /Cc-eodimensão do espaço

tangente à órbita de / pela ação do grupo K,. Já no caso de curvas parametrizadas por

um germe de aplicação <p, o número mínimo de parâmetros num desdobramento versai, é

dado pela ê-codimensão do espaço tangente à órbita de è (veja (Ma|).

Diante disso, qual é a relação entre os invariantes r e Aecod{(f))l

Um dos propósitos deste trabalho é estabelecer relações entre estes invariantes, de

modo a obter alguma informação sobre as deformações de uma curva dada implicitamente,

com as deformações de sua parametrização.

Existem na literatura alguns trabalhos relacionando o número de Tjurina com outros

invariantes clássicos, por exemplo, envolvendo o número de Tjurina e o número de Milnor.

Nesta direção, Greuel em [Gr 1], considerando subvariedades de interseção completa X de

dimensão n > 1, prova que se X é irredutível então r < // e que X é quase-homogênea se, e

somente se, fi = t. Looijenga e Steenbrink em [LS], provam que a desigualdade r < fi vale

mais geralmente para qualquer subvariedade de interseção completa com singularidade

2

isolada. Novamente, Greuel em [Gr2], para curvas quase-hoinogêneas com determinadas

propriedades, relaciona o número de Tjurina com o número de Milnor e o tipo Cohen-

Macaulay do anel local da curva. Anne Frúgbis-Kriigcr em |Fr], estuda deformações de

curvas espaciais Cohen-Macaulay de codimensão 2, que não são de interseção completa,

do ponto de vista da teoria de deformação de singularidades, determinando o número de

Tjurina como a codimensão de uma certa álgebra de matrizes.

Resultados recentes da teoria relacionam a A,-codimensão de germes (p : C" , 0 —> O' , 0

e o número de singularidades estáveis O-dimensionais (invariantes O-estáveis) que aparecem

em uma perturbação estável <pt de cp (veja [DM|, [M1 ], [M2]).

D. Mond em [M2], estuda propriedades sobre a topologia de uma perturbação estável

de multigermes cp : Cn,S —> C , í + i , 0 . onde S é um conjunto finito e (n,n + f) são boas

dimensões. Sc <j) possui ^ -cod imensão finita então a imagem de uma perturbação estável

cpt de </>, tem o tipo de homotopia de um bouquet de n-esferas. O número destas esferas

é chamado o número de Milnor da imagem e denotado por /í/(0). Quando n = 2,

pode ser calculado em termos dos invariantes O-estáveis C((p), que é o número de cross-

caps de cpt. T(cp) que é o número de pontos triplos de (pt e do número de Milnor da

curva dos pontos duplos. Para C 2 ,0 , o único invariante 0-estável que aparece

numa estabilização cpt de <j> 6 o número de pontos duplos transversais ("nodes"), que c o

invariante 8. Em [Ml], Mond prova que se (p : C, S —>• C2, 0 é finitamente determinado

então

Aecod((p) < m(4>) = 6-r + 1,

onde r é o número de ramos da curva, com igualdade se, e somente se, C" ,0 com n > 2 e singularidade isolada, não há

uma interpretação geométrica para a Acrod(cj>), fim lermos fie singularidades O-estáveis,

similares ao que vimos acima, pois cf> : C, 0 —> C", 0 com n > 2 é estável se, e somente se,

é um mergulho.

Diante disso, o principal objetivo deste trabalho, é obter uma possível descrição para

a yle-codimensão de curvas dadas parametricarnente em C", em termos de invariantes

clássicos.

Utilizando ferramentas da teoria de curvas, vamos estabelecer um outro método para a

obtenção de uma base para o espaço normal à orbita do germe (p. Para tanto, consideramos

o 0-módulo de diferenciais de Káhler associado à uma curva analítica irredutível C, onde

O é o anel local da curva. Observamos que existe uma estreita relação entre o espaço

3

tangente à A-órbita de uma parametrização é de C, e as diferenciais de Káhler da curva.

Com isso, determinamos um método para o cálculo da Arcod(</>) a partir das ordens de

certas diferenciais de Káhler e como consequência, obtemos o Teorema 2.11, que estabelece

uma relação entre Aecod,(<f)) e alguns invariantes como o invariante delta, a multiplicidade

da curva, entre outros. Esta relação admite uma descrição mais simples para curvas

planas irredutíveis, e neste caso obtemos o Teorema 4.6, que descreve uma fórmula para a

Aecod((f>) em termos do invariante delta e do número de lacunas especiais da curva. Para

curvas monomiais em C n , o principal resultado apresenta uma fórmula para a Aecod,{(p)

em termos do invariante delta, da dimensão de mergulho e do tipo Cohen-Macaulay do

anel local da curva. Tal resultado decorre do Teorema 2.11 e de um resultado de Cavaliere

e Niesi |CN2|, que relaciona o tipo Cohen-Macaulay do anel local de uma curva monomial

e o número de elementos de um subconjunto do conjunto de Apéry, que está associado ao

semigrupo de valores da curva.

Passamos agora à descrição dos capítulos.

O Capítulo 1 apresenta as ferramentas necessárias à compreensão do trabalho, desta-

cando inicialmente alguns conceitos na teoria local de curvas, entre eles o semigrupo de

valores e o módulo de diferenciais de Káhler associados a uma curva dada. Em seguida,

da teoria de singularidades de aplicações, apresentamos as relações de equivalências entre

curvas e conceitos como de desdobramentos versais e de determinação finita. Finalizando

o capítulo, apresentamos invariantes nos quais estaremos interessados, bem como algumas

relações entre os mesmos, já conhecidas na literatura.

No Capítulo 2, dada uma curva parametrizada (p : C —> C ' \ o objetivo é apresentar

uma descrição da Aecod(<p) em termos de invariantes analíticos conhecidos. Estabelece-

mos um paralelo entre o espaço tangente à A-órbita de (p e o módulo de diferenciais de

Káhler da curva, determinando assim a «4e-codimensão de cp, em termos de ordens de

certas diferenciais. Tal descrição leva a uma relação entre Aecod((j)) e invariantes como

o invariante delta, a multiplicidade e novos invariantes definidos no trabalho (Teorema

2.11).

No Capítulo 3, estudamos curvas irredutíveis monomiais em C". Neste contexto, as

técnicas desenvolvidas no capítulo anterior tornam-se bem mais simples, permitindo a

obtenção de uma fórmula para a Aecod((f)), em termos do invariante delta, da dimensão

de mergulho e do tipo Cohen-Macaulay do anel local da curva. Como aplicação dos re-

sultados obtidos, no caso de curvas de interseção completa, estabelecemos uma relação

entre o número de Tjurina e a Aecod((j)). Uma caracterização especial para este último

4

invariante é obtida para curvas monomiais em C'5. Como consequência deste resultado,

apresentamos condições necessárias e suficientes para que uma curva em C 3 seja de inter-

seção completa, através da .4.,,-codimensão de sua parametrização e do invariante delta.

São apresentados, ainda alguns resultados gerais para curvas em C" com boas proprie-

dades, e neste caso obtemos uma estimativa para a Aecod{(])) em termos dos resultados

obtidos para curvas monomiais. Como aplicação dos resultados apresentados sobre a Ae-

codimensão de curvas monomiais, completamos a classificação obtida por Gibson e Hobbs

em |GH], determinando quais curvas são de interseção completa.

O estudo de curvas planas irredutíveis é discutido no Capítulo 4. Neste caso, um

invariante que se destaca é o conjunto das lacunas especiais da curva. No Teorema 4.6,

obtemos uma fórmula relacionando a Aecod((j)) com o invariante delta e o conjunto das

lacunas especiais da curva. Tal fórmula estende, 110 caso irredutível, o resultado de D.

Mond ([Ml], Theorem 2.3) mencionado anteriormente.

5

6

Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo apresentamos algumas noções básicas da Geometria Algébrica e da Teoria

de Singularidades necessárias ao estudo local de curvas analíticas irredutíveis. Estas duas

abordagens se complementam, conduzindo a uma relação entre invariantes e a uma maior

compreensão sobre as deformações de tais curvas.

Num primeiro momento estabelecemos alguns conceitos gerais sobre subvariedades

analíticas complexas, em seguida apresentamos uma seção sobre curvas analíticas irredu-

tíveis em C" , com singularidade isolada, destacando alguns objetos que serão importantes

para o desenvolvimento do trabalho, entre eles, o semigrupo de valores e o módulo de

diferenciais de Káhler associados a uma curva dada. Na seção seguinte, num contexto

mais geral, destacamos os principais conceitos dentro da Teoria de Singularidades de apli-

cações, entre eles, as relações de equivalência de germes dadas pelos grupos de Mather, o

desdobramento versai e a determinação finita. Na última seção deste capítulo, definimos

alguns invariantes analíticos como o invariante delta, o número de Milnor, o número de

Tjurina, a ,4e-codiinensão entre outros e apresentamos algumas relações entre os mesmos

presentes na literatura.

1.1 Subvariedades Analíticas Complexas

Nesta seção são apresentados alguns conceitos básicos sobre subvariedades analíticas com-

plexas necessários ao estudo local de curvas. Como referência citamos, por exemplo, [Fi],

|Gu], |AM], entre outros.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 . Uma s u b v a r i e d a d e ana l í t i ca de um aberto U C C" é um subconjunto

V de U tal que para todo ponto p G V, existe uma vizinhança aberta Uv de p em U e um

8 Preliminares

número finito de funções analíticas j\,..., fr em Up tais que

VnUp = {qeUp; f1(q) = --- = fr(q) = 0}.

Denotamos por O n = {germes de funções analíticas numa vizinhança da origem de C"}.

Este conjunto é um anel Nocthoriano local, cujo ideal maximal será denotado por M n =

{ / G ON\ /(O) = 0}. Considere C { X i , . . . , XN} o anel das séries de potências nas variáveis

X[,..., XN que convergem absolutamente em alguma vizinhança de 0. Pode-se provar que

o anel ON é isomorfo ao anel C{Xi, . . . ,X„} (veja, por exemplo, |Gu| Theorcm 2).

Sejam V e W subvariedades analíticas de C". Definimos V ~ W se existe uma vizi-

nhança U de 0 tal que VilU = WílU. Esta é uma relação de equivalência. Denominamos

a classe de equivalência de V como o g e r m e d e V em 0, que denotamos também por V,

sempre que não houver risco de confusão.

Sejam / ] , . . . , /,. germes em On. Escolhemos uma vizinhança U de 0 tal que estes ger-

mes são representados por funções analíticas em U, que também denotamos por / i , . . . , fr.

O conjunto V ( f i , • • • ,/,•) é o germe em 0 do conjunto {z G U; f\(z) — --- = fr(z) = 0}

denominado o germe da subvariedade analítica definida por f\,..., fr.

Mais geralmente, seja / um ideal em ON. Como ON é um anel Noetheriano, existe um

número finito de germes / i , . . . , fr tais que / = ( / i , . . . , /,.) (o ideal gerado por f\,..., fr).

O conjunto V(I) = V ( f i , . . . , /,.) é o germe da subvariedade analítica definida por I.

E fácil verificar que ela não depende da escolha dos geradores de 1. Reciprocamente,

considere V um germe de subvariedade analítica cm 0 e escolhamos uma vizinhança U de

0 tal que o germe é representado por uma subvariedade em U. E fácil ver que o conjunto

I{V) = { / G O,,/, f(z) = 0 para todo z E V numa vizinhança de 0}

é um ideal de ON.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 2 . Urn germe V de uma subvariedade analítica é r e d u t í v e l se V = Vj U V-2

onde Vi e V2 são germes de subvariedades analíticas e Vj ^ V para, j = 1 ,2 . Um germe

que não é redutível é i r r edu t íve l .

T E O R E M A 1 . 3 . ([Gu]) Urn germe V de uma subvariedade analítica é irredutível se, e

somente se, I(V) é um id,ea,l primo.

1.2 Teoria de Curvas 16

Seja V o germe de uma subvariedade analítica de um conjunto aberto de C", definida

numa vizinhança de 0 por j \ , . . . , /,.. Defina

O OV =

Este conjunto é um anel Noetheriano denominado o ane l d e c o o r d e n a d a s d a sub-

v a r i e d a d e V em 0.

Considere V o germe de uma, subvariedade analítica, irredutível. Definimos a dimensão

de V como sendo a dimensão de Krull do anel local Oy. Se V é uma subvariedade

analítica qualquer em C", então V se escreve corno uma união finita V = (Jí=i ^ onde

cada Vi é uma subvariedade analítica irredutível. Neste caso a dimensão de V é dada por

dimV = max{dimVi). Dizemos que V possui dimensão pura (ou é equidimensional) se 1 <i<r

todas as componentes irredutíveis Vr possuem a mesma dimensão.

Uma classe importante de germes de subvariedades analít icas são os germes de inter-

seção completa.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 4 . Seja V um germe de subvariedade analítica em 0 de dimensão pura k

em C". Dizemos que V é uma i n t e r seção c o m p l e t a se o ideal I{V) é gerado por• n — /,;

germes de funções analíticas definidas numa vizinhança da origem. Em particular, se

k = n — 1, V é um germe de hiper superfície.

1.2 Teoria de Curvas

Apresentamos nesta seção alguns conceitos da teoria algébrica local de curvas como su-

porte indispensável neste trabalho ao estudo de curvas analíticas cm Cn. Dentre os prin-

cipais objetos a serem estudados estão o semigrupo de valores e o módulo de diferenciais

de Káhler associados a uma curva dada. As principais referências são [Z2|, [HH], [Herj,

[BK), [Wa2j entre outras.

Sejam / ) , . . . , /,• E C{Xi,.. .,X„), séries que convergem absolutamente numa vizinhança

da origem de C n , satisfazendo às seguintes propriedades:

(a) /,;(()) = 0 para i = 1, . . . ,?•;

(b) o ideal (J\,..., fr) é um ideal primo de C { X t , . . . , Xn}.

10 Preliminares

Uma c u r v a ana l í t i c a i r r edu t í ve l em Cn (ou um ramo), determinada(o) por f\, /2,...,

/.,. 6 o conjunto C = {X e C"; ,f\(X) = • • • = fr(X) = 0} em alguma vizinhança da ori-

gem. tal que o anel

</. / r)

c um domínio cuja dimensão de Krull é igual 1.

O anel de coordenadas O (= Oq) é um domínio Noetheriano, local e completo e neste

caso será chamado o anel local da curva C, cujo ideal maximal será denotado por M.. No

que segue, a origem de C" é uma singularidade isolada da curva C.

No trabalho, mesmo que não mencionado, estaremos sempre considerando germes de

curvas analíticas.

Por razões de dimensão, um conjunto de geradores / x , . . . , /,. do ideal (pie define uma

curva analítica irredutível C em C" tem pelo menos n — 1 elementos (veja [Ei], pag. 248).

Em particular no caso em que a curva C possui pelo menos um conjunto de geradores,

com exatamente n — 1 elementos, a curva é uma in t e r seção c o m p l e t a (Definição 1.4).

E X E M P L O 1 . 5 . Curvas Planas

Um,a curva analítica plana irredutível C em, C2 , é o conjunto dos zeros de um,a série de

potências f G C{Xi, X2}, convergente numa vizinhança da origem de C2 e tal que f é

irredutível em ^{X^, X2}, com, f E Á4, f ^ 0. Os conjuntos /_1(0) e g~l(0) definem,

a mesma curva, se, e somente se, g = U f , paru alguma unidade U G C{X\, X2}. Em

particular, todo ramo plano é de interseção completa.

Considere O o anel local de uma curva analítica irredutível C, seja /C o corpo de frações

de O e O o fecho inteiro de O em KL. O anel O é um anel de valorização discreta. Pode-se

provar que

Õ ~ C{í} ,

onde t é uma indeterminada (veja [AM]).

Note que, _ • • •, A„} _

u — 77 7~\ — ^ l ^ l i • • • 1 x n f , \ / l , • • • , Jr)


onde Xi = Xt + ( f \ , . . . , fr). Como O Ç O, temos o seguinte monomoríismo de C-álgebras

ip : O —> ~Õ ~ C{í}

•Ti i > J>i(í)

onde pi(t) G A^t \ {0} , para í = 1 . . . . , n e Mt é o ideal maximal de C{£ } .

Veja que se <f> : C{XU ..., Xn} —> ^ 1 1 — é o epimorfismo canónico, \J\T--iJr)

então considerando

\Jl i • • • i Jr)

temos que, para cada ?' = 1 , . . . , r

o o *(/2(àv.., x7l)) = Mix,,.. .,*„)) = ./HPiCí), • • .,?>»(*))•

As considerações acima garantem a existência de uma parametrização para o conjunto

dos zeros de / j , . . . , /,. numa vizinhança da origem. A representação

/

= pi(í)

X-2 = P2(í) <

k Xn = Pn(t)

será chamada de parametrização de C, onde identificamos .r, com sua imagem ip(Xi) =

Pi(t). Claramente, tem-se que

O ~ Ç €{*}. (1.1)

Como C é uma curva definida sobre um corpo de característica zero, sempre podemos

obter uma parametrização dacla por

Xi = f"

x2 = P2(t)

k ^n = Pn(0

12 Preliminares

com m = min{ord Pi{t), i = 1 , . . . , n}, chamada p a r a m e t r i z a ç ã o d e N e w t o n - P u i s e u x

dc C.

