UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍCENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZADEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA E ESTATÍSTICADISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

LISTA DE EXERCÍCIOS

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01. Encontre a média, variância e desvio padrão desta distribuição:

Xi -1 0 1 2 3

p(xi) 3/10 1/10 1/10 3/10 2/10

02. Uma amostra de 3 objetos é escolhida aleatoriamente de uma caixa contendo 12 objetos, dos quais 3 são defeituosos. Ache o número esperado de peças defeituosas.

03. Um par de dados não viciados é lançado. Seja X uma variável aleatória denotando o menor (ou igual) dos dois números observados. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de X.

04. Uma moeda não viciada é lançada três vezes. Seja X o número de caras consecutivas. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão.

05. Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 5,00 se ocorrerem 3 caras, R$ 3,00 se 2 caras ocorrem e R$ 1,00 se somente 1 cara ocorre. Por outro lado, perde R$ 15,00, se 3 coroas ocorrem. Encontre o valor esperado do jogo.

06. Suponha que 5% de todas as peças que saiam de uma linha de fabricação sejam defeituosas. Se 10 peças forem escolhidas e inspecionadas, qual a probabilidade de que no mínimo 2 peças defeituosas sejam encontradas?

07. Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de:

a) X vencer exatamente 3 partidas;

b) X vencer ao menos 1 partida; c) X vencer mais da metade das partidas.

08. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de:

a)acertar exatamente 2 tiros? b)não acertar nenhum tiro?

09. Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso,

acertar 70 % das perguntas?

10. Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial com E(X)=2 e Var(x) = 4/3. Encontre a distribuição de X.

11. Certo posto de bombeiros recebe, em média, 3 chamadas por dia. Calcule a probabilidade desse posto receber:

a) 4 chamadas num dia; b) 3 ou mais chamadas num dia.

12. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu a cada 5.000 km.

a) Qual a probabilidade que num teste de 3.000 km haja no máximo um pneu estourado?

b) Qual a probabilidade de que uma carro ande 8.000 km sem estourar nenhum pneu?

13. A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Caucule a probabilidade de:

a) receber exatamente 3 chamadas em uma hora?b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?

14. Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de uma dada página conter:

a) nenhum erro; b) exatamente 3 erros.

15. Uma loja atende em média 2 cliente por hora. Calcular a probabilidade de, em uma hora, serem atendidos:

a) exatamente 2 clientes; b) 3 clientes

16. Uma fábrica de pneumáticos fez teste para diminuir o desgaste de seus pneus, e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média

1 2

48.000 km e desvio padrão de 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso, durar:

a) mais que 46.000 km; b) entre 45.000 e 50.000 km.

17. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25 polegadas e o desvio padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se o seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas e menor que 0,20 polegadas.

a) encontre a porcentagem de parafusos defeituosos;b) qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo

125 de parafusos defeituosos?

18. o salário semanal dos operários industriais, são normalmente distribuídos em torno de uma média de R$ 180,00 com desvio padrão de R$ 25,00. Pede-se:

a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00;

b) dentro de que desvio de ambos os lados da média cairão 96% dos salários?

19. Sabe-se que 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas. Usando aproximação de Poisson para a distribuição binomial, encontrar a probabilidade de que numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenham:

a) nenhuma defeituosa; b) duas defeituosas.

20. Uma máquina produz parafusos dos quais 10% são defeituosos. Usando a aproximação normal para a distribuição binomial, determinar a probabilidade de, em uma amostra de 400 parafusos, serem defeituosos:

a) no máximo 30; b) entre 35 e 45; c)entre 30 e 50; d)mais de 55.

REFERÊNCIAS

TOLEDO, Geraldo L. & OVALLE, I. I. Estatística Básica, São Paulo: Atlas, 1995.WALPONE, Ronald E. Probabilidade & Estatística para Engenharia e Ciências, Rio de Janeiro: Pearson Education.

RESPOSTAS

Xi -1 0 1 2 3

p(xi) 3/10 1/10 1/10 3/10 2/10

1)

2)

3)Xi 1 2 3 4 5 6

p(xi) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

4)Xi 0 1 2 3

p(xi) 1/8 4/8 2/8 1/8

d (x )=E (x )=−1⋅ 310

+0⋅ 110

+1⋅ 110

+2⋅ 310

+3⋅ 210

= −310

+0+ 110

+ 610

+ 610

=1010

= 1 .

E (x2)=(−1)2⋅ 310

+(0)2⋅ 110

+(1)2⋅ 110

+(2)2⋅ 310

+(3)2⋅ 210

= 310

+0+ 110

+ 1210

+ 1810

= 3410

= 3,4

var [ x]=E ( x2)−(E ( x))2 = 3,4−12 = 2,4σ(x )=√2,4 = 1,55

3 defeituosos 9 não defeituosos

12 (total)

+

3 4

E(x)=''esperança de x''

P (0)=(92)(31)(123 )

P (1)=(93)(30)(123 )

P (2)=(91)(32)(123 )

P(3)=(90)(33)(123 )

E (x)=μ( x)=∑ xi p(x i)=0⋅84220

+1⋅2755

+2⋅ 27220

+3⋅ 1220

= 34

= 0,75 → 1 defeituoso

E (x )=1⋅1136

+2⋅ 936

+3⋅ 736

+4⋅ 536

+5⋅ 336

+6⋅ 136

= 1136

+ 1836

+ 2136

+ 2036

+ 1536

+ 636

= 9136

.

