Lista de Eletromagnetismo - Escola Olímpica

7/25/2019 Lista de Eletromagnetismo - Escola Olmpica

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Lista de Eletromagnetismo

Escola Olmpica

Gabriel O. Alves

Revisao: Pedro Alves

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Conteudo

1 Formulario 3

2 Problemas 7

3 Guia 16

4 Dicas 20

5 Gabarito 24

6 Solucoes 25


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1 Formulario

Eletrostatica

Lei de Coulomb:

F= 1

40

q1q2r2

r

Campo eletrico produzido pela cargaq1:

E=

1

q2 F=

1

40

q1

r2 r

F

F

q1

q2

Lei de Gauss:

E=

IS

E dS= q

0

E

nS

Equacao de Poisson:

E= 0

Potencial coulombiano:

V(r) = 1

40

q

r

Calculo do campo a partir do po-

tencial:

E= VPotencial a partir do campo eletrico:

V = Z

E dl

Equacao de Poisson para o poten-cial:

2V = 0

Equacao de Laplace (caso especialda equacao de Poisson, quando =0):

2V = 0Energia eletrostatica:

U(r) =qV(r)

U=1

2

ZV

(r)V(r)dv

Potencial a partir do momento dedipolop:

V(r) = p r

40r3

Forca exercida sob um dipolo emum campo eletrico E:

F= (p E)Torque:

E= p E

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1 FORMULARIO

Magnetismo

Corrente eletrica:

i=dq

dt

Densidade de corrente:

j= v

di

dS = j n

Conservacao de carga eletrica:

j= t

Para correntes estacionarias:

j= 0Segunda lei de Ohm, sendo a re-

sistividade:

R= lS

S

l

j= E

Forca de Lorentz:

F= q(E + vB)Fluxo magnetico:

B =

ZS

B dS

Forca magnetica sobre um elementode corrente:

dF= i(dlB)Momento de dipolo magnetico:

m= iS

Torque magnetico:

B =m BA lei de Ampere:I

C

B dl= 0i

Para B produzido no vacuo porcorrentes estacionarias:

B= 0

B= 0j

Lei de Biot-Savart:

B=0i

4

IC

dl rr2

Lei da inducao:

E= dBdt

Indutancia:

L= i

Indutancia mutua, sendoij a cor-rente em j e i,j o flixo do condutorj na regiao delimitada pelo condutori:

Li,j =i,j

ij

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Dieletricos e materiais mag-

neticos

Polarizacao dieletrica:

P=dp

dv

P =0E

Relacao entre susceptibilidade e cons-tante dieletrica:

= + 1

Densidade volumetrica de cargasde polarizacao:

p = P

Vetor deslocamento:

D= 0E + P= E

Magnetizacao:

M=dm

dv

CampoH:

H= B

0M

H= M

Lei de Ampere para o campo H:

H= j

Circuitos

Primeira lei de Ohm:

V =Ri

Efeito Joule:

P =dW

dt =V i

Tensao no capacitor:

V = qC

Energia eletrostatica armazenadano capacitor:

U=1

2CV2

Tensao no indutor:

V =Ldi

dtEnergia magnetica armazenada no

indutor:

U=1

2Li2

Leis de Kirchoff:

A soma das d.d.p. ao longo deuma malha e nulaP

nj=0 Vj = 0

V1

V2

V3V4

V1 V2+ V3 V4= 0

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1 FORMULARIO

A soma algebrica das correntes

que entram e saem em um no e0 (Adotando sinais opostos paracorrentes que entram e saem)Pn

j=0 ij = 0

i1i2

i3

i1 i2+ i3= 0

Ondas eletromagneticas

Equacoes de Maxwell no vacuo:

E= 0

B= 0

B= 0j +00E

t

E= Bt

Equacao de ondas unidimensional(Sendo x a direcao de propagacao ):

2f

x2 1

v22f

t2 = 0

Velocidade da luz no vacuo:

c= 100

Densidade de energia eletromagneticano vacuo:

U=1

2(0E

2 + 1

0B2)

Vetor de Poynting:

S= 10

(EB)

Lei da conservacao de energia ele-tromagnetica (para = 0 e j= 0):

S= Ut

Condicoes de contorno

E= n (E2

E1) =

+p

0

D= n (D2 D1) =

0

n (E2 E1) = 0

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2 Problemas

Exerccio 1 : (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig)Um fio retilneo muito longo (trate-o como infinito) esta eletrizado com umadensidade linear de carga . Calcule a forca que atua sobre uma cargapuntiforme Q colocada a uma distancia do fio.

Q

Exerccio 2: (Problems in General Physics - I. E. Irodov ) A intensi-dade do campo eletrico depende apenas das coordenadasx e y, de acordo

com a lei E = a (xi+yj)(x2+y2)

, onde a e constante e i ej representam os versoresdos eixos x e y respectivamente. Encontre o fluxo atraves da esfera de raioR com centro na origem.

Exerccio 3: (Seletiva OIF 2015 - Adaptada) Um anel delgado de raioRtem ao longo de sua circunferencia uma densidade linear de carga positiva. Um eletron pode se movimentar livremente no eixozdo anel. Determinea equacao do movimento e a frequencia de oscilacao do eletron nas proximi-

dades do anel.

Exerccio 4 : (300 Creative Physics Problems with Solutions - LaszloHolics) Uma longo cilindro de raio R possui uma cavidade de raio r. Oseixos do cilindro e da cavidade sao paralelos, separados por uma distanciad.O cilindro possui densidade volumetrica de carga uniforme , e a constantedieletrica relativa do material vale 1. Encontre a expressao do campo eletricono interior da cavidade.