O inteiro mê a multiplicidade da curva C.

Dizemos que uma parametrização é primitiva, se não 6 possível fazer uma substituição

do tipo u — ts, tal que a parametrização {x\ — pi(u),...,xn = pn(u)} determine a

mesma curva. Deste modo, numa parametrização primitiva o máximo divisor comum de

rn e dos expoentes dos termos das séries Pi( tys é igual a 1. Ao longo de todo o trabalho

as parametrizações serão sempre primitivas.

E X E M P L O 1 . 6 . Curvas Monomiais

Uma curva monomial em C{.x1;. . . ,xn} é uma curva que admite uma parametrização da

forma

= t;>"

x2 = r2 <

— 4-Vn n — 1

\

1.2.1 Semigrupo de Valores

O semigrupo dc valores associado a uma curva é um importante objeto dentro da teoria

algébrica de curvas e neste trabalho particularmente desempenha um papel fundamental.

Seja S um subconjunto de N, com 0 6 S. Dizemos que S é um semigrupo se S é

fechado em relação a operação usual de adição.

Considere C uma curva analítica irredutível, cf)(t) = ( f n , p 2 ( 0 , • • • ,Pn{t)) u m a parame-

trização de C e O o anel local de C. Como vimos

ip : O —• C{t}=Õ

o 1—> f{g) = g{t.)

é tal que O ~ <p(0) = C{tm,p2{t), . . . ,pn(t)} C C{í}-

O s e m i g r u p o d e v a l o r e s da curva C é o conjunto

r = M.9); g e O \ {o}},

onde v ( f j ) ~ v(g(t)) e v é a valorização natural de C{t}. Convencionamos que ?>(0) = oo.


Todo subanel de C{t} determina um semigrupo T Ç N.

Definimos o conjunto L das lacunas do semigrupo F, como sendo o conjunto N \ T.

Quando o número de lacunas é finito existe um único elemento c G F satisfazendo

(a) c - 1 £ r

(b) se n G N c n > c então n G F.

Este elemento c será chamado o c o n d u t o r d o s e m i g r u p o T.

Uma propriedade importante dos semigrupos associados a curvas analíticas irredutíveis

é que este sempre possui condutor.

Vários destes conceitos e resultados valem mais geralmente para curvas algebróides

irredutíveis, ou seja, cujos geradores f \ , . . . , f r G C [ [X j , . . . ,Xn]], o anel das séries de

potências formais nas variáveis Xi,..., Xn.

Se F Ç N é um semigrupo então F é finitamente gerado, ou seja, existem elementos

Í'O, </],. . . , vg G T tais que todo u G T, pode ser expresso como a0v0 + o:iV\ + • • • + nqvg

com (\j G N para 0 < i < g.

No caso de curvas analíticas (algebróides) irrcdutíves, o semigrupo T associado a uma

curva possui um sistema mínimo de geradores v0, v\,..., vg desta forma denotaremos

T = (vq, vi,. .. ,vg). Tais geradores podem ser obtidos calculando as ordens dos elementos

de uma B a s e S t a n d a r d M í n i m a {/to,//,i,... ,hy} do anel local O, isto é, um conjunto

mínimo de geradores de O tais que v(h t) = v,,. Em [HH] são apresentados algoritmos

para obtenção de tais Bases Standard. Em particular foram implementados em Maple

e CoCoA, programas para o cálculo do semigrupo de valores de uma curva irredutível

em C n , bem como para obtenção de uma Base Standard para o módulo de diferenciais

associado a uma curva, que definiremos logo adiante.

E X E M P L O 1 . 7 . Seja C a eurva plana :irredutível dada pela parametrização

Uma Base Standard Mínima para o anel local O é dada por B = {x, y, xA-y2}. Deste

modo, tomando as ordens dos elementos de B, determina,mos os geradores do semigrupo

14 Preliminares

T da curva C. Como v(x) = 4, v(y) = 6 e v(x3 - y2) = v{-2 tri - t u ) = 13 temos que

T = (4, 6,13) = {O, 4, 6, 8,10,12,13,14,16,17,18,19 . . . }.

Portanto c = 1 6 é o condutor do semigrupo e o conjwrito das lacunas de T é dado por

L = {1 ,2 ,3 ,5 ,7 ,9 ,11,15}.

D E F I N I Ç Ã O 1.8. Seja T C N um semigrupo com condutor c e 0 / p É T. Definimos

«o = 0 e indutivamente

at = mm | r \ (J (a3 + pN) j

para i = 1,. . . , p — 1.

A sequência a0 < a : < • • • < ap_i é chamada a sequência de Apéry de P com,

relação à p. O conjunto Ap = {a0, aí:. . . , ap„j} é denominado conjunto de Apéry.

De agora em diante, sempre que nos referirmos à sequência de Apéry de um semigrupo

T = (vo,vi,... ,vg) de uma curva, esta será determinada com relação à v0, ou seja, com

relação à multiplicidade da curva .

Segue da definição, que dada a sequência de Apéry com relação à v0 temos as seguintes

propriedades:

1. «.j ^ aj mod, vn para 0 < ?', j < í-'o — 1 com i ^ j ;

"O - 1 2. F = | J (o,j + '(»()N);

j=0

3. c = a„0_ i — Vq + 1.

Note que todo elemento a da sequência de Apéry é expresso como a = n\V\ + • • • + ngvg,

com rii G N. Dc fato, como a G P temos que a, = iiqVq + n^V] + • • • + ngvg, para algum

iij £ N, i = 0 , 1 , . . . , n. Suponha no ^ 0. Isso implica que a — n0^0 = ri\V\ + - • • + ngvg G P.

Pela propriedade (2), existe G Av e k G N tal que a — n0Vo = aj + kvo, o que implica

que a = aj + (k + no)vo, ou seja, a, = a,j mod v0, o que contradiz a propriedade (1) acima.

Logo, a — niVi + • • • + ngvg.

Pelo mesmo argumento anterior, os elementos da forma aj — kv0 ^ T com k G N, ou

seja, as lacunas do semigrupo podem ser determinadas através da sequência dc Apéry.


Uma classe de curvas amplamente estudada na literatura são as curvas Gorenstein,

que podem ser definidas à partir de uma propriedade sobre seu semigrupo de valores.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 9 . Seja F urn semigrupo com condutor c. T é urn s e m i g r u p o s imé t r i co

se para todo z G Z temos

z E T , se e somente se, c - 1 - z ^ F .

As afirmações abaixo são equivalentes:

(i) T é um semigrupo simétrico;

(n) p \ r = t t(rn[o,c — 1]) = | .

P R O P O S I Ç Ã O 1 . 1 0 . ([Ap]) Seja T = (vthv\,.... vg) um semigrupo cujo conjunto de Apéry

c dado por Ap = {a(), a^, . . . , a„0_i}. São equivalentes:

(a) l1 é um semigrupo simétrico;

(b) aVo-1 — a, G Ap para cada i = 0, 1 , . . . , v0 — 1/

(c) a, + a,j = a,;()_! para 0 < i, j < vQ — 1 e i + j = v0 — 1.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 1 . Dizemos que um ramo C é G o r e n s t e i n se seu semigrupo de valores é

simétrico.

E X E M P L O 1 . 1 2 . Toda curva de mterseção completa é Gorenstein (veja [EiJ, Corolário

21.19). Em particular, toda curva plana é Gorenstein.

1.2.2 Módulo de Diferenciais de Káhler

Seja C uma curva analítica irredutível em C", como definida anteriormente. O O - m ó d u l o

d e d i fe renc ia i s d e K a h l e r associado à curva C c o (9-módulo gerado por dxi ,dxn,

denotado por

OdO = Odxi + Odx 2 + • • • + Od,xn,

onde O é o anel local da curva.

16 Preliminares

Consideremos o seguinte homomorfismo de (9-módulos,

v[' : Odxv + • • • + Odxn —• O ~ ;"]/]

9idxl + -.-+gndxn ^ .7.(0^ + •••

onde í/j ,. . . , gn E O .

O submódulo de torção de OdO é definido por

T = {cu G OdO: 3 h E 0 \ {0} com hu = 0}.

Podc-se mostrar que T = / f e r ^ ) (veja [HHJ). Em geral o módulo OdO não tem

torção nula. Consideraremos

° d ° T / T \ - y - ~ Im{V) C C{í}.

No que segue, vamos identificar o módulo de diferenciais OdO com sua imagem em

C{í} pela aplicação í*.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 3 . Seja co E OdO/T. Definimos a ordem da diferencial lo como sendo

v(lo) = I>(\I/(LJ)) + 1, onde v denota a valorização discreta de O.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 4 . Dizemos que uma diferencial w E OdO é exata, se existe g E O tal

que w = dg. Caso contrário, dizemos que w é uma diferencial não exata.

Note que, se w E OdO/T é uma diferencial exata, então v(w) E P. Logo, se v(w) E L,

então certamente w 6 uma diferencial não exata.

Considere o conjunto A = {u(a>); uj E OdO/T}.

Note que, se h E 0 \ {0}, então dh = hxdx + hydy E OdO e satisfaz

v{dh) - v(V{dh)) + 1 = v(h) E A.

Portanto, P C A.

Os elementos de A \ T são chamados de l a c u n a s especia is d o s e m i g r u p o T, ou

da curva, ou seja, são aquelas lacunas que são dadas como ordem de uma diferencial não

exata de OdO/T.

1.3 Teoria de Singularidades de Aplicações 17

O conjunto A pode ser determinado por meio de uma Base Standard para o módulo

ODO, que c um conjunto de geradores particulares para este módulo. Um algoritmo para

o cálculo de tais Bases, bem como do conjunto A podo ser encontrado cm [HHj.

1.3 Teoria de Singularidades de Aplicações

Nesta seção definimos alguns conceitos básicos da Teoria de Singularidades de Aplicações,

entre eles, as relações de equivalência dadas pelos grupos de Mather, desdobramento

versai e determinação finita. Num primeiro momento nossos objetos serão definidos num

contexto mais geral, para germes de aplicações.

Considere o conjunto

0(n,p) = { / : C", 0 —• C p , 0 ; / germe de aplicação analítica numa vizinhança de 0}.

Quando p = 1 temos que 0(n, 1) = O n é o conjunto dos germes de funções analíticas

definidas numa vizinhança da origem de C", definido anteriormente. Note que 0(n,p) c

um 0 , r m ó d u l o livre de posto p.

Os elementos em 0 ( n , p ) podem ser identificados através de certas relações de equi-

valência dadas por ações do grupos.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 5 . Seja G um, grupo e M um conjunto. Uma ação de G em M é uma

aplicação $ : G x M —> M com (g,x) i-» g • x, qae para todo x £ M satisfaz:

(a) <[>(l,a;) = 1 • x = x, onde 1 é o elemento identidade de G;

(b) $(gh, x) = g • (h • x), para todo g, h € G.

Dada uma ação, podemos definir uma relação de equivalência ~ em M do seguinte

modo: se x, y & M dizemos que x é G-equivalente a y, se existe g G G tal que y = g • x.

Indicamos essa equivalência por x ~ y.

A classe de equivalência de um elemento x G M é chamada a ó r b i t a de x e denotada

por

G(x) = {g • x ; para todo g E G}.

18 Preliminares

1.3.1 Os Grupos de Mather K, £, A, C e }C

Vamos introduzir os grupos de Mather e suas ações sobre 0 (n , j ) ) .

O grupo de mudanças de coordenadas na fonte c definido por

Tl = {h : C", 0 C r \ 0 ; h c germe de bi-holomorfismo},

cuja ação sobre / G 0(n,p) é a composição à direita, ou seja, / o h~l.

,Já o grupo de mudanças de coordenadas na meta 6 dado por

£ = {k : C p , 0 C" ,0 ; k 6 germe de bi-holomorfismo},

cuja ação sobre / G 0(n,p) é a composição à esquerda, ou seja, k o / .

O g r u p o d a s m u d a n ç a s d e c o o r d e n a d a s n a f o n t e e n a m e t a , denotado por

A = 1Z x C, é o grupo dos germes de bi-holomorfisinos (/?., K) G TZ x D tais que o diagrama

abaixo comuta

C " , 0 C",0

h k Y

C n , ( ) — ^ O ' , o,

ou seja, sua ação sobre / G 0(n,p) é dada por k o f o h~i.

O g r u p o d e c o n t a t o K, é o grupo dos germes de bi-holomorfismos (/ / , /i), com

H : Cn+1\ 0 —> C n + P , 0 e h : C\ 0 — • C n , 0

tais que,

(i) Hoi = io h, onde i : C", 0 —> C n x C , O c a inclusão i{x) = (ar, 0),

(ii) Tii o H = h o 7Tj onde tt\ : C" x C , 0 — • C " . 0 é a projeção natural na primeira

coordenada, e

(iii) 71*2 o H(x, 0) = 0 onde 7T2 : C" x C'\ 0 —»• Cp, O c a projeção natural na segunda

coordenada.

A ação de JC em 0(n,p) c definida da seguinte maneira (h(.x), H • f(x)) = H(x, f(x)),


ou seja, a ação é sobre o gráfico de / :

graf(H(f)) = H(graf(f)).

Em outras palavras, / ~ g com f,g £ 0(n,p), se o seguinte diagrama comuta K.

C" x o \ o c", o C". o -iH>

h Y

C".0 C n X C p , 0 > C",0.

11

onde In c a aplicação identidade de C". O grupo C c obtido tomando h = /„, na definição

do grupo /C.

Vamos definir os espaços tangentes às órbitas dos grupos Ae íC , pois são os objetos que

nos interessam neste trabalho. Denotemos por TC" o fibrado tangente a C". Considere

o seguinte diagrama dc fibrados tangentes

TC" 7T1

c \ o

Tf

f

TCp

TT2

0 \ 0 .

Um campo de vetores ao longo de / é um germe a : C ' \ 0 — • TCP tal que 7T2 O a = / .

Indiquemos por

é)(/) = {<r : C", 0 —• T C ; germe de campos de vetores ao longo de / } .

Similarmente definimos

0{n) = { s : Cn, 0 — • TC"; m o <,- = /„ }

6(p) = { R, : C , 0 —•> T C ; TT2 O R, = Ip } .

Os conjuntos 0(n) e 0(p) são os conjuntos dos campos de vetores ao longo da identidade

cm C" e O' , respectivamente.

É fácil verificar que 0 ( f ) é isomorfo à 0(n,p). Assim, 6 ( f ) é um Cn-módulo livre de

20 Preliminares

posto p. Analogamente, ô(n) é um 0„-módulo livre de posto ri e 9(p) é um módulo

livre de posto p.

Considere as aplicações,

t f : 0(n) 6 ( f )

, ^ tf(,s) = df(.s) ,

onde df ê a diferencial de / . E

w f : 9(p) — 9 ( f )

V 1—> ' " ' / ( ' / ) = '/ ° / •

A aplicação tf é um homomorfismo de 0„. módulos. Por outro lado, podemos observar

através da aplicação

.F: OP ON

V >—> f*{v)=v°í\

que w f é um morfismo sobre /* , isto é:

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 6 . Se A é um R-rnódulo, B um- S-m,ódulo e <j> '• R —v S um, homomorfismo

de anéis, então í> : A —> B é urn morfismo sobre <j), se ^(eva + Bb) = 0(a)<l>(a) + (f)(p)(]?(b)

para todo a, f3 £ R e a, b G A.

Sejam

MnB(n) = {s G 0(rc); ,s(0) = 0} e

Mp0(p) = {V G % ) ; 7 (0) = 0},

submódulos de 6>(n) e 9(p), respectivamente, onde Mn = { / G O n ; /(O) = 0} é o ideal

maxiinal do anel local ON, similarmente para MP.

O espaço t a n g e n t e à ó r b i t a de / p e l a ação d o g r u p o A é definido como

T A ( f ) = tf(Mn6(n)) + wf(Mp6(p)),

onde TTZ{f) = tf(Mn9{n)) e TC(f)=wf(Mp9(p)) são os espaços tangentes às órbitas

de / , pelos grupos 71 e £, respectivamente. É fácil ver que TTZ(f) possui uma estrutura

de 0 n -módulo e TC(f) possui uma estrutura de f*(Op)-módulo. Assim, T A { f ) possui


uma estrutura de /*(Op)-módulo.

Por sua vez, o e spaço t a n g e n t e à ó r b i t a de / pe l a ação do g r u p o K, é definido

como

TJC(f) = tf(Mn9(n)) + r ( M p ) 6 ( f ) .

Neste trabalho estamos particularmente interessados 110 espaço tangente estendido à

^4-órbita de / definido como

TAe{f) = tf{9{n)) + wf(9(p)).

Note que, neste caso, podemos considerar elementos s £ 9(n) o 7/ G 9(p) tais que

•s(0) jí 0 e 7/(0) ^ 0.

