Upload
luana-pinheiro
View
219
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
blá blá blá
Citation preview
Voce esta ouvindo
Trilha sonora
Compositor: Frederic Chopin
Noturno no.1 em Si bemol menor, Op.9/1
Noturno no.2 em Mi bemol maior, Op.9/2
Piano: N. Freire
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 1 / 23
MA091 Matematica basicaAula 12 Polinomios. Expressoes. Produtos notaveis. Fatoracao.
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Marco de 2014
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 2 / 23
Roteiro da aula
1 Polinomios e expressoes algebricas
2 Exerccios
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 3 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Polinomios
Polinomio
Um polinomio na variavel x e uma expressao na forma
anxn + an1xn1 + + a1x + a0,
em que
a0, a1, , an sao coeficientes reais, com an 6= 0.n e um numero inteiro nao negativo.
Cada termo aixi e um monomio.
O grau do polinomio e n, o maior expoente de seus monomios.
O monomio a0 e chamado termo constante.
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 4 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Sera que e polinomio?
Expressoes
(a) 3x 2(b) y6 3y4 + 4y(c) 8 + 2b2 5b b3(d)x + 8
(e) y2/3 + y 1(f) 3
(g) 4x 1x(h) 2w3 3w + 12
Das expressoes ao lado, quais saopolinomios?
A) Todas
B) (a), (b), (c), (e), (f), (g), (h)
C) (a), (b), (c), (e), (f)
D) (a), (b), (c), (f), (g)
E) (a), (b), (c), (f), (h)
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 5 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Soma e subtracao de expressoes algebricas
(6x2 2x + 3) + (x3 + 2x2 + 3x + 1)= x3 + (6x2 + 2x2) + (2x + 3x) + (3 + 1)= x3 + (6 + 2)x2 + (2 + 3)x + (3 + 1)= x3 4x2 + x + 4.
(2x4 3x3 + 5x2 + x 5) (3x3 + x2 + 2x 8)= 2x4 3x3 + 5x2 + x 5 + 3x3 x2 2x + 8= 2x4 + (3x3 + 3x3) + (5x2 x2) + (x 2x) + (5 + 8)= 2x4 + (3 + 3)x3 + (5 1)x2 + (1 2)x + (5 + 8)= 2x4 + 4x2 x + 3.
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 6 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Produto de expressoes algebricas
Regra do chuveirinho
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.
(x 3)
(4 2
x
)=x 4 +x
(2x
) 3 4 3
( 2x
)
= 4x 2
x
x 12 + 6
x
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 7 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Produtos notaveis
Produtos notaveis
Sejam a e b numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.
Produto Exemplo
1. Quadrado da soma(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (7 + 3)2 = 72 + 2 7 3 + 32 = 100
2. Quadrado da diferenca(a b)2 = a2 2ab + b2 (5 4)2 = 52 2 5 4 + 42 = 1
3. Produto da soma pela diferenca(a + b)(a b) = a2 b2 (5 + 3)(5 3) = 52 32 = 16
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 8 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Exemplos
(2x + 5)2 = (2x)2 + 2 2x 5 + 52
= 4x2 + 20x + 25
(x 2)2 = x2 2 x 2 + 22= x2 4x + 4
(5 4
y
)2= 52 2 5 4
y+
(4
y
)2= 25 40
y+
16
y2
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 9 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Exemplos
(4x 6y)(4x + 6y) = (4x)2 (6y)2
= 16x2 36y2
(x +
2)(x
2) = (x)2 (
2)2
= x 2 (supondo que x 0)
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 10 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Fatoracao de expressoes
Fatoracao
Sejam a, b e c numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.
Forma fatorada Exemplo
1. ab + ac = a(b + c) 10x + 20 = 10 x + 10 2 = 10(x + 2)2. ab ac = a(b c) 5 20x2 = 5 1 5 4x2 = 5(1 4x2)
7x2 21x3 = 7 x x 3 7 x x x= 7x2 1 7x2 3x= 7x2(1 3x)
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 11 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Exemplos
2xy48xy2z6xy3z2 = 2xy2 y22xy2 4z2xy2 3yz2= 2xy2(y2 4z 3yz2)
(3x 5)2 (3x 5)2x = (3x 5) (3x 5 2x)= (3x 5)(x 5)
4x2 20x2x
=4x x 4x 5
2x
=4x(x 5)
2x
=2x
2x 2(x 5)
1= 2(x 5)
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 12 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Reconhecendo produtos notaveis
Fatoracao usando produtos notaveis
Sejam a e b numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.
Forama fatorada Exemplo
1. Quadrado perfeito da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
2. Quadrado perfeito da diferenca
a2 2ab + b2 = (a b)2 y2 8y + 16 = (y 4)23. Diferenca de quadrados
a2 b2 = (a + b)(a b) x2 4 = x2 22 = (x 2)(x + 2)
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 13 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Diferenca de quadrados
4x2 9 = (2x)2 32= (2x 3)(2x + 3)
y2
16 25 =
(y4
)2 52=
(y4 5
)(y4
+ 5)
x2 3 = x2 (
3)2
= (x
3)(x +
3)
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 14 / 23
Polinomios e expressoes algebricas
Trinomios quadrados perfeitos
9x2 30x + 25 = (3x)2 2 3x 5 + 52= (3x 5)2
8 + 8x2 + 2x4 = 2 4 + 2 4x2 + 2 x4= 2(4 + 4x2 + x4)
= 2(22 + 2 2 x2 + (x2)2)= 2(2 + x2)2
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 15 / 23
Exerccios
Exerccio 1
Produtos notaveis
Calcule o produto(3x + 8)2
A) 9x2 + 64
B) 9x2 + 48x + 64
C) 3x2 + 48x + 64
D) 3x2 + 16x + 64
E) 9x2 + 24x + 64
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 16 / 23
Exerccios
Exerccio 2
Produtos notaveis
Calcule o produto(2 x)2
A) 4 x2B) 4 x2C) 4 4x + x2D) 4 + 4x + x2E) 4 + 4x + x2
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 17 / 23
Exerccios
Exerccio 3
Produtos notaveis
Calcule o produto(
2x 1)2
A) 1 22x + 2x2B) 4x2 4x + 1C) 2
2x2 22x + 1
D) 2x 1E) 2x2 1
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 18 / 23
Exerccios
Exerccio 4
Produtos notaveis
Calcule o produto(x + 5)(
x 5)
A) x 10x + 25B) x2 25C) x 25D) 2
x + 25
E) 2x 25
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 19 / 23
Exerccios
Exerccio 5
Fatoracao
Fatore4y2 5
A) (4y 25)(4y + 25)B) (4y 5)(4y +5)C) (2y 5)2D) (2y 5)(2y +5)E) (2y 5)2
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 20 / 23
Exerccios
Exerccio 6
Fatoracao
Fatore36
y2 1
9
A) 3y21
B) 3y2
C) ( 6y 13)2
D) ( 2y 1)( 2y + 1)E) ( 6y 13)( 6y + 13)
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 21 / 23
Exerccios
Exerccio 7
Fatoracao
Fatore4x2 + 20x + 25
A) (2x + 5)2 + 20x
B) 2(x + 5)2
C) 4(x + 5)2
D) (5 + 2x)2
E) (4x + 5)2
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 22 / 23
Exerccios
Exerccio 8
Fatoracao
Fatore
x2 x + 14
A) (x 12)(x + 12)B) (x 12)2C) 12(x 1)2D) (x2 1)2E) 2(x2 1)2
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 23 / 23
Polinmios e expresses algbricasExerccios