Transmissão de impulsos em banda-basepaginas.fe.up.pt/~sam/Tele2/apontamentos/Pulse_shaping.pdf · Impulsos de cosseno elevado . ... Uma representação gráfica útil do sinal que

Transmissão de impulsos em banda-base

3

Formatação de impulsos para cancelamento da interferência

intersimbólica

3.1

O critério de Nyquist. O espectro dobrado. Impulsos de cosseno elevado

Interferência intersimbólica

A largura de banda dos canais de comunicação (linha telefónica, cabo coaxial, etc.) é limitada e leva a que impulsos transmitidos sucessivamente a uma cadência análoga à da largura de banda acabem por se sobrepor aos impulsos adjacentes, dificultando a identificação de cada um no receptor.

Esta interferência intersimbólica (ISI, “intersymbol interference”) é tanto maior quanto menor for a largura de banda do canal.

T t

1

T t

1

T t 2T 3T

Instantes de amostragem

ISI

T t2T 3T

1 1 0 1

Sinal transmitido (antes do canal)

Sinal recebido (depois do canal)

Modos de combater a interferência intersimbólica

• com impulsos com a forma adequada.

• usando a técnica de resposta parcial, que introduz uma quantidade controlada de ISI.

• com uma boa escolha do código de linha (um que ocupe “pouca” largura de banda)

• com um igualizador adaptativo no receptor.

A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 2


Diagrama de olho

Uma representação gráfica útil do sinal que permite uma avaliação qualitativa imediata da interferência intersimbólica é o diagrama de olho.

O diagrama de olho obtém-se, no osciloscópio ou no computador, sobrepondo vários impulsos no mesmo intervalo de tempo.

A – intervalo de tempo de amostragem

B – margem de decisão sobre o ruído

C – distorção dos cruzamentos por zero

D – declive (sensibilidade ao erro de temporização)

E – distorção máxima

• Quanto mais aberta for a abertura vertical do olho menor é a interferência intersimbólica.

• Quanto mais aberta for a abertura horizontal do olho maior é a imunidade do receptor à fase de amostragem e ao “jitter” de temporização.


Mais diagramas de olho

30-9-04 http://www.elecdesign.com/Articles/

30-9-04 http://owl.enel.ucalgary.ca/Labs/Enel571/Laboratories/

2B1Q ASK de 4 níveis 30-9-04 http://www.xcad.com/xcad/dsl.html 30-9-04 http://www.ee.ic.ac.uk/optical/Optics.html



Impulsos com esta forma não provocam ISI:


Interferência intersimbólica e igualização

O canal com esta resposta impulsional introduz ISI:

-1 0 1 2 3 t/Tb

h(t)Resposta impulsional

do canal

-2

A ISI pode ser reduzida com um igualizador adaptativo:

Igualizador

T T T…

c0 c1 c2 cN-1

Decisor

Gerador de sequência de

treino

+-

Sinal recebido

Erro

Este é o efeito do igualizador adaptativo (eliminou a ISI):

Resposta impulsional conjunta

canal-igualizador

3 4 5 6 7 t/Tb 2

Este igualizador introduziu um atraso (arbitrário) de 4Tb.


Interferência intersimbólica e igualização

Antes da igualização

Depois da igualização


Interferência intersimbólica e forma dos impulsos

Na modulação discreta de impulsos a amplitude (PAM), duração (PDM) e posição (PPM) dos impulsos transmitidos varia de acordo com a sequência de dados a transmitir. Em banda-base a modulação discreta mais eficiente é PAM (em termos de utilização de potência e largura de banda) pelo que nos vamos restringir a PAM no que se segue.

Uma sequência de bits {bk} é gerada por uma fonte e aplicada ao sistema da figura.

Ruído brancogaussiano w(t)

hR(t)hT(t)

ModuladorPAM

Filtro doemissor Canal Filtro

receptor Decisor

{bk}={0, 1} {ak}={±1}

c(t)

+

+

s(t) x(t) y(t) y(ti)

Duração de bk: Tb

ti=iTb1 se y(ti)>λ0 se y(ti)<λ

• Saída do emissor: s(t ) = akhT (t −kTb )k=−∞

∞

∑

hT(t) é a resposta impulsional do filtro do emissor.

• Saída do canal: x(t) = akhc (t − kTb )k=−∞

∞

∑ + w(t) (hc (t) = hT (t)∗ c( t))

• Saída do filtro receptor: y(t) = µ ak p( t − kTb )k=−∞

∞

∑ +n(t)

• p(t) — impulso a definir. Vamos normalizá-lo: p(0) =1.