Dada uma curva analítica irredutível C em C", seja (p : C, 0 —> C", 0 uma parametri-

zação da curva C, que a menos de mudanças de coordenadas pelo grupo A, pode ser dada

por x() = t""

(t>:{ . 1>,J1 (1.2)

•''•»-1 i>v„-l

Em coordenadas, o A, -espaço tangente estendido à órbita de <J> é dado por

TAe(<P) =

v0t""~l

t - l í " ' - 1 + . e(t)

Vo(éit))

m m ) )

Vn-Mt))

e G Oi e 1]L e O n ,

0 C, 0; / germe de função analítica} ~ C{í},

ou seja, Oi ~ O, onde O é o fecho integral do anel local O da curva em seu corpo de

frações.

22 Preliminares

O espaço tangente estendido do grupo KL é

TICe(f) = tmn)) + r ( M p ) 9 ( f ) .

Denotemos por Q qualquer um dos grupos de Mather %,C,A,C ou fC.

Dado / G 0{n.p), definimos a (y-codimensão (É/ f,-codimensao) de / por

r / m / M J { f ) ycod(j) = dim<£.

1.3.2 Desdobramento Versai

O conceito de desdobramento versai foi introduzido por R. Thom e representa uma con-

tribuição importante da Teoria de Singularidades para outras áreas da matemática.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 7 . Um d e s d o b r a m e n t o a s-parâmetros de um germe. f0 G 0(n,p) é um

germe

tal que f{x,0) = f0(x).

O germe / ( . t . íí) c uma d e f o r m a ç ã o d e / 0 .

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 8 . Dois desdobramentos F, G : C" x C \ 0 ->• V x C's,0 ele /„ são Ac-

isomorfos, se existirem desdobramentos da identidade I:

F: Cn x C ' \ 0 —y O' x C \ 0

( x, u ) (.f(x,u), u)

H : Cn x Cs.O —> C" x C's',0

( X-, U ) ( h(x,u), u ), eom h(x,0) = In(x)

e I< : C" x Cs\ 0 O' X c s , 0

( y , u) ( k(y,u), u ), com h(x, 0) = Ip(x)

tais que, K o F o H 1 = G.


D E F I N I Ç Ã O 1 . 1 9 . Dado -um germe h : 0 , 0 —> C s , 0 com u — h(v), definimos o pull-

back h*F de F por h, como sendo o desdobramento de /0 a t parâmetros (h*F)(x, n) =

(f(x,h(v)),v).

Dois desdobramentos F, G de /„ são equiva len tes , se existir um germe de difeomor-

fismo h : C'\ 0 C'\ 0 tal que G é isomorfo a h*F.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 2 0 . Se G é um desdobramento de /0 a t parâmetros, dizemos que G é

i n d u z i d o p o r F se existe um germe h : CÔ —> C's',0 (t não necessariamente igual a s)

tal que G é isomorfo à h*F.

Dizemos que F ê u m d e s d o b r a m e n t o versa i se todos os desdobramentos dc /o são

induzidos por F.

A A.f;-c:odiinensão dc; um germe / é o número mínimo dc; parâmetros necessários num

A(!-desdobramento versai de / (ver [Ma], XIV 1.1).

Dado /o G 0{n,p), sejam l = Aecod(f0) < oo c g h . . . ,g( G 0 ( f ) — 0(n,p) uma C-

base para o complementar de T A c ( f ) em $ ( f ) , ou seja, uma base para o e spaço n o r m a l

J\f = Podemos definir um desdobramento F de /o por

F : C n x C ' ,0 —> x C ' ,0

( U ) 1 ^ ( U )i

l onde f(x,u) = / 0 (x) + gj(x)uj. Este desdobramento F ó versai.

i=1

1.3.3 Determinação Finita

Para introduzir o conceito de determinação finita torna-se necessária a definição de fc-jato.

Dado / G 0(n,p), considere a série de Taylor de / em 0 truncada na ordem k. Duas

aplicações f,g G 0(n,p) têm o mesmo Â;-jato na origem se seus polinómios de Taylor em

0 de grau k coincidem. A classe de equivalência definida pela relação acima é denominada

o fc-jato de / na origem e a notação usual é j k f (0 ) . O conjunto de tais elementos, isto é,

aplicações polinomiais de grau menor ou igual à k com termo constante zero, é denotado

por dk(n,p).

24 Preliminares

D E F I N I Ç Ã O 1 . 2 1 . Um germe f 6 0(n,p) ék-Q- d e t e r m i n a d o se para todo g E 0(n,p)

com, jkg(0) = jkf(0) temos f ~ g, ou seja, se a Ç-órbita de f contém o conjunto de todos G

os germes g E 0(n,p) tais que jkg(0) = jkf(0).

Diremos que f é ^ - f i n i t a m e n t e d e t e r m i n a d o se f é k — Ç-determinado para algum

k < oo.

Existem critérios para determinar se um dado germe de aplicação é ou não finitamente

determinado, um deles é o chamado c r i t é r i o g e o m é t r i c o d e d e t e r m i n a ç ã o finita.

Apresentamos abaixo uma versão deste critério para o grupo /C:

T E O R E M A 1 . 2 2 . ( |Wal | , Theorem 2 . 1 ) Seja f : C N , 0 - > C P , 0 com n > p então 0 é uma

singularidade isolada de f~1(0) se, e som,ente se, f é K,-finitamente determinado.

Pode-se provar que, se / : C" ,0 —> G ' , 0 (com n > p) c um germe de aplicação K-

finitamente determinado então o conjunto / _ 1 ( 0 ) é um germe de i n t e r s e ç ã o c o m p l e t a

de dimensão pura n — p.

Outro critério de determinação finita é o chamado c r i t é r i o in f in i t e s ima l d e M a t h e r ,

que enunciamos abaixo:

T E O R E M A 1 . 2 3 . ( |Wal | , Theorem 1 . 2 ) Para todo f E 0{n,p) e cada grupo Q = Tl, C, A, C

e K. as seguintes condições são equivalentes:

(a) f é finitamente Q-determinado,

(b) para algum k, TÇ(f) D M k 0 ( f ) ,

(c) Gcod(f) < oo,

(d) Ge.cod(f) < oo.

P R O P O S I Ç Ã O 1 . 2 4 . Seja C uma curva analítica irredutível em C" e <j> : C, 0 —> C", 0 uma

parametrização da curva. Então <p é A-finitamente determinada.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Seja a parametrização 0 como em 1 . 2 . O submódulo M.\d(<j)) de 9(<p)

é gerado pelos elementos (tk, 0, . . . , 0), (0, tk,. . . , 0),. . . , (0,. . . , 0, tk).

Associado à curva C, tem-se um semigrupo de valores T com condutor c. Sabemos que

para todo k, E F, existe g E O com g ^ 0 tal que g(<p(t)) = akt,k + ak+Atk+1 + ..., com


a; G C, i > k e ak £ 0. deste modo u(^) = v(g(<p(t))) = k. O espaço tangente à ^4-órbita

de <p ó dado pelo conjunto

vot"»-1

vitV í- { + ..

U n - l f ' " - ' - 1 +

v 0 m ) )

[ ] + v i ( m e G MyOi e r/j G MnOn,

; 0 como um elemento em

C{t\n = C{Í} x ••• x C{t}.

Tomando e = 0, rji = g G O e rjj = 0 para j = 1 , . . . , n com j ± i obtemos o elemento

(0, ••.,(), g((p(t)), ( ) , . . . , 0) G TA{4>). Em outras palavras, para todo k G F, obtemos um

elemento em TA{4>) c u . í a coordenada não nula possui ordem k. Como c é o condutor do

semigrupo, todo k E N com k > c pertence ao semigrupo. Portanto todos os geradores de

M.\Q((f)) módulo Ai i + L0(4>) pertencem à TA((f>) para k > c. Como tal fato se verifica para

todo k maior ou igual a c, temos que A4\9{(j)) C TA{<p) para todo k > c. Pelo Teorema

1.23, o germe <J) é ^-f ini tamente determinado.

Pela proposição anterior e pelo critério infinitesimal de Mather, temos que se ctb é uma

parametrização de uma curva analítica irredutível então Aecod(<p) é finita.

Mais geralmente, para cada um dos grupos TZ, C, A, C e KL (e até para uma classe

mais ampla dos grupos geométricos introduzida por Damon) a condição de codimcnsão

finita é equivalente à existência de um desdobramento versai.

1.4 Invariantes Aritméticos

Definimos aqui alguns invariantes da teoria de curvas e apresentamos relações entre os

mesmos presentes na literatura, ver por exemplo, |Ber], | B | , | B G | , [GRLJ, | C R 2 ] , [ M L J , |Mil|

et ai

Segue do critério geométrico de determinação finita (Teorema 1.22) que a equivalência

de contato (grupo fC) é a noção corrota para o estudo de curvas definidas implicitamente

como o conjunto de zeros de aplicações. JÁ no caso de curvas dadas por parametrizações,

o grupo A é o mais adequado (ver Proposição 1.24).

Desse modo, neste trabalho, um objeto /C-invariante é um invariante na classe das

26 Preliminares

curvas dadas implicitamente e um objeto ^-invariante se refere às curvas dadas para-

metricamcntc. Não apresentamos uma demonstração por se tratar de resultados bem

conhecidos na literatura.

Seja cp : C, 0 —> C™, 0 uma parametrização de uma curva analítica irredutível C. A

- c o d i m e n s ã o d o g e r m e cp é um ^.-invariante analítico de </>.

O s e m i g r u p o d e va lores da curva, definido na primeira seção deste capítulo, é um A-

invariante de cp (e também um /C-invariante), amplamente estudado na literatura. Zariski

em [Z2] provou que o semigrupo de valores é um invariante topológico completo para

curvas planas irredutíveis.

O i n v a r i a n t e d e l t a (^4,/C-invariante) é definido por

S — dim<£ o_

onde O é o anel local da curva e O ~ C{í}. 0 invariante delta também representa o

número de lacunas do semigrupo de valores Y da curva C. pois como vimos o anel local

O ~ C{t"°,pi(t), • • • ,pn(t)}, onde é(t) = (tvn.pi(t), .. . ,pn(t)) é uma parametrização de

Puiseux da curva C, logo

= l ! , i " c r v ^ TTT = P \ r .

O invariante delta e o condutor do semigrupo Y caracterizam as curvas irredutíveis

Gorenstein (Definição 1.11). Uma curva C é Gorenstein se, e somente se, seu semigrupo de

valores T é simétrico. Entretanto, vimos que T é simétrico se, e somente se, - = JtN\r = á,

onde c é o condutor do semigrupo. Portanto, C é Gorenstein se, e somente se, c = 25.

Também podemos determinar a £e-codimcnsão do espaço tangente à órbita de dp atra-

vés do invariante delta, já que

r r, rV C W r Cecod[(p) = dime = n • dim€ —— — —T = nó.

Buchweitz e Greuel [BG] definem o n ú m e r o d e M i l n o r /x para curvas reduzidas com

singularidade isolada. Esta é uma generalização do número de Milnor clássico para curvas

planas, introduzido por Milnor cm [Mil], e que foi estendido para curvas de interseção


completa por Greuel. Em [BG], encontramos uma generalização da fórmula de Milnor

para curvas reduzidas // -- 28 — r + 1 , onde r c o número de ramos da curva. Em particular,

110 caso de uma curva analítica plana irredutível determinada por / £ C { X , Y } temos

que

// = dim<c ——— = 2ò = c, \Jx,Jy)

onde f x e f y são as derivadas parciais de / com respeito a X e Y, respectivamente.

Delorme em [De], provou que o conjunto A, definido na Seção 1.2.2, c um .A-invariante

110 caso de curvas ])lanas irredutíveis. Em particular, o conjunto das l a c u n a s especia is

A \ T é um .4-invariante. Na verdade, estes também são /C-invariantes de curvas planas.

Outro importante invariante é o n ú m e r o de T j u r i n a r , que 110 contexto da teoria

clássica de deformação de singularidades é definido como a dimensão do espaço Tl, que é

o espaço de deformações de primeira ordem de (C, 0), onde C é uma curva reduzida com

singularidade isolada 11a origem de Cn (ver, [Gr2|, [Pai], [S], entre outros).

Entretanto, se X0 = f~1(0) é uma subvariedade de interseção completa (Definição

1.4), segue de Tjurina [Tj] que

/• w r tf(0(n)) + f*(Mp)0(f) '

ou seja, r = K,ecod{f). Portanto, o número de Tjurina representa o número mínimo

de parâmetros numa deformação /C-versal de uma subvariedade analítica de interseção

completa com singularidade isolada. Naturalmente r é um /C-invariante, uma vez que a

/Cecod(f) o é.

Utilizando dualidade local, Greuel prova em [Grl|, o seguinte resultado:

T E O R E M A 1 . 2 5 . ([Grl], Satz 0.3) Seja X urna interseção completa de dimensão n > 1,

com singularidade isolada na origem.

(1) Se X é quase-homogênea então ji = r;

(2) Se X é irredutível então r < /i.

Looijenga e Steenbrink em [LS], provaram que a desigualdade r < ft. vale mais ge-

ralmente para qualquer subvariedade de interseção completa com singularidade isolada.

Segue da demonstração do teorema acima que para curvas de interseção completa (não

28 Preliminares

necessariamente irredutível), o número de Tjurina pode ser dado por uma álgebra mais

simples,

T - < / • W ( / ) ) •

onde J ( f ) é o ideal Jacobiano de / em O, gerado pelos menores maximais da matriz

Jacobiana. Este resultado não é válido em geral.

No caso de curvas irredutíveis de interseção completa, o Corolário 1.28 abaixo, apre-

senta uma relação interessante envolvendo o número de Tjurina e o conjunto das lacunas

especiais da curva, que segue como consequência dos resultados de Berger e Pinkham,

enunciados a seguir:

P R O P O S I Ç Ã O 1 . 2 6 . ([Ber]) Dada C C C" urna curva irredutível de interseção completa e

T o submódulo de torção de OdO. Então,

l(T) = c- j}A\r,

onde l(T) é o comprimento do submódulo de torção T e c é o condutor do semigrupo (ver

Seção 1.2.2).

P R O P O S I Ç Ã O 1 . 2 7 . ([Pin]) Seja C uma curva Gorenstein. Então l(T) = r .

Como toda curva de interseção completa é Gorenstein temos o seguinte corolário:

C O R O L Á R I O 1 . 2 8 . Seja C C C™ uma curva irredutível de interseção completa, então

t = c - | ) A \ r .

Dessa relação concluímos que JjA \ T é um /C-invariante para curvas irredutíveis de

interseção completa.

Uma demonstração mais simples de que

pode ser encontrada em [Her] (Corolário 2.1, pag. 56).

Capítulo 2

Curvas Analíticas em C n + 1

Neste capítulo obtemos propriedades sobre a «4e-codimcusão do espaço tangente à A-

órbita do germe 0, onde 0 é uma parametrização de urna curva analítica irredutível C cm

C n + 1 , com singularidade isolada na origem.

Na primeira seção, é apresentado um método já conhecido para o cálculo da Aecod((j)),

em seguida obtemos uma estimativa para este invariante, em termos do invariante delta,

da multiplicidade e da dimensão de mergulho da curva.

Na seção seguinte, estabelecemos uma relação entre os elementos do espaço tangente

à yl-órbita de 0 c elementos do C-módulo de diferenciais dc Káhler, onde O é o anel local

da curva. Tal relação determina um novo método para o cálculo da Aecod((j)), que pode

então ser determinada a partir das ordens de certas diferenciais de Káhler. Estas são as

ferramentas necessárias ao Teorema 2.11, que estabelece uma relação entre a Aecod((f)), as

diferenciais e os invariantes mencionados acima. Deste teorema decorrem todas as demais

caracterizações para curvas monomiais e planas, obtidas nos capítulos posteriores.

2.1 .Ag-codimensão de Curvas Parametrizadas

Seja C uma curva analítica irredutível em C n + l e <f> uma parametrização de C da forma

x'i = / •

0 : < ( 2 . 1 )

30 Curvas Analíticas Monomiais

onde ciij £ C para j — 1 , . . . n.

Como vimos a *4e-codimensão de 0 é dada por Aecod(<p) = dirn<c | ' , , onde TAe(4>)

é o espaço tangente estendido à .4-órbita de <f>.

Na Seção 1.3.2, vimos que a „4e-codimcnsão de ) c

uma C-base para o espaço normal denotado por Aí = então

i=i

c um desdobramento versai de ( f ) com Ui G C para todo i = 1 , . . . , 1 .

Com o intuito de calcular a Aecod{(p) precisamos determinar uma C-base para o espaço

normal à ^4-órbita de ( j ) . Para facilitar a notação, vamos representar um elemento de

TAe(<4>), quando não houver risco de confusão, como um elemento em C{í} n + 1 = C{í} x

• • • x C{í}. Segue de Gibson em [Gib] (páginas 106 e 156) que

Arcod{<t>) = cod0(<p) + cod{((t>) + cod2(<t>) + . .., (2.2)

onde codkU>) = dim? TM) + MkM) MkM) = {g G 0(n,p)i /~V0) = 0}. /cl u TAK((l>) + Mi+ 9 (<p) 1 y j .A; /

Como <fi é ^.-finitamente determinado (Proposição 1.24), temos que codk((f)) ^ 0 para

um número finito de fc's. Para calcular cada coc4 (</>), basta verificar se os geradores de

M\9{4>), bacios pelos n + 1 elementos ( 0 , . . . . tk,..., 0) pertencem à TA(Í(([)) + Mki+19((l)).

