manual do professor 9º ano

7/22/2019 manual do professor 9 ano

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Manual do professor8 ano

Cara professora, caro professor,

Sua vivncia em sala de aula delineia as questes que voc privilegia, os caminhos que vocescolhe para as aulas e o modo como voc concebe a educao. Essas experincias nicas no po-dem ser desprezadas; por isso, o que apresentamos neste manual so sugestespara a sua prticadocente.

1. Apresentao ........................................................................................................................ 12. Objetivos do ensino fundamental ......................................................................................... 1 Objetivos do ensino da matemtica .............................................................................. 23. Estrutura desta coleo ......................................................................................................... 34. Reflexes e possibilidades para a prtica docente ............................................................... 65. Orientaes didtico-metodolgicas ................................................................................... 96. Abordagem multidisciplinar ................................................................................................... 757.Resolues das atividades .................................................................................................... 848.Bibliografia e sugesto de sites ............................................................................................ 119

1. APRESENTAO

O objetivo principal do ensino a integrao professor-aluno e a construo do conhecimentopor meio dessa relao. Cabe, ento, a voc, professor(a), criar situaes de aprendizagem que ofe-ream ao aluno a oportunidade de compreender os contedos ministrados e aplicar corretamenteos conceitos para solucionar situaes-problema que lhe forem apresentadas em sala de aula e,sobremaneira, as que lhe forem apresentadas no cotidiano, para que possa exercer plenamente acidadania.

Tendo como referncia os Parmetros Curriculares Nacionais, apresentamos a matemtica apontan-do sua importncia e sua aplicao no dia a dia.

Caracterizamos a atuao do professor como mediadorentre o conhecimento e o aluno e desta-camos a importncia da inter-relao entre os alunos: essa troca de experincia promove o crescimentode ambos e, tambm, a sociabilizao.

Procure explorar as atividades em sala de aula e incentive seus alunos a questionar e discutir os

procedimentos usados para as resolues.

2. OBJETIVOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

De acordo com os Parmetros Curriculares Nacionais, "os alunos do ensino fundamental devem sercapazes de:

compreender a cidadania como participao social e poltica, assim como exerccio de direitos edeveres polticos, civis e sociais, adotando, no dia a dia, atitudes de solidariedade, cooperao e rep-dio s injustias, respeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito;

posicionar-se de maneira crtica, responsvel e construtiva nas diferentes situaes sociais, utili-zando o dilogo como forma de mediar conflitos e de tomar decises coletivas;

conhecer caractersticas fundamentais do Brasil nas dimenses sociais, materiais e culturais comomeio para construir progressivamente a noo de identidade nacional e pessoal e o sentimento de pertinn-cia ao pas;

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conhecer e valorizar a pluralidade do patrimnio sociocultural brasileiro, bem como aspectos so-cioculturais de outros povos e naes, posicionando-se contra qualquer discriminao baseada em diferenasculturais, de classe social, de crenas, de sexo, de etnia ou outras caractersticas individuais e sociais;

perceber-se integrante, dependente e agente transformador do ambiente, identicando seuselementos e as interaes entre eles, contribuindo ativamente para a melhoria do meio ambiente;

desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de conana em suas capa-cidades afetiva, fsica, cognitiva, tica, esttica, de inter-relao pessoal e de insero social, para agircom perseverana na busca de conhecimento e no exerccio da cidadania;

conhecer o prprio corpo e dele cuidar, valorizando e adotando hbitos saudveis como um dos aspec-tos bsicos da qualidade de vida e agindo com responsabilidade em relao sua sade e sade coletiva;

utilizar as diferentes linguagens verbal, musical, matemtica, grca, plstica e corporal como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias, interpretar e usufruir das produes cultu-rais, em contextos pblicos e privados, atendendo a diferentes intenes e situaes de comunicao;

saber utilizar diferentes fontes de informao e recursos tecnolgicos para adquirir e construirconhecimentos;

questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolv-los, utilizando para isso opensamento lgico, a criatividade, a intuio, a capacidade de anlise crtica, selecionando procedimen-tos e verificando sua adequao".

Objetivos do ensino da matemticaPara os PCN, o ensino de matemtica no ensino fundamental visa construo da cidadania levan-

do "o aluno a: identicar os conhecimentos matemticos como meios para compreender e transformar o mundo sua

volta e perceber o carter de jogo intelectual, caracterstico da matemtica, como aspecto que estimula o inte-resse, a curiosidade, o esprito de investigao e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;

fazer observaes sistemticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabele-cendo inter-relaes entre eles, utilizando o conhecimento matemtico (aritmtico, geomtrico, mtri-co, algbrico, estatstico, combinatrio, probabilstico);

selecionar, organizar e produzir informaes relevantes, para interpret-las e avali-las criticamente; resolver situaes-problema, sabendo validar estratgias e resultados, desenvolvendo formas de

raciocnio e processos, como intuio, induo, deduo, analogia, estimativa, e utilizando conceitos eprocedimentos matemticos, bem como instrumentos tecnolgicos disponveis;

comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com pre-ciso e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relaesentre ela e diferentes representaes matemticas;

estabelecer conexes entre temas matemticos de diferentes campos e entre esses temas e co-nhecimentos de outras reas curriculares;

sentir-se seguro da prpria capacidade de construir conhecimentos matemticos, desenvolvendoa autoestima e a perseverana na busca de solues;

interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluespara problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou no na discusso de um assunto, res-peitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles".

Ainda de acordo com os PCN, "para a rea de matemtica no ensino fundamental esto pautadospor princpios decorrentes de estudos, pesquisas, prticas e debates desenvolvidos nos ltimos anos,cujo objetivo principal o de adequar o trabalho escolar a uma nova realidade, marcada pela crescentepresena dessa rea do conhecimento em diversos campos da atividade humana. So eles:

a matemtica importante na medida em que a sociedade necessita e se utiliza, cada vez mais,de conhecimentos cientcos e recursos tecnolgicos, que, por sua vez, so essenciais para a inserodas pessoas como cidados no mundo do trabalho, da cultura e das relaes sociais;

a matemtica pode e deve estar ao alcance de todos, e a garantia de sua aprendizagem deve sermeta prioritria do trabalho docente;

a atividade matemtica escolar no olhar para coisas prontas e denitivas, mas a construo e a apro-priao de um conhecimento pelo aluno, que se servir dele para compreender e transformar sua realidade;

o ensino de matemtica deve garantir o desenvolvimento de capacidades como: observao,estabelecimento de relaes, comunicao (diferentes linguagens), argumentao e validao de pro-cessos e o estmulo s formas de raciocnio como intuio, induo, deduo, analogia, estimativa;

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o ensino-aprendizagem de matemtica tem como ponto de partida a resoluo de problemas; no ensino da matemtica, destacam-se dois aspectos bsicos: um consiste em relacionar observa -

es do mundo real com representaes (esquemas, tabelas, figuras, escritas numricas); outro consiste emrelacionar essas representaes com princpios e conceitos matemticos. Nesse processo, a comunicaotem grande importncia e deve ser estimulada, levando-se o aluno a falar e a escrever sobre matemtica, atrabalhar com representaes grficas, desenhos, construes, a aprender como organizar e tratar dados;

a aprendizagem em matemtica est ligada compreenso, isto , atribuio e apreenso designificado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupe identificar suas relaes

com outros objetos e acontecimentos.Assim, o tratamento dos contedos em compartimentos estanques e numa rgida sucesso linear

deve dar lugar a uma abordagem em que as conexes sejam favorecidas e destacadas.O significado da matemtica para o aluno resulta das conexes que ele estabelece entre ela e as

demais reas, entre ela e os Temas Transversais, entre ela e o cotidiano e das conexes que ele estabe-lece entre os diferentes temas matemticos;

a seleo e organizao de contedos deve levar em conta sua relevncia social e sua contribuio parao desenvolvimento intelectual do aluno e no deve ter como critrio apenas a lgica interna da matemtica;

o conhecimento matemtico historicamente construdo e, portanto, est em permanente evoluo.Assim, o ensino de matemtica precisa incorporar essa perspectiva, possibilitando ao aluno reconhecer ascontribuies que ela oferece para compreender as informaes e posicionar-se criticamente diante delas;

recursos didticos como livros, vdeos, televiso, rdio, calculadoras, computadores, jogos e ou-

tros materiais tm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisamestar integrados a situaes que levem ao exerccio da anlise e da reexo;

a avaliao parte do processo de ensino e aprendizagem. Ela incide sobre uma grande varie-dade de aspectos relativos ao desempenho dos alunos, como aquisio de conceitos, domnio de pro -cedimentos e desenvolvimento de atitudes. Mas tambm devem ser avaliados aspectos como seleoe dimensionamento dos contedos, prticas pedaggicas, condies em que se processam o trabalhoescolar e as prprias formas de avaliao".

Os contedos propostos nesta coleo de matemtica dividem-se em duas categorias: contedosconceituais e procedimentais e contedos atitudinais.

A. Contedos conceituais e procedimentaisOs contedos conceituais iniciam a aprendizagem, ou seja, so os construtores da aprendizagem,

pois formam a base para a informao e a organizao dos fatos.Quando o aluno assimila esses fatos, mas ainda no est pronto para lidar com eles, surgem os contedos

procedimentais, que so responsveis pelo saber fazer. nesse momento que o professor contribui, pois oaluno no realiza tal processo sozinho porque necessita das ferramentas fornecidas pelo professor para:

resolver situaes-problema; argumentar por meio de textos; analisar e comparar dados das situaes-problema; validar os resultados.B. Contedos atitudinaisPresentes no dia a dia escolar, esses contedos permitem ao aluno se posicionar ao apreender

como resolver os problemas e sua postura perante eles. A escola forma o indivduo, mas deve levar emconsiderao o emocional e o social, sendo imparcial na formao dos cidados.

Fazem parte dos contedos atitudinais: atitudes de interesse em aprender; disciplina na busca de solues; solidariedade e cooperao em grupo; liderana positiva entre os colegas de trabalho.

3. ESTRUTURA DESTA COLEO

Esta coleo, composta de quatro livros, trabalha os quatro eixos da matemtica: nmeros eoperaes, espao e forma, grandezas e medidas e tratamento de informaes. A metodologiausada proporciona o trabalho com o ensino de matemtica de uma maneira atual, objetiva e clara.

Os livros trabalham com atividades multidisciplinares que contemplam a inter-relao da matem-

tica com os vrios campos do saber. Nesse aspecto, deve-se destacar o trabalho de inter-relao entreas diversas reas da matemtica, por meio de situaes-problema que exploram lgebra e geometria,aritmtica e lgebra, entre outras.

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Neste manual, voc encontrar textos de cunho multidisciplinar para uma reflexo em sala deaula. So sugeridos tambm projetos e atividades a serem desenvolvidas pelos professores dasdiversas reas do saber.

