Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa Apontamentos Cálculo II

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Lista 7.1 – Formas Quadráticas; Conjunto Convexo; Função Convexa

1. Forma quadrática de n variáveis reais (Q): 

Polinómio de 2º grau n variáveis reais cuj las são exclusivamente de 2º de  as parce  grau. 

, x … ,x 1, x 1 .x12 a 2.x1 . 22.x22 a23.x2.x3 a2n.x2.xn Q x1, x2 3 n n a 1 1 .x2 a1n.x1 xn a

a n 1 n 1 .xn 12 a n 1 n.xn 1.xn ann.xn2 ∑ ∑ aij.xi.xj

nj i

ni 1   

 

2 F. a ti

Q x,y axx.x2 axy.x.y ayy.y2  

orm quadrá ca de 2 variáveis reais: 

 

3. Forma matricial simétrica de uma forma quadrática de n variáveis reais: 

Forma quadrática escrita como o produto entre uma matriz  linha, uma matriz  simétrica e uma matriz coluna. 

Q x1, x2, … , xn x1 x2 … xn .

a11a122

… a1n2

a122

a22 … a2n2… … … …

a1n2

a2n2

… ann

.

x1x2…xn

xT.A.x  

 

4 r. Forma matricial simétrica de uma fo

Q x,y x y .axx

axy2

ma quadrática de 2 variáveis reais: 

axy2

ayy.xy xT.A.x  

5. Valor próprio de uma matriz Anxn real e simétrica: 

Número  real  que,  quando  multiplicado  por  cada  um  dos  elementos  de  um  subespaço vectorial de vectores de  n diferente do vector nulo (conjunto de vectores próprios) iguala o produto entre A e cada ctores.  um destes ve

λiA é valor próprio de A SiA n, Si

A subespaço vectorial 0 :  x SiA, λi

A.x A.x 

 

6. Cálculo dos valores próprios de uma matriz Anxn real e simétrica: 

Uma  matriz  Anxn  real  e  simétrica  tem  n  valores  próprios  reais,  mas  nem  todos necessariamente difere  ntes.

λiA é valor próprio de A A λi

A.I 0 

 

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7. Menor principal de ordem k uma matriz Anxn real e simétrica, resultante da eliminação das linhas e colunas i1, i2, … e in k (Mki1i2in-k

A ): 

Determinante  da  sub‐matriz  de  A  resultante  da  eliminação  das  suas  linhas  e  colunas i1, i2, …  e in k (as linhas e colunas eliminadas têm os mesmos índices). 

 

8. Menores principais de uma matriz A3x3 real e simétrica: 

Determinantes das  sub‐matrizes de A  resultantes da eliminação de  todas as  combinações possíveis de qualquer número das suas linhas e colunas, incluindo o 0. 

Aa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

 

Menores principais de ordem 1: M123A a11| a M1

A |a22| ; M |a33| a33 | 11;13

a22 112A

Menores principais de ordem 2: MA a11 a12a21 a22

; M2A a11 a13

a31 a33; M21

A a22 a23a32 a33

 23 2

Menor principal de ordem 3: M3A

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|A| 

 

9. Menor principal líder de ordem k uma matriz Anxn real e simétrica ( kLA

): M

Determinante da ub‐matriz de A  resultante a eliminação das suas últimas n k  linhas e colunas (as linha  colunas eliminadas têm os esmos índices). 

 s  ds e  m

A

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …an1 an2 … ann

; MkLA

a11 a12 … a1ka21 a22 … a2k… … … …ak1 ak2 … akk

 

 

10. Menores principais líderes de uma matriz A3x3 real e simétrica: 

Determinantes  das  sub‐matrizes  de A  resultantes  da  eliminação  de  qualquer  número  das su ltimas linhas e colunas. as ú  

Aa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

 

Menor principal líder de ordem 1: M1LA M123

A a11| a 1 | 1

Menor principal líder de ordem 2: M2LA M23

A a11 a12a21 a22

 

Menor principal líder de ordem 3: M3LA M3

Aa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|A| 

 

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11. Classificaçã d f m q ática quanto ao sinal: o e uma or a uadr

