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LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Gab.)
a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V
k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V
2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou
falsa cada uma das afirmações abaixo:
Gab.)
a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F
3)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos
coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste
sólido, sabendo que A (2, –1,2).
Gab.)
B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)
4) Determine x para que se tenha , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e
D(2x,x+6).
Gab.) x=2
5) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e
outro paralelo ao vetor (1,1).
Gab.) x = 3 e y = 4
6) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que
a) b) .
Gab.) a) x = 1 e y = 2 b) e y =3
7) Dados os vetores =( 2,–1 ) e =( 1,3) , determinar um vetor , tal que:
a) b)
Gab.)
a) = b)
8) Dados os vetores =(–1,1,2) e =( 2,0,4), determine o vetor , tal que:
Gab.)
9) Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no
sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?
Gab.) (9,7,11)
10) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são
=(4,2,–3) e =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
Gab.) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)
11) Dados os vetores =(1,–1,0), =(3,–1,1), =(2,2,1) e =(4,–3,1). Determinar o vetor
=(x,y,z), tal que : ( + ) e ( + ) .
Gab.) =( –10,4,–3)
12) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular:
a) b) ( – ) c)( + )2 d) (3 – 2 )2
e) (2 -3 )( +2 )
Gab.)a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28
13)Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que
= 4, = –9 e = 5.
Gab.) =(3,4,2)
14)Sejam os vetores =(1,–m,–3), =(m+3,4–m,1)e =(m,–2,7).Determinar m para que
=( + ) .
Gab.) m=2
15) Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor colinear à e tal
que
Gab.)
16) Achar um vetor de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor =6 –2 –3
.
Gab.)
17) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):
a) determinar a natureza do triângulo;
b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
Gab.) a) isósceles b) =
18) Sejam . Determine um versor dos vetores
abaixo:
a) + B) 2 –3 c) 5 +4
Gab.) a) (3,3,–5) b) c) (13,14,–23)
19) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são
=(4,2,–3) e =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
Gab.) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)
20) Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o
quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
Gab.) (2,2), (0,−4), e (10,6)
21) Dados os vetores =(3,2), =(2,4) e =(1,3), exprimir como a combinação linear
de e .
Gab.)
22) Dados os vetores =(1,–1,0), =(3,–1,1), =(2,2,1) e =(4,–3,1). Determinar o vetor
=(x,y,z), tal que : ( + ) e ( + ) .
Gab.) =( –10,4,–3)
23) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular:
a) b) ( – ) c)( + )2 d) (3 – 2 )2
e) (2 -3 )( +2 )
Gab.) a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28
24) Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que
= 4, = –9 e = 5.
Gab.) =(3,4,2)
25) Sejam os vetores =(1,–m,–3), =(m+3,4–m,1)e =(m,–2,7).
Determinar dado =( + ) .
Gab.) m=2
26) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2),
B(3,1,3) e C(a+1,–2,3).
Gab.) –1 ou
27) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores .
Gab.) a) Paralelogramo b) .
28) Os vetores e formam um ângulo de 600. Sabe-se que =8 e =5, calcule:
a) + b) – c) 2 +3 d) 4 – 5
Gab.) a) b)7 c) d)
29) Os vetores e formam um ângulo de 1500, sabe-se que = e que = ,
Calcule:
a) + b) – c) 3 +2 d) 5 – 4
Gab.) a) b) c) d)
30) Determinar o valor de x para que os vetores = x –2 +3 e =2 – +2 , sejam
ortogonais.
Gab.) x=–4
31) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(2,6,–1) e =(0,–2,1).
Gab.)
32) Dados =(2,1,–3) e =(1,–2,1), determinar o vetor , e =5.
Gab.)
33) Dados dois vetores =(3,–1,5) e =(1,2,–3), achar um vetor , sabendo-se que ele
é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: =9, e =–4.
Gab.) =(2,–3,0)
34) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:
Gab.) a)0 b)0 c)0 d) e)a2 f)
g) h)
35) Um vetor forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que = 3.
Gab.) .
36) Um vetor unitário forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os
outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de .
Gab.) ou
37) O vetor forma um ângulo de 600 com o vetor , onde A (0,3,4) e
B(m, 1,2). Calcular o valor de m.
Gab.) m=–34 ou m=2
38) Os vetores e formam um ângulo = , calcular o ângulo entre os vetores = +
e = – , sabendo que = e = 1.
