LISTA 3 - Eletromagnetismo

1) Um ima esta em uma

mesa, uma bussola e

deslocada sobre a mesa

ao longo da linha pon-

tilhada (percurso circu-

lar em torno do ima).

Quantas voltas a agu-

lha da bussola da ao

completar uma volta?

2) O campo magnetico da terra e de 20µT na regiao

de SP.

a) Qual deve ser a corrente em um fio reto longo

que produz um campo duas vezes mais in-

tenso?

b) Se o fio e 40 AWG e tem 5m qual o valor

da tensao e da potencia da fonte que produz

corrente suficiente para obter a corrente do

item anterior?

3) Calcule o fluxo total do campo magnetico atraves

de um solenoide de 25cm de comprimento e 1cm

de raio que possui um total de 400 espiras e por

onde passa uma corrente de 3A.

4) O alicate-amperımetro

e um medidor de cor-

rente eletrica, cujo

princıpio de funcio-

namento baseia-se no

campo magnetico pro-

duzido pela corrente.

Para se fazer uma me-

dida, basta envolver o

fio com a alca do am-

perımetro, como ilustra

a figura abaixo.

a) Se o campo magnetico num ponto da alca cir-

cular do alicate da figura for igual a 1, 0 ×10–5T , qual e a corrente que percorre o fio si-

tuado no centro da alca do amperımetro?

b) A alca do alicate e composta de uma bo-

bina com varias espiras, cada uma com area

A = 0, 6cm2. Numa certa medida, o campo

magnetico, que e perpendicular a area da es-

pira, varia de zero a 5, 0×10–6T em 2, 0×10–3s.

Qual e a tensao eletrica induzida em uma es-

pira?

5) Um gerador de inducao consiste na aplicacao di-

reta da lei de Faraday. Considere o gerador es-

quematizado. Na figura de baixo temos a posicao

da espira representada ao longo do tempo em

relacao ao ima em forma de U. Faca um grafico

esquematico representando a tensao no circuito

externo e a corrente.

6) Se a area exposta ao campo no exercıcio ante-

rior segue um seno. Projete para conseguir uma

tensao de pico de 12V, determinando: o campo

do ima, a velocidade de rotacao e as dimensoes

da espira. Voce pode aumentar o efeito usando

mais espiras, procure nao usar valores absurdos.

7) No sistema eletrico brasileiro em territorio ur-

bano as tensoes de transmissao em geral seguem

o padrao abaixo.

Com respeito ao abaixamento de tensao pro-

movido pelos transformadores publicos para uti-

lizacao em predios pequenos e casas, calcule

a proporcao do numero de espiras da bobina

primaria em relacao a bobina secundaria para que

os fios de fase tenham 127V.

8) Considere o circuito referente a um transforma-

dor 220V / 9V. Calcule i1 e N2.

9) Considere uma bobina de 5000 voltas feita com

fios esmaltados de cobre enrolados em um espiras

de 5cm de diametro com 6cm de comprimento da

bobina. Calcule sua indutancia em dois casos: a)

Apenas a bobina; b) A bobina com um nucleo de

ferro.

10) O princıpio de funcionamento dos detectores de

metais utilizados em verificacoes de seguranca e

baseado na lei de inducao de Faraday. A tensao

induzida por um fluxo de campo magnetico

variavel atraves de uma espira gera uma corrente.

Se um pedaco de metal for colocado nas proximi-

dades da espira, o valor do campo magnetico sera

alterado, modificando a corrente na espira. Essa

variacao pode ser detectada e usada para reco-

nhecer a presenca de um corpo metalico nas suas

vizinhancas.

a) Considere que o campo magnetico B atravessa

perpendicularmente a espira e varia no tempo

segundo a figura. Se a espira tem raio de 2

cm, qual e a forca eletromotriz induzida?

b) A espira e feita de um fio de cobre de 1

mm de raio e a resistividade do cobre e ρ =

2x10−8Ωm. Qual e a corrente na espira?

11) A historia da descoberta de James Clerk Maxwell

sobre a natureza da Luz (1861) teve a seu favor

o calculo da velocidade da onda gerada por cam-

pos eletricos e magneticos e sua comparacao com

o valor conhecido na epoca para a velocidade da

luz. As duas medidas mais recentes da velocidade

da luz haviam sido feitas por Hippolyte Fizeau

(1848) medindo 3, 4 × 108 m/s e Leon Foucault

(1850) medindo 2.98 × 108 m/s. Calcule a ve-

locidade da onda eletromagnetica utilizando as

constantes da teoria de Maxwell.

12) Para completar suas equacoes Maxwell teve de

descobrir um fenomeno que nao havia sido ante-

riormente verificado, que e complementar a Lei

de Ampere (origem de campos magneticos) e e

analogo a Lei de Faraday (variacao de fluxo de

um campo produz o outro campo).

Considere um capacitor de placas paralelas de ca-

pacitancia 100µF , de tamanho 5cm × 5cm, com

ar em seu interior. Ele esta sendo carregado por

uma corrente variavel de i = 10e−10t(A) por uma

fonte de 10V em serie com um resistor de 1Ω.

a) A carga no capacitor obedece:Q

C= V − VR.

Obtenha a expressao e faca o seu grafico

b) Calcule o campo eletrico ao longo do tempo

no interior das placas E(t).

c) Calcule o Fluxo do campo Eletrico e sua va-

riacaodΦE

dtd) A circulacao do campo magnetico produzido

pela variacao do fluxo na regiao imediata-

mente proxima as placas e dada por

∮Bdr =

4BL, L = 5cm, calcule a intensidade maxima

obtida pelo campo magnetico ao longo desse

experimento.

RESUMO :

Cargas eletricas (Q) geram Campo eletrico ( ~E).

Porem campo magnetico ( ~B) tambem pode ge-

rar campo eletrico (e portanto tensao). Assim, o

campo magnetico e introduzido como um ator dos

fenomenos eletricos, que agora passam a serem cha-

mados: eletromagneticos. Duas leis dizem respeito

ao campo magnetico: uma lei sobre sua forma e uma

lei sobre sua geracao (a partir de correntes eletricas,

e a partir de campos eletricos).

