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Lógica Proposicional
Resolução
Notação na forma de conjuntos H=(PvQvR)^(PvQ)^(PvP) Representação na forma de
conjuntos: H={[P,Q,R],[P,Q],[P]} Note que
(PvQvR) = [P,Q,R] (PvP)=[P]
Não é necessário representar duplicidade na forma de conjuntos
Cláusulas e literais complementares
Cláusula em lógica proposicional é uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos: C1={P,Q,R}, C2={P,Q}, C3={P}
Dois literais são complementares quando um é a negação do outro
Resolvente de 2 cláusulas Supondo 2 cláusulas C1={A1,...,
An} e C2={B1, ..., Bn}, com literais complementares A, um conjunto de literais em C1, tal
que -A, um conjunto de literais
complementares a A, estão em C2 Resolvente de C1 e C2: Res(C1,C2)=(C1-A)U(C2- -A) Res(C1,C2) pode ser {}
Resolvente vazio ou trivial
Exemplo de resolvente
C1={P,Q,R} e C2={P,R} Res (C1,C2) = {Q,R}, que
também é uma cláusula D1={P,Q} e D2={P,Q} Res (D1,D2) = {}, que também é
uma cláusula
Regra de Resolução
Supondo 2 cláusulas C1={A1,..., An} e C2={B1, ..., Bn}, a Regra de Resolução aplicada a C1 e C2 é: Deduzir Res(C1,C2)
Para verificar satisfabilidade Empregar várias vezes até obter a
cláusula vazia Expansão por resolução
Expansão por resolução {[P,Q,R],[P,R],[P,R]} 1. [P,Q,R] 2. [P,R] 3. [P,R] 4. [Q,R] Res (1,2) 5. [Q,P] Res (3,4) 6. [P] Res (2,3) (Não conseguimos obter a cláusula
vazia...)
Exemplo de expansão por resolução {[P,Q],[P,R],[P,Q],[Q,R]} 1. [P,Q] 2. [P,R] 3. [P,Q] 4. [Q,R] 5. [Q,R] Res (1,2) 6. [P,R] Res (3,5) 7. [Q,R] Res (1,6) 8. {} Res(4,7) Expansão fechada – contém a cláusula
vazia
Forma clausal
Dada uma fórmula H, a forma clausal associada a H é Uma fórmula Hc, uma conjunção de
cláusulas equivalente a H Toda fórmula proposicional possui
uma forma clausal associada
Exercício
Achar a a forma clausal associada a:
(H^(GvH)) (H^G)v(H^H) (H G) (H G) ((H)) H
Principais Leis 1 -Leis de eliminação
PQ = (PvQ) P Q = (P Q)^(Q P)
2 -Lei da negação (H) H
2 -Leis de De Morgan (PvQ) = P ^ Q (P^Q) = P v Q
3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H)
Prova por resolução
Dadas uma fórmula H e Hc (forma clausal associada a H)
Uma Prova de H por resolução é uma expansão fechada sobre Hc
H é um teorema do sistema de resolução
Exemplo de Prova por resolução
H=((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P4
Determinar Hc associada a H Hc=(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^
(P3P4)) P4)) =(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^(P3P
4))vP4) =(P1vP2vP3)^(P1vP4)^(P2vP4)^(P3vP4)
^ P4 ={[P1,P2,P3],[P1,P4],[P2,P4],[P3,P4],
[P4]} Agora, é só fazer a expansão por resolução!
Exemplo de Prova por resolução (cont.) 1. [P1,P2,P3] 2. [P1,P4] 3. [P2,P4] 4. [P3,P4] 5. [P4] 6. [P2,P3,P4] Res(1,2) 7. [P3,P4] Res(3,6) 8. [P4] Res(4,7) 9. {} Res(5,8)
Exercício
H=((P1vP2)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P3
Determinar Hc associada a H Fazer a expansão por resolução
Aberta ou fechada?
Conseqüência lógica na resolução
Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses
={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica de
por resolução se existe uma prova por resolução
de (H1^H2^...^Hn) H
Notação de Conseqüência Lógica por Resolução
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} por resolução, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H
Exercício de Conseqüência Lógica por Resolução Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um
perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente
“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??
Solução
Provar H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT)) P
Mostrando que H é absurdo H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT))
P gera uma expansão por resolução fechada a partir da sua forma clausal?
Resolução e Tableaux [Fitting 1990]
Métodos por negação Implementáveis
Resolução (Julia Robinson 1965) Prolog [Colmerauer 1972]
Em tableaux, usam-se preferencialmente as regras que não bifurcam Bom para DNF
Em resolução, usamos CNF Uma expansão fechada por resolução
equivale a um tableau fechado
Conjunto insatisfatível
Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível?
Por exemplo: ={AvB, (BvC), CD, (AvD)}
Conjunto insatisfatível (cont.)
é insatisfatível sse H= ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD) for
uma tautologia H é tautologia Expansão por resolução
associada a Hc é fechada Hc = (AvB)^B^C^(CvD)^A^D Hc = {[A,B],[B],[C],[C,D],[A],[D]}
Portanto para provar que é insatisfatível Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é
tautologia
Conjunto insatisfatível (cont.) ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é
insatisfatível? Provar que
((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia
Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade)
H é válida H é contraditória
Por resolução Gerar uma expansão por resolução fechada
para (((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))
Conclusões
Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia Expansão por resolução
associada a Hc (forma clausal de H) é fechada H é contraditória (insatisfatível) H é tautologia
Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) é fechada
H é refutável Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) é aberta
Exercício
Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.
Exercício Se hoje é Quinta-feira, então
amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.