RaizDoito

1

1. Num referencial o.m. do plano, considere a reta r de equação x = -5. Qual dos seguintes pares de pontos define uma reta perpendicular à reta r?

(A)

(B)

( C)

(D)

2. A condição que define o domínio plano indicado a sombreado na figura é:

(A) (x − 1)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ x < 2 ∧ y ≥ 0 ∧ y ≥ −x

(B) (x − 1)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ x < 2 ∧ y > 0 ∧ x > 0

(C) 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 9 ∧ x ≥ 0 ∧ y < 2 ∧ y ≤ x

(D) (x − 1)2 + 𝑦2 ≤ 3 ∧ x < 2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ −x

3. Dados os pontos A (2 , 0 , 1 ) e B (-2, 1 , 2 ) , uma equação vetorial de reta AB é dada por:

(A)

(B)

(C )

(D)

4. Considere os vetores �⃗� = (3,2) e 𝑣 =(-6, -4). Qual das seguintes afirmações

é verdadeira?

(A) �⃗� 𝑒 𝑣 não são colineares e 𝑣 = 2�⃗� ;

(B) �⃗� 𝑒 𝑣 são colineares e 𝑣 = −2�⃗� ;

(C) �⃗� 𝑒 𝑣 são colineares e ||𝑣 || = −||�⃗� ||;

RaizDoito

2

2

(D) �⃗� 𝑒 𝑣 não são colineares e ||𝑣 || = 2||�⃗� ||;

5. Sendo P (-1, 5), Q (2, -4) e �⃗� (-2, 6) então os vetores 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ e �⃗� :

(A) têm a mesma direção;

(B) têm o mesmo comprimento;

(C) são simétricos;

(D) têm o mesmo sentido.

6. Num referencial o.n. Oxyz, considere os pontos S (1 , 1,1) e T (-1 , 1 , -1 ) . Uma equação da superfície esférica que tem por diâmetro [ST] é:

(A) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 + 1)2 = 3 (B) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 +

(𝑧 − 1)2 = 12

(C ) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 3 (D) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

7. Num referencial o.n. Oxyz, considere: • O plano a de equação y=4;

a superfície esférica E, de equação 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 = 4

A interseção da superfície esférica E com o

plano a é:

(A) uma circunferência de raio 1 (B) o conjunto vazio

(C) um ponto (D) uma circunferência de raio 2

8. Indique uma condição que defina a região sombreada.

8.1 8.2 8.3

RaizDoito

3

9.Observe o referencial xoy o.m. e os pontos A, B, C, D e E nele assinalados.

a. Indique as coordenadas do ponto:

i. Simétrico de A em relação ao eixo das ordenadas;

ii. Simétrico de B em relação ao eixo das abcissas;

iii. Simétrico de E em relação à origem do referencial.

b. Escreva uma equação da reta:

i. Vertical que passa pelo ponto C;

ii. Horizontal que passa pelo ponto D.

iii. Bissetriz dos quadrantes pares.

c. Indique dois pontos equidistantes da origem.

10. Represente num referencial cartesiano o.m. o conjunto dos pontos do plano tais que:

10.1

10.2

10.3

11. Determine o volume do tronco de cone representado na figura.

Apresente o resultado, em centímetros cúbicos, arredondado às unidades.

-4

2

-4

RaizDoito

4

11 m

12. Em relação a um referencial ortogonal e monométrico, considere os pontos:

A (3,-2) B (7,1) C (0,2)

Calcule o perímetro do triângulo [ABC].

12.1 Mostre que o triângulo é retângulo e classifique-o quanto aos

lados.

12.2 Calcule a área do triângulo [ABC].

12.3 Calcule o ponto médio do lado [ABI.

12.4 Determine a equação da mediatriz do segmento de reta [BC].

13 O sólido da figura é constituído por um cubo com 4 cm de aresta e por uma pirâmide. Sabe-se que a secção produzida no sólido pelo plano BOG

tem de área 35 cm2 .

13.1 Determine a altura da pirâmide, apresentando o resultado

arredondado às décimas.

14. Na figura, P é o ponto de coordenadas (1, 1), o comprimento de PQ é 2√13 e o ponto Q tem ordenada 5. Sobre o triângulo [PQR] retângulo em

R, pode concluir-se que a sua área, em unidades de área é:

RaizDoito

5

(a) 5√13

(b) 13

(c) 10√13

(d) 12

15. Considere o ponto A de coordenadas (3, -2). Seja B um ponto tal que o seu simétrico relativamente à bissetriz dos quadrantes pares pertence ao

mesmo quadrante que o ponto A .

