Lista 1 – Vibrações Mecânicas

1) Uma montagem roda, pneu e suspensão de um veículo pode ser modelada grosseiramente como um sistema

massa-mola de um grau de liberdade. A massa da montagem é aproximadamente 30Kg. Foi observado que sua

freqüência de oscilação é de 10Hz. Qual é a rigidez aproximada da montagem da suspensão?

2) Considere uma pequena mola com 30mm de comprimento, uma de suas extremidades está soldada a uma

mesa fixa, a outra extremidade está soldada a um parafuso e está livre para mover. A massa do sistema é

aproximadamente 0,0492Kg. Sabendo que a rigidez da mola é 857,8N/m, calcule a máxima amplitude da

resposta se a mola é inicialmente deslocada de 10 mm.

3) Um pêndulo em Bruxelas (g=9,81m/s²) oscila com um período de 3 segundos. Calcule o comprimento do

pendulo. Em outro local, um pêndulo de 2m de comprimento oscila com um período de 2,839 segundos, qual é

a aceleração da gravidade nesse local?

4) Massa e mola são usualmente medidas de forma direta. Contudo, existem certas circunstâncias em que o

procedimento direto não pode ser aplicado. Nesses casos medidas de freqüência de oscilação, antes e depois de

uma massa conhecida ser adicionada ao sistema, podem ser utilizadas para determinar a massa e a rigidez do

sistema original. Suponha que a freqüência de oscilação na figura 1.33(a) seja de 2rad/s e a freqüência da figura

1.33(b) com uma massa adicional de 1kg seja de 1rad/s, Calcule m e k.

5) Uma massa de 0,5Kg é conectada a uma mola linear de rigidez de 0,1N/m. Determine a freqüência natural em

Hz. Repita o cálculo para uma massa de 50 Kg e uma rigidez de 10N/m e compare os resultados.

6) Um automóvel é modelado como uma massa de 1000Kg suportada por uma mola de rigidez de 400000N/m.

Quando ele oscila, o máximo deslocamento é de 10cm. Quando ocupado com passageiros, a massa passa a ser

1300Kg. Calcule a mudança de freqüência, amplitude de velocidade e amplitude de aceleração se o

deslocamento máximo de oscilação permanece em 10cm.

7) Um automóvel apresenta uma oscilação vertical com amplitude máxima de 5cm e máxima aceleração de 2000

cm/s². Assumindo que o automóvel possa ser modelado como um sistema livre de um grau de liberdade na

direção vertical, calcule a freqüência natural do automóvel.

8) Calcule a freqüência natural e o coeficiente de amortecimento para o sistema da figura P1.72 dados os valores

m=10Kg,c=100Kg/s, K1=4000M/m, k2=200N/m e K3=1000N/m. Despreze o atrito de fricção nos rolamentos. O

sistema é sub,super ou criticamente amortecido?

9) Um sistema massa-mola-amortecedor possui 100Kg, rigidez de 3000N/m e amortecimento de 300kg/s. Calcule o

coeficiente de amortecimento e a freqüência natural amortecida. O sistema oscilará livremente?

10) Considere um sistema massa-mola com 10kg e 1000N/m. Especifique o valor do amortecedor para que a

freqüência de oscilação livre passe para 9 rad/s.

11) Em um teste de vibração, um acelerômetro mediu uma aceleração máxima de 14,5 m/s² e um osciloscópio

mediu o período da vibração em 16,6 ms. Determinar a amplitude da vibração, assumindo movimento

harmônico.

12) Durante um teste, a velocidade máxima e a aceleração máxima da vibração de uma máquina foram medidas

como vmáx = 0,01 m/s e amáx = 0,2 g. Assumindo que ocorre um movimento harmônico, determinar a

freqüência da vibração.

13) Para localizar a fonte de uma vibração, foram medidas suas amplitude e velocidade máxima, sendo iguais a

xmáx= 0,002 m e vmáx = 0,75 m/s. Existem duas máquinas operando no mesmo setor: uma a 3580 rpm e outra

a 1720 rpm. A vibração medida é compatível com uma destas duas máquinas? Justifique.

14) O comprimento de um pêndulo é l = 0,5m mas devido a defeitos de fabricação o mesmo pode variar 3 % (para

mais e para menos). Determinar qual será a variação correspondente no seu período de oscilação(desprezar a

massa do pêndulo).

15) Quatro passageiros com massa total igual a 250kg comprimem 4.00 cm as molas de um carro com

amortecedores gastos. Modele o carro e os passageiros como um único corpo sobre uma única mola ideal.