Definida positiva:  x n: , Q 0 x 0 x

Semi‐definida positiva , x  :  x n Q 0

Definida negativa: x n: , Q 0 x 0 x

Semi‐defini     x n  da negativa: , Q x 0

Indefinida:  x, y n: Q x 0 Q y 0 

 

12. Formas quadráticas definidas e se i-de inidas: m f

Definidas: Q é definida positiva (negativa) Q é semi efi  positiva (negativa) ‐d nida

Semi‐definidas: Q é semi‐definida positiva (negativa) Q é definida positiva (negativa) 

 

13 C

Q x xT.A.x 

. lassificação de uma forma quadrática quanto ao sinal com base nos valores próprios da matriz que lhe está associada: 

Definida positiva:  i , , 0 1 … ,n λiA

Semi‐definida pos a i 1, ,n λiA 0 itiv :  … ,

Definida negativa: i , , 0 1 … ,n λiA

Semi‐defini   … , λ 0 da negativa: i 1, ,n iA

Indefinida:  i, j 1,… ,n : λiA 0 λjA 0 

 

14 C

Q x xT.A.x 

. lassificação de uma forma quadrática quanto ao sinal com base nos menores principais da matriz que lhe está associada: 

Definida positiva:  k , , ij , , ki1 …in k

A 0 1 … ,n 1 … ,n Mi2

Semi‐definida positiva k 1, ij 1, ,n ,Mki1i2…in k

A:  … ,n , … 0 

Definida negativa: k , ij , , Mki1i2…in k

A sinal 1 k  1 … ,n , 1 … ,n  sinal

Semi‐defini k 1,… ,n , j 1,… ,n , da negativa:  i

sinal Mki1i2…in k

A sinal 1 k Mki1i2…in k

A 0 

Indefinida: Todos os outros casos 

 

15 C

Q x xT.A.x 

. lassificação de uma forma quadrática quanto ao sinal com base nos menores principais líderes da matriz que lhe está associada: 

Apontamentos Cálculo II Lista 7.1 – Formas Q d icas; Conjunto Convexo; Função Convexa

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ua rát

Definida positiva:  ,… n kLA 0  k 1 , ,M

Definida ne ti ,… ,n , sina MkLA sinal 1 k  ga va: k 1 l

Indefinida:  k 1,… ,n , k par: MkLA 0 

 

16. Conjunto convexo de n: 

Conjunto que,  se  contém dois pontos,  contém  também  todos os pontos pertencentes  ao segmento de    os  recta que une. 

A é convexo x, y A,  λ 0,1 , λ.x 1 λ .y A 

 

17. Conjunto côncavo de n: 

Conjunto  que  contém  pelo  menos  dois  pontos  unidos  por  um  segmento  de  recta  não totalmente contido em si.  

A é côncavo x, y A:  λ 0,1 : λ.x 1 λ .y A 

 

18. Intersecção e convexidade de conjuntos: 

A intersecçã   convexos  m conjunto conv x

i 1,… ,k , Ai é convexo A Aiki 1 A1 … Ak é convexo  

o de conjuntos  é u e o. 

19. Função escalar, de domínio convexo, convexa: 

Função que varia, entre quaisquer dois pontos do seu domínio, a um ritmo linear, ou menos que  linear. Função cujas  imagens de quaisquer dois pontos do seu domínio são  ligadas por um segmento de recta que se encontra acima ou ao mesmo nível que as imagens dos pontos que se  no segmento de recta que une os dois pontos originais.  encontram

f: Dfn

f co ve;D   n xo 

f é convexa x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2  

 

20. Função escalar, de domínio convexo, estritamente convexa: 

Função  que  varia,  entre  quaisquer  dois  pontos  do  seu  domínio,  a  um  ritmo menos  que linear. Função cujas  imagens de quaisquer dois pontos do seu domínio são  ligadas por um segmento de  recta que  se encontra acima das  imagens dos pontos que  se encontram no segm   ta que une os dois pontos originais. ento de rec

f: Dfn ;Df convexo 

f  es m n  co a x2 D , λ 0,1 ,   é trita e te nvex x, f

f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2  

 

21. Função escalar, de domínio convexo, côncava: 

Apontamentos Cálculo II Lista 7.1 – Formas Quadráticas; Conjunto Convexo; Função Convexa