Os captulos foram planejados de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos e a incentiv-los, pormeio da curiosidade, a buscar, sempre e mais, conhecimentos sobre o assunto em pauta.

Na busca por diferentes maneiras de prender a ateno dos alunos, utilizam-se tambm os jogoscom o intuito de aplicar e sistematizar, de uma forma mais agradvel, determinado contedo desenvol-vido em sala de aula.

A troca de informaes e a vivncia entre os alunos so incentivadas, promovendo o debate em salade aula que enriquece a argumentao dos alunos, encoraja-os a um posicionamento e mostra que umpode ajudar o outro. Os professores devem, ento, potencializar essas atividades.

Nesta coleo, cada livro dividido em quatro unidades, subdivididas em captulos. Em cada ca-ptulo, voc encontrar a fundamentao terica, atividades para trabalhar em sala de aula e atividadescomplementares, para que o aluno sistematize o que estudou.

Todo captulo iniciado com a contextualizaodo tema a ser abordado; isso feito para enriquecero contedo que ser apresentado ao aluno e darsignificado informao.

Este boxe, que aparece muitas vezes entre blocos de teoria, insere uma histria ouuma curiosidade ou trechos de reportagens que usam conceitos matemticos que estosendo desenvolvidos. Com isso, o aluno explora a matemtica e fica sabendo comoe ondeo que ele est aprendendo hoje foi aplicado no passado.

Este boxe traz questionamentos que buscam levantar o conhecimento prvio do

aluno a respeito dos assuntos que sero abordados.



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Os exerccios resolvidos so uma oportunidade de explorar e exemplificar o contedo de-senvolvido, levando o aluno a perceber a aplicabilidade do que foi estudado.

Depois que o contedo foi desenvolvido, explorado e exemplificado, o aluno encontra sees deatividades para serem feitas em sala de aula de modo a sistematizar o que estudou. Este um exce-lente momento para o aluno trocar informaes e ideias com os colegas e com voc, professor(a).

O item 5 deste manual traz sugestes de como trabalhar essas atividades, e o item 7 apresenta asresolues detalhadas e comentadas de todas elas.

Algumas atividades recebem, junto numerao, cones especiais:

Calculadora

Aparece quando a atividade sugere que deve ser usada a calculadora para sua resoluo ou valida-o dos resultados.

Em razo do avano tecnolgico, cada vez mais nos deparamos com a evoluo dos recursos tecnolgicosque esto disposio de alunos e tambm de professores: so computadores, calculadoras e celulares.

Assim, incentivar o uso da calculadora para verificao de resultados e correo de atividades, ouseja, como um mtodo de autoavaliao, dar ao aluno oportunidade de conhecer e desenvolver novasformas de raciocinar, alm de estimul-lo a chegar resposta esperada.

PesquisaAs atividades assinaladas com esse cone indicam que os alunos devem pesquisar em outras fontes,

alm deste livro.

Trabalho em grupoEste boxe prope que o aluno resolva determinadas atividades com outros colegas. Ao final, eles de-

vem redigir um pequeno texto ou elaborar um esquema que apresente as estratgias usadas na resoluo.

Clculo mental e estimativa

Quando aparece esse cone, sinal de que a atividade proposta tem o objetivo de estimular acapacidade de raciocnio. O aluno criar formas prprias de resoluo sem o uso de calculadora oualgoritmo escrito.

Tratamento da informao

As atividades assim assinaladas trazem a leitura e a interpretao de informaes em imagens,organizao e coleta de dados, sob forma de tabelas e grficos.

Desafio

Atividades com esse cone indicam situaes-problema com grau de dificuldade maior que as de-mais, levando o aluno a aplicar o conhecimento obtido por meio de estratgias de resoluo.

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Com essa seo, o aluno continua a aprender, porm, divertindo-se. Este quadro, que con-tm charges, jogos e quebra-cabeas matemticos descontrados, traz interessantes maneiras deaprender brincando.

Inserido nas atividades, esse cone dispe a aplicao da matemtica nas diversas reas do saber,como a relao entre a matemtica e a geografia, a biologia etc., e no dia a dia, como acontecimentoscorriqueiros que passam despercebidos e que podem ajudar na aprendizagem do aluno. Essa seosempre traz uma proposta de trabalho pertinente ao assunto abordado.

As atividades inseridas neste cone propem construes geomtricas e experimentos matemticos.

Este cone introduz um mapa com a localizao geogrfica de pases, estados ou cidades citados nateoria. uma maneira de trabalhar com a linguagem no verbal e associar a matemtica geografia.

Este bloco de atividades pode ser desenvolvido em sala de aula ou como tarefa extra. Algumasatividades recebem, junto numerao, cones especiais como calculadora, clculo mental e estimativa,

tratamento da informaoe desafio.O item 5 deste manual traz sugestes de como trabalhar essas atividades, e o item 7 apresenta asresolues detalhadas e comentadas de todas elas.

4. REFLEXES E POSSIBILIDADES PARA A PRTICA DOCENTE

A matemticaO ensino-aprendizagem no deve se configurar como a separao entre os saberes de cada rea,

mas como a religao de saberes que tm permanecido desconectados, fragmentados ao longo dossculos. Existe a necessidade premente de se enfrentar o desafio de compreender a matemtica sempre

dentro de um contexto e de forma multidisciplinar.Para Pascal todas as coisas estavam ligadas umas s outras e era impossvel conhecer as par-tes sem conhecer o todo; assim, o conhecimento um movimento permanente do todo s partes.



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O professor de matemtica deve ter o olhar mltiplo; caso contrrio, pode tornar-se incapaz de ver aunidade e, com isso, no conseguir se conduzir, nem a seu aluno, em direo multiplicidade.

A matemtica no uma cincia desconectada do mundo, nem pretende ser. Para isso, moderniza-sena busca do casamento perfeito entre conceito e formulao, investigao e resoluo de problemas. Jno mais possvel deixar de ver que aluno e professor esto num mundo com problemas que exigemconhecimento poltico, econmico, antropolgico, ecolgico etc. E o prprio mundo que impe oproblema universal para todo cidado: como adquirir a possibilidade de articular e organizar as infor-maes sobre o mundo e o que necessrio para se viver no mundo. Em verdade, para articular todas

as informaes e organiz-las, preciso uma reforma de pensamento que aponte para o problema es-sencial: complementar o pensamento que separa com outro que une.

A misso primordial do ensino implica muito mais aprender a religar do que aprender a separar,como tem sido feito nos cursos de todas as escolas e mesmo no mbito da cincia at o presente. Si-multaneamente, preciso aprender a problematizar.

Desse ponto de vista, pode-se afirmar que os objetivos do ensino da matemtica so coordenar osdiferentes pontos de vista, confrontando-os, e estabelecer relaes entre o indivduo e tudo o que o cerca.Para alcanar esses objetivos, importante respeitar a multicontextualidade da sala de aula de matemtica,ampliar a formao de conceitos matemticos, apropriar-se de resolues de problemas da vida cotidiana,empregar a arte e o corpo no ensino da matemtica escolar, pois essas aes conduzem ao desenvolvimen-to da capacidade de lidar com a incerteza e com a diversidade, de modo que esse desenvolvimento leve autonomia moral e intelectual, estabelecendo a conexo matemtica com a complexidade. E com a vida.

A fim de atender a tudo isso, busca-se um ensino que aponte para o planejamento de projetos epara a construo e resoluo de problemas.

Nesta coleo, portanto, as propostas de aprendizagem contemplam os quatro eixos temti-cos nmeros e operaes, espao e forma, grandezas e medidas e tratamento de informaes , eos conceitos matemticos so retomados, ampliados e aprofundados de forma dinmica e ascendente,ao longo de todo o processo, partindo de significaes preexistentes para novos significados, priorizandoa integrao entre eles e as demais reas do conhecimento. Dessa forma, proporciona-se ao aluno ocontato com o objeto de conhecimento, efetivando, assim, a aprendizagem por meio de experimenta-es e reflexes e o encaminhamento para a formao do cidado pleno, capaz de generalizar, concei-tuar e contextualizar sua prpria existncia.

Agir sobre o meio sociocultural predominante para o desenvolvimento lgico-matemtico, uma vez

que este construdo por meio da abstrao reflexiva sobre as aes. Coordenar, respeitar, posicionar econfrontar diferentes pontos de vista, relaes ou opinies levam ao desenvolvimento natural da inteli-gncia, o que leva autonomia moral e intelectual, fator predominante que traz a efetiva apropriao deresolues de problemas da vida cotidiana. No domnio lgico-matemtico, o confronto de opinies pro-picia um raciocnio cada vez mais elevado, objetivando a formao de pessoas independentes que possampensar por si mesmas em qualquer situao diria. Assim sendo, se estabelece o raciocnio autnomo.

Por que e como ensinar matemtica?

Devemos estimular os alunos para que se interessem por matemtica, pois na escola, na residncia,no trajeto escola-residncia l est ela, nos cercando, incentivando sempre o raciocnio e a capacidadede pensamento. Criar maneiras diversas de ensin-la permitir que essa cincia deixe de ser um mito ouum desafio e seja encarada de forma mais simples e til, como ela realmente .

Quando o professor inicia sua argumentao na sala de professores com a frase: Eu ensinei, o alu-no que no aprendeu, percebe-se que o problema em sala de aula est maior do que se imagina. Poisensinar no apresentar um contedo, mas sim explicar de vrias maneiras o tema a ser abordado, demodo que o aluno entenda sua funo.

Conforme sugere a educadora Lea Anistasiou, em seu livro Ensinar, aprender, apreender e pro-cessos de ensinagem(2005), "o verbo ensinar, do latim insignare, significa marcar com um sinal, quedeveria ser de vida, busca e despertar para o conhecimento. Na realidade da sala de aula, pode ocorrera compreenso, ou no, do contedo pretendido, a adeso, ou no, a formas de pensamento mais evo-ludas, a mobilizao, ou no, para outras aes de estudo e de aprendizagem".

necessrio estabelecer o objetivo em sala de aula, pois passar a informao simples, comoapresentar uma palestra. Transmitir conhecimento ao aluno, porm, um compromisso muito maior,pois nele se insere o ato da compreenso do tema a ser ensinado.

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Sempre escutamos questionamentos sobre como despertar o aluno, como motiv-lo e conquistar seuinteresse. Motivar o aluno nem sempre fazer a equivalncia entre suas atitudes e notas ou recompensas, massim mostrar que o aprendizado mrito de quem o busca, e sua conquista um trofu para a vida inteira.

Segundo o Dicionrio escolar Silveira Bueno(Ediouro), motivao significa exposio de motivos oucausas; animao; entusiasmo, ou seja, motivar o aluno anim-lo, entusiasm-lo, proporcionando-lhemotivos para que tenha tais sensaes.

preciso incitar o aluno a ter vontade de estudar, de se dedicar a suas atividades; isso fica menosdifcil quando ele acredita que sua dedicao ter um grande retorno, sendo ele mesmo o benecirio.

