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ACs Classificação e Rep. das ACs Estru. Não-Associativas General. em S7 Resultados Obtidos Referêcias

Álgebras de Clifford, Octonions eGeneralizações de Produtos

não-Associativos sobre a esfera S7

Marcio Andre Traesel1 Roldão da Rocha1

1Universidade Federal do ABC

IV Encontro Científico dos Pós-Graduandos do IMECC


Esboço da apresentação

1 ACsÁlgebra exteriorOperações Dentro da Álgebra ExteriorÁlgebra de Clifford (1)

2 Classificação e Rep. das ACsTeoremas sobre a Estrutura das Álgebras de CliffordClassificação das Álgebras de Clifford

3 Estru. Não-Associativas General. em S7

OctonionsO Produto-u e Generalizações

4 Resultados ObtidosPropriedades Generalizadas de Estruturas Não-Associativas em S7

5 Referêcias


Álgebra exterior

DefiniçãoO par (V ∗,∧) é denominado álgebra exterior do espaçovetorial V ∗.

Um multicovetor arbitrário de Λ∗(V ) pode ser escrito como

a︸︷︷︸escalar

+ �iei︸︷︷︸covetor

+ Fijei ∧ ej︸︷︷︸2−covetor

+ Tijkei ∧ ej ∧ ek︸︷︷︸3−covetor

+ ⋅ ⋅ ⋅+ pe1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ en︸︷︷︸n−covetor

e a dimensão de Λ∗(V ) =n∑

k=0

(nk

)= 2n.


Operações Dentro da Álgebra Exterior

Reversão:

˜ : Λ(V ) → Λ(V )

7→ k = (−1)k(k−1)/2 k

Involução Graduada:

# : Λ(V ) → Λ(V )

7→ #( k ) = k = (−1)k k

Conjugação: a composição da reversão com a involuçãograduada

¯ : Λ(V ) → Λ(V )

7→ k =˜ k =

ˆ k .


Álgebra de Clifford (1)

DefiniçãoO par (A, ) é uma álgebra de Clifford para o espaçoa

quadrático (V ,g) quando A é gerada como álgebra por{ (v) ∣ v ∈ V )} e {a1A ∣ a ∈ K} e satisfaz

(v) (u) + (u) (v) = 2g(v,u)1A, ∀v,u ∈ V

aEspaço vetorial sobre um corpo K desde que char(K) ∕= 2.

A aplicação é dita uma aplicação de Clifford.


Álgebra de Clifford (1)

DefiniçãoUma AC (A, ) para o espaço quadrático (V ,g) é dita umaálgebra de Clifford universal se para cada AC (ℬ, �) em (V ,g)existir um homomorfismo � : A → ℬ tal que � = � ∘ e�(1A) = 1ℬ. Denotaremos uma AC universal para (V ,g) porCℓ(V ,g).

TeoremaA álgebra de Clifford (A, ) para o espaço quadrático (V ,g) éuniversal quando dimA = 2n, onde n = dim V .


Teoremas sobre a Estrutura das Álgebras de Clifford

Teorema (Complexificação das Álgebras de Clifford)Sejam (V ,g) um espaço quadrático sobre ℝ e Cℓ(V ,g) a suaálgebra de Clifford real associada. Considere a álgebra deClifford complexa Cℓ(Vℂ,gℂ) para o espaço quadráticocomplexificado (Vℂ,gℂ). Então

Cℓ(Vℂ,gℂ) ≃ ℂ⊗ Cℓ(V ,g).

Seja g uma forma bilinear simétrica em ℝp,q, onde p + q = n,então podemos escrever:

g(v,v) = (v1)2 + ⋅ ⋅ ⋅+ (vp)2 − (vp+1)2 − ⋅ ⋅ ⋅ − (vp+q)2.



Teorema (Teorema de Periodicidade)Seja Cℓp,q a álgebra de Clifford do espaço quadrático ℝn.Temos os seguintes isomorfismos

Cℓp+1,q+1 ≃ Cℓ1,1 ⊗ Cℓp,q, (i)Cℓp+2,q ≃ Cℓ2,0 ⊗ Cℓq,p, (ii)Cℓp,q+2 ≃ Cℓ0,2 ⊗ Cℓq,p, (iii)

onde p > 0, q > 0 e ⊗ denota o produto tensorial usual.



