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LES0407
ESTATÍSTICA APLICADA II
Prof. Dr. Vitor Ozaki
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Iniciaremos a aula sobre variáveis aleatórias discretas com o exemplo das duas extrações, sem reposição, de uma urna contendo duas bolas cinzas e três verdes.
• Definimos a variável aleatória v.a. X como sendo número de bolas verdes obtidas nas duas extrações.
2/5
3/5
1/4
3/4
2/4
2/4
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Extrações sem reposição de uma urna com duas bolas cinzas e três verdes.
Resultados Probabilidades XCC 2/5 x 1/4 = 2/20 0CV 2/5 x 3/4 = 6/20 1VC 3/5 x 2/4 = 6/20 1VV 3/5 x 2/4 = 6/20 2
Total 1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Note que cada resultado do experimento está associado a um valor da v.a. X: 0, 1 ou 2;
• X = 0, com probabilidade 1/10, pois X = 0 ↔ CC;
• X = 1, com probabilidade 6/10, pois X = 1 ↔ CV ou VC;
• X = 2, com probabilidade 3/10, pois X = 2 ↔ VV;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Resumindo:
– P(0) = P (X = 0) = P(CC) = 1/10;
– P(1) = P (X = 1) = P(VC ou CV) = 6/10;
– P(2) = P (X = 2) = P(VV) = 3/10;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• A distribuição de probabilidades da v.a. X será:
x P(x)0 1/101 6/102 3/10
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Outro exemplo: Lançamento de uma moeda duas vezes:
• Seja a v.a. Y = número de caras obtidas nos dois lançamentos.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• P(0) = P(Y = 0) = P(CC) = 1/4;
• P(1) = P(Y = 1) = P(CK ou KC) = ¼ + ¼ = 1/2;
• P(2) = P(Y = 2) = P(KK) = 1/4;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Lançamento de duas moedas
Resultados Probabilidades YCC ¼ 2CK ¼ 1KC ¼ 1KK ¼ 0
Total 1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• A distribuição de probabilidades da v.a. Y será:
x P(x)0 ¼1 ½2 ¼
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Note que a cada ponto do espaço amostral, a variável em questão associa um valor numérico;
• Essa associação é chamada em Matemática de “função”;
• Mais precisamente, chamaremos por função de probabilidade a função definida no espaço amostral Ω e que assume valores reais;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Em outras palavras funções de probabilidade são funções que associam números reais aos eventos de um espaço amostral;
– mapeiam o espaço amostral na reta real;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• O uso de variáveis aleatórias equivale a descrever os resultados de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras;
– apresenta a vantagem de possibilitar melhor tratamento matemático;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
X:
A
X(A)
X:
A
X(A)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Ex. Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro para fins industriais.
• As partes são adquiridas em fábricas diferentes (F1 e F2) e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las.
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• O produto final deverá ter o comprimento (cilindro) e a espessura (esfera) dentro de certos limites, verificado após a montagem. Quer se verificar a viabilidade econômica desse projeto;
• Cada componente pode ser classificado como bom (B), longo (L) ou curto (C), com relação a medida padrão;
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• Ademais, o fabricante forneceu o preço de cada componente ($ 5,00) e as probabilidades de produção de cada componente com as características B, L e C.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Distribuição da produção das fábricas 1 e 2.
Produto F1 (cilindro) F2 (esfera)Dentro das especif. (B) 0,80 0,70
Maior que as especif. (L) 0,10 0,20Menor que as especif. (C) 0,10 0,10
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• Caso o produto final apresente algum componente com as características C, ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata por $ 5,00;
• Cada componente L será recuperado ao custo de adicional de $ 5,00;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Se o preço de venda de cada unidade for $ 25,00, qual será a distribuição de X: lucro por conjunto montado?
• Inicialmente, pensaremos no espaço amostral dos conjuntos de acordo com as características de cada componente e suas probabilidades;
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Como os componentes vêm de fábricas diferentes, suporemos que a classificação dos cilindros e das esferas sejam independentes;
• A distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens será:
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens (cilindro-esfera).