Assim, descreve-se todos os fenomenos e dispo-

sitivos eletricos, cada lei (assim como todas as de-

mais leis da Fısica) representam fatos experimentais

reunidos na forma de equacoes que permitem pre-

ver e calcular coisas. Os fatos experimentais foram

descobertos na primeira metade do seculo XIX, e

sua reuniao na forma final num conjunto de qua-

tro equacoes ocorreu ao longo da decada de 60 do

seculo XIX, por J.C. Maxwell. Maxwell ainda pre-

viu teoricamente a geracao de campo magnetico a

partir de campos eletricos (necessidade para logica

de suas equacoes) que foi entao verificada experi-

mentalmente depois e, por fim, previu que a Luz

nao era nada mais do que ondas de campos eletricos

e magneticos, abrindo a janela para compreender a

radiacao eletromagnetica pra muito alem de apenas

a radiacao visıvel.

Assim Maxwell nao so formalizou o eletromag-

netismo, introduziu realidade para os conceitos de

campo, como ainda descobriu um fenomeno antes

do experimento, e incorporou a otica em um con-

junto mais geral de fenomenos (e uma subarea do

eletromagnetismo) abrindo caminho para se inven-

tasse circuitos eletricos que trocam informacao por

meio de ondas de radio, trabalho que foi levado a

cabo pelos cientistas da segunda metade do seculo

XIX, e que desembocam nos aparelhos de telecomu-

nicacao. Mais que isso: todos zilhares de dispositivos

eletricos comerciais tem suas caracterısticas modela-

das pelas equacoes de Maxwell.

Ja estudamos a Lei de Gauss, corrente e tensao,

resitores e capacitores. Aqui o quadro e finalizado.

Lei de Gauss Magnetica: As linhas de campo

magnetico sempre sao fechadas, isso e equivalente a

dizer que nao existem monopolos magneticos1

ΦB = 0

onde o fluxo de B, ΦB, e calculado sobre uma su-

perfıcie fechada qualquer. A lei de Gauss Magnetica

diz, portanto, que por serem fechadas as linhas de

B, toda linha de campo de B que sair por um ponto

de uma superfıcie fechada em que se calcula ΦB aca-

bara retornando em outro ponto da superfıcie com

o campo no sentido oposto.

B e a intensidade do campo magnetico, medido

no SI em T (tesla), T = Ns/Cm. A tıtulo de com-

paracao o campo da terra (medido em SP, fizemos

essa medida muitas vezes em sala) tem intensidade

tıpica em torno de 20µT (aqui µ = micro = 10−6).

Note que isso e independentemente da forma

como o campo B for gerado: seja por corrente

eletrica (Lei de Ampere), seja por variacao de

fluxo do campo eletrico (Lei de Maxwell), seja o

magnetismo intrınseco de um ima (Estrutura da

Materia/Mecanica Quantica).

Perceba que para um ima a Lei de Gauss

Magnetica forca que sempre que a linha sai de um

polo N de um ima, havera um polo S no mesmo

ima para recebe-la de volta. Perceba como a geome-

tria do campo impoe entao um fato sobre todo ima:

1note que existem monopolos eletricos, e a Lei de Gaussnao e igual a zero, mas e proporcional a carga do monopoloque o produz.

se voce quebra ele, ele continuara tendo dois polos.

Por isso pode-se dizer tambem que a Lei de Gauss

Magnetica diz: Nao existe monopolo magnetico (em

oposicao ao que diz a Lei de Gauss eletrica que diz

que existem dois polos eletricos independentes: um

positivo - fonte de campo; e um negativo - sorve-

douro de campo).

O campo magnetico terrestre e gerado pela Lei

de Faraday, corrente eletrica do material metalico

fundido e sob alta pressao que tem correntes de con-

veccao intensas no interior da terra. Assim, o campo

magnetico da terra so existe por conta do interior

da terra ser ”lıquido”, na Lua, que tem o interior

”seco”, nao ha campo magnetico.

Matematica das proximas Leis

Empregamos ate aqui o calculo do fluxo de um

campo sobre uma superfıcie: ΦB =

∫S

~B · dA. Nas

leis de Gauss (seja a Eletrica ou a Magnetica) essa

superfıcie e sempre fechada (indicavamos com uma

circunferencia no sinal de integral).

Nas proximas duas leis que seguem os campos

tem linhas fechadas, em geral as linhas sao circun-

ferencias. Para calcular a intensidade desses campos

se precisa entao introduzir uma nova conta. Iremos

integrar o campo ao longo de um caminho fechado

que segue o campo. O caminho e descrito por seus

elementos de arco d~r, e se o caminho esta ao longo

das linhas (paralelo).

Caminho: linha contınua com seus pedacos dados

por d~r, campo: setas.

Entao apenas somaremos (integral) as contri-

buicoes Edr ou Bdr neste caminho completo (que

por ser fechado o ponto final e o mesmo que o final).

Ou seja, aparecerao:∮~E · d~r e

∮~B · d~r

Essa integral (integral de linha, ou de caminho)

chamamos de ”circulacao do campo”.

Para o caso de E, isso nada mais e, do que a tensao

gerada pelo campo ~E (energia por carga, ou volt),

so que agora teremos um caminho fechado porque os

campos estao agora ”dando voltas”. Para o caso de

B nao dizemos ”tensao magnetica”porque o campo

magnetico nao tem potencial2.

Lei de Ampere: Corrente eletrica produz campo

magnetico (sentido dado pela regra da mao direita).∮C

~B · d~r = µI

I e a corrente total que atravessa a superfıcie ar-

bitraria do interior do caminho C que se calcula a

circulacao de B. µ e a permeabilidade magnetica do

meio. Aparece como constante de proporcao, as-

sim como antes aparecia ε, mede, assim, a ”faci-

lidade”com que um campo pode se estabelecer em

um meio material a partir da corrente que o produz.