Para educar preciso ter atitude, o aprendizado o resultado dessa ao. Basear essas aes emgrandes estratgias ser a garantia da satisfao do aluno em aprender e o estmulo que ele precisapara se dedicar cada vez mais.

Temos tantos moldes e maneiras de ser e estar em sala de aula que, s vezes, esquecemos que algumasatitudes simples podem significar uma diferena enorme no todo. A seguir, h algumas dicas que, decisivamen-te, contribuem para qualquer professor que procura um diferencial para executar seu trabalho:

tratar todos os alunos da mesma maneira; relacionar o contedo realidade do aluno, a sua histria e hbitos; esclarecer sua disponibilidade para o aluno, ou seja, que ele poder contar sempre com sua ajuda; ser paciente e compreensivo; acolher o aluno;

manter o clima de harmonia em sala de aula; ouvir o aluno; ter prazer em preparar e apresentar a aula.Tendo como ferramenta a matemtica, a insero dos alunos na sociedade ocorrer de maneira

mais simples do que se imagina porque matemtica tambm cidadania. Assumir o compromisso dedesenvolver os contedos matemticos coloca o aluno em situaes de responsabilidade; com isso, elese torna um cidado que reconhece seus direitos e deveres.

Devemos focar tambm os trabalhos multidisciplinares, que agregam contextos de diversas rease levantam questes sociais para a reflexo dos alunos. Este manual traz textos que o ajudaro nessetrabalho. Os PCN sugerem que um currculo de matemtica deve procurar contribuir, de um lado, paraa valorizao da pluralidade sociocultural, evitando o processo de submisso no confronto com outrasculturas; de outro, criar condies para que o aluno transcenda um modo de vida restrito a um determi-

nado espao social e se torne ativo na transformao de seu ambiente.

Histria da matemtica

Um dos recursos para a fundamentao terica a histria da matemtica; assim, o aluno compreende quetodo processo matemtico resultou num determinado fim que o justifica e que sua aplicao foi registrada.

Fundamentar um contedo explicando sua origem auxilia o aluno a entender a disciplina; reconhe-cemos a importncia da histria da matemtica na investigao que leva ao conhecimento dos alunos.

Essa histria no necessita ser precisada com datas, mas sim com fatos que justificam e reforam te-orias matemticas. A fonte dessa histria geralmente se une histria da humanidade; so teorias queandam juntas e reforam a presena da matemtica desde os primrdios da civilizao.

Resoluo de problemasO professor no ensina, mas arranja modos de a prpria criana descobrir. Cria situaes-problema.

Jean Piaget

Quando o aluno recebe um problema, espera-se que ele se mobilize para buscar a resoluo. Essabusca oferece um conhecimento que ele mesmo adquire e por prprio merecimento, sendo mais grati-ficante ainda por desenvolver tambm a autoconfiana.

De acordo com os PCN, "o fato de o aluno ser estimulado a questionar sua prpria resposta,a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a for-mular problemas a partir de determinadas informaes, a analisar problemas abertos, que admitem

diferentes respostas em funo de certas condies, evidencia uma concepo de ensino e apren-dizagem no pela mera reproduo de conhecimentos, mas pela via da ao refletida que constriconhecimentos".



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Como tratar o erro

Cada erro que o aluno comete deve ser (a)notado como uma dvida que surgiu e como uma lacunaentre o que foi ensinado e o que foi compreendido. Mostrar ao aluno que ele errou (e onde errou) necessrio, desde que seja de maneira que o incentive a superar suas dificuldades.

interessante tambm impulsionar os alunos a buscar e comparar as solues com os colegas desala isso fortalecer a ideia de que seus companheiros de sala podem e devem participar de suaaprendizagem.

A avaliao

Para integrar o processo ensino-aprendizagem temos a avaliao, que exige preparo tcni-co e uma grande capacidade de observao do professor. Tambm chamada de instrumento doprocesso educativo, tem como finalidade avaliar o processo escolar e verificar se o aluno estaprendendo.

Afuno da avaliao verificar o que o aluno aprendeu e corrigir as distores observadas nessaaprendizagem. Ou seja, um resultado no satisfatrio em uma avaliao deve ser diagnosticado comoum problema em sala de aula que precisa ser resolvido.

As avaliaes devem ser contnuas e reveladoras de todo o processo. Devem, por isso, identicar as diculda-des do aluno para que os prximos contedos a serem dados sejam reparadores dos problemas descobertos.

A avaliao integra a atuao do professor, o desempenho do aluno e o funcionamento da escola edo sistema de ensino. Portanto, deve-se atentar a essa avaliao que demonstra a qualidade do ensinooferecido e a capacidade do aluno de aprender.

Um bom instrumento de avaliao o caderno, pois ele o espao trivial para a realizaodas atividades escolares e deve ser utilizado para registrar tudo o que foi realizado em sala deaula. Nele devem constar a resoluo das atividades dadas em sala de aula, algumas anotaessobre as explicaes tericas e algumas dvidas, que devero ser esclarecidas posteriormentepelo professor.

Cabe a voc, professor(a), orientar seu aluno na organizao do caderno: a importncia demant-lo em dia, em ordem e limpo. O desempenho do aluno pode ser analisado pela organizaoe sequncia do seu caderno, pois nele que o aluno dedica suas horas de estudos e tempo para a

resoluo das atividades.

5. ORIENTAES DIDTICO-METODOLGICAS

Unidade I Nmeros e operaes

Captulo 1 Nmeros reais ()

Neste captulo, ampliaremos nosso campo numrico, apresentando os nmeros irracionais e os

nmeros reais, salientando o carter utilitrio deles.Antecipadamente, forme grupos de trs alunos. Pea para que cada grupo providencie, para aprxima aula, os materiais relacionados a seguir (iremos determinaro valor de pi):

calculadora; tampas de embalagens cilndricas; rodas de carrinhos de brinquedo; CD (mdia eletrnica); ta mtrica ou trena pequena.Nesta unidade, trabalharemos com a construo geomtrica de segmentos de medida irracional.

Para tanto, seus alunos precisaro dos seguintes materiais: 1 borracha macia, que no borre; 1 lpis nmero 2 ou HB;

1 rgua escolar de 30 cm; 1 jogo de esquadros escolar; 1 compasso escolar.

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Nmeros racionais

No ano anterior, os alunos trabalharam com o conjunto dos nmeros racionais. Para dar continuida-de a nosso estudo, retomamos alguns conceitos importantes como:

frao; nmero racional; converso de uma frao em decimal; converso de decimal em frao.

Pea a seus alunos que se renam em dupla para resolver a atividade do boxe divirta-se dapgina 13. Sugira que faam esquemas em que exponham a linha de raciocnio que seguiram para resolvero problema proposto. importante que voc estimule a integrao em cada grupo para que ambos os alu-nos possam treinar a capacidade de ouvir e de se fazer ouvir.

As atividades de 1 a 5 retomam o trabalho com nmeros racionais nas formas fracionria e deci-mal.

Dzima peridica

No item anterior, fizemos a converso de uma frao para a forma decimal e a converso da formadecimal em frao. Aproveite esse mote para abordar a dzima peridica.

Optamos por obter a frao geratriz de uma dzima peridica a partir da decomposio da parte in-teira e da parte decimal. Achamos que, agindo assim, os alunos conseguem determinar qualquer fraogeratriz que lhes for solicitada. Para aplicar a regra prtica, o aluno deve ser mais cuidadoso para noincorrer em erro (a contagem dos nove necessrios no fcil para alguns alunos). Vamos relembraresse procedimento, obtendo a frao geratriz da dzima 1,444...

Mantemos a parte inteira e escrevemos, no numerador, o(s) algarismo(s) que se repete(m) e, nodenominador, um nove para cada algarismo que se repete. Acompanhe:

1 49

139

+ =

Sempre que possvel, simplicamos o resultado. Ento: 1,444... =139

Nmeros irracionais

Iniciamos a abordagem dos nmeros irracionais apresentando, na pgina 18, uma breve histriasobre o pitagrico Hipaso de Metaponto, que demonstrou que o quociente entre as medidas dedois segmentos poderia no gerar um nmero racional (no caso, os segmentos eram a diagonal eo lado de um quadrado).

A introduo deste item uma tima oportunidade de trabalharmos com o professor de histria.Leia o texto I, do item 6 deste manual, que traz uma breve histria sobre os pitagricos.

Razes no exatas

Aproveite a histria de Hiparco e explore a obteno de razes quadradas no exatas, que so al-guns dos nmeros irracionais com os quais os alunos tero contato ao longo de seu estudo.

O nmero pi (p)

Outro nmero irracional que merece destaque o nmero pi.Rena seus alunos em grupos de trs. (Os materiais para a execuo desta atividade j foram soli-

citados no incio deste captulo.) O objetivo desta atividade levar os alunos a perceber como o nmeropi gerado.

Solicite a eles que faam uma ficha para cada objeto que ser medido. As fichas circularo no gru-po e cada aluno far sua prpria medio da circunferncia e do dimetro das tampas, dos CDs e das

rodinhas.Depois, eles devem preencher a tabela a seguir. Por ltimo, com o auxlio da calculadora, vo obteros quocientes da ltima coluna.



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ILUSTRA

O(ES):DIAGRAMA

Objeto: _________________________________________________________________

Nome Circunferncia (C) Dimetro (D)CD

Aluno 1

Aluno 2

Aluno 3

Diga que as possveis diferenas obtidas nas medies se devem s leituras das medidas, mas queisso no culpa do aluno. Os instrumentos que so imprecisos, e um dos fatores de impreciso so osrisquinhos da trena ou da fita mtrica.

Questione-os sobre a regularidade dos valores obtidos nas ltimas colunas. Enriquea sua aborda-gem com a leitura do texto II, do item 6 deste manual, que aborda o clculo do nmero pi e a importnciade Arquimedes na obteno desse nmero. A atividade complementar 17 pede aos alunos que pesqui-sem sobre os supercomputadores usados para se obter uma aproximao para esse nmero com umagrande quantidade de casas decimais.

Finalmente, conceitue o nmero pi (p).

Nmeros reais

Apresente o conjunto dos nmeros reais como uma ampliao do conjunto dos nmeros racionais.Diga que o conjunto dos nmeros reais a uniodo conjunto dos nmeros racionais com os nme-

ros irracionais (= ). Ao mencionar a unio, apresente a linguagem matemtica e d nfase eco-nomia de smbolos que ela proporciona. Mostre a incluso de e de em (e ) e apresenteas notaes de alguns importantes subconjuntos de (*,

+,

, +

*e

* ).

Diga a seus alunos que e so conjuntos disjuntos: = Se achar conveniente, trabalhe com o diagrama a seguir e pea que seus alunos posicionem, nele,

alguns nmeros reais estipulados por voc.

Sistematize que um nmero irracional todo nmero cuja representao decimal infinita eno peridica.