Figura 1: Fonte: 300 Creative Physics Problems with Solutions

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2 PROBLEMAS

Exerccio 5: (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig) Uma

distribuicao de carga esfericamente simetrica tem densidade volumetrica decarga dada por

(r) =0exp(r/a) (0 r < )onde 0 e uma constante e r e a distancia a origem.

a) Calcule a carga total da distribuicaob) Calcule o campo eletrico num ponto qualquer do espaco

Exerccio 6: (Curso de Fsica de Berkeley Vol.2, E. M. Purcell - Adap-

tada) Calcule a energia potencial Ude uma uma esfera de raio ae carga Q,com densidade volumetrica de carga uniforme.

Exerccio 7: (Problems in General Physics - I. E. Irodov ) Encontreo potencial Vna borda de um disco de raio R de densidade superficial decarga.

Exerccio 8: (Guide to Physics Problems - S.B. Cahn) Uma carga pon-tuale e colocada a uma distanciaR do centro de uma esfera metalica de raioa, com R > a. A esfera e isolada e eletricamente neutra.

O R

a

e

a) Encontre o potencial eletrostatico na superfcie da esferab) Encontre a forca agindo na carga

Exerccio 9: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questionsand Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) Uma esfera de metal de raio a e cercada por uma esfera metalicaconcentrica de raio interno b, onde b > a. O espaco entre as esferas e pre-enchido por um material cuja condutividade varia com a intensidade docampo eletrico E de acordo com a relacao = kE, sendo K constante. Emantida uma diferenca de potencial V entre as duas esferas. Qual e a cor-

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rente que flui entre elas?

Exerccio 10: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questi-ons and Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) A atmosfera terrestre e um condutor eletrico porque contem porta-dores de cargas livres que sao produzidas por ionizacao de raios cosmicos.Dado que a densidade de cargas livres e constante no tempo e no espaco e eindependente a posicao horizontal,

a) Determine as equacoes e condicoes de contorno para computar o campoeletrico da atmosfera em funcao da altitude se o campo proximo da superfcie

e constante no tempo e vertical, nao varia horizontalmente e tem uma mag-nitude de 100V /m. Voce pode assumir que a superfcie terrestre e perfeita-mente plana, caso o deseje,b) Faca uma estimativa de como a condutividade depende da altitudec) Resolva as equacoes do item a)

Exerccio 11 : (Princpios de Eletrodinamica Classica - J. Frenkel) Con-sidere um capacitor formado por duas placas paralelas de area S, que estaoseparadas por um distanciad. Se o alinhamento das placas for perturbado demodo que sobre uma borda a separacao sejad +e sobre a borda oposta seja

d , onde d, mostre que a capacitancia se torna, aproximadamente,

C=S0

d

1 +

2

3d2

d

Exerccio 12: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questi-ons and Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) Um capacitor de placas paralelas com separacao d entre as placas epreenchido com uma camada de material 1, com constante dieletrica 1, con-dutividade 1 e espessura d1, e com uma camada de material 2, com 1, 1e d2. O capacitor esta submetido a uma diferenca de potencial V constante.Despreze os efeitos das bordas.

a) Qual e o campo eletrico nos materiais (1) e (2)?

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2 PROBLEMAS

b) Qual e a corrente que flui atraves do capacitor? Qual e sua direcao?

c) Qual e a densidade superficial total de carga na interface entre 1 e 2?d) Qual e a densidade superficial de carga livres na interface entre 1 e 2?

Exerccio 13: (Guide to Physics Problems - S.B. Cahn) a) Considereduas esferas dieletricas solidas de raio a, separadas por uma distancia R(R a). Uma das esferas tem carga q, e a outra e neutra. As dimensoeslineares do sistema sao multiplicadas por um fator 2. Agora, qual deve ser acarga da primeira esfera de modo que a forca entre as esferas continue cons-tante?b) Considere agora um anel condutor feito de um fio fino, onde d e o diametro

do fio e D e o diametro do anel (novamente D d). Uma carga Q aplicadaao anel e o suficiente para que ele se quebre devido a repulsao eletrostatica.Assim como no itema), as escalas sao multiplicadas por dois. Com que cargao novo anel vai se romper?

Exerccio 14 : (Aptitude Test Problems in Physics - S.S. Krotov) Doiscapacitores de placas paralelas sao dispostos perpendicularmente ao eixo co-mum. A separacao d entre os capacitores e muito maior que a distancia l deseparacao entre as placas e seu tamanho. Os capacitores tem cargas q1 e q2,respectivamente. Encontre a forca Fde interacao entre os capacitores.

Figura 2: Fonte: S.S. Krotov

Exerccio 15: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questi-ons and Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) Um fio cilndrico de permeabilidade e percorrido por uma correnteestacionaria I. Se o raio do fio eR, encontre os campos B e H dentro e forado fio.

Exerccio 16: (Princpios de Eletrodinamica Classica - J. Frenkel) A bo-bina de Helholtz e um dispositivo usado para produzir um campo magneticoaltamente uniforme em laboratorio. Este consiste de duas espiras circularesde raio a, encaixadas coaxialmente com separacao h. Mostre que a melhor

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homogeneidade do campo ocorre quando h e igual a a. Calcule tambem a

magnitude do campo.

h

a

Exerccio 17: (D. J. Griffths - Introduction to Electrodynamics - Adap-tada) Mostre que a forca no circuito 2 devido ao circuito 1 (Na figura), podeser escrita como:

Figura 3: Fonte: D. J. Griffthss

F2 = 0

4 i1i2 I I rr2dl1 dl2

Exerccio 18: (Exame Unificado de Fsica) Uma espira condutora re-tangular (comprimentoa, largura b e resistencia R situa-se nas vizinhancasde um fio reto inifinitamente longo que e percorrido por uma correnteipara adireita, conforme a figura. A espira afasta-se do fio com velocidade constante~v, de forma que a distancia do centro da espira ao fio e dada por s(t) =s0+vt.Calcule:

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2 PROBLEMAS

Figura 4: Fonte: Exame do segundo semestre de 2015

a) o modulo do campo magnetico produzido pela corrente num ponto situadoa uma distancia s do fio. Indique a direcao e o sentido do campo na religiaodelimitada pela espira para um dado valor de s(t)b) o fluxo magnetico na regiao delimitada pela espira para um dado valor des(t)c) a forca eletromotriz induzida na espira para uma certa distancia s(t)d) a corrente indizida na espira, iind

Exerccio 19: (Guide to Physics Problems - S.B. Cahn) Um fio circular

de raio a e isolado de um fio infinito reto e longo na direcao tangencial.Encontre a indutancia mutua.

a

Exerccio 20: (Aptitude Test Problems in Physics - S.S. Krotov) Duaslongas bobinas cilndricas de enrolamento uniforme e de mesmo comprimentoe aproximadamente mesmo raio tem indutancias L1 e L2. As bobinas estaocoaxialmente inseridas uma na outra e sao conectadas a um gerador de cor-rente conforme a figura. A direcao da corrente no circuito e indicada pelassetas. Determine e indutancia equivalente L de tal composicao.

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Exerccio 21 : (200 Puzzling Physics Problems) A mola mostrada nafigura possui N voltas, comprimento x0 e constante elastica k. Qual e avariacao de comprimento da mola quando uma corrente i0 flui por ela?

Exerccio 22: (Physics by Example: 200 Problems and Solutions - W.G. Rees) Uma anel metalico de secao transversal de 2.5cm2 e permeabilidade

relativa de 1500 e raio medio de 40cm e enrolando uniformemente com 3000voltas de fio. Se uma corrente de 1.6Apassa atraves do fio, encontre o campomedio B e magnetizacao no anel.

Exerccio 23: (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig) Umcapacitor de placas paralelas e formado por dois discos circulares de raio aseparados por uma distancia d a. As placas estao ligadas a um geradorAC que produz uma carga no capacitorQ = Q0sin(t). Admita que o campoE entre as placas e uniforme, desprezando fuga de linhas de forca, e tome oeixo zao longo do eixo do capacitor. Calcule o campo B entre as placas, auma distancia do eixo.

Exerccio 24 : (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig)Um fio condutor retilneo cilndrico muito longo, de condutividade e raioa, transporta uma corrente constante, de densidade j = E uniformementedistribuda sobre a secao transversal. Tome o eixo do cilindro como eixo z.a) Calcule Bna superfcie do fiob) Calcule o vetor de Poynting Sna superfcie do fioc) Mostre que o fluxo de S atraves da superfcie de um trecho de compri-mento l do fio e igual a a energia dissipada em calor pelo efeito Joule nesse

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2 PROBLEMAS

trecho, por unidade de tempo. Note que essa energia flui do espaco em torno

do fio para dentro dele.

Exerccio 25: (Exame Unificado de Fsica) O campo eletrico de umaonda plana monocromatica no vacuo e dado por

E(z, t) = (E1x + E2y)ei(kzt)

ondexe ysao os versores cartesianos nas direcoesx e t, respectivamente,e E1 e E2 sao constantes.a) Encontre a inducao magnetica B(z, t)b) Mostre que o campo eletrico e a inducao magnetica sao ortogonais entresic) Calcule o vetor de Poynting da onda

Exerccio 26: (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig)Calcule a impedancia do circuito da figura entre os pontos 1 e 2 a frequenciae mostre que, se as constantes de tempo CeLforem iguais, a impedanciasera independente da frequencia.

L R

RC

1 2

Exerccio 27: (Electricity and Magnetism - E. M. Purcell, D.J Morin -Adaptada) a) Calcule a constante de amortecimento e a frequencia angular0 das oscilacoes livres e a constante de amortecimento para o circuito RLCserie:

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Figura 5: Fonte: Purcell, Morin

b) Faca o mesmo para o circuito RLC paralelo:

Figura 6: Fonte: Purcell, Morin

c) Se ambos os circuitos possuem o mesmo L, C e o mesmo fator dequalidade Q, qual e a relacao entre Re R0?

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3 GUIA

3 Guia

Livros recomendados

Livros-texto:

Curso de Fsica Basica - Vol.3 - Eletromagnetismo - Moyseses H. Nus-senzveig

Introduction To Electrodynamics - David J. Griffths

Electricity and Magnetism - Edward M. Purcell, David J. Morin (Casovoce nao encontre a edicao mais recente, utilize a antiga: Electricityand Magnetism - Berkeley Physics Course - Vol. 2 - Edward M. Purcell,contudo esta versao utiliza o sistema CGS de unidades)

Electromagnetism - John C. Slater

A Students Guide to Maxwell Equations - Daniel Fleisch

I. E. Irodov - Basic laws of electromagnetism

Livros de exerccios:

Aptitude Test Problems in Physics - S.S. Krotov

A Guide to Physics Problems - Part 1- Mechanics, Relativity, and Elec-trodynamics - Sidney B. Cahn

200 Puzzling Physics Problems

Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions- Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromagnetism

Problems in General Physics - I. E. Irodov

Physics by Example: 200 Problems and Solutions - W. G. Rees

300 Creative Physics Problems with Solutions - Laszlo Holics

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Lista de problemas das OIFs

IPhO

Utilize este site para encontrar problemas da IPhO por topicos:

http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_web/problems/

Clique no assunto que voce deseja na primeira fileira da tabela e os pro-blemas serao organizados na ordem desejada. Faca isso para procurar porproblemas de eletromagnetismo! Chamamos atencao para o seguinte proble-mas:

1967 - Problema 2: Malha infinita de resistores. E um exerccio classico,que apresenta um raciocnio que pode ser utilizado em muitos outrosproblemas. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdf

1996 - Problema 2: Estudo do movimento de um eletron dentro de umcilindro condutor. Trabalha com alguns conceitos elementares de relati-vidade e com forca de lorentz. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdf

2005 - Problema 2: Um bom problema de magnetismo. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdf

1983 - Problema 3: Um bom exerccio sobre circuitos RLC. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.

pdf

1985 - Problema 2: Um exerccio sobre o Efeito Hall. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdf

2003 - Problema 2: Problema sobre cristais piezoeletricos, trabalhacom diversos conceitos. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdf

2013 - Problema 2: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2013/ipho2013-theoretical-problem-2.pdf

2012 - Problema 1.c: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2012/2012-08-09%20IPhO2012_Theoretical_problems.pdf

2011 - Problema 2: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q2.pdf

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http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_web/problems/http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_web/problems/http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_web/problems/http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/1http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2013/ipho2013-theoretical-problem-2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2013/ipho2013-theoretical-problem-2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2012/2012-08-09%20IPhO2012_Theoretical_problems.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2012/2012-08-09%20IPhO2012_Theoretical_problems.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2012/2012-08-09%20IPhO2012_Theoretical_problems.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2012/2012-08-09%20IPhO2012_Theoretical_problems.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2013/ipho2013-theoretical-problem-2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2013/ipho2013-theoretical-problem-2.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/1http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdfhttp://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_web/problems/


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3 GUIA

2011 - Problema 3: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/

2011/IPhO2011_Th_Q3.pdf

2010 - Problema 1: Um bom problema de eletrostatica. Trabalhacom o metodo de carga imagem. http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2010/IPhO_2010_Theo_Problem%201.pdf

APhO

2013 - Problema 1: Calculo de potenciais, campo eletrico, correntes ecampo magnetico. http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2013%20APhO/1.%20Theoretical%20Problem%201.pdf

2012 - Problema 1: Um bom problema de magnetismo. Estudo do mo-vimento de um ima em um tubo metalico. http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2012%20APhO/2012%20APhO%20Theory%

20Prob%201%20Question.pdf

2011 - Problema 1: http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2011%20APhO/%28T1%29%20shockley%20question.pdf

2010 - Problema 2: Trata de campos magneticos, dissipacao de ener-gia e oscilacoes em um circuito RLC:http://apho.phy.ntnu.edu.tw/

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2009 - Problema 2: Trata de conceitos de magnetismo e indutancia:http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2009%

20APhO/2009%20APhOTheoretical%20Problems.pdf

2008 - Problema 2: Estudo de um cristal ionico. O problema trabalhocom diferentes tipos de potenciais. http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2008%20APhO/APhO2008_theory_prob2.

pdf

2006 - Problema 3.b: http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2006%20APhO/APhO2006_theory_prob3.pdf

2005 - Problema 2: Movimento de uma partcula em um campo magnetico.http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2005%

20APhO/APhO2005_theo_prob.pdf

2003 - Problema 2: http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2003%20APhO/APhO2003_theory_prob3.pdf

Escola Olmpica 18
http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q3.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q3.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2010/IPhO_2010_Theo_Problem%201.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2010/IPhO_2010_Theo_Problem%201.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2013%20APhO/1.%20Theoretical%20Problem%201.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2013%20APhO/1.%20Theoretical%20Problem%201.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2012%20APhO/2012%20APhO%20Theory%20Prob%201%20Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2012%20APhO/2012%20APhO%20Theory%20Prob%201%20Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2012%20APhO/2012%20APhO%20Theory%20Prob%201%20Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2011%20APhO/%28T1%29%20shockley%20question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2011%20APhO/%28T1%29%20shockley%20question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2010%20APhO/2010%20APhO%20Theoretical%20Question%202_Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2010%20APhO/2010%20APhO%20Theoretical%20Question%202_Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2010%20APhO/2010%20APhO%20Theoretical%20Question%202_Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2009%20APhO/2009%20APhOTheoretical%20Problems.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2009%20APhO/2009%20APhOTheoretical%20Problems.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2008%20APhO/APhO2008_theory_prob2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2008%20APhO/APhO2008_theory_prob2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2008%20APhO/APhO2008_theory_prob2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2006%20APhO/APhO2006_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2006%20APhO/APhO2006_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2005%20APhO/APhO2005_theo_prob.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2005%20APhO/APhO2005_theo_prob.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2003%20APhO/APhO2003_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2003%20APhO/APhO2003_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2003%20APhO/APhO2003_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2003%20APhO/APhO2003_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2005%20APhO/APhO2005_theo_prob.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2005%20APhO/APhO2005_theo_prob.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2006%20APhO/APhO2006_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2006%20APhO/APhO2006_theory_prob3.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2008%20APhO/APhO2008_theory_prob2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2008%20APhO/APhO2008_theory_prob2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2008%20APhO/APhO2008_theory_prob2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2009%20APhO/2009%20APhOTheoretical%20Problems.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2009%20APhO/2009%20APhOTheoretical%20Problems.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2010%20APhO/2010%20APhO%20Theoretical%20Question%202_Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2010%20APhO/2010%20APhO%20Theoretical%20Question%202_Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2010%20APhO/2010%20APhO%20Theoretical%20Question%202_Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2011%20APhO/%28T1%29%20shockley%20question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2011%20APhO/%28T1%29%20shockley%20question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2012%20APhO/2012%20APhO%20Theory%20Prob%201%20Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2012%20APhO/2012%20APhO%20Theory%20Prob%201%20Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2012%20APhO/2012%20APhO%20Theory%20Prob%201%20Question.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2013%20APhO/1.%20Theoretical%20Problem%201.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2013%20APhO/1.%20Theoretical%20Problem%201.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2010/IPhO_2010_Theo_Problem%201.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2010/IPhO_2010_Theo_Problem%201.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q3.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q3.pdf


