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Introduo Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha 27
Relaes diferenciais de equilbrio para vigas J foi visto que o
equilbrio de vigas pode ser imposto globalmente, o que resulta na
determinao das reaes de apoio (para vigas isostticas), ou em pores
isoladas, o que possibilita a determinao dos esforos internos
(tambm para vigas isostticas). As condies de equilbrio para vigas
tambm podem ser impostas em pequenas pores isoladas, o que resulta
em relaes diferenciais de equilbrio entre a taxa de carregamento
transversal, o esforo cortante e o momento fletor. Considere a viga
biapoiada com carga uniformemente distribuda mostrada abaixo.
VA VB
S
Q
M
Q+Q
M+M
x VA VB
l
q
q q
x
x
qx
O objetivo desta anlise determinao das seguintes relaes: Taxa de
variao do esforo cortante no trecho de comprimento x:
xQ
Taxa de variao do momento fletor no trecho de comprimento x:
xM
O equilbrio da pequena poro de comprimento x resulta em:
( ) =++= 00 QQxqQFy qxQ
=
( ) ( ) =+++= 0200 xQQMM
xxqMQMS
++=
++=
22xq
xxQQ
xMx
xqQQM
+=
2xq
xqQxM
2xq
QxM
=
A relao Q/x mostrada acima tem uma interpretao que indicada no
diagrama de esforos cortantes da viga:
+ql/2
ql/2
l
x
Q(x)
Q=qx
x
A inclinao da reta do diagrama, isto , o coeficiente angular do
diagrama de esforos cortantes igual a q (igual a menos a taxa de
carregamento transversal distribudo aplicado de cima para
baixo):
qqxQ
== tan
A taxa variao do esforo cortante no trecho de comprimento x
igual a q.
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Introduo Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha 28
A relao M/x tambm tem uma interpretao que indicada no diagrama
de momentos fletores da viga:
+ql2/8
l
x
M(x)
M
x
A inclinao da reta que interpola os valores do diagrama de
momentos fletores no trecho com comprimento x igual taxa de variao
do momento fletor no trecho:
tan
2=
=
xqQ
xM
Agora imagine que o comprimento do trecho isolado x tenha um
valor to pequeno quando se queira. Isto , imagine no limite quando
x tender a zero. Nessa situao, as taxas de variao do esforo
cortante e do momento fletor vo tender a valores pontuais das
inclinaes dos diagramas. Matematicamente, os limites das taxas de
variao de esforo cortante e momento fletor quando o comprimento do
trecho tende a zero so representadas por:
dxdQ
xQ
x=
0lim ; sendo que
dxdQ chamada de derivada do esforo cortante em relao a x.
dxdM
xM
x=
0lim ; sendo que
dxdM chamada de derivada do momento fletor em relao a x.
A derivada de uma funo qualquer representa a taxa de variao
pontual da funo. As expresses para as derivadas do esforo cortante
e momento fletor so:
===
qqxQ
dxdQ
xx 00limlim
qdxdQ
= (derivada do esforo cortante igual a q)
=
==
Q
xqQ
xM
dxdM
xx 2limlim
00
)(xQ
dxdM
= (derivada do momento fletor igual a Q)
Estas expresses so chamadas relaes diferenciais de equilbrio de
vigas. Observe que estas expresses so gerais, isto , no so
especficas para o caso da viga biapoiada com carga uniformemente
distribuda. Isto porque, mesmo no caso de carga distribuda no
constante, no limite quando x tende a zero, a taxa de carregamento
distribudo no trecho de comprimento dx constante e igual a q(x),
sendo q(x) o valor da carga no ponto de avaliao. A interpretao da
derivada do momento fletor mostrada abaixo:
x
M(x)
VA VB
S
l
q
x
S
A derivada do momento fletor a inclinao da curva do diagrama de
momentos fletores em qualquer ponto de avaliao, isto a sua taxa de
variao pontual (ou sua derivada) igual a:
tan)( == xQdxdM
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Introduo Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha 29
Pode-se combinar as relaes diferenciais do esforo cortante de do
momento fletor para obter uma relao diferencial de segunda ordem
entre o momento fletor e a taxa de carregamento distribudo:
=
= q
dxdM
dxdq
dxdQ q
dxMd
=2
2 (derivada segunda do momento fletor igual a q)
Anlise qualitativa dos aspectos dos diagramas de esforos
internos As relaes diferenciais de equilbrio de vigas so muito teis
para descrever os aspectos qualitativos dos diagramas de esforos
cortantes e momentos fletores, tal como feito a seguir. Duas
importantes propriedades das derivadas de funes devem ser
salientadas: Nos pontos de mximos ou mnimos de uma funo a sua
derivada (taxa de variao pontual)
nula. A derivada segunda de uma funo d uma indicao de sua
curvatura ou concavidade da
funo.
x
f(x)
0=dxdf
(derivada nula)
022
dx
fd (curvatura positiva)
0=dxdf
(derivada nula)
022
=
dxfd
(curvatura nula)
Ponto de mximo
Trecho horizontal
Ponto de mnimo
0dxdf
(derivada positiva)
022
=
dxfd
(curvatura nula)
Trecho reto
Com base nessas propriedades das derivadas, os diagramas de
esforos cortantes e momentos fletores de algumas vigas sero
analisados a seguir. Deve ser observado que o diagrama de momentos
fletores desenhado com os valores positivos em baixo e os negativos
em cima. Portanto, um trecho descendente do diagrama tem derivada
positiva e um trecho ascendente tem derivada negativa.
Consistentemente, um trecho com concavidade voltada para cima tem
derivada segunda negativa e um trecho com concavidade para baixo
tem derivada segunda positiva.
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Introduo Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha 30
Viga biapoiada com cargas concentradas
Descontinuidade com valor da carga concentrada aplicada
Q > 0 momento fletor aumenta de valor Carga concentrada
para
baixo bico para baixo
Descontinuidade com valor da reao de apoio concentrada
Descontinuidade com valor da
reao de apoio concentrada
Q < 0 momento fletor diminui de valor
Reao concentrada para cima bico para cima
Reao concentrada para cima bico para cima
Valor mximo de momento fletor pois esforo cortante troca de
sinal neste ponto
Trecho horizontal pois 0=dxdQ
(carga distribuda nula)
M
Q
Descontinuidade com valor da carga concentrada aplicada
Descontinuidade com valor da reao de apoio concentrada
Q > 0 momento fletor aumenta de valor Carga concentrada
para
baixo bico para baixo
Q < 0 momento fletor diminui de valor
Reao concentrada para cima bico para cima
Reao concentrada para cima bico para cima
Valor mximo de momento fletor pois esforo cortante troca de
sinal neste ponto
Trecho horizontal pois 0=dxdQ
(carga distribuda nula)
M
Descontinuidade com valor da reao de apoio concentrada
Q
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Introduo Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha 31
Viga contnua com balanos e com carga uniformemente
distribuda
q
Descontinuidade com valor da reao de apoio concentrada
qdxdQ
=
Todos os trechos tm a mesma inclinao
Reao concentrada para cima bico para cima
Valores mnimos locais de momento fletor pois o esforo cortante
troca de
sinal nestes pontos
Valores mximos locais de momento fletor pois o esforo cortante
nulo nestes pontos
qdx
Md=2
2
Todos os trechos tm concavidade para cima
Tangente horizontal pois esforo cortante nulo na
extremidade
Tangente horizontal pois esforo cortante nulo na
extremidade
M
Q