Explore as atividades 11, 12 e 13, que solicitam construes geomtricas de segmentos de medidas

irracionais. Acompanhe a construo do segmento de medida 2 cm.

0 1

1

1

2 312

x

2

11

MANU

ALDO

PROFESSOR

Manual do professor


12/120

Adio e subtrao

Apresente a adioe a subtraoe as pro-priedades dessas operaes em . Lembre a seusalunos que essas propriedades j foram vistas noconjunto dos nmeros racionais e que continuamvlidas apesar de estarmos estudando um conjun-to mais amplo.

Explore a atividade 16, que traz um grcode barras.

A atividade 17 traz trs fragmentos de textoque devem ser lidos e, deles, retiradas as informa-es para solucionar tal atividade.

Forme grupos com seus alunos e solicite quetragam, para a sala de aula, grficos e tabelas re-tiradas de jornais e revistas. Deixe-os vontadepara escolher o tema desse material. Em sala deaula, pea para que leiam as informaes con-tidas nesse material e que formulem pequenos

textos explicando o que entenderam sobre o as-sunto em questo. Uma outra estratgia pedirpara que eles faam uma pesquisa de opinio, porexemplo, sobre a preferncia por determinadoestilo musical. O importante que eles elaborema forma de coletar e registrar os dados. Ao final,pergunte se eles sabem qual a finalidade de serepresentarem informaes por meio de dese-nhos/esquemas.

A atividade 18 retoma a questo do fusohorrio, que abordado no 7oano, quando ini-ciamos o estudo de nmeros negativos. Incite

a curiosidade em seus alunos. Repare que, seo aluno desconsiderar os fusos horrios, ter afalsa ideia de que se gasta menos tempo na ida(So Paulo-Campo Grande) que na volta (CampoGrande-So Paulo).

Multiplicao e diviso

Ao apresentar as propriedadesda multiplica-o em , relembre com seus alunos que essaspropriedades j foram vistas no conjunto dos n-

meros racionais e que continuam vlidas apesarde estarmos estudando um conjunto mais amplo.Se necessrio, retome a regra de sinais.

Ao abordar a operao diviso, enfatize quea regra de sinaispara a multiplicao tambm vlida para a diviso.

As atividades de 19 a 31 empregam as pro-priedadesda multiplicao e da diviso.

As atividades de 32 a 36 trabalham com trata-mento de informao.

Onde fica?O mapa deste boxe traz a localizao da An-

trtida. Esta uma oportunidade de se trabalhar

com o professor de geografia.Proponha a seusalunos que pesquisem sobre as temperaturas re-gistradas naquele lugar e criem grficos com a va-riao ms a ms.

No site www.mar.mil.br (acesso em jan. de2009), do Projeto Antrtico Brasileiro, voc encon-tra dados sobre a Base Antrtica Brasileira Coman-dante Ferraz. O texto III, do item 6 deste manual,

traz informaes sobre esse continente gelado.

Atividades complementares

Essas atividades contemplam todo o con-tedo e podem ser desenvolvidas em sala deaula ou como um momento em que os alunosorganizam o que aprenderam, individualmenteou em grupo.

A atividade 17 prope uma pesquisa sobre onmero p

Atividades extras

A seguir, disponibilizamos uma lista de ativi-dades sobre os assuntos tratados no captulo 1e que podero ser usadas conforme seu planeja-mento, seja em sala de aula, como lio para casaou mesmo em avaliaes.

atividades

1.Simplifique as expresses.

a) 23

34

12

14

+

b) +

2

13

135

23

32

c)34

16

12

13

:

d)32

154

5+

:

2.Transforme cada nmero a seguir em fraodecimal e depois as simplifique:

a) 0,75b) 8,08c) 0,136

d) 13,043.Determine a frao geratriz das seguintes dzi-

mas peridicas: a) 0,1212

b) 3,666c) 2,15666

d) 5,8333



13/120

4.Efetue as operaes:

a) 1,666 :53

114

0,1212

b) (0,005 0,0005) : 0,003 12,5 : 0,25

5.Um carro bicombustvel consome 1 L de lcoolpara percorrer 9 km e 1 L de gasolina para per-

correr 12 km.Pergunta-se: a) Para realizar uma viagem de 540 km, quan-

tos litros de lcool sero consumidos? E degasolina?

b) Qual combustvel mais vantajoso economi-camente se considerarmos que o litro de lcoolcusta R$ 1,60 e o de gasolina, R$ 2,30?

6.Durante um breve passeio, uma pessoa percorre256 m na primeira hora, 128 m na segunda, 64 m

na terceira, e assim sucessivamente. Quantashoras sero necessrias para que ela percorraum total de 496 m?

7.Coloque em ordem crescente os seguintesnmeros:

0 55512

45

79

0 2535

, ...; ; ; ; , ;

8.Aline comprou um relgio, pagou vista comdesconto de 15% sobre o preo de tabela.

Sabendo-se que Paulo pagou R$ 153,00, qual o preo de tabela do relgio?

9.Calcule o valor da expressox y x y

x y

( ) +( )

,

parax=0,5 e y=2,1.

10. Em uma competio esportiva, participaram 72

atletas. Nas duas primeiras fases,13

dos atletas

foi eliminado. A partir das duas primeiras fases,a metade passou a ser eliminada. A competioteve quantas fases?

11. Um nmero o qudruplo de outro. Adicionan-do-se 8 unidades a cada um deles, o segundopassa a ser igual metade do primeiro. Quaisso esses nmeros?

12. Ao decolar, um avio de passageiros consome1.980 litros de combustvel, o que representa 90%do consumo total que gasta em uma viagem do

Rio de Janeiro a So Paulo. Qual a quantidade decombustvel que esse avio consome durante o vooem uma viagem do Rio de Janeiro a So Paulo?

13. Sendoa =0 999

15

13

35

115

, ++

e

b =2

0 666, , calcule o valor de (a b) (a + b).

14.Em uma escola, 35% dos alunos concluram oensino mdio e matricularam-se em algum cursosuperior; no entanto, apenas 20% destes conclu-ram uma faculdade. Se 65 alunos no concluramo ensino mdio, podemos afirmar que o nmero dealunos que concluram o curso superior foi de:a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 35

15.Para esta at ivi dade, voc precisar de umacalculadora.

Uma bola de borracha abandonada, a partir do

repouso, de uma altura de 30 m. Cada vez que abola bate no cho, ela sobe at 70% da altura daqueda. Qual o maior nmero possvel de choquescom o solo de maneira que a altura atingida seja

aproximadamente13

da altura inicial?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

resoluo

1.a)

2

3

3

4

1

2

1

4

1

12

3

4

1

16 + = =

b) +

2

13

135

23

32

=

=

=

53

25

56

59

c)34

16

12

13

712

16

712

61

72

= = =: :

d)3

2

15

4

55

2

25

4

+

=

: : =

=52

425

25

=

2.a) 0 7575100

34

, = =

b) 8 08808100

20225

, = =

c) 0136136

100017125

,.

= =

d) 1304 1304100

32625

, .= =

13

MANU

ALDO

PROFESSOR

Manual do professor


14/120

3.a) 012121299

433

, = =

b) 3666 3 0 666 369

323

113

, ... , ...= + = + = + =

c) 21566 2156 15

9001941900

647300

,.

= +

= =

d) 58333 5 08333 5 83 890

52590

356

, ... , ...= + = + =

= =

4.a) 166653

114

01212, : , =

= 53

35

114

433

113

23

= =

b) (0,005 0,0005) : 0,003 12,5 : 0,25 = =0,0045 : 0,003 50 =1,5 50 = 48,5

5.540 : 9 =60 litros (lcool) 540 : 12 =45 litros (gasolina) 60 1,60 =R$ 96,00 (lcool) 45 2,30 =R$ 103,50 (gasolina) Portanto, economicamente mais vantajoso

abastecer o carro com lcool. 6.Professor(a), lembre-se de que os alunos do 8o

ano ainda no conhecem os conceitos e frmulasde PA e PG.

256 +128 =384384 +64 =448

448 +32 =480 480 +16 =496 Portanto, sero necessrias 5 horas de caminhada.

7. 0 55559

, ... =

0 2514

, =

59

79

12

45

14

35

; ; ; ; ;

100180

140180

90180

144180

45180

10818; ; ; ; ; 00

Ordem crescente:

0 2512

0 55535

45

79

, , ...< < < < 0 II. b2 0

IV.b

a< 1

V. a >1

14. Observe a reta numerada real, na qual os seg-mentos so congruentes.

0 A B C

x

D

Sabendo-se queAB,BCeCD indicam, respec-tivamente, as medidas dos segmentosAB,BCeCD, correto afirmar que a abscissa do pontoX a abscissa do:

a) pontoD 35

CD.

b) pontoC 15

BC.

c) pontoB+25

BC.

d) pontoA +115

AB.

15.Considere os seguintes nmeros reais: 3,5 2,9

143

2 Represente-os em uma reta numerada real.



17/120


18/120

ILUSTRA

O(ES):DIAGRAMA

13. F F V V

1 0 ba 1

O nmeroa negativo, eb, positivo. I. Falso, pois b a


19/120

Linguagem coloquial Linguagem matemtica

A tera parte ou um tero de um nmero 1

3 ou

3ou : 3x

xx

O quadrado de um nmero x2

O cubo de um nmero x3

O quadrado do sucessor de um nmero (x+ 1)2

O cubo do antecessor de um nmero (x 1)3

A raiz quadrada de um nmero x

A raiz cbica de um nmero x3

Os alunos costumam ter diculdade em interpretar a expresso 4x. Enfatize que se trata de umasimplicao da operao 4 x, ou seja, quatro vezes o fator x. O boxe "etc. & tal", da pgina57, traz uma breve histria sobre a nomenclatura de parmetros e incgnitas, sugerida por RenDescartes.

Rena os alunos em grupos de trs ou quatro componentes para que resolvam a atividade 5.Pea aos alunos que registrem como pensaram para criar uma expresso algbrica que traduza asituao-problema. Depois, solicite que compartilhem com toda a sala sua resoluo.

Veja a sugesto de uma tabela:

Mesa 1 2 3 4 n

Cadeira 4 6 8 10 2n+ 2

Valor numrico de uma expresso algbrica

Explore a notcia de jornal apresentada na abertura deste item e aproveite a oportunidade pararealizar um trabalho com o professor de cincias. O texto VII, do item 6 deste manual, traz um textosobre obesidade, anorexia e bulimia.

Condio de existncia de uma expresso algbrica

Para abordar a condio de existncia para expresses algbricas racionais fracionrias, fale da

impossibilidade da diviso por zero; para abordar a condio de existncia para expresses algbricasirracionais, fale da condio de existncia de uma raiz quadrada.

As atividades de 13 a 18 trazem vrias situaes que abordam esse assunto.

Monmios e polinmios

Inicie o estudo dos polinmios denindo monmio. fundamental que os alunos percebam quetodo monmio um polinmio.