A relacao entre a corrente e a direcao do campo

gerado e dada pela Regra da mao direita:

A unidade de [µ] = Tm/A = N/A2 = H/m. H:

henry e uma unidade de medida de indutancia que

sera apresentada mais adiante3

Para o vacuo: µ0 = 4π × 10−7N/A2 = 1, 26 ×10−6N/A2

A permeabilidade magnetica do ar e muito

proxima ao valor do vacuo (assim como ocorre com

2Por sempre ser fechado (circular) o campo magnetico elenao tem a propriedade de ”ao voltar ao mesmo ponto o traba-lho deve ser zero”, que e fundamental para inventar a palavra”energia potencial”, campos que nao tem potencial sao cha-mados de nao conservativos. Assim como e o B, e como serao E quando gerado pela Lei de Faraday. Nao ser conserva-tivo nao significa violar a conservacao da energia, mas ape-nas que a conservacao ocorrera considerando-se um problemamaior que nao apenas observando um unico campo (precisados dois).

3Caracterıstica fısica de indutores (bobinas) como a capa-citancia para os capacitores

a permissividade eletrica). Abaixo uma tabela com

outros valores de µ4

Material µ (H/m) Material µ (H/m)

Ferro 2, 5× 10−1 Aco 1, 26× 10−4

Cobre 1, 26× 10−6 Niquel 1, 3× 10−4

APLICACOES:5.

Com a Lei de Ampere se obtem a relacao entre

campo e corrente para dois casos importantes com

corrente constante:

1) Fio reto (primeira figura desse resumo). R:

distancia do ponto considerado ao fio, i:corrente; µ:

como em geral o campo esta do lado de fora do fio,

normalmente no ar usamos µ0.

B2πR = µ0i

2) Fio enrolado (bobina, solenoide, segunda fi-

gura). `: comprimento do solenoide, N : numero

de espiras (voltas) enroladas, µ: pode ser o ar mas

tambem pode ser em aplicacoes um material como o

ferro (que tem alta permeabilidade magnetica, veja

a tabela) que serve para intensificar o campo.

B` = µNi

O surgimento de campo magnetico na Lei de

Ampere e dado pela existencia de corrente eletrica,

entretanto existe mais um mecanismo para sua

geracao a partir da variacao do campo eletrico, as-

sim a Lei de Ampere e parte de uma lei final: a Lei

de Ampere-Maxwell, que sera fechada no final.

Unidades na Lei de Ampere: A Lei de Ampere

tem as dimensoes:

[B]m = [µ]A

Portanto, a unidade de B e µ estao relaciona-

das. A unidade de B, assim como foi para o campo

eletrico, precisa ser avaliada em termos mecanicos6.

Isso revela um outro fenomeno: ”cargas eletricas

sentem forca devido ao campo magnetico”7.

4Para mais clique aqui5Assim como a lei de Gauss serviu para obter as relacoes

entre o campo eletrico e quantidade de cargas acumuladas ea forma geometrica em que elas sao acumuladas

6Assim como o campo eletrico, como F=qE, portanto:[E] = N/C

7Analisaremos esse fato em conjunto com a entrada dotermo de Maxwell nessa lei acima.

Essa relacao entre o campo magnetico e as uni-

dades mecanicas fundamentais e a seguinte: [B] =

Ns/Cm = N/mA = T , onde T: tesla e a unidade

no SI do campo magnetico.

Lei de Faraday: Variacao do fluxo do campo

magnetico sobre uma espira produz tensao na espira.∮C

~E · d~r = −dΦB

dt

O fluxo de B e calculado na regiao interna ao cir-

cuito percorrido pelas linhas de E. Ou seja o campo

E circula em torno da regiao em que B varia, de ma-

neira semelhante ao que ocorreu na geracao de B a

partir da corrente i.

Entretanto note a sutileza: na lei de Ampere a

corrente pode ser constante (estacionaria), gerando

um campo constante. Aqui nao, aqui o fluxo de

B precisa variar. Um ima parado proximo a uma

espira tem o fluxo constante mas nao aparece tensao

na espira. Ao fazer variar o fluxo (pelo movimento

de um ima) aı sim ha o surgimento de uma tensao

(que pode ser constante se a variacao for constante,

ou seja linear). Ou seja a Lei de Faraday nao e o

recıproco logico da lei de Ampere.

Esse princıpio e tambem conhecido como

”princıpio de inducao eletromagnetica”, e alguns

se referem a ele como princıpio do dınamo (nome

popular dos primeiros geradores)8.

A corrente e a tensao resultante na espira tera um

sentido muito bem definido e dependente da direcao

do campo e se ele se aproxima (aumenta) ou afasta

(diminui) sobre a area interna da espira. A corrente

produzida tera a direcao de produzir um campo

magnetico que seja oposto a variacao do campo ex-

terno, fato chamado Lei de Lenz. A representacao

da Lei de Lenz esta no desenho abaixo.

8Essa Lei fısica e a lei que possibilita a existencia de ge-radores/motores e transformadores (que sobem ou abaixama tensao). Sua descoberta (1831) e formulacao final 30 anosdepois (na forma final acima, devida a Maxwell) estao asso-ciados a gigantesca revolucao tecnica da humanidade no finaldo seculo XIX e inıcio do seculo XX. O sistema AC e a infi-nidade de dispositivos eletricos.

B(induced) = B(induzido) e o campo produzido

pela corrente que surge nas bobinas. ∆B e a va-

riacao do campo ao longo do movimento do ima em

relacao a bobina (aqui parada).

Uma forma mais simples de escrever essa Lei e

tomar o modulo e substituir a tensao:

V =dΦB

dt

onde V e a tensao em uma espira. Se houverem

N espiras estarao todas em serie e a tensao e entre

o comeco e o final do solenoide (primeira e ultima

espira) e o fluxo tambem contabilizara as N espiras.

O sentido da tensao (se positivo ou negativo) pode

ser pensado independentemente atraves da Lei de

Lenz.

