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Pro
Estr
CEJA
F
posta:
rutura pa
A – Ciênc
Iní
Mi
Fecha
Ane
ara os M
cias da N
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exos
Materiais
Natureza
• Títu• Elem• Para
• Seçõespecinstru
• SeçAindo
• O qMeg
didático
a
ulomentos de oa início de c
ões para descíficos de coucionais (bo
ção de fechda + Bibliog
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Fundaçã
organizaçãoconversa...
senvolvimenonteúdo + reoxes, image
amento da grafia + Res
tam por aí?
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Desenvolvim
ão CECIERJ /
o prévia (ob(Seção inic
ntos dos tópespectivos ens, atividad
aula + Resuspostas das
+ Caia na r
mento Instru
Consórcio C
bjetivos)ial)
picos elementos des)
umo + VejaAtividades
rede +
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EDERJ
s
Desen Funda
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Maspensente
Fontehttp://9c.jpg
Fontehttp://%C3%
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
A profissi
ciplina: Ma
fessor: Ra
a início de
mos vários esente. As fisibilidades dado ou m
o que signsar no númender isto n
e: /www.alunosg
e: /4.bp.blogsp%A1lise.jpg
strucional
/ Consórcio CE
ional – No
atemática
aphael Alc
e conversa
exemplos guras acimde escolhais entre o
nifica análimero de ponas próxim
sonline.com.
pot.com/_1Dw
EDERJ
ome da áre
caires
a...
no nosso cma mostrama de uma
outros.
ise combinossibilidademas seções
br/upload/co
wAni7Gkj0/T
| 2
ea: Matem
cotidiano em alguns eroupa, pos
natória? Paes de realizs.
onteudo_lege
TMhgs2MOZ
mática e su
em que a aexemplos, ssibilidades
ara que sezação de a
enda/609027
FI/AAAAAAA
uas Tecno
análise comcomo sens de result
rve? Você algumas ta
794bf7cc900
AAAWY/tZFr
ologias
mbinatória ha, tados ao jo
já parou parefas? Vam
eb5d2830c2
rGcgra5Y/s4
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27c83
00/an
Desen Funda
FonteQicqJCOM
Fontealgeb
Fonte
Fonte
N.D:
Obje
1. C
2. Ut
3. C
4. En
Seçã
O epossmatéquan
Font
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
e: http://2.bpJjJQtYI/Tl4k2
MBINATORIA
e: http://wwwbra-analise_c
e: http://pt.w
e: http://logoe
: Segundo
etivos de a
alcular o fa
tilizar o pri
alcular per
ntender o t
ão 1: O qu
estudo dasibilidades éria será fentos alunos
e: http://ww
strucional
/ Consórcio CE
.blogspot.co2LV6QXI/AA
A.jpg
w.candidocalacombinatoria
wikipedia.org/w
existod.files.
o o conteu
aprendiza
atorial de n
ncípio fund
rmutação s
triângulo d
ue é anális
a análise de realiz
eita, utilizas tem em u
ww.sxc.hu/p
EDERJ
m/-AAAAAAABS
azans.com.ba-combinacao
wiki/Senet
wordpress.c
udista Raf
agem
números n
damental d
simples,
de Pascal.
se combin
combinatzação de ando exemuma determ
hoto/62759
| 3
Sk/AUbp0lVw
br/beta/imageo-15.jpg
com/2011/03/
fael, as im
aturais,
da contage
natória?
tória nos determinaplos. Entãminada sa
9
w4J0/s1600/A
ens/imagens
/fatorial-02-0
agens aci
em,
permite adas tarefaão, imaginela de aula.
ANALISE-
s_questoes/m
01.jpg?w=645
ma são liv
calcular as. A expe que você.
matematica-
5
vres.
o númeroplicação dê precise s
o de dessa saber
Desen Funda
Olhanestquancontfila epontdetecontprobcontnúmestaumaque
Font
A anda M
No li
Seçã
Figu
Box
Todoum pPorémuita res
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ando a figuta sala. Umntos tem ntar um alune ir contandto em que erminado atarmos de blemas de tarmos des
mero de plado ou qua
a determinatenhamos
te: http://ww
nálise comMatemática
ivro “Anális
ão 2: Uma
ura1: Eucli
xe importa
o problemaprocesso dém, na práto complicasolução de
strucional
/ Consórcio CE
ura acima, ma possibila 2ª e dep
no da 1ª filado de formnão saber
aluno. Esteum em umcontagem
sta forma, cacas produzntidade deada cidadeum métod
ww.sxc.hu
mbinatória ta que poss
se Combin
a pequena
Um dHistóriEuclid
Fonte:
des
ante
a de contade contageática, a reada. Dessae muitos p
EDERJ
temos váridade é co
pois na 3ª ea e depois
ma bem aleríamos se j exemplo é
m, mas exisque são imcomo por ezidas em u
e números e. Portantodo de conta
u/photo/576
trata exatasui método
natória e P
“Aq
a parte da
os primeiria pode ses que foi
http://pt.wi
agem podeem como
esolução da forma, exroblemas
| 4
ias formasontar quante por últimos um alunoeatória. No já havíamoé fácil stem mpossíveisexemplo um determde telefon, é importaagem.
