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3.1 – Relações lógicas de Euler
Lógica Matemática e Computacional
Lógica
Ciência dos argumentos; tem por
objeto de estudo os argumentos,
procurando elaborar procedimentos
que permitam distinguir os argumentos
válidos daqueles que não são.
Vantagens e utilidade da lógica
Clarificar e analisar o pensamento e a
linguagem;
Assegurar a eficácia demonstrativa do
pensamento;
Garantir a correção formal do raciocínio e
a coerência do discurso,
Definir conceitos, ordenar as noções,
obter conclusões formalmente rigorosas
Verdade/Validade
Matéria de um raciocínio é o conteúdo das
afirmações, aquilo que elas significam e é a
seu respeito que falamos de verdade ou
falsidade.
Forma é o modo como as afirmações são
encadeadas, independentemente da matéria
que possamos exprimir, e é a este respeito
que falamos de validade.
Raciocínio
Três tipos:
a) Dedutivo
b) Indutivo
c) Analógico
Tipos de raciocínio ou argumentação
Dedutivo
Toda mulher gosta de chocolate
Regina é mulher
Logo, Regina gosta de chocolate.
Indutivo
O cobre é condutor de calor
O cobre é um metal
Todo metal é condutor de calor
Falacioso (falácia, sofisma, paralogismo)
Sofisma- intenção de enganar o interlocutor,
paralogismo-erro, equívoco.)
Premissas Conclusão Validade
Verdadeiras Verdadeira Válido
Verdadeiras Falsa Inválido
Falsas Verdadeira Válido
Origem Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de
argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são
válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de
“falácias” ou “sofismas”. Exemplos:
Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira
e morreu com 87 anos.
Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50
anos bebiam água, logo…
Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando
apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu
significado. Exemplos:
“Pássaros comem insetos”, por “Todos os pássaros comem
insetos” ou “Alguns pássaros comem insetos”.
“Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou
“Alguns índios não são carecas”
Origem
Para julgar a validade ou não de um argumento, é
necessário que a sentença que os constituem não tenham
mais de um sentido. Segundo Aristóteles, isso é possível se
enunciarmos as sentenças na forma categórica. Exemplos:
Todos os brasileiros são técnicos de futebol.
Nenhum gato sabe latir.
Algumas pessoas gostam de comer fígado.
Existem caubóis que não sabem andar a cavalo.
As sentenças assim formuladas foram
chamadas de proposições categóricas e,
segundo Aristóteles, podem ser de 4 tipos:
Afirmação UniversalTodos os atletas são saudáveis
Negação UniversalNenhum atleta é saudável
Afirmação ParticularAlguns atletas são saudáveis
ou
Existem atletas saudáveis
Negação ParticularAlguns atletas não são saudáveis
ou
Existem atletas não-saudáveis
Tipos de Proposição
Universal Afirmativa (A)
Universal Negativa (E)
Particular Afirmativa (I)
Particular Negativa (O)
Todos os homens são
mortais
Nenhum aluno é
inteligente
Algumas alunas são
extravagantes
Alguns alunos não
gostam de estudar
Tipos de proposições e exemplos:
A: afirmação universal (todo homem é mortal);
E: negação universal (nenhum homem é mortal);
I: afirmação particular (algum homem é mortal);
O: negação particular (algum homem não é mortal).
Relacionamento entre proposições:
A e E são ditos contrários; se a proposição A é
verdadeira então E é falsa;
A e O e também E e I são contraditórios: não podem
ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente;
I e O são sub-contrários: não podem ser ambos
falsos;
I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é
verdadeira, I também o é, e se E é verdadeira então O
também o é.
Relacionamento entre proposições
A existência de quatro tipos de proposições não
é coincidência: representam as quatro relações
possíveis entre as extensões dos termos gerais;
O matemático Euler representou as quatro
relações lógicas na forma de diagramas de
conjuntos (diagramas de Venn-Euler).
Se S é o termo sujeito e se P é um predicado
então as proposições correspondem aos
diagramas a seguir...
4 relações lógicas de Euler
Proposição A: inclusão total
(todo S é P)
Proposição E: exclusão total
(nenhum S é P)
Proposição I: inclusão parcial de S em P
(algum S é P)
Proposição O: exclusão parcial de S em P
(algum S não é P)
SP
PS
PS
S
P
4 relações lógicas de Euler
1. Proposição A: inclusão total
(todo S é P)
“Todos os atletas são saudáveis”
S
P
2. Proposição E: exclusão total
(nenhum S é P)
“Nenhum atleta é saudável”SP
4 relações lógicas de Euler
3. Proposição I: inclusão parcial de S em P
(algum S é P)
“Alguns atletas são saudáveis”
4. Proposição O: exclusão parcial de S em P
(algum S não é P)
“Alguns atletas não são saudáveis”
PS
PS
Exercício 1
Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o
conjunto dos países exportadores de petróleo e
admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar:
a) o conjunto dos países que não são ricos;
b) o conjunto dos países que não são exportadores de
petróleo;
c) o conjunto dos países ricos que são exportadores de
petróleo;
d) o conjunto dos países que são ricos e que não são
exportadores de petróleo;
e) o conjunto dos países que são exportadores de petróleo,
mas não são ricos.
