Transmissão de impulsos em banda-base - paginas.fe.up.ptsam/Tele2/apontamentos/Detec_pto_central.pdf · Transmissão de impulsos em banda-base 2 Transmissão de impulsos através

Transmissão de impulsos em banda-base

2

Transmissão de impulsos através de um canal com ruído aditivo

2.1

Probabilidades de erro com detecção no ponto central

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 2

Detecção de sinais binários em ruído gaussiano

A detecção de sinais binários envolve dois passos:

Passo 1: reduzir a forma de onda recebida (banda-base ou passa-banda) a um número z(t=T) ⇒ Filtro linear + Amostrador

Passo 2: comparar a amostra z(T) com um nível limiar, γ, e decidir qual terá sido a forma de onda transmitida ⇒ Decisor

Passo 1 Passo 2

Filtro linearh(t) si(t) =

s0(t) ou s1(t)

1/T

Ruído AWGN n(t)

r(t) = si(t) + n(t)

Forma de onda binária

z(t) = ai(t) + n0(t)

z(T) = ai(T) + n0(T)

ˆ ( )is t

Decisor (comparador)

1

0

( )H

Hz T γ≷

O receptor óptimo consiste num correlacionador ou filtro adaptado a s1(t) - so(t)

v. a. gaussiana (porque h(t) é linear e n(t) é gaussiano)

⇒ z(T) é v. a. gaussiana

• Uma vez a forma de onda r(t) ter sido transformada num número, z(T), a forma dessa forma de onda deixa de ser importante: para efeitos de detecção, todas as formas de onda que se convertem no mesmo número z(T) são idênticas:

Decisão: 1

0

( )H

Hz T γ≷

• Na escolha do limiar de decisão γ teremos de ter em conta a estatística do ruído. Sendo gaussiano com média nula e variância σ2, a sua função densidade de probabilidade (fdp) é dada por

2

22

1( ) exp22

nnp nσπσ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

• ai(T) é a0(T) = a0 ou a1(T) = a1 ⇒ as fdps ficam centradas em a0 e a1.



Decisões rígidas e decisões brandas

A saída do decisor anterior é binária, 0 ou 1, consoante a decisão tomada. Mas podia não ser binária. De facto, podemos considerar três tipos de decisões possíveis:

• Decisões rígidas (“hard decisions”)

O valor decidido pertence a um conjunto binário de valores (0 ou 1,

Verdadeiro ou Falso, etc.).

• Decisões brandas quantizadas (“quantized soft decisions”)

O valor decidido pertence a um conjunto discreto (finito) de valores

possíveis. É vulgar usar oito valores.

• Decisões brandas não-quantizadas (“unquantized soft decisions”)

O valor decidido pertence ao conjunto dos números reais.

B A

-1 0 +1

1 0

000 001 010 011 100 101 110 111

Decisão rígida

Decisão branda (3 bits)

Decisão branda não-quantizada

0,4 0,75

As decisões brandas são convenientes se vierem a ser utilizadas por outros blocos ou dispositivos do sistema de comunicações, como no exemplo da página seguinte.



Decisões rígidas e decisões brandas

Moduladorbinário

antipodal

Desmoduladorcoerente

Canal AWGN DescodificadorCodificador

Forma de ondacom ruído

Forma de onda

0;1 0;1

Canal binário simétrico

Neste sistema de comunicações o “desmodulador coerente” entrega ao descodificador um valor binário.

Mas assim o desmodulador está a deitar fora alguma informação sobre o sinal recebido que pode ser útil ao descodificador.

• Por exemplo, quer o valor real 0,4 quer o valor real 0,75 correspondem à decisão binária “1”.

• Mas… qual dos dois valores nos inspira mais confiança sobre o bit gerado pela fonte?

0,4 ou 0,75?

Certamente que é 0,75: como está mais longe do limiar de decisão nulo temos mais certeza que a fonte produziu um bit “1”.

⇓

As decisões brandas contêm também o grau de confiança da decisão.