O próximo passo é selecionar entre os geradores que não pertencem à TAe(<p)+A4'l+19((p)

uma base para o quociente

T A M ) + M \ e { 4 > )

TAe.{4>) + M\+xB{(j))

o número de elementos da base 6 a codk(<p).

Seja cj) como em (2.1), então o processo apresentado acima para o cálculo da Aecod((i))

garante o seguinte resultado:

2.1 ^ - c o d i m e n s ã o de Curvas Parametr izadas 31

P R O P O S I Ç Ã O 2 . 1 . Existe uma base monomial para o espaço normal N.

Nosso objetivo neste momento é apresentar uma estimativa para o invariante Aecod(<p).

Lembremos que o espaço tangente estendido à ^4-órbita de 0 (2.1) é dado por

TM) =

dx o " ryo(0(í)) " \

[ e(í) ] + r/i (0 (0) e G 0 , e t?,; G O n + 1 ,

com 0 

Deste modo, (w0, Wi,. . . , wn) G 6{4>) pertence à TAe(<t>) se, e somente se, existem

e e O] e ry G On+1 tais que

w0 = dxO • F + Í /O(0)

w} = dxi • f + r/i (0)

wn = dxn • e + rjn (</)).

(2.3)

Indiquemos <j> = (<jí>0, 0i> • • • > <t>n) = (<£o, i>) onde if> = (0i, . . . , (f>n). Naturalmente, o

espaço 0(0) ~ É»(0„) e 6>(-0).

Considere os seguintes subespaços

T0 = { u;0 G <9(0O); «'o = dx0 • e + %(0), e 6 Oi, r/0 G 0 n + i } e

T = { (wu ..., wn) G 0(0); (0, w{,..., i/.>„) G T A 0 0 ) }•

As codimensões de T0 e T são dadas por cod T0 = dim® e cod T = dim<c ^ ^, 'o 1

respectivamente.

Como 0 6 ^ f i n i t a m e n t e determinado (Proposição 1.24), temos que as codimensões de

T0 e T são finitas. Se («;0, w , , . . . , «;„) G 0(0) então denotamos por [(w0, W i w n ) ] a

classe deste elemento no quociente 9(0)/TAe((p), analogamente para 0(0O) e 0(0).


P R O P O S I Ç Ã O 2 . 2 . Se C é uma curva analítica irredutível em C N + 1 com é uma parame-

trização de C, então

Aecod((p) = cod To + cod T.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Considere a seguinte sequência m ^ e{<t>) ^ 0(<M

' T ^ TAe{(t>) T0

onde i* e ir* são definidas por

l ([(li'!, . . . , Wn)}) = [(0,'i«l, . . . ,«'„.)],

7 r * ( [ ( u ; 0 , í i ) j , • • • , ' » ' „ ) ] ) = ['»;()]•

Provemos que a sequência é exata. A aplicação n* está bem definida, pois dado

w = (wQ, W\, • • •, wn) G TAP{4>), existem e G 0\ e r]t G On+í, i = 0 , . . . , n satisfazendo o

sistema (2.3), em particular w>0 = dx{) • r + T]o(<j>). Portanto, n*(w) G T0.

Claramente, IRN(I*) = K<R(N*). Provemos que I* é injctora. Seja (w; , , . . . , WN) G

9(ip) tal que i* ([(wx , . . •, wn)]) = 0. Isso implica que [(0, ..., wn)} — 0, ou seja,

(0, w\, . . . , wn) G TAf((j)), o que ocorre se, e somente se, (w\,. . . ,wn) G T. Portanto,

[{wu... ,«;„)] = 0.

Note que, n* é sobrejetora. De fato, seja [w;0] um elemento em 0(0O)/TO. Considere

w = (w0, wi,..., wn) G 0(<p), para algum (wi,..., wn) G 0( i j j ) . Corno vimos tt*(TAe(4>)) =

T0. Portanto, 7r*([w>]) = [«;0].

Portanto, Aecod(efí>) = cod T0 + cod T.

L E M A 2 . 3 . Seja C uma curva analítica irredutível em C" + 1 , com multiplicidade vq e <p

uma parametrização de C. Então cod T() = v^ — 2.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Seja P o semigrupo de valores de C. Lembremos que,

TQ = { w0 G 0{(po)] wQ = dx0 • e + ?7o(0), e £ Ou r)0 G 0 „ + i }.

2.1 A-codimensao de Curvas Parametr izadas 33

Seja k EN tal que k > vQ — 1, e escolha e = ^ tk " l )+1 G então obtemos que

dx0 • e = v{)tv"-} • t k ~ v = fk E T0 .

Note ainda que, se A: G F, então existe rjo € O í l + i tal que r/o(V/3(í)) = aktk + ... G T0,

com a,; G C.

Claramente, se = tk E 9(<Pq) é tal que k é uma lacuna com 1 < k < vq — 2, então

'u;0 não pertence à T0. Portanto cod, Tq = Uo — 2.

Por outro lado, podemos estimar cod T cm termos de invariantes clássicos. Vimos que

T = { (Wl,..., wn) E %';); (0, wu • • •, wn) E TAe{4>) }.

0 ( ' 1 ^ o Naturalmente, 0 (-(/-') — © " = i O, assim ^ é isomorfo a um submódulo de ^ ^ — .

í=i Como 5 = di'ni£~, temos que

cod, T = d.im<£ < nó.

E portanto, pela Proposição 2.2 e pelo Lema 2.3 obtemos o seguinte resultado:

P R O P O S I Ç Ã O 2 . 4 . Se C é uma curva analítica irredutível em C" + 1 , com, multiplicidade v0

e (p é uma parametrização de C então

Accod((j)) = cod, T0 + codT < nS + v0-2.

Obtemos assim uma primeira estimativa para Accod(4>) em termos de invariantes que

dependem apenas do semigrupo de valores e da dimensão de mergulho da curva.


2.2 AecQd((j)) e as Diferenciais de Káhler

Nesta seção, veremos que o espaço tangente à ^4-órbita de 0 está intimamente relacionado

com certas diferenciais de Káhler. Com isso, determinamos um método para o cálculo

da AeCod(<l>), em termos das ordens destas diferenciais. Segue desta caracterização, o

Teorema 2.1 f, que estabelece uma relação entre a Aecod{(p) e invariantes conhecidos.

Denotemos por Odx$ + Odxi = 0Xi com % = 1,. . . , ri, o 0-submódulo do módulo de

diferenciais de Káhler OdO = Odx„ + Odx: + . . . + Od,xn.

Lembremos que o espaço tangente estendido à ,4-órbita de <j> é dado em coordenadas

por:

/

dx 0 " vom))'

dx 1 [ <t) ] +

•nM(t)) e G C»! e r/i G On+l, < [ <t) ] +

•nM(t)) ;

com 0 e as diferenciais em

Oxj,..., 0Xn é dada pelo seguinte resultado:

P R O P O S I Ç Ã O 2 . 5 . Seja (C"+ 1 , 0 ) uma parametrização de uma curva analítica

irredutível C. O elemento (0, f i , /2,. . . , /„,) € TA,,(<p) se, e somente se, para algum

j = 1,... .ri temos que

fi = r/jdxQ - rjodx j Ox

dx o dr,Q

para algum, r]0,r]j £ O, com, t!(r/0) > i>(d,x0) sempre que rj0 / 0.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Com efeito, se (0, / i ( í ) , . . . , /«(£)) G TAe(4>) então o sistema

dx o • e(t) + 77o (0(í)) = 0

dx,. e(t) + mitit)) = .h{t)

k dxn • c(t) + riMt)) = fn(t),

tem solução, para algum e G O e ry G O n + 1 onde i = 0, f , . . . , n . Afim de facilitar a

notação denotaremos 77.,- ( ( í ) ) por 77.;.

Sc 770 = 0 temos que e = 0 e assim segue do sistema acima que /,:(í) = rji(4>(t)) para

2.2 Accod{4>) e as Diferenciais de Kãhler 35

todo 2 = 1 , . . . ,n . Como O ~ C{í u " ,^ i ( í ) , • • • An{t)} onde </>(í) = ( í 1 " , ,0 1 ( í ) , . . . ,</>„(í))

concluímos que /?: £ O e portanto,

= Vidxo ^

para todo j = 1, . . . , n.

Agora se 7/0 £ 0 \ {0}, isolando e na primeira equação do sistema temos e(í) = —

Como f £ O ~ C{í} então i!(7/0) > v(dxo). Substituindo e no sistema, obtemos:

7/iíÍXq - 7/q dx-, d,Xn / i ( í )

Vndxp - r]0dxr

dxt) = /n(í)-

Reciprocamente, suponha que para algum j = 1,. . . , n temos

fi rjjdxo — r]0dxj Ox

dxi £

dXr

onde 7/o, r/j £ O. Se r/0 0 temos 77(7/0) > v(dx0), então escolha e{t)

assim obtemos o seguinte elemento no espaço tangente

'h dxo

£ C{t} e

( dx0 • (-7/o/fí.To) +r/o ^

dx 1 • (-ri0/dx0) + r/i

tíxj • (-rjo/dxo) + 7y

\ dxn • (-7)0/dx0) + 7/n y

( 0 7/idx0 — 7/o dx 1

dxn

r/jdxo — 7/0 (ÍXj dx{)

Tjndxu - r)0dxr, \ dx0

\

/

onde 7/j £ O para todo j = 0 ,1 , . . . , / ; , . Se 7/0 = 0 então f:i = 7jj £ O e como vimos

(0, . . . ,./}((/>), ...,())£ TA,,(([)) ]>ara todo j = 1, . . . , n.

Vimos na seção anterior, que é possível obter uma base monomial para o espaço

J\f = 9((J))/TAe{<p)- Nosso objetivo é obter uma correspondência entre elementos desta

base e ordens de certas diferenciais de Kãhler.

Como TAe{(p) = T7le(<p) + T £ e ( 0 ) , onde TCe(<j>) = vemos que todo ele-


mento ( 0 , . . . , 0, g, 0 , . . . , 0), com g £ O pertence à TAe(é). Mais ainda, se k e F então

(0,. . . , 0, tk , 0, . . . , 0) pode ser obtido como um elemento em TAr(é) módulo termos de

ordem maior ou igual a k + 1. Deste modo, os únicos elementos que contribuem para uma

base (monomial) do espaço normal são da forma (0, . . . , tk, . . . , 0) onde k é uma lacuna

do semigrupo.

Sabemos que a Aecod{(j)) pode ser obtida a partir da multiplicidade da curva e de

cod T, onde

T = { («;,,..., Wri) e 0(V;); (0, w , w 7 1 ) e TAe{4>) }

tal que ij) = ...,<?)„), vamos determinar uma base para cod, T.

Para isto, faremos n decomposições do conjunto das lacunas L do semigrupo T, em

uniões disjuntas de conjuntos convenientes, de forma que, para cada um destes conjuntos,

estas lacunas vão corresponder a ordens de elementos que pertencem ou ao espaço tangente

TAc{<f>) ou à Aí .

Para cada i = 1 , . . . ,n considere os seguintes conjuntos:

•V, {/,•• / , kjí v com th 6 0 , Ví) e M \ {0}} ,

onde M e o ideal maximal do anel local O.

o / /}/ í/.''() — ) f/./') . Se k G L é tal que k = v ( ; ) com r/j G O,rj0 G Ai \ {0}, então pela

Proposição 2.5 obtemos d:Xn

o 7/l dxo - Tjpdx 1

dx0

r/jdxo - rjpdxj dx0

r)ndxo - r]0dxn

V dx0 )

G TAe{(f>),


com r/j E O, j = 1 , . . . , n, j ^ i. Logo. k pertence a um dos conjuntos abaixo:

Mj = j fc G L, k > tal que para qualquer a; - r1od'xi = ^ l dx0

existem j = 1,. . . , n, j ± % e r/7 G C tais que /,' > t> í r h d x ° ~ Vodij\ e

Ai = { k E L, k > Vi. tal que existe lo — ^ ° — — c o m v(ui) = k tal que dxQ

, rj<dx(j — rj()dxj \ k < v : , para todo j — l,... . u, j / 'i c r/? G O

v dxn /

Observe que para cada <i = 1, . .. , n os conjuntos são disjuntos e temos

L = Ni Ú Mi Ú Ai. (2.4)

Vamos analisar cada um dos conjuntos desta decomposição. Pela Proposição 2.5, se

k = v(fi) E Ni, então não é possível obter em TAf.(<P) uni elemento com a primeira

coordenada nula e tal que f t comparece na (?' + l)-ésima coordenada. r • i i rhdxo — r)0dxi Por outro lado, se k E M. U A; para algum 1 (r/0) > v(d,x0) pois k > além disso cada f j comparece dx o

na ( j + l)-ésima posição.

A observação abaixo garante que os elementos (0, J \ , . . . , f i , . . . , /„,) tais que para algum

i, a ordem de ft pertence à A ( não contribuem para uma base do espaço normal Aí.

O B S E R V A Ç Ã O 2 . 6 . Se k = v(fi) E A I T onde fi = aktk + ak+ítk+l +... , com ai E C , l > k,

então o elemento (0, . . . , 0, aktk, 0, . . . , 0) G TAe((p) + Mk+l0(<p).

De fato, seja k = v{ji) E Aj então fi — para algum i = 1 ,...,n e dX{)

r/0, Vi e O.


Como vimos, segue da Proposição 2.5, que a esta ordem corresponde um elemento

(O, /!,..., /I_L, fu fi+1, . . . , fn) G TAe(<P),

onde fj = Th)à.Xj ^^ e O e j = O, ...,n, satisfazendo ;;(/'•) > A: para todo dx0

3

Como fi = a,ktk + AFC+IÍ / C + 1 + . . . onde a,i G C, / > k temos que

( 0 , . . . , O, AFCFFC, O , . . . , 0 ) G TAe{<p) + M^+le((fi).

Segue da observação acima e de (2.2) que os elementos de estão associados a

elementos que não contribuem para uma base de Aí.

Os conjuntos Ni, Mi e A t descritos acima, podem ser obtidos por uma inspeção mi-

nuciosa dos elementos de OxJdxQ, uma vez que há um número finito de possibilidades

a serem verificadas, ou ainda utilizando o algoritmo apresentado em |HH] que permite

calcular uma Base Standard para os submódulos 0Xi.

Neste momento estamos aptos a determinar a Aecod((p) em termos das decomposições

das lacunas apresentadas acima:

P R O P O S I Ç Ã O 2 . 7 . Se <p é uma parametrização de um,a curva analítica irredutível C em

C n + 1 , de multiplicidade v0 e semigrupo T, então existe VT Ç MI tal que

n 7/ Afícod(é) = í)0-2 + +

i=1 1=1

D E M O N S T R A Ç Ã O : Vamos determinar quais elementos da fornia ( 0 , tk, (),..., 0 ) , . . . ,

(0, 0 , . . . , 0, tk) com k uma lacuna, pertencem a uma base do espaço normal Aí, deter-

minando assim cod T.

Observe que, se (0, 0 , . . . , tk,..., 0) G Aí, onde tk se encontra na (i + l)-ésima co-

ordenada, então pela decomposição disjunta do conjunto das lacunas (2.4) temos que

k G Ni LJ Mi LJ A,:. Pela Observação 2.6, k (É A p o i s caso contrário, o elemento

;().() 0) pertenceria à TAe(<f)).

Considere U um conjunto de geradores do espaço Aí dado por


U =

í ( t k \

O

o

/ o tk 1

o

/ o o

tk2

l V 0

/ Vo

/ Vo

/

/ o \ o o

V /

k = l,...,v0-2

e ki G iVi Ú Mj ,

com í = 1 n

Deste conjunto de geradores do espaço normal Aí extraímos uma base, que denotamos

por B.

Os únicos elementos da forma (tk, 0,. . . , 0) G £>, são aqueles tais que k = f, • . ., vq — 2.

Agora, seja kt G JVf com 1 < i < n, ou seja, k{ não é dado como ordem de um elemento

em 0:ri/dx{). Segue da Proposição 2.5, que não é possível obter no espaço tangente à

v4-órbita de (j), o element o (0, . . . , 0, tk\ 0,. . . , 0). Portanto, todos os elementos da forma

(0 , . . . , 0, tki, 0 , . . . , 0) G U com fcj G Ni pertencem à base B.

Como vimos, a cada ordem k7 G Mi corresponde um elemento

(0, / ! , . . . , / „ ) G T A M ,

com v ( f j ) < v(fi) = para algum j / i. Assim, eventualmente nem todos os elementos

de U da forma (0, 0 , . . . , tki,..., 0), onde kt G Mj pertencem a B. Deste modo, considere

os seguintes conjuntos:

= {/,' •:; M, ; ( 0 , 0 , . . . , í f c , . . . , 0 ) e B} e

V[ = { f c G M ; (0, 0 , . . . , í f c , . . . , 0) G U\B}.

n n Donde concluímos que Accod{4>) = = v0 - 2 + §Nt + Y ^ W1'

i = l i= 1

11 II II. O B S E R V A Ç Ã O 2 . 8 . Note que, + ^ Wl = '

í=I i=i i=i


Vejamos alguns exemplos:

E X E M P L O 2 . 9 . Seja, cp uma parametrização de uma curva analítica C em, C 3 dada por

X'0 = t"

o : < ./•; = t8 + trs

x2 9 i j-13 t;> + t

O sernigrupo da curva C eí dado por T = (6, 8, 9), cujo condutor é c = '20 e o conjunto

das lacunas é

L = { 1 , 2, 3, 4, 5, 7, 10, 1 1 , 1 3 , 19 } .

