Manual Do Professor -Matemática 6º Ano

Coleção PRATICANDOMATEMÁTICA

PRATICANDO6ÁLVARO ANDRINI

MARIA JOSÉ VASCONCELLOS

EDIÇÃO RENOVADAMatemática

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

ÁLVARO ANDRINI Licenciado em Matemática.

Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais.

Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos.

Autor de diversos livros didáticos.

MARIA JOSÉ VASCONCELLOS Licenciada em Matemática.

Coordenadora e professora de Matemática em escola da rede particular.

Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR

3a edição, São Paulo, 2012

PRATICANDO MATEMÁTICA 6º ANO – PNLD 2014MP PARTE COMUM – MAC 2

6ª PROVAARMANDO

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COLEGA PROFESSORCOLEGA PROFESSOR


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Este manual tem diversos objetivos:

• Revelar ideias presentes na concepção desta coleção de Matemática,

esclarecendo sua proposta pedagógica.

• Contribuir para o processo de formação contínua do docente, apresen-

tando textos e artigos cuja leitura propicia a refl exão sobre educação e

práticas metodológicas.

• Fornecer subsídios para enriquecer as aulas oferecendo orientações

específi cas para o trabalho com o Livro do Aluno, sugestões de textos,

atividades propostas para avaliação e integração com outras áreas do

conhecimento.

• Refl etir sobre o processo de avaliação em Matemática propondo ideias e

sugerindo instrumentos e estratégias que possam lhe ser úteis.

Esperamos que este manual o auxilie em seu trabalho, contribuindo para o

sucesso de seus alunos. Os autores


4 M A N U A L D O P R O F E S S O R

SUMÁRIOSUMÁRIO1. Considerações sobre o ensino da

Matemática e a concepção da obra .... 052. Estrutura da obra ............................... 06 2.1 Principais temas abordados

na obra ................................................ 08 2.1.1 Números ...................................... 08 2.1.2 Álgebra ........................................ 10 2.1.3 Geometria .................................... 10 2.1.4 Medidas ....................................... 11 2.1.5 Razões, porcentagens

e proporcionalidade ................... 11 2.1.6 Estatística..................................... 12 2.1.7 Funções ........................................ 123. Ideias sobre a avaliação em

Matemática ......................................... 13 3.1 Sobre o erro .................................. 14 3.2 Sobre a utilização de portfólios ......154. Textos de apoio sobre educação

e práticas metodológicas ................... 19 4.1 Como ensinar Matemática? ......... 19 4.2 Matemática e resolução de

problemas ..................................... 21 4.2.1 Os vários tipos de problema:

uma possível classifi cação ........ 22 4.2.2 Dois tempos e modos

de ensinar a Aritmética ............ 25 4.3 Leitura, escrita e oralidade:

competência de todas as áreas ......36 4.3.1 Parágrafo extraído da

Proposta de Avaliação,presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002 ...........36

4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidadeem Matemática ...........................37

4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino eaprendizagem .............................38

4.3.4 Leitura na escola .........................41 4.4 O comprometimento com

o próprio aprendizado ................. 44

5. Quadro de conteúdos ........................ 46

6. Sobre o livro do 6o ano ...................... 52

Unidade 1 – Sistema de numeração

decimal ............................................... 52

Unidade 2 – Números naturais ........... 57

Unidades 3 e 4 – Adição, subtração,

multiplicação e divisão de números

naturais ............................................... 59

Unidade 5 – Potenciação e raiz

quadrada de números naturais ........... 68

Unidade 6 – Múltiplos e divisores ....... 72

Unidade 7 – Dados, tabelas e

gráfi cos de barras ................................ 74

Unidade 8 – Observando formas ........ 78

Unidade 9 – Ângulos .......................... 79

Unidade 10 – Polígonos e

circunferências .................................... 82

Unidade 11 – Frações ......................... 87

Unidade 12 – Números decimais ........ 90

Unidade 13 – Porcentagens ................ 92

Unidade 14 – Medidas ....................... 96

7. Avaliação – O que se pede por aí ...... 99

8. Sugestões de livros e sites

para o professor ............................... 105

8.1 Livros ........................................... 105

8.1.1 Matemática por meio de jogos

e resolução de problemas .......105

8.1.2 História da Matemática e História

da Educação Matemática .......... 105

8.1.3 Paradidáticos ........................... 105

8.1.4 Educação Matemática ............. 106

8.2 Revistas ....................................... 107

8.3 Sites ............................................ 108

9. Referências bibliográfi cas ................ 111


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M A N U A L D O P R O F E S S O R 5

1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra

A presença cada vez maior da Matemática nas atividades humanas torna seu aprendizado fun-damental para a inserção do cidadão no mundo do trabalho e das relações sociais.

O caráter instrumental e científi co da Matemática permite resolver problemas práticos e fornece ferramentas importantes para a construção do saber científi co.

Conhecimentos matemáticos, mesmo aqueles que não fazem parte do cotidiano imediato, são necessários para a alfabetização científi ca e técnica do indivíduo, indispensável nos dias de hoje.

Concomitantemente, o desenvolvimento de capacidades intelectuais presentes no pensamento matemático, como deduzir, generalizar, argumentar e conjecturar, propicia formar indivíduos com uma visão mais ampla da realidade, preparados para atuar num mundo em constante mudança.

É necessário ressaltar também que o ensino em Matemática deve buscar o desenvolvimento de posturas e atitudes necessárias à formação cidadã: confi ança na própria capacidade, perseverança e disciplina na busca de resultados, respeito pelo pensamento do outro e trabalho cooperativo.

Conciliar e contemplar satisfatoriamente cada um destes aspectos em sala de aula não é tarefa fácil. O livro didático deve, portanto, ser um parceiro efi ciente para o professor e para o estudante. Esta foi a intenção dos autores ao escrever esta obra.

Acreditamos que o primeiro passo é criar um ambiente de aprendizado que permita dar signifi ca-do ao que se aprende, aproximando a Matemática do dia a dia do aluno. Nesse sentido, a contextua-lização de conteúdos exerce papel de destaque e deve ser explorada. Na obra, a contextualização de conteúdos está presente, mas de forma criteriosa, cuidando para não levar à banalização e à perda de consistência.

O aluno deve conhecer e aplicar conhecimentos da Matemática na vida prática, mas há outro objetivo também importante: desenvolver nele o gosto pelo desafi o, presente em situações da própria Matemática, de maneira que as abstrações não constituam o início ou o fi m do processo, e sim mediações indispensáveis para a construção do conhecimento matemático.

Visando ao equilíbrio destes dois aspectos que se complementam, sempre que possível a obra apresenta os temas e sua exercitação por meio de problemas, valorizando estratégias diversifi cadas de resolução, a compreensão e a aplicação de conceitos, o uso adequado de procedimentos e a aná-lise da solução obtida. Situações que propiciam o desenvolvimento do pensamento abstrato surgem de forma gradual, respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas dando a sustentação necessária para a construção de conceitos e demonstração de propriedades.

Consideramos indispensável o trabalho com leitura, escrita e oralidade em Matemática. Essas habilidades são desenvolvidas em todos os anos, por meio da leitura de textos envolvendo Histó-ria da Matemática, textos de interesse científi co ou social e, sobretudo, pela leitura dos próprios textos didáticos, escritos com foco no aluno e permeados por quadros interativos com propostas de atividades.

Em várias oportunidades o aluno será incentivado a elaborar, explicitar e compartilhar diferentes caminhos de resolução de questões. Com isso, pretendemos que ele refl ita sobre sua maneira de pensar, propiciando a criação de mecanismos que facilitem cada vez mais seu aprendizado.


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A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capa-cidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Contemplamos, nesta coleção, o trabalho em pequenos grupos. Sugerimos atividades em duplas ou trios, possibilitando o contato com outros pontos de vista para aprimorar a capacidade de comunicação e de cooperação. Contudo, as atividades em grupo não impedem o exercício individual, importante para o desenvolvimento da autodisciplina e da autonomia. As atividades de sistematização estão presentes na coleção e têm como objetivo gerar maior agilidade no uso de técnicas e procedimentos. Ressaltamos ainda o trabalho da obra com cálculo mental, estimativas e o uso da calculadora como forma de prever e verificar resultados.

A abordagem da História da Matemática é uma grande aliada para despertar o interesse dos alunos. A obra se vale desse recurso em muitos momentos, apresentando a Matemática como construção humana em constante evolução, cuja história tem se construído de forma não linear, com a contribuição de grandes gênios da ciência e também a partir da prática das pessoas comuns. Disponibilizamos para o docente, neste Manual, alguns artigos envolvendo a História da Educação Matemática, pois consideramos que conhecimentos sobre práticas escolares em Matemática, ao longo do tempo, permitem refletir sobre a sala de aula hoje, enxergando-a num contexto histórico.