Estimações MAP e de máxima verosimilhança com decisões rígidas

• A função densidade de probabilidade condicional p(z|si) é denominada de verosimilhança de si.

Verosimilhança de s0

p(z|s0) Verosimilhança de s1

p(z|s1)

a1a0 γ0 za(T) z(T)

Critério MAP (“maximum a posteriori probability”):

1

0

1 0( | ) ( | )H

Hp s z p s z≷ critério MAP

• Se 1 0( | ) ( | )p s z p s z> escolhe-se a hipótese H1, caso contrário, escolhe-se a hipótese H0.

• Tendo em conta o teorema de Bayes obtemos

1

0

0 01 11

( | ) ( )( | ) ( )( | )( ) ( )

H

H

p z s p sp z s p sp s zp z p z

= ≷

⇒ 1

0

01

0 1

( )( | )( | ) ( )

H

H

p sp z sp z s p s

≷ (teste da razão de verosimilhanças)

Se as formas de onda s0(t) e s1(t) forem equiprováveis então

1

0

1 0( | ) ( | )H

Hp z s p z s≷ critério ML

É o critério de máxima verosimilhança, ou ML (“maximum likelihood”).


Estimação de máxima verosimilhança

• Na estimação MAP consideramos probabilidades a posteriori, isto é, probabilidades obtidas após observação da saída do canal.

• Na estimação ML consideramos probabilidades a priori (verosimilhanças), isto é, probabilidades já conhecidas antecipadamente.

• Se as formas de onda s0(t) e s1(t) forem equiprováveis os dois critérios de estimação são equivalentes, como se viu.

• Na estimação ML o limiar de decisão óptimo escolhido minimiza a probabilidade de erro.

• Se as formas de onda s0(t) e s1(t) forem equiprováveis e as verosimilhanças p(z|s0) e p(z|s1) forem simétricas o limiar de decisão óptimo é igual ao valor médio de a0 e a1. Ou seja,

1

0

0 10( )

2

H

H

a az T γ+=≷ γ0 – limiar óptimo

Isto significa que o decisor irá escolher a hipótese H1 ou H0 que corresponda ao sinal com a máxima verosimilhança p(z|si). Assim, se a saída do detector for za(T):

• escolhe-se s1(t) se 1 0( ( ) | ) ( ( ) | )a ap z T s p z T s>

• escolhe-se s0(t) se 1 0( ( ) | ) ( ( ) | )a ap z T s p z T s<



Detecção de impulsos com amostragem no ponto central

Vamos, para já, “esquecer” o filtro linear no receptor.

• Suponhamos que ao bit “1” corresponde um impulso de amplitude A1 e duração T e ao bit “0” corresponde um impulso de amplitude Ao e igual duração T.

T

A1

t

“1”

T

A0

t

“0”

• Os impulsos são afectados de ruído gaussiano branco aditivo, n(t), de média nula e variância σ2.

• Vamos admitir que os impulsos são equiprováveis, P0 = P1 = 1 2 .

Pretende-se determinar qual foi o impulso (ou bit) enviado. Uma maneira de o fazer é:

1. amostrar a forma de onda ruidosa )()( tnAtz i += no ponto central dos impulsos, isto é, nos instantes T/2, 3T/2, 5T/2, etc.

2. com base no valor da amostra obtida, decidir qual o bit enviado: se o valor da amostra for superior a um determinado limiar γ escolhemos o bit “1”, se for inferior a esse limiar escolhemos o bit “0”.

Ao ou A1 z(t) z(T/2)1/T

Decisor z(T/2) >< γ“1”

“0”

Ruído n(t)Limiar γ



• Como n(t) é uma variável aleatória gaussiana, z(t)=Ai+n(t) também o é.

• A média de z(t) é Ao ou A1 consoante a amplitude do impulso.

p(z|A0) p(z|A1)

A1A0 γ z(T)

Pe0

“1”Pe1

“0”

• Quando os bits são equiprováveis o limiar de decisão óptimo é o valor

intermédio γ =A0 + A1

2.