APLICACOES: Para utilizar a Lei de Faraday

voce entao precisa conhecer o fluxo do campo

magnetico e como ele varia ao longo do tempo. Boa

parte das vezes vai usar:

ΦB = NBA

Aproximacao de campo uniforme B sobre a es-

pira, em que ou vai variar B ou A. Entao basta deri-

var para encontrar a tensao. N foi introduzido para

considerar o numero de espiras, muito raramente se

usa apenas uma espira.

Calculando a derivada de ΦB em termos do tempo

voce tem a tensao. Em geral o movimento vai ser

cıclico e portanto tambem a tensao e cıclica (gera-

dor AC), trocando de sinal e se repetindo indefini-

damente. Os sinais voce pensa separadamente utili-

zando a Lei de Lenz.

COMENTARIO: A chave portanto para gerar

tensao e apenas fazer um fluxo de um campo

magnetico variar sobre uma bobina. O fluxo pode

variar fazendo variar a intensidade de um campo

magnetico sobre a bobina, ou fazendo mudar a area

interna das espiras exposta ao campo (que pode ser

feito girando a bobina, ou o ima). Isso pode ser feito

de muitas formas, por exemplo no esquema abaixo,

em que se pode usar um ima na forma de U, e gi-

rar uma espira que pode ter o seu contato mantido

com fios do circuito externo (setas de saıda e entrada

no plano da frente do desenho) atraves de escovas

metalicas (brushes).

Assim, qualquer dispositivo que for gerar movi-

mento a partir de eletricidade (ventilador, motor de

qualquer tipo - geladeira, batedeira, secador de ca-

belo, etc...) e tambem qualquer outro que for gerar

eletricidade a partir de movimento (gerador, alter-

nador de carro), partem desse princıpio.

TRANSFORMADOR: Um transformador tem a

funcao de fazer variar a tensao entre a bobina

primaria e a bobina secundaria. Elas nao tem con-

tato eletrico, apenas magnetico.

O campo gerado pela bobina primaria sobre a bo-

bina secundaria varia apenas se a corrente na bo-

bina primaria e variavel e nao funciona com fontes

DC. Por ser um dispositivo muito simples o trans-

formador torna simples de se variar a tensao em um

sistema AC, e nesse fato reside a vitoria do sistema

AC sobre o sistema DC, ja que, como vimos ante-

riormente, altas tensoes possibilitam a reducao de

perdas em linhas de transmissao.

Para o transformador a relacao entre as tensoes da

bobina primaria e da secundaria, e o numero de espi-

ras de cada uma obedece uma relacao de proporcao

simples (regra de 3) entre o numero de espiras das

bobinas e suas tensao: a que tiver mais voltas vai ter

mais tensao. Alem disso a potencia em cada uma de-

las e a mesma (no caso em que se despreza as perdas,

isso e apenas a conservacao da energia).

Transformador =

V1N1

=V2N2

V1i1 = V2i2

INDUTOR E A INDUTANCIA: A bobina (ou

solenoide) produz em seu interior um campo

magnetico pela passagem de corrente. Mas veja que

logico: se a corrente muda, digamos que aumente,

entao havera mudanca do campo magnetico e, con-

sequentemente, havera uma tensao causada pela Lei

de Faraday que se opoem ao aumento do campo,

fazendo a corrente tender a diminuir. O oposto

tambem e verdade: se a corrente tentar diminuir

a Lei de Faraday fara surgir um aumento na tensao

favorecendo a corrente. A esse efeito se da o nome

de auto-indutancia e veja que tem a mesma ideia da

inercia na mecanica: algo que se opoe a mudanca.

A partir da expressao B =Nµi

`para uma bobina

de N voltas com comprimento ` e area A, entao V =

NAdB

dt, segue:

V =µN2A

`

di

dt

Ou seja, a relacao entre tensao e corrente em bo-

binas obedece a forma:

V = Ldi

dt

onde

L =µN2A

`

e a chamada indutancia, parametro caracterıstico

de um solenoide/bobina, veja que depende do

numero de voltas, da area interna A que concentra

o campo magnetico e do comprimento `.

A unidade de [L] = V s/A = H, e H e a

unidade ”henry”9. Bobinas usualmente tem in-

dutancias da ordem de mH (mili-henry).

Note, por fim, que com isso a unidade de µ

9Unidade dada em homenagem a Joseph Henry o inventorde um dispositivo eletromecanico muito popular, o rele

discutida anteriormente fica diretamente dada por

[µ] = H/m, utilizada na tabela de permeabilidades

magneticas de materiais.

O indutor fecha o quadro de dispositivos eletricos

passivos cujos sımbolos sao apresentados abaixo:

Dispositivo Eq.(i–V) unidade

Resistor V = Ri [R]=Ω

Capacitor CdV

dt= i [C]=F

Indutor V = Ldi

dt[L]=H

Esses tres elementos de circuito podem ser associ-

ados de modo a controlar a corrente que circula por

um circuito e sao empregados em circuitos de cor-

rente variavel como filtros de frequencia (RL - filtro

que retira altas frequencias, ou RC - filtro que retira

baixas frequencias) ou como ressonadores (RLC, que

tem ressonancia em uma faixa de frequencias, que e

o caso dos receptores de radio/TV).

Em conjunto com as valvulas (dispositivos que

atuam permitindo passagem de corrente em apenas

uma direcao, e controlando a quantidade de corrente

passada) e os motores toda a tecnologia eletrica foi

desenvolvida, anterior aos circuitos eletronicos e a

tecnologia dos semicondutores (em que se inventou

o diodo e o transistor).

Unidades na Lei de Faraday: Evidentemente

nenhuma nova constante a essa altura pode ser in-

ventada na medida em que temos ja uma constante

eletrica ε e uma constante magnetica µ, mas veja

que na Lei de Faraday nao ha necessidade de ajuste

da proporcao com o uso das constantes µ e ε.

[ΦB] = Tm2 =Ns

Cmm2 =

Nsm

C

Mas veja que o que temos edΦB

dt, logo a unidade

1/s deve ser adicionada devida a derivada em termos

do tempo. Entao:

[dΦB

dt

]=Nsm

Cs= Nm/C = J/C = V

precisamente a unidade de [E]m que e a mesma

unidade de tensao (e a mesma, portanto, da cir-

culacao de E).

