LINHAS DE TRANSMISSÃO - professores.unisanta.brprofessores.unisanta.br/santana/downloads/Telematica/Microondas_2... · o A impedância de entrada de uma linha de transmissão sem

LINHAS DE TRANSMISSÃO

ÄÄ Coeficiente de reflexão - 1

• Havendo um só gerador a alimentar a linha como será possível existirem duas ondas, propagando-se em diferentes direcções?

• Só será possível se existirem reflexões na linha. Resolvendo as equações diferenciais da linha alimentada com uma excitação sinusoidal chegam-se às soluções em regime estacionário.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) z

O

z

O

z

O

z

O

eIeIzIzIzI

eVeVzVzVzVγγ

γγ

−−+−+

−−+−+

+=+=+=+=

• Poderíamos chegar à mesma conclusão determinando a onda inicial que parte do gerador e considerar depois todas as reflexões e re-reflexões dessa onda.

• O termo z

O eV γ−+ representa as ondas individuais que se propagam na direcção dos zz positivos e o termo z

O eV γ+− representa as ondas que se propagam na direcção contrária.

• Designando por + e – respectivamente as ondas incidentes (que se propagam no sentido z positivo) e as reflectidas (que se propagam no sentido z negativo) podemos escrever:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zIzIzI

zVzVzV−+

−+

+=+=

sendo 0

ZV

I+

+ = e 0

ZV

I−

− =



• As equações para a tensão e corrente ao longo da linha indicam que em qualquer ponto da linha a tensão e corrente são a resultante de duas ondas que se propagam em sentidos opostos.

• Os campos que existem numa linha de transmissão uniforme podem, em geral, ser considerados como a resultante de duas ondas progressivas.

o Uma onda incidente que transporta a potência em direcção ao terminal de carga da linha.

o A outra transporta potência na direcção oposta, afastando-se da carga, é chamada de onda reflectida. É uma fracção da onda incidente que é reflectida pela impedância da carga que termina a linha de transmissão.

• O coeficiente de reflexão de tensão é, por definição:

( ) ( )( )zVzV

zv +

−

=ρ

• Isto é, a razão entre a onda reflectida e a onda incidente num determinado ponto da linha de transmissão.



• No terminal da carga, estando a linha terminada pela impedância Z=ZL teremos:

( )( ) ll

ll

L eVeVeVeV

ZlIlV

Zγγ

γγ

−−+

−−+

−+

==0

o Sendo l o comprimento da linha.

• Fazendo ( ) l

l

l

v eVV

eVeV

l γ

γ

γ

ρ 2

+

−

−+

−

== e ( ) ρρ =lv teremos:

v

v

LZZ

ρρ

−+

=1

10

0

0

ZZ

ZZ

L

L

v +−

=ρ



• Tensão e corrente na linha em função do coeficiente de reflexão de tensão na carga e da distância à carga

o A figura mostra como a tensão e corrente pode ser expressa em função da distância à carga.

o As equações podem ser expressas em função da distância d (distância entre o ponto a analisar e a carga). Para tal basta usar a mudança de coordenadas d=l-z. Substituindo z por l-d, obtemos:

( ) ( )( ) ( )d

v

dl

d

v

dl

eeeZ

VdI

eeeVdVγγγ

γγγ

ρ

ρ−−

+

−−+

−=

+=

0



• A razão V/I em qualquer ponto da linha dá-nos a impedância do ponto quando olhamos na direcção da carga.

( ) ( )( )

( )( )

dd

dd

L

dd

dd

L

d

L

Ld

d

L

Ld

d

i

dl

d

v

dl

eeee

ZZ

eeee

ZZZ

eZZ

ZZe

eZZ

ZZe

Zeee

ZV

eeeV

dIdV

dZ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγγ

γγγ

ρ

ρ

−

−

−

−

−

−

−−+

−−+

+−

+

+−

+=

+−

+

+−

+=

+

+==

0

0

0

0

0

0

0

0

0

( ) ( )( )dtghZZ

dtghZZZdZ

L

L

γγ

++

=0

0

0

• Quando z’=l, o gerador vê uma impedância Zi:

( )ltghZZ

ltghZZZlZZ

L

L

zi γγ

++

== =

0

0

00

o Do ponto de vista do gerador a linha de transmissão terminada pode ser substituída por Zi. A tensão de entrada Vi e a corrente de entrada Ii são facilmente calculados a partir deste circuito.



• Circuito equivalente para uma linha de transmissão terminada aos terminais do gerador.

gig

ii V

ZZZ

V+

=

ig

gi ZZ

VI

+=

• Um caso particular de especial importância é quando a linha se encontra terminada com uma impedância igual à sua impedância característica (ZL=Z0).