Propomos alguns jogos matemáticos e atividades com material concreto, cuja realização é pos-sível em sala de aula, buscando contribuir para a construção de um ambiente pedagógico mais des-contraído onde aprender rime com prazer.

A coleção atende às demandas do mundo atual e valoriza as atuais propostas para o ensino da Matemática. Pautados em nossa prática docente, procuramos fornecer uma base sólida por onde professor e aluno possam transitar com segurança, abrindo espaço para a criatividade, sem perder de vista a realidade de sala de aula em nosso país.

2. Estrutura da obraA obra compõe-se de quatro volumes, cada um com um Manual do Professor específico. Nos

volumes, a teoria é distribuída de modo equilibrado em unidades e seções, visando dar o suporte necessário ao professor, sem tirar-lhe a liberdade de criação.

Levando em consideração as diferentes formas e ritmos que cada um tem para aprender, os tex-tos estabelecem um diálogo com o aluno para facilitar a compreensão e permitir que ele progrida na leitura com mais facilidade por meio de uma linguagem clara e simples, incluindo fotos, ilustrações, gráficos e esquemas explicativos. Atividades surgem ao longo do texto como forma de levantar co-nhecimentos prévios e de checar o progresso da leitura.

A História da Matemática aparece ao longo dos volumes em diversas oportunidades: textos de caráter histórico, comentários e informações biográficas, ou no enunciado de alguns exercícios.

Além das atividades sugeridas paralelamente à apresentação dos temas, cada unidade apresenta seções específicas com atividades, descritas a seguir.


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Exercícios

Propostos ao fi nal de cada assunto, fornecem ao aluno uma oportunidade de autocontrole de habilidades e conteúdos procedimentais adquiridos na aprendizagem, utilizando como base a teoria desenvolvida.

Os exercícios estão dispostos em grau crescente de difi culdade, são diversifi cados e muitos deles foram retirados de avaliações de caráter ofi cial.

Revisando

Os exercícios dessa seção constituem mais uma oportunidade de retomar e interligar os diferentes assuntos, dando ao aluno a possibilidade de mobilizar recursos para exercer as competências adquiridas.

Poderão ser encaminhados para tarefa de casa ou ainda reservados pelo professor para aplicação na recuperação paralela.

Desafi os

Agrupamos, nessa seção, questões que exigem soluções mais criativas e elaboradas. Sugerimos que estes exercícios sejam resolvidos em duplas ou trios, permitindo que cada um contribua para a resolução, incentivando o trabalho coletivo.

Autoavaliação

São propostas questões do tipo teste, apuradamente selecionadas. Muitas delas vêm de olimpía-das, vestibulares e avaliações da rede ofi cial, observando sempre a adequação ao nível cognitivo dos alunos a que se destinam.

O professor pode utilizar esses exercícios de diversas maneiras. Por exemplo, os alunos podem resolvê-los sem ajuda, conferindo, ao fi nal, as respostas e analisando seu aproveitamento juntamente com você.

Seção livreApresenta exercícios ou textos envolvendo curiosidades, fatos históricos, arte, ciência e situações

do cotidiano, buscando motivar o aprendizado.


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Vale a pena lerSão textos variados envolvendo Matemática, História da Matemática e outras áreas do conheci-

mento. Contribuem para desenvolver a habilidade leitora e de interpretação de textos.

Selo que sinaliza textos e atividades que envolvem Matemática aplicada a outras áreas do conhe-

cimento e/ou à vivência cotidiana.

2.1 Principais temas abordados na obraA coleção distribui seu conteúdo, nos quatro volumes, em temas que poderiam ser destacados como:

• Números;

• Álgebra;

• Geometria;

• Medidas;

• Razões, porcentagens e proporcionalidade;

• Estatística;

• Funções.

São desenvolvidos procedimentos relativos a cálculo mental, estimativas, argumentação e inicia-

ção à articulação lógica e dedutiva.

Os problemas estão presentes nos textos e nas seções de exercícios, explorando e buscando desenvolver

habilidades variadas. Lembramos, no entanto, que os alunos devem ter acesso a problemas de outras fontes,

principalmente os propostos a partir de situações que surjam do contexto particular a que pertencem.

Acreditamos que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos não se desen-

volve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todos os componentes curricu-

lares. Quem deve, preferencialmente, tratar da leitura de textos em Matemática é o professor dessa

área, pois a construção das relações entre as duas linguagens diferentes – as palavras e os símbolos

matemáticos – será melhor desenvolvida por ele. Lembramos novamente que todos os textos didá-

ticos foram escritos pensando no aluno como leitor. O professor pode utilizá-los no trabalho com

leitura em Matemática.

2.1.1 NúmerosPesquisando a História da Matemática, fi zemos um levantamento sobre a história dos números,

dos processos de contagem e dos sistemas de numeração criados por antigas civilizações. O volume do

6o ano retoma e aprofunda os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal e seus princípios.

A coleção procura sempre que possível articular Números com Medidas e Geometria.


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No volume do 6o ano apresentamos inicialmente os números naturais e suas aplicações.

Retomamos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão nos naturais a partir das

ideias ligadas à elas, bem como os algoritmos usuais e as propriedades da adição e da multi-

plicação. As técnicas de cálculo mental e o uso de arredondamentos para estimar resultados

são incentivados. Apresentamos a potenciação, sua notação e cálculo de potência com base e

expoente natural. Trabalhamos em seguida com as raízes quadradas de números naturais com

foco nas raízes exatas. Precedendo os estudos das frações apresentamos as relações “múltiplo

de” e “divisor de”, os critérios de divisibilidade mais importantes, como facilitadores, o conceito

de número primo e determinação do mmc e do mdc entre números naturais. Não construímos

o conjunto Q neste volume, mas o trabalho com frações é retomado e ampliado, tratando as

operações e apresentando problemas envolvendo as frações e suas aplicações. A partir das re-

gras do Sistema de Numeração Decimal, lembramos o registro e a leitura de números decimais,

bem como suas aplicações no cotidiano. As operações envolvendo números decimais são cuida-

dosamente trabalhadas nos textos e pretendem que o aluno entenda os algoritmos usuais, em

especial nas multiplicações e divisões.

No 7o ano, antes de apresentar os números negativos, relembramos os números naturais, apre-

sentamos o conceito de fração como quociente e retomamos os números decimais, tendo também

como novidade a localização de frações e de números decimais na reta numérica. A ideia de fra-

ção como quociente parte de situações que envolvem desenhos, para facilitar o entendimento dos

alunos. Sugerimos apresentar vários exemplos concretos: 4 chocolates divididos entre 5 crianças, 2

pizzas divididas entre 8 pessoas etc.

Optamos por apresentar os números negativos inteiros, fracionários e decimais, sem construir

ainda os conjuntos Z e Q. A ideia é garantir um aprendizado mais consistente das operações e da

resolução de problemas envolvendo números negativos antes de formalizar os conjuntos numéricos.

Entendemos que o aluno do 8o ano estará mais preparado para esta construção.

No 8o ano, com apoio na história dos números e sua ligação com o desenvolvimento da humani-

dade, apresentamos os números reais a partir da construção dos conjuntos N, Z e Q, e dos números

irracionais. A apresentação dos números irracionais é feita de forma cuidadosa, com textos acessíveis

e com uma atividade concreta para apresentar o número � (pi).

Abordamos a representação na reta numérica estendendo o registro para números reais. Num qua-

dro, no final da Unidade 1 do 8o ano, apresentamos formalmente as propriedades dos números reais.

Nesse volume, a potenciação, suas propriedades e a radiciação têm destaque, incluindo expoentes

inteiros negativos, raízes com índice natural maior que 2, números quadrados perfeitos e raízes não exatas.

No 9o ano, precedendo o trabalho com radicais, há a retomada da potenciação e suas proprie-

dades, e da radiciação, apresentada agora de maneira mais formal. Dessa forma, pretende-se que,

ao final do 9o ano, o aluno tenha formação adequada no campo dos números, para prosseguir seus

estudos no Ensino Médio.


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2.1.2 Álgebra

O livro do 6o ano trabalha com a observação de regularidades e algumas generalizações.