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2001 - Problema 2: Movimento de um dipolo eletrico em um campo

magnetico. Problema interessante para treinar conceitos basicos decalculo vetorial. http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdf

OIbF

2010 - Problema 3: http://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdf

2008 - Problema 1: www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdf

2008 - Problema 3: http://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdf

2006 - Problema 2: http://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdf

Romanian Masters of Physics

2012 - Problema 1: http://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physics

Estonian-Finnish Olympiad in Physics

2015 - Problemas 8 e 9: http://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdf

2014 - Problemas 1 e 3: http://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdf

2013 - Problemas 4 e 8: http://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdf

2012 - Problemas 4 e 7: http://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdf

2011 - Problemas 2,3 e 4: http://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdf

Escola Olmpica 19
http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdf


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4 DICAS

4 Dicas

Exerccio 1 : Calcule a contribuicao de um elemento infinitesimal dzdo fio, e integre de ate (A integral devera convergir). Alem disso,por argumentos de simetria, mostre que somente a componente vertical dacontribuicao dos elementos inifinitesimais contribui com a forca resultante.

Q

dzr

z

Exerccio 2: Tente usar coordenadas esfericas!

Exerccio 3: Para calcular a carga do anel tente encontrar a contri-buicao de cargadqde um arco infinitesimal do anel, a partir dos parametros

dados. Em seguida identifique as forcas agindo no eletron e monte a EDOde segunda ordem que descreve o movimento do eletron.

Exerccio 4 : Dica 1: Utilize o princpio da superposicaoDica 2: Suponha que ha um cilindro menor na cavidade de densidade decarga de sinal sinal contrario, em seguida utilize a lei de Gauss para calcularo campo gerado pelo cilindro de carga negativa. Por fim, utilize o princpioda superposicao e relacione o campo do cilindro original, o campo do cilin-dro de carga negativa e o que campo dentro da cavidade que voce pretendeencontrar. Nao se esqueca de deixar os campos em notacao vetorial, paraencontrar a direcao correta do campo na cavidade.

Exerccio 5: a) Encontre a carga de uma casca esferica muito fina de

depois integre. Considere que a casca tem um volume dV = 4r2|{z}Area

Espessuraz}|{dr .

Lembre-se que dQ(r) =p(r)dV(r).b) Use a Lei de Gauss e o resultado do item anterior.

Exerccio 6: Tente adotar uma solucao analoga ao item anterior!

Exerccio 7: Tente utilizar a geometria desta figura:

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r

dr

Ou seja, coloque a origem na borda do disco, em seguida calcule a con-tribuicao dos pontos que estao a uma mesma distancia r da origem!

Exerccio 8: Utilize o metodo das cargas imagens. Pesquise caso nao oconheca!

Exerccio 9: Tente encontrar a corrente a partir da densidade de cor-rente e da relacao dada no enunciado para a condutividade. Tambem tenterelacionar o potencial com o campo eletrico.

Exerccio 10: a) Utilize a equacao de continuidade b) A funcao maiselementar que descreve a densidade de partculas na atmosfera e uma expo-nencial decrescente (Da forma: n(z) = n0e

mgz/kT, sendo T a temperaturada atmosfera), a partir da, encontre uma expressao analoga para a con-dutividade. Lembre-se que a condutividade e inversamente proporcional afrequencia de colisoes, que por sua vez e proporcional a densidade do meio,ou seja, como a expressao para a condutividade vai mudar? c) Combinetodos os resultados anteriores.

Exerccio 11 : Dica 1: Tente dividir o capacitor entre varios capaci-tores infinitesimais. Deste modo o capacitor vai ser constitudo por varioscapacitores menores de placas paralelas, e a capacitancia de cada capacitorinfinitesimal sera dC dx/y, sendo dx a largura de cada capacitor e y adistacia entre as placas infinitesimais.Dica 2: Caso voce tenha encontrado uma expressao para a capacitancia,mas ainda assim ela nao esta igual aquela pedida pelo enunciado, tente usarTaylor e expanda a expressao para um polinomio!

Exerccio 12: a) A correntei deve ser a mesma em ambos os materiais,

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4 DICAS

assim como a densidade de corrente j. Tente relaciona-la com o campo

eletrico a as propriedades dos meios, assim voce encontra uma das duasequacoes necessarias para resolver o problema.b) Idemc) Utilize as condicoes de contornod) Idem

Exerccio 13: Escreva a forca em termos do momento de dipolo daesfera e do campo eletrico.

Exerccio 14 : Dica 1: Trate os capacitores como dipolosDica 2: Calcule o campo eletrico produzido por um dos capacitores, emseguida, relacione a forca d einteracao com o momento de dipolo do outro

capacitor e o modulo do campo eletrico naquele pontoExerccio 15: Utilize a lei de Ampere. Para um ponto interno ao fio,

isto e, para r < R, a corrente e i(r) < I. Voce pode calcula-la a partir dadensidade de corrente.

Exerccio 16: Calcule o campo utilizando Biot-Savart. De preferenciapor coordenadas cilndricas. Para mostrar que a melhor homogenidade docampo ocorre nessa situacao, calcule o campo magnetico para uma distanciazqualquer, no eixo das espiras, e veja como a derivada e a segunda derivadase comportam, conforme a distancia z e alterada.