Sabendo que o período da oscilação do carro com os passageiros é igual a 1,08 s, qual é o período da oscilação

do carro vazio?

16) A figura esquemática é de um canhão. Quando a arma é disparada, gases a alta pressão aceleram o projétil

dentro do tubo até o mesmo atingir uma alta velocidade. A conservação da quantidade de movimento faz com

que o corpo do canhão se mova em sentido oposto ao do projétil. Para retornar o corpo do canhão a sua

posição de equilíbrio no menor tempo possível e sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor no

mecanismo de recuo. No caso particular, o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de

500 kg com uma mola de rigidez 10.000 N/m. Determinar:

a) O valor do amortecedor (em kg/s)

b) Calcule a velocidade inicial de retorno do canhão após o disparo sabendo que o recuo é de 0,4metro e a

equação do movimento do canhão após o disparo é ( ) tnetvxtx ω−+= 00)( onde x é a posição do canhão

medida em relação à posição de equilíbrio, 0x e 0v são respectivamente a posição inicial(nesse caso nula) e

a velocidade inicial(incógnita a ser encontrada), nω é a freqüência natural do sistema e t é o tempo

decorrido após o disparo.

17) Um isolador de choque é projetado para uma máquina de massa “m” igual a 200 kg (vide figura). Quando a

massa é submetida a uma velocidade inicial devido a uma perturbação, a curva resultante do deslocamento da

vibração livre é como a mostrada na figura. Determinar a constante de rigidez “k” e o amortecimento “c”

necessário para o isolador se o período de vibração amortecida é 2 segundos e, em um ciclo, a amplitude deve

ser reduzida para 16

1de seu valor, ou seja,

161

2x

x = .

18) Considere um sistema composto por uma massa “m” de 20kg e duas molas de rigidez 1k e 2k , quando as molas

são montadas conforme a figura (a) o sistema oscila livremente na vertical com 0,975Hz; na configuração da

figura (b) o sistema oscila livremente na vertical com 2,25Hz. Calcule os valores das rigidez das molas.

19) Considere que o conjunto de suspensão de um microônibus possa ser modelado como um sistema massa-mola-

amortecedor de 1 grau de liberdade. A massa do microônibus é 2 toneladas e sob seu próprio peso a suspensão

deflete 40mm.

a) Especifique o valor do amortecedor para que vazio o microônibus seja criticamente amortecido.

b) Considerando que cada passageiro possua uma massa média de 75 kg, escreva uma expressão que relacione a

razão de amortecimento com o número “N” de passageiros.

c) Calcule a razão de amortecimento quando o microônibus está ocupado por 20 passageiros.

20) O modelo de oscilação livre de um sistema de um grau de liberdade é representado pela seguinte equação:

Calcule o fator de amortecimento desse sistema e diga se o mesmo é subamortecido, criticamente amortecido

ou superamortecido.

Dados:

c=200Kg/s

l=15cm

m=600g

J=0,005kg.m²

K=1000N/m

21) O gráfico seguinte mostra a resposta livre de um sistema massa-mola-amortecedor. Estime a frequência natural

amortecida, o fator de amortecimento e a freqüência natural do sistema.

22) A figura mostra o desenho esquemático de uma mola helicoidal de compressão típica utilizada em suspensões

automotivas. A constante elástica K (em N/m) dessa mola é calculada pela expressão:

ND

GdK 3

4

8= ; onde:

d é diâmetro do fio(m)

G é o módulo de elasticidade transversal do material(Pa)

D é o diâmetro médio da mola(m)

N é o número de espiras(adimensional)

Para rebaixar um veículo, foi feita a retirada (corte) de espiras de suas molas. Deseja-se que o carro rebaixado

tenha o mesmo fator de amortecimento do carro original. Com base no apresentado e considerando que a

constante do amortecedor(kg/s) é proporcional à viscosidade do fluido, responda e justifique apresentando

fórmulas: o que deve ser feito com o fluido do amortecedor no carro rebaixado (manter o mesmo fluido no

amortecedor, trocar o fluido do amortecedor por um menos viscoso ou trocar o fluido do amortecedor por um

mais viscoso)?