Como fi = 10, temos que C é Gorenstein pois c = 25. O espaço tangente à A-órbita

de cp é o conjunto dos elementos da form,a

6 í5

817 + 1 3 í 1 2

9 tH + 1 3 í 1 2

6(í) ] +

r/„(í6, í8 + í13, í!) + í13)

í8 + í13, t9 + t n )

r/2(ífi, f + tv\ /!, + í13)

onde e £ O e ?/.t 6 para i = 0, 1, 2.

Como vimos no resultado anterior, para todo k = 1,..., — 2 = 4 temos que

ctk, 0, 0) G N.

Desta maneira a, decomposição do conjunto das lacunas como em (2.4) permite deter-

minar os demais elementos da forma (0, tk, 0) e (0, 0 , t k ) que compõem uma base do

espaço normal J\í.

A primeira decomposição do conjunto das lacunas é dada por:

1, 2, 3, 4, 5, 7

A, 10, 11, 19

MI 13

De fato, observe que toda lacuna k com

elemento em Oxi/dxo, logo, pela Proposição

que a lacuna 7 não é ordem, de um, elemento

1 < k < 6 = v\ — 2, não é ordem de um,

2.5, k — 1 , . . . , 5 G N\. E não é difícil ver

em, Oxi/dxo, isto é, pertence a, N\.

2.2 Af,cod((p) e as Diferenciais de Kãhler 41

Por outro lado, 1 0 . 1 1 , 1 9 € Ai pois

(a) 10 = v xxdx\

dx()

( 0 \ 4 ,10 i 21+15 , 13+20

;r "T" 6 1 ^ 6 1

\ §íU + fí15 + §í16 + fí20 J

e TM<t>)

(b) 11 = v dxi

0 4,11 , 4,15 i 13 + 16 i 13,20 3 + :if + a 1 +

o

e TAM)

(c) 19 = V / X\X2dXi\ c dxj

V dx{) )

O

f f 1 9 + |í23 + ft24 + ... e TAc((p).

E ainda,,

(,d) 1 3 = v 8x,idx,0 — 6x,0dxi\ c

dxi)

6*0 d: Í0

í o \

-5 tu

V —4/,13 ) G TAM)-

Observe que não existe um, outro elemento de OxJdx0, cuja ordem seja, 13. Logo,

1 3 G M j .

Na, segunda decomposição do conjunto das lacunas temos:

N2 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10

A2 19

M2 11,13

De fato, nenhuma lacuna k tal que 1 < k < 7 - v2 - 2, é ordem de um, elemento em

OX2/dx0, logo k = 1, . . . , 5, 7 G N2. Efetuando alguns cálculos, constatamos que 10 G N2.

Temos epie

19 = v r'\d,x2

dxn

T2

d,:0

t O

O

\ G TAe{<t>)

\ §í19 + ft23 + 3t • ... /


logo, 19 G A 2 .

Observe ainda que as úniea,s representações de elementos em Ox.Jdx0 que possuem

ordem, 11 e 13, são dadas pelos elementos ûÉp e ? respectivamente. Eles

correspondem aos mesmos elementos emTAc(0) dados em (a) e (d). Portanto, 11,13 £

M 2 .

Deste m,odo,

U =

í tk \

O

V o J

í o \

tkl

\ o /

{ 0 ^

o

V ^)

( o \

fl'3

\ o /

( O \

V ^ /

( o \

o

V <13

/

k = 1, ... ,4:

/>.',; G Aj, -í = 1, 2,

13 G M i ,

11,13 G M2

.

Note que, apesar de (O, í13 , 0), (O, O, í13) ^ TAe{<t>) + M^6{4>), eles não podem, estar

simultaneamente na base, pois existe uma combinação destes dois elementos (veja (d)) tal

que

( o \

-5í13

, 1 3

e TA{<t>)

\ —4r3 /

Facilmente, vemos que U \ {(O, O, í13)} é uma base para o espaço normal Aí. Assim,

Vi = {13 e Ml} fi Vi = {13 G M2},

Portanto, Aceod(<f>) = v{) - 2 + tf A^ + tfiV2 + tfVi = 19.

No exemplo a seguir, os conjuntos V' são vazios, para todo i, = 1 , . . . ,n. Além disso,

fica evidente neste caso, a importância de se conhecer todas as possíveis representações

de elementos de OxJdx0 cujas ordens são lacunas.

E X E M P L O 2 . 1 0 . Considere a curva dada pela parametrização

0 :

XQ

x-,

X2

= í6

= tw + 2t11

= t u + t a

= tU) + t2\

O semigrupo de valores desta curva é dado por T = (6,10,14,19, 21), cujo condutor é


c = 24. Facilmente vemos que o conjunto das lacunas de F é

L= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 23}.

Deste modo, 5 = 13 e como c ^ 28, a curva nao é Gorenstein.

O espaço tangente à órbita de <f) é dado por elementos da forma:

6 í5

10íf) + 22 í10

14í13 + 17 í16

19í18 + 23í22

<t) ] +

r/0(t6, í10 + 2 t n , tu + t17, tw + t23)

rh{t\ llí) + 2ln, tl4 + t17, í19 + í23)

7/2 (í6, í10 + 2í U , /M • / '7 . í1!) + í23)

7/3(í6, í10 + 2 t n , + í19 + í23)

onde e £ O e rfr € C 4 , para í = 0, 1, 2, 3.

./Va primeira decomposição do conjunto das lacunas L temos:

N, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13

A] 11, 15, 17, 23

Pelo mesmo argumento do exemplo anterior, garantimos que as lacunas que não são

ordens de elementos cm OxJdx{) são dadas no conjunto Ni acima. Vamos verificar• que

todas as lacunas que são ordens de uma diferencial em OxJdxa pertencem ao conjunto

A). Com efeito,

(a) 11 = v lOxidxo — 6x,odxi

dxft

(b) 15 = v 10xé2 dx0 — Qxidxi

dxo

l 0 \

-2tn

-3t17

v ~4í2:i / e TA..{<t>)

( o \

-42 í 1 5 - 4 4 i 1 B + 10í17

— 14í18 - 28í19 - 17í21 - 34í22

— 19í23 - 38í2'1 - 23Í27 - 46f.28

G TAM)

Analogamente para as ordens 17 = v ( I e Zó — v dx n dxr

Curvas Analíticas Monomiais 44

Na segunda decomposição temos,

N2 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15

M2 17

A 2 23

/ 14X2aXQ — ox0ax2 \ Veja que 17 = v I , assim obtemos exatamente o mesmo elemento em

\ dx o J TAC((/)) dado em (a,), uma vez que temos o mesmo e nos dois casos. Pode-se verificar que

não existe outra diferencial em Ox2/dxo cuja ordem seja 17, deste modo concluímos que

17 G M2, logo (0, 0, í17, 0) (£TAc{è) + M\*6{<t>) e portanto, (O, O, t17, 0) G Af.

A lacuna 23 é um caso interessante. Note que

(1) 23 = V 14xQX\dxo — 6x2dx2

dxfí

87 23

28t2:i - 3lt25 - 17í28

-1912 7 - 19f:i0

G TAM)-

Observe que escolhendo r^ G O conveniente, obtemos o mesmo elemento em TAc((j)) dado

acima, com a última coordenada igual a zero, já que a ordem 27 está acima do condutor.

Analisando o elemento em (1) diria,mos que 23 G M2, en,treta,nt,o esta, não é a, única,

representação de um elem,en,to em 0X2/dxO com ordem 23. Como vimos, 23 G AX e é

dado por 23 = v3 + v\ — v{), isto é,

(

(2) 23 = V íx3dxi V dx(

O \ §í23 + ifí24 + - f + f t 5j27 11/28

7127 , 17.30 , 7 j31 , 17.3 31 + y í + Tit. + Yt,

19 .32 >+í2 i 2j_j-36 , Zóf 6~ 3 1 ^ 6 L 23 j-40

e TAe(cP).

Multiplicando o vetor em, (2) por uma, constante e somando com, o vetor em (1) temos:


87+23 2 L

28i23 - 31í25 - 17í28

— 19í27 - 19t30

3 87 õ T

|í23 + f t24 + |í27 + f t28

7+27 , 17+30 , 7 j-31 i H + 3 4 3 T 6 l ' 3'' 6 1

19+32 , 21+36 , 23+40 6 3 '' 6 t

/

W L f M i « 7 j 2 7 I 957+28 10 2 ' 10

28í23 + 31í25 + f í27 + . .

V 19í27 + 19i;su + . . . 30

Logo, (0, 0, t23, 0) e TAc{è) + Mf9{(l)). Portanto, 23 G A2 .

Finalmente, na última, decomposição temos

N:i 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17

M3 23

Neste caso, a diferencial cm,Ox.J d,xQ de ordem 23 = -t'i +V3—t'o, isto é, ^ ^ determina,

a menos de, consta,nt.es, o mesmo elemento de, OxJclxo com, ordem 15 € A t obtido em (6).

Com,o não existe outra diferencial em Ox,JdxQ, tal que sua ordem seja 23, concluímos que

23 G M3, ou seja, o elemento (0,0,0,í2 3) G ÁÍ.

Neste caso, pode-se constatar que os conjuntos V( são vazios e Vt = Mi para cada

i = 1,2,3.

Portanto,

Accod{é) = v0 - 2 + jpVi + + PN, + (JM2 + P 4 = 38.

Com,o vim,os na Subseção 1.3.2, a Ae-codimensão de 4> representa o número mínimo

de parâmetros num, desdobramento versai do germe <p, cuja deformação c dada por:


$ = <!

A0 = tlí + 0,1 í + a2t2 + a3í3 + a4t4

Xi = tU) + 2 tu + bit + • • • + b,t9 + 613í i ; i

A2 = tU + t17 + C\t + • • • + Cgí9 + C „ í n + Ci3í13 + C15í15 + C17í17

X 3 = í l u + £23 + rf,í + • • • + d9 íu + dntu + dnt1» + rf15í15 + dirt17 + d23í2:J,

onde a,. Ih, c, £ C e ha = r(i = d,a — 0.

Tendo em mãos uma descrição da AeCX)d(<f>) em termos das ordens de diferenciais de

Káhler, obtemos o seguinte teorema.

T E O R E M A 2 . 1 1 . Seja (j) uma parametrização de uma curva analítica irredutível C C C " + 1

com semigrupo \ e multiplicidade vq. Então

n n A,cx)d{(f>) + + = nó + v0-2.

iî j=j

D E M O N S T R A Ç Ã O : Pela decomposição do conjunto das lacunas L de T em (2.4), temos

que para cada i = 1, . . . , n

L = Ni Ú Mi Ú A,:.

Somando o número de elementos das n decomposições de L, pela Observação 2.8 temos

n n n n-%L = J ^ A , + ^TflMi +

i= 1 i = l 1 n n ri n

= E«A> + Z>» + E m + E ^ -•i,= 1 i= 1 1=1 1,= l

Adicionando v0 — 2 em ambos os lados, temos

(n n \ ii ri

vo-2 + + E ^ + E ^ ' + E ^ = n-S + vo-2, i=1 1=1 / i=1 1=1

2.2 Aecod{4>) e as Diferenciais de Kãhler 47

segue da Proposição 2.7 que

n n Arcod{0) + + = ri-ò + va-2.

i = 1 Í=1

Dentro deste contexto, J^íLi BK;' + tíî é o invariante que nos permite estabelecer

uma relação entre a „4e-codimensão de 0 c os invariantes delta, a multiplicidade e a

dimensão de mergulho da curva. Entretanto, o cálculo deste invariante não é simples, e

a princípio não conhecemos uma descrição deste novo objeto em termos de invariantes

conhecidos na literatura, para curvas irredutíveis quaisquer cm C™. Uma tal descrição c

possível em casos particulares de curvas monomiais e de curvas planas.

Uma das direções para a continuidade da investigação, é o estudo de propriedades do

invariante Wí + caracterizando-o de uma maneira mais simples, afim de

generalizar os resultados obtidos até o momento.

Curvas Analíticas

Capítulo 3

Curvas Analíticas Monomiais

Para curvas analíticas monomiais, é possível obter uma descrição mais simples dos con-

juntos que determinam uma base para o espaço normal da parametrização r/>, levando ao

principal resultado do Capítulo, o Teorema 3.9, que determina a Ac,cod{(f)) em termos do

invariante delta, da dimensão de mergulho e do tipo Cohen-Macaulay do anel local da

curva. A prova deste teorema decorre do Teorema 2.11 e de um resultado de Cavaliere e

Niesi |CN2j, que relaciona o tipo Cohen-Macaulay do anel local de uma curva monomial

e o número de elementos de um subconjunto do conjunto de Apéry.

O número de Tjurina determina o número mínimo de parâmetros numa deformação

versai, de uma curva analítica de interseção completa dada como zeros de funções (im-

plicitamente). Já no caso de curvas dadas parametricamentc, este número é dado pela

*4R-codimensão do espaço tangente à órbita da aplicação que parametriza a curva. Na

segunda seção, relacionamos o número de Tjurina e a Aecod(<p), no caso de curvas irre-

dutíveis monomiais de interseção completa.

As curvas monomiais em CA são estudadas na Seção 3.3. A literatura apresenta belos

resultados sobre esta classe de curvas, entre os quais [Scr|, [CN1], |CN2|, |B], |Gr2|. Como

consequência das fórmulas obtidas, damos condições para que uma curva irredutível seja

de interseção completa, através da „4e-codimensão de sua parametrização e do número de

Milnor.

Finalizamos, destacando resultados para curvas em C" com boas propriedades, e neste

caso obtemos uma estimativa para a Avcod((p) em termos dos resultados obtidos para cur-

vas monomiais. Como aplicação dos resultados do Capítulo, completamos a classificação

obtida por Gibson e Hobbs em [GH], determinando quais curvas são de interseção com-

pleta.


3.1 Curvas Monomiais em Cn + 1

Apresentamos aqui urna descrição do invariante V^l + 1 ttî e m termos do

semigrupo de valores e com isso, obtemos uma fórmula para a ^.-codimensão de curvas

monomiais.

Seja C uma curva analítica irredutível em C" + 1 que admite uma parametrização 1110-

nomial

' x0 = i"»

.x, = tVi

Xr, = tVv .

Neste caso, o cálculo da Aecod(4>) torna-se mais simples e o conjunto de Apéry desempenha

um papel fundamental.

Na decomposição que fizemos do conjunto das lacunas, destacamos os seguintes con-

juntos:

Ni = ÍA: G L- k ± v ( r / ' ( i : g 0d ~ r / 0 ( / X ' ) c o m * eO,voeM\ { 0 } | ,

M, = Á k G L, k > Vi, tal que para qualquer to = ^ ' ° — " ' . com v(co) — k dxo

(i]jdxo — t]odxj\ existem j = 1,... ,n, j f- 'i, e rjj G O tais que k > v — I G L

\ dxt) /

a i i T i i • Vidxo — Vo à-Xi A?; = < k G L, k > Vj. tal que existe to = . com v(lo) — k tal que dx•(,

. rjjdxo — r]odXj\ k < v — , para todo j = 1 n, j ^ i c ri,; G O

1 dxo / '

Seja C uma curva irredutível monomial e suponha que o semigrupo de valores de C é

dado por T = (t'0, V\,. . ., vn).

3.1 Curvas Monomiais em C"+1 51

A F I R M A Ç Ã O 3 . 1 . Se uma lacuna k é dada como ordem de um elemento de OxJdx0> então

k = v , para algum r/o G O.

D E M O N S T R A Ç Ã O : D O fato. como a curva 6 monomial, se existem RJO,^ G O tais que

v(r/0dx-i) = v(r]ldx:0), então a diferencial r/0(i.xi: — r/7;<ÍT0 c nula.

Seja lo = rfyàxi — r/jdxQ não nula tal que k = v ( ^ ) , então v(r/QdXi) v(rjidx0), pelo

que argumentamos acima. Assim,

A ^ r n r n L ^ ^ M m :

Como v(Vi) G T, segue que A; = t,

Portanto, no caso de curvas monomiais, se A' G L é tal que k G v (^ j - ) , então

í n0dxi\ k = v — = v{r/a) + Vi - v0 G T + n,, - va,

\ dx o J

pois v(dxi) = Vi. Se r/o G M \ {0}, então pela Proposição 2.5, tomando e = — ~ temos

que

( o , / ! , . . . , / , , . . . , } n ) GTAM

onde f j — r/j — para algum r/j E O. Se v ( j ^ f - ^ € T, então escolhendo r/j G O

conveniente temos J) = 0. Por outro lado, se v £ L então f j =

Deste modo, se A; G Mt. temos que k = v(r/o) + v.t — v(! com v(r/o) G P o existe

j — 1, . . . , n, j ^ i, tal que v ( f j ) = v(r/0) + Vj — vQ < k. Observe que esta última condição

ocorre apenas se j = 1, . . . , i — 1 e claro que v(r/0) + v3 — vo G L.