6695 http:/
amente des para reso
robabilidad
“De maneiAnálise Comque analis
História d
ros probleser encont
escrito ma
ikipedia.org/
e, pelo meno que foi
de alguns xistem téccomo, por
s de contartos alunos o na 4ª. Po da 3ª fila entanto po
os contado
s
inado e de
ante
//www.sxc.
este assunolver probl
des”, Morg
ira mais gembinatóriaa estrutura
da Combin
emas de Atrado no lais ou men
/wiki/Ficheir
nos teoricamostrado desses prnicas de c
r exemplo,
r quantos atem na 1ª
oderíamose depois m
oderíamoso
hu/photo/1
to, ou sejalemas de c
gado define
eral, podema é a parte as e relaçõ
natória
Análise Coivro “Os
nos em 300
o:Euklid‐von
amente, seno exemp
roblemas pcontagem q
arranjos,
alunos temª fila, depois também mais um ds chegar a
1224064
a, é uma pcontagem.
e assim:
mos dizer qda Matem
ões discreta
ombinatóriElementos0 a. C.
n‐Alexandria_
er resolvidoplo da seçãpode se toque simplifpermutaçõ
m is
da 1ª um
parte
que a mática
as”?)
a da s” de
_1.jpg
o por ão 1. ornar ficam ões e
Desen Funda
comter usabi
Fim
No ffrancmande n
Outr(165somsobrpermbinô
A imgranbancde p
FontCajo
Seçã
Falapara
Comanimumaform
ResoformVeja
45(67⋅⋅
sequumacons
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
binações. uma ideia, a resolver
do boxe i
final do sécês, Levi
nuscritos, cn objetos to
ro matemá54 – 1705ente em 1
re probabmutações emio para o
mportância nde aplicaçcos. Além probabilidad
es: Análiseri.
ão 3: Fato
aremos agoa o desenv
mecemos imador de fa determinmas diferen
olveremosma compaamos um
12()123123456⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
uenciais. Ea notaçãosecutivos.
strucional
/ Consórcio CE
Essas sãoo matemáproblemas
importante
éculo XIXbem Gers
contendo fóomados k a
ático que s5) que es713, oito a
bilidade, ce combinao caso de e
da Análisção está edisso, a Ade que sur
Combinató
orial de um
ora sobre olvimento
imaginandfesta resoada brincates é poss
s este probcta de mexemplo,
), note qu
Em problemo compacEssa mult
EDERJ
o técnicas ático hindus, usando
e
, foi editadson, escriórmulas paa k.
se dedicouscreveu uanos após com um vações, queexpoentes
e Combinaem problem
Análise Matrgiu a parti
ória e Proba
m número
o fatorial ddas técnic
o a segulve colocaadeira, emsível coloca
blema na smultiplicar
temos de
ue a expres
mas de ancta para tiplicação
| 5
antigas nau Báskharacontagem.
do um trato em 13
ara o núme
u a análisum trabalhsua mortevalioso coe ele usa positivos e
atória vemmas de artemática éir de jogos
abilidade, M
de um númcas de cont
inte situaçar as 6 crim fila. Daíar estas 6
seção 5, ponúmeros
e calcular
ssão poss
nálise comresolverm
acima, po
a história da, que vive.
abalho arit21 e passero de perm
e combinaho, o Ars , que contéomentário,na demo
e inteiros.
m aumentanrmazenamé usada na de azar.
Morgado. U
mero, pois tagem.
ção: em uianças, quí surge umcrianças e
or enquantconsecut
r a seguin
ui muitos
mbinatória émos multr exemplo
da matemáeu entre 1
tmético hesado adiamutações e
atória foi JConjecta
ém o tratad, e tambnstração d
ndo com oento de in
a resolução
ma história
será de g
uma festaue estão pma questãem fila?
to vamos ttivos, chante expres
números,
é muito cotiplicação
o, pode se
ática, para 114 e 118
ebreu do jante em ve combina
Jakob Bernandi, publido de Huyém apresdo teorem
o tempo e nformaçõeso de proble
a da matem
rande utili
de crianparticipandão, de qua
te mostrar amada fatssão num
todos eles
omum usade núm
r represen
você 85, já
udeu vários ações
noulli cado
ygens senta a do
uma s em emas
ática,
dade
ça o o de
antas
uma torial. érica
s são
rmos meros ntada
Desen Funda
da s
colodestanteé iguMasperg(n+1
de 4
33
!2 =
que
Resu
5! =
4! =
3! =
2! =
1! =
0! =
E de
n! =
É im
Por
tambque seu
5! =
4! =
3! =
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
seguinte m
camos umte número)ecessores aual a 24, p como cal
gunta notem) dividido
4 dividido
3123
3!3
=⋅⋅
=
11
1!1
!0 ===
umindo tem
5 4 3 2 1 =
4 3 2 1 = 2
3 2 1 = 6
2 1 = 2
1
1
e maneira g
n (n – 1) .
mportante s
exemplo,
bém, então fatorial dantecesso
5 4 3 2 1
4 3 2 1) =
3 2 1) = 3
strucional
/ Consórcio CE
maneira:
m número ) isto signifaté chegar
pois 4! = 4lculamos 1mos que opelo núme
o por 4, o
12 ⋅ . Usand
1= . Chegam
mos:
= 120
24
geral,
.. 2 1, para
sabermos
como res
o precisamde um núm
or. Vejamos
) = 5 4!
= 4 3!
3 2!
EDERJ
!2 !5!7 , mas
seguido dfica que esr ao núme3 2 1 = 24
1! e 0!, quo fatorial deero (n+1), p
ou seja,
do este m
mos a con
a qualquer
fazer simp
solver !13!15 ?
mos fazer mero é igus alguns ex
| 6
o que si
de um ponstamos muero 1. Por e4 e assim al é a rese um númpor exemp
344!4
!3⋅
==
esmo racio
clusão que
número n
plificações
? O valor
simplificaal a este nxemplos:
ignifica ist
nto de excultiplicandoexemplo, 4temos, 3!
sposta? Paero n é igu
plo, o fatori
234
123⋅⋅=
⋅⋅
ocínio, tem
e 1! = 1 e 0
natural ma
com fator
r de 15! é
ação, paranúmero mu
to? Bem,
clamação o este núm4! (lemos: = 3 2 1 = 6
ara responual ao fatoial de 3 é i
1 . Temos
mos que !1
0! = 1.
aior que 1.
rial de núm
é muito al
a isto deveultiplicado
toda vez
(lemos: famero pelos
quatro fat6, 2! = 2 1
ndermos a orial do núigual ao fa
s também
212
2!2
! =⋅
==
.
meros gran
lto e o de
emos percpelo fatori
que
torial seus orial) = 2. esta
mero torial
que
1= , e
ndes.
e 13!
ceber al do
Desen Funda
E de
n! =
Podetemodize
Vam
subs
“cort
que
Exem
a) 7!