• µ — factor de escala que reflecte o ganho do sistema.

• Deveria ter-se incluído um tempo de atraso mas fez-se td = 0.


Interferência intersimbólica e forma dos impulsos

• O impulso p(t) é o resultado de uma dupla convolução:

µp( t) = hT ( t)∗ c(t)∗ hR(t)

• Nas frequências temos:

µP( f ) = HT ( f )C( f )HR( f )

Amostrando o sinal y(t) nos instantes ti = iTb :

y(ti ) = µ ak p ( i −k )Tb[ ]k=−∞

∞

∑ + n(ti ) =

= µai p(0)1

Símboloa recuperar

+ µ ak p (i − k)Tb[ ]

k=−∞k≠i

∞

∑


+ n(ti )Ruído

• Sem ruído nem ISI (situação ideal): y(ti ) = µai .

• Ruído e ISI provocam erros no dispositivo de decisão.

• Admitindo que a relação sinal-ruído é elevada, todos os erros são causados pela interferência intersimbólica ⇒ vamos ignorar n . (ti )

Qual é a forma dos impulsos p(t) para a qual a ISI é completamente eliminada?

Como a função de transferência do canal e a forma do impulso

transmitido são especificadas, o que precisamos é de

determinar as funções de transferência dos filtros do emissor e

do receptor.


A forma dos impulsos e o critério de Nyquist

Para que não haja ISI é necessário que em cada instante de amostragem ti o sinal p(t) tenha cruzamentos por zero nos múltiplos inteiros não nulos de Tb, isto é, que

p ( i −k )Tb[ ] =1 i = k0 i ≠ k

(*)

Nesse caso, e se não houver ruído, y(ti ) = µai em todos os instantes de amostragem.

A equação (*) é o chamado critério de Nyquist e assegura a recepção perfeita na ausência de ruído.

A amostragem no domínio dos tempos (antes do decisor) produz periodicidade no domínio das frequências. Logo, sendo { } ,

, uma sequência de amostras a sua transformada de Fourier é

p(nTb )n = 0,±1,±2,…

Pδ ( , f ) = Rb P( f − mRb )m=−∞

∞

∑ Rb = 1Tb

É a transformada de Fourier de p(t) e suas réplicas deslocadas.

Mas como a sequência de amostras representa uma sequência de impulsos de Dirac espaçados de Tb segundos,

p(nTb ){ }

n p(nTb )δ(t − nTb )

=−∞

∞

∑

então também, por definição de transformada de Fourier,

Pδ ( f ) = p(nTb )δ( t − nTb )[ ]n=−∞

∞

∑ e− j2πftdt−∞

∞

∫

Se p(t) satisfizer o critério de Nyquist (com n = i −k ) então

Pδ ( f ) = p(0)δ(t)e− j2πft dt−∞

∞

∫ = p(0) =1



O espectro dobrado

Portanto, para que não haja interferência intersimbólica nos instantes de amostragem a transformada de Fourier de p(t) , P(f), deve satisfazer

Pδ ( f ) = Rb P( f − mRb )

m=−∞

∞

∑ =1

ou

∑ (para qualquer f) (**) ( )b bm

P f mR T const∞

=−∞

− = = .

.

ou ainda

( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )b b b b bP f P f R P f R P f R P f R T const+ − + + + − + + + = =…

• Não esquecer que P( f ) se refere ao conjunto “emissor + canal + receptor”, pois µ f ) = H . P( T ( f )C( f )HR( f )

• A equação (**) é a expressão do critério de Nyquist no domínio das frequências.

• Como, para qualquer P( f ) , o espectro é uma função periódica em f com período 1/T

( )P fδ

b, sem perda de generalidade podemos confinar a nossa consideração desta função ao intervalo

b – o chamado intervalo de Nyquist. [ ]1 2 ;1 2 bT T−

• Ao espectro Pδ ( f ) =1 ou a dá-se o nome de

espectro dobrado.

P( f − mRb )m=−∞

∞

∑ = Tb

A “dobra” ocorre na frequência 12 bT

.



Espectro dobrado

f1/Tb

P(f)

1/2Tb-1/2Tb-1/Tb

Espectro do impulso p(t)

A dobra do espectro ocorre em 1

2Tb:

P(f-1/Tb)P(f+1/Tb)

f1/Tb1/2Tb-1/2Tb-1/Tb

P(f)

Espectro dobrado

1/2Tb f

Pδ(f) Espectrodobradoideal

a)

1/2Tb f

Pδ(f) Espectrodobradocom vale

b)

1/2Tb f

Pδ(f) Espectrodobradocom zero

c) Vários espectros dobrados



. . .