No 7o ano, esse trabalho é retomado e se inicia o estudo da Álgebra mais formalmente, in-

troduzindo a linguagem algébrica, as equações e as inequações do 1o grau. O maior objetivo

neste volume, é mostrar as equações como ferramenta útil na representação e resolução de

problemas, sem ofuscar as habilidades de cálculo mental, as resoluções por tentativas e por

meio da Aritmética. Prosseguindo, no 8o ano, o aluno trabalha com o cálculo algébrico, mani-

pulando expressões, construindo o conceito de variável, de fórmula, de incógnita, aprendendo

a utilizar corretamente conhecimentos importantes da Álgebra, como os produtos notáveis e a

fatoração. Antes de apresentarmos os sistemas de equações do 1o grau, retomamos a resolução

de equações, resgatando o que foi visto no 7o ano. No 9o ano, vêm as equações do 2o grau,

desenvolvidas por meio de textos simples, que facilitam o progresso do aluno. Optamos por

apresentar as equações biquadradas, irracionais e fracionárias, uma vez que estes conteúdos

serão necessários no Ensino Médio.

Sabemos que a Álgebra possibilita aos alunos uma abertura para o estudo de outros ramos da

Matemática, mas é preciso cuidado e calma ao introduzir sua linguagem para não causar confusões,

insegurança e dificuldades.

Propomos a abordagem gradual das diferentes concepções ou finalidades que se tem da

Álgebra atualmente: a Álgebra como generalizadora da Aritmética; a Álgebra como estudo de

processos para resolver problemas; a Álgebra como estudo da relação entre grandezas; e a Álge-

bra como estudo de estruturas matemáticas (manipulação de expressões). Os comentários sobre

funções estão no item 2.1.7.

2.1.3 Geometria

A Geometria é um tema abordado nos quatro volumes da coleção, pois seu estudo permite ao

aluno desenvolver habilidades importantes para a compreensão e a representação organizada do

mundo físico.

Apresentamos a Geometria não apenas como conteúdo isolado, mas também como uma ferra-

menta que auxilia (e poderíamos até dizer, seguindo os passos da História, que fundamenta e serve

como recurso didático) o desenvolvimento de conceitos da Matemática.

O trabalho com Geometria está relacionado às atividades de observação e construção, valorizan-

do sempre sua conexão com outros campos do conhecimento e com a vida prática. A importância da

Geometria na História da Matemática é ressaltada em textos complementares.

A demonstração de propriedades relativas à Geometria aparece inicialmente no volume do

7o ano, ao provarmos a congruência de ângulos opostos pelo vértice. Antes disso, nos valemos da

experimentação constatando alguns fatos importantes por meio de atividades. Nos volumes do 8o

e do 9o ano as demonstrações em Geometria são mais frequentes e têm por objetivo desenvolver o

raciocínio dedutivo e a argumentação lógica. Procuramos apresentar essas demonstrações sempre

respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas entendemos que sua presença é indispen-

sável em um livro didático.


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Definições, conceitos e propriedades geométricas importantes são revisitados antes de apresen-tarmos novos conteúdos. Entendemos que a construção do conhecimento geométrico é acumulativa e fica facilitada se apoiarmos novos conhecimentos em conhecimentos anteriores e se articularmos, sempre que possível, Geometria com Medidas e com Álgebra. Para isso, procuramos apresentar tex-tos acessíveis e atividades interessantes, diversificadas.

Outro aspecto valorizado na obra é o uso do material de desenho. Ensinamos a usar o transfe-ridor na Unidade 9 do 6o ano, e, nos volumes do 7o e do 8o anos, os alunos são convidados a fazer construções com régua, compasso e transferidor em várias oportunidades. Consideramos a prática com material de desenho desejável em todos os anos.

2.1.4 MedidasAs medidas fazem parte de nosso dia a dia e constituem um conhecimento necessário nas mais

variadas profissões. Além de ser um tema com importância social, mostra também ao aluno, com clareza, a utilidade do conhecimento matemático em seu cotidiano. Balanças, fitas métricas, relógios e termômetros, por exemplo, envolvem situações com medidas em geral. Tais situações são a base para a criação de diversos problemas interessantes e significativos para os alunos. É importante que todos vivenciem experiências concretas com medidas.

Assim como o fizemos com Geometria, o trabalho com Medidas se estende por toda a coleção, permitindo uma melhor compreensão do mundo físico e a integração com outras áreas do conhecimento. As medidas estão presentes em exemplos e atividades nos conteúdos de álgebra, de geometria, de funções, de estatística, na construção de gráficos, sempre que o contexto permite.

No volume do 6o ano, trabalhamos com cuidado a construção do conceito de medida, que será revisitado e consolidado nos demais volumes. Muitas das dificuldades dos alunos no trato com medi-das e conversões entre unidades vêm de um conceito de medida mal desenvolvido.

Abordamos, ao longo da obra, medidas de comprimento, de massa, de tempo, de área, de vo-lume, e, também, medidas de ângulos.

2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidadeAs ideias e aplicações de razões, porcentagens e proporcionalidade são abordadas em unidades

específicas nos volumes do 6o, 7o e 9o anos, mas nos demais volumes, estão presentes na abordagem de conteúdos e exercícios ligados à Álgebra e à Geometria. No 9o ano, retomamos a definição de razão para definir segmentos proporcionais, antes de demonstrar o teorema de Tales.

A Unidade 5, no volume do 7o ano, dedica-se especificamente a razões e porcentagens. Destacamos a preocupação da coleção com o cálculo mental de porcentagens básicas e com o uso da calculadora como facilitadora no cálculo de porcentagens frequentes no dia a dia das pessoas.

O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem importância significativa no conteúdo de Matemática do Ensino Fundamental, no cotidiano e, futuramente, na vida profissional dos alunos.

No volume do 9o ano, problemas mais complexos envolvendo porcentagens e noções sobre o cálculo de juros são abordados na Unidade 10, proporcionando um primeiro contato com a Mate-mática Financeira.


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2.1.6 Estatística

O tema Estatística também é constante em toda a obra, devido à sua importância na sociedade atual.

Gráficos, tabelas e dados estatísticos estão presentes em jornais, revistas e meios de comuni-

cação em geral, fazendo parte do cotidiano da população. Aproveitando sempre o conhecimento

prévio dos alunos, a coleção retoma e amplia conhecimentos básicos em Estatística.

É importante que o aluno seja capaz de ler uma tabela, calcular médias, construir e inter-

pretar gráficos estatísticos para saber analisar situações, fazer previsões e escolher rumos de

ação. Por isso, a coleção traz, sempre que possível, atividades envolvendo a leitura de tabelas e

gráficos estatísticos em todos os volumes. Dedica unidades e seções específicas para estudar e

apresentar como construir os diversos tipos de gráficos: barras ou colunas, setores, gráficos de

linhas e pictogramas.

Esse trabalho é desenvolvido deixando sempre espaço para que o professor enriqueça suas aulas

com atividades que abordem temas atuais, presentes no contexto de seus alunos.

No tema Estatística, estão incluídos os problemas de contagem e noções de probabilidade, abor-

dados gradualmente desde o 6o ano. Por meio de problemas, pretende-se desenvolver o raciocínio

combinatório, a compreensão do princípio multiplicativo e ideias básicas sobre o cálculo de probabi-

lidades que serão complementadas no Ensino Médio.

2.1.7 Funções

Desde o 7o ano e de forma mais específica a partir do 8o ano, trabalhamos com a observação e

generalização de padrões, a relação de interdependência entre grandezas, o reconhecimento e uso de

variáveis, a escrita e a aplicação de fórmulas para representar algebricamente a relação entre variáveis.

O conceito de função, preparado desde os anos anteriores, surge com mais facilidade e é

desenvolvido com o título “Funções” no volume referente ao 9o ano. Procuramos torná-lo menos

formal, uma vez que o estudo desse conteúdo é retomado e aprofundado no Ensino Médio. Na

Unidade 4, definimos função, damos noções sobre domínio e imagem, representamos funções

por meio de diagramas de flechas. Em seguida, o aluno trabalhará com gráficos e lei de forma-

ção, terá um primeiro contato com as funções do 1o e do 2o graus e com o tipo de gráfico que as

representam. Observará a simetria nas parábolas e o ponto de vértice, sem, contudo, aprofundar

o estudo destas funções, pois isso será feito de forma mais completa, provavelmente, no 1o ano

do Ensino Médio.

A ênfase está em saber reconhecer uma função, identificar e interpretar suas variáveis e utilizar

suas formas de representação – tabela de valores, lei de formação e gráfico –, para obter informações

sobre o comportamento das grandezas envolvidas na função.

É sempre desejável que o professor busque situações existentes no contexto de seus alunos,

mostrando aplicações práticas para o estudo de funções.


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3. Ideias sobre a avaliação em MatemáticaEntendemos a avaliação como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem, cujo obje-

tivo não é somente verificar (por meio de uma medição) a quantidade de informações “retidas” pelo aluno ao longo de um determinado período.

O conhecimento é construção humana e social, e nosso “saber” não é construído de um dia para o outro, de uma situação para a outra, do “não saber” ao “saber tudo”.

Cada indivíduo trabalha e reelabora, de forma particular, as informações recebidas, daí a neces-sidade de se considerar, na avaliação, não somente o produto, mas principalmente o processo.