Solu
a) 7!
b) 6!
Pode7! =
c) P
ou s
!4!8=
que
d) 6
simpe o 8
!3 !6!9
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
e maneira g
n (n – 1)!
emos usaos que 5! r que 5! =
mos calcul
stituindo
tando” o 1
1415!13!15
⋅=
mplo1: Cal
!
ução:
! = 7 6 5 4
! = 6 5 4 3
eríamos te7 6! = 7 72
rimeiro, de
eja, !2!4!8≠
!4!45678 ⋅⋅⋅⋅
!4678
!4!8 ⋅⋅⋅=
!3 !6789
!3 !6!9 ⋅⋅⋅=
plificações,8 do nume
!3 !6!6789=
⋅⋅⋅=
strucional
/ Consórcio CE
geral,
, para qua
r este rec= 5 4!, ma 5 4 3 2!
lar então
na expre
3! do num
210= . Vam
lcule:
b) 6!
3 2 1 = 50
2 1 = 720
er resolvido20 = 5040
evemos ch
Para reso
, “cortando
678!45
⋅⋅=⋅
!3789!6=
⋅⋅=
, podemoserador com
39
!3789
⋅⋅
=⋅⋅
=
EDERJ
alquer núm
curso quanas como 4
!13!15 , para
ssão ant
merador co
mos resolv
040
o o item b
amar a ate
lvermos, fa
o” o 4! do
168056 =⋅
123789⋅⋅⋅⋅
= , ne
s simplificam o 2 do de
7431278
⋅⋅=⋅⋅
| 7
mero natura
ntas vezes! = 4 3! en
a isto us
erior tem
m o do de
ver mais alg
primeiro e
enção que
açamos o s
numerado
este ponto
r o 9 do nuenominado
847 =
al n maior q
s forem nentão 5! = 5
saremos q
mos !13!15=
enominado
guns exerc
c) !4!8
e depois no
e 8! Dividid
seguinte:
r com o 4
é importa
umerador or, chegan
que 0.
ecessárias5 4 3!, ou a
que 15! =
!13!131415 ⋅⋅ ,
or chegamo
cícios.
o item a fa
o por 4! N
! do denom
ante lembra
com o 3 dndo ao seg
, por exemainda pode
= 15 14 1
simplifica
os a concl
d) !3 !6!9
azer o seg
ão é igual
minador, te
armos-nos
o denominguinte resu
mplo, emos
3! e
ando,
usão
uinte
a 2!,
emos
s das
nador ltado
Desen Funda
Ativ
Calc
a) 47
Fim
Seçã
Verede a
esco
B1C
B2C
B3C
A figposs4 + 4
No epois contmancolo
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
vidade 1-C
cule o fato
!!
da ativida
ão 4: Prin
emos um panálise com
olher uma d
C1, B1C2, B
C1, B2C2, B
C1, B3C2, B
gurinista tsibilidades 4 + 4 = 12
entanto, esse a quan
tando umaneira geral caremos n
strucional
/ Consórcio CE
alculando
orial das ex
b) !3!6
ade
cípio Fund
poderoso mbinatória
dentre as s
B1C3, B1C
B2C3, B2C
B3C3, B3C
tem 4 poscom a blupossibilida
sta não é antidade dea a uma t
um problena posição
EDERJ
o o Fatoria
xpressões
damental
princípio qque é cham
Imagprecispara sua do númpode para e
Fonte
Para B1, Bas qu
seguintes
C4
C4
C4
ssibilidadeusa B2 e mades de es
a melhor foe blusas e todas as pema de ano da pess
| 8
al
a seguir:
c) 131
da contag
que nos ajmado de p
ginemos a sa decidir qum deter
disposição mero total
escolhereste ator?
e: http://ww
resolvermB2 e B3 asuatro calçaopções:
es de arrumais 4 possscolha.
orma de recalças fospossibilidanálise comsoa que v
!2 !3!5
gem
udará a reprincípio fu
seguinte qual calça minado attrês blusade possiba combin
ww.sxc.hu/ph
os este prs três blusaas, dessa
umação cosibilidades
esolver umssem maioades. Assimmbinatória vai realizar
d) !34
esolver vándamenta
situação, e qual blu
tor, sabenas e quatrobilidades qnação de
hoto/993680
roblema, cas e de C1forma a f
om a bluscom a blu
m problemaores demorm, para refaremos o
r tais taref
!1 !!4
rios problel da contag
uma figuriusa irá escdo que te
o calças que a figuricalça e b
0
hamaremo1, C2, C3 figurinista
sa B1 masa B3, ou
a de contararíamos mesolvermo
o seguinte:fas e vere
emas gem.
inista olher em a ual é inista blusa
os de e C4 pode
ais 4 seja,
gem, muito os de : nos emos
Desen Funda
quanexemtarefseja
TARuma
TARuma
Comtarefposs
4TARE
De mnúmresu
pTARE
Estecont
Box
Acabhttp:?seqlancdia a
Fim
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ntas possmplo anterfas, sendo:
REFA 1: ea das 4 blus
REFA 2: ea das 3 calç
mo para cafa 2 então sibilidades
3TARE
4
1 EFA
maneira gemero de pultados pos
pp 2TARE
1
1 EFA
e é o chamtagem
xe Multimíd
be com //objetosed
quence=13he! Mergua dia e é de
do boxe m
strucional
/ Consórcio CE
ibilidades rior, temos uma a de
scolher 1 sas dispon
scolher 1 ças dispon
ada 1 das devemos
.