Denote a reversão por �1 e a conjugação por �−1, quepodemos unificar na notação ��, (� = ±1).

Teorema (Teorema de Periodicidade Generalizado)O Teorema da Periodicidade [ABS] se generaliza em seusanti-automorfismos como

(Cℓp+1,q+1, ��) ≃ (Cℓp,q, �−�)⊗ (Cℓ1,1, ��).



Definição (Representação de uma Álgebra)Seja A uma álgebra real e V um espaço vetorial sobreK = ℝ,ℂ,ℍ. Uma aplicação � : A → EndK(V ) satisfazendo�(1A) = 1V e �(ab) = �(a)�(b), ∀a,b ∈ A, é chamada umaK-representação de A. O espaço vetorial V é chamadoespaço de representação de A.

Algumas ACs básicas são:Cℓ0,1 ≃ ℂ, Cℓ0,2 ≃ ℍ, Cℓ1,0 ≃ ℝ⊕ ℝ, Cℓ2,0 ≃ Cℓ1,1 ≃ℳ(2,ℝ)



Classificação

p − q 0 1 2 3mod 8

ℳ(2[n/2],ℝ)

Cℓp,q ℳ(2[n/2],ℝ) ⊕ ℳ(2[n/2],ℝ) ℳ(2[n/2],ℂ)

ℳ(2[n/2],ℝ)p − q 4 5 6 7mod 8

ℳ(2[n/2]−1,ℍ)

Cℓp,q ℳ(2[n/2]−1,ℍ) ⊕ ℳ(2[n/2]−1,ℍ) ℳ(2[n/2],ℂ)

ℳ(2[n/2]−1,ℍ)

Tabela 1: Classificação das Álgebras de Clifford Reais onde p + q = n e [n/2] denota a parte inteira de n/2



Para o caso complexo,

ℂ⊗ Cℓ(2k) =ℳ(2k ,ℂ)ℂ⊗ Cℓ(2k + 1) =ℳ(2k ,ℂ)⊕ℳ(2k ,ℂ)


Octonions

A álgebra dos octonions O é definida como o espaço dosparavetores ℝ⊕ ℝ0,7 munido com o produto∘ : (ℝ⊕ ℝ0,7)× (ℝ⊕ ℝ0,7)→ ℝ⊕ ℝ0,7, denominado produtooctonionico padrão.Na álgebra de Clifford Cℓ0,7 podemos fazer

A ∘ B = ⟨AB(1− )⟩0⊕1 , A,B ∈ ℝ⊕ ℝ0,7,

onde = e1e2e6 + e2e3e7 + e3e4e1 + e4e5e2 + e5e6e3 +e6e7e4 + e7e1e5 ∈ Λ3(ℝ0,7) ↪→ Cℓ0,7.


Octonions

A tabela de multiplicação dos octonions é construída por

ea ∘ eb = �cabec − �ab (a,b, c = 1, . . . ,7),

onde denotamos �cab = 1 para as permutações cíclicas

abc = (126), (237), (341), (452), (563), (674), (715).

1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

e1 −1 e6 e4 −e3 e7 −e2 −e5e2 −e6 −1 e7 e5 −e4 e1 −e3e3 −e4 −e7 −1 e1 e6 −e5 e2e4 e3 −e5 −e1 −1 e2 e7 −e6e5 −e7 e4 −e6 −e2 −1 e3 e1e6 e2 −e1 e5 −e7 −e3 −1 e4e7 e5 e3 −e2 e6 −e1 −e4 −1

Todas as relações acima podem ser expressas comoea ∘ ea+1 = ea+5 mod 7.


O Produto-u e Generalizações

Dados X ,Y ∈ ℝ⊕ ℝ0,7 fixos mas arbitrários tais queXX = XX = 1 = YY = YY i.e. X ,Y ∈ S7, o produto-X édefinido por

A ∘X B := (A ∘ X ) ∘ (X ∘ B).

As igualdades abaixo são mostradas em [3]

(A ∘ X ) ∘ (X ∘ B) = X ∘ ((X ∘ A) ∘ B) = (A ∘ (B ∘ X )) ∘ X .

