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MagnetostáticaCap. 5
Campo magnético e potencial vetor magnéticoEquações da magnetostáticaTransformações de calibre Momentos de dipolo magnéticoCampo magnético dipolarMagnetização e correntes de magnetizaçãoDensidades efetivas de cargas magnéticasClassificação magnética dos materiaisPotencial escalar magnéticoProblemas de condições de contorno
Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo.
Fluxo sobre o cilíndro :
Fluxo nasuperfícielateral
Fluxo atravésda tampa decima
Fluxo atravésda tampa debaixo
-
Sobre o eixo (r = 0) temos :
Na vizinhança do eixo temos :
Lembando que : ou seja a inclinação de B relativaao eixo em M é:
Divergência nula de B implica na inexistência de observação experimental de monopolos magnéticos:
Teorema da divergência :
Em consequência, define-se o Potencial Vetor A :
Expressão integral para o Potencial Vetor A :
Verifique que :
Lembrando que J é função das coordenadas (x’, y’, z’) :
Equações do Campo Magnetostático
Forma integral
Campos magnetostáticos não apresentam dependência do tempo.
ExercícioÉ possível haver uma onda magnetostática? Qual é o seu significado?
Sugestão:
http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/spinwave.pdf
ExercícioMostre que a expressão geral do campo magnético dipolar inclusive dentro da distribuição dipolar de raio R é dada por:
tal que
satisfazendo a condição:
Uma força magnética conservativa no caso de uma distribuição de correntes localizadas
num campo eletrostático que varia suavemente
Equivale a um monopolo
"Nulo"
Magnetização
A magnetização é definida através do momento de dipolo magnético por
unidade de volume de um material.
Pictoricamente, é associada as correntes de magnetização (Amperianas).
“pictórico”
Admitindo:
Da relação vetorial : x (f F) = (f ) x F + f ( x F)
∫ X F dV = ∫ dA X F Gauss-Ostrogradski
Materiais magnetizados
Densidade de corrente de magnetização volumétrica :
Densidade de corrente de magnetização superficial :
JM
jM
B e M são funcionais de H
Magnetização : M = dm/dV no SI a unidade de M é A m-1
Susceptibilidade magnética
Permeabilidade magnética
Permeabilidade magnética relativa
Ex.: Campos magnéticos externos a ferromagnetos
Densidades efetivasde carga magnética
Distante de uma região com M localizada
Resposta magnética dos materiais
Diamagnéticos : materiais com todos os spins eletrônicos emparelhados.
Paramagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados não interagentes e flutuando térmicamente.
Ferromagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados e acoplados via interação de troca quantum-mecânica.
O ciclo de histerese
Br indica quanto forte é o ímã.HC indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã.
(BH)maxindica o volume de material necessário para obter uma certa energia.
Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num campo magnético uniforme.
Temos B = H somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.
As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são :
As condições de contorno em r = a e r = b são tais que H e Br são contínuos.
Em termos do potencial escalar magnético estas condições são:
( relativo)
Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as
constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l ≠ 1 anulam-se.
Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações :
As soluções para 1 e são :
O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme Bo mais um
campo dipolar com um momento de dipolo orientado paralelo a Bo. Dentro da
cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à Bo igual em magnitude à .
Quando >> 1, o momento de dipolo e o campo interior tornam-se :
Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/e a blindagem magnética
com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo ~ 103–106
se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.
Exercício(a) Obtenha o potencial e campo magnéticos de uma esfera uniformente magnetizada.
(b) Obtenha B, H e M no interior uma esfera magnetizada imersa em um campo magnetostático.