32 EFA
eral, se tepossibilidadssíveis é ig
pTAR
... 2
2 EFA
mado Prin
dia
sua ducaciona3 como eulhe em umesafiado e
multimídia
EDERJ
esta pesss que nos e escolher
blusa: temníveis.
calça: temníveis.
possibilidmultiplicar
emos n tardes para gual a p1 p
pnn REFA
cípio Mult
fome dis2.mec.go
estudar mama simula
em meio às
a
| 9
soa tem colocar na1 blusa e
m 4 possi
m 3 possi
ades da tar estas pos
refas a secada uma
p2 ... pn
tiplicativo q
e estudov.br/bitstratemática ção onde
s combinaç
de realizaa posição a outra tar
bilidades
bilidades
arefa 1 tessibilidade
rem realiza das tar
que é o p
dar, vejaream/handpode ser você pode
ções que r
ar cada uda figurin
refa escolh
(pode esc
(pode esc
mos 3 poss, ou seja
zadas e p1refas entã
princípio fu
a clicandle/mec/217simples c
e combinarealiza.
uma delasista que teher 1 calça
colher qua
colher qua
ssibilidade, temos 4
1, p2, ..., pão o total
undamenta
do no 720/index.como pedir elemento
. No erá 2 a. Ou
lquer
lquer
es da 3=12
pn o l de
al da
link htmlr um
os do
Desen Funda
Exembanddispcore
Sabeparaposs
Solu
O prdo Jband
TARposs
TARTemesco
3TARE
Pelodistin
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
mplo 2: Odeiras. Eleoníveis no
es disponív
endo que Ja pintar a síveis que
ução:
rimeiro pasJair, ou sedeira.
REFA 1: essibilidades
REFA 2: emos 2 possolher.
2TARE
3
1 EFA
o princípio ntas. A seg
strucional
/ Consórcio CE
O aluno Jae está em o concursoveis a segu
Jair deve uoura par
podem se
sso para reeja, quais
scolher qu: verde, az
escolher qusibilidades,
22 EFA
multiplicatguir mostra
EDERJ
ir está padúvida de
o são verduir.
usar uma crte da bar feitas com
esolvermosão as ta
ual cor usazul ou verm
ual cor us pois 1 co
tivo temosamos as 6
| 10
rticipando e como deve, vermelh
cor para pindeira, dem estas co
s esta quearefas que
ar para pinmelha.
sar para por já foi us
s 3 2 = 6 pbandeiras
de um cove pintar sha e azul.
ntar o inteetermine oores.
estão é no temos qu
ntar o inte
pintar a pada restan
possibilidads possíveis
oncurso desua bandeVeja o qu
rior da esto número
s colocarmue cumprir
rior da es
parte externdo apena
des de mos.
e desenhoeira, e as cue ele fez
rela e outrde band
mos na posr para pin
trela. Tem
rior da estas 2 cores
ontar band
os de cores e as
a cor eiras
sição tar a
mos 3
trela. para
eiras
Desen Funda
Exemmoddistin
TARqual
TARmes
TARmes
Devenecedifer
TAR
Peloband
Agorreso
Ativ
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
mplo 3: Edo que faixntas podem
REFA 1: pquer uma
REFA 2: pinma cor usa
REFA 3: pima cor usa
emos obsessariamenrente da se
4TAR
5
1 REFA
o princípio deira é igu
ra que vocolvendo as
vidade 2 O
strucional
/ Consórcio CE
xistem 5 cxas adjacenmos pintar
pintar a pdas 5 core
ntar a segada na prim
ntar a tercada na seg
servar qunte ser difegunda faix
4TARE
4
2 EFA
multiplicaal a 5 4 3 =
cê já conhatividades
O mapa aba
EDERJ
cores dispntes não pr esta band
primeira faes.
unda faixameira faixa
ceira faixagunda faix
ue na teferente daxa.
43 EFA
ativo, temo= 60.
hece o Pris a seguir.
aixo é da A
| 11
poníveis papossuam adeira?
aixa: 5 po
a: 4 possiba.
: 4 possibia.
erceira faa cor usad
os que o t
incípio Fun
América do
ara pintar a mesma c
ossibilidade
bilidades, p
ilidades, p
ixa a coda na prim
total de po
ndamental
o Sul.
a bandeicor. De qua
es, pois
pois não po
pois não po
or usada meira faixa
ossibilidad
l da Conta
ra a seguantas man
podemos
odemos us
odemos us
não prea, mas ap
es de pin
agem, exe
ir de eiras
usar
sar a
sar a
ecisa enas
tar a
ercite,
Desen Funda
Fonthttp:co.g
N.D:
Tendquanpaís
Fim
Ativ
Em Sabequaneste
Fim
Ativ
Quade m
Fim
Ativ
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
te: //n.i.uol.coif
: Ilustraçã
do quatro ntas formaes adjacen
da ativida
vidade 3: J
um jogo dendo que ntas peças jogo teria
da ativida
vidade 4: G
ntos são omúltipla-esc
da ativida
vidade 5: S
strucional
/ Consórcio CE
om.br/licao
ão, favor d
cores paras distintasntes não p
ade 2
Jogando d
de dominó uma peç
s tem um dquantas p
ade 3
Gabaritand
os gabaritocolha, cont
ade 4
Só se for d
EDERJ
decasa/en
desenhar u
ra pintar os podem seodem ter a
dominó
ó, cada peça pode dominó. E peças?
do
os possívetendo 4 alt
do seu lad
| 12
nsfundame
um mapa s
os países er pintadosa mesma c
eça é formconter dose cada p
eis de umaternativas
do
ental/geogr
semelhan
da Américs todos escor.
mada de dois númeroeça tivess
a avaliaçãoem cada q
rafia/americ
nte ao map
ca do Sul,stes países
dois númeos repetide dois núm
o que posquestão?
ca/amsul_
pa acima.