Além disso, note que não pode ocorrer a igualdade v ( f j ) = v(fi) = k uma vez que,

Vj < Vi para todo j = 1 , . . . , i — 1.

Portanto, para cada i = 1, . . . , n, o conjunto V{ é vazio (ver demonstração da Proposi-

ção 2.7), ou seja, as ordens de M?: determinam elementos que contribuem para urna base

do espaço normal J\F, logo MI = VT.

A mesma análise pode ser feita para os conjuntos A*. Assim podemos redefinir os


conjuntos Mi e Ai da seguinte forma:

M, = {k € L, k> v^ tal que para toda representação k = a + vK — v0,

com a € T, existe j = 1, . . . , < - 1, tal que o- + v} - v0 € L j ,

Ai — {k € L, k > Vi, tal que existe uma representação k = n + t?j — vo,

com a G T e a + Vj — v0 G T, para todo j = 1 . . . . , i — 1 } .

Note que o conjunto My sempre é vazio.

Portanto, a Proposição 2.7 se reescreve, no caso de curvas monomiais, da seguinte

forma:

P R O P O S I Ç Ã O 3 . 2 . Se cj) é uma parametrização monomial de uma curva irredutível C em

C" + 1 , com multiplicidade VQ, então

n n Árcod{(í) - 7 - 0 - 2 + +

i-1 i=2

O exemplo abaixo ilustra como podemos determinar a Aecod((f)) em termos do conjunto

de Apcry.

E X E M P L O 3 . 3 . Considere uma curva analítica irredutível em C 4 dada pela parametriza-

ção: x0 = t9

•'' 1 __ f2l)

x2 = í44

X-, = /: r )1

O semigrupo de valores desta curva é dado por T = (9, 20, 44, 51), com, condutor c = 87

e S = 50.

E fácil ver que, para todo k G N, com 1 < k < v{] — 2 = 7, os elementos (tk, 0, 0, 0)

pertencem ao espaço normal Aí.

Os elementos do conjunto de Apéry e as lacunas do semigrupo T são dados na tabela

abaixo:


Ap L = K - kvQ] k G N, ãj G Ap}

0

vi = 20 1 1 2

2Vl = 40 3 1 22 1 3 4

v2 = 44 35 26 17 8

V3 = 51 42 33 24 15 6

v\ + v2 = 64 55 46 37 28 19 10 1

2v\ + v2 = 84 75 66 57 48 39 30 21 12 3

2t;2 = 88 79 70 61 52 43 34 25 16 7

v2 + v3 = 95 86 77 68 59 50 41 32 23 14 5

Para, determinar quais laeunas l são dadas como ordem de um elemento em OxJd,XQ,

que neste caso significa l = A + VI — VQ G T + VI — VQ, para algum i = 1 , 2 . 3 , basta verificar

se a + Vi G Ap. Deste modo, c suficiente analisar as lacunas da primeira, coluna da tabela

a,cima,.

Na primeira decom,posição do conjunto das lacunas, os elementos que são ordens de

um, elemento em OxJdxn são aquelas lacunas l estritamente maiores que v\ da forma

l = a + Vi — vq, com a G F \ {0} tais que a + v\ G Ap. Neste caso, todas estas lacunas

estão em Ai. Logo,

Ni 1 , . . . , 8. 10 17, 19. 2 1 . . . . , 26, 28. 30. 3 2 . . . . , 35, 37. 39, 41 ,

42, 43, 46, 48, 50, 52, 57, 59, 61 , 66, 68, 70, 77, 79, 86

A i 3 1 . 55, 75

Observe que, os elementos de A] dados acima, 31 = 2v\ — v0 = Vi + vi — vq, 55 =

v2 + vi — vq e 75 = 2i'i + v2 — v0 = (vi + v2) + v\ — vq são ordens dos seguintes elementos

em OxJd,x0:

31 - v ( x ^ d x i \ 55 - v ( x ^ d x í e 75 _ v ( x i d r \ \

V dx0 ) ' ' \ dx{) J V dx o )

Na segunda decomposição de L, queremos determinar as lacunas l estritamente mai-

ores que v2, dadas por l = a + v2 ~ v0, com a G T \ {0}, tais que a + v2 G Ap. Dentre

estas basta verifi,car quais estão em M2 ou em A2 . Facilmente, constatamos que


N2 1 8, 1 0 , . . . , 17 , 19. 2 1 , . . . , 26. 28, 30 35, 37, 39, 4 1 ,

42, 43, 46, 48. 50, 52, 57, 59, 61 , 66, 68, 70, 77

M2 55, 75, 79

A2 86

Veja que 55 = vj + v2 - i'n, 75 = 2t'i + v2 - v0, 79 = v2 + v2 — va e 86 = v:i + v2 - v{)

são ordens dos seguintes elementos em Ox2/dxo,

íxi dx,2\ (x\dx2\ (x2dx2\ (x3dx2 55 = v \ — , 75 = v \ , 79 = v \ — e 86 = —

dx0 J ' V dxo J V dxo J V «zo

Finalmente, na terceira decomposição de L, obtemos

1 , . . . , 8, 1 0 , . . . , 17, 19, 2 1 , . . . , 26, 28, 3 0 , . . . , 35, 37, 39, 4 1 ,

42, 43, 46, 48, 50, 52, 55, 57, 59, 61 , 66, 68, 70, 75, 77, 79

M3 86

Onde, 86 = v2 + — v0 G M j c dado por 86 = v f 2 3 ) . \ dx(l J

Concluímos assim que,

Aecod{(j)) = v0 - 2 + ^ + Y , Wi = 1 5 2 • i = \ i=2

Como vimos os conjuntos V' são vazios, assim temos uma versão do Teorema 2.11 para

curvas monomiais, onde a Aecod{4>) pode ser determinada conhecendo apenas o semigrupo

de valores da curva C, já que os conjuntos A, são totalmente determinados a partir deste,

e portanto os conjuntos A, são ^4-invariantes.

T E O R E M A 3 . 4 . Se (j) é uma parametrização monomial de um,a curva analítica irredutível

C C C í l + 1 corri semigrupo 1 e multiplicidade VQ. Então

n Aecod(4>) + ^ HAi = nô + v0 - 2.

í=i


Para a classe de curvas monomiais, é possível apresentar um método sistemático para

obter a Ae<Ml(<j>) conhecendo apenas o conjunto de Apéry de T. Note no entanto, que

um elemento de Av pode não ser dado de maneira única em termos do sistema mínimo

de geradores, neste caso diremos que tal elemento em Ap tem relações. Tal fato será

importante para o cálculo da Aecod(cf)) como veremos abaixo:

í x0 = tf' E X E M P L O 3 . 5 . Considere a parametrização <j) : < — t('

( x2 = t».

0 semigrupo éY = (5, 6, 9), eujo condutor é c = 14. 0 conjunto das lacunas e conjunto

de Apéry de T são dados por:

A, L

0

v, = 6 1

v2 = 9 4

2v\ = 12 7 2

3'Ui = 2V2 = 18 13 8 3

Neste caso a curva é Gorenstein, pois c — 25. Veja que 7 = 2vy — t>o c 13 = 3wi — va =

2V2 — v0, assim é fácil observa,r que. A j = {7, 13} e A2 = {13}. Logo, pelo Teorema 3.4,

AeCod(d>) = 25 + v(] - 2 - HA, - «A2 = 14 + 3 - 2 - 1 = 14.

Note que, a maneira corno expressamos a lacuna 13, em termos do conjunto de Apéry

foi importante para determinarmos os conjuntos A j e A2 e consequentemente a Ace:od(<p).

u Nosso objetivo neste momento, será determinar precisamente o invariante JîJA,;, de

«=i

modo que não necessitemos analisar todas as representações possíveis de uma lacuna cm

termos do conjunto de Apéry. Para tanto, vamos definir novos conjuntos, estes por sua

vez disjuntos, de tal maneira que estejam em bijeção com os conjuntos Aj's.


Para todo i = 1,. .., n,

Ai = {k E L, k > Vi, tal que existe uma representação k = a + vt- — v0,

com n E r e a + Vj — tj0 G T, para todo j = 1,. . . — 1}.

Como toda lacuna em A, se escreve como ri3 — vQ com n:j E Av podemos reescrever

estes conjuntos em termos dos elementos do conjunto de Apéry, omitindo —VQ. já que

para efeito da contagem de seus elementos, isto não é relevante. Com um certo abuso de

notação, vamos utilizar o mesmo símbolo para denotar este conjunto. Deste modo,

Aj = {a + Vi E Ap] a > 0 e a + Vj ^ Ap, para todo j = 1 , . . . , i ~ 1}.

Para cada i = 1 , . . ., n, definamos os seguintes conjuntos:

Aj = {a G Ap] a> 0, a + v3 0 Ap, V j A, definida por x i—> x — v, perra cada i =

1,... ,n é uma bijeção.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Dado x E A; temos que x = a + Vi E Ap, com a > 0 e a + Vj ^ Ap

para todo j = 1 , . . . , i — 1. Portanto,

<J>»(.t) = x — Vi = a + Vi — Vi = a E A.t,

pois « <E Ap.

E fácil ver que é injetora. Provemos que é sobrejetora. Seja w E Aj, isto é, w > 0

tal que

w + vi ^ Ap. ... , w + Vi-i 0 Ap e w + Vi E Ap.

Considere o elemento u = w + t>;. As condições acima garantem que u E Aj e além

disso, = w + Vi — Vi = w.


Nosso objetivo é determinar a soma do número de elementos dos conjuntos Aj c para

tanto, vamos introduzir mais um conceito.

Seja Ap o seguinte subconjunto de Ap,

Ap = {b E Ap ; b ± 0, b + a, ^ Ap para todo at E Ap \ {0}}.

Este conjunto é não vazio, pois o maior elemento a„0_i do conjunto de Apéry sempre

pertence a ele. O número de elementos de Ap, denotado por tp, é um ^.-invariante que

possui uma interpretação interessante, no caso de curvas monomiais.

D E F I N I Ç Ã O 3 . 7 . Seja (A,J\A,k) um anel local d-dimensional Cohen-Macaulay, com ideal

maximal M. e k um corpo. O t i p o de A é o número r(A) - dvmk ExtdA{k, A).

Se r(A) = 1, então A é um anel Gorenstein.

Para curvas irredutíveis, o anel local O é um domínio local e completo de dimensão

de Krull igual a 1, e portanto O é um anel Cohen-Macaulay.

Cavaliere e Niesi em [CN2] (Proposition 2.7), provaram que o cálculo do tipo Cohen-

Macaulay do anel local O, associado a uma curva monomial, torna-se bem simples. Seja

T = (v0, v í ; . . . , vn) um semigrupo de valores a O — C{t"", tVl, . . . . tv"}, então o tipo

Cohen-Macaulay do anel O, 6 dado por

r(0) = tp = tiÃp .

Com isso, podemos descrever H^í em termos da multiplicidade da curva e do

tipo Cohen-Macaulay do anel local O.

P R O P O S I Ç Ã O 3 . 8 . Se C é uma curva irredutível em C I + 1 que admite uma parametrização

monomial ({), com multiplicidade v() e tp = jAp. Então,

t!Ãi + (}Ã2 + ••• + Í Ã „ = - y 0 - í p - l .

D E M O N S T R A Ç Ã O : Lembremos que

Ãj = {a e Ap ; a > 0, a + vj g Ap, V j < i e a + v, 6 Ap).


Observe que s e i G A t Ú A2 Ú • • • LJ An, então x & Ap. De fato, se x £ A j para

algum j = 1,. . . , n, então por definição, x e Ap e x + v:j £ Ap, como Vj £ Ap, segue (pie

x ÇjL Ap.

Mais ainda, dado x £ Ap \ {()}, então x £ A, LJ Ã 2 Ú • • • Ú Ã„ ou x £ Ãp. De fato,

se x + vi £ Ap, então x £ A]. Caso contrário, se x + v\ 0 Ap, mas x + v2 £ Ap então

concluímos que x £ A2 e assim sucessivamente, se x + Vj & Ap para todo j = 1,. . . , n — 1

e x + vn £ Ap então x £ A n . Se x não satisfaz estas condições, então x £ Av. De fato.

dado ak £ Ap \ {()} temos que para algum i = 1, . . . , n e a,( £ A,„ o elemento ak se

escreve como ak = Vj, + a;, logo

x + ak = x + (ví + cii) = (x + Vi) + aL ^ Ap,

pois se (x + Vi) + ai £ Ap então x + £ Ap. Absurdo, pois por definição dos conjuntos

A, s ternos que x + x + • • •, x + vn ^ Ap, portanto, x £ Ap.

Como jjAp = Vq, temos que

bAp- 1 = IJÃ! + ••• +t tÃ„ + M , ,

Donde concluímos que, (jA[ + • • • + tjAn = í;0 — tv — 1.

Os conjuntos Aj e A, estão em bijííção, logo segue da Proposição 3.8 a seguinte ca.ra.c-n

terização do invariante ^ ^ j i A j , em termos de invariantes que dependem unicamente do •t=i

semigrupo de valores da curva,:

n n

^ « A ; = = "0-tp-l. i=l i=1

Portanto, para curvas monomiais obtemos uma fórmula para a Aecod(<p) em termos

do semigrupo de valores e da dimensão de mergulho da curva.


T E O R E M A 3 . 9 . Seja C uma curva analítica irredutível em C I L + 1 , 0 uma parametrização

monornial de C, com multiplicidade 'í;0 e t,p = Então,

Arcod{4>) = nó + tp — 1.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Segue cio Teorema 3.4 que

a Avcod{(p) + Y = nó + "o - 2-

i=i

Pelos argumentos acima, temos que

Accod(<P) = nS + V0 - 2 - (VQ - tp — 1) = nS + t p - 1.

O B S E R V A Ç Ã O 3 . 1 0 . Como Ap C Ap \ { 0 } e o conjunto de Apéry possui v0 elementos,

temos que

tP = tÃp < Kap \ í°}) =

Portanto, Aecod(<j)) = nS + tp — 1 < nõ + v0 — 2, o que mostra que o resultado do

Teorema 3.9, refina a estimativa para a Aecod{<p), apresentada na Proposição 2.J.-

C O R O L Á R I O 3 . 1 1 . Seja T = (?;0,'<;-[,. . . ,vn) um semigrupo ele valores, cf> a curva monomial

determinada por este semigrupo em C n + I e tp = §AP. Temos que F é simétrico se, e

somente se, Aecoel{('p) = nô.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Basta notar que tp = 1 se, e somente se, T é simétrico.

O B S E R V A Ç Ã O 3 . 1 2 . O Corolário 3.11 apresenta uma condição necessária e suficiente

para que qualquer curva analítica irredutível C, com semigrupo F = (VQ,I'I, . . . ,vn), seja

Gorenstein, em termos da Ae-codvrnensão da curva monomial em C" + 1 determinada pelo

semigrupo T. Uma aplicação deste resultado é aposentada no final deste capítulo.


3.2 Tjurina x „4e-codimensao

Nesta seção discutimos as relações entre as deformações de uma curva dada implicitamente

e as deformações de sua parametrização no caso de curvas monomiais. Em [Gr2], [Fr| e

[Tj] encontramos resultados sobre deformações de curvas na forma implítica e relações

para o cálculo do invariante de Tjurina.

Iniciemos com um exemplo:

E X E M P L O 3 . 1 3 . Seja, C uma curva analítica irredutível em C{X,Y, Z,W} determinada

pelo ideal

I = {Y2- X\ X2Y:i - Z2, XYÚZ - W2).

Esta é uma curva de mterseção completa. Uma parametrização de C é dada por

0 : y =

t8

O2

t26

w = t 53

O semigrupo de valores T = (8, 12, 26, 53) possui condutor c. = 84 e ó = 42 (pois, C c

Gorenstein).

Calculemos o número de Tjurina. Vimos na Seção 1.4 que, para curvas de mterseção

completa, o número de Tjurina é dado com,o

T = dirn, € C{A, Y, Z, W}

onde f = (/1 j _/*2 j f'i) representa as equações que determinam a curva e J(f ) é o ideal

Jacobiano de f em, O gerado pelos menores maximais da, ma,triz .Jacobiana, que neste

caso é dada, por:

" —3X2 2 Y 0 0

2XY'S 3 X2Y2 -2 Z 0

Y6Z 6XY5Z XY6 —2W

O determinante dos menores 3 x 3 é dado pelas equações:

gi = -9Xr'Y* - 4 Y 7 Z 2 - 3 6 X 3 Y * Z 2 - AX2Yll)

g2 = 18 X4Y2W + 8XF 4 VF

3.2 Tjur ina x _4,,-codimensão(ç>) 61

g3 = - 1 2 X2ZW

í/4 - 8YZW

Corri o auxílio do programa Maple ou Singular, podemos calcular uma base de Gróbner

para o ideal

( f u Í2, h,gufj2,íhhíj4)

o que nos fornece um conjunto de geradores mais simples. Agora basta calcular a codi-

rnensão do ideal gerudo pelos termos líderes desta base.

