Elaborado por:

Alvick Mallqui Alor

20084006J

PROFESOR: ING. RONALD CUEVA PACHECO

INDICE

I. ENUNCIADO DEL PROBLEMA ............................................................................................................ 3

II. SOLUCION ...................................................................................................................................... 3

II.1. MODELADO DEL CUERPO REAL ............................................................................................. 3

II.2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) ................................................... 5

II.3. VECTOR CARGA ........................................................................................................................ 5

II.4. MATRICES DE RIGIDEZ ............................................................................................................ 5

II.5. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO ...................................................... 6

II.6. ESFUERZOS .............................................................................................................................. 6

III. DIAGRAMA DE FLUJO ................................................................................................................... 8

IV. CODIGO MATLAB ......................................................................................................................... 11

V. CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 13

I. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Resolver el problema de la tercera prctica considerando el peso del propio material y calcular

esfuerzos y las reacciones en los apoyos (empotrados).

Considerar:

PA = 5KN

PB = 4KN

PC = 3KN

PE = 2KN

Dimetro de barras = 50mm

Material:

E = 3x105 N/mm2 ; = 7.8 gr-f/cm3

II. SOLUCION

II.1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Cuadro de conectividad

a. Coordenadas nodales:

NODO X(mm) Y(mm)

1 0 0

2 1500 0

3 3000 0

4 1500 1500

5 0 1500

b. Conectividad de los elementos

Elemento Nodos GDL Le Ae Ee

(1) (2) (1) (2) (3) (4) (mm) (mm2) (N/mm2)

1 1 2 1 2 3 4 1500 1963.5 3.1x105

2 2 3 3 4 5 6 1500 1963.5 3.1x105

3 3 4 5 6 7 8 2121.32 1963.5 3.1x105

4 4 2 7 8 3 4 1500 1963.5 3.1x105

5 4 1 7 8 1 2 2121.32 1963.5 3.1x105

6 4 5 7 8 9 10 1500 1963.5 3.1x105

7 5 1 9 10 1 2 1500 1963.5 3.1x105

Elemento Le l m

(mm)

1 1500 1 0

2 1500 1 0

3 2121.32 -0.707 0.707

4 1500 0 -1

5 2121.32 -0.707 -0.707

6 1500 -1 0

7 1500 0 -1

II.2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento)

Observando el grfico 1:

=

[ 0034567800 ]

()

Como hay apoyos fijos y no hay fuerzas, Q1, Q2, Q9 y Q10 =0.

II.3. VECTOR CARGA

=

[ 12000910]

=

[

12

20005000

000

3000910 ]

()

II.4. MATRICES DE RIGIDEZ

= (

)

[

2 2

2 2

2 2

2 2

]

Elemento Le l m

(mm)

1 1500 1 0

2 1500 1 0

3 2121.32 -0.707 0.707

4 1500 0 -1

5 2121.32 -0.707 -0.707

6 1500 -1 0

7 1500 0 -1

II.5. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO

=

3000

0

0

5000

2000

0

6.9273 0 1.4347- 1.4347 4.0579- 0

0 6.9273 1.4347 1.4347- 0 0

1.4347- 1.4347 1.4347 1.4347- 0 0

1.4347 1.4347- 1.4347- 5.4926 0 4.0579-

4.0579- 0 0 0 4.0579 0

0 0 0 4.0579- 0 8.1158

10

8

7

6

5

4

3

5

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Resolviendo obtenemos:

[ 345678]

=

[

0.0120.05210.0250.0841

0.01230.0472 ]

II.6. ESFUERZOS

Se emplea la siguiente formula:

=

[ ][]

1 =3.1105

1500[1 0 1 0] [

00

0.0120.0521

] 1 = 2.48

2 =3.1105

1500[1 0 1 0] [

0.0120.05210.0250.0841

] 2 = 2.687

3 =3.1105

2121.32[0.707 0.707 0.707 0.707] [

0.0250.0841

0.01230.0472

] 3 = 0.0413

4 =3.1105

1500[0 1 0 1] [

0.01230.04720.0120.0521

] 4 = 1.0127

5 =3.1105

2121.32[0.707 0.707 0.707 0.707] [

0.01230.0472

00

] 5 = 3.61

6 =3.1105

1500[1 0 1 0] [

0.01230.0472

00

] 6 = 2.542

7 =3.1105

1500[0 0.707 0 0.707] [

0000

] 7 = 0

III. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

Leer datos de

entrada.