Exerccio 17: Dica 1: Utilize Biot-Savart para encontrar a intensidade

do campo magnetico, em seguida calcule a forca sob um elemento de correntepela expressao dF= i(dlB).Dica 2: Utilize a indentidade vetorial ABC= (A C)B (A B)CDica 3: Note que dl2 r= dr.Alem disso, voce provavelmente encontrou umtermo extra na integral. Voce pode mostrar que este termo vale 0, demonstreisso por meio do teorema fundamental do gradiente!Dica 4: A integral de linha que voce quer calcular e de um caminho fe-chado, como o ponto de incio e o mesmo ponto de termino, pelo teoremafundamental do gradiente a integral se anula.

Exerccio 18: Este exerccio pode ser resolvido a partir da Lei deLenz! Calcule o campo magnetico a uma distancia do fio por meio dalei de Ampere e utilize coordenadas cilndricas para trabalhar com o campomagnetico, assim, calcular o fluxo sera facil.

Exerccio 19: Calcule o campo magnetico produzido pelo fio reto a umadistancia x, em seguida calcule o fluxo do campo atraves da area delimitadapelo fio circular, para isso, a divida em tiras infinitesimais de espessura dx,paralelas ao fio, e integre.

Exerccio 20: Tente resolver o problema por meio da geometria dasbobinas. Lembre-se que o fluxo e proporcional ao numero de voltasN.

Exerccio 21 : Tente relacionar a energia potencial elastica com a ener-

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gia magnetica do sistema!

Exerccio 22: Use a lei de Ampere para o encontrar o campoHe utilizeexpressoes para relacionar H, Be Ma partir dos parametros dados.

Exerccio 23: Encontre a corrente de deslocamento no capacitor e usea lei de Ampere

Exerccio 24 : a) Use a lei de Ampereb) Utilize coordenadas cilndricas e lembre-se da relacao entre os versores noproduto vetorial (Eles devem obedecer a regra da mao direita)c) Utilize a segunda lei de Ohm para calcular a resistencia de um trecho decomprimento l do fio, em seguida calcule a potencia dissipada pelo efeitoJoule.

Exerccio 25: a) Utilze as equacoes de Maxwell! b) Utilize algumaoperacao da algebra vetorial que te permita calcular o angulo entre doisvetores.

Exerccio 26: Utileze a formula para calcular a reatancia do indutor edo capacitor, em seguida calcule a impedancia total a utilizando as formualspara configuracoes serie e paralelo. Alem disso, lembre-se que as constantesRC e RL sao, respectivamente:tauC=RC e L=L/R.

Exerccio 27: Utilize as duas leis de Kirchoffe monte a EDO de segundaordem. Suponha que a solucao e da forma eit.

Escola Olmpica 23


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5 GABARITO

5 Gabarito

Exerccio 1 :F = Q20

Exerccio 2: =RaExerccio 3: my= e

2R2y, 2 = e

2mR2

Exerccio 4 : E= Q20

d

Exerccio 5: a) Q= 80a3 b) E(r) = 20a

3

0r2

h1 er/a

12

r2

a2+ r

a+ 2

iExerccio 6: U= 3

5Q2

40a

Exerccio 7: V = R0

Exerccio 8: a) V = 140

eR

b) F =

140

e2a3

R3(2R2a2)(R2a2)2

Exerccio 9: i= 4Kv2ln ( ba)

Exerccio 10: a) dj/dz = 0, E(0) = 100V /m b) = 0exp

mgzkT

c)

E=E0expmgz

kT

, onde E0 = 100V /m

Exerccio 12: a) E1 = V2

d12+d21, E2 =

V1d12+d21

b) J = 1E1, perpen-

dicular as placas c) t = 0(12)Vd12+d21

d) l = (1221)d12+d21

Exerccio 13: a) q0 = 4

2qb) Q0 = 4Q

Exerccio 14 : F = 32

q1q2l2

0d4

Exerccio 15: Para r > R: B(r) = 0i2r

e H(r) = i2r

, para r < R:

B(r) = 0ir

2R

2e H(r) = ir

2R

2

Exerccio 16: B= 0ia2

(a2+(h2

)2

)32

z

Exerccio 18: a) B= 0i2s

b) = 0ia2

ln

s0+vt+ b2

s0+vtb

2

c)E= 0i

2ab

(s0+b

2+vt)(s0

b

2+vt)

v

d) iind= 0i2R

ab(s0+

b

2+vt)(s0

b

2+vt)

v

Exerccio 19: L12 =0aExerccio 20: L= L1+ L2+ 2

L1L2

Exerccio 21 : x 0I20N2R22kx2

0

Exerccio 22: B = 3.6T, M= 2.9 106Am1Exerccio 23: B= 0Q0

2a2

cos(t)

Exerccio 24 : a) B(a) = 0|j|a2 b) S= |j2

|2a

Exerccio 25: a) B(z, t) = z

(E2x E1y)ei(kzt) c) S = 10k

(E21 +

E22)e2i(kzt)k

Exerccio 26: 1Z

= 1Z1

+ 1Z2

= 1R+Li

+ 1R 1

Ci, quando R = L a

impedancia vale: Z=q

CL

Exerccio 27: a) 0=q

1LC R2

4L b) 0=

q 1LC 1

4R2C2 c) R0R= 0

00

LC

Escola Olmpica 24


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6 Solucoes

Exerccio 1 : Para resolver o problema, voce deve calcular a contribuicaode um trecho infinitesimal de comprimento dzdo fio, a uma distancia z docentro. Como o fio possui densidade linear de carga , a carga de um trechoinfinitesimal vale dq = dz. Alem disso, lembre-se que pela simetria doproblema, as componentes horizontais da forca de atracao se cancelam (Paratodo ponto a na posicao z, ha um ponto na posicaoz, cuja componentehorizontal tem mesma intensidade mas direcao contraria). Deste modo aforca que atua sobre a carga puntiforme devido a um trecho inifinitesimal dofio e:

dFy = 1

40

Qdq

r2 sin

Q

dzr

z

Comodq= dz,r2

=2

+z2

e sin = /p(2 + z2), a expressao anteriorfica:dF =

Q

40

dz

(2 + z2)3

2

Agora basta integrar de ate :