, determins, sabendo
eros de 0 dos, determeros de 0
sui 5 ques
_politi
e de o que
a 6. rmine 0 a 9,
stões
Desen Funda
O cadevecadedeveum a
Fim
Seçã
Paraseçã
Exemcriansurgcrian
Parafesta
TARpois
TARpois prim
TARpois
TARpois
TARpois
TARjá es
Assi
6TARE
Pelocrian
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
asal Amanem escolheiras. De qem sentar ao lado do
da ativida
ão 5: Perm
a explicarmão 3.
mplo 4: Emnças, que ge uma qunças em fil
a resolverma, ele terá
REFA 1: espode esco
REFA 2: espode esc
meira da fila
REFA 3: esjá escolhe
REFA 4: esjá escolhe
REFA 5: esjá escolhe
REFA 6: esscolhemos
m, temos:
5TARE
6
1 EFA
o princípio nças em fil
strucional
/ Consórcio CE
nda e Dieher três luquantas forem cadeiroutro?
ade 5
mutação s
mos permu
m uma fesestão partestão, de a?
mos este pque realiza
scolher umolher qualq
scolher umolher qual
a.
scolher umemos duas
scolher umemos três c
scolher umemos quatr
scolher ums cinco cria
4TAREF
5
2 EFA
multiplicata é igual a
EDERJ
go e suaugares de rmas eles pras adjacen
simples
utação sim
ta de crianticipando dquantas f
problema nar 6 tarefas
ma criança quer uma d
ma criança quer uma
ma criança s crianças e
ma criançacrianças e
ma criançaro crianças
a criança anças e sob
3TAREFA
3 FA
ivo, temosa 6 5 4 3 2
| 13
filha Mariuma únic
podem tomntes? E se
mples voltem
nça o animde uma deformas dife
nos coloqus:
para ser adas criança
para ser adas crianç
para ser e sobraram
a para ser sobraram
a para ser s e sobrara
para ser abrou apena
25 TAREFA
4 A
s que o tota1 = 720.
a Antôniaca fila desmar esta dee Amanda
mos ao ex
mador de feeterminadaerentes é
uemos na
a primeira as.
a segunda ças que so
a terceira m quatro.
a quarta três.
a quinta am duas.
última da as uma.
16 TAREFA
5
al de possi
vão parasocupada ecisão, sabe Diego q
xemplo dad
esta resolv brincadeipossível c
posição d
da fila: 6
da fila: 5 obrou após
da fila: 4
da fila: 3
da fila: 2
fila: 1 pos
ibilidades d
a um cinemque poss
bendo queuiserem se
do no iníc
ve colocar ra, em fila
colocar est
do animado
possibilida
possibilidas a escolh
possibilida
possibilida
possibilida
ssibilidade,
de colocar
ma e sui 6 e eles entar
io da
as 6 . Daí tas 6
or de
ades,
ades, ha da
ades,
ades,
ades,
pois
r as 6
Desen Funda
É imcham
NoteresuDe f
Notetrocaposi
De fobjepermperm
Vocêresp
Exem
Solu
Anagletra
Assi
Paraentreanag
Exem
a) co
b) te
Solu
a) Te
TAR
TAR
1TARE
Pelo
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
mportante oma fatorial
emos que ultado seriaforma gera
emos que oar a ordemção entre o
forma geratos. Na a
mutação. Emutação de
ê sabe o qponder a es
mplo 5: Qu
ução:
gramas sãas desta pa
m, alguns
a sabermoe si, ou segramas.
mplo 6: Qu
omeçam co
erminam co
ução:
emos 2 tar
REFA 1: a p
REFA 2: tro
4TARE
1
1 EFA
o Princípio
strucional
/ Consórcio CE
observarmode 6, ou s
se ao invéa 5!, se fosl, se fosse
outra formm dos alunos alunos
al, trocar oanálise coE a permute n objetos
ue é anagstas pergu
uantos são
ão “palavraalavra.
exemplos
os o total deja, é um c
uantos são
om L
om O
refas.
primeira le
ocar a posi
4!2 EFA
Multiplicat
EDERJ
os que o pseja, 6 5 4
és de 6 crsse 4 crian
em n crianç
a de olharnos na filateríamos o
os objetos ombinatóriatação de n
s é igual a
rama? E ontas atravé
o os anagra
as” (com s
da palavra
de anagramcaso de pe
o os anagra
tra da pala
ção das ou
tivo temos
| 14
produto 6 53 2 1 = 6!
rianças o nças o resças, teríam
mos para ea, ao fazero resultado
de posiçãoa chamamn objetos én fatorial)
o que isto tés do exem
amas da p
ignificado
a SEJA sã
mas bastaermutação
amas da p
c) co
d) co
avra tem q
utras letras
1 24 = 24
5 4 3 2 1 é
problema sultado ser
mos n!
este problermos todaso do proble
o entre si mos estesé calculad
tem a ver cmplo a seg
alavra SEJ
ou não) o
ão SAJE, J
a trocarmosimples. E
alavra LIV
omeçam co
omeçam co
ue ser L: 1
s (4 letras)
anagrama
o que já e
falasse emria 4! e ass
ema seria s as troca
ema.