Lei de Ampere-Maxwell: corrente gera campo

magnetico (Ampere), variacao do fluxo de campo

eletrico gera campo magnetico (Maxwell).∮C

~B · d~r = µI + µεΦE

dt

O segundo termo da Lei acima e a descoberta de

Maxwell, o primeiro e o termpo de Ampere, e essa e

a Lei de Ampere-Maxwell em sua forma final.

Maxwell notou que da mesma forma como a va-

riacao do fluxo do campo magnetico sobre uma su-

perfıcie aberta produz circulacao de campo eletrico

na fronteira dessa superfıcie tambem a variacao de

fluxo do campo eletrico em uma superfıcie aberta

produz a circulacao de campo magnetico. Esse sim

e o efeito reverso da Lei de Faraday.

Uma forma de notar sua necessidade logica10 do

termo de Maxwell e o caso abaixo.

Considere uma superfıcie aberta do desenho para

o calculo da circulacao de B em sua borda.

Ha corrente apenas enquanto o capacitor esta

sendo carregado, e portanto ha circulacao de B no

caminho considerado. Entretanto a corrente nao

fura o interior dessa superfıcie na medida em que

ela foi deformada para estar entre as duas placas

dos capacitores. Portanto I=0, mas a circulacao de

B nao e (ja que essa corrente gera B entorno do fio),

logo: contradicao com a Lei de Ampere.

10Alem do fato de que a Lei de Faraday precisava ter umavolta, na medida em que ela nao e a alternativa logica verda-deira a Lei de Ampere

A unica coisa que comunica o prato positivo do

capacitor com o negativo e o campo eletrico entre

eles, mas esse campo varia (na medida em que a

carga em cada prato esta aumentando), esse campo

e a unica coisa que da fluxo sobre a superfıcie dese-

nhada. Portanto pode ser adicionado para eliminar

a contradicao da Lei de Ampere.

Note que esse campo eletrico variavel entre os pra-

dos e o elemento fısico que comunica os dois pra-

tos que experimentam correntes, ja que a corrente

nao salta de um prato a outro pela presenca do

dieletrico. Logo o campo eletrico garante a continui-

dade fısica das correntes na regiao onde nao existe

corrente, e por isso seu batismo com o nome ”Cor-

rente de Deslocamento”, pois Maxwell e os demais

de seu tempo chamavam o Campo Eletrico de Deslo-

camento Eletrico (na medida que e a entidade fısica

que surge pela separacao de cargas e que produz o

movimento de cargas).

Note que nao ha sinal negativo aqui, e portanto a

variacao de ~E produz circulacao de ~B na regra da

mao direita.

Unidades: O termo de Maxwell e µεdΦE

dtnote

que as duas constantes eletrica e magnetica foram

introduzidas. O motivo e simples: a unidade de [E]

precisa ser transformada em unidade de [B]. ε e

colocado para cancelar a unidade de [E] ao passo

que µ entra para poder colocar a unidade de [B]

e balancear o lado esquerdo da equacao (que tem

[B]m).

O produto µε tem unidade11:

[µ][ε] =[B]m

A

C

[E]m2

Mas

[dΦE

dt

]=

[E]m2

sAssim no termo de Maxwell:

[µ][ε]

[dΦE

dt

]=

[B]m

A

C

[E]m2

[E]m2

s= [B]m

11usando as duas equacoes em que apareceram primeiro: aLei de Gauss Eletrica e a Lei de Ampere

Grand Finale... Portanto as 4 equacoes de

Maxwell, que serve para todos os fenomenos eletro-

magneticos macroscopicos conhecidos...

Q→ ~E Lei de Gauss ΦE =Q

εEletrica

QB 9 B Lei de Gauss ΦB = 0

Magnetica

i→ ~B Lei de Ampere-

∂tE → ~B -Maxwell

∮~B · d~r = µI + µε

dΦB

dt

∂tB → ~E Lei de Faraday

∮~E · d~r = −dΦB

dt

Fiat Lux... Essas descobertas e sua com-

pilacao tao brilhante nao podia passar batido sem

antes revelar algo ainda mais fundamental.

Ao introduzir o termo da corrente de desloca-

mento Maxwell notou que a ”relacao circular”:

∂t ~B → ~E e ∂t ~E → ~B tinha algo muito especial.

Se toma-se como vacuo o meio na ausencia de

materia, entao I = 0 e Q = 0 e as leis de

Ampere-Maxwell e Faraday ficam completamente

simetricas (a menos do sinal negativo), o mesmo

ocorre para as leis de Gauss Eletrica e Magnetica.

Note que as expressoes de Gauss fazem com que os

campos precisem ”voltar”(garantindo que haja um

certo perfil arredondado), ao passo que as Leis de

Faraday e Maxwell garantem que haja uma certa

auto-consistencia de um campo gerar outro, e isso

pode ser feito dinamicamente de maneira ”eterna”na

ausencia de elementos absorvedores.

A mistura dessas equacoes com o cuidado de

transforma-las de integrais a derivadas (procedi-

mento matematico que nao vamos fazer, demanda

de dois teoremas o teorema da divergencia de Gauss

e o teorema de Stokes) resulta em uma equacao de

onda12 para as equacoes de ~E e ~B.

Pois essas equacoes trazem em si a velocidade com

que essa onda de campos se propaga. As unicas

constantes da teoria sao µ0 e ε0 (ja que estamos fa-

lando do espaco livre, que sao ambas muito proximas

tambem dos valores para o Ar atmosferico). Maxwell

obteve, entao que a velocidade dessa onda (no vacuo,

ou no ar) seria:c =

1√µ0ε0

Se voce substitui esses valores ira obter um valor

proximo a 300.000km/s, que e a velocidade da Luz.

Maxwell fez isso e ali foi um grande momento da

ciencia humana.

Ao tempo de Maxwell (estamos falando dos anos

de 1860) sabia-se que:

1) A luz tinha velocidade finita de cerca de

300.000km/s - ideia e medida inicial de Ole Roemer

em 1676, tornada concensual apos as descobertas de

Bradley em 1729. Ao tempo de Maxwell os experi-

mentos mais recentes (e precisos) haviam sido feitos

por Hippolyte Fizeau (1848) medindo 3, 4×108 m/s

e Leon Foucault (1850) medindo 2.98× 108 m/s.

2) A luz havia de ser uma onda por exibir propri-

edades de ondas - efeitos de difracao e interferencia,

descobertas de Young em 1801 (curso de ondas), e

consensuais por volta de 1820 com o trabalho de

Fresnel.

Entretanto, nao se sabia do que era feita a

Luz. Maxwell matou a charada: A Luz e feita de

campos eletricos e magneticos, que ao osci-

lar se produzem mutua e continuamente, daı

se propagar pelo vacuo do espaco sem qualquer pro-

blema.

Logo que confirmada a teoria de Maxwell sobre a

Luz, com os experimentos de Hertz e outros, a luz

12Toda onda tem um perfil u(x, t) (uma funcao de duas

variaveis) que deve obedecer a equacao:d2u

dt2= v2

d2u

dx2, onde

v e a velocidade da onda

passou a ser chamada de Radiacao Eletromagnetica,

que vai desde ondas de radio (utilizados em teleco-

municacoes: da teoria de Maxwell sairam os radios

e depois a TV e todo o resto) com maiores compri-

mentos de onda, passando pelas microondas (utili-

zado nos famosos fornos popularizados na decada de

90) e pela radiacao infra-vermelha (que e o calor,

portanto o eletromagnetismo tambem deu suporte

fısico para a termodinamica), pela radiacao ultra-

violeta e chega ate menores comprimentos de onda

como o Raio-X (descobertos no seculo XX, e uti-

lizados nas famosas radiografias) e os Raios-gama

(utilizados hoje em tratamentos de cancer). Num

trecho mınimo do espectro eletromagnetico (entre a

radiacao infra-vermelha e a radiacao ultra-violeta)

esta a Luz que enxergamos. O mundo ficou fantas-

ticamente simples.

No final do seculo XIX se sabia, enfim, o que era

a Luz, como se podia calcular, projetar e inventar

circuitos eletricos para fazer trocarem ondas eletro-

magneticas (Hertz entraria no jogo para produzir as

ondas de Maxwell, vimos no curso de ondas). Isso

possibilitou a revolucao das comunicacoes, em para-

lelo com a, ja em curso no final do seculo XIX, re-

volucao tecnica com geradores, motores e os muitos

possıveis dispositivos que se desenvolviam o tempo.

Os motores eletricos e as lampadas agora seriam

usados extensivamente nas fabricas para produzir

em escala bens tecnologicos que estavam nascendo.

A nova industria seria profundamente dependente

do eletromagnetismo (que se tornou a mais usada

fonte de energia e trabalho) por produzir em escala

automoveis, armas de fogo, etc...

As empresas que produziam dispositivos eletricos,

e as grandes empresas que utilizavam a eletricidade

para gerar os bens acima se tornaram as grandes

empresas modernas. Logo o eletromagnetismo vi-

raria ainda radio, geladeira, TV... Enfim, o capita-

lismo se ergueu verdadeiramente como o conhecemos

hoje, e claro que o dinheiro nao veio do nada. Depen-

dente, portanto, da pesquisa cientıfica e do progresso

tecnologico que dela provem. Todos os dispositivos

eletricos e eletronicos relevantes a partir do seculo

XIX foram primeiro construıdos como experimentos

cientıficos.

O capitalismo nao investe em ciencia por sua be-

leza de princıpios, o capitalismo depende da ciencia.

Pra nao dizer que essa ideia parece meio ”exage-

rada”, deixo umas reflexoes abaixo.

Um novo comeco: o seculo XX e a conti-

nuacao tecnologica

Sob a ciencia de Maxwell comeca o seculo XX.

Porem, como de costume em ciencia, o Grand-Finale

e sempre um grande recomeco. Por um breve tempo

no final do seculo XIX se pensou que se conhecia,

enfim, toda a Fısica: a Mecanica, o Calor (Termo-

dinamica), a Eletricidade e a Luz. Isso se chama

Fısica Classica.

Hoje a Fısica Classica segue viva, sendo aplicada

em dispostivos que vem sendo aperfeicoados na fusao

com dispositivos desenvolvidos ja sobre a ciencia do

seculo XX que podemos chamar de ”pos-Maxwell”.

Sob o aspecto cientıfico, no inıcio do seculo XX ha-

via muitos experimentos a serem entendidos e mode-

lados. Mas agora tinha-se a tecnica com as teorias a

mao. Destes, quatro experimentos envolvendo a Luz

foram particularmente importantes:

1) efeito foto-eletrico - a Luz e capaz de carregar

e descarregar placas metalicas;

2) o espectro de radiacao termica (Luz na faixa do

infravermelho) de um corpo negro;

3) a presenca de apenas algumas linhas (raias) de

cores na Luz emitida por gases em tubos e por es-

trelas;

4) e o fato de que a Luz sempre tinha a mesma

velocidade independente de como se esteja se deslo-

cando em relacao a ela ao medir seu valor.

Alem disso, o seculo XX comecou com a desco-

berta do Eletron e do Raio-X gerado por decaimento

radiativo. Ou seja, havia a necessidade de entender a

materia em seus constituintes. De onde vem a carga

eletrica? O que eram os elementos quımicos? etc...

A historia comeca a se resolver e a ciencia vol-

tar a andar logo na sequencia, com o trabalho de

Einstein, que leva a teoria do eletromagnetismo de

Maxwell adiante em termos mecanicos, notando que

ela trazia problemas para a mecanica de Newton e

que percebeu que c (velocidade da luz) era tao es-

pecial que seria alcado a condicao de constante uni-

versal (teoria da Relatividade Restrita) (solucao do

problema 4). O proprio Einstein inventou uma te-

oria provisoria para resolver o problema 1). Ambas

respostas foram em 1905.

O problema 2) foi resolvido por Planck (em 1900,

antes de Einstein) em carater provisorio e utilizado

por Einstein no problema 1), e o problema 3) acabou

ganhando dicas estranhas. Os problemas de 1) a 3)

so puderam ser compreendidos em sua essencia com

uma nova Fısica, que tambem resolveu as questoes

sobre o que seria a materia.

Trabalhos abstratos? Problemas abstratos? Fei-

tos e financiados pela ”beleza do avanco da compre-

ensao do homem sobre a natureza”?. Nao, isso, evi-

dentemente, nao e assim, violaria regras do mundo

do dinheiro, e uma das maiores regras do mundo do

dinheiro e: se faz necessario que, no futuro, os inves-

timentos se paguem. Quem tem um emprego pode

ate ter uma ideia bonita sobre o significado do seu

trabalho, mas quem paga, paga por um motivo: pre-

cisa que o trabalho seja feito, para que a cadeia de

atividades que o envolve avance ate o momento em

que o investimento seja capitalizado.

Por exemplo, a descoberta do Boson de Higgs

em 2012 no acelerador LHC do laboratorio europeu

CERN custou cerca de 13,25 bilhoes de dolares desde

que o laboratorio inicial foi fechado para reforma

que fundou o LHC (realizada ao longo da primeira

decada 2000). Sendo que esse valor foi de investi-

mento direto dos paıses do consorcio que o mantem

(a conta retirei de uma materia da Forbes). Esse

dinheiro teria sido pago para checar um modelo ci-

entıfico abstrato sobre a realidade de uma partıcula

prevista em uma teoria apreciada por poucos? Nao,

isso faz parte de uma cadeia produtiva de experimen-

tos tecnologicos que, por serem desafiadores (e nao

terem contrapartida no mundo tecnologico comum),

levam a avancos tecnologicos realmente inovadores

(nesse experimento, por exemplo, o processamento

de dados computadores e a tecnologia de sensores e

de dispositivos de baixas temperaturas em larga es-

cala sao a fina flor do que ja se projetou no mundo).

Veja: a missao Apollo, de ir pra lua, foi o teste ini-

cial do... computador digital, que hoje esta no seu

bolso.

O custo de se manter o mundo avancando tecnolo-

gicamente e exatamente o custo de manter o mundo

investindo em ciencia. Adiante volto a esse argu-

mento com mais um exemplo.

Newton e Galileu dividiram a humanidade em

duas epocas, Maxwell dividiu o mundo pos Newton

em duas epocas. A fısica pos-Maxwell e a fısica do

atomo e da miniaturizacao: a Fısica moderna, e a

mais bem sucedida teoria fısica: a Fısica Quantica.

Bohr, Schroedinger, Heisenberg e Dirac (pra citar

os formuladores, mas como no caso do Eletromag-

netismo, e mesmo na dupla Galileu-Newton, nao ha

ciencia sem experimento/teoria) firmaram as bases

teoricas da Mecanica Quantica (concluıda na decada

de 30). Essa nova ciencia (na epoca, hoje quase cen-

tenaria) avancou junto com novos experimentos le-

vou a terceira grande revolucao tecnica da humani-

dade (meados do seculo XX): os dispositivos semi-

condutores, os circuitos integrados e o computador

digital (e os milhares de novos dispositivos que se

tornaram possıveis com a realizacao da logica com-

putacional sobre dispositivos digitais), da moderna

ciencia de materiais para dopar materiais, produzir

supercapacitores, campos magneticos intensos para

dispositivos de memoria, e etc...

Essa e a etapa tecnologica em que estao as insti-

tuicoes dos paıses que desenvolveram o eletromagne-

tismo no tempo das descobertas de Maxwell. Quem

fez antes, segue fazendo melhor. O tempo e abso-

lutamente impiedoso com respeito ao progresso ci-

entıfico, e isso e uma das grandes diferencas entre

um paıs desenvolvido (do centro do capitalismo) e

um subdesenvolvido (da periferia do capitalismo).

Esses paıses utilizaram a cultura cientıfica que de-

senvolveram e o dinheiro acumulado na primeira Re-

volucao Industrial. Caso da Inglaterra, Maxwell e

Faraday (e Newton, que precisa ser homenageado),

e dos paıses Europeus mais desenvolvidos como a

Alemanha de Gauss e Hertz (e dos proximos revo-

lucionarios: Einstein e Heisenberg), a Franca, paıs

de Ampere e Coulomb, e a Italia, paıs de Volta (e

Galileu, o fundador da ciencia).

Repare, o G7 e o grupo dos 7 paıses mais ri-

cos/influentes do mundo, fundado na decada de 70,

com os paıses cujo PIB e mais de 50% do total do

mundo. Alem desses acima, completam o grupo:

EUA, Japao e Canada. A inclusao de Japao e

Canada parece complicada sob aspecto polıtico e

economico (e cientıfico), assim como a incorporacao

da Russia em 1997 (e o grupo virou G8). Mas...

para os EUA podemos ver a assinatura anunciada

nas nacionalidades daqueles que desvendaram as leis

do eletromagnetismo, como nos anteriores: Henry e

norte-americano e Tesla e imigrante servio (com du-

pla cidadania) radicado nos EUA (onde desenvolveu

sua carreira).

Os EUA nasceu depois da Primeira Revolucao In-

dustrial (1783), teria em princıpio no final do seculo

XIX menos tradicao cientıfica que os pares euro-

peus. Entretanto a ascendencia a ciencia estava ate

no fato de que um dos fundadores dos EUA (foun-

ding fathers) e Benjamin Franklin, cientista, que for-

mulou e popularizou a existencia dos dois tipos de

carga eletrica e o primeiro formulador de que trovoes

eram descargas eletricas. Os EUA historicamente

atraıram muitos imigrantes cuja profissao estava em

ciencia e tecnologia (ate hoje a a base de seu de-

senvolvimento cientıfico e feito em grande parte por

imigrantes). Mas veja que Thomas Edison e sua

empresa Edison Company (criada com os royalties

da lampada descoberta por tentativa e erro), e de-

pois transformada em GE no seculo XX, sao criacoes

americanas. O imigrante servio Nikola Tesla, e a em-

presa que o contrata a Whestinghouse, no final do

seculo XIX brigam com a Edison CO. e disputam

pela geracao comercial de energia em grande escala

(ver ”Guerra das Correntes”ou ”War of currents”).

Ganha Tesla, e o primeiro sistema de geracao de

energia em grande escala, e a gigantesca quantidade

de dispositivos que se pode inventar com o motor

eletrico, possibilita o rapido crescimento das empre-

sas americanas com a producao em escala. Supera-se

entao a origem tardia em relacao aos paıses euro-

peus, e leva ao rapido desenvolvimento tecnologico

e cientıfico.

As guerras da primeira metade do seculo XX tor-

nariam os EUA um paıs ainda mais atraente para a

ciencia. E, assim, a ciencia ali chegou a suprema in-

vencao dos transistores (desenvolvido por pesquisa

cientıfica) e dos circuitos eletronicos (idem), com,

claro, bomba atomica no meio tempo: outro avanco

do domınio tecnologico sobre a natureza e, ao mesmo

tempo, significado supremo de inovacao e sua conse-

quente realizacao economica.

Bem, chega... voces tem a mao informacao produ-

zida pelo mundo e armazenada em uma rede de com-

putadores (rede nascida cuja estrutura mais funda-

mental, nasceu no CERN na decada de 80 para troca

e analise de dados) acessando essa rede por um dis-

positivo que usa microchips (primeira vez testados

nos dois maiores computadores da epoca na missao

Apollo 11) manipulando a informacao por meio de

um touchscreen (desenvolvido a partir da ciencia

das academias tambem: EA Johnson/1965, Ingles,

do Royal Radar Establishment - instituicao de pes-

quisa cientıfica britanico, com prototipos de Frank

Beck and Bent Stumpe/CERN e de um grupo de

pesquisa da universidade de Ilinois/EUA na decada

de 70, avancado em sensibilidade e controle na Uni-

versidade de Toronto em 1982)... e sabe onde isso

tudo foi parar. Sem grande novidade sabe-se que as

aplicacoes tecnologicas da ciencia ainda vao longe.

Efetivamente nada disso haveria sem a ciencia

nem avancara sem ela. A partir do seculo XIX da

ciencia partiram todos os princıpios, tecnicas em dis-

positivos que quebraram paradigmas e que viraram

realidade comercial seja em seu princıpio de funcio-

namento, seja em sua versao inicial, seja na formacao

dos que os desenvolveram. As empresas escalam a

producao, por vezes investem diretamente, por ve-

zes investem como parceiros em uma curiosa rede

voltada a reduzir os riscos de investimento, mas do

qual nao podem se omitir. Como se ve, nenhuma

das leis do Eletromagnetismo tem nome de um in-

dustrial, ou de um polıtico, mas sao os paıses dos

que ali cravaram seu nome que ’curiosamente’ ex-

perimentaram o maior desenvolvimento tecnologico

posterior.

A historia do progresso tecnologico da humani-

dade segue ha algum tempo a historia da ciencia.

E tem sido assim desde o momento em que Galileu,

rolando corpos por uma rampa ou olhando estrelas

em um telescopio, supos que a natureza falava em

padroes, e que pra isso linguagem matematica ser-

via como uma luva a esse proposito (e la se vao 5

seculos de tradicao).

Topico Extra: Forca magnetica sobre car-

gas em movimento (tambem chamada de Forca

de Lorentz).

Assim como surge forca sobre cargas eletricas pela

interacao com o campo eletrico produzido por outras

cargas eletricas. Essa e portanto a conexao entre o

magnetismo e a mecanica em sua forma mais basica.

Nao entraremos em detalhe a respeito disso, mas

pelo fato de que B precisa ser definido em termos

mecanicos para ter sua unidade fısica independente

da permeabilidade magnetica µ, segue.

As cargas eletricas sentem forcas devido a in-

teracao com o campo magnetico, mas apenas se

estiverem se deslocando em relacao ao campo

magnetico.~F = q~v × ~B

onde × indica o produto vetorial, sendo, portanto

perpendicular a direcao da velocidade ~v e a direcao

do campo ~B. Portanto as unidades:

N = Cm/s[B]⇒ [B] = Ns/Cm = T

onde T e a unidade no SI, tesla (em homenagem

ao famoso engenheiro Servio Nikola Tesla, famoso

pela invencao do sistema AC e do motor polifasico).

A regiao sobreada indica campo uniforme com direcao

apontando para cima em relacao ao plano deste papel.

Assim a forca sobre uma carga interagindo com

campos eletricos e magneticos tem a forma geral

dada por:~F = q( ~E + ~v × ~B)

Pode-se produzir corrente eletrica em um tubo

utilizando-se alta tensao entre dois terminais (anodo

e catodo, que operam como em um capacitor, a

tensao alta deve romper a rigidez dieletrica do meio).

Isso e semelhante ao que ocorre em uma lampada flu-

orescente (cuja fonte de alta tensao para romper a

rigidez do gas vem do famoso reator). Abaixo o di-

agrama dessa invencao (chamada Tubo de Crookes)

que aperfeicoado por JJ Thomson permitiu desco-

brir que a carga do eletron era negativa e tambem

medir a razao entre sua carga e massa (usou tanto

campos magneticos quanto eletricos).

Com um furo no anodo algumas das cargas

(eletrons, agora e fundamental serem eles os por-

tadores participantes da corrente, e terem carga ne-

gativa, se trocar a ordem dos eletrodos nada ocorre)

vindas do catodo sao lancadas ao longo do tubo, elas

podem entao ter sua trajetoria defletida (ou seja des-

viada para cima/baixo ou para os lados) por cam-

pos magneticos e tambem por campos eletricos antes

de atigirem a outra extremidade do tubo. Esse e o

princıpio de funcionamento das antigas TVs de tubo.