A avaliação deve servir como um instrumento de acompanhamento e regulação do ensinar- -aprender, oferecendo elementos para uma revisão de postura de todos os componentes desse pro-cesso (aluno, professor, conteúdo, metodologia e instrumentos de avaliação), ou seja, um diagnós-tico que permita tomar as ações necessárias para corrigir rumos, renovando sempre o compromisso com a aprendizagem.

Dessa forma, restringir a avaliação a um conceito obtido em uma prova não retrata com fidelida-de o aproveitamento obtido. Somente a consideração conjunta do produto final e dos processos que levaram a ele nos permite estabelecer interpretações significativas.

A avaliação será, nessa perspectiva, de grande valia para a continuidade e revisão de seu tra-balho, indicando os pontos que não estão bem claros para os alunos e que, por isso, deverão ser trabalhados com mais intensidade. Para o aluno, esse será um momento de grande significação, situando-o em relação a seus progressos.

Portanto, é necessário considerar a avaliação como um recurso a serviço do desenvolvimento do aluno, que o leve a assumir um compromisso com a própria aprendizagem.

Durante o desenvolvimento de um conteúdo, deve-se observar nos alunos aspectos como: de-senvolvimento da autonomia intelectual, criatividade na busca de soluções, habilidade de comuni-cação oral e escrita, posturas de relacionamento e capacidade de interpretação e de argumentação.

Na elaboração de instrumentos mais formais, como provas, é importante considerar que a resolução de uma questão não deve ter como objetivo uma pontuação em si.

Ela serve para revelar se habi-lidades e competências envolvidas foram ou não adquiridas. Na tota-lidade das questões, não se deve considerar uma soma de pontos, e sim um conjunto de habilidades e competências adquiridas, e outras que necessitam ser mais trabalhadas.

Nesta coleção, o Manual do Pro-fessor traz sugestões de instrumen-tos diversificados para a avaliação – incluindo fichas de acompanha-mento –, contemplando atividades

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individuais e em pequenos grupos, feitas com ou sem consulta ao material didático, e atividades com

participação oral ou escrita, realizadas em classe ou em casa. Esperamos que as sugestões possam

ser aproveitadas ou adaptadas para atender às suas necessidades.

Como leitura complementar, sugere-se a edição especial do Boletim de Educação Matemática

– BOLEMA –, cujo tema é a Avaliação em Educação Matemática. Esta edição especial, a de número 33,

volume 22, de agosto de 2009, está integral e gratuitamente disponível em: <www.periodicos.rc.

biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/issue/view/778>. Acesso em: mar. 2012.

3.1 Sobre o erroSempre falamos sobre a importância de considerar os erros que os alunos cometem como uma

estratégia de aprendizagem. O excerto abaixo, de autoria de um grupo de professoras da Universi-

dade do Vale do Rio dos Sinos (Unisinos), reitera essa disposição de ver nos erros a possibilidade de

perceber como o estudante está procedendo, e, com isso, criar alternativas para orientá-lo.

“[...] A importância que se dá ao erro é uma questão fundamental no processo avaliativo.

O erro representa, entre outras manifestações do aluno, indícios do seu processo de construção

de conhecimentos. Pode indicar caminhos diferentes daqueles que o professor espera. O pro-

fessor ou a professora, frente ao erro, pode compreender esse novo trajeto seguido pelo aluno,

valorizando a sua produção e buscando converter ‘o não saber, estático, negativo e definitivo,

em ainda não saber, provisório, relativo e potencial’ (ESTEBAN, 2001, p. 23).

A autora considera excludente a dicotomia entre o acerto e o erro, tornando a avaliação

escolar uma prática que desvaloriza os saberes, impede o diálogo, funcionando como instru-

mento de controle e de limitação das atuações, tanto de alunos como de professores e profes-

soras, no contexto escolar. Ela também destaca que aquilo que dizemos sobre o nosso aluno é

apenas uma parte do que pode ser dito, ou seja, é apenas o que nós vimos.

Também os PCNs trazem considerações acerca do erro, das quais destacamos:

[...] se todos os erros forem tratados da mesma maneira, assinalando-se os erros e expli-

cando-se novamente, poderá ser útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente para

esclarecer algum tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros continuarão sem

compreender e sem condições de reverter a situação (1997, p. 59).

Assim, ao avaliar uma situação, o professor ou a professora não apenas constata e

pontua determinada dificuldade do aluno. O professor ou a professora também decide que

tipos de encaminhamentos e intervenções deve inserir em sua prática pedagógica para que

o aluno supere a sua dificuldade inicial. Nesse caso, o professor ou a professora considera

não apenas o que o aluno foi capaz de fazer, mas também aquilo que ele já sabe fazer, para,

a partir disso, planejar as atividades seguintes.


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3.2 Sobre a utilização de portfóliosA avaliação é um dos componentes do Projeto Pedagógico de uma escola e pode estar dirigida

para várias frentes: a avaliação do aluno, a avaliação do professor, a avaliação da instituição etc., além

de poder ser efetivada usando, para isso, vários instrumentos. O texto a seguir, que deixamos como

sugestão de leitura, reforça essas disposições e apresenta, com maior detalhamento, o portfólio, um

desses instrumentos que pode nos auxiliar na complexa atividade da avaliação.

Reportamo-nos agora a algumas questões colocadas no Fascículo I [...] sobre números naturais. Está proposto, ao final dos episódios (trabalho do primeiro encontro), como tarefa, que sejam analisados os trabalhos de Alice, Juliana e Mariana. Quando é perguntado: O que ela acerta? O que ela erra?, tais questões estão sugerindo uma atenção sobre o que o aluno revela saber no processo que ele construiu e que talvez não tenha manifestado para chegar até sua resposta. No caso de Juliana, poderíamos refletir sobre a possibilidade de outra expli-cação para o registro que ela fez do número 21. A partir da manifestação do aluno, é possível acompanhar seu processo de construção da notação do número e interferir, se for o caso, mas a partir do que ele está compreendendo dessa representação.

Em muitas situações-problema em Matemática, não há um padrão de resposta. Pode acon-tecer que o resultado numérico seja um, mas o processo de resolução até chegar a esse resultado seja construído de diversas maneiras, manifestando a compreensão que o aluno teve da situação--problema. A observação atenta a esses diferentes caminhos traçados pelos alunos compõe, entre outras formas e instrumentos utilizados, o processo de avaliação da aprendizagem. [...]”

CHAMORRO, C. C. W.; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F. C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). Brasília: MEC, 2008. p. 9-10.

Identidade da escola“Toda escola situa-se em um sistema de ensino e tem sua identidade expressa no Projeto

Político-Pedagógico (PPP). O PPP é elaborado pela comunidade escolar a partir da realidade da escola e da legislação e é constituído por marcos de referência, pelos planos de estudo e pelo regimento escolar.

No dizer de Veiga (1997, p.16), o Projeto Político-Pedagógico, como organização do tra-balho da escola como um todo, está fundado nos princípios que deverão nortear a escola. Os marcos de referência do PPP explicitam, entre outros, as concepções de mundo, de sociedade, de ser humano, de educação, de aprendizagem, de avaliação. Essas concepções precisam ser evidenciadas no cotidiano da escola, nas suas ações e decisões administrativas e pedagógicas.

É claro que as evidências não ocorrem de maneira linear, como estamos abordando. A rea-lidade é complexa e as contradições também se fazem presentes no mundo da escola. Mas, na prática, sempre há referências que balizam nossas ações. Precisamos nos perguntar para que e para quem estamos fazendo nossa atividade pedagógica.


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O Plano de Estudos, outro integrante do PPP, contém os conteúdos básicos a serem abor-dados, além de objetivos e metodologia de ensino e de avaliação. Esses Planos de Estudos também devem estar encharcados da realidade dos alunos e dos professores.

Fiss e Caldieraro (2000) situam os Planos de Estudos como elemento ordenador, do ponto de vista pedagógico, do currículo escolar como a expressão concreta do PPP.

Outro componente do PPP é o Regimento Escolar, que reúne as normas que regem a escola. Dentre as normas do Regimento, podemos destacar as de convivência e as da avaliação da aprendizagem dos alunos.

Como se pode constatar, a prática pedagógica do professor ou da professora está em sin-tonia com os princípios orientadores da escola com o seu Regimento Escolar. Neste contexto pedagógico situa-se a avaliação da aprendizagem do aluno, que oferece dados para o professor ou a professora tomar decisões tanto pedagógicas quanto administrativas. Sim, essas decisões podem ter finalidade pedagógica ou administrativa, dependendo do objetivo dessa avaliação.