Corri isso, obtemos r = JCccod(f) = 84. Entretanto, com,o neste caso temos uma

parametrização da curva, um método mais simples de calcular o número de Tjurina seria

o seguinte: como a parametrização cj) é monomial temos que o conjunto A \ T é vazio,

assim t = c — jjA \ T = c = 84.

Por outro lado, pelo Teorema 3.9 a Ac-cod,im,ensã,o do germe <f> é dada por

Aecod{(f>) = 3£ + tp - 1 = 126,

pois tp = 1. Portanto, neste caso verificamos que Acc:od((p) > t.

Considere C[Xi, . . . , X.n] o anel de polinómios nas variáveis X\,. . . , Xn.

D E F I N I Ç Ã O 3 . 1 4 . Um polinómio g £ C [ X l 5 . . . , X„] é q u a s e - h o m o g ê n e o de grau d G

<Q>+ e de pesos (c i ,« 2 , • • • , <in) € Q", se para todo monómio X"1 • ... • X®" de g temos

E"=i aJar = d•

D E F I N I Ç Ã O 3 . 1 5 . Uma aplicação holomorfa f = { f 1 , . . . . f p ) : C ? L , 0 C P , 0 é quase -

h o m o g ê n e a de tipo («i,. . . , an; di,. . . , d,p), se cada componente f\ é um polinómio quase-

homogêneo de pesos (a1; . . . , an) e grau dt.

Uma curva analítica irredutível C = {X G C"; f1(X) = --- = fr(X) = 0} é quase -

h o m o g ê n e a se a aplicação que define a curva / = ( f \ , . . . , fr) é uma aplicação quase-

homogenea.

P R O P O S I Ç Ã O 3 . 1 6 . Seja C urna curva analítica irredutível. C é quase-homogênea se, e

somente se, existe urna parametrização 4> de C monomial.


Com isso podemos estabelecer a seguinte relação:

P R O P O S I Ç Ã O 3 . 1 7 . Seja C C C n + 17 com n > 2 uma curva irredutível quase-hornogênea

de interseção completa definida por f e ([> uma parametrização rnonornial de C, então

T = K.ceod(f) < Aceod((l>).

A igualdade ocorre se, e somente se, n = 2.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Segue do Corolário 1 .28, que para toda curva irredutível de interseção

completa

r = c - i t A \ r ,

onde c é o condutor do semigrupo e A \ T 6 o conjunto das lacunas especiais da curva.

Por outro lado, toda curva dc interseção completa 6 Gorcnstcin, isso implica que c = 25

e por definição, o germe / é quase-homogêneo assim o conjunto A \ F 6 vazio. Logo,

T = c = 2ô < A(,cod{cj>) = nó.

Além disso, r = Accod{(j)) se, e somente se, (C,0) C C , !.

Esta proposição garante que para toda curva irredutível, quase-homogenea, de inter-

seção completa C em C" com r? > 3, o número de parâmetros num desdobramento versai

desta curva quando esta é dada parametricamente, é estritamente maior que o número

de parâmetros numa deformação versai da mesma, quando dada implicitamente. E que

apenas em C 3 estes números coincidem-.

Segue da demonstração da Proposição 3.17, que a relação entre os invariantes r e

Accod{4>) invertem no caso de curvas planas monomiais, r — 20 > ó = Aecod((p). No pró-

ximo capítulo faremos um estudo mais detalhado de curvas irredutíveis planas, abordando

as relações entre o número de Tjurina e a Aecod((f>) para uma curva plana qualquer.


3.3 Curvas Monomiais em C3

As curvas analíticas irredutíveis monomiais em C 3 serão analisadas nesta seção. Algumas

caracterizações aparecem na literatura nesta dimensão.

Dentre elas, destacamos o trabalho dos autores Cavaliere e Niesi em |CN1| que deter-

minaram o tipo Cohen-Macaulay tp do anel local O, para curvas monomiais em C3 .

P R O P O S I Ç Ã O 3 . 1 8 . (fCNl|) Seja F = (?;0, T/I, ?;2) urn semigrupo de valores. Então,

Portanto, segue da proposição anterior e do Teorema 3.9 o seguinte corolário:

C O R O L Á R I O 3 . 1 9 . Se C é uma curva analítica irredutível em C3 , dada por uma parame-

trização monomial ( j > ( t ) = (t,v", í'"1, tv'2), onde c c o condutor do semigrupo T = (v{),vi,v2),

então temos:

(1) C é Gorenstein se, e somente se, Aecod{(f)) = 2ó = c.

(2) C é não Gorenstein se, e somente se, Aecod(<fr) = 28 + 1.

Em outras palavras, o corolário acima nos diz que no caso de curvas irredutíveis

quase-homogêneas em C3 , a paridade da ,4e-codimensão da parametrização determina

completamente se uma curva é ou não uma mterseção completa, já que segue de Serre

[Ser] que em C3 , uma curva C é Gorenstein se, e somente se, é de interseção completa.

Portanto, do resultado de Serre c da fórmula de Milnor obtemos:

C O R O L Á R I O 3 . 2 0 . Nas hipóteses do corolário anterior, temos que,:

(f) C é de mterseção completa se, e somente se, Aecod((j)) = f i .

(2) C nao é uma mterseção completa se, e somente se, Aecod((f)) — /i + 1.

Vimos 11a Proposição 3.17, uma relação entre o número de Tjurina e a Af,cod(é) 110

caso de curvas quase-homogêneas de interseção completa em C n + l , a qual garante que

2 se. T nao é simétrico.

1 se. T é simétrico

T < Aecod(4>)


valendo a igualdade se, e somente se, n=2, ou seja, para curvas em C3. Todavia, segue

de Buchweitz em [B] c Greuel em [Gr2| o seguinte resultado:

T E O R E M A 3 . 2 1 . Seja C C C 3 urna curva reduzida com singularidade isolada na origem, e

r(0) o tipo Cohen-Macaulay do anel local O da curva. C é quase-horriogênea se, e somente

se, T = // + r{0) ~ 1.

Greuel em [Gr2], Corollary 2.5 mostra que r = fi + r(0) — 1 num contexto mais geral.

Em particular, vale para toda curva reduzida em C", quaseTiomogênea de interseção

completa, com singularidade isolada. Note que o teorema acima, é válido para curvas

monomiais em C3 , não necessariamente de interacção completa.

Por outro lado, sabemos que para toda curva de interseção completa, r = JCecod(f)

onde f é a aplicação que a define. Com isso obtemos o seguinte resultado:

P R O P O S I Ç Ã O 3 . 2 2 . Seja C C C 3 uma curva irredutível quase-homogênea definida por f

e (f> uma parametrização monomial de C, então

T = tCecod(f) = Aecod((f)).

O B S E R V A Ç Ã O 3 . 2 3 . Um problema interessante é estabelecer um isomorfismo entre os

espaços de deformação de (f> e de f .

3.4 Resultados Gerais

Nesta seção vamos obter algumas estimativas mais precisas para a Aecod(4>), onde <f> é

uma curva em C" , não necessariamente monomial, mas com determinadas propriedades.

Seja C uma curva analítica irredutível cm C"+ 1 e :

\ i>vn

3.4 Resultados Gerais 65

Definimos <j>0(t) = t1'1,..., tv") como sendo a parte principal do germe <j>.

D E F I N I Ç Ã O 3.24. Dizemos que <f> possui porte principal boa se <JF>0 determina uma curva

m,onomial irredutível em C" + 1 .

Deste modo, uma das condições para que (f> possua uma parte principal boa é que

rnde(v(hvu. .. ,vn) = 1.

Se T = {v0, vi,... ,vg) é o semigrupo de valores associado à <j>, então o semigrupo de

valores associado à 0O é dado por r 0 = (vq, vÍ7... , vn) C I . com n < g.

Uma propriedade importante do invariante A,.cod{4>) é que este é semicontínuo supe-

riormente. Tal propriedade garante que

Aecod((f)) < Aecod(4>[)).

Se T, Ap e 5 indicam o semigrupo de valores, o conjunto de Apéry e o invariante delta

de cf), respectivamente, então denotaremos por r 0 , APn e o os mesmos objetos para a curva

ej)0. Além disso, denotaremos por tP() o tipo Cohen-Macaulay do anel local de </>0, e como

vimos, tK) = fiAP(). Temos assim o seguinte resultado:

P R O P O S I Ç Ã O 3.25. Seja C uma curva analítica irredutível em C u + 1 e (() uma parametri-

zação de C com parte principal boa </>0. Então

Aecod((p) < nòo + tPQ — 1.

Este resultado segue da propriedade de semicontinuidade do invariante Ae.cad{<j>) e do

Teorema 3.9. Note que, esta cota superior para a Accod((p) é em termos dos invariantes

da curva monomial e/)0.

C O R O L Á R I O 3.26. Seja C uma curva analítica irredutível em C n + 1 e 0 uma parametriza-

ção de C com parte principal boa 0O. Se T — Tq então

AeCod,((f>) < nó + t p - 1.

O corolário anterior apresenta uma estimativa mais precisa para a Aecod((f>), onde é é

uma curva em C" com parte principal boa, do que a estimativa apresentada na primeira


seção do Capítulo 2, já que

Aecod((f)) < nó + tp — 1 < nô + vo — 2,

pois tp < vo — l.

Note que a igualdade nó + tp — 1 = nó + v() — 2 ocorre se, e somente se, tp = vo — 1,

ou seja, Ap = Ap \ {0}. Ilustramos este caso no exemplo abaixo:

E X E M P L O 3 . 2 7 . ( C u r v a s c o m d i m e n s ã o d e m e r g u l h o m a x i m a l )

Uma curva C é dita uma curva com dimensão de mergulho maximal, se C é uma curva

em C n + 1 de multiplicidade n + I. Curvas com esta propriedade podem, ser representadas

para,met,ricamente por

... _ +TI+1 Xq — t X l = tVl + a i l t '

Xn t - ^ ^ diTlt • i>v„

Não é difícil ver que tais curvas satisfazem as seguintes propriedades:

(1) O semigrupo de valores de C é gerado por T = (n + 1, V\,. . . , vn);

(2) se n > 2 então C não é Gorenstem;

(3) o conjunto de Apéry é dado por Ap = {0, ^ i , . . . , í;(1}. Logo,

tp = UP = ÍAP \ {0 } = v0 - 1;

(4) (j) possui parte principal boa, 0O •

Com,o o semigrupo de <p é igual ao semigrupo de <fi0, temos que

Aecod(cf)) < nó + tp — 1 = nó + v0 - 2.

3.4 Resultados Gerais 67

E X E M P L O 3 . 2 8 . Como aplicação dos resultados apresentados sobre a Ae-codimensão de

curvas monomiais, podemos completar a classificação das singularidades simples de curvas

irredutíveis parametrizadas em C3 , obtida por Gibson e Hobbs em jGHj, classificando quais

curvas são de interseção completa. Para isto, aplicamos os Corolários 3.11 e 3.19 para

determinar se o semigrupo associado é ou não simétrico.

A tabela seguinte é obtida da Tabela 2, página 299 em /GHf corri exceção da última

coluna, em que acrescentamos S ou N conforme o semigrupo seja ou não simétrico.

Forma Normal (f> r APcod((j)) I.C.

( í 3 , t 3 f c + 1 , í 3 n + 2 ) k<n<2k (3,3fc + l , 3 n + 2) 2k + 2n + l N

(t3,tik+1,tin+2) ri < k < 2n (3, 3n + 2,3k + 1) 2k + 2n + \ N

(t\ í3fc+1 + tip+2, t:in+2) k < p < n < 2k (3, 3k + l, 3n + 2) 2k+p + n + 1 N

(í3, tMl+2 + FJ'+1, /;3fc+1) n <p<k< 2 n (3, 3ti + 2, 3k + 1) 2 ii + p + k + 1 N

( / / \ í5 , í ( i) <4,5,6) S

( t \ t 5 , f ) (4,5,7) 9 1V

{t\t5,tn) (4,5,11) 11 N

{t\C + t7,tn) (4,5,11) 10 N

(t\tG,t2k+l) k > 3 (4, 6, 2k + 1) 2k+4 S

{l\ tG+ t2k-\t2k+]) k > 4 (4, C, 2k + 1) 2k i 3 S

* (t\tG + t2k~3,t2k+í) k > 5 (4, 6, 2k + 1, 2k + 3) 2k+2 N

* {t\t6 + t2k-7,t2k+1) k>7 (4, 6, 2A; — 1, 2fc + 1) 2k-l N

(t\t\?) (4,7,9) 13 N

(t4,tr,t'J + t10) (4,7,9) 12 N

{t\t7,t10) (4,7,10) u S

( t 4 , f , t ^ ) (4,7,13) 15 N

(4,7,17) 17 N

(t\t7 + t\tw) (4,7,10) 13 S

(t4,f + t9,t13) (4,7,13) U N

( í 4 , í 7 + í 9 , í 1 7 ) (4,7,17) 15 N

(t;\t7 + tl0,t17) (4,7,17) 16 N

Germes Simples Espaciais de C em c 3


• As curvas de multiplicidade 3, da tabela acima, não são de interseção completa,

pois são curvas de dimensão de mergulho maximal (conforme Exemplo 3.27).

• Para as demais curvas monomiais em, C3 , vimos no Corolário 3.19, que o semi-

grupo é simétrico se, e somente se, Aecod(4>) é par. Portanto, nestas condições,

tais curvas são de interseção completa.

• Note que a forma normal <p(t) = (í4,í5 + t7,ín) possui Ae-codimensão par, mas

o semigrupo da curva V = (4,5,11) não é simétrico, pois na forma, normal ante-

rior a esta, tínhamos verificado tal propriedade.

• Para as formas normais indicadas por (*), usamos o seguinte argumento. Consi-

dere a curva, monomial (f>0 em C 4 determinada pelo semigrupo T de (f>.

Por exemplo, <j>{t) = ( t 4 , í 6 + t,2k~s ,t2k+1) com, k > 5, com, semigrupo dado por

Note que, (p0 possui dimensão de mergulho maximal, e portanto

Aecod((j)0) = 3(5 + tp - 1 = 35 + v0 - 2 = 3(5 + 2.

Segue do Corolário 3.11, que o semigrupo T não é simétrico. Logo, a curva

r = (4,6,2*; - 3 ,2k + 1) então

xq = t4

x, = f6

x-3 = t2k+l.

<p (em C3) não é de interseção completa.

Capítulo 4

Curvas Analíticas Planas

Um invariante que se destaca 110 estudo de curvas analíticas irredutíveis planas, 6 o con-

junto das lacunas especiais A \ F da curva. Este 6 um invariante analítico mais fino que

o semigrupo de valores, 110 sentido que dadas duas curvas com o mesmo semigrupo elas

ainda podem diferir pelo conjunto das lacunas especiais.

Na primeira seção deste capítulo, faremos uma análise mais detalhada de como os

elementos do espaço tangente à ,4-órbita da parametrização (j> de uma curva plana se

relacionam com o módulo de diferenciais de Káhler, e veremos que o invariante A \ F

surge neste contexto. Em seguida, estabelecemos uma fórmula para a Aecod(4>), no caso

de curvas planas irredutíveis quaisquer e relacionamos tal resultado ao obtido por D. Mond

[Ml] para multigermes (F> : C, S —> C2 ,0 , em que ele estabelece uma desigualdade para a

AeCod(4>) cm termos de um novo invariante chamado o número de Milnor da imagem.

Na, última seção fazemos uma breve análise sobre as deformações de curvas planas

dadas implicitamente e as deformações de sua parametrização, observando como o número

de Tjurina e a Aecod((p) se relacionam nesta dimensão.

4.1 ^4e-codimensão de Curvas Planas

Considere C uma curva analítica plana irredutível, dada pelo conjunto de zeros de um

germe de aplicação analítica / : C2 , 0 —> C, 0, ou seja, / G C{X, Y}. Uma parametrização

de Puiseux de C pode ser dada por


onde x = X + ( / ) e y = Y + ( / ) , v0 < v-i e v0 \ ih.

Neste caso, o 0-módulo de diferenciais de Káhler associado a curva é dado por OdO =

Odx + Ody, onde O = C{.r, y} é o anel local de C.

Vimos na Proposição 2.5 que, para curvas analíticas irredutíveis em Cn existe uma

relação entre um subconjunto do módulo de diferenciais OdO e o espaço tangente à A-

órbita da parametrização c/>. Reescrevemos novamente este resultado para curvas planas

irredutíveis.

P R O P O S I Ç Ã O 4 . 1 . Seja c/> : C,() —> C 2 , 0 uma parametrização de unia curva analítica

plana irredutível C. O elemento (0, h) G TAe((fi) se, e somente se,

rjidx — r]0dy OdO

com r/o, 771 (E O onde se r]0 E 0 \ {0} então v(r]0) > v(dx).