Gab.) cos= ,40053'36,2''
39) Dados =(2,–3,–6) e =3 –4 –4 , determine:
a) a projeção algébrica de sobre ( norma do vetor projeção de sobre );
b) 0 vetor projeção de sobre .
Gab.) a)6 b)
40) Decomponha o vetor =(–1,2,–3) em dois vetores e , tais que e , com
=(2,1,–1).
Gab.) e
41) São dados os vetores = (1,1,1), =(–1,2,3) e =(26,6,8). Decompor o vetor
em dois vetores e ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a
e a .
Gab.) =(1,–4,3) e =(25,10,5)
42) São dados =(3,2,2) e =(18,–22,–5), determine um vetor , que seja ortogonal à
e a , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que =28.
Gab.) =(–8,–12,24)
43) Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as
coordenadas do vetor , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.
Gab.) =(2,2,1)
44) Dados os vetores =( –1,3,2), =(1,5,–2) e =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos
vetores:
a) b) c) ( ) d) ( ) e)
( + )( + ) f) ( – )
Gab.) a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64)
f)(–3,–13,18)
45) Determinar o vetor , paralelo ao vetor ao vetor =(2,–3,0) e tal que = , onde
=(1,–1,0) e =(0,0,2).
Gab.) =(4.–6,0)
46) Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor =(2,3,1) e ao vetor
=(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; .
Gab.)
47) Determinar , tal que seja ortogonal ao eixo dos y e que ,sendo
e .
Gab.) =(1,0,1)
48) Dados os vetores =(0,1,1), =(2,0,0) e =(0,2,3).Determine um vetor , tal que
// e = .
Gab.) =(0,4,6)
49) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(–1,–1,0) e =(0,–1–1).
Gab.)
50) Ache tal que = e é ortogonal a =(2,3,1) e a =(2,4,6). Dos
encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0).
Gab.)
51) Dado o vetor =(3,0,1).Determine o vetor =(x,y,z), sabendo-se que é ortogonal
ao eixo OX, que = , e que =4.
Gab.)
52) Sendo =(–2,1,–1) e =(0,y,z), calcule y e z de modo que = 4 e que o
vetor = faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY.
Gab.) (0,2,2)
53) Resolva os sistemas abaixo:
a)
Gab.) a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)
54) Dados os vetores =(1,1,1) e =(2,3,4), calcular:
a) A área do paralelogramo de determinado por e ;
b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .
Gab.) a)A= b)
55) Dados os vetores =(2,1,1) e =(1,1,), calcular o valor de para que a área do
paralelogramo determinado por e seja igual a u.a.(unidades de área).
Gab.) =3
56) A área de um triângulo ABC é igual a . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o
vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.
Gab.) (0,3,0) ou
57) Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0).
Determine a altura relativa ao lado BC.
Gab.)
58) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor sobre o vetor
, onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2).
Gab.)
59) Qual é o valor de x para que os vetores =(3,–x,–2), =(3,2,x) e =(1,–3,1) sejam
coplanares.
Gab) x=14 ou x=–2
60) Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k)
sejam vértices de uma mesma face de um poliedro.
Gab) k=– 1
61) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos
vetores = 2 – + e = – e =x + –3 , seja unitário.
Gab) x=–5 ou x= –3
62) Sejam os vetores =(1,1,0), =(2,0,1) e , e .
Determinar o volume do paralelepípedo definido por , e .
Gab) V=44 u.v.
63) Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3).
Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo
OY.
Gab) D (0,–7,0) ou D(0,8,0)
64) São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor
de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos
vetores e .
Gab) m=6 ou m=2
65) Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o
dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e
C(0,0,1).
Gab) (–1,0,0) ou
66) Sendo =(1,1,0), =(2,1,3) e =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o
volume do tetraedro ABCD, onde B=A+ . C=A+ e D=A+ .
Gab) S= ,V=
67)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).
Gab)
68) Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto
pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:
a) as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a
1 uv;
b)a área e o perímetro da face NMQ;
c)os ângulos internos da face MNQ;
d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.
Gab) a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= u.a., 2p= u.c.
c)=300, =900, =600 d) u.c.
69) A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as
coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos
demais, determine:
a) as coordenadas do vértice D;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é
igual a 72 u.v.
Gab) a) D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7)
70) São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D,
tal que , e sejam coplanares, = –28 e que o
volume do tetraedro OABD seja igual a 14.
Gab) D(0,0,–28) ou D(12,24,8)