Vamos provar a generalização de(A ∘ X ) ∘ (X ∘ B) = (A ∘ (B ∘ X )) ∘ X , a fim de englobar todaálgebra exterior, construída sobre um espaço tangente numponto arbitrário em S7. Ao invés de X ∈ ℝ⊕ ℝ0,7 podemosobter uma expressão equivalente para u ∈ Cℓ0,7.



ExemploDadoX = X 0+X 1e1+X 2e2+X 3e3+X 4e4+X 5e5+X 6e6+X 7e7 ∈ S7,então

e1 ∘ e2 = e6

e1 ∘X e2 = ((X0)2 + (X1)2 + (X2)2 + (X6)2 − (X3)2 − (X4)2 − (X5)2 − (X7)2)e6

+2(X0X5 + X1X7 − X2X4 + X3X6)e3

+2(−X0X7 + X1X5 + X2X3 + X4X6)e4

+2(−X0X3 − X1X4 − X2X7 + X5X6)e5

+2(X0X4 − X1X3 + X2X5 + X7X6)e7.



ObservaçãoS7 = {Xa : (X0)2 + (X1)2 + (X2)2 + (X3)2 + (X4)2 + (X5)2 + (X6)2 + (X7)2 = 1}S4 = {A3, A4, A5, A6, A7 : (A3)2 + (A4)2 + (A5)2 + (A6)2 + (A7)2 = 1} o mapa de Hopf é definido por

A3 = 2(X0X5 + X1X7 − X2X4 + X3X6)

A4 = 2(−X0X7 + X1X5 + X2X3 + X4X6)

A5 = 2(−X0X3 − X1X4 − X2X7 + X5X6)

A6 = ((X0)2 + (X1)2 + (X2)2 + (X6)2 − (X3)2 − (X4)2 − (X5)2 − (X7)2)

A7 = 2(X0X4 − X1X3 + X2X5 + X7X6)



ObservaçãoConsiderando o produto e1 ∘X e2, a expressão anterior podeser reescrita como

e1 ∘X e2 = A3e3 + A4e4 + A5e5 + A6e6 + A7e7

onde A ∈ OX e A ∈ S4. Podemos verificar que o produto-X éum mapa da esfera S7 na esfera S4, já que

(X 0)2 + (X 1)2 + (X 2)2 + (X 3)2 + (X 4)2 + (X 5)2 + (X 6)2 + (X 7)2 =

(A3)2 + (A4)2 + (A5)2 + (A6)2 + (A7)2 = 1.



O produto-XY é definido como:

A ∘X ,Y B := (A ∘ X ) ∘ (Y ∘ B)

Em particular, o produto-(1,X ) é dado por

A ∘1,X B := A ∘ (X ∘ B).

Propondo uma generalização natural do produto-X , introduz-seo produto-u como

A ∘u B := (Au) ∘ (uB).

Porém, como calcular este produto?



Para um multivetor homogêneou = u1 . . . uk ∈ Λk (ℝ0,7) ↪→ Cℓ0,7 e A ∈ ℝ⊕ ℝ0,7, definimos oproduto ∙└ e o produto ∙┘ como [4]

∙└ : (ℝ⊕ ℝ0,7)× Λk (ℝ0,7) → ℝ⊕ ℝ0,7

(A, u) 7→ A ∙└ u = ((⋅ ⋅ ⋅ ((A ∘ u1) ∘ u2) ∘ ⋅ ⋅ ⋅ ) ∘ uk−1) ∘ uk

∙┘ : Λk (ℝ0,7)× (ℝ⊕ ℝ0,7) → ℝ⊕ ℝ0,7

(u, A) 7→ u ∙┘ A = u1 ∘ (u2 ∘ (⋅ ⋅ ⋅ ∘ (uk−1 ∘ (uk ∘ A)) ⋅ ⋅ ⋅ ))



E portanto, dado um elemento u ∈ Λ(ℝ0,7), o produto-u édefinido como

∘u : (ℝ⊕ ℝ0,7)× (ℝ⊕ ℝ0,7) → (ℝ⊕ ℝ0,7)

(A,B) 7→ A ∘u B := (A ∙└ u) ∘ (u ∙┘ B).

Queremos saber se as igualdades

A ∘u B := (A ∙└ u) ∘ (u ∙┘ B) = (A ∘ (B ∙└ u)) ∙└ u = u ∙┘ ((u ∙┘ A) ∘ B)

são válidas, ou pelo menos uma generalização similar ondevale o formalismo octonionico que considera o fibrado exteriorsobre S7.



