aulatema Eletromagnetismo

8/7/2019 aulatema Eletromagnetismo

http://slidepdf.com/reader/full/aulatema-eletromagnetismo 1/108



Introdução

Método das Diferenças Finitas

Método dos Momentos

Tópicos

1 Introdução

2 Método das Diferenças Finitas

3 Método dos Momentos

Carvalho Eletromagnetismo Computacional

http://find/

http://goback/



Introdução



Tópicos

1 Introdução




http://find/

http://goback/



Introdução



Tópicos

1 Introdução




http://find/

http://goback/



Introdução



Introdução

ao longo do curso consideramos várias abordagens

analíticas para resolver os problemas de EM

delas obtemos soluções na forma fechada

solução na forma de uma equação algébrica explícita

os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada

algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:

no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas


I d

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Introdução



Introdução









I t d ã

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Introdução



Introdução









Introdução

http://find/

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Introdução



Introdução









Introdução

http://find/

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Introdução



Introdução









Introdução

http://find/

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Introdução



Introdução









Introdução

http://find/

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Introdução



Introdução









Introdução

http://find/

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Introdução



Introdução









Introdução

http://find/

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ç



Introdução









Introdução

http://find/

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ç



Introdução

quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos

métodos gráficos

métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos

usaremos os métodos numéricos para solucionar e

analisar os problemas no nosso curso

estudaremos dois métodos

método das diferenças finitasmétodo dos momentos


Introdução

http://find/

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Introdução


métodos gráficos







Introdução

http://find/

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Introdução


métodos gráficos







Introdução

Mé d d Dif Fi i

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Introdução


métodos gráficos







Introdução

Mét d d Dif Fi it

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Introdução


métodos gráficos







Introdução


http://find/

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Introdução


métodos gráficos







Introdução


http://find/

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Introdução


métodos gráficos







IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas

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Introdução


métodos gráficos








http://find/

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Introdução


métodos gráficos








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é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro

consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões

em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

subtraindo a 1a expansão da 2a obtemos

f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i



http://find/

http://goback/



ç





em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i



http://find/

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ç





em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i



http://find/

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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i



http://find/

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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i



Mé d d M

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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− f (x − h )

2h +i =1

f (2i +1)(x )

(2i + 1)!h 2i



Mét d d M t

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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·

somando a 1a expansão da 2a obtemos

f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i




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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i




http://find/

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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i




http://find/

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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i




http://find/

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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2

2f (x ) + h 3

3!f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i




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em série de Taylor

f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 22

f (x ) + h 33!

f (x ) + · · ·

f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2

2f (x )−

h 3

3!f (x ) + · · ·


f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2+i =1

f (2i +2)(x )

(2i + 2)!h 2i




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das expansões anteriores temos as fórmulas das

derivadas da função f (x )

f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h

f

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2

que é mais precisa quanto

menor for o passo h

se for uma função de duas

variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?




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f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h

f

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2


menor for o passo h






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f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h

f

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2


menor for o passo h






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f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h

f

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2


menor for o passo h






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f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )

2h

f

(x ) ≈

f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )

h 2


menor for o passo h






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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial

consideremos a região mostrada na figura

temos valores desconhecidos do potencial em cinco

pontos




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pontos




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pontos




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se a região é livre de cargas e é homogênea temos

· D = 0 e · E = 0

a partir destas equações temos

∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0

aproximamos as derivadas

usando as expressões

∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h




http://find/

http://goback/





· D = 0 e · E = 0


∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0



∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h




http://find/

http://goback/





· D = 0 e · E = 0


∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0



∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h




Mé d d Dif Fi i

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· D = 0 e · E = 0


∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0



∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h




Mét d d Dif Fi it

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· D = 0 e · E = 0


∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0



∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h




Mét d d Dif Fi it

http://find/

http://goback/





· D = 0 e · E = 0


∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0



∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h




Mét d d Dif Fi it

http://find/

http://goback/





· D = 0 e · E = 0


∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0



∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h





http://find/

http://goback/





· D = 0 e · E = 0


∂ E x ∂ x

+ ∂ E y ∂ y

= 0



∂ E x

∂ x

a

=E 1 − E 0

h

∂ E y

∂ y

b

=E 2 − E 0

h





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a relação E = −V aplicada na equação