• A probabilidade de se cometer um erro de decisão caso se tenha enviado um “0” é a probabilidade de )|( 0Azp ser superior ao limiar, isto é,

Pe0 = p(z| A0 )dzγ

∞

∫ =1

2πσ 2e

−(z− A0 )2

2σ 2 dzγ

∞

∫

• Do mesmo modo

Pe1 = p(z| A1 )dz−∞

γ

∫ =1

2πσ 2e

−(z −A1)2

2σ 2 dz−∞

γ

∫ (= Pe0 )

• A probabilidade de erro (global) é dada por

Pe = P0 Pe0 + P1Pe1 = Pe0 (pois P0 = P1 = 1 2 e Pe0 = Pe1)



Probabilidade de erro na presença de ruído gaussiano

Desenvolvendo e fazendo a mudança de variável x =z − A0

σ:

Pe = Pe0 =1

2πσ2e

−(z− A0)2

2σ 2 dzγ

∞

∫ =12π

e −x2 2dxγ −A0

σ

∞

∫

Como γ =A0 + A1

2:

Pe =12π

e−x2 2dx( A1−A0 ) 2σ

∞

∫ = Q( A1 − A02σ

)

• Como se vê, a probabilidade de erro apenas depende da diferença das amplitudes dos impulsos, ∆V = A1 − A0 , e do valor eficaz (ou desvio padrão) do ruído gaussiano, σ:

Pe = Q( A1 − A02σ

) =

= Q ∆V2σ

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

• A função Q (ver à frente) é uma função decrescente; logo, quanto maior for a diferença de amplitudes dos impulsos binários ou quanto menor for a potência do ruído, menor será a probabilidade de erro na detecção dos impulsos.

• A função densidade de probabilidade gaussiana de média X e variância σ2 é designada por N( X , σ2).



A função Q

• Considere-se uma variável aleatória gaussiana normalizada X de média nula e variância unitária. A probabilidade de a variável aleatória ultrapassar o valor x é dada pela função Q:

∫∞

−==>x

dexQxXP λπ

λ 22

21)()(

• Esta probabilidade é igual à área sob a cauda da fdp gaussiana normalizada.

0 λ x

N(0,1)px(λ)

( ) ( )

( )x

x

F x P X x

p dλ λ−∞

= ≤ =

= ∫ (área)

( ) ( ) 1 ( )Q x P X x F x= > = −(distribuição cumulativa)

• A função Q(x) está relacionada com a função de erro erf(x) e com a função de erro complementar erfc(x) através de

Q(x ) =12

erfc( x2

) erfc(x ) = 1 − erf (x ) =2π

e−λ2dλ

x

∞

∫

erfc(x ) = 2Q( 2x )

1 1

1

( ) 2 (1 2 )

2 (2 )

Q y erf y

erfc y

− −

−

= − =

=

• Todas estas funções se encontram tabuladas em diversos livros ou podem ser calculadas em computador.



A função Q

Q(x ) =12π

e−λ2 2dλx

∞

∫

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10 -7

10 -6

10 -5

10 -4

10 -3

10 -2

10 -1

10 0

x

Q(x

)

Hoje em dia já não precisamos de consultar tabelas com as funções de erro ou com a função Q pois existem programas de computador que as calculam. Por exemplo, em Matlab experimente as funções erf, erfc e erfinv ou defina Q(x) como 1–normcdf(x) se dispuser da “Statistics Toolbox”.



Casos particulares: sinalização unipolar e polar

1. Sinalização unipolar

T

A

t2T 3T0

• Potência média do sinal: S =A2

2=

∆V2

2

• Potência normalizada do ruído: N = σ2

Logo: 1

2 2eV SP Q Q

Nσ⎛ ⎞∆⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. Sinalização polar

T

A/2

t2T-A/2

• Potência média do sinal: 2 2

2 4A VS ∆⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Potência normalizada do ruído: 2N σ=

Logo: 2e

V SP Q QNσ

⎛ ⎞∆⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

As probabilidades de erro são iguais mas com sinalização unipolar é

preciso o dobro da potência do sinal.