F = Q

40

Z

dz

(2 + z2)3

2

A integral acima pode ser resolvida por meio de uma substituicao trigo-nometrica, basta fazer:

z= tan

E portanto:

dz

d = sec2

Deste modo a integral fica:

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6 SOLUCOES

Z dz

(2 + z2)3

2

=

Z sec2 d

(2 +2 sec2 )3

2

= 1

2

Z 1

sec d=

1

2

Z cos d=

1

2sin+C

Como:

sin = zp

z2 +2

Segue que:

Z

dz(2 + z2)

3

2

= 12" zp

z2 +2#

= 22

Finalmente:

F= Q

40

Z

dz

(2 + z2)3

2

= Q

40

2

2

F = Q

20

Exerccio 5: a) Para calcular a carga total, voce pode calcular a con-

tribuicao de uma casca esferica de volume:

dV =Adr = 4r2dr

Deste modo, a contribuicao de uma casca esferica de raio r e:

dQ= (r)dV = 4r2er/adr

dr

r

Integrando de 0 ate encontramos a carga total da distribuicao:

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dQ= (r)dV = Q= 4 Z 0

r2er/adr

Voce pode calcular essa integral por meio de duas integrais por partesconsecutivas: Z

r2er/adr= ar2er/a + 2aZ

rer/adr

Z r2er/adr= ar2er/a + 2a

arer/a + a

Z er/a

Z

r2er/adr= ar2er/a + 2a arer/a a2er/aZ

r2er/adr= ar2er/a 2a2rer/a 2a3er/a + C

Portanto:

Q= 40

Z

0

r2er/adr= 40

ar2er/a 2a2rer/a 2a3er/a

0

Claramente todos os termos tendem a 0 quando r , deste modo:

Q= 80a3

b) Voce pode encontrar o campo eletrico pela lei de Gauss, utilizando oresultado do item anterior (Lembre-se que as cargas exteriores ao ponto emquestao nao contribuem com o campo eletrico:

ISE dS=

Q

0

4r2E(r) =Q(r)

Para encontrar Q(r) basta utilizar a integral do exerccio anterior, de 0ate r:

E(r) = 1

4r240

ar2er/a 2a2rer/a 2a3er/a r0

Apos simplificar a expressao obtemos:

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6 SOLUCOES

E(r) =20a3

0r2

1 er/a

12

r2

a2+

r

a+ 1

Exerccio 11 : Divida o capacitor em vario capacitores infinitesimais de

placas paralelas. A capacitancia de cada um desses capacitores vale:

C=dS

y

y

dx

yrepresenta a distancia entre as placas edSrepresenta a area do capacitorde espessura infinitesimal. dS pode ser escrito como dS = S.dx/l, onde lrepresenta a largura do capacitor. Deste modo a expressao anterior fica:

dC= S

l

dx

y

x e y podem ser relacionados atraves de um vnculo. Veja a seguintefigura:

y0

x

2

l

Ou seja, por semelhanca de triangulos fica facil ver que:

y0

2 =

x

l = y0 =2

l x

E a distancia y entre as placas, em funcao de x, e:

y= y 0 + d =2l

x + d

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y0

d d y

Assim, a expressao da capacitancia fica:

dC=S

l

dx2lx + d

Como o capacitor e composto com capacitores infinitesimais em paralelo,e a capacitancia equivalente de capacitores paralelos e Ceq =C1+C2+ +Cn,

basta integrar de 0 ate l para encontrar a capacitancia total:

C=S

l

Z l0

dx2lx + d

C= S

l

l

2

ln

2

l x + d

l0

C=S

l

l

2ln

d +

d

C= S

ll

2ln1 + d

1 d

!Por fim, basta expandir o logaritmo por uma serie de Taylor:

ln

1 +

d

=

d

d

22

+

d

33

...

e,

ln1

d=

d d

2

2 d

3

3

...

Portanto:

ln

1 +

d

1 d

!= ln

1 +

d

ln

1

d

=

d

d

22

+

d

33

...

!

d

d

22

d

33

...

!

ln

1 +

d

1 d

! 2

d+

3

d3

Escola Olmpica 29


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6 SOLUCOES

A capacitancia e entao:

C= S

l

l

22

d+

3

d3

C=S

d

1 +

2

d2

Exerccio 16: Primeiro, calcule a intensidade do campo magnetico no

eixo de uma so espira, a uma distancia z, por meio da lei de Biot e Savart:

a

z r

dl

dB

Figura 7: Representacao da espira. O vetor dl e tangencial a espira, destemodo, a contribuicaodB de um elemento infinitesimal da figura tem a direcaomostrada na figura, pois o vetor dBdeve ser perpendicular tanto a dlquantoar, que e o versor na direcao de r.

