UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus CuritibaDepartamento Acadêmico de Mecânica - DAMECNúcleo de Mecânica Aplicada e Teórica - NuMAT

Disciplina: Mecânica dos Sólidos 2 - ME65D Prof. Dr. Ivan Moura Belo Lista 1

1. Utilizando exclusivamente a notação indicial, faça a expansão e a simplificação das expressõesabaixo e apresente o significado de cada uma (escalar, vetor ou tensor de segunda orderm).

a) Aii

b) Bijj

c) Rij

d) aiTije) aibjSij

2. Avalie as seguintes expressões envolvendo o Delta de Kronecker.

a) δiib) δijδijc) δijδikδjkd) δijδjke) δijAik

3. Prove as seguintes expressões envolvendo o símbolo de permutação e o Delta de Kronecker.

a) εijkεkij = 2δll

b) εijkajak = ~0

4. Utilizando exclusivamente a notação indicial, faça a expansão e a simplificação da expressão abaixo.Considere Dij um tensor de segunda ordem simétrico.

• Dijxixj =

5. Sendo δij o delta de Kronecker, A o tensor de segunda ordem e b o tensor de primeira ordem dados,respectivamente, por:

[A] =

−3 2 03 6 24 0 4

e {b} =

531

.

Utilizando exclusivamente a notação indicial, obtenha os valores numéricos de:

a) δijAjk

b) Aijbj

c) Aijbi

6. Seja o tensor de segunda ordem Tij:

Tij =

1 7 23 4 36 5 7

a) Escreva a transposta de T .

b) Mostre que Sij =12(Tij + Tji) é uma matriz simétrica.

c) Mostre que Aij = 12(Tij − Tji) é uma matriz antissimétrica. Quais são as componentes da

diagonal de Aij?

7. Dados os dois vetores tridimensionais a = {1; 4; 6}T e b = {4; 7; 2}T , calcule o produto escalar a ·butilizando exclusivamente a notação indicial.

8. Para a matriz [T] do problema 6 e para os vetores a e b do problema 7, calcule b · [T] · a utilizandoexclusivamente a notação indicial.

9. Utilizando o símbolo de permutação, calcule o determinante da seguinte matriz:

[B] =

1 3 21 4 52 6 7

10. Os tensores de segunda ordem [A] e [B] são definidos a seguir. Se [B] = [A]−1, determine os valores

de p, q, r e s.

[A] =

2 4 p1 2 3q 5 6

e [B] =

−3 1 23 −3 −1−1 r s

11. Encontre os autovalores e autovetores das matrizes dadas a seguir:

[A] =

5 2 02 2 00 0 −1

e [B] =

2 −3 21 −1 72 4 5

12. Resolva os exercícios 1-1 e 1-7 do livro do Saad.