• Neste caso a impedância vista em qualquer ponto da linha é igual a Z0 e o coeficiente de reflexão de tensão e de corrente são nulos.

( )

( ) ( )

( ) ( )dl

dl

iv

eZV

dI

eVdV

ZdZ

−−+

−−+

=

===

=

γ

γ

ρρ

0

0

0



• Linhas de transmissão como elementos de um circuito

o As linhas de transmissão podem não só ser utilizadas como estruturas para a transferência de potência e de informação de um ponto para outro. A frequências extremamente elevadas, acima de 300 MHz e comprimentos de onda inferiores a 1 m, podem também ser utilizadas como elementos do circuito.

o Nestas frequências os elementos dos circuitos são difíceis de fabricar. Podem-se utilizar secções de linhas de transmissão de modo a fornecerem impedâncias capacitivas ou indutivas e são utilizadas de modo a ser possível a adaptação de qualquer carga.

o O comprimento necessário à realização de tais linhas de transmissão como elementos de circuitos começa a ser realizável na banda UHF. A frequências mais baixas que 300 MHz as linhas necessárias tendem a ser demasiado longas e para frequências superiores a 3 GHz a dimensão física começa a ser demasiado pequena e começa a haver vantagem na utilização de guias de onda.



• Na maior parte dos casos os segmentos de linha de transmissão podem ser considerados sem perdas: γγ=jββ, Z0=R0 e tgh(γγl)=tgh(jββl)=jtg(ββl). A expressão para a impedância de entrada de uma linha sem perdas com comprimento l terminada com uma carga ZL será:

ltgjZR

ltgjRZRZ

L

L

i ββ

++

=0

0

0

• Linha aberta (ZL→→∞∞)

lgjRltg

jRXZ ioio β

βcot

0

0 −=−==

o A impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas terminada num circuito aberto é puramente reactiva.

o A linha pode, no entanto, ser capacitiva ou indutiva dependendo se a função cotg ββl tiver valores positivos ou negativos o que depende do valor de ββl (=2ππl/λλ).



• Linha em curto-circuito (ZL=0)

ltgjRXZ isis β0

==

o A impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas terminada num circuito aberto é puramente reactiva.

o A linha pode, no entanto, ser capacitiva ou indutiva dependendo se a função tg ββl tiver valores positivos ou negativos o que depende do valor de ββl (=2ππl/λλ).



• Linha com um quarto de onda (l=λλ/4)

o Quando o comprimento da linha é um múltiplo ímpar de λλ/4, l=(2n-1)λλ/4, (n=1,2,3,...)

( ) ( )2

12122 πλπ

β −=−= nnl ( ) ±∞→

−=

212

πβ ntgltg

L

i Z

RZ

2

0=

o Uma linha de transmissão com um quarto de comprimento de onda transforma a impedância da carga. Posso assim adaptar uma carga com impedância ZL a uma linha com impedância Z0 através de um transformador de um quarto de onda com impedância ZT.

LT ZZR0

=



• Linha com meia onda (l=λλ/2)

o Quando o comprimento da linha é um múltiplo de λλ/2, l=nλλ/2, (n=1,2,3,...)

πλ

λπ

β nn

l =

=

22

0=ltgβ

Li ZZ =

• Medindo-se a impedância de entrada de uma linha de transmissão em circuito aberto e em curto-circuito pode-se determinar a impedância característica e a constante de propagação da linha.

( )Ω= 0 isio

ZZZ

( )1-1 m 1

io

is

Z

Ztgh

l−=γ

• Interferência entre ondas progressivas

o Sempre que num sistema existam duas ondas de frequência idêntica e propagando-se em sentidos opostos, cria-se um fenómeno de interferência conhecido como onda estacionária.



o A amplitude da onda em vez de diminuir gradualmente e exponencialmente (como acontece num sistema de onda progressiva sem reflexões) apresenta máximos e mínimos a intervalos determinados pelo comprimento de onda das ondas individuais.

o Define-se Coeficiente de Onda Estacionária (VSWR-Voltage Standing-Wave Ratio) como:

minminI

I

V

VS máxmáx ==

v

v

VVVV

VV

VVS

ρρ

−+

=−

+=

−

+=

−

+

−

+

−+

−+

1

1

1

1

v

vSρρ

−+

=1

1 e

11

+−

=SS

vρ



Tensão ao longo de uma linha desadaptada

Coeficiente de reflexão de tensão

0

0

ZZ

ZZ

L

L

v +−

=ρ



Coeficiente de reflexão de corrente v

L

L

i ZZ

ZZρρ =

+−

=0

0

Coeficiente de transmissão de corrente i

L

i ZZ

Zρτ +

+= 1

2

0

0

Coeficiente de transmissão de tensão v

L

L

v ZZ

Zρτ +

+= 1

2

0

Coeficiente de onda estacionária

i

i

v

vSρρ

ρρ

−+

=−+

=1

1

1

1

Valor do coeficiente de reflexão 1

1+−

==SS

iv ρρ

• Expressão geral da onda estacionária

o A tensão numa linha em função do coeficiente de reflexão de tensão na carga e da distância à carga é dada por:



( ) ( )dj

v

djl eeeVdV γγγ ρ −−+ +=

fazendo:

φρρ j

vve=

p

veeeee vv

vv 2

1ln2

ln2ln2

1.2ln −

−

===== ρρρρρ e 2φ

−=q

( )jqp

v e +−= 2ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) djqpdjqpjqpldjqpdl eeeeeeVeeeeVdV γγγγγγ −+−++−+−+−+ +=+= ...2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) djjqpdjjqpjqpl eeeeeeVdV βαβαγ +−+−+++−+ += ..

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qdjpdqdjpdjqpl eeeeVdV +−+−++++−+ += βαβαγ

Sabendo que 2

coshθθ

θ−+

=ee

obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]qdjpdeeVdV jqpl +++= +−+ βαγ cosh.



Considerando que ( ) βαβαβα senjsenhj +=+ coscoshcosh obtemos para o módulo de V(d):

( ) ( ) ( ) ( ) 2122 cos qdpdsenheeVdV jqpl +++= +−+ βαγ

Atendendo a que ( )jqpleeV +−+ γ é uma constante, teremos:

( ) ( ) ( ) 2122 cos qdpdsenhKdV +++= βα

• Caso de linhas sem perdas

o Neste caso αα=0 e a equação transforma-se em:

( ) ( ) 2122 cos qdpsenhKdV ++= β

o Para valores fixos de ZL e Z0, senh2p é constante e um gráfico de |V(d)|2 é fácil de traçar, tendo a forma de um cos2αα somado com um valor constante e igual a senh2p.

o Na figura estão representadas envolventes de ondas estacionárias para três valores diferentes de coeficientes de reflexão: ρρv=0, ρρv=0,5(0o) e ρρv=1(180o).



Exemplos de envolventes de ondas estacionárias

• A envolvente de uma onda estacionária numa linha sem perdas é periódica, os máximos são idênticos e os mínimos são também idênticos.

• Os pontos de máximo e mínimo ocorrem nos pontos onde as ondas incidente e reflectida estão em fase e em oposição de fase.



• A distância entre máximos ou mínimos adjacentes é de meio comprimento de onda (λλ/2).

• Para valores de cos2(ββd+q)=1 temos um máximo para valores de cos2(ββd+q)=0 temos um mínimo.

o Os mínimos ocorrem nos pontos em que se verifique a relação ππ

β nqd +=+2min

, sendo

λπ

β2

= e φ21

−=q :

2441min nd

++=πφ

λ

o Os máximos ocorrem quando πβ nqd máx =+ :

24nd

máx +=πφ

λ

• Linha sem perdas com terminação resistiva

o Neste caso temos ZL=RL e Z0=R0 e o coeficiente de reflexão de tensão será:



0

0

RR

RR

L

L

v +−

=ρ

o O coeficiente de reflexão de tensão tem um valor real, sendo possíveis duas situações:

§ RL>R0, neste caso ρρ é positivo e real e φφ=0:

241min nd

+=λ

e 2nd máx =

λ

temos um máximo de tensão junto à carga.

§ RL<R0, neste caso ρρ é negativo e real e φφ=-ππ:

2min nd

=λ

e 24

1 nd máx +−=λ

temos um mínimo de tensão junto à carga.



Ondas estacionárias de tensão e de corrente de linhas sem perdas terminadas com cargas resistivas

• Linha sem perdas terminadas em circuito-aberto

o Neste caso o coeficiente de reflexão de tensão é igual a 1, o que faz que p=0 e q=0.

( ) ( )dKdV βcos1+=

teremos assim um máximo de tensão, igual a 2V+, junto à carga e um mínimo, igual a 0, λλ/4 depois.



• Linha sem perdas terminadas em curto-circuito o Neste caso o coeficiente de reflexão de tensão é igual a -1, o que faz que p=0 e q=-ππ/2.

( )

−+=

2cos1

πβdKdV

teremos assim um mínimo de tensão, igual a 0, junto à carga e um máximo, igual a 2V+, λλ/4 depois.

Ondas estacionárias de tensão e de corrente de linhas sem perdas terminadas em curto-circuito e em

circuito-aberto

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