significar ps tipo de o como P
com permuguir
JA?
btidas pelo
ESA etc.
s as posiçEntão temo
VRO que:
om L e term
om L ou te
1 possibilid
): P4 = 4! =
as.
estudamos
m 5 criançsim por di
pensarmoas possíve
permutar eresolução
Pn = n! (le
utação? Va
o rearranjo
ções das los P4 = 4!
minam com
rminam co
dade
= 24
e se
ças o ante.
s em is de
estes o de mos:
amos
o das
etras = 24
m O
om O
Desen Funda
b) Ta
TAR
TAR
1TARE
Pelo
c) te
TAR
TAR
TAR
1TARE
Pelo
d) Cconttermpor que itens
Ativ
mais
c) os
Font
Fim
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ambém tem
REFA 1: a ú
REFA 2: tro
4TARE
1
1 EFA
o Princípio
emos 3 tare
REFA 1: a p
REFA 2: a ú
REFA 3: tro
1TARE
1
1 EFA
o Princípio
Como o anatar os ana
minam comexemplo, começam
s A e B e s
vidade 6: F
s velho na
s filhos Ser
te: http://ww
da ativida
strucional
/ Consórcio CE
mos 2 tare
última letra
ocar a posi
4!2 EFA
Multiplicat
efas
primeira le
última letra
ocar a posi
3!TAREF
1
2 EFA
Multiplicat
agrama poagramas q O. No entLIVRO, LV com L e t
subtrair o it
Flashs
outra pont
rgio e Carl
ww.sxc.hu/p
ade 6
EDERJ
efas
a da palavr
ção das ou
tivo temos
tra da pala
a da palavr
ção das ou
3 FA
tivo temos
ode começque começtanto, estaVIRO e etcterminam ctem C, isto
f
ta (não há
os não tira
photo/13684
| 15
ra tem que
utras letras
1 24 = 24
avra tem q
ra tem que
utras letras
1 1 6 = 6 a
çar com L oçam por L
aremos conc., ou sejacom O. Te
o é, 24 + 24
Joana desao lado dformas elesabendo q
a) eles pod
b) o mais gêmeos)
am fotos ju
439
e ser O: 1 p
s (4 letras)
anagrama
ue ser L: 1
e ser O: 1 p
s (3 letras)
anagramas
ou terminaL somar cntando anaa, temos qemos que 4 – 6 = 42
seja tirar fdo outro, es podem que:
dem ficar e
novo deve
untos
possibilidad
): P4 = 4! =
as.
1 possibilid
possibilidad
): P3 = 3! =
s.
ar com O ecom os aagramas reque retirar somar os anagrama
foto dos sedetermin
se organiz
em qualqu
e ficar em
de
= 24
dade
de
= 6
então podenagramas epetidos, cos anagraresultados
as.
eus 5 filhose de quazar para a
er posição
uma ponta
emos que
como amas s dos
s um antas foto,
o
a e o
Desen Funda
Seçã
Um PascPascprop
Paraformcomda lantesegu
N.D:
Font
Por exem
Font
Esteprop
Prop2 ele3, qu
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ão 6: Triân
recurso mcal. Esse cal (1623-1
priedades.
a entendermando um t
1 e termininha 2 em
erior e termuintes. Veja
: Favor, de
te: http://ww
exemplo, mplos no tr
te: http://up
e “triângulpriedades i
priedade daevado ao nue é forma
strucional
/ Consórcio CE
ngulo de P
uito utilizatriângulo
1662), po
r sua contriângulo cnamos comm diante cminamos ca o triângu
esenhar u
ww.mundo
a linha 4 riângulo ab
pload.wikim
o” é conmportante
as linhas: número da
ada pelos n
EDERJ
Pascal
do em Anáo recebe ois foi el
strução, pcom a segum 1 (com ecomeçamocom 1, e culo:
uma image
oeducacao
foi formadbaixo.
media.org/w
nhecido cos deste triâ
A soma doa linha cornúmeros 1
| 16
álise Combesse nomle quem
podemos duinte proprexceção daos com 1 continuam
em igual a
o.com.br/up
da assim 1
wikipedia/c
omo triânângulo.
os elementrresponden 3 3 1 (l
binatória é me devido
descobriu
dispor númriedade: ema linha 0 qsomamosos com e
a figura do
pload/cont
1 (1+3) (3+
commons/9
ngulo de
tos de umante. Por exlembremos
o chamado ao matu a maio
meros de m cada linhue terá só
s os elemesta regra
o triângulo
eudo/Untit
+3) (3+1)
9/97/Pasca
Pascal. V
a linha é igxemplo, tos que a pri
do Triângutemático Boria de
linha em ha começa
ó o númeroentos da para as li
o acima.
tled-4(40).j
1. Veja al
al3.png
Veremos
gual ao númmemos a imeira linha
ulo de Blaise
suas
linha amos o 1) e linha nhas
pg
guns
duas
mero linha a é a
Desen Funda
linhasom
Fonthttp:png
Propcolude una li
Font
Nos 4 + 1
Voltabinô
Ativ
Façaprop
Fim
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
a zero), tema dos elem
te: //upload.w
priedade dna começa
uma determnha seguin
te: http://ww
exemplos10 + 20 = 3
aremos nemio de Ne
vidade 7: M
a o desepriedades d
da ativida
strucional
/ Consórcio CE
mos nesta mentos da
wikimedia.o
das colunaando do p
minada linhnte da próx
ww.somate
da figura 35.
este triângewton.
Mãos na m
nho do Tda linha e d
ade 7
EDERJ
linha a solinha n é ig
org/math/6/
as: Se somrimeiro eleha então axima colun
ematica.co
acima tem
gulo na p
massa
Triângulo da coluna.
| 17
oma 1 + 3 gual a 2n.