A avaliação da aprendizagemComo avaliamos nosso aluno em seu processo de aprendizagem, na escola? Em que mo-

mento(s)? Através de uma mera conferência de resultados? Ou, quem sabe, a partir de observações quanto a aspectos atitudinais do aluno? No que estas práticas contribuem para a aprendizagem do aluno e, consequentemente, para o trabalho pedagógico do professor e da professora?

Sustentadas nestas angústias e reflexões, percebemos uma necessidade de mudança de olhar em relação à avaliação. Precisamos repensar a avaliação como uma ação compreensiva e mediadora da trajetória do aluno, presente em toda prática pedagógica, e não como uma ação esporádica que seleciona os que sabem.

A avaliação deve ter sempre a preocupação com a aprendizagem dos alunos. Uma avaliação com essa finalidade tem sido referida por diversos autores como uma avaliação formativa que, nas palavras de Perrenoud (1999), é uma avaliação ‘que ajuda o aluno a aprender e o professor a ensinar’ (p. 173). Descreve a ideia-base desta avaliação, em que o indivíduo aprenderá melhor ‘se o seu meio envolvente for capaz de lhe dar respostas e regulações sob diversas formas: identifica-ção dos erros, sugestões e contrassugestões, explicações complementares, revisão das noções de base, trabalho sobre o sentido da tarefa ou a autoconfiança’ (PERRENOUD, 1999, p.173).

A avaliação só tem sentido se estiver contribuindo para melhorar a aprendizagem em curso, se puder informar o professor ou a professora sobre as condições em que se dá essa aprendizagem e o aluno sobre seu próprio percurso. Essa modalidade de avaliação, identificada por muitos autores como uma avaliação formativa, destaca-se por uma característica essencial, ausente na função somativa, que é a de realizar-se de forma contínua, integrada na ação de formação e incorporada no próprio ato de ensino. [...]

1. Vamos falar de portfóliosSe você olhar em um dicionário, vai ler que portfólio vem de porta-fólio, que significa pasta

ou álbum para guardar papéis. É fácil, portanto, fazer uma comparação para você entender facilmente o que é um portfólio: pode ser comparado com uma pasta em que você guarda seus documentos de modo organizado.


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O portfólio tem sido utilizado em muitos ramos da vida cotidiana como meio de divulgação e de propaganda. Se você entrar num site de busca na internet e solicitar o termo “portfólio”, observará centenas de exemplos de empresas, escolas e tantos outros ramos divulgando seus produtos e serviços por meio de portfólios. Por que utilizam portfólios? Porque permitem às pessoas visualizar de modo integral, ao mesmo tempo em que permitem a observação detalha-da de tópicos específicos no conjunto de produtos que estão veiculando.

A pergunta que fazemos é: Onde está o valor pedagógico de um portfólio? Um portfólio permite a você organizar as atividades de seus alunos.

Qual é a relação disto com o portfólio como instrumento de avaliação? É o que ele permite ao leitor ver. E quem é o professor ou a professora, senão um leitor do desenvolvimento do aluno? Observe que o princípio é o mesmo. Com as atividades de seus alunos organizadas, você pode acompanhar o desenvolvimento de cada um deles de modo sistemático e contínuo.

Portfólios nos anos iniciaisA utilização de portfólios não é uma inovação, pois já é um hábito de muitos professores e

professoras. A inovação reside no modo de utilização dos mesmos.

Um portfólio bem organizado permite ao professor ou à professora acompanhar o aluno em seu processo de aprendizagem. Com ele, você pode acompanhar e identificar os registros e acertos de seus alunos, assim como problemas de aprendizagem durante o seu ensinamento, pois os erros ficam evidenciados, ficam visíveis. Além disso, você pode “estudar” os erros e perceber as dificuldades apresentadas. Perceber erros quando ocor-rem – e não depois que são consolidados e observados numa avaliação formal – possibilita que você realimente seus modos de ensinar, readequando seu planejamento e percebendo onde está o problema.

Você pode ter o portfólio de cada aluno e pode também ter o seu portfólio.

Nos de seus alunos, estarão organizadas as atividades que ELES fazem, as lições DELES, as produções DELES, os registros que ELES fazem etc.

No SEU, você pode organizar SEUS registros, SUAS observações, SUAS impressões, SEUS relatos. No SEU, vão constar as observações que VOCÊ faz das atividades DELES.

Os alunos gostam de construir seus portfólios e, normalmente, são seus parceiros nisso. Para eles, é como se fosse um de seus álbuns de figurinhas, de papel de carta ou do que quer que seja. Além disso, há uma significativa contribuição que é a de possibilitar que cada criança seja produtora de seu próprio conhecimento. Criança produtora! Nada mais profícuo para você atingir o anseio pedagógico de ter a criança como produtora e não apenas como receptora de conhecimentos que lhe são transmitidos na escola. Temos, então, duas dimensões em sua utilização: portfólio como coletânea e portfólio como produção.

Se você escutar que há também processofólio e que este é diferente de portfólio, é porque alguns entendem que no portfólio são armazenadas atividades concluídas dos alunos – uma sucessão de atividades já desenvolvidas, ou a última versão das diferentes atividades propostas – e no processofólio vai-se armazenando todas as etapas que vão sendo desenvolvidas. [...]


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No portfólio estaria armazenado o produto final das atividades. No processofólio estariam sendo armazenadas as tentativas para chegar ao final da atividade.

Este exemplo esclarece sobre a diferença entre os dois termos. Nós estaremos utilizando apenas o termo portfólio por entendermos que engloba o outro. Fica a critério do professor ou da professora a construção de portfólios que contemplam atividades processuais ou não. Adiantamos que as atividades processuais se constituem em uma grande fonte de informações que os alunos nos dão sobre o desenvolvimento de seu pensamento, assim como sobre suas estratégias para compreender Matemática.

E a avaliação formal que a escola exige que façamos, como se dá, nesse caso?

Como o objeto da avaliação em Matemática não é apenas a nota – avaliação final – deve- -se avaliar o processo dos alunos no desenvolvimento de suas atividades. É esta avaliação de processo que permite saber se o aluno compreendeu ou, em outras palavras, se construiu ideias matemáticas, se os seus erros refletem dificuldades parciais ou se não passam de distração.

Cumpre reforçar que a avaliação está, necessariamente, atrelada aos objetivos que se tem ao ensinar e as atividades propostas vão ao encontro desses objetivos. Portanto, ao avaliarmos o desenvolvimento dos alunos ao realizarem atividades programadas, devemos nos reportar aos objetivos tidos ao iniciá-las e às possíveis mudanças de rumo que tiverem ocorrido. [...]

2. Vamos falar de registrosÉ comum falar-se de registros que professores ou professoras fazem. Aqui, vamos ver pos-

sibilidades de avaliar a aprendizagem dos alunos por meio dos registros que OS ALUNOS fazem.

O que são registros? São modos como os alunos expressam o movimento da aprendiza-gem. Os alunos constroem conhecimentos matemáticos ao desenvolverem atividades. Enquan-to falam, desenham e escrevem, eles estão expressando ideias, refletindo sobre suas próprias palavras e as dos colegas, estabelecendo relações. Podemos utilizar os registros orais, os pictó-ricos e os escritos.

Para estudar sobre registros no processo de avaliação de aprendizagem, construa um portfólio. [...]

O registro oral possibilita a você compreender como o aluno está desenvolvendo seu pensamento e que estratégias está elaborando na resolução de uma situação matemática. O registro oral como possibilidade avaliativa transcende o diálogo natural de sala de aula. Torna-se possibilidade avaliativa quando você observa intencionalmente esta fala. Em outras palavras, quando você está prestando atenção, analisa a manifestação oral de seu aluno, faz SEUS REGISTROS (para, por exemplo, anexar a seu portfólio), e acompanha a evolução das ideias manifestadas por eles. O registro oral permite que você “entenda” o que seu aluno está pensando. Ao entender, muitas vezes, você observa que o aluno resolveu uma situação mate-mática de outro modo que o esperado por você, porque ele disse como fez. Permite também observar que errou, mas que este erro não evidencia o desconhecimento do todo em relação ao conteúdo em estudo. [...]


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Por meio da análise do conteúdo dos portfólios de seus alunos e das observações do seu, imagine que você vai escrever uma carta para a professora que vai substituí-lo durante um mês em sua sala de aula. Nesta carta, você precisa elaborar um parecer sobre sua sala de aula, sobre os conteúdos que ministrou e o que ela ministrará. Você exemplificará seus argumentos com os dados e reflexões de cinco alunos.

