UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Sexta Lista de Exercícios de Resistência dos Materiais II

01. Para as estruturas a seguir, pede-se determinar:

F

q

R

R

M 0

q

R

R

teconsEI tan=

Obs: Desprezar os efeitos do esforço cortante e do esforço normal.

a) a energia de deformação;

b) os deslocamentos vertical e horizontal e a rotação na extremidade livre pelo método da

carga unitária;

c) os deslocamentos vertical e horizontal e a rotação na extremidade livre utilizando o

segundo teorema de Castigliano.

02. As vigas das figuras a seguir encontram-se apoiadas em dois pilares conforme indicado.

Pede-se determinar:

2l

q

hP1 P3

teconsEIviga tan=

teconsEApilar tan=

l

q

l

2q

hP1 P3

teconsEIviga tan=

teconsEApilar tan=

Obs: Desprezar o efeito do esforço cortante na viga.

a) a energia de deformação;

b) o deslocamento vertical no meio do primeiro vão e a rotação na extremidade superior no

apoio P3 pelo método da carga unitária;

c) o deslocamento vertical no meio do primeiro vão e a rotação na extremidade superior no

apoio P3 utilizando o segundo teorema de Castigliano.

03. Para o pórtico plano da figura a seguir, pede-se determinar:

q

2,0 m

A

B

M0CD

E

F

4,0 m

2,0 m

teconsEAteconsEI

t

q

tantan

=

=

EIq = rigidez flexional do quadro

EAt = rigidez axial do tirante

Obs1: desprezar o efeito do esforço cortante;

Obs2: desprezar o efeito do esforço normal

nas barras ABC, DEF e CD.

a) a energia de deformação;

b) os deslocamentos vertical e horizontal e a rotação em C pelo método da carga unitária;

c) os deslocamentos vertical e horizontal e a rotação em C utilizando o segundo teorema de

Castigliano.

04. Para o pórtico plano da figura a seguir, pede-se: q P

4,1 m

5,0 mA

CB

GPaEcmI

cmI

BC

AB

21090000

800004

4

==

=

Obs: desprezar os efeitos do esforço

cortante e do esforço normal

a) Sendo kNP 15= , o valor da carga q para que o deslocamento horizontal em C seja de

1cm;

b) Sendo m/kNq 10= , o valor de P para que a rotação em C seja de rad, 310488 −⋅ .

Respostas:

Questão 01:

Arco com carga F na extremidade:

a) [ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++π⋅=25220

3283122

1 52432 RqFqRRFEI

U

b) e c)

o Deslocamento Horizontal:

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++π⋅=δ40

328312

1 43 qRFREIH (da direita para a esquerda)

o Deslocamento vertical:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⋅=δ24

1 43 qRFR

EIV (de baixo para cima)

o Rotação:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⋅=θ242

51 33 qRFREI

(sentido horário)

Arco com momento M0 na extremidade:

a)⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

⋅=203

122

1 52302

0RqqRMRM

EIU

b) e c)

o Deslocamento Horizontal:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⋅=δ24

72

51 420 qRRM

EIH (da direita para a esquerda)

o Deslocamento vertical:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+π

⋅=δ62

1 420 qRRM

EIV (de baixo para cima)

o Rotação:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

⋅=θ6

12

1 3

0qRRM

EI (sentido horário)

Questão 02:

Primeira “viga”:

a) pv EAlhq

EIlqU

2252

152

+=

b) e c)

pvV EA

hqlEIql

lx

+=δ= 128

19 4

2

(de cima para baixo)

vEIql

3

3

3 =θ (sentido anti-horário)

Segunda “viga”:

a) pv EAlhq

EIlqU

144145

302403019 2252

+=

b) e c)

pvV EA

hqlEIql

lx 24

251920247 4

2

+=δ=

(de cima para baixo)

pv EAqh

EIql

12720209 3

3 +=θ (sentido anti-horário)

Questão 03:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+=

312012212 2

0523

0202

hMlqqlMlM

EIhEAlMU

qt

o

b) e c)

deslocamento vertical:

0=δCV

deslocamento vertical:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=δ

245

2241 2

003 hMhlMhql

EIq

CH (da esquerda para a direita)

rotação:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=θ

2241 0

3 lMqlEIq

C (sentido horário).

Questão 04:

a) m/kN,q 999= ; b) kN,P 023=