Grau de um polinmio

Relembre com seus alunos os seguintes conceitos: O grau de um monmio (de coeciente no nulo) a soma dos expoentes de suas variveis. No se dene grau para uma equao fracionria.

19

MANU

ALDO

PROFESSOR

Manual do professor


20/120


21/120


22/120

ILUSTRA

O(ES):DIAGRAMA

4.Reduza os termos semelhantes: a) 3a 3b+8a 6b 15a+10b b) 10x2 9xy+6x xy 10x c) 2x+7y+5 +3x 10y 10 d) 3x2y+10xy2 6xy2 15x2y

5.SeA = 2x2 7x+1, B = x2 3 eC = 2x+5,

calcule: a) A B c) B C b)A C d)C2

6.Um polinmioPdividido por x2 4 resulta noquociente x2+4 e o resto x+16.a) Determine o polinmioP.

b) Calcule o valor numrico deP parax= 1 ex= 2.

7.Observe a figura a seguir:

3x2 2

3x2+ 2

a) D as expresses que representam a rea e opermetro desse retngulo.

b) Calcule a rea e o permetro paraxigual a 2.

8.Dados os polinmiosA = x2

4x+4,B = x2+2, C =2 x + 1, efetue as operaesindicadas.

a) (A + C) Bb) (A B) C

c) 2A 3B C

9.Calcule o valor numrico em cada caso:

a)x y

x y

3 3

2 2

+, parax=2 e y= 2

b) x xy y x y

+ +

, parax=3 e y= 13

10. Em cada item, dividaAporBe fornea o quo-cienteQe o restoR:

a) A = 12x3+10x2 1 eB = 6x2+2x 3 b)A = 12x4 3x3+7x2+3x3 e B =3x2+3x+1 c) A = 6x3+13x2+18x+5 eB = 3x2+4x +2

11. Calcule o valor de apara que a diviso deA=4x4 2x3+3x2+4x aporB=x2 2 sejaexata.

12. Simplifique as expresses: a) a(a2 ab+b2) b(ab a2 b2) b) (3x+2) (2x 3) +(x +3) (x2+3x+11)

13. A rea do retngulo da figura dada porx3y2+2xy3.

A B

CD x2+ 2y

a) Qual a medida do ladoBC?

b) Sex=12

ey=2, calcule a rea e o permetro

dessa figura.

14. Observe o retngulo da figura.

4x 3

3x 5

4x

x

Escreva a expresso que representa: a) a rea da regio sombreada; b) o permetro do polgono sombreado.

15. Escreva a expresso que possibilita calcular area da parte sombreada.

3x

2x

5

4

x

x

resoluo

1. a) Sejam xa quantidade de acertos e ya deerros.

N=3x y b)N =3 30 20 =70



23/120

2.a) A=x2+y2+3y

b) A x yx

= +2

2 3.a) A = (7 7)2A=0 B=72+(7)2sB=49 +49 B = 98 C=72 (7)2sC=49 49 C = 0

b)A = (3 4)2

sA = (1)2

A=1 B=32+( 4)2sB=9 +16B =25 C=32 ( 4)2s sC=916C =7 c) A = ( 4 +10)2sA = 62A=36 B=( 4)2+102s sB=16 +100B =116 C=( 4)2 102s sC=16 100C =84 4.a) (3 +8 15) a+( 3 6 +10) b= 4a+b

b) 10x2

+( 9 1) xy+(6 10) x= =10x2 10xy 4x c) (2 +3) x+(7 10) y+(5 10) = =5x 3y 5

d) (3 15) x2y+(10 6) xy2= = 12x2y+4xy2

5.a) A B = (2x2 7x+1) (x2 3) = =2x4 6x2 7x3+21x+x2 3s s A B = 2x4 7x3 5x2+21x 3

b)A C =(2x2 7x+1) (2x +5) = =4x3+10x2 14x2 35x+2x + 5s

sA C =4x3 4x2 33x+5 c) B C =(x2 3) (2x +5) = =2x3+5x2 6x 15s sB C =2x3+5x2 6x 15 d)C2=(2x +5)2sC2= 4x2+20x+ 25 6.a)D = d Q + R D = P

d =x2 4 Q=x2+4 R= x+16 Assim: P = (x2 4) (x2+4) x+16s sP = x4 16 x+16sP = x4 x b) Parax = 1, temos:

P =( 1)4 ( 1) P =2 Parax = 2, temos:

P =( 2)4 ( 2) P =18 7.a) A = (3x2 2) (3x2+2) A = 9x4 4 2p = (3x2 2 +3x2+2) 22p = 12x2

b)A = 9x4 4sA = 9 (2)4 4s sA = 9 16 4s s

A =144 4

A =140 u.a.

2p = 12x2s2p = 12 22s s2p = 12 42p =48 u.c.

8.a) (A + C) B= =(x2 4x+4 +2x+1) ( x2+2) = s(A + C) B= =(x2 2x+5) ( x2+2)s s(A + C) B= = x4+2x2+2x3 4x 5x2+10s

s(A + C) B= x4+2x33x2 4x+10

b) (A B) C=(x2

4x+4 +x2

2) (2x+1) = =(2x2 4x+2) (2x+1) = =4x3+2x2 8x2 4x+4x+2s s(A B) C=4x3 6x2+2 c) 2A 3B C = = 2x2 8x+8 +3x2 6 2x 1s

s2A 3B C =5x2 10x+1

9.a) VN= ( )

+ ( ) = +

+ =2 2

2 2

8 84 4

23 3

2 2

b) VN= + +

= =3 3

13

13

313

13383

138

10. a) 12 10 1

12 4 6

6 6 1

6 6 34

3 2

3 2

2

2

x x

x x x

x x

x x

x

+ +

+ + +

+

22

6 2 3

2 1

2x x

x

+ +

Portanto:Q = 2x+1 e R = 4x +2 b)

12 3 7 3 3

12 12

15 3 3

4 3 2

4 3 2

3 2

x x x x

x x x

x x x

+ +

+ + + + +

+

3

15 15 5

18 8 3

18 18 610 9

3 2

2

2

x x x

x x

x x

x

3 3 1

4 5 6

2

2

x x

x x

+ +

+

Portanto:Q = 4x2 5x+6 e R = 10x 9

c) 6 13 18 5

6 8 4

5 14 5

5203

3 2

3 2

2

2

x x x

x x x

x x

xx

+ + +

+ +

+

103

223

53

x

3 4 2

253

2x x

x

+ +

+

Portanto: Q x= +2 53

e Rx= +22

353

23

MANU

ALDO

PROFESSOR

Manual do professor


24/120

11.

4 2 3 4

4 8

2 11 4

2

4 3 2

4 2

3 2

3

x x x x a

x x

x x x a

x

+ + +

+ + + 44

11

11 2222

2

2

x

x ax

a

+

x

x x

2

2

2

4 2 11

+

Diviso exata:R=0s22 a=0a=2212. a)a(a2 ab + b2) b (ab a2 b2) = =a3 a2b + ab2 ab2+a2b + b3= =a3+b3

b) (3x+2) (2x 3) +(x +3) (x2+3x+11) = = 6x2 9x 4x 6 +x3+3x2+11x+

+3x2+9x+33 =x3+7x+27

13. a)BC = (x3y

2

+2xy3

) : (x2

+2y)s sBC =xy2(x2+2y) : (x2+2y)

BC = xy2

b)A =x3y2+2xy3s

sA=

+

12

2 212

23

2 3s

s A= + = +18

4 212

812

8A=172

2p=2 (x2+2y+xy2) =

=214

412

412

12 + +

= +

2p=252

14. a)A = (3x 5) 4x ( 4x 3) xs sA = 12x2 20x 4x2+3x

A=8x2 17x b) 2p=2 (4x 3 +x) s s2p=8x 6 +2x2p=10x 6

15. A = 3x (4 +2x) +(5 +x) x+(4 +2x) x s sA =12x+6x2+5x+x2+4x+2x2

A =9x2+21x

Unidade II Espao e forma

Captulo 4 Retas paralelas interceptadas por transversal

Nesta unidade e na unidade IV, trabalharemos com construo geomtrica. Seus alunos precisarodos seguintes materiais, que podero ser emprestados de um irmo mais velho ou um amigo, de modoque no precisem comprar novos.

1 pasta de elstico simples; 1 borracha macia, que no borre; 1 lpis nmero 2 ou HB; 1 apontador; 1 rgua escolar de 30 cm; 1 jogo de esquadros escolar; 1 transferidor escolar; 1 compasso escolar; 20 folhas de papel sulte; 1 tubo de cola branca;

1 tesoura de pontas arredondadas; alnete de costura.O texto de abertura deste captulo traz o trabalho de Eratstenes de Cirene sobre a medida do

comprimento da circunferncia da Terra.Enriquea sua aula com o auxlio do professor de histria. Proponha aos alunos uma pesquisa so-

bre um perodo da histria da humanidade em que se acreditava que a Terra fosse plana. O texto VIII,do item 6 deste manual, traz subsdios para seu trabalho.

Explore as duas figuras da abertura, que representam os raios solares incidindo em Assu e emAlexandria. Mostre as diferenas entre elas e como Eratstenes concluiu que a Terra redonda.

Duas retas cortadas por uma transversal

Para abordar intuitivamente esse assunto, pea aos alunos que tragam palitos de sorvete e tachinha,ou alfinetes de costura. Eles precisaro, tambm, de um transferidor. sempre importante alert-los sobreos perigos de usar esses materiais: eles no so brinquedos e devem ser manipulados com cuidado.



25/120

ILUSTRA

O(ES):DIAGRAMA

Rena os alunos em dupla e pea para que formem uma estrutura como esta, usando palitos desorvete e tachinhas (ou alfinetes).

Depois, pea para que entortem essa estrutura e formem novas figuras, mantendo as duas retasparalelas ou no. Pergunte quantos ngulos so determinados por essas trs retas e pea para quemeam, em cada caso, esses oito ngulos.

Os alunos devem perceber que se formaram pares de ngulos (opv, complementares e suplemen-tares). Incentive o trabalho em grupo para que os alunos discutam e comparem sua prpria soluo e asoluo do colega, estimulando o respeito pela opinio do outro.

Acompanhe, a seguir, a nomenclatura dos ngulos formados por essa interseco.

ngulos formados por essa interseco

Se tomarmos dois desses ngulos que no possuam o vrtice comum, poderemos classific-los daseguinte maneira:

ngulos correspondentesDois ngulos so chamados correspondentesquando esto do mesmo lado da transversal e um

deles est entre as retas re se o outro est fora da regio delimitada por re s.

t

r

s

56

4

3

2

1

7

8

So ngulos correspondentes: 1e 5; 2 e 6;3 e 7; 4 e 8.

ngulos colaterais internosDois ngulos so chamados colaterais internosquando esto do mesmo lado da transversal e entreas retas re s.