Sinalização multinível

Consideremos M níveis igualmente espaçados de ∆V volts e ruído com variância σ2:

t

V3

V2

V1

V0

∆V

Em termos de funções densidade de probabilidade passamos a ter a figura seguinte:

p(z|Vo)

vVo=-3∆V/2 V1=-∆V/2 V2=∆V/2 V3=3∆V/2

p(z|V1) p(z|V2) p(z|V3)

0

Pe1 Pe3

Seja Pe – probabilidade de erro com 2 níveis binários PeM – probabilidade de erro com M níveis

• Cada um dos dois símbolos “exteriores” contribui com uma probabilidade de erro Pe.

• Cada um dos M-2 símbolos “interiores” contribui com uma probabilidade de erro dupla, 2Pe.

• Com símbolos equiprováveis:

PeM =M − 2

M.2Pe +

2M

Pe =2(M −1)

MPe =

2(M − 1)M

Q ∆V2σ

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟



Sinalização multinível: um exemplo

P.: Um sistema de sinalização em banda-base, de quatro níveis equiprováveis, utiliza impulsos rectangulares NRZ. A atenuação entre emissor e receptor é 15dB e a potência do ruído na entrada a 50Ω de um detector ideal com decisão no ponto central é 10µW. Qual é a potência média do sinal transmitido para que a probabilidade de símbolo errado seja 10-4?

R.: O desvio padrão da tensão de ruído no receptor é igual ao valor eficaz (rms) da tensão de ruído (pois este tem média nula):

σ = PR = 1 ×10−5 × 50 = 2,236 ×10−2 (V )

Resolvendo a equação 2( 1)2eM

M VP QM σ

− ∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

em ordem a ∆V :

∆V = 2σQ−1 M2(M −1)

PeM⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ = 2 × 2,236 × 10−2Q−1 4

6×10−4⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 0,171(V )

⇒ no receptor os níveis dos impulsos são ±85,5mV e ±256mV.

• Potência dos impulsos no receptor:

0,08552 50 = 1,46 × 10−4W (dois dos impulsos)

0,2562 50 = 1,31 ×10−3W (dois dos impulsos)

• Potência recebida média (com símbolos equiprováveis):

SR =12

0,146 + 1,31( ).10−3 = 0,728mW

• ⇒ Potência transmitida:

15 1010 0,728 31,62 23T RP S mW= × = × = (13,6dBm)



Sinalização multinível: o caso dos códigos AMI

• No código AMI temos três níveis, 0 e ±∆V , não equiprováveis:

P(“−∆V ”) = P(“∆V”) =14

e P(“0”) =12

• Suponhamos que o ruído AWGN tem variância σ2 e que f0 (z) e f1(z) são as fdps gaussianas associadas aos níveis 0 e ∆V .

• Dada a simetria das fdps os limiares são simétricos: ±γ .

• Probabilidade de erro:

Pe =14

.2 f1(z)dz−∞

γ∫ +

12

.2 f0(z)dzγ

∞∫ =

12

f1(z)dz−∞

γ∫ + 1 − f 0(z)dz

−∞

γ∫

Fazendo as necessárias mudanças de variável chega-se a

Pe =12

1 − Q γ − ∆Vσ

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + Q γ

σ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

12

Q ∆V − γσ

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + Q γ

σ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

• Os limiares óptimos obtêm-se igualando a derivada de Pe a zero:

0edPdγ

= ⇒ γopt ⇒ f1(γopt )f0 (γopt )

= 2

γ opt =∆V2 + 2σ 2 ln2

2∆V=

∆V2

+σ2

∆Vln 2

• A probabilidade de erro mínima é obtida com estes limiares:

Pemin

=12

Q ∆V2σ

−σ

∆Vln2⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + Q ∆V

2σ+

σ∆V

ln 2⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

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