Introdução ao Método Matricial  

Prof. Dr. Eduardo Lenz Cardosolenz@joinville.udesc.br

Utilização em um Problema de Engenharia

Modelo de Barra

Modelo de Barra ­ Geometria

● Comprimento L >> demais dimensões transversais ;

● Seção transversal constante (qualquer formato);

● Sistema de referencia local xyz (centroidal)

Modelo de Barra ­ Material

● Homogêneo;● Isotrópico;● Regime Elástico;● Regime Linear.  

Modelo de Barra ­ Carregamento

● Somente carregamento axial;

● Não pode gerar momentos ou cortantes;

● A forma de aplicação da força não importa se L >>

Modelo de Barra – Comportamento

   Fluxo de forças constante longe do ponto de aplicação da força;

Modelo de barra – Consequência 1

     Somente tensão 

normal constante ao longo de uma seção transversal

Modelo de barra – Consequência 2

● Somente deslocamentos axiais ;

● Todos os pontos de uma seção tem o mesmo deslocamento axial

Modelo de Barra – Caso Particular

● Assim, se forças forem aplicadas somente nas extremidades, verificamos que tanto a tensão quanto a deformação são homogêneas:

L

P

u

Modelo de Barra – Caso Particular

● Em qualquer ponto

● Em qualquer ponto

Rigidez de uma Barra

  Vamos  considerar  uma barra  presa  na extremidade  1  e  com uma  força  aplicada  na extremidade 2: L

P

u2

2

P1

2

P2

Rigidez de uma barra

● Neste caso, podemos fazer uma analogia com uma mola em extensão, onde o deslocamento é proporcional a uma constante de rigidez;

Matriz de Rigidez de uma Barra

● Assim, podemos verificar que:

L

P

u2

2

P1

2

P2

Matriz de Rigidez de uma Barra

● Ou, no outro lado:(x positivo para a 

direita)

L

P

2

1

1P

P

u1

Matriz de Rigidez de uma Barra

● Como o problema é linear, podemos considerar agora um caso geral, onde as duas extremidades são carregadas e apresentam deslocamentos ; 

● Neste caso, basta somar os resultados obtidos anteriormente:

Matriz de rigidez de uma Barra

Matriz de Rigidez

Este sistema de equações caracteriza o modelo de barra:

Matriz de Rigidez

Vetor de deslocamentos 

nas extremidades

Vetor de deforças axiais  nas 

extremidades

Elemento Finito de Barra

● Descrito por sua matriz de rigidez Ke e por forças e deslocamentos em pontos pré­estabelecidos (nós)  nó 1

nó 2

E, A e L

Elemento Finito de Barra

● Assim, se tivermos várias barras, basta conectar os elementos. Isto implica em conectar as matrizes de rigidez de cada elemento, formando um sistema cada vez maior. 

Exemplo● Uma barra modelada pela união de 3 

elementos finitos de barras.

nó 1 nó 2 nó 3 nó 4

P

u1 u2 u3 u4

P

u1 u2(2) (2)

Exemplo.

● Cuidado: existem informações do problema (Globais) e dos elementos (Locais). As matrizes de cada elemento são informações locais.

Exemplo

● Assim, cada elemento tem uma contribuição no sistema global, que representa toda a estrutura:

Exemplo

Exemplo

● E, somando as contribuições,  vizando manter o equilíbrio de forças, observamos que 

Exemplo

● Assim, substituindo as contribuições, obtemos

Exemplo

● Nunca esquecendo de informar as condições de contorno do problema: u(0)=u1=0 e P(L)=P4=P

Solução do Sistema de Equações

● Etapa que demanda tempo computacional;● Exponencialmente proporcional ao número 

de nós considerados; 

Treliças – Rotação do sistema de coordenadas

● Cada elemento de barra foi deduzido no seu sistema de referência, além de ter apenas desloc. axiais.

Rotação do sistema de referência

● Sistema local faz um ângulo teta em relação ao sistema global;

● gl axial w, gls  globais u e v

Rotação do sistema de referência

Rotação do sistema de coordenadas

● Primeiro rotacionamos os deslocamentos dos nós da barra (LOCAL­>GLOBAL)

Rotação do sistema de coordenadas

● Depois rotacionamos as forças nos nós.

Rotação do sistema de coordenadas

Finalmente, rearranjamos o sistema, obtendo uma nova expressão para a matriz do elemento, agora em coord. globais.

Treliça

Treliça

Rotinas Rigidez_Barra(E,A,L):=(

        block([Ke],

               Ke: (E*A/L)*matrix([1,­1],[­1,1])

        )

) $ 

Rotacao_Barra(teta):=(

        block([T],

               T: matrix([cos(teta),sin(teta),0,0],                                     [0,0,cos(teta),sin(teta)])

        )

) $ 

F_Global(nforcas,forcas,nnos):=(

        block([F,i,nof,glf,valf],

               F: genmatrix(lambda ([i, j], 0.0),2*nnos,1),

               for i:1 thru nforcas do (

                   nof: forcas[i,1],

                   glf: forcas[i,2],

                   valf: forcas[i,3],

                   F[2*(nof­1)+glf,1]: F[2*(nof­1)+glf,1] + valf

               ),

               F

        )

) $