23) Indique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira(V) ou falsa(F):

( ) Durante a oscilação livre, a amplitude de um sistema não amortecido não mudará ao longo do tempo. ( ) Um sistema que vibra no ar pode ser considerado um sistema amortecido. ( ) O princípio da conservação de energia pode ser usado na obtenção da equação de movimento de sistemas de um grau de liberdade tanto amortecidos quanto não amortecidos. ( ) A equação de movimento livre de um sistema massa-mola com um grau de liberdade será a mesma quer esse esteja em um plano horizontal ou em um plano inclinado.

( ) Em alguns casos, a frequência natural amortecida pode ser maior que a frequência natural não amortecida. ( ) Para se aumentar a frequência natural amortecida de um sistema massa-mola-amortecedor, pode-se adicionar uma mola associada em série no mesmo. ( ) Para um sistema de um grau de liberdade, conhecendo-se apenas o valor do decremento logarítmico é possível determinar o fator de amortecimento de um sistema. ( ) Um sistema de um grau de liberdade e criticamente amortecido, quando oscila livremente apresenta um movimento periódico com período igual a 1 segundo. ( ) Para um sistema de um grau de liberdade, quanto maior o valor do fator de amortecimento maior é a dissipação de energia e consequentemente ele precisa de menos tempo para voltar ao repouso. ( ) O movimento de oscilação livre de um sistema massa-mola é um movimento harmônico cuja amplitude de deslocamento e ângulo de fase dependem dos valores da massa e da rigidez da mola e também da posição inicial e velocidade inicial do sistema.

24) Durante parte do Campeonato Mundial de Fórmula 1 de 2006, a Equipe Renault utilizou em seus carros absorvedores de vibração na dianteira e na traseira, com o objetivo de minimizar as oscilações do chassi provocadas pela passagem sobre as “zebras” e, conseqüentemente, melhorar seu desempenho. No detalhe está mostrado o dispositivo empregado na dianteira, que consiste basicamente em um sistema massa-mola-amortecedor de 1 grau de liberdade, com uma massa de 7 kg (1) apoiada sobre molas (2 e 3) de diferente rigidez, com relação 1:3, inseridas em uma carcaça (4) de fibra de carbono, e com um amortecedor regulável (5) contendo um fluido viscoso.

Sabendo que a freqüência natural não amortecida do absorvedor de vibração utilizado na dianteira é de 2

2Hz,

determine a faixa de valores do amortecedor para que os sistema possua um fator de amortecimento na faixa de 0,9 a 1,1.

25) Alguns tipos de balança utilizam, em seu funcionamento, a relação entre o peso P e a deformação elástica δque ele provoca em uma mola de constante elástica K, ou seja, P=K x δ (Lei de Hooke). Ao se colocar certa mercadoria no prato de uma balança desse tipo, a deformação não ocorre instantaneamente. Existe um movimento transiente que depende de outro parâmetro: o nível de amortecimento no mecanismo da balança, dado pelo parâmetro adimensional ζ, denominado fator de amortecimento. O movimento transiente, a partir do instante em que a mercadoria é colocada no prato da balança, pode ser descrito por 3 equações diferentes (e tem comportamentos diferentes), conforme o valor de ζ e ilustradas nos quadros a seguir:

Baseado no apresentado, das três situações acima qual seria a mais adequada para uma balança que será instalada em uma linha de produção? Justifique.

26) Uma barra rígida e uniforme de massa “m” e comprimento “l” está pivotada no ponto “O” e é suportada por

uma mola de constante elástica “K” e conectada a um amortecedor viscoso de constante “c” conforme ilustra a

figura a seguir. Medindo o ângulo θ a partir da posição de equilíbrio estático e considerando pequenos ângulos,

determine:

a) A equação diferencial do movimento (literal)

b) A equação da freqüência natural do sistema (literal)

c) O valor do fator de amortecimento para k=100000N/m; c=50kg/s; m=45kg; l=0,5m e a=0,2m. O sistema

apresentará oscilação em resposta livre? Justifique.

27) Uma parte de uma máquina é modelada como um pêndulo conectado a uma mola como mostrado na figura

P1.16. Ignore a massa da haste do pêndulo e obtenha a equação diferencial do movimento, linearize a equação

e determine a freqüência natural. Considere que a rotação é pequena, de modo que a mola se deforma apenas

horizontalmente.

28) O esboço de uma válvula e o sistema de balancim para um motor de combustão interna é mostrado na figura

P1.45. Modele o sistema como um pêndulo conectado a uma mola e massa e assuma que o óleo promova um

amortecimento viscoso linear. Determine a equação diferencial do movimento e obtenha uma expressão para a

freqüência natural. Aqui “J” é o momento polar de inércia do balancim em torno de seu pivô, “k” é a rigidez da

mola da válvula e “m” é a massa da válvula e da haste. Ignore a massa da mola.