/4/d/64d37
marmos osemento de soma ser
na. Veja a f
om.br/eme
mos que 1 +
próxima au
de Pasca
+ 3 + 1 =
7a3311d35
s elementsta coluna
rá igual ao figura a se
dio/binomi
+ 2 + 3 + 4
ula quand
al até a l
8 = 2³. De
5a03f675ce
os de uma e indo até
número qeguir.
o/binomio3
4 + 5 + 6 =
o tratarmo
inha 10 e
e forma ge
e04a63d72
ma determié um elemue se enco
36.gif
= 21. E que
os do ass
e verifique
ral, a
291.
nada mento ontra
e 1 +
sunto
e as
Desen Funda
Vejamen
Box
Duramateinause te
O pdinamateapar1724datade 1
Yanga AessêmaisPascChu antigconh
Font
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
a no boxe nos três séc
xe Saiba M
ante a dinaemática disgurou no sem notícia
eríodo qustia Yüanemáticos imreceram. D4), Li Yehados de 12299 e 130
g Hui, cujoArte da Mência seu ms antiga acal. Há umShï-kié e
go em seuhecido na C
te: Introduç
strucional
/ Consórcio CE
saiba maiculos ante
Mais
astia Tangsponíveis, século VIIIsó aparec
e vai da n marca mportantesDentre os h (com livr261 e 12753).
os livros sãMatemáticamétodo eraapresentaçma outra mm 1303; éu tempo. ÉChina de lo
ção a Histó
EDERJ
s que o trs da existê
, reuniu-separa uso
I, mas o pceu em 180
última paro pináculs despontamatemátic
ros datado5) e, o ma
ão uma esa, trabalhoa o mesmo
ção presermanifestaçãé interessaÉ possíveonga data.
ória da Ma
| 18
riângulo deência de P
e uma coleoficial nosrimeiro livr04.
rte da dino da maaram e mucos estavaos de 124ior de todo
pécie de eou habilmo que se urvada do ão do triânante que Cl então qu.
atemática,
e Pascal jáascal.
eção dos ms exames ro de mate
nastia Sunatemática uitos livrosam Ch’in K48 e 1259os, Chu Sh
extensão dente com
usa hoje. Dchamado gulo num
Chu fala due o teore
Howard Ev
á era conh
mais impoimperiais. emática im
ng até a pchinesa
s de matemKiu-shao (9), Yang Hhï-kié (cujo
dos Nove C frações
Devemos aTriângulo
livro posteo triângulo
ema do bin
ves. Pp.24
hecido por
rtante livroA imprens
mpresso de
parte iniciaantiga. Mmática valicujo livro
Hui (com los livros d
Capítulos sdecimais;
a ele tambéo aritméticerior escritoo como algnômio já f
45 e 246.
pelo
os de sa se e que
al da Muitos
iosos é de livros atam
sobre em ém a o de o por go já fosse
Desen Funda
Triân
Fonthttp:/300
Maisaparnota
O Tpubl
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ngulo de P
te: //upload.w
0px-Yanghu
s adiante rece no traar que Pasc
Traité Du Ticado em 1
strucional
/ Consórcio CE
Pascal, da
wikimedia.oui_triangle
no mesmabalho de cal é do sé
Triangle Ar1665.
EDERJ
maneira co
org/wikiped.gif
mo livro Eoutro ma
éculo XVII,
rithmétique
| 19
omo foi de
dia/commo
Eves descrtemático, portanto 3
e de Pasc
esenhado e
ons/thumb/
reve o mo francês 3 séculos d
cal foi escr
em 1303 po
e/ea/Yang
esmo triâBlaise Pa
depois de C
rito em 16
or Chu Shï
hui_triang
ngulo em ascal, deveChu Shï-ki
653 mas s
ï-kié
le.gif
que emos ié.
só foi
Desen Funda
Pági
Fonthttp:GU/%
PascObtétodoesqu
35 =
Font
A defaziadiscun obdo tprimpor munprop
Fim
É imaprecont
Res
•
•
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
ina da mon
te: //lh4.ggph%5BUNSE
cal construém-se quaos os elemuerda do e
= 15 + 10 +
te: http://ww
eterminaçãa do seu ussões so
bjetos tomariângulo a
meiro a moslongo tem
ndo ocidenpriedades d
do boxe sa
mportante esentadas tando um a
umindo
Fatorial
Princípipossibilpossibilp1·p2·..
strucional
/ Consórcio CE
nagrafia de
t.com/_j5kET%5D.gif
uía seu “talquer elemmentos daelemento d
+ 6 + 3 + 1.
ww.matem
ão dos coe triângulobre probabados r de
aritmético, strar o triâpo (até 19tal e deviddo triângulo
aiba mais”
observarmpara a re
a um. Most
de um nú
o Multiplicidades paidades par.·pn.
EDERJ
e Blaise Pa
kbeGgXcbo
riângulo amento (daa linha preesejado. A
.
matica.br/hi
eficientes bo. Ele tambilidade, pacada vez. várias delngulo com935) o primdo ao deseo, este torn
”
mos, com eesolução traremos m
mero n é d
cativo: se tara a tarra a tarefa
| 20
ascal
o/S3YNeLU
aritmético” a segunda ecedente
Assim, na q
istoria/imag
binomiais embém o ara determHá muitas
las desenvmo vimos ameiro descenvolvimennou-se con
estes exemde proble
mais técnic
dado por n
temos p1 prefa T2 ea Tn então
UhOiI/AAA
conforme linha em
situados equarta linha
gens/triang
era uma dausava, pa
minar o núms relaçõesvolvidas p
anteriormencobridor conto e aplicnhecido co
mplos, a iemas que cas de con
! = n (n – 1
possibilidae assim so o total de
AAAAAAB_
mostra a diante) cexatamenta,
g_pascal.g
as aplicaçõarticularmemero de co envolvendor Pascal.nte, mas conhecido d
cações queomo triângu
mportâncialevaríamo
tagem na
1) ... 2 1
des para asucessivame possibilid
_Y/xvRiWP
figura abcomo somte acima
gif
ões que Paente em ombinaçõedo os núm. Ele não
como Pascdo triângule fez de mulo de Pas
a das técnos muito próxima au
a tarefa Tmente atédades é ig
PDTz
baixo. a de ou à
ascal suas
es de meros
foi o cal foi lo no
muitas scal.
nicas temo ula.