É senso comum que o professor ou professora deve refletir sobre sua prática. Ninguém duvida dessa afirmação. No entanto, a reflexão pela reflexão pode não levar a um resultado profícuo. Freitas (2002, p. 03) relata em suas pesquisas que:

em algumas situações essa reflexão é desencadeada a partir de um acontecimento específico ocorrido em determinado momento e que exige do professor reorganizar a sua ação naquele exato momento. [...] De outra forma, que pareceu não ser comum, foi possível perceber que esta ‘reflexão na ação’ enquanto intenção deliberada de uma professora em estar atenta du-rante todo o tempo do trabalho para elementos que lhes permitam repensá-lo na direção de uma maior aprendizagem dos alunos.

Tal afirmação parece validar a contribuição de portfólios como instrumentos de avaliação. Registros, em suas diferentes naturezas, permitem a observação de etapas de aprendizagem e o desvelamento do pensamento dos alunos.”

CHAMORRO, C. C. W; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F. C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática).

Brasília: MEC, 2008. p. 11-12 e 21-22, 24-25, 29-30.

4. Textos de apoio sobre educação e práticas metodológicas

4.1 Como ensinar Matemática? Essa questão preocupa e ocupa a mente dos professores de Matemática.

A seguir levantamos alguns pontos e apresentamos sugestões sobre a postura e a prática docente. A inspiração do texto vem de um artigo escrito por George Polya, intitulado “Dez mandamentos para professores”.

O artigo é dirigido a professores de Matemática, mas sua essência pode ser aproveitada para professores de todas as disciplinas.

• Demonstre interesse e tenha domínio sobre sua aula

Sem motivação, ninguém é capaz de motivar os alunos para o aprendizado. Se você mostrar que não gosta de um assunto, dificilmente fará com que seu aluno se interesse por ele. Mostre ao aluno os encantos da Matemática e seu entusiasmo por eles.

Junto com a motivação para ensinar, deve vir, é claro, o preparo teórico. Elabore seu plano de aula com cuidado de forma que o aluno perceba consistência em seu trabalho. Você precisa mostrar-se seguro para gerar confiança nos estudantes.


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• Estabeleça contato com seus alunos

Procure “enxergar” o conteúdo a ser ensinado sob o ponto de vista do aluno, interagindo com ele em sala de aula, atendendo às suas expectativas e sendo sensível às suas difi culdades.

• Adquira e use sua experiência

A experiência prática – vivência de sala de aula – é condição básica para melhorar a prática do-cente. Se você é muito jovem, ouça seus colegas de profi ssão mais experientes. Lembre-se de quando você mesmo era estudante e das qualidades dos mestres que mais infl uenciaram sua vida escolar. Se já é professor há tempos, passe aos mais jovens suas vivências e aproveite para aprender também com eles.

• Corrija os erros por meio da valorização dos acertos

O aluno que escuta sem parar “Isto está errado”, provavelmente passará a detestar a Ma-temática e, consequentemente, o professor da disciplina. É difícil quebrar esse bloqueio e ter sucesso com alunos que passaram por essa experiência. Os estudantes não devem ter medo de experimentar, conjecturar e testar, mesmo que isso leve a um erro inicial. Localizar e compreender o motivo do erro muitas vezes ajuda a compreensão. A sugestão é valorizar o que foi feito corretamente, deixando que o aluno descubra seu próprio erro e aprenda com ele. Algo como: “Você começou bem, esta parte está correta, mas, acom-panhe comigo: o que você observa nesta etapa da resolução? Será que juntos podemos chegar à resposta correta?”.

• Ajude na medida certa e permita que seus alunos “aprendam a aprender”

Ajude seus alunos. Que não seja muito pouco, senão não haverá progresso. Que não seja de-mais, para que o mérito da resolução seja dele. George Polya diz que o professor deve ser “uma espécie de parteira espiritual”, que dá a oportunidade ao aluno de descobrir coisas, fazer con-jecturas e construir seu conhecimento. Você deve dar ao aluno não apenas informações, mas, principalmente, deve desenvolver nele atitudes que permitam a continuidade de seu aprendi-zado pelo resto da vida, gerando o gosto pela investigação, a criação de hábitos de estudo, a autoconfi ança e a disciplina.

George Polya acrescenta: “A maneira como você ensina pode ser mais importante nas aulas de Matemática do que aquilo que você ensina”.

George Polya (1887-1985) nasceu em Budapeste, Hungria. Foi professor em Zu-rique durante 26 anos e depois em Stanford, Estados Unidos, onde se aposentou em 1953. Seu livro A arte de resolver problemas é uma referência para os professores de Matemática de todo o mundo.

O artigo de George Polya a que nos referimos pode ser lido na íntegra na Revista do Professor de Matemática, n. 10, 1987.


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4.2 Matemática e resolução de problemasA resolução de problemas não é de domínio exclusivo da Matemática. Lidamos com problemas

pessoais, profi ssionais e sociais todo o tempo: decidir os componentes de um cardápio, optar por um produto no supermercado, fi nanciar um automóvel e escolher um candidato em quem votar são exemplos de situações-problema presentes no cotidiano.

Podemos dizer que resolver problemas é inerente ao ser humano e, portanto, desenvolver ca-pacidades nessa área é fundamental para todos.

Consideramos que a capacidade de resolver problemas implica ser capaz de mobilizar conhe-cimentos, organizá-los, planejar estratégias de resolução, executá-las e verifi car se a solução é adequada.

Dentre as diversas ciências, a Matemática, por sua estrutura e características, é a que mais propicia o desenvolvimento da capacidade de resolver alguns tipos de problemas nos estudantes. Os problemas, tanto práticos como teóricos, permeiam por completo a Matemática, o que permi-te gerar, desenvolver e exercitar habilidades na resolução de problemas. Muitas pessoas, na vida adulta, podem não lembrar como utilizar uma propriedade específi ca descoberta em Geometria ou o processo de resolução de uma equação do 2o grau aprendido em seus tempos de adolescente. No entanto, o aprendizado em Matemática contribui (ou deve contribuir) para que o indivíduo de-senvolva estruturas de pensamento que lhe permitam, na vida adulta, resolver situações diversas.

Por essa razão, você deve aplicar-se na tarefa de fazer com que seus alunos tornem-se capazes de resolver problemas. O processo é longo, requer paciência e preparo, pois certamente deve estender--se por todos os anos do Ensino Fundamental e Médio.

A resolução de problemas envolve operações mentais. Algumas delas são mais frequentes e típi-cas desse processo. Estudiosos como George Polya e Wayne Wickelgren buscaram entender melhor essas operações e apresentaram sugestões ou estratégias que podem ajudar os estudantes (e nós, professores) a melhorar suas habilidades na resolução de problemas. Veja-as de forma simplifi cada:

Passo 1: Analisar e entender o problema

Estratégias:

• Identifi car e escrever dados: o que se tem, o que se quer descobrir. Desenhar esquemas, diagramas e tabelas que ajudem a representar a situação.

• Examinar casos particulares que exemplifi quem o problema.

Passo 2: Imaginar e planejar a resolução

Estratégias:

• Planejar a resolução passo a passo, hierarquicamente, sendo capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que está fazendo e por quê.

• Mobilizar conhecimentos, conjecturar, avaliar estratégias, estimar a solução.

• Tentar encontrar um problema de forma, dados ou conclusões similares com menor com-plexidade.

• Decompor o problema, trabalhando nele parte por parte.

• Explorar o papel de uma variável ou condicionante, deixando o resto fi xo.


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• Procurar reformular o problema:

a) mudando a perspectiva de leitura ou a forma de notação;

b) usando a argumentação por contradição;

c) assumindo uma solução particular e descobrindo que características essa solução possui.

Passo 3: Implementar a estratégia e chegar à solução

Passo 4: Fazer um retrospecto da resolução, avaliando o caminho escolhido e a possibilidade de usar outra estratégia. Verifi car se a resposta se ajusta ao contexto do problema.

Você pode ajudar o aluno em todos os passos, mediando as ações, por meio de perguntas como: “O que queremos descobrir ou mostrar nessa situação?”, “Quais as informações de que dispo-mos?”, “Quais delas são relevantes?”, “Como você sugere que encaminhemos a solução?”, “Que conhecimentos utilizaremos nessa estratégia?”, “Alguém tem outras propostas?”, “A resposta que encontramos satisfaz o problema?”.

Essas orientações podem parecer óbvias, triviais e já devem fazer parte de sua prática em sala de aula. No entanto, a simplicidade não lhes tira a importância. Seu trabalho constante é crucial para que o aluno adquira o hábito do pensamento metódico, que lhe será valioso, seja qual for seu campo de atuação no futuro.

“A Matemática não é um esporte para expectadores...

Não existe método de ensino que seja indiscutivelmente o melhor, como não exis-te a melhor interpretação de uma sonata de Beethoven.

E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais.”