∂ E x

∂ x +

∂ E y

∂ y = 0

leva a equação de Laplace

∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2= 0

aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos

∂ 2V

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x a −

∂ V ∂ x c

h =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y

b − ∂ V

∂ y

d

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2





http://find/

http://goback/





∂ E x

∂ x +

∂ E y

∂ y = 0


∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2= 0


∂ 2V

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x a −

∂ V ∂ x c

h =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y

b − ∂ V

∂ y

d

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2





http://find/

http://goback/





∂ E x

∂ x +

∂ E y

∂ y = 0


∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2= 0


∂ 2V

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x a −

∂ V ∂ x c

h =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y

b − ∂ V

∂ y

d

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


Introdução




http://find/

http://goback/





∂ E x

∂ x +

∂ E y

∂ y = 0


∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2= 0


∂ 2V

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x a −

∂ V ∂ x c

h =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y

b − ∂ V

∂ y

d

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


Introdução




http://find/

http://goback/





∂ E x

∂ x +

∂ E y

∂ y = 0


∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2= 0


∂ 2V

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x a −

∂ V ∂ x c

h =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y

b − ∂ V

∂ y

d

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


Introdução




http://find/

http://goback/





∂ E x

∂ x +

∂ E y

∂ y = 0


∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2= 0


∂ 2V

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x a −

∂ V ∂ x c

h =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y

b − ∂ V

∂ y

d

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


Introdução




http://find/

http://goback/





∂ E x

∂ x +

∂ E y

∂ y = 0


∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2= 0


∂ 2V

∂ x 2

0 =

∂ V ∂ x a −

∂ V ∂ x c

h =

V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0

=

∂ V ∂ y

b − ∂ V

∂ y

d

h =

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


Introdução




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na figura temos os potenciais nos pontos

∂ 2V

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


menor for o passo h

o potencial num ponto

é definido em termos dos

potenciais nos pontos

em torno deste


Introdução




http://find/

http://goback/





∂ 2V

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


menor for o passo h




em torno deste


Introdução




http://find/

http://goback/





∂ 2V

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


menor for o passo h




em torno deste


Introdução




http://find/

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étodo das e e ças tasCálculo de Potencial


∂ 2V

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


menor for o passo h




em torno deste


Introdução




http://find/

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çCálculo de Potencial


∂ 2V

∂ x 2

0

≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3

h 2

∂ 2V

∂ y 2

0 ≈

V 2 − V 0 − V 0 + V 4

h 2


menor for o passo h




em torno deste


Introdução




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combinando as duas expressões obtemos

∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


menor for o passo h


Introdução




http://find/

http://goback/





∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


menor for o passo h


Introdução




http://find/

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∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


menor for o passo h


Introdução




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Cálculo de Potencial


∂ 2V

∂ x 2+

∂ 2V

∂ y 2≈

V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2

= 0

V 0 ≈1

4 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


menor for o passo h


Introdução



Método das Diferenças FinitasCá o

http://find/

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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1

dada a seção reta de uma calha quadrada com os lados ebase no potencial zero e o topo no potencial de 100 V ,

determine a distribuição de potencial na calha


Introdução

Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos

Método das Diferenças FinitasCál l d P t i l l d li ã o 1

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dada a seção reta de uma calha quadrada com os lados ebase no potencial zero e o topo no potencial de 100 V ,

determine a distribuição de potencial na calha


Introdução


Método das Diferenças FinitasCál l d P t i l l d li ã o 1

http://find/

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usaremos o método iterativono primeiro passo fazemos todos os potenciais

desconhecidos iguais a zero depois aplicamos

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução


Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial exemplo de aplicação no 1

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V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



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V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



http://find/

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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação n 1

1a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução


Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1

http://find/

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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação n 1

1a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



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Cálculo de Potencial exemplo de aplicação n 1

2a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



http://find/

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2a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



http://find/

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3a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



http://find/

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á a p ap açã

3a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



http://find/

http://goback/



p p ç

4a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



http://find/

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p p ç

4a

iteração

V 0 ≈1

4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)


Introdução



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é uma técnica numérica para resolver equações integrais

e equações diferenciais

aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver

equações integrais

equação integral é uma equação em que a incógnita está

na integral

exemplos

E = v

ρv dv

4 π ε0 R 2 a R V =

v

ρv dv

4 π ε r


Introdução



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na integral

exemplos

E = v

ρv dv

4 π ε0 R 2 a R V =

v

ρv dv

4 π ε r


Introdução



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na integral

exemplos

E = v

ρv dv

4 π ε0 R 2 a R V =

v

ρv dv

4 π ε r


Introdução



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na integral

exemplos

E = v

ρv dv

4 π ε0 R 2 a R V =

v

ρv dv

4 π ε r


Introdução



http://find/

http://goback/








na integral

exemplos

E = v

ρv dv

4 π ε0 R 2 a R V =

v

ρv dv

4 π ε r


Introdução



http://find/

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aplicaremos uma técnica de integração numérica que éum caso particular do método dos momentos

consideremos um fio condutor fino de raio a e

comprimento L (L a )


Introdução



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Introdução



http://find/

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Introdução



l d fi

http://find/

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em um ponto qualquer do fio temos

V =

v

ρv dv

4 π ε r → V 0 =

L

0

ρl dl

4 π ε0 r

em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos

V 0 =1

4 π ε0

L0

ρl (y )dy

|y k − y |


Introdução



t l d fi t

http://find/

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V =

v

ρv dv

4 π ε r → V 0 =

L

0

ρl dl

4 π ε0 r


V 0 =1

4 π ε0

L0

ρl (y )dy

|y k − y |


Introdução



t l d fi t

http://find/

http://goback/




V =

v

ρv dv

4 π ε r → V 0 =

L

0

ρl dl

4 π ε0 r


V 0 =1

4 π ε0

L0

ρl (y )dy

|y k − y |


Introdução




http://find/

http://goback/




V =

v

ρv dv

4 π ε r → V 0 =

L

0

ρl dl

4 π ε0 r


V 0 =1

4 π ε0

L0

ρl (y )dy

|y k − y |


Introdução




http://find/

http://goback/




V =

v

ρv dv

4 π ε r → V 0 =

L

0

ρl dl

4 π ε0 r


V 0 =1

4 π ε0

L0

ρl (y )dy

|y k − y |


Introdução



http://find/

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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área

se δy é pequeno, a integração de

V 0

=1

4 π ε0

L

0

ρl (y )dy

|y k − y |=

1

4 π ε0

L

0

f (y ) dy

no intervalo 0 < y < L será

L0

f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =N

k =1

f (y k ) ∆y


Introdução



http://find/

http://goback/





V 0 =1

4 π ε0

L

0

ρl (y )dy

|y k − y |=

1

4 π ε0

L

0

f (y ) dy


L0


k =1

f (y k ) ∆y


Introdução



http://find/

http://goback/





V 0 =1

4 π ε0

L

0

ρl (y )dy

|y k − y |=

1

4 π ε0

L

0

f (y ) dy


L0

f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =

N k =1

f (y k ) ∆y


Introdução



http://find/

http://goback/





V 0 =1

4 π ε0

L

0

ρl (y )dy

|y k − y |=

1

4 π ε0

L

0

f (y ) dy


L0

f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =

N k =1

f (y k ) ∆y


Introdução



http://find/

http://goback/



do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, é

determinar uma área


V 0 =1

4 π ε0

L

0

ρl (y )dy

|y k − y |=

1

4 π ε0

L

0

f (y ) dy


L0

f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =

N k =1

f (y k ) ∆y


Introdução



http://find/

http://goback/



do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, é

determinar uma área


V 0 =1

4 π ε0

L

0

ρl (y )dy

|y k − y |=

1

4 π ε0

L

0

f (y ) dy


L0

f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =

N k =1

f (y k ) ∆y


Introdução



http://find/

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aplicando

L0


k =1

f (y k ) ∆y

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |


Introdução



http://find/

http://goback/



aplicando

L0


k =1

f (y k ) ∆y

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |


Introdução




li d

http://find/

http://goback/



aplicando

L0

f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =

N k =1

f (y k ) ∆y

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |


Introdução




li d

http://find/

http://goback/



aplicando

L0

f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =

N k =1

f (y k ) ∆y

obtemos

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+

· · ·+ρN ∆

|y k − y N |


Introdução




como temos N pontos, aplicando

http://find/

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p , p

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+· · ·+

ρN ∆

|y k − y N |

para cada ponto obtemos o sistema de equações lineares

4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|

+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|

+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y 2 − y 1|+

ρ2 ∆

|y 2 − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y 2 − y N |

.

..

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y N − y 1|+

ρ2 ∆

|y N − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y N − y N |


Introdução





http://find/

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p , p

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+· · ·+

ρN ∆

|y k − y N |


4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|

+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|

+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y 2 − y 1|+

ρ2 ∆

|y 2 − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y 2 − y N |

.

..

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y N − y 1|+

ρ2 ∆

|y N − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y N − y N |


Introdução





http://find/

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p p

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y k − y 1|+

ρ2 ∆

|y k − y 2|+· · ·+

ρN ∆

|y k − y N |


4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|

+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|

+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y 2 − y 1|+

ρ2 ∆

|y 2 − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y 2 − y N |

.

..

4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆

|y N − y 1|+

ρ2 ∆

|y N − y 2|+ · · ·

ρN ∆

|y N − y N |


Introdução




escrevendo na forma matricial

http://find/

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[A][ρ] = [B ]

em que

[A] =

A11 A12 · · · A1N

A21 A22 · · · A2N ...

...

AN 1 AN 2 · · · ANN

,

Ann

= 2 ln ∆a

Amn =∆

|y m −y n |

[B ] = 4 π ε0 V 0

1

1...

1

[ρ] =

ρ1

ρ2...

ρN


Introdução





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[A][ρ] = [B ]

em que

[A] =

A11 A12 · · · A1N

A21 A22 · · · A2N ...

...

AN 1 AN 2 · · · ANN

,

Ann

= 2 ln ∆a

Amn =∆

|y m −y n |

[B ] = 4 π ε0 V 0

1

1...

1

[ρ] =

ρ1

ρ2...

ρN


Introdução





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[A][ρ] = [B ]

em que

[A] =

A11 A12 · · · A1N

A21 A22 · · · A2N ...

...

AN 1 AN 2 · · · ANN

,

Ann

= 2 ln ∆a

Amn =∆

|y m −y n |

[B ] = 4 π ε0 V 0

1

1...

1

[ρ] =

ρ1

ρ2...

ρN


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aulatema Eletromagnetismo