B=0i

4

Z dl r

r2

Como as componentes horizontais se cancelam, por simetria, deve-se con-siderar somente a componente vertical. Alem disso, um arco infinitesimal daespira vale dl= ad, onde representa o angulo que percorrea espira :

B=0i cos

4 Z ad

r2

Como r= cte.:

B=0ia cos

4r2

Z 20

d=0ia

2r2 cos

Como cos = a/r e r=

a2 + z2, o campo magnetico vale:

B= 0ia

2

2(a2 + z2)3

2

z

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h

a

Pz

Figura 8: Procuramos a intensidade do campo magnetico no ponto P

Agora, a partir da expressao anterior, vamos encontrar o ponto de maiorhomogeneidade. Para isto, iremos procurar o valor de zpara o qual a deriv-

cada de Bcom respeito a zse anula:

dB/dz= 0 = za2 + z25/2 = 0 = z= 0Deste modo, a primeira derivada do campo so se anula no plano da espira,

ou seja, quando nao ha separacao entre elas, assim, devemos encontrar umvalor de zpara o qual a segundaderivada e nula:

d2B/dz2 = 0 = (a2 4z2)

a2 + z2

7

2 = z= a2

Ou seja, a maior homogeneidade ocorre quando z = a/2. A separacaoentre as espiras e, portanto:

h= a

E o campo magnetico no ponto desejado vale:

B= 0ia

2

(a2 + h2

2)3

2

z

Exerccio 18: a) O campo magnetico B, a uma distancia s, pode serencontrado a partir da lei de Ampere:

I B dl= 0i

Bs

Z 20

d= 0i

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6 SOLUCOES

Bs

Figura 9: Representacao das linhas do campo magnetico

B= 0i

2s

b) O fluxo em um trecho infinitesimal da espira e:

d =BdA= 0i

2xadx

s + b2

s

b

2 x

dx

=0ia

2

Z s+a/2sa/2

dx

x

Resolvendo a integral e fazendo s(t) =s0+ vt:

=0ia

2 ln

s0 + vt + b

2

s0+ vt b2

!

c) A e.m.f induzida pode ser encontrada a partir da Lei de Lenz:

E= ddt

= 0ia2

1

s0+ b2

+ vt 1

s0 b2 + vt

!v

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E= 0i

2ab

(s0+ b2

+ vt)(s0 b2+ vt)v

d) Pela primeira Lei de Ohm:

E=Ri

Portanto:

iind= 0i

2R

ab

(s0+ b

2

+ vt)(s0

b

2

+ vt)v

Exerccio 23: A corrente de deslocamento na regiao e dada por:

id=0E

t

E pela lei de Ampere:IC

B dl= 0id=00E

t

O fluxo do campo eletrico e:

=

Z E dS= E2

E como o capacitor e formado por placas paralelas, o campo eletrico vale:

E=V

d =

Q

Cd=

Q

0A=

Q

a2

Portanto:

IC B dl= 00E

t

=02

a2

dQ

dt

=02

a2

Q0d(sin (t))

dtO campo Bentre as placas vale entao:

B2 = 02

a2Q0

d(sin(t))

dt

B=0Q0

2

a2 cos(t)

Exerccio 24 : a)

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6 SOLUCOES

I B dl= 0i= 0|j|a

2 = 2aB(a) =0|j|a2

B(a) =0|j|a

2

b) O vetor de Poynting e:

S= 1

0(EB)

Pelo resultado do item anterior:

S= 1

0(E 0|j|a

2 )

S= 1

0((|E|z) (0|j|a

2 ))

S= 1

0|E|

0|j|a

2 (z | {z }

)

Como |E|= |j|/:

S= |j2|

2a

c) A resistencia de um trecho de comprimentol do fio e, pela segunda Leide Ohm:

R=l

A

A potencia dissipada nesse trecho vale:

P =V i2

=Ri2

=l

A (|j|A)2

Como = 1/:

P = |j|2A

l

De acordo com o exerccio anterior, o vetor de Pointing e:

S= |j2|

2a

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Veja que ele e radial, ou seja, e normal a superfcie do cilindro. O fluxo

do vetor S e portanto:

S=S A= |j2|a

2 2al=

|j2|a2

2l

S= |j|2A

l

Ou seja:

S=P

Exerccio 25: Por meio da equacao:

E= Bt

E possvel encontrar o campo magnetico B pois ja foi dado o campoeletrico, basta calcular seu rotacional:

E(z, t) = (E1x + E2y)ei(kzt)

E=

x y zx

y

z

E1ei(kzt) E2e

i(kzt) 0

Calculando a determinante:

E= E2(ei(kzt))

z x E1

(ei(kzt))

z y

E= Bt

=zE2ei(kzt)x zE1ei(kzt)y

Integrando:

B(z, t) = z

(E2xE1y)ei(kzt)

b) Para mostrar que os campos sao ortogonais entre si basta mostrar queo produto escalar entre E e B e nulo. Assim:

E B= (E1ei(kzt))(E2e

i(kzt)) + (E2ei(kzt))(E1ei(kzt))

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6 SOLUCOES

Portanto:

E B= e2i(kzt)(E1E2 E1E2)

E B= 0

c) O vetor de Poynting e:

S= 1

0(EB)

S= 10

x y z

E1ei(kzt) E2e

i(kzt) 0z

E2ei(kzt) z

E1e

i(kzt) 0

Calculando a determinante obtem-se:

S= 1

0

k

(E21 + E

22)e

2i(kzt)k

Exerccio 26: A impedancia do trecho do circuito composto pelo resis-tor e pelo indutor em serie e:

Z1=R+Li

Ja para o segundo trecho, composto pelo resistor e pelo capacitor:

Z2 = R 1

Ci

A impedancia do circuito e a impedancia equivalente de Z1 e Z2 emparalelo, portanto:

1

Z =

1

Z1+

1

Z2=

1

R+Li+

1

R

1C

i

Se as constantes de tempos forem iguais, vale a relacao:

C=L = RC= L

R = R=

rL

C

A impedancia e entao:

1

Z =

1qLC

+Li+

1qLC 1

Ci

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Z=

qLC

+LiqLC 1

Ciq

LC

+Li +q

LC 1

Ci

Z=

rC

L

Que e independente da frequencia.

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Lista de Eletromagnetismo - Escola Olímpica