As coordenadas do ponto B são:

(A) (-1, -3) (B) (0, -2)

(C) (3, -1) (D) (2, 0)

16. Na figura, está representado um cubo de aresta 8. Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo. O ponto D pertence a uma das

arestas do cubo e o comprimento da aresta CD = 6;

Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano ABD?

17. Numa caixa como a da figura, cabem oito bolas geometricamente iguais. Quantas bolas caberiam se a caixa tivesse o dobro do

comprimento, o triplo da altura e o quádruplo da largura?

(A) 192

(B) 96

(C) 64

(D) 42

(A) 100 (B) 40

(c) 80 (D) 50

RaizDoito

6

18. A figura representa uma circunferência de centro O, de raio 5 cm e BÔA = 600

Qual das afirmações é verdadeira?

(A) A área do círculo de centro O é 10m cm 2;

(B) A área do triângulo [ABC] é 186 cm2;

( C) O triângulo [AOB] é retângulo;

(D) O perímetro do triângulo [ABC] , com aproximação às décimas, é igual a 23,7

RaizDoito

7

19. Na Figura está representada uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] cuja base tem 180 dm2 de área e cuja altura é 48 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se

descair a peça metálica representada na figura, de tal modo que esta

peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [EFGH]

ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide.

Determine a distância, d em dm, entre a peça metálica e base da pirâmide

Nota- Admita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha

em conta que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm 2 .

20. Na figura estão representados dois recipientes, A e B, com a forma de prisma

quadrangular regular reto de aresta 8 cm e de pirâmide quadrangular regular reta,

respetivamente. Em ambos os recipientes há igual quantidade de líquido.

20.1 Determine a altura de recipiente B, sabendo que a

área da superfície do líquido neste recipiente é de 48

cm 2

21.Numa circunferência inseriram-se 5 quadrados de lado a cm, como mostra a figura.

21.1 Mostre que a área da região sombreada é dada

pela expressão: 𝟓𝒂𝟐 (𝝅

𝟐− 𝟏) 𝒄𝒎𝟐

RaizDoito

8

22 A figura representa a planificação de um cubo onde está assinalado [AB] o trajeto

percorrido por uma aranha. A aresta do cubo mede 6 cm e A e B são os pontos

médios das arestas a que pertencem.

22.1 Determine a distância percorrida pela aranha.

22.2 Determine a distância (comprimento do menor trajeto) entre o ponto de partida e o ponto de chegada

da aranha.

23. Na figura, está representada uma planificação de um cubo.

Em qual das opções seguintes pode estar representado esse cubo?

24. A diagonal do quadrado da figura mede √2 a cm. A área da zona sombreada é

dada (em cm2) por:

RaizDoito

9

(A) 𝑎2(𝜋 − 1) (B) (𝜋

4− 1)

( C) √2

2𝑎 (D) 𝑎2(

𝜋

2− 1)

25.Na figura, está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 3. Sabe-se que:

A face [ABCD] está contida no plano xOy

A aresta [DC] está contida no eixo Oy

O ponto D tem coordenadas (0, 3, 0)

Os pontos de coordenadas (3, 3, 0) e (0, 6, 0) são vértices do cubo.

Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois

vértices?

27. Considere a figura ao lado.

Sabe-se que:

AB //CE;

AC // ED ;

A altura do triângulo [ABC] é o triplo da altura do triângulo [CDE].

(A) BCF (B) ABC

(c) BDH (D) ACG

26. Sendo A (2, —4, 3), B(-1, 5, -3) e 𝑣 → (-2, 6, -4)

podemos afirmar que os vetores 𝐴𝐵 → e

𝑣→ :

(A) Têm a mesma direção (B) São simétricos

(C ) Têm o mesmo sentido (D) Têm o mesmo comprimento

RaizDoito

10

x

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) A razão entre as áreas dos triângulos [ABC] e [CDE] é igual a 9.

(B) BD = 3 CD

(c) Os triângulos [ABC] e [CDE] não são semelhantes.

(D) A razão entre as áreas

28.Na imagem pode ver-se uma construção em madeira

formada por quatro cubos iguais nos quais se aplicou um

referencial o.m. Oxyz.

Cada cubo tem aresta 6.

O vértice A pertence ao eixo Ox.

Os vértices C e D pertencem ao eixo Oy.

O vértice H pertence ao eixo Oz.

28.1 Indique as coordenadas dos vértices J, E, B e M.

28.2 Justifique que as retas IJ e DE definem um plano.

28.3 Defina por uma condição a aresta [BL].

28.4 Defina por uma condição o plano que contém a face [CFJI].

28.5 Defina por uma condição a face [ABKL].

28.6 Determine uma equação do plano mediador do segmento [BG].

29.Na figura estão representados uma esfera e um plano 9.