Exemplo

Tomando u = e1 − e2e3, A = A2e2 + A4e4 e B = B1e1 + B5e5mostramos que

(A ∙└ u) ∘ (u ∙┘ B) = 2(−A2B1e6 − A2B5e2 − A4B5e2 − A4B1e6

)enquanto que

(A ∘ (B ∙└ u)) ∙└ u = 2(

A2B5e4 + A2B5e2 + A4B1e3 − A4B1e6

)Portanto, em geral

(A ∙└ u) ∘ (u ∙┘ B) ∕= (A ∘ (B ∙└ u)) ∙└ u.



Em analogia ao produto-(1,X ), também é possível definir outroproduto, o produto-(1,u), como

∘1,u : (ℝ⊕ ℝ0,7)× (ℝ⊕ ℝ0,7) → ℝ⊕ ℝ0,7

(A,B) 7→ A ∘1,u B := A ∘ (u ∙┘ B).

Finalmente, o produto-u pode ser generalizado parau, v ∈ Cℓ0,7 fixos, da seguinte maneira:

∘u,v : (ℝ⊕ ℝ0,7)× (ℝ⊕ ℝ0,7) → ℝ⊕ ℝ0,7

(A,B) 7→ A ∘u,v B := (A ∙└ u) ∘ (v ∙┘ B).



Introduziremos o produto octonionico entre multivetores deClifford, feito em [4].Dados vetores u = u1 . . . uk , v = v1 . . . vk ∈ Cℓ0,7, o produtonão-associativo entre elementos da álgebra de Clifford foramdefinidos por

⊙└ : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → ℝ⊕ ℝ0,7

(u, v) 7→ u ⊙└ v := u1 ∘ (u2 ∘ (⋅ ⋅ ⋅ ∘ (uk−1 ∘ (uk ∙└ v)) ⋅ ⋅ ⋅ ))

⊙┘ : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → ℝ⊕ ℝ0,7

(u, v) 7→ u ⊙┘ v := ((⋅ ⋅ ⋅ ∘ ((u ∙┘ v1) ∘ v2) ∘ ⋅ ⋅ ⋅ ) ∘ vk−1) ∘ vk



ExemploVamos calcular o produto (2e1e2 − 7e5e6)⊙└ e3e4:

(2e1e2 − 7e5e6)⊙└ e3e4 = 2e1e2 ⊙└ e3e4 − 7e5e6 ⊙└ e3e4

= −2e2 + 7e4,

enquanto que

(2e1e2 − 7e5e6)⊙┘ e3e4 = 2e1e2 ⊙┘ e3e4 − 7e5e6 ⊙┘ e3e4

= +2e2 + 7e4.



As definições acima nos permitem ver que o produto-(1,u)pode ser generalizado, de modo a englobar e incluirmultivetores de Cℓ0,7 na primeira ou segunda entradas.Definimos

∘1,u : Cℓ0,7 ×O → O( ,A) 7→ ∘1,u A := ∙ (u ∙┘ A),

para um multivetor de Clifford à direita e para a esquerda,segue

∘└1,u : O× Cℓ0,7 → O(A, ) 7→ A ∘└1,u := A ∘ (u ⊙└ ),

∘┘1,u : O× Cℓ0,7 → O(A, ) 7→ A ∘┘1,u := A ∘ (u ⊙┘ ).

Note que o produto considera a direção.



A última extensão do produto-(1,u) para , � ∈ Cℓ0,7 fixosporém arbitrários é definida por

∘└1,u : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘└1,u � := ∙┘ (u ⊙└ �),

e

∘┘1,u : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘┘1,u � := ∙┘(u ⊙┘ �).