Produto Probabilidade Lucro por montagem
BB 0,56 15
BL 0,16 10
BC 0,08 -5
LB 0,07 10
LL 0,02 5
LC 0,01 -5
CB 0,07 -5
CL 0,02 -5
CC 0,01 -5
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Pela tabela nota-se que X pode assumir um dos seguintes valores:– 15, se ocorrer o evento A1 = {BB}
– 10, se ocorrer o evento A2 = {BL, LB}
– 5, se ocorrer o evento A3 = {LL}
– - 5, se ocorrer o evento A4 = {BC, LC, CB, CL, CC}
• Cada um dos eventos tem uma probabilidade associada;
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• As probabilidades são:– P(A1) = 0,56;
– P(A2) = 0,23; (0,16 + 0,07)
– P(A3) = 0,02;
– P(A4) = 0,19; (0,08 + 0,01 + 0,07 + 0,02 + 0,01)
• Conhecendo as probabilidades é possível escrever a função (x, P(x)), que representa a distribuição de probabilidade da v.a. X
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Distribuição da v.a. X.
x P(x)15 0,5610 0,235 0,02
- 5 0,19total 1,00
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Com respeito ao exemplo do empresário e sua fábrica de componentes agrícolas, uma pergunta imediata seria: qual o lucro médio (LM) por conjunto montado que ele espera conseguir?
• Pela tabela observamos que:
LM = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5)
LM = 9,85.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Definição: dada a v.a. discreta, assumindo valores x1, x2, …, xn, chamamos valor médio ou esperança matemática de X:
• Para simplificar a notação: P(X = xi) = pi
n
xii xx
1
)P(XE(X)
n
xiix
1
pE(X)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Definição: dada a v.a. discreta, assumindo valores x1, x2, …, xn, chamamos de variância da v.a. X, o valor:
n
xii
n
xii xxx
1
2
1
2 pE(X)]-[)P(XE(X)]-[V(X)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Calcule a variância do exemplo anterior.
• V(X) = 57,23• DP(X) = 7,57
-5 0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distribuição da v.a. X: lucro por montagem
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Dada a v.a. discreta X e a respectiva função de probabilidade p(x), a esperança matemática da função h(X) é dada por:
E[h(X)] = ∑ h(xi)p(xi)
• Ainda:
E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX + b) = a2V(X)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Outra forma de cálculo da variância é dada por:
• V(X) = E(X2) – E2(X)
• Ex. Calcule a V(X) no exemplo do empresário.
• De forma geral, denotaremos E(X) por μ e V(X) por σ2.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Função de Distribuição Acumulada
• Definição: Dada a v.a. X, chamaremos de função de distribuição acumulada (f.d.a.), ou simplesmente, função de distribuição (f.d.) F(x) à função:
F(x) = P(X ≤ x)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Note que o domínio de F é todo o conjunto dos números reais, ao passo que o contradomínio é o intervalo [0,1].
• Voltando ao exemplo do empresário e usando a função de probabilidade de X, a f.d.a. de X será dada por:
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
151
151044,0
10521,0
5519,0
5,0
)(
xse
xse
xse
xse
xse
xF
x P(x)15 0,5610 0,235 0,02
- 5 0,19total 1,00
Figura 6.8
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Ex. 3.5 (ML, pg. 63): uma população de 1000 crianças foi analisada em um estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra HPV;
• No estudo, as adolescentes recebiam as doses de vacina e, após um mês, passavam por um novo teste;
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• Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina;
• Ao fim de 5 doses todas foram consideradas imunizadas. Os resultados completos estão mostrados abaixo:
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Doses 1 2 3 4 5
Freq. 245 288 256 145 66
• Supondo que uma adolescente dessa população é sorteada ao acaso, qual será a probabilidade dela ter recebido 2 doses?
• A função de probabilidade da variável aleatória “número de doses recebidas” é:
Doses 1 2 3 4 5
pi 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• A resposta da pregunta é: p2 = 0,288.
• Suponha que agora desejemos calcular a probabilidade da criança ter recebido até duas vacinas.
• Note que o que precisamos saber é a função de distribuição no ponto 2, ou seja, calculamos a probabilidade acumulada de ocorrência de valores menores ou iguais a 2. Assim:
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,533
• Observe que a variável só assume valores inteiros. Portanto, F(2) fica inalterado no intervalo [2,3). Ou seja, F(2,1), F(2,65) tem todos os mesmos valores.
• Por essa razão escrevemos:
F(x) = P(X ≤ 2) = 0,533, para 2 ≤ x < 3.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Os valores completos da função de distribuição são os seguintes:
51
54934,0
43789,0
32533,0
21245,0
1,0
)(
xse
xse
xse
xse
xse
xse
xF
Figura 3.2 (ML, pg 65)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Exercícios: • ex. 3.6 (ML, pg65)• ex. 10, 11 (BM, pg 139)
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