Para i=1 hasta

N de nodos

Ingresar coordenadas de

los nodos.

Calcular rea, N de filas de

cond_contorno(CC1)

Para i=1 hasta 2veces

N de nodos

Cont=0

Para j=1 hasta N de filas

de cond_contorno(CC1)

1 2 3

1 2

Si

i=CC(i,1)

Cont=1,

C2=CC1(i,2)

C1=CC1(i,1)

SI

Si cont=1

concontc

ont=1

CC(i,1)=C1;

CC(i,2)=C2

3

SI N

O

CC(i,1)=0;

CC(i,2)=0

Para i=1 hasta

N elementos

Calcula Le, l, m, las posiciones

de la matriz de rigidez global y

su valor.

4

4

Para i=1 hasta 2veces N

elementos.

Si

i=CC(i,1)

Q(i,1)=CC(i,2) Acumulamos

fuerzas

(FC=[FC;F(i)])

SI NO

Para

j=1;2*Nnodos

Si jCC(j,1)

acuh=[acuh,Kij(i,j)]

acumula filas

SI

acuv=[acuv;acuh];

acumula columnas

Calcula los desplazamientos

generales

Q1=acuv\FC;

5

IV. CODIGO MATLAB

clc; clear all; %ARMADURAS PLANAS format long nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS='); ne=input('INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS='); D=input('INGRESE EL DIMETRO DE LAS SECCIONES(mm)='); E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2='); tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)='); %EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] ni=[]; for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i);

5

Para i=1;

2N nodos

Si

i==CC(i,1)

Calcula las reacciones

r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);

R=[R;r i];

Para i=1 hasta N

de elementos

Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos,

reacciones y esfuerzos

n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= '); end F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS='); CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posicin valor]='); lm=[]; A=pi/4*D^2; krs=zeros(2*nd); Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[]; le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[]; [fc,cc]=size(CC1); for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; end end for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd); end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[]; end Q1=acuv\FC; for i=1:2*nd if i~=CC(i,1)

Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end end end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; end end ESF=[]; for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)]; end format short disp('============='); disp('RESULTADOS'); disp('============='); disp('LOS DESPLAZAMIENTOS'); disp(Q); disp('LAS REACIONES'); disp('REACCIN POSICIN'); disp(R); disp('LOS ESFUERZOS'); disp(ESF');

V. CONCLUSIONES

Vemos que para esfuerzos negativos, las barras correspondientes estarn sometidas a

compresin.

Como ya se tena previsto, la barra 7 no est sometida ningn esfuerzo; sin embargo es

indispensable ponerlo ya que al momento de construir e instalar la armadura, servir

como base para que esta no se desarme.

Los desplazamientos estarn referidos al sistema XY planteado inicialmente, para el

caso el nico desplazamiento negativo es el del grado de libertad 7, esto quiere decir

que sufre una deformacin en sentido contrario al eje X.

El mtodo por elementos finitos para el clculo de armaduras en el plano tiene una tiene

una aproximacin casi exacta, slo se comete error por las cifras significativas que

trabaja el MATLAB; al comparar los resultados en forma analtica con la de elementos

finitos el error del clculo es cero.

El mtodo de elementos finitos es aplicable a cualquier estructura en el plano, para ello

tenemos que ingresar la tabla de conectividad, que resultara tedioso si la estructura

consta de muchos elementos. La ventaja de este mtodo es la facilidad de clculo por

medio del MATLAB, en nuestro caso, ya que se sigue una rutina y es de fcil clculo

para un nmero de elementos muy grande, que resultara casi imposible de resolverlo

analticamente.