R E
Respostas
R E
b)
E
a)
R
R E
c)
R E
d)
E
e)
R
Exercício 2
Construa diagramas de Euler que
representam as seguintes proposições:
a) Todos os poetas são pobres.
b) Todos os franceses são europeus.
c) Nenhum europeu é asiático.
d) Existem árvores que são verdes.
e) Há livros que não são caros.
Exercício 3
Sendo N o conjunto de todos os seres que
nadam, Construa diagramas de Euler que
representam as seguintes proposições:
a) Todos os patos nadam.
b) Alguns gorilas nadam.
c) Nenhum gato nada.
d) Alguns homens não nadam.
A B
Exercício 4
Sendo A o conjunto das pessoas que moram no Brasil e B o
conjunto dos brasileiros, temos a seguinte representação para a
relação existente entre A e B:
Descreva com suas palavras o que caracteriza cada um dos
conjuntos assinalados a seguir:
A B
a)
R E
b)
B
c)
A
Exercício 5
Sabe-se que “nenhum amigo meu é amigo seu” e
que “alguns amigos dele são seus amigos”, assim,
pode-se afirmar, corretamente:
a) Alguns de meus amigos são amigos dele.
b) Alguns amigos dele são meus amigos.
c) Nenhum amigo meu é amigo dele.
d) Alguns amigos dele não são meus amigos.
e) Nenhum amigo dele é meu amigo.
Exercício 6
Considerando “todo livro é instrutivo” como uma
proposição verdadeira, é correto inferir que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição
proposição necessariamente verdadeira.
Exercício 7
Considerando “todo livro é instrutivo” como uma
proposição verdadeira, é correto inferir que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição
proposição necessariamente verdadeira.
Negação (~)
Dada uma proposição p, sua negação será denotada por
~p (não p).
Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa.
Ex: p = Bia está usando tênis preto.
~p = Bia não está usando tênis preto.
p = Esta frase possui cinco palavras.
~p = Esta frase não possui cinco palavras.
Chama-se negação de uma proposição p a proposição
representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é
falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p.
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
A negação de “p ou q” é
Algumas observações
sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
A negação de “p ou q” é “~p e ~q”
1. A resposta 2 é 2 ou 3.
a) A resposta é nem 2 nem 3.
b) A resposta não é 2 ou não é 3.
c) A resposta não é 2 e não é 3.
Quais negações das proposições
estão corretas?
1. A resposta 2 é 2 ou 3.
a) A resposta é nem 2 nem 3.
b) A resposta não é 2 ou não é 3.
c) A resposta não é 2 e não é 3.
2. Pepinos são verdes e têm sementes.
a) Pepinos não são verdes e não têm sementes.
b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes.
c) Pepinos são verdes e não têm sementes.
2. Pepinos são verdes e têm sementes.
a) Pepinos não são verdes e não têm sementes.
b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes.
c) Pepinos são verdes e não têm sementes.
3. 2 < 7 e 3 é ímpar.
a) 2 > 7 e 3 é par.
b) 2 7 e 3 é par.
c) 2 7 ou 3 é ímpar.
d) 2 7 ou 3 é par.
3. 2 < 7 e 3 é ímpar.
a) 2 > 7 e 3 é par.
b) 2 7 e 3 é par.
c) 2 7 ou 3 é ímpar.
d) 2 7 ou 3 é par.
Quais negações das proposições
estão corretas?
4. Se a comida é boa, então o serviço é excelente.
Escreva a negação das afirmações a seguir:
A comida é boa, mas o serviço é ruim.
5. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente.
A comida é ruim e o serviço também.
6. Se correr o bicho pega. Assim sendo:
a) Correr é condição necessária para o bicho pegar.
b) O bicho pegar é condição suficiente para correr.
c) Correr é condição necessária para o bicho pegar.
d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.
e) O bicho pegar é condição necessária e suficiente
para correr.
7. “André vai à missa se, e somente se, Ricardo vai ao
cinema.
Sabe-se qua André não vai à missa, logo:
I – Ricardo vai ao cinema.
II – Nada se pode afirmar sobre Ricardo.
III – Ricardo não vai ao cinema.
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) I e III são verdadeiras.
8. João é atleta ou Maria é estudande, então:
a) Se Maria não é estudante, então João não é atleta.
b) Se João não é atleta, então Maria não é estudante.
c) João é atleta e Maria é estudante.
d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.
e) Se Maria não é estudante, então João é atleta.
9. Todos os aprovados foram alunos do PITÁGORAS,
todos os alunos do PITÁGORAS são inteligentes,
pessoas intelgentes não ficam desempregadas, logo:
a) Pelo menos uma pessoa que fez o PITÁGORAS está
desempregada.
b) Alguns desempregados estudaram no PITÁGORAS.
c) As pessoas empregadas foram aprovadas.
d) Pessoas aprovadas não estão desempregadas.
e) Nem todos inteligentes estão empregados.
10. Considerando que todos os Gringles são Jirnes e que
nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum
Trumps pode ser Gringles é:
a) Necessariamente verdadeira.
b) Verdadeira, mas não necessariamente.
c) Necessariamente falsa.
d) Falsa, mas não necessariamente.
e) Indeterminada.