Sabe-se que:

O plano 9 é paralelo ao plano xoy;

A esfera é tangente ao plano xOy e ao

plano 6 no ponto A (4 , 5)

RaizDoito

11

29.1 Escreva uma equação do plano 9.

29.2 Indique as coordenadas do ponto em que a esfera é tangente ao plano xoy.

29.2.1 Escreva uma condição que caracterize a esfera.

29.2.2 Determine o raio do círculo que resulta da interseção da esfera com o

plano de equação z=3.

30. O sólido da figura é constituído por um cilindro e por um cone.

Atendendo aos dados da figura, pode concluir-se que o volume V do sólido é dado, em

função de r, pela expressão:

31. Num referencial o.n. considere os pontos A ( -1 , 3) e o vetor As coordenadas do ponto médio de [AB] são:

(A)

32. Na figura está representada, num referencial ortogonal e monométrico xOy, a

circunferência de centro no ponto A, definida pela equação

Tem-se:

[CG] é a corda que está contida no eixo Oy;

[CD] é a corda paralela ao eixo Ox;

[AF] é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy;

[ABCD] é um trapézio retângulo;

RaizDoito

12

[ADEF] é um losango;

32.1. Mostre que o ponto C tem coordenadas (0,9) e que o ponto D tem coordenadas (-

8,9).

32.2. Determine a equação da mediatriz do segmento [AD].

Apresente a sua resposta na forma y=mx+b (m e b designam números reais).

32.3. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.

32.4. Determine o perímetro do trapézio [ABCD]

33. Num referencial o. n. Oxyz, considere um cone cuja base está contida no plano xOy e cujo vértice pertence ao semieixo Oz.

A base do cone tem centro na origem do referencial. A reta r de equação:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,2,2) + 𝑘(0,1, −3), 𝑘 ∈ 𝑅

contém uma geratriz do cone e interseta o semieixo positivo Oy.

33.1 Determine a área da base do cone.

33.2 Determine o volume do cone.

33.3 Determine o ponto de interseção de reta r com o plano de equação z=4.

33.4 Determine o perímetro da secção produzida no cone pelo plano de equação x=0.

34. Em referencial o. n. Oxyz , considere: a esfera E definida pela condição x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

a reta r de equação vetorial (x,y,z) = (0,0,2) + k(0,1,0), k ∈ 𝑅

A interseção da esfera E com a reta r é:

(A) Um conjunto vazio;

(B) Um ponto;

(C ) Dois pontos;

(D) Um segmento de reta de comprimento 2;

RaizDoito

13

35. Um vetor de norma 10 colinear com 𝑊→(3, 0 , 4) tem de coordenadas:

(A) (2√5, 0, 4√5) (B) (3

2, 0, 2)

( C) (-6, 0, -8) (D) (10, 0, 0)

36.Qual das seguintes equações define, num referencial o. n. Oxyz ,uma superfície esférica tangente aos planos de equações x=4 e y= 0?

(A) (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16

(B) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 = 4

(c) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 = 16

(D) 𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 2)2 = 4

37. Num referencial o. n. Oxyz considere a reta r de equação ∈ R

Qual das condições seguintes define uma reta estritamente paralela à reta r?

(A) y=3 ∧ 𝑧 = 4

(B) y = 0 ∧ 𝑧 = −2

(C) x = 3 ∧ 𝑧 = −2

(D) x = 3 ∧ 𝑦 = 0

38. Qual das condições seguintes define o conjunto dos pontos da zona delimitada da figura?

(A) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 32 ∧ 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ 3𝑥 + 3

(B) (x

(C) ∧ 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑦 ≥ −3𝑥 + 3

(D)

RaizDoito

14

39. Considere a esfera definida pela condição (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 4)2 ≤ 14. Sabendo que [AB] é diâmetro dessa esfera e que A tem coordenadas (1, 1, 1), as

coordenadas de B são:

(A) (5,3,6) (B) (4,6,5)

( C) (2,4,8) (D) (3,5,7)

40. Os vetores 𝑈 → (-2, k) e

𝑣 → (k-1, -6) são colineares se:

(A) = -1; ( c) k = 4;

(B) = 3; (D) k = 2;

41. O paralelogramo [ACJL] está dividido em 6 paralelogramos geometricamente iguais.

a. Com base na figura indique:

41.1.1 Dois segmentos orientados com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo

comprimento.

41.1.2 Dois vetores simétricos.

4.2 Determine:

4.2.2 A + 𝐼𝐽 → 4.2.2

𝐸𝐻 → +

𝐹𝐴 → 4.2.3

𝐼𝐻→ -

𝐴𝐵 →

AB //CE; AC // ED ;