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ILUSTRA

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Retas paralelas cortadas por umatransversal

Ainda usando a estrutura feita anteriormente,pea a seus alunos que mantenham as duas retasparalelas e a transversal no perpendicular a elas.Eles descobriro que existem apenas duas me-didas para esses ngulos (sero agudos de mesma

medida ou obtusos de mesma medida). Na ativi-dade 1, os alunos desenharo essa situao e me-diro os ngulos.

As atividades de 2 a 16 trazem vrias situa-es sobre esse assunto.

Onde fica?

O mapa deste boxe traz a localizao da ci-dade de Cirene (atual Shahhat), antiga cidadeegpcia que atualmente pertence Lbia, cidade deEratstenes.


Essas atividades contemplam todo o conte-do e podem ser desenvolvidas em sala de aula oucomo um momento em que os alunos organizam oque aprenderam, individualmente ou em grupo.

Incentive seus alunos a fazer a atividade 7,deste bloco. Eles podero ser auxiliados pelosprofessores de informtica e de lngua portu-guesa.

Atividades extras


atividades

1.Na figura, calculea, b ec, sabendo que r//s.

r

a

b c

s

70

2.Na figura a seguir, r// se tu. Determine asmedidas dos ngulosa eb.

t u

b

150

3.Sabendo quer//s, calcule xem cada item: a)

3x

5x

b)

3x 20

2x+ 10

c)

3x 18

5x+ 18

4. Calcule , beg, sabendo que r//s. a)

r

s145

75

g

a

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O(ES):DIAGRAMA

b)

1082

r s

5. Sabendo que as retasr esso paralelas, calculex, y ez.

a)

6050

x y r

s

z

b)

75

2x

3x

z

y

6. As retasr esso paralelas. Determinexem cadacaso. (Sugesto: Trace paralelas auxiliares.)

a)

45

40

x

r

s

b)

x +30

5x +10

2x

r

s

7. Os segmentos ABe CDso paralelos. Cal-cule as incgnitas e as medidas dos ngulos

, , A B C D e a)

A

x +y 2y

y 10 2x 80

B

CD

b)

A

2x +y

3x y y

x + 20

B

CD

8.Esta atividade constou de um exame de seleoda Universidade Tecnolgica Federal do Paran

(UTF-PR).

Na figura a seguir, temos r//se t//u//v.

52 30'

64 30'

x

x

y

z

t u v

s

r

Com base nos estudos dos ngulos formadospor retas paralelas cortadas por uma transversal,

julgue (V ou F) as seguintes afirmaes: I. O ngulo Xmede 127 30. II. O nguloYmede 117. III. O nguloZmede 64 30.



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ILUSTRA

O(ES):DIAGRAMA

9.Esta atividade constou de um exame de seleoda Fundao Universi tria para o Vestibular

(Fuvest-SP).Na figura a seguir, as retas tesso paralelas.

120

140

t s

a

A medida do ngulo , em graus, igual a: a) 30 b) 40 c) 50

d) 60 e) 70

resoluo

1.a = 70 c = a = 70 b + 70 =180sb=110 2.

t u

b

150

c d

med( d) =90 med( b) =180150med( b) =30

med( c) =180med( d) med( b)ssmed( c) =1809030med( c) =60med( a) =med( c) med( a) =60

Resposta: med( a) =60 e med(b) =30 3.a) 3x+5x=180s s8x=180x = 22 30 b) 3x 20 =2x+10x = 30 c) 3x+18 +5x+18 =180s s8x=144x = 18 4.a) g=180 145 g=35 b=180 75 b=105 =180 75 35=70 b)+2=72s s3=72=24 =gg= 24 b=180 gs sb=180 24 b=156

5. a)y=60 x = 50 z=180 110z=70 b) 2x+3x=75s5x=75x=15 y=3xy=45 z+45 =180z =135 6. a)x=45 +40x=85

b) 5x 10 =2x+x+30s s2x=40x=20 7. a) (x + y)+ (y 10) =180s s2y+x=190 (I)

2y+(2x 80) =180s s2y+2x=260s sx + y = 130 (II) De (I) (II), vem: y=60sx+60 =130x=70 b) (x+20) +(3x y) =180s s4x y = 160 (III)

2x+y + y = 180sx + y = 90 (IV) De (III) +(IV), vem: 5x=250x = 50 Em (IV), temos: 50 +y=90y=40 8.V V F I. Verdadeira, pois med(X) = =18052 30 =127 30'. II. Verdadeira, pois med(Y) = =64 30' +52 30 =117. III. Falsa, pois med(Z) =52 30'. 9.e Observe a figura:

z

y

120

140

t s

a

Os ngulos de medidaye de medida 140 socolaterais internos, logo:y+140 =180s

sy=40 Ainda: y + z+120 =180s s40 +z+120 =180s sz=20 Como a soma das medidas dos ngulos internos

de um tringulo 180, temos:

x+90 +z=180s

sx+90 +20 =180s sx=70

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Captulo 5 Tringulos

Antes de abordar esse assunto, pea a seus alunos que se renam em grupo e tragam, para a salade aula, tesoura de pontas arredondadas, alfinetes, dez canudinhos de refrigerante (eles faro duasatividades com esse material).

O texto de abertura deste captulo traz o trabalho realizado por Tales de Mileto, que, usando trin-gulos, mediu a altura da pirmide de Quops, em Giz (Egito).

Os tringulos so usados em vrias situaes, por exemplo, na confeco de mapas. Proponhaa seus alunos que pesquisem sobre o emprego dessa figura em vrias reas, como a engenharia, aastronomia, a marcenaria, entre outras. O texto IX, do item 6 deste manual, aborda a triangulaoe a confeco de mapas a partir desse procedimento.

A principal caracterstica que torna o tringulo to especial o fato de ele possuir rigidez. Sugira aseus alunos que faam a atividade a seguir.

Recortem quatro canudinhos ao meio.Com quatro metades, montem um quadrado e, com trs, um tringulo.

Tentem entortar o quadrado e o tringulo e relatem o que aconteceu.

Pea para o grupo relatar para a sala o que verificou. Incentive o trabalho em grupo para que osalunos discutam e comparem sua prpria soluo e a soluo do colega, estimulando o respeito pelaopinio do outro.

Um modo interessante de fazermos essa atividade com o metro de pedreiro, porque as figurasso montadas com bastante facilidade e podemos formar vrios polgonos, com variado nmero delados.

TringulosRelembre com seus alunos a definio e os elementos do tringulo.Retome a classificao de um tringulo: quanto s medidas dos lados(escaleno, issceles e equiltero); quanto s medidas dos ngulos internos(acutngulo, retngulo e obtusngulo).Acompanhe seus alunos na execuo da atividade 8, quando eles construiro trs tringulos se-

guindo as instrues do enunciado.As atividades de 11 a 14 tambm exploram construes geomtricas; por isso, acompanhe seus alunos.

Condio de existncia de um tringulo

Antes de iniciar esse tpico, rena novamente seus alunos em grupo. Proponha uma nova atividadecom canudinhos de refrigerante.Agora, eles cortaro trios de pedaos de canudinho nas seguintes medidas:



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ILUSTRA

O(ES):DIAGRAMA

A seguir, trazemos o passo a passo da bissetriz interna e da determinao do incentro, bem comoo traado da circunferncia inscrita no tringulo. Acompanhe:

Seja o tringulo ABC. Com a ponta-seca de um compasso no vrtice A, trace um arco de circunfern-cia determinando os pontos A e A.

A

B C

A

A

Com a ponta-seca em A, trace um arco de circunferncia e, com a ponta-seca em A e a mesmaabertura, trace outro arco de circunferncia que intercepte o anterior.

A

B C

A

A

J

Os arcos se cruzam no ponto J,e o segmento AS, que contm J, uma bissetriz interna.

A

B C

A

A

S

J

Repita a operao para os vrtices Be Ce determine o incentro do tringulo. (Voc pode optarpor traar apenas duas bissetrizes.)

A

S

T

U

B C

I



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ILUSTRA

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Agora, com a ponta-seca no ponto I, trace um arco de circunferncia que intercepta, por exemplo,

o lado BCnos pontos Me N.

A

I

B M N C

Com a ponta-seca em M, trace um arco de circunferncia e, com a ponta-seca em Ne a mesmaabertura, trace outro arco de circunferncia de modo que se cruzem no ponto R.

A

I

B M N

R

R

C

O segmento I R perpendicular ao lado BC, e I R' o raio da circunferncia inscrita no tringulo ABC.

Coloque a ponta-seca em Ie, com uma abertura I R', trace a circunferncia.

A

S

T

U

B C

I

O incentro o centro da circunferncia inscrita no tringulo ABC.

Mediatriz e circuncentro

Defina mediatriz de um tringulo e circuncentro. Mostre que o circuncentro pode ser interno, exter-no ou estar sobre o lado do tringulo.

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Tringulo issceles e tringulo equi-ltero

Analisando as guras das pginas 137 e 138,enfatize que:

em um tringulo issceles, a altura, a me-diana, a bissetriz interna e a mediatriz, relativas aovrtice de um tringulo issceles, esto sobre a

mesma reta suporte; em um tringulo equiltero, o ortocentro, o

incentro, o circuncentro e o baricentro so pontoscoincidentes.

Construes geomtricas

Acompanhe seus alunos na execuo das ati-vidades de 48 a 51.

Onde fica?

O mapa deste boxe traz a localizao do Egi-to. Use-o para trabalhar o texto de abertura destecaptulo. Convide o professor de histriapara au-xiliar seus alunos em um trabalho sobre a cultura ecivilizao egpcias. D um enfoque especial paraa matemtica.


Essas atividades contemplam todo o conte-do e podem ser desenvolvidas em sala de aula oucomo um momento em que os alunos organizam o

que aprenderam, individualmente ou em grupo.Voc deve orient-los na execuo das ativida-des 10 e 11, que envolvem construes geomtricas.

Atividades extras


atividades

1.Determine as medidas dos ngulos internos decada um dos tringulos:

a)A

B

x

x + 20

C

60

b)

A

B

5x

x + 10

x + 16

C

2.Determinexem cada item: a)

x+ 40

x+ 80x 30

b)

x+10

5x+ 252x 15

3.Na figura, o tringulo BDC equiltero, e otringulo ABD issceles, com AB = BD.Calcule a medida do ngulo A.

A B C

D

4.No tringuloABC, AM bissetriz do ngulo A.Calculexey.

160

50

x

y M



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5.Na figura, resso paralelas. Calculea, b, c ed.

r

s

d

c

b

a

110

30

6.Os lados de um tringulo tm medidas expressaspor nmeros inteiros. Se os lados medem 7 cm,13 cm excm, determine os possveis valores dex.

7.Os lados de um tringulo so representados porx 7, x+3 ex 2. Se o tringulo tem permetrode 60 cm, calcule xe as medidas dos lados dotringulo.

8.O permetro de um tringulo issceles de 48 cm.Calcule as medidas dos lados do tringulo, saben-do que a soma dos lados congruentes o triplo dabase.