George Polya

4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classifi caçãoNo livro A resolução de problemas na Matemática escolar (veja referência no fi nal do texto) há

um artigo escrito por Thomas Butts, da Case Western Reserve University, situada em Cleveland, EUA. Embora escrito com foco no sistema escolar norte-americano, o autor traz uma proposta interessan-te de classifi cação de problemas que resumiremos aqui. São ideias que podem ajudá-lo a organizar melhor, e a diversifi car, as atividades propostas em aula e nas avaliações.

Butts separa os problemas matemáticos em cinco tipos:

1. exercícios de reconhecimento;

2. exercícios algorítmicos;

3. problemas de aplicação;

4. problemas de pesquisa aberta;

5. situações-problema.

Acompanhe a descrição de cada tipo, com exemplos adequados a nosso sistema educacional.


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1. Exercícios de reconhecimento

Como o nome já diz, têm por objetivo verifi car um conceito, uma propriedade.

O autor recomenda que se use nesse tipo de exercício enunciados como “Dê um exemplo”. Questões da forma “Verdadeiro ou Falso” também são efi cientes.

Exemplos:

a) Quais das seguintes equações são do 2o grau?

• 2x � 5 � 0 • x2 � x4 � 18 • 3x2 � 5x � 2

Etc.

b) Verdadeiro ou falso?

• Todo paralelogramo é um retângulo.

• O quadrado é um paralelogramo. Etc.

c) Dê exemplo de um número racional compreendido entre 2,13 e 2,14.

2. Exercícios algorítmicos

Verifi cam a habilidade no uso de algoritmos, procedimentos algébricos e técnicas.

Exemplos:

a) Calcule 15 � 2(141 : 3 � 7).

b) Coloque o fator comum em evidência na expressão 6ay � 2az.

Esses exercícios são importantes para que o aluno adquira mais agilidade no uso das ferramentas de cálculo. No entanto, devem ser dosados, de forma a não desmotivar os alunos, e apresentados, sempre que possível, de forma criativa. O autor do texto coloca muito bem esta questão: ”A habili-dade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática. O desafi o é torná-la interessante”.

Os quadrados mágicos seriam um bom exemplo de exercício de cálculo.

3 10 5 10 5 6

8 6 4 3 7 11

7 2 9 8 9 4

A inversão de sentido também é uma estratégia: “Desenhe dois retângulos diferentes que te-nham área 24 cm2”, por exemplo.

3. Problemas de aplicação

São os que envolvem leitura e interpretação de dados, tradução do problema para a linguagem matemática e aplicação de procedimentos e algoritmos que levem à solução. Os problemas contextu-alizados são importantes nessa categoria. O autor lembra que a contextualização deve ser feita com cuidado para não criar situações artifi ciais. A sugestão é criar problemas com base no contexto dos próprios alunos.


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Exemplos:

a) (CEETPS-SP) Uma empresa operadora de telefones oferece dois planos, A e B, de acordo com a tabela:

Plano Assinatura mensal (R$)

Ligações locais (R$/minuto)

A 37,24 0,42

B pré-pago 1,40

Após quantos minutos de ligação o valor a pagar é o mesmo nos dois planos?

b) (CEETPS-SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV.

Uma televisão cuja tela mede 30 cm � 40 cm possui:

• 16 polegadas.

• 20 polegadas.

• 18 polegadas.

• 29 polegadas.

Lembrete: 1 polegada � 2,5 cm

4. Problemas de pesquisa aberta

De acordo com o artigo, a função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incenti-var a habilidade de conjectura. Em geral, o enunciado desses problemas envolve comandos do tipo: “Descubra quais”, “Mostre que”, “Encontre os valores possíveis”.

Exemplos:

a) Existe um triângulo que tenha:

• dois ângulos retos?

• dois ângulos obtusos?

• um ângulo reto e um obtuso?

Justifique suas respostas.

b) Descubra dois números irracionais tais que seu produto seja um número racional.

5. Situações-problemaNão são problemas propriamente ditos, mas situações mais amplas, que devem ser analisadas e

enfrentadas, buscando uma solução ou rumos de encaminhamento.

Exemplo:

Num terreno retangular, de 15 m de frente e 30 m de fundos, pretende-se construir uma casa térrea que será habitada por uma família com 4 pessoas: casal e dois filhos adolescentes. Junte-se a um colega para desenhar uma sugestão de planta baixa para essa construção. Vocês serão os arqui-tetos. Fiquem atentos às observações a seguir:


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• Pesquisem a porcentagem de terreno que pode ser ocupada e os recuos exigidos por lei.

• A casa deve ter sala, cozinha, 3 quartos com banheiro, lavabo, escritório, varanda e gara-gem para dois carros.

• A cozinha e os quartos não devem ter porta de comunicação direta com a sala.

Repare que a proposta envolve várias questões, imbricadas todas na situação original.

Fonte de pesquisa: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.

4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética O artigo a seguir, publicado na Revista História & Educação Matemática, de autoria da professo-

ra Maria Laura Magalhães Gomes, aborda o ensino da operação de adição em períodos e contextos históricos diferentes por dois autores de livros didáticos. Consideramos o texto interessante para mos-trar que a forma de ensinar Matemática se modifica ao longo do tempo. Se nossos avós aprenderam muitas das coisas que aprendemos hoje, eles podem ter aprendido essas coisas de modo diferente...

“O objetivo deste artigo é analisar dois excertos de obras do passado escritas com o propó-sito de ensinar aritmética. Fazemos uma primeira leitura comparativa desses textos, do ponto de vista do conteúdo matemático que abordam, sem levar em consideração quem os escreveu, a quem se destinavam, em que lugar e condições históricas foram produzidos. Em seguida, identificando todos esses aspectos, realizamos uma leitura contextualizada dos mesmos escri-tos para compreender suas características de maneira mais profunda e completa.

Dois modos

Os trechos que se vão ler a seguir reproduzem a introdução da operação de adição de números naturais em dois livros-texto de aritmética escritos por autores de períodos históricos diferentes.

Primeiro Autor:

Para compreender a segunda operação, a adição, é necessário saber que ela é a união de vários números, pelo menos de dois, de modo que possamos conhecer a soma resultante desse acrés-cimo. Deve também ser entendido que na operação de adição, pelo menos dois números são necessários, a saber, o número ao qual adicionamos o outro, que deve ser o maior, e o número a ser adicionado, que deve ser o menor. Assim, sempre adicionamos o menor número ao maior, o que é um plano mais conveniente do que seguir a ordem contrária, embora esta última seja possível, sendo o resultado o mesmo em qualquer caso. Por exemplo, se adicionarmos 2 a 8, a soma é 10, e o mesmo resultado é obtido somando 8 a 2. Portanto, se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor. Assim, se queremos somar 38 a 59, escrevemos os números assim:

5 9

� 3 8

Soma 9 7


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Dizemos então: ‘8 e 9 fazem 17’, escrevendo 7 na coluna que foi somada, e carregando o 1 (pois quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta). Este 1 nós agora somamos a 3, fazendo 4, e este a 5, fazendo 9, que é escrito na coluna da qual veio. Os dois números juntos fazem 97.

Segundo Autor:

...suponha que você conheça dois números, e deseje ou tenha necessidade de ter a sua soma, de conhecer o número que se pode formar juntando um ao outro – o número total de coisas que você sabe existir de uma vez, primeiro em um desses números, em seguida no outro desses números.

Suponha, por exemplo, que você tenha 13 coisas em um lugar, e 26 em um outro, e que queira saber quantas tem ao todo, e, para isso, tomar a soma desses dois números, juntar 26 e 13.

Você vê, à primeira olhadela, que 13 é 1 dezena e 3 unidades: que 26 é 2 dezenas e 6 unidades; você sabe que 3 unidades e 6 unidades são 9 unidades; que 1 dezena e 2 deze-nas são 3 dezenas; os dois números encerram, portanto, 9 unidades e 3 dezenas; sua soma é, pois, 39. Quaisquer que sejam os dois números, você pode usar o mesmo meio, e conhe-cendo a soma das unidades, das dezenas, das centenas que os dois números contêm, você conhecerá sua soma.

Suponha, por exemplo, que você queira juntar 135 a 643, ou 2 345 a 3 621. Você verá que os dois primeiros números reunidos encerram oito unidades, sete dezenas e sete cente-nas; sua soma será 778. Você verá que os dois segundos números reunidos contêm seis uni-dades, seis dezenas, nove centenas e cinco milhares; sua soma será, portanto, 5 966.