Agora, dados , � ∈ Cℓ0,7 o produto-u pode ser expresso como

∘└∙u : Cℓ0,7 ×O → O( ,A) 7→ ∘└∙u A := ( ⊙└ u) ∘ (u ∙┘ A),

∘┘∙u : Cℓ0,7 ×O → O( ,A) 7→ ∘┘∙u A := ( ⊙┘ u) ∘ (u∙┘A),

∘∙└u : O× Cℓ0,7 → O(A, ) 7→ A ∘∙└u := (A ∙└ u) ∘ (u ⊙└ ),

∘∙┘u : O× Cℓ0,7 → O(A, ) 7→ A ∘∙┘u := (A ∙└ u) ∘ (u ⊙┘ ),



∘└└u : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘└└u � := ( ⊙└ u) ∘ (u ⊙└ �),

∘└┘u : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘└┘u � := ( ⊙└ u) ∘ (u ⊙┘ �),

∘┘└u : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘┘└u � := ( ⊙┘ u) ∘ (u ⊙└ �),

∘┘┘u : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘┘┘u � := ( ⊙┘ u) ∘ (u ⊙┘ �).



Finalmente o produto-(u, v) pode ser estendido da seguintemaneira:

∘└∙u,v : Cℓ0,7 ×O → O( ,A) 7→ ∘└∙u,v A := ( ⊙└ u) ∘ (v ∙┘ A),

∘┘∙u,v : Cℓ0,7 ×O → O( ,A) 7→ ∘┘∙u,v A := ( ⊙┘ u) ∘ (v ∙┘ A),

∘∙└u,v : O× Cℓ0,7 → O(A, ) 7→ A ∘∙└u,v := (A ∙└ u) ∘ (v ⊙└ ),

∘∙┘u,v : O× Cℓ0,7 → O(A, ) 7→ A ∘∙┘u,v := (A ∙└ u) ∘ (v ⊙┘ ),



∘└└u,v : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘└└u,v � := ( ⊙└ u) ∘ (v ⊙└ �),

∘└┘u,v : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘└┘u,v � := ( ⊙└ u) ∘ (v ⊙┘ �),

∘┘└u,v : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘┘└u,v � := ( ⊙┘ u) ∘ (v ⊙└ �),

∘┘┘u,v : Cℓ0,7 × Cℓ0,7 → O( , �) 7→ ∘┘┘u,v � := ( ⊙┘ u) ∘ (v ⊙┘ �).



ObservaçãoApresentamos as identidades de Moufang para a álgebra dosoctonions, que é uma álgebra alternativa.

(A ∘ B ∘ A) ∘ C = A ∘ (B ∘ (A ∘ C)),

C ∘ (A ∘ B ∘ A) = ((C ∘ A) ∘ B) ∘ A,

(A ∘ B) ∘ (C ∘ A) = A ∘ (B ∘ C) ∘ A,

A,B,C ∈ O.



ExemploDada a identidade de Moufang abaixo

(A ∘ B) ∘ (C ∘ A) = A ∘ (B ∘ C) ∘ A, A,B,C ∈ O.

Suponha que uma generalização imediata seja escrever

(u ∙┘ B) ∙ (C ∙└ u) = u ∙┘ (B ∘ C) ∙└ u, u ∈ Cℓ0,7.

Entretanto não é verdade e que as identidades de Moufangpodem ser generalizadas somente utilizando conjugação einvolução graduada.



ExemploAo tomarmos u = e1e2e3e6, B = e4 e C = e7, temos que:

(e1e2e3e6 ∙┘ e4) ∘ (e7 ∙└ e1e2e3e6) = e6,

enquanto que

e1e2e3e6 ∙┘ (e4 ∘ e7) ∙└ e1e2e3e6 = −e6.


Propriedades Generalizadas de Estruturas Não-Associativas em S7

Daqui para frente considere um elemento homogêneou = ei1ei2 . . . eij ∈ Λj(ℝ0,7) ↪→ Cℓ0,7.

Lema

Os seguintes elementos de Λ0(ℝ0,7)⊕ Λ3(ℝ0,7)