Este resultado foi realmente a motivação para a decomposição do conjunto das lacunas

L do semigrupo de valores T associado à curva C, em subconjuntos disjuntos, dc modo que

pudéssemos determinar quais conjuntos contribuíam para uma base do espaço normal e

com isso, relacionar a Aecod{(f) com outros invariantes clássicos. No caso de curvas

planas tal decomposição é bem mais simples, de fato, temos apenas uma decomposição

do conjunto das lacunas (ver 2.4) que pode ser reescrita da seguinte maneira L = Ari Ú Ai

onde,

N, = {A: e L; k ± v ^ Z J ^ , c o m rji G 0 > r/() e M \ { 0 } | ,

Al = {fc € L; k = u , com r, G 0 , ,/o G M \ {0}} .

Observe que dado k G Ai , temos que k = v(h), onde h = p a r a algum rji G O,

r)o G A^\{0}, assim pela proposição dada acima, o elemento (0, h) G TAC(4>), não contribui

para uma base do espaço normal J\f — . Portanto, segue da Proposição 2.7, 11a qual

determinamos a ^le-codimensão da parametrização <p em termos da multiplicidade da

4.1 .4,,-codimensão de Curvas Planas 71

curva VQ e o número de elementos do conjunto A\, que

Aecod{cf)) = vo - 2 + :NX.

Nosso objetivo neste capítulo é extrair mais informações do conjunto Aj . Recordemos

alguns conceitos que serão úteis.

Seja r o semigrupo de valores associado à curva. O conjunto

A = {«(w); UJ G OdO/T},

onde T é o submódulo de torção de OdO (ver Seção 1.2.2). O conjunto A \ P é chamado

o conjunto das lacunas especiais da curva C. Delorme em [DeJ provou que o conjunto

A é um ^.-invariante de curvas planas irredutíveis, consequentemente o conjunto A \ T

também o é.

Na proposição abaixo, provaremos que se P = ...,'(',,) é o semigrupo de uma

curva plana, então o conjunto Ai pode ser descrito como uma união disjunta dos seguintes

conjuntos:

E = {k G L\ k > v\, k G T + Vi — Vo, para algum t>.J,

~Ê = {k G L; A: > vu A: G A \ r - r0}.

E assim os conjuntos E e E também são ^.-invariantes.

P R O P O S I Ç Ã O 4 . 2 . Seja P = (VQ, VI, ... ,vg) o semigrupo de valores associado a uma curva

plana irredutível. 0 conjunto das lacunas L do semigrupo admite a seguinte decomposição

L = Ni U E U E.

D E M O N S T R A Ç Ã O : É fácil ver que todas as lacunas estritamente menores que vi não

podem ser dadas como ordem de um elemento da forma T " c o m rji <G O, r/0 G

Ai \ {0}. Portanto, pertencem ao conjunto AV

Se k G L é tal que k > vi então k G A^ ou k G A ^ Suponha que k G Ai, então

k = v{tt) - v0, onde íí = com ih G O, i/0 e M \ {0}.

Se v(Q) G r , por definição, v(Q) = b0v0 + ... + bgvg, com algum bi > 0. No entanto,


b0 = O, pois caso contrário k = - v0 G F o que é um absurdo, pois k é uma lacuna.

Logo,

k = bivi + . .. + bgVg - VQ ( „ \

Y^bfVj + {bt - l)v t

) + V i - V 0 G T + Ví-VQ,

ou seja, k G E.

Por outro lado, se v(Q) G L, por definição, v(Q) G A\T (veja Seção 1.2.2) e portanto

k = v(tt) - v0 G E.

O B S E R V A Ç Ã O 4 . 3 . Zariski m,ostrou em [Zlj, que mm{A \ T } = A + v0, onde A é uma

lacuna estritamente maior que vi. Logo, o conjunto 1? = {i1 £ A \ T - í;o}- Portanto,

o número de elementos do conjunto E é exatamente o número de lacunas especiais do

semigrupo T, isto é, j\E = (jA \ T.

E X E M P L O 4 . 4 . Considere a curva dada pela parametrização

í x = t4

(>) \ y = t6 +17.

Esta curva possui semigrupo T = (4,6,13), cujo condutor é c = 16. 0 conjunto de

Apéry e as lacunas do semigrupo são dados na tabela abaixo:

AP L ~ {AJ ~ AI;0; (ij ^ Av}

0

VL = 6 2

v2 = 13 9 5 1

FI + v2 = 19 15 11 7 3

Note que, Ni = {1, 2, 3, 5}. Observe que E = {9,15} pois 9 = v2—Vo e 15 = V1+V2~V().

Por• outro lado, A\T = {11,15}, pois 11 = v(6ydx — Axdy) e 15 = v(6xydx — 4 x 2 d y ) .

Assim, E = {7,11}. Portanto, segue da Proposição 2.7 que

AeCod(<t>) = v0-2 + JIM = 2 + 4 = 6.

4.2 Fórmula para a Aecod((j)) 73

4.2 Fórmula para a Aecod((j))

No segundo capítulo vimos que se C 6 uma curva analítica irredutível em C™+1, com

multiplicidade v{] e cp é uma parametrização de C , então ternos a seguinte desigualdade

Aecod((p) < nó + Vq - 2.

Por sua vez, o Teorema 2.11 apresenta uma relação para a Aecod((p), em termos do

número de elementos de certos conjuntos da decomposição das lacunas de P. Esse teorema,

110 caso de curvas planas irredutíveis reduz-se a

Accod((p) + JíAi = nó + Vo-2.

Para curvas irredutíveis monomiais em C"+ 1 , mostramos que

APcod((p) = nó + tp — 1,

onde tp = jjAp. Como toda curva plana é Gorenstein, tp = 1, e portanto para toda curva

plana mononiial Accod{(j)) = ó.

Estamos agora em busca de uma relação para „4e-codimensão de uma curva plana

irredutível qualquer. Para tanto, basta que possamos descrever o conjunto Aj .

Vimos na seção anterior que

= E U Ê,

onde E = {k E L\ k > k G T + vt — vu, para algum c,} e E = {k G A \ T — ?J0}.

No caso de curvas planas irredutíveis, é possível determinar o número de elementos do

conjunto E.

P R O P O S I Ç Ã O 4 . 5 . O conjunto E possui vo — 2 elementos.

D E M O N S T R A Ç Ã O : Vejamos que os elementos do conjunto E podem ser caracterizados

em termos do conjunto de Apéry. Seja k G E dado por k = a + Vi — VQ, com a G T.

Como k G L temos que k = a + vt — vq = ai — A'6'0 para algum ai G Ap e A G N \ {0}.


Suponha que A > 1, então,

k — a + Vi — v0 = ai — (A — l)t/0 — v0.

Daí, a + vi = a,i — (A — 1)?;0. Como a{ — Àv0 c uma lacuna, temos que at — (A — 1)?;0

também é lacuna, ou seja, a + vt é uma lacuna, o que nos leva a uma contradição, já que

A. Vi G r . Logo A = 1, donde concluímos que A + VL = «/ G AP.

Portanto, o conjunto E c o conjunto de todas as lacunas k estritamente maiores que

Vi da forma k = a.j — y0 com a3 G Ap. Como há v0 elementos no conjunto de Apéry e os

primeiros termos a0 = 0 c «i = vj não nos interessam, pois só queremos contar as lacunas

estritamente maiores que temos que §E — v() — 2.

A proposição anterior permite, no caso de curvas planas irredutíveis, expressar a

AeCod(<j>) cm termos das lacunas especiais do semigrupo e do invariante delta.

T E O R E M A 4 . 6 . Seja C uma curva plana irredutível, dada por urna parametrização <j) com

semigrupo T = (?'Q, ?»!,..., vg). Então,

Aecod{<j>) + )í(A\r) =

D E M O N S T R A Ç Ã O : Pelo Teorema 2.11 temos que

Afícod((p) + J tAí = ô + va ~ 2 .

Contudo, pela proposição acima, (JAi = + = vq — 2 + JjA \ T.

Portanto, Aecod{<j)) + JjA \ T = ó.

C O R O L Á R I O 4 . 7 . Seja C urna curva plana irredutível e cp urna parametrização da curva.

Temos que C é quase-hornogênea se, e somente se, Aecod(<ft) = ô.

D E M O N S T R A Ç Ã O : O resultado segue imediatamente do teorema anterior, uma vez que

C é quase-hornogênea se, e somente se, A \ T é vazio.

4.2 Fórmula para a Aecod((f>) 75

Observe que o teorema anterior estabelece uma relação precisa entre a *4e-codimensão

da parametrização </> e invariantes algébricos bem conhecidos 110 estudo de curvas planas

irredutíveis. David Mond em |M1|, prova mais geralmente para m u l t i g e r m e s <j> : C, S —>

C 2 , 0 , que

Aecod{(p) < 5.

Portanto, o Teorema 4.6 estende o resultado de Mond, no caso de curvas planas irre-

dutíveis. E111 seu trabalho, ele obtém propriedades sobre a topologia de uma perturbação

estável (estabilização) de multigermes de curvas planas parametrizadas como veremos

adiante.

David Mond definiu um invariante associado a um germe de aplicação <j> : C L , S —>

C" + 1 , 0, onde S é um conjunto finito.

P R O P O S I Ç Ã O 4 . 8 . ([M2], Theorcm 1) Seja 4> : Cn, S —> C n + 1 , 0 com Ae-codimensão finita,

e suponha que (n,n + 1) são boas dimensões (que significa n < lh). Então a imagem de

uma perturbação estável de <f> tem o tipo de homotopia de um bouquet de n-esferas.

O número destas n-esferas é um „4-invariante analítico de cj), chamado o n ú m e r o d e

M i l n o r d a i m a g e m de <f> c denotado por f-ir(4>).

P R O P O S I Ç Ã O 4 . 9 . ([Ml], Lcrnma 2.2) Seja (f : C, S C 2 , 0 com Ac-codirnensão finita.

Então

Hi(<j>) = 5-r + 1,

onde r é o número de rumos da curva.

Mond também provou o seguinte resultado:

P R O P O S I Ç Ã O 4 . 1 0 . (|M1|, Theorem 2.3) Seja ( f ) : C, 5 C 2 , 0 sendo 1 - 1 fora de S.

Então

Aecod{(l)) < H] {<!>),

com igualdade se, e somente se, ) + )JA\r = á = /i/(0).


No caso quase-homogêneo, a .4e-codimensão de <p possui uma interpretação geométrica

interessante, Accod{(j)) = S é exatamcnte o número de pontos duplos que aparecem numa

perturbação estável de <p.

O B S E R V A Ç Ã O 4 . 1 1 . Um possível desdobramento do Teorema 4-6, é tentar estendê-lo para

multigermes </!> : C, S —> C 2 ,0 , obtendo desta maneira uma generalização completa do

resultado de Mond.

4.3 Deformações de Curvas Planas

Até o momento vimos alguns resultados sobre deformações de curvas planas parametri-

zadas. Vejamos o que podemos dizer no caso de deformações de curvas implícitas e quais

relações podem ser estabelecidas entre elas.

Bruce e Gaffney [BGa], fazem a ,4-classificação dos germes simples de curvas planas

irredutíveis e estabelecem uma relação entre a ação de grupo /C, que é o grupo ideal para

o estudo de germes de curvas quando estas são dadas implicitamente, c a ação do grupo

A, quando a curva c dada parainetricamente. Mais especificamente temos:

P R O P O S I Ç Ã O 4 . 1 2 . Sejam C\ e C2 germes de curvas analíticas planas irredutíveis defi-

nidas numa vizinhança da origem por f\, f2 : C 2 ,0 —> C,0. E é\i(h : C, 0 —> C 2 ,0

parametrizações de Cy e C2, respectivamente. Então, (f>\ e (f'2 são A-equivalentes se, e

somente se, f\ e f2 são /C-eqmvalentes.

Agora, pelo Corolário 1.28, para toda curva irredutível de interseção completa temos

que

r = c - t j A \ r ,

onde c é o condutor do semigrupo V.

Portanto, pelo que provamos no Teorema 4.6 temos que

r = c - « ( A \ r ) = 2 J - t f ( A \ r ) = Aecod((P) + ô.

Por outro lado, no caso de curvas de interseção completa JCccod(f) = r , donde con-

4.3 Deformações de Curvas Planas 77

cluímos que

JCecod(f) = At.cod{(p) + 6.

Deste modo as codimensões de fato não coincidem, na verdade o número de deforma-

ções da curva implícita / é estritamente maior que as deformações de sua parametrização

</>, em outras palavras, o número de parâmetros num /C-desdobramento versai de / 6

estritamente maior que o número de parâmetros num ^-desdobramento versai de cj>, ou

seja,

T > Aecod(<p)

para qualquer curva plana irredutível.

Note que tal desigualdade inverte no caso de germes quase-homogéneos de interseção

completa em C" para n > 3, como vimos no estudo de germes de curvas monomiais (veja

Teorema 3.17).

Finalizamos este capítulo reunindo todos os resultados que obtivemos relacionando os

invariantes r e A(,cod(<t>) para curvas em C":

T E O R E M A 4 . 1 3 . Seja C uma curva analítica irredutível em C", quase-lwmoijênea e dc

interseção completa, definida por f e seja (j) uma parametrização deC. Então

t > Aecod(4>), se n = 2

t = Accod((J)), se n = 3

T < Avcod{È), se N > 3,

onde T = K.,,cod( f ) .

Este teorema reíiete no caso dc curvas quase-homogêncas dc interseção completa o

quanto o número de parâmetros numa deformação versai do germe dc uma curva implícita

e paramétrica variam segundo a dimensão de mergulho da curva.

C u r v a s A n a l í t i c a s P l a n a s

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índice Remissivo

A ação de grupo. 17

anel local, 10

Apéry

conjunto de. 14

C curva

analítica irredutível. 10

com parte principal boa, 65

dimensão de mergulho maximal. 66

Gorenstein, 15

interseção completa, 10

monomial, 12

multiplicidade, 12

plana, 10

quase-honiogênea, 61

D

deformação

de uru germe, 22

desdobramento

de um germe, 22

equivalência de, 23

versai, 23

determinação finita,

critério geométrico de, 24

critério infinitesimal de, 24

diferencial

exata, 16

não exata, 16

ordem de. 16

dimensão

pura, 9

subvariedade analítica, 9

E espaço normal, 30

espaço tangente

codimensão do, 22

do grupo A. K,, 20

estendido cio grupo A, 21

estendido do grupo /C, 22

F

fórmula de Milnor, 27

G

germe

de subvariedade analítica, 8

finitamente determinado, 24

quase-homogêneo, 61

órbita de uni, 17

grupos de Mather Tl, C, A, C, /C, 18

I interseção completa,

curva, 10

subvariedade analítica de, 9

invariante delt a, 26

84 ÍNDICE REMISSIVO

J

jato, 23

L

lacunas do semigrupo, 13

lacunas especiais, 16, 27

M

módulo de diferenciais de Kàhler, 15

multiplicidade da curva, 12

N

número de Milnor, 26

número de Milnor da imagem, 75

número de Tjurina, 27

P

parametrização

de Newton - Puiseux, 12

primitiva, 12

parte principal boa

curva com, 65

S

semigrupo

condutor do, 13

de valores , 12

lacunas do, 13

lacunas especiais do, 16

simétrico, 15

subvariedade analítica, 7

subvariedade analítica

irredutível, 8

anel de coordenadas da, 9

dimensão da, 9

germe de, 8

interseção completa, 9

redutível, 8

T

tipo Cohen-Macaulay, 57, 63

Tjurina

número de, 27

torção

submódulo de, 16

ERRATA

1. Na definição do conjunto 0(n,p) considere

0{n,p) = { / : C" , 0 —> C ; / germe de aplicação analítica numa vizinhança de ()}.

2. No enunciado da Proposição 2.5 leia-se:

Seja (f) : (C, 0) —> ( C n + i , 0 ) uma parametrização de uma curva analítica irredutível.

(1) Se (0, / i , ,/2, • • • , fn) £ TAe((f>) então para todo j = 1,... ,n temos que

_ rjjdxo - r/odxj ^ QXj

' ' dxg dx,()1

para algum r/o,r/7 G O, com r>(r/o) > v(dxo), r/o ^ 0.

(2) Se existe / j = '^ ' ° — ^ - para algum r/o,r/y G C, com w(r/o) > v(dx0), r/o 7- 0 então <M;0

( 0 , / , , / 2 , . . . , / „ . . . , / n ) GTAW>),

•ifrdx o — Tjodxi onde /, = para todo 1 = 1 , . . . . ri, com r/,; G O.

fteo

3. No Exemplo 2.9, = v0 - 2 + (JA, + HA2 + tfFi + JjF2 = 19, onde P2 = {II}.

4. O argumento 11a demonstração da Afirmação 3.1 6:

Seja LO = 'lydxQ — rjodXi. com r/o, r/j G C tal que a lacuna k é dada como ordem do elemento

isto é, k = v ( j ^ ) . Como a curva é monomial temos que k = min jf (r / j) , v ^ ) } •

No entanto, w(r/.t) G P, donde concluímos que k = w ^ ) '

5. No enunciado da Proposição 3.22, leia-sc r = Aecod(4>).

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Invariantes analítico pars curvaa irredutíveiss 1...deste trabalho. Agradeço à minha lind ea querida família e, a todos o s meus amigo pels o apoio e força em todo os s momentos