29) Use o método da energia para obter a equação diferencial do movimento em “x” e a freqüência natural de um

mecanismo de direção da roda dianteira do trem de pouso de um avião. O mecanismo é modelado como um

sistema livre de um grau de liberdade como mostrado na figura P1.54. Para o cálculo considere que o volante

(steering wheel) está fixado. A cremalheira é modelada como um sistema massa-mola (m,k2) e oscila na direção

“x”. A barra de direção e o pinhão são modelados como um disco de inércia “J” e rigidez torcional k1. Obtenha a

equação diferencial do movimento na direção “x” e determine sua freqüência natural.

30) No sistema mostrado o cabo arrasta o disco sem deslizamento. Determinar o modelo matemático(equação

diferencial) do movimento na direção “x” e explicitar sua freqüência natural em termos das variáveis

apresentadas e sabendo que o momento de inércia do disco é 2

21

rmd , sendo dm a massa do disco.

31) Uma haste rígida em forma de “L”,de momento de inércia 0J , está pivotada no ponto “O” e conectada a uma

esfera de massa sm e a um bloco de massa “m. A esfera e o bloco estão conectados a molas de rigidez 1K e

2K conforme é mostrado na figura. A esfera rola sem deslizamento sobre a superfície. Medindo o “x” a partir

da posição de equilíbrio estático e considerando pequenos ângulos, determine a expressão para a freqüência

natural do sistema.

Dado: momento de inércia de uma esfera de massa “m” e raio “r”: 2

104

mrJ =

32) Na figura seguinte as hastes rígidas (haste 1 = link 1 e haste 2 = link 2) possuem massa desprezível e são

articuladas na junta que as conecta. A haste 1 é solidária à polia que está pivotada no ponto “O”. A haste 2 está

conectada por uma articulação ao cilindro de massa cm . A polia está conectada a um bloco de massa “m”. O

cilindro e o bloco estão conectados a molas de rigidez 1K e 2K conforme é mostrado na figura. O cilindro rola

sem deslizamento sobre a superfície. Medindo o “x” a partir da posição de equilíbrio estático e considerando

pequenos ângulos, determine a expressão para a freqüência natural do sistema.

Dado: momento de inércia de um cilindro de massa “m” e raio “r”: 2

21

mrJ =

33) A figura seguinte mostra uma polia de raio “ r ” e massa “ m ”. A polia é mostrada em sua posição de equilíbrio,

pode rotacionar em torno do mancal “ O ” e é conectada a molas (de rigidez “ k ” cada) e a um amortecedor de

valor “ c ” conforme mostrado.

a) Sendo dado o momento de inércia da barra igual a 2

2mr

e considerando pequenos ângulos de vibração, mostre

que a freqüência natural do sistema é m

k2 .

b) Sabendo que o amortecedor “ c ” é montado ao lado esquerdo do mancal “ O ” e na sua montagem ele pode ter

sua posição ajustada entre r4

1 a r

2

1 (distâncias medidas a partir do mancal “ O ”) , determine uma expressão

em função da massa “ m ” e da rigidez “ k ” para calcular o menor valor possível do amortecedor que ainda assim

permita ao técnico a possibilidade de regular o fator de amortecimento em 1,5 na montagem.

34) O desenho esquemático mostra um medidor analógico de vibração. O ponteiro é pivotado no ponto “I” e possui

um momento de inércia “ PJ ” em relação a esse ponto. O bloco suspenso possui massa “m”. As molas possuem

a mesma rigidez “k”, “a” e “b” são cotas (distâncias). A posição mostrada (indicador na vertical) é a posição de

equilíbrio. Considerando que a faixa do ângulo de operação do ponteiro é de -10 a 10°(pequenos ângulos) e

levando em consideração o contexto da disciplina de vibrações mecânicas pede-se:

a. A equação diferencial do movimento livre tendo como variável o deslocamento vertical “x” da massa a

partir da posição de equilíbrio.

Obs.: Além da inércia do ponteiro, considerar o momento de inércia do bloco como massa concentrada

(produto da massa pelo quadrado da distância em relação ao centro de giro).

b. A expressão da freqüência natural do sistema.

35) O desenho seguinte mostra uma haste de momento de inércia 0J conectada a duas massas. Considerando

pequenos ângulos, modele o sistema e encontre a equação diferencial para a vibração livre.

θ

x