-Rb

P(f) P(f-Rb)P(f+Rb)

Rb-WW

Isto não pode acontecer se desejarmos ISI nula. Tem de haver sobreposição.

f Rb Rb+W 0

. . .

Para que a interferência intersimbólica seja nula no decisor os impulsos devem obedecer às duas condições seguintes, que decorrem

do critério de Nyquist : P( f − mRb )m=−∞∑ = Tb

∞

1. Se se transmitirem impulsos com um débito binário de Rb símbolos/s por um canal passa-baixo rectangular este deve ter

uma largura de banda de, pelo menos, W = Rb2

=2Tb

1 hertz.

Porquê? Porque se 2bRW não há sobreposição de com

e o somatório deixa de ser constante.

<

m

∞

=−∑

( )P f

( bP f mR± ) )

1

( bP f mR∞

−

2. (Teorema da simetria vestigial) A função de transferência do canal de comunicações deve possuir simetria ímpar em relação à

frequência W =2Tb

Hz.

Exemplos de impulsos que satisfazem estas condições:

• Impulso de seno cardinal

Ocupa a largura de banda mínima mas é irrealizável!

• Impulso de cosseno elevado com factor de“roll-off”.

É o mais usado.


O impulso de seno cardinal e o canal ideal de Nyquist

A maneira mais simples de satisfazer (**) é considerar a função rectangular nas frequências

W f -W

1/2W P(f)

11( ) 2

2 2 0

W f WfP f rect WW W f W

− < < = = >

em que W = Rb2

= 12Tb

para que P( f ) , P( f ± Rb ) , P( f ± 2 Rb )

b

, etc., não

se sobreponham e a sua soma dê um valor constante, T .

• Rb = 2W — taxa de Nyquist

• W — largura de banda de Nyquist

• Nos tempos: sen2( ) sinc2 sinc

2 b

Wt tp t WtWt Tπ= = =

π

Mas isto é um seno cardinal!

• O sistema de transmissão caracterizado por um seno cardinal (nos tempos) ou por um impulso rectangular (nas frequências) chama-se canal ideal de Nyquist.

• O impulso p(t) pode ser encarado como a resposta impulsional de

um filtro passa-baixo ideal com resposta em amplitude 1

2W e

largura de banda W.


O impulso de seno cardinal e o canal ideal de Nyquist

Nas frequências

0 1/2Tb

Tb

f-1/2Tb

P(f)

Nos tempos

-1 0 1 2 3

-0.5

0.5

1

t/Tb

p(t) sen( ) sinc bb

b

t Tp t t Tt Tπ

π= =

• Duas dificuldades com o canal ideal de Nyquist:

1. O espectro de amplitude P(f) deve ser constante de -W a W e nulo fora desse intervalo ⇒ irrealizável!

2. A função p(t) decresce com 1

| |t para | elevado, isto é, as

caudas do seno cardinal decaem devagar ⇒ seria preciso extrema precisão nos instantes de amostragem.

|t

• Solução alternativa: o impulso de cosseno elevado (com 1

2Tb≤ W ≤

Tb

1)


Outros impulsos satisfazendo o critério de Nyquist

Nos tempos

0 Tb /2

1

t- Tb /2

p(t)

Nas frequências

0

1/Tb

f

P(f) ( ) sincb bP f T fT=

1/2Tb

Tb

Tb/2

-1/Tb

Estes impulsos também não introduzem ISI (pois não?):

Nas frequências

0 1/2Tb

Tb

f -1/2Tb

P(f)

1/Tb -1/Tb

Tb/2

0 1/2Tb

Tb

f

-1/2Tb

P(f)

1/Tb -1/Tb

Tb/2



O impulso de cosseno elevado

• Nos tempos:

p(t) = sinc tTb

cosαπ t Tb1 −4α 2t2 Tb

2 (α — factor de “roll-off”)

-3Tb -2Tb -Tb 0 Tb 2Tb 3Tb

0.5

1

t

α=0

α=0,5α=1

Tb/2

p(t)

• Nas frequências:

P( f ) =

Tb 0 ≤ f ≤ 1 − α2Tb

Tb2

1 − sen πTbα

f − 12Tb

1 −α2Tb

≤ f ≤ 1 +α2Tb

0 f > 1 +α2Tb

α=0α=0,5

α=1

0 1/2Tb

Tb/2

Tb

f-1/2Tb 1/Tb-1/Tb

P(f)

• Largura de banda ocupada: B = 12Tb

(1 +α )


O problema dos erros de temporização com o impulso de seno cardinal

Os impulsos de senos cardinais são pouco resistentes aos erros de temporização. Estes provocam “overshoots” de valores eventualmente elevados (teoricamente até podem ter valor infinito) que originam interferência intersimbólica.