1, p2 é pn ual a
Desen Funda
•
Veja
Para
•
•
•
•
Refe
Aabo
Boye
Eves
Iezzciên
MorgCom
Res
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
Ativi
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
Permuta
a Ainda
a saciar su
http://ww
2005 qu
http://ww
de Pasc
http://ww
triângulo
http://ww
ades so
erências
oe, A., Epi
er C. B., H
s H., Introd
i, G., Dolcencia e aplic
gado, A.C.mbinatória
posta das
dades 1: a
dade 2: 2
dade 3: 2
dade 4: 45
dade 5: 4
dade 6: a)
strucional
/ Consórcio CE
ação simp
a curiosida
ww.rpm.org.
ue trata da
ww.educ.fc.u
cal)
ww.educ.fc.u
o de Pasca
ww.educ.fc.u
obre o triân
isódios da
istória da
dução a h
e, O., Degecações, vo
., Carvalhoa e Probab
s atividade
a) 210
9 3 4 = 614
8 peças. 5
5 = 1024
3! = 24
) 5! = 120
EDERJ
les: permu
ade, indica
.br/conheca/
história da
ul.pt/docent
ul.pt/docent
al e suas p
ul.pt/docent
ngulo de Pa
a História
Matemáti
história da
enszajn, Dol.2, Ed Sa
o, J.B.P., Cbilidade. S
es
b) 120
44
55 peças
E 4 2! 2
b) 1 3! 1
| 21
utar n objet
amos os se
/57/contage
a Análise c
es/opombo/
es/opombo/
propriedad
es/opombo/
ascal)
antiga da
ica, Ed. Ed
a matemát
D., Périgo, araiva.
Carvalho, PSBM, 9ª Ed
c) 10
! = 16
= 6
to entre si
eguintes si
em.pdf (artigcombinatór
/seminario/p
/seminario/p
es)
/seminario/p
a matemát
dgard Blüc
ica. Editor
R., de Alm
P.C.P, Fernd.2006.
05 d)
c) 120 –
é calcular
ites:
go da RPMria)
pasca_l/biog
pasca_l/pasc
pasca_l/curio
ica. SBM.
cher.
ra Unicamp
meida, N., M
nandez, P.
) 4
4! 2! = 72
Pn = n!
M n° 57 de
grafia.htm(vi
cal.htm(o qu
os.htm(curio
p.
Matemátic
, Análise
da
ue é
osid
ca
Desen Funda
Ativi
Ane
O qu
1) Oconsescuuma1. Ocódi
Se 0101
Se 1000
No sde cleitucódi0000
Em códiesqu
(A) 1
Solu
Paraapenou epara
Pelo
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
dade 7: fig
xo
ue pergun
O código dsiste num cura ou nãoa barra clarObserve ab
go com 20
o leitor 110101110
o leitor 011010111
sistema decada códigra da esqugo 000001111
um sistemgos com uerda, des
14.
ução:
a a 1ª barrnas, pois descura) e aa a 3ª barra
o princípio
strucional
/ Consórcio CE
gura
ntam por a
de barras, conjunto d
o. Quando ra é convebaixo um e0 barras.
óptico fo010110001
óptico fo101011010
e código deo, deve-seuerda para
100000000
ma de códileitura daconsideran
(B) 12.
ra. temos deve ser iga penúltimaa temos 2 o
multiplicat
EDERJ
aí?
contido nade várias bum leitor órtida no nú
exemplo si
or passad1
or passad0
e barras, pe levar em a a direita
0, no sistem
igos que ua esquerdando-se tod
(C
duas opçõgual a prima barra apopções(cla
tivo, temos
| 22
a maior pabarras que óptico pasúmero 0 e implificado
do da es
do da di
para se orgconsideraigual à da
ma descrito
utilize apena para a
das as barr
C) 8.
ões (clara meira. Parapenas umaara ou escu
s 2 2 2 1 1
arte dos ppodem es
sa sobre ea de uma
o de um có
squerda p
reita para
ganizar o pação que aa direita p
o acima.
nas cinco direita igu
ras claras o
(D) 6.
ou escuraa a 2ª barra, pois devura).
1 = 8. No
produtos instar preencessas barrbarra escu
ódigo em
para a d
a a esqu
processo dalguns códpara a esq
barras, a ual à da ou todas a
a) e para úra, temos
ve ser igua
entanto n
ndustrializachidas comas, a leiturura, no númum sistem
direita irá
uerda irá
de leitura óigos podemuerda, com
quantidaddireita pa
as escuras,
(E) 4.
última 1 o2 opções(
al a segund
esta conta
ados, m cor ra de mero
ma de
ler:
ler:
óptica m ter mo o
de de ara a , é
pção (clara da. E
agem
Desen Funda
estaestacorre
2) Nconsdeseverdpais
O fuverdter aentã
A) 6
Solu
Se opelocinzamult7, ou
nvolvimento Ins
ação CECIERJ
mos conss duas poeta é a letr
No Nordesstituídas poenhos. Umde e amaragem (cas
ndo pode de ou amara mesma cão o númer
ução:
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| 23
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