9.Sabendo que o pontoG o baricentro do trin-

guloABC, determinex, y ez.

x

G

A

B

C

yz

1412 5

10. SeAM mediana do tringuloABC, determine asmedidas dos lados do tringulo em cada item:

a)

A

MB C3x 4

3x + 12x

x + 2

b)

A

B M C

3x

x

x+ 6

2x 4

11. Calcule x, sabendo que G o baricentro dotringulo:

A

B CM

G

Considere: a) AG=3x 10 e GM = 17

b)AG=16 e GM = 2x 18

12. Determine o intervalo de variao dex, sabendoque os lados de um tringulo so expressos porx+10, 2x+4 e 20 2x.

13.Determine o valor dey, sabendo que o tringuloABC issceles.

A

B C

2x+ 40 x+ 45

y

14.Na figura, o tringulo ABC equiltero, e otringuloACD retngulo issceles.

D

A

C B

Determine: a) med(CD);

b) med(BD).

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15. Um tringulo issceles tem 14 cm de permetro eum dos lados medindo 2 cm. Julgue (V ou F) asseguintes afirmaes feitas sobre esse tringuloe justifique sua resposta:

I. Os lados medem 2 cm, 6 cm e 6 cm. II. Os lados medem 2 cm, 2 cm e 10 cm. III. Os lados medem 2 cm, 5 cm e 7 cm.

resoluo

1.a) (x + 20)+ x + 60 =180x=50 Portanto:

med( med( emed( B C) , ) )= = =60 50 80 b) (x+16) +5x+(x+10) = =180x=22 Portanto: med( med( emed( B C) , ) )= = =38 110 32

2.a) x+80 =(x+40) +(x 30) x=70

b) (5x+25) =(x+10) +[180 (2x+15)]s s6x=150x=25 3. med

med

( )

( )

ABD

ABD

= =

180 60

120

med med

med

( ) ( )

( )

BC ADB

ADC

= = =

30

90

4. 2x + y = 160 (I) x + y + 50 =180 s sx + y=130 (II)

De (I) e (II), temos: x=30 ey=100 5.d=180 110d=70 c +30 =110c=80 b + c = 110b=30 a=da=70 6.x + 7 >13x>6 7 +13 >xx < 20 xpode ser 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,

18 ou 19. 7.(x 7) + (x + 3) + (x 2) =60s s3x=66 x=22 x 7 =15

x+3 =25 x 2 =20 Os lados medem 15 cm, 25 cm, 20 cm ex=22 cm.

8.2 3

2 48

x y

x y

=+ =

(I)

(II)

De (I) em (II), vem: 3y+y=48s s

4y=48 y=12 ex=18 Os lados congruentes medem 18 cm, e a basemede 12 cm.

9.

x

G

A

B

C

yz

1412 5

y=12 : 2sy=6z = 14 : 2sz=7

x = 2 5sx=1010. a) 3x 4 =x+2x=3 AB = 6 AC = 10 BC = 10

b) 2x 4 =x x=4 AB = 12 AC = 10 BC = 8

11. a) 3x 10 =2 17 x=443

b) 2 18162

x = x=13

12. x+10 +2x+4 >20 2xs

s5x>6 x>65

x +10 +20 2x>2x+4s

s 3x> 26 xx+10s s x> 14 x


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Unidade III Nmeros e operaes

Captulo 6 Produtos notveis / Fraes algbricas

Explore a ideia de que produtos notveis e fatoraes algbricas so "ferramentas" de grandeutilidade no clculo algbrico.

Mostrar identidades usando recortes

As demonstraes dos produtos notveise das fatoraes de polinmiosso feitas concomitan-temente. Pela propriedade comutativa da igualdade, ao demonstrarmos o produto notvel, estamosdemonstrando a fatorao. Veja:

ax+ ay= a (x+y) ou a (x+y) = ax+ ay

Alguns alunos do 8o ano ainda tm diculdade em alcanar o nvel do pensamento abstrato queoperaes algbricas exigem; no entanto, por meio de atividades como recortes de papel-carto, elesconseguem visualizar as identidades algbricas.

Rena os alunos em grupo. Eles precisaro de cola, papel-carto colorido, rgua, tesoura de pon-tas arredondadas. Pea para que os alunos recortem os quadrados e retngulos em papel-carto.

Relembre com os alunos a rea do quadrado e do retngulo.Ao propor essa atividade com os recortes, d nome aos lados da figura e pergunte a seus alunos

qual a expresso algbrica que representa a medida do lado da figura em cada etapa. Por exemplo,se tivermos um quadrado de medida ae recortarmos dele uma faixa de largura b, conforme a figuraa seguir:

a a

b

Quais so as expresses algbricas que representam as reas das figuras formadas?

a

a b

a (a b) a

b

ab

Acompanhe a demonstrao de alguns casos de fatorao de polinmio:A. O caso do fator comumpode ser representado geometricamente como segue. Calculemos a rea do retngulo ABDEde duas maneiras diferentes.

A B

C

DE

F

a

y

x

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O(ES):DIAGRAMA

1amaneira: adicionamos as reas dos retngulos ABCFe FCDE:

reaABDE

= reaABCF

+ reaFCDE

reaABDE

= ax+ ay (I)

2amaneira: multiplicamos a base apela altura x+y:

reaABDE

= a (x+y) (II)

Finalmente, igualando (I) e (II), temos: ax+ ay= a (x+y)

B. O caso da diferena de dois quadradospode ser representado geometricamente como segue.

Calculemos a rea do retngulo ACDFde duas maneiras diferentes:

A B C

DEF

a b

a b

1amaneira: adicionamos as reas dos retngulos ABEFe BCDE:

reaACDF

= reaABEF

+ reaBCDE

reaACDF

= a (a b) + b (a b) s

sreaACDF

= a ab ab b2 + 2 reaACDF= a2 b2 (I)

2amaneira: multiplicamos a base (a+ b) pela altura (a b):

reaACDF

= (a+ b) (a b)

Finalmente, igualando (I) e (II), temos: a2 b2= (a+ b) (a b)

C. O caso do trinmio quadrado perfeitopode ser representado geometricamente como segue.

Calculemos a rea do quadrado ACEGde duas maneiras diferentes:

A B C

D

EF

I

G

H

a b

a

b

1amaneira: adicionamos as reas dos paralelogramos ABIH, BCDI, IDEFe HIFG:

reaACEG

= reaABIH

+ reaBCDI

+ reaIDEF

+ reaHIFG

reaACEG

= a2+ ab+ b2+ abreaACEG

= a2+ 2ab+ b2 (I)

2amaneira: multiplicamos a base (a+ b) pela altura (a+ b):

reaACEG

= (a+ b)2 (II)

Finalmente, igualando (I) e (II), temos:

a2+ 2ab+ b2= (a+ b)2



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E, tambm:

A B C

D

EF

I

G

H

a b

a b

b

b

a

Calculemos a rea do retngulo ABIHde duas maneiras diferentes:1amaneira: encontramos a rea do quadrado ACEGe subtramos as reas dos retngulos BCEFe HIFG:rea

ABIH= rea

ACEG rea

BCEF rea

HIFG

reaABIH

= a2 ab b (a b) sreaABIH

= a2 ab ab+ b2

reaABIH

= a2 2ab+ b2

2amaneira: multiplicamos a base (a b) pela altura (a b):rea

ABIH= (a b)2

Finalmente, igualando (I) e (II), temos:

a2 2ab+ b2= (a b)2

D. As representaes da soma de dois cubos e da diferena de dois cubos so trabalhosas demaispara serem desenvolvidas em sala de aula. Elas so anlogas s demonstraes anteriores e feitas apartir de cubos e paraleleppedos.

Importante

Os alunos devem perceber que fundamental reconhecer o caso de produto notvel para poderaplic-lo.Enfatize para seus alunos que: a soma de dois cubos no o cubo da soma de dois termos; a diferena de dois cubos no o cubo da diferena de dois termos; a diferena de dois quadrados no o quadrado da diferena de dois termos.Costumamos fatorar apenas quadrados perfeitos, pois, caso contrrio, a fatorao no tem fim. Veja:

x x x x x x 2 9 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) = + = + +( ) ( )=

= +( ) +( ) +( ) ( )= x x x x3 3 3 34 4 4 4

Lembre-os de que, em uma expresso do tipo a x+ b x+ c, temos: a um fator, b um fator, x um fator; a x uma parcela, b x uma parcela e c uma parcela.A habilidade de clculo decorre de um trabalho graduado e no apenas repetitivo. Procure dosar a quan-

tidade e a dificuldade das atividades. Proponha que os alunos trabalhem em dupla e que registrem as dificul-dades encontradas para que possam ser compartilhadas com a turma, na busca de uma soluo conjunta.

Fraes algbricas

Antes de abordar as fraes algbricas, trabalhe com MDC e MMC entre polinmios.

Condio de existncia de uma frao algbrica

Para verificarmos a existncia de frao algbrica, precisamos garantir que o denominador no sejanulo, ou seja, relembre com seus alunos a impossibilidade da diviso por zero.

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Simplificaes de fraes algbricas

As simplificaes de fraes algbricas tmlarga aplicao, principalmente na matemtica ena fsica. Elas reduzem o trabalho, por exemplo,no clculo de valores numricos ou na resoluode vrias equaes algbricas estudadas no ensi-no fundamental e no ensino mdio.

Operaes com fraes algbricas

Como os procedimentos usados para adicionarou subtrair fraes numricas so os mesmos usadospara adicionar ou subtrair fraes algbricas, con-vm iniciar este tpico fazendo uma breve revisodessas operaes aplicadas s fraes numricas.

Novamente, indispensvel dosar a quanti-dade e graduar a dificuldade das atividades. Pro-ponha que os alunos trabalhem em dupla e queregistrem as dificuldades encontradas para que pos-sam ser compartilhadas com a turma, na busca deuma soluo conjunta.

Nas atividades que envolvem clculo comfraes algbricas, diga para os alunos ficarematentos e verificarem se o valor atribudo paraa incgnita satisfaz a condio de existnciadafrao algbrica.

Atividades extras

A seguir, disponibilizamos uma lista de ativi-

dades sobre os assuntos tratados no captulo 6e que podero ser usadas conforme seu planeja-mento, seja em sala de aula, como lio para casaou mesmo em avaliaes.

atividades

1.Desenvolva: a) (x 2)2(x+4)2 b) (x 3) (x+3) (x2+9) c) (a 1) (a+1) (a2+1) (a4+1)

d) 3 1

2

xx

e) xx

xx

33

33

1 1

+

2.A rea do retngulo de 75 m2. Calcule ne opermetro do retngulo.

n+ 5

n 5

3.Desenvolva:

a) 212

3

x

b) (a 2)3 (a 2) (a+2) +(a+2)2

c) (3a2+2a+3)2

d) (a b + c) (a b c)

4.Fatore as expresses: a) 3a3+a2b2+3ab4+b6

b)a3 64 c) 4a4 4a2b+b2

5.Calcule o valor dex y

x y

2 2

3 3

parax=2,7 ey=0,3.