Os “overshoots” podem produzir valores pico-a-pico do sinal

desnecessariamente elevados (só os instantes de amostragem nos

interessam e afinal os picos ocorrem “fora” deles).

Suponhamos que existe um erro de temporização t∆ : em vez de a amostragem no receptor se fazer no instante t faz-se no instante

. O que acontece? it=

ttt i ∆+=

Para simplificar vamos supor que t e que não existe ruído. Então no instante

0=i a entrada do decisor vale: t∆

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−∆µ=−∆µ=∆

k b

bk

kbk T

kTtakTtpaty sinc)()(

Utilizando a expressão do seno da soma de dois ângulos (sen ) obtemos: bababa sencoscossen)( +=+

( ) ( )∑∞

≠−∞=

−∆−

∆+∆=∆

0

0)1(

sinc)(

kk b

kk

bb kTta

TtsenTtaty ππµµ

A série pode divergir (isto é, o somatório pode ser muito elevado), provocando decisões erradas no receptor devidas a ISI!


Erro de temporização com senos cardinais

Exemplo com uma sequência de senos cardinais de amplitudes {1, 1, -1, 1}

0 1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

1.5 1 1 -1 1

t/T

“Overshoot”

Sequência binária:

Neste exemplo o sinal resultante da soma dos vários impulsos de

Nyquist atinge um pico superior a 1,5, ou seja, superior ao valor

“desejado” (+1) em mais de 50%.

Com outras sequências binárias a interferência intersimbólica nos

instantes poderá ser menor mas… também poderá ser muito

maior!

ttt i ∆+=


O receptor óptimo com ruído e ISI

Consideremos o diagrama de blocos habitual:

Ruído brancogaussiano w(t)

hR(t)hT(t)

ModuladorPAM

Filtro doemissor Canal Filtro

receptor Decisor

{bk}={0, 1} {ak}={±1}

c(t)

+

+

s(t) x(t) y(t) y(ti)

Duração de bk: Tb

ti=iTb1 se y(ti)>λ0 se y(ti)<λ

• Vimos já que na presença de ruído AWGN e sem interferência intersimbólica (ISI) o receptor óptimo é constituído por um filtro adaptado aos impulsos recebidos.

• Vimos também que sem ruído e apenas com ISI o filtro global (emissor/receptor) deve formatar os impulsos como cossenos elevados ou como impulsos de resposta parcial.

• E se houver ruído e ISI ao mesmo tempo?

A resposta é mais complexa e resume-se no que se segue (ver Haykin, 4ª edição). Nesse caso o receptor óptimo é aquele cuja função de transferência é

2)(

)()(

0NfSfH

fch

C+

=∗

H R

em que:

• ∑ +=k

bCb

h TkfHT

fS c2)(1)( representa a densidade espectral

de potência da sequência de valores { } . )( bc kTh

• (pois ) )()()( fCfHfH TC = )()()( tcthth Tc ∗=

• 20N é a densidade espectral de potência do ruído gaussiano.



A resposta em frequência do filtro linear óptimo

2)(

)()(

0NfSfH

fch

C+

=∗

H R

é periódica com período T , dada a periodicidade de . b )( fS ch

Esta resposta pode ser interpretada como a ligação em cascata de

dois componentes:

1. um filtro adaptado de resposta impulsional . )( thc −

2. um filtro (igualizador) transversal cuja resposta em frequência é o

inverso de 2)( 0NfSh +c .

)( fHC∗

2)(1

0NfS ch +hc(-t)

Receptor óptimo

Filtro adaptado Igualizador transversal

Para realizar rigorosamente o igualizador teria de ter um

número infinito de coeficientes. Na prática usa-se um número finito

(suficientemente grande) de coeficientes.

)( fH R




• Em determinadas aplicações o canal de comunicação tem

características variáveis.

Na transmissão telefónica, por exemplo, o canal é diferente de

assinante para assinante.

• As características do canal poderão até ser variáveis no tempo.

É o caso das transmissões de rádio, incluindo as comunicações

móveis.

Isto significa que um filtro transversal com coeficientes fixos não é o

melhor nestas situações.

• O que de facto se usa hoje em dia, invariavelmente, é um

igualizador adaptativo.

Trata-se de um igualizador cujos coeficientes

variam no tempo

de acordo com um determinado

algoritmo de aprendizagem

cujo objectivo é

minimizar o valor quadrático de um certo erro

(designado em inglês por “mean square error”, ou MSE).

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