Se juntasse assim, um ao outro, números compostos de um número maior de algarismos, você perceberia logo que a necessidade de conservar na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas quando tiver chegado aos milhares, por exemplo, exige uma atenção fatigante, e que se ela lhe faltar, você será obrigado a recomeçar a operação. Mas para fazê- -la mais facilmente, você só tem que escrever um sob o outro os números que quer juntar, colocando as unidades embaixo das unidades, as dezenas embaixo das dezenas, as centenas em baixo das centenas. Você dirá em seguida: 5 e 3 são oito, escrevo 8; 3 e 4 são 7, escre-vo 7; 1 e 6 são 7, escrevo 7; a soma é, então, 778. 135 mais 643 igualam 778.

Da mesma forma, você dirá: 5 e 1 são 6, escrevo 6; 4 e 2 são 6, escrevo 6; 3 e 6 são 9, escrevo 9; 2 e 3 são 5, escrevo 5. A soma é, portanto, 5 966; 2 345 mais 3 621 igualam 5 966.

Fórmula da operação

1 3 5 2 3 4 5

� 6 4 3 � 3 6 2 1

� 7 7 8 � 5 9 6 6

PRATICANDO MATEMÁTICA 6º ANO – PNLD 2014MP PARTE COMUM – MAC 2 visto

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Uma leitura comparativa

Podemos observar que ambos os autores focalizam o mesmo algoritmo da adição de dois números – aquele que é ensinado na escola básica até os dias de hoje. O que podemos notar nos dois textos, além do fato de o segundo ser mais extenso que o primeiro?

Certamente percebemos logo que o Primeiro Autor aborda mais diretamente o tema, nomeando imediatamente uma operação a ser ensinada, a adição, sem referir-se a qualquer motivação para efetuar essa operação. O Segundo Autor, por sua vez, não manifesta de início qualquer interesse em dar um nome a uma operação a ser feita, preocupando-se, em contrapartida, em apelar para o desejo ou a necessidade de seu leitor de conhecer o número que se pode formar juntando dois outros.

Seguindo os dois excertos, verificamos que o Primeiro Autor (embora não explique a ra-zão disso) procura deixar claro ao leitor que ao adicionar dois números, é mais conveniente somar o menor número ao maior, apesar de o resultado ser o mesmo se for seguida a ordem oposta a essa. Assim, o Primeiro Autor instrui diretamente o aprendiz no sentido de escrever o maior número em cima, e o menor número embaixo dele, colocando os algarismos na or-dem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc.

O Segundo Autor não tem qualquer preocupação em fixar uma ordem para a escrita dos números a serem somados, mas faz questão de, em três exemplos, chamar a atenção do leitor para a maneira como são formados os pares de números que se devem somar – tantas unidades, dezenas e centenas, sendo cada ordem da soma o resultado de juntar as ordens que compõem os números. Mais: ele diz explicitamente que esse procedimento é o que ser-virá para encontrar a soma de dois números quaisquer.

É somente depois dessas considerações que o Segundo Autor alerta o leitor para a aten-ção fatigante que lhe seria exigida caso tivesse de conservar na memória a soma das unida-des, das dezenas, das centenas, atenção essa que cresceria com o crescimento dos números a serem juntados. Dessa maneira, o Segundo Autor mostra ao seu leitor que seria interes-sante buscar um procedimento para aliviar o esforço requerido e então, sim, ele se refere a colocar unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas. Após a descrição desse procedimento por meio de palavras para dois exemplos, o Segundo Autor apresenta ao leitor o que denomina de Fórmula da operação. Aí é que apare-cem armadas e efetuadas as duas adições, nas quais podemos notar a presença dos símbolos '�’ e '�’, bem como a de um traço que separa os números a serem adicionados de sua soma.

Por outro lado, voltando ao escrito do Primeiro Autor, percebemos que o seu primeiro exemplo de uso do algoritmo da adição que, como vimos, é introduzido no estilo ‘faça deste modo’ (se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor em-baixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor), é de uma ‘adição com reserva’ ou ‘com transporte’: 59 � 38. Essa adição aparece armada como foi indicado ao leitor, acompanhada do resulta-


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do, 97, sem os símbolos '�’ e ‘�’ e sem um traço separando o total (identificado pela palavra Soma) das parcelas. Só em seguida vem a explicação do que foi feito, com a instrução de “carregar o 1” que veio do 17 (soma de 9 e 8), visto que quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta. O Primeiro Autor não esclarece o porquê desse procedimento, e na con-tinuação do texto aqui reproduzido focaliza a ‘prova dos noves’ para a operação que acabou de ser efetuada. Depois disso, ele prossegue apresentando mais dois exemplos de adições (1 916 � 816 e 45 318 � 2 732) no mesmo estilo do exemplo mostrado no trecho transcrito.

O Segundo Autor também aborda a ‘adição com reserva’ no prosseguimento do excerto que apresentamos. Contudo, ele o faz depois dos três exemplos ‘sem reserva’ que mostra-mos, e de maneira bastante diferente, como vamos descrever a seguir.

A adição escolhida para ilustrar a ‘reserva’ é 18 � 25, e é calculada em duas etapas:’’

1 8 1 3

� 2 5 � 3 0

� 1 3 � 4 3

� 3 0

Vem então uma explicação de como reduzir, por comodidade, as duas operações a uma:

... para isso, você notará que depois de ter dito 8 e 5 são 13, não tem mais unidades a consi-derar: você escreve então 3 unidades; mas você tem ainda dezenas: você não escreverá esta dezena que obteve juntando 8 a 5, porém (você se lembrará dela) a guardará: dirá, então, 8 e 5 são 13, escrevo 3 e guardo 1 dezena; 1dezena que guardei e 1 dezena são 2, e 2 outras são 4, e escreverá 4 dezenas.

E só então aparece

1 8

� 2 5

� 4 3

O exame dos dois textos mostra, portanto, claramente, dois modos distintos para ensinar o algoritmo da adição de dois números naturais. Comparando esses dois modos, pudemos notar que eles se distinguem essencialmente porque:

– o primeiro apresenta ao aprendiz instruções diretas de como proceder para efetuar a operação, sem a preocupação de esclarecer a razão dos procedimentos aí envolvidos;

– o segundo se caracteriza por uma tentativa de dialogar com o leitor de maneira a con-vencê-lo da necessidade dos procedimentos mostrados para facilitar uma tarefa e mais, por buscar explicar os motivos de cada um dos passos executados nas adições.

Até aqui fizemos a leitura e a análise dos dois textos de forma isolada do contexto sócio--histórico em que foram produzidos, desconhecendo apenas seus autores e a época em que foram escritos, mas também as finalidades e o público a quem se destinaram. Vamos agora examinar esses aspectos para tentar interpretar à sua luz, as marcas dos novos modos de en-sinar a adição.


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Dois tempos

Comecemos por identificar os livros dos quais foram extraídos os excertos em foco.

O primeiro texto faz parte da Aritmética de Treviso, obra de autor anônimo publicada em 1478 – trata-se não somente de um incunábulo, isto é, de uma publicação do século da invenção da imprensa, mas do primeiro texto impresso de Matemática. O livro, que não tem um título próprio, é uma aritmética comercial, ou seja, um texto que se propõe a recordar os conhecimentos relevantes para o exercício dos negócios, especialmente em Treviso e Veneza. É importante situar Veneza no cenário do mundo do século XV: a cidade tinha, nesse perí-odo, se transformado no principal centro comercial da Europa e ao mesmo tempo em uma das cidades mais ricas do planeta então conhecido. Era ainda um centro de ensino e difusão da arte mercantil ao qual acorriam mercadores do norte, particularmente das cidades ale-mãs, para estudar as práticas de comércio da aritmética comercial e a troca de moedas. Uma habilidade básica que esses visitantes esperavam adquirir era certamente a proficiência em métodos da aritmética comercial italiana, a qual havia se desenvolvido cedo em decorrência do fato de os italianos em geral e os venezianos em particular terem logo compreendido a importância do uso da aritmética em suas transações diárias a partir de seu contato com o sistema indo-arábico de numeração em suas relações comerciais em torno do Mediterrâneo.

A Aritmética de Treviso é escrita no dialeto veneziano, o que caracteriza uma intenção de comunicar conhecimentos a um público amplo, evento possibilitado pela invenção da im-prensa. É, portanto, um texto importante por integrar o movimento da eliminação do mono-pólio do conhecimento por parte das classes mais elevadas socialmente (que tinham acesso aos estudos nas universidades, onde a língua usada era o latim) e da consequente ascensão de uma classe média a partir da aceleração das atividades de comércio. Avalia-se terem sido impressas trinta aritméticas práticas entre o início da imprensa na Europa e o final do século XV. Dessas, mais da metade era escrita em latim, sete em italiano, quatro em alemão e uma em francês. A crescente publicação de textos impressos em vernáculo está associada a uma mudança da Matemática, do domínio da especulação escolástica para as aplicações das ma-nufaturas e do mercado.

O ambiente histórico ao qual pertence o nosso Primeiro