6.Simplifique as expresses:

a) 4 29 3

2

2 +( ) +( )

p

p

b)x x x

x x

3 2

2

1

2 1

+

+

c)x x x

x x x

2 2 2

3 2

2 1

2

( ) ( )

( ) +( )

d)4 4

8 4 2

2 2

3 2 2 3

a ab b

a a b ab b

+

+

7.a) Sex3 1 =14, calcule o valor dex

x

6

3

1

2 2

+.

b) Calcule o valor dea b

a ab b

3 3

2 2

+ +paraa=93

eb=92.

8.Determine o MDC e o MMC dos polinmiosAeB, nos casos:

a) A = 3x3 3 e B = x4 1 b)A = 3x3 3x2 18x e B = x4 4x3+3x2

9.Dado que xx

+ =1 2, obtenha o valor de:

a) xx

22

1+

b) xx

44

1+

10. Fatore: a) a3+3a2b+3ab2+2b3

b)a9 1



41/120

11. a) Param=12

, determine o valor da expresso

21

11

3

1

2

2m m

m

m+

+

.

b) Para x=52

ey=34

, calcule o valor de

x y

x y

x y

x y

+

+

2 2

2 23 .

12. a) Sexy = 2 e x2+y2=5, calcule o valor de

x

y

y

x

2

2

2

22+ + .

b) Sea + b = 5 ea b=10, determine o valor

dea

b

b

a+ .

13. Se x y+ = 154

ex y = 90, determine o valor

da expresso (x + y)3 (x3+y3).

14. Se Ex y

x y= +

( )

2 2

1:

a) simplifique a expressoE; b) calcule o valor deEparax + y = 1,5 e

x y=1,75.

15.Se x= 59 e y= 57, ento o valor de

x y

xy x y

4 4

28 2 2

+ ( ) igual a:

a) 0 b) 57

c) 58 d) 59

resoluo

1.a) (x 2)2(x+4)2= =(x2 4x+4) (x2+8x+16) =

=x4+8x3+16x2 4x3 32x2 64x+4x2++32x +64 =

=x4+4x3 12x2 32x+64 b) (x 3) (x+3) (x2+9) = =(x2 9) (x2+9) = =x4 81 c) (a 1) (a+1) (a2+1) (a4+1) = =(a2 1) (a2+1) (a4+1) = =(a4 1) (a4+1) = =a8 1

d) 31

9 61

22

2x

xx

x

= +

e) xx

xx

xx

33

33

66

1 1 1

+

=

2.(n+5) (n 5) =75s sn

2

+25 =75s sn2=100s sn=10 2p=(15 +5) 22p=40 m

3.a) 212

4 214

22x x x

= +

b) (a 2)3 (a + 2) (a 2) +(a+2)2= =a3 6a2+12a 8 a2+4 +a2+4a+4 = =a3 6a2+16a

c) (3a2

+2a+3)2

= =9a4+4a2+9 +2 3a22a+2 3a23 ++2 2a3 =

=9a4+4a2+9 +12a3+18a3+12a = =9a4+12a3+22a2+12a+9 d) (a b + c) (a b c) = =[(a b) +c] [(a b) c] = =a2+b2 c2 2ab 4.a) 3a3+a2b2+3ab4+b6= =a2(3a+b2) +b4(3a+b2) =

=(3a+b2

) (a2

+b4

) b)a3 64 =(a 4) (a2+4a+16) c) 4a4 4a2b+b2= =(2a2 b)2

5. x yx y

x y x y

x y

x y

2 2

3 3 3

32 7 0 3

= ( ) +( )

=

= + = +

( )

, ,33

1=

6.a) 4 29 3

2 2 2 23 3 3

2

2 ( ) +( )

= + +( ) + + pp

p pp ( )( ) ( pp

p

p

=

= ++

3

46

)

b)x x x

x x

x x x

x

3 2 2

2

12 1

1 1

1

+ +

=

( ) ( )

( )=

=( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

x x

x

x x x

x

=

= +

1 1

1

1 1 11

2

2

2 == +x 1

41

MANU

ALDO

PROFESSOR

Manual do professor


42/120

c) x x xx x x

x x x

2 2 2

3 2

2 2

2 12

2 1

( ) ( )

( ) +( ) =

= ( ) (( ) +( )

( ) +( )x

x x x

1

2 12=

=(x 2) (x 1)

d)4 4

8 4 2

2

4 2

2 2

3 2 2 3

2

2

a ab b

a a b ab b

a b

a a b

+

+=

= ( )

( )) ( )b a b2 2=

=2

2 4

2

2 2 2

2

2 2

2

a b

a b a b

a b

a b a b

( )

( ) ( )=

= ( )

( ) ( ) aa b+( )

=

=1

2a b+

7.a) x

x

x x

x

x

6

3

3 3

3

3

1

2 2

1 1

2 1

12

14

( )

+= +

( ) ( )

+( )=

= =22

7=

b)a b

a ab b

a b a ab b

a ab b

a

3 3

2 2

2 2

2 2

+ + = ( ) + +( )

+ +( ) =

= b a b = 93 92 =1 8.a) A = 3x3 3 = =3(x3 1) = =3 (x 1) (x2+x+1) B = (x4 1) =(x2 1) (x2+1) = =(x 1) (x+1) (x2+1)

MDC(A, B) =x 1 MMC(

A, B) =

=3 (x 1) (x+1) (x2+1) (x2+x+1)

9.a) xx

+

=

12

22 s

s xx

xx

22

22

21

41

2+ + = + =s

b) xx

22

221 2+

= s

s xx

xx

44

44

2 1 4 1 2+ + = + =s

10. a)a3+3a2b +3ab2+2b3=

=(a + b)3+b3= =(a + b + b) [(a + b)2 (a + b) b+b2] = =(a+2b) (a2+2ab+b2 ab b2+b2) = =(a+2b) (a2+ab+b2) b)a9 1 =

=(a3 1) (a6+a3+1) = =(a 1) (a2+a+1) (a6+a3+1)

11. a)2

11

13

1

2

2m m

m

m+

+

=

=2 1 1 3

1

2

2

m m m

m

( ) +( )+ +

=

=2 2 1 3

1

2

2

m m m

m

+ +

=

=m m

m

2

2 1

+

=

=m m

m m

+( )

+1

1 1( ) ( )=

=m

m( ) 1=

=m=12

Assim:

12

12

11

=

b)x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

+

+

=

+( ) +( )

2 2

2 2

2 2 23 3( )

=

=x xy y x y

x y x y

2 2 2 22 3+ + ( ) +( )

=

=2 2 2xy y

x y x y

( ) +( )

=

=2y x y

x y x y

( )

( ) +( )=

= 2yx y+



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44/120

ILUSTRA

O(ES):DIAGRAMA

Faa uma reviso dos princpios fundamentais(aditivo e multiplicativo) e das propriedadesde umaequao, pois esses assuntos so a chave para o bom entendimento da resoluo desta equao.

As atividades de 1 a 21 trazem vrias situaes-problema.

Preparando equaes

Nesta etapa do estudo, os alunos j devem se sentir seguros para resolver uma equao do 1ograu,pois estamos trabalhando com vrias situaes que so traduzidas por esse tipo de equao (lembre-se

das atividades com tringulos em que se mesclaram a lgebra e a geometria). No entanto, respeite omodo de resolver de cada um.

Para preparar equaes que se apresentem com um grau maior que 1 (por exemplo, x2 2x= 0), oaluno pode recorrer fatorao. Mostre a aplicabilidade do que se acabou de estudar no captulo 6.

Equaes fracionrias com uma incgnita

Um dos quesitos para o sucesso na resoluo de equao fracionria a determinao da con-dio de existncia. Se possvel, o aluno deve comear a resoluo estabelecendo a condio deexistncia.

A atividade 32 cita o trabalho de funcionrias de uma indstria. O texto X, do item 6 deste manual,

aborda o tema ''A mulher no mercado de trabalho''.

Desigualdades em

A situao-problema apresentada na abertura deste item pode ser representada por uma inequa-o. Pea para que seus alunos retornem expresso do incio do captulo e estabeleam seus ndicesde massa corporal (IMC):

IMCm

h=

2

em que m a massa, em quilogramas, e h, a altura, em metros. Com isso, os alunos devem perceber

que so vrias as alturas e as massas que podem ser soluo para essa situao-problema, ou seja, estarna faixa considerada normal.

Intervalos reais

Para abordar esse item, retome a reta real.Trabalhe pausadamente, apresentando cada intervalo real.Os alunos devem perceber a diferena entre a "bola aberta" e a "bola fechada". Pea para que os

alunos formem duplas e analisem cada representao geomtrica apresentada no item ''Resumindo''da pgina 187 do livro.

Considere dois nmeros reais, ae b, com a< b:

{x3 |a


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A assimilao dessas simbologias ajudar osalunos na resoluo de sistemas de inequaes e,no prximo ano, no estudo de sinais da funo do2ograu.

Apresente a unioe a intersecode interva-los reais, que sero aplicadas em resolues de ine-quaes do primeiro grau com uma incgnita.

Princpios aditivo e multiplicativo dadesigualdade

Apresente os princpios aditivo e multiplicativoda desigualdade. D nfase multiplicao por umnmero real negativo, recorrendo a vrios exemplos.

Geralmente, os alunos demoram a perceberque, ao multiplicar ou dividir uma desigualdade porum nmero negativo, necessrio inverter o senti-do do sinal de desigualdade. Apresente exemplosnumricos:

8 < 10 s

8 : 2< 10 : 2s

4 < 5

ou

8 < 10 s(8) : (2)> 10 : (2)s4 > 5

Para abordar a questo da diferena salarial en-tre homens e mulheres, citada na atividade 36, re-tome o texto X, do item 6 deste manual. Convide oprofessor de lngua portuguesapara que faa umtrabalho com seus alunos, explorando esse tema.

Inequaes do primeiro grau comuma incgnita

Antes de explorar inequao, apresente al-gumas desigualdades e os smbolos matemticosque esto associados a elas ().

Enfatize que, para ser uma inequao, a de-sigualdade precisa ser uma sentena aberta, ouseja, necessria a presena de incgnita. Nemtoda desigualdade uma inequao.

Identifique os elementos da inequao (coeficien-tes, incgnita e termos) e seus membros e deixe bemclaro o significado de "resolver uma inequao".

Apresente a forma geral da inequao do 1o

grau. Aponte, com nfase, em quais momentosestamos empregando o princpio aditivoe o prin-cpio multiplicativoda desigualdade.

Retome o significado de conjunto universo econjunto soluo. Como acontece com a resoluode uma equao, mostre a importncia de definir-mos o conjunto universo. Alm disso, o a

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manual do professor 9º ano