P0 =1

8(1 + e4e7e6 + e5e1e7 + e6e2e1 + e7e3e2 + e1e4e3 + e2e5e4 + e3e6e5),

P1 =1

8(1− e4e7e6 + e5e1e7 + e6e2e1 − e7e3e2 + e1e4e3 − e2e5e4 − e3e6e5),

P2 =1

8(1− e4e7e6 − e5e1e7 + e6e2e1 + e7e3e2 − e1e4e3 + e2e5e4 − e3e6e5),

P3 =1

8(1− e4e7e6 − e5e1e7 − e6e2e1 + e7e3e2 + e1e4e3 − e2e5e4 + e3e6e5),

P4 =1

8(1 + e4e7e6 − e5e1e7 − e6e2e1 − e7e3e2 + e1e4e3 + e2e5e4 − e3e6e5),

P5 =1

8(1− e4e7e6 + e5e1e7 − e6e2e1 − e7e3e2 − e1e4e3 + e2e5e4 + e3e6e5),

P6 =1

8(1 + e4e7e6 − e5e1e7 + e6e2e1 − e7e3e2 − e1e4e3 − e2e5e4 + e3e6e5),

P7 =1

8(1 + e4e7e6 + e5e1e7 − e6e2e1 + e7e3e2 − e1e4e3 − e2e5e4 − e3e6e5),

[3], para a = 0, 1, . . . , 7, são ∙-idempotentes.



Além disso, defina

�a = 2Pa − 1 ∈ Λ0(ℝ0,7)⊕ Λ3(ℝ0,7).

Pode se mostrar que

�0�a�b�c = −ecebea

onde (a,b, c) são triplas quaternionicas.

Lema�0 = 2P0 − 1 é uma involução, no sentido de sua ação sobreos octonions.



LemaPa ∙┘ X = X aea para todo a = 0,1, . . . ,7 e para todo X ∈ O eX a ∈ ℝ

Lema

O elemento �0 = 2P0 − 1 ∈ Λ0(ℝ0,7)⊕ Λ3(ℝ0,7) é a conjugaçãooctonionica com respeito ao produto-∙

Lema

A forma diferencial �0 ∈ Λ0(ℝ0,7)⊕ Λ3(ℝ0,7) é umanti-automorfismo involutivo com respeito ao produto-∙



Proposição

(�0X�0) ∙┘ A = A ∘ X

Corolário

Pa ∙┘ X = (eaP0ea) ∙┘ X , para todo a = 1, . . . ,7.

Proposição�0 ∙ (X ∙└ u) = u ∙┘ (�0 ∙┘ X ), ∀X ∈ O,∀u = ei1ei2 . . . eij ∈ Λj(ℝ0,7) ↪→ Cℓ0,7. Ou seja, �0 é umanti-automorfismo também na álgebra exterior.



ProposiçãoDadas unidades octonionicas ea,eb,

−(ea ∘ eb) ∘ X = −(�0 ∙┘ (X ∘ eb)) ∘ ea + (�0 ∙┘ (X ∘ ea)) ∘ eb − (X ∘ eb) ∘ ea, ∀X ∈ O.

Lema

Para todo u ∈ Λ(ℝ0,7) homogêneo, segue-se as seguintespropriedades:

ea ∙└ u = ea ∘ (1 ∙└ u) ou ea ∙└ u = ea ∘ (1 ∙└ u)



Proposição

{ea ∘ [(P0 ∙ eb) ∙ u]} ∘ (1 ∙ u) = −(P0 ∙ eb)ea.

Lema

(u ∙┘ ea) ∘ (1 ∙└ u) = ea, ∀u ∈ Λj(ℝ0,7),∀ea,eb ∈ O



Finalmente, usando os resultados acima, podemos generalizara expressão

(A ∘ X ) ∘ (X ∘ B) = (A ∘ (B ∘ X )) ∘ X

no contexto da álgebra de Clifford sobre o espaço tangente emum ponto arbitrário em S7 como proposto, pelo

Teorema

(ea ∙└ u) ∘ (u ∙┘ eb) = [ea ∘ (eb ∙└ u)] ∘ f (u)

onde f (u) é uma função de O em O.



Como resultado do Teorema acima temos que a expressãof (u) é percebida pelo fibrado exterior que se apresenta comoX no plano tangente, na equação(A ∘ X ) ∘ (X ∘ B) = (A ∘ (B ∘ X )) ∘ X .


[1] J. Vaz, Notas de Aula MT-307.[2] J. Baez, The octonions, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002)145-205.[3] G. M. Dixon, Division Algebras: Octonions, Quaternions,Complex Numbers, and the Algebraic Design of PhysicsKluwer, Dordrecht 1994; Octonion X-product orbits; OctonionX-product and octonion lattices; Octonion XY-product.[4] R. da Rocha and J. Vaz Jr., Clifford algebra-parametrizedoctonions and generalizations, J. Algebra 301 (2006) 459-473.

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