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Função que varia, entre quaisquer dois pontos do seu domínio, a um ritmo linear, ou mais 

que  linear. Função cujas  imagens de quaisquer dois pontos do seu domínio são  ligadas por um  segmento  de  recta  que  se  encontra  abaixo  ou  ao mesmo  nível  que  as  imagens  dos pont contram no segmento de recta que une os dois pontos originais. os que se en

f: Dfn

f co ve;D n xo 

f é côncava x, x2 Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2  

 

22. Função escalar, de domínio convexo, estritamente côncava: 

Função que varia, entre quaisquer dois pontos do seu domínio, a um ritmo mais que linear. Função  cujas  imagens  de  quaisquer  dois  pontos  do  seu  domínio  são  ligadas  por  um segmento de  recta que  se encontra abaixo das  imagens dos pontos que  se encontram no segm   ta que une os dois pontos originais. ento de rec

f: Dfn ;Df convexo 

f  es m n  cô va x2 D , λ 0,1 ,   é trita e te nca x, f

f λ.x 1 λ . x2 λ.f x 1 λ .f x2  

 

23. Propriedades de funções convexas e cô cavas: (f e g convexas (côncavas), h crescente e convexa (côncava)

n): 

Combinação linear positiva:  α,β 0 , α.f β.g convexa (côncava) 

Transform ção te e convexa (côncava): hof convexa (côncava) a  crescen  

Extremos: max f,g min f,g convexa (côncava) 

 

24. Classificação de uma função de classe C2 quanto à convexidade com base na matriz Hesseana: 

Estritamente onv x   x int Df ,Hf x definida positiva  c e a:

Convexa:  x int Df , semi‐ finida positiva Hf x de

Estritamente ônc v   int Df ,Hf x definida negativa  c a a: x

Côncava:  x int D ,H x ‐de i ativa ff semi fin da neg

Convexa e côncava:  x int Df ,Hf x 0 semi‐definida positiva e negativa 

Não convexa nem côncava: Todos os outros casos 

 

25. Função escalar, de domínio convexo, quase-convexa: 

Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos não é supe   das imagens dos dois pontos.  rior à maior 

f: Dfn ;Df o convex  

f é quase‐convexa x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y max f x ,f y  

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26. Função escalar, de domínio convexo, estritamente quase-convexa: 

Função em que  se verifica que a  imagem de qualquer média ponderada de dois pontos é infer m as imagens dos dois pontos.  ior à  aior d

f: Dfn ;Df convexo 

f é e t it me e quase‐convexa x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y  s r a nt

max f x ,f y  

 

27. Função escalar, de domínio convexo, quase-côncava: 

Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos não é infer m das imagens dos dois pontos. ior à  enor 

f: Dfn ;Df o convex  

f é quase‐côncava x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y min f x ,f y  

 

28. Função escalar, de domínio convexo, estritamente quase-côncava: 

Função em que  se verifica que a  imagem de qualquer média ponderada de dois pontos é supe    das imagens dos dois pontos.  rior à menor

f: Dfn ;Df convexo 

f é es e te quase‐côncava x, y Df, λ 0,1 , f λ.x 1 λ .y  tritam n

min f x ,f y  

 

29. Função escalar, de domínio convexo, explicitamente quase-convexa: 

Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos com imag i es é inferior à maior das imagens dos dois pontos.  ens d ferent

f: Dfn ;Df convexo 

f é pli i m nt   u on exa

f λ.x 1 λ .y max f x ,f y  

   ex c ta e e q ase‐c v x, y Df: f x1 f y , λ 0,1 , 

 

30. Função escalar, de domínio convexo, explicitamente quase-côncava: 

Função em que se verifica que a imagem de qualquer média ponderada de dois pontos com imag i es é superior à menor das imagens dos dois pontos.  ens d ferent

f: Dfn ;Df convexo 

f é pli i m nt   u côncava

f λ.x 1 λ .y min f x ,f y  

   ex c ta e e q ase‐ x, y Df: f x f y , λ 0,1 , 

 

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31. Tipos de convexidade de funções: 

f  estritamente  convexa  (côncava) f convexa (côncava)

f estritamente quase‐convexa (côncava)

f quase‐convexa (côncava)

f explicitamente quase‐convexa (côncava)