E (x2)=(1)2⋅1136

+(2)2⋅ 936

+(3)2⋅ 736

+(4)2⋅ 536

+(5)2⋅ 336

+(6)2⋅ 136

= 1136

+ 3636

+ 6336

+8036

+ 7536

+ 3636

= 30136

var [x]=E ( x2)−(E ( x))2 = 30136

−9136

2

= 1,97

σ(x )=√1,97 = 1,40

E ( x)=0⋅18+1⋅4

8+2⋅2

8+3⋅1

8= 0+ 4

8+ 48+38=118

.

E ( x2)=(0)2⋅18+(1)2⋅4

8+(2)2⋅2

8+(3)2⋅1

8= 0+ 4

8+ 88+98

= 218

.

var [x]=E ( x2)−(E ( x))2 = 218−118

2

= 218−12164

= 168−12164

= 0,73

σ(x )=√0,73 = 0,86

c

k

c

c

k

k

k

k

k

k

c

c

c

c

5) S={ccc, cck, …, kkk}

yi -15 1 3 5

p(yi) 1/8 4/8 2/8 1/8

6)

7) a) P(3)=(53)(23)3

(1−23)2

=0,3292

b) P(x≥1)=1−P (0)=1−(50)(23)0

(1−23)5

=0,9959

c) P( x≥3)=(53)(23)3

(1−23 )2

+(54)(23)4

(1−23)1

+(55)(23)5

(1−23)0

=0,7901

8) a) P(2)=(62)(13)2

(1−13)4

=0,3292

b) P(0)=(60)(13)0

(1−13)6

=0,0878

9) P(70)=(10070 )(12)70

(1− 12)30

=0,00002ou2×10−5

10) 2=np43=np (1−p) ⇒

43=2(1− p) ⇒ p=

13n=6

11) a) P(4)= e−3⋅34

4!=0,1680

b) P( x≥3)=1−P(0)−P (1)−P (2) ⇒ P (x≥3)=1−e−3( 3

0

0 !+31

1!+32

2 !)=0,576812) a)

b) 15×103

= x8×103

⇒ x=85=λ P(0)=

e−815(85)0

0 !=0,2019 ou e

−1,6

13) a) P(3)= e−3⋅33

3!=0,2240

b)

14) a) 400500

=x1

⇒ x=45=λ=0,8 P (0)=e

−0,8⋅0,80=0,4493

b) P(2)= e−0,8⋅0,82

2=0,2707

15) a) P(2)= e−2⋅22

2=0,2707

b) P(3)= e−2⋅23

6=0,1804

16) a) μ=48.000σ=2.000

z=x−μσ

P( x>46.000)=P ( z>−1)−P (0≤ z≤1)+0,5=0,3413+0,5=0,8413

b) P(4,5×104≤x≤5×104)=P (−1,5≤ z≤1,0)=P (0≤ z≤1,5)+P (0≤ z≤1,0)=0,4332+0,3413=0,7745

17) a)

b) 1−Φ(x)=0,4332≤0,12 ⇒ Φ( x)≥1−0,4332−0,12 ⇒ Φ( x)≥0,4468 ⇒ x≥1,62

naverdade , x≤−1,62 y−0,250,02

≤−1,62 ⇒ y=−1,60⋅0,02+0,25=0,2176

18) a) z1=150−18025

=−1,27 z2=178−18025

=−0,08 Φ(1,2)−Φ(0,08)=0,353

b) 19) a)

b) P( x=2)= e−5⋅52

2 !=25e

−5

2

20) a)

b)

c) d)

“Mas tu, homem de Deus, foge destas coisas e segue a justiça, a piedade, a fé, a caridade, a paciência, a mansidão.” 1Tm 6.11

5 6

E ( y)=5⋅18+3⋅

28+1⋅

48−15⋅

18=0,25

A esperança≈0. O jogo não é vantajoso nem desvantajoso

P=5100

q=1−5100

n=10

1−P (0)−P (1) ⇒ P( x≥2)=1− e−0,5⋅0,50

1−e

−0,5⋅0,51

1= 9,02

1

5×103=

x

3×103⇒ x=

35=λ P (x≤1)=P (0)+P (1) ⇒

P( x≤1)=e−35((35)

0

0 !+(35)1! )=0,8781 LEMBRETE :P (x=k )= e−k⋅λk

k!

P( x≥4)=1−P (0)−P (1)−P(2)−P(3) ⇒360

=x90

⇒ x=λ=92

P( x≥4)=e−92(−1−(92)

2

2−(92)

3

6)+1 ⇒ P ( x≥4)=0,6577

0,20 0,280,25

σ=0,02

μ=0,25 ' 'σ=0,02 ' '

olhando a tabelade distribuição vem: P (0,20≤ x≤0,28)P (Ruim)=0,073=7,3%

96%=0,96 Φ( z)=0,48 ⇒ z=2,05 z=x−18025

⇒ x=25⋅2,05+180 x=231,25 ⇒ R$ 51,25

P= 5100

q=1− 5100

= 95100

μ=100 λ=μ p= 100×5100

=5,0 p(x=k )= e− x⋅λk

k !P (x=0)= e−5 50

0!=e−5

μ=400⋅0,1=40σ=√400⋅0,1⋅0,9=6

z30=30−406

=−53

P (x≤30 )≈1−Φ(53)=0,5475

z35=35−406

=−56

=−0,83 z45=45−406

=0,83 P (35≤x≤45)=2Φ(0,83)=0,5934

z30=−1,67 z50=50−406

=1,67 P (30≤x≤50)=2Φ(1,67)=0,905

z55=55−406

=2,5 P (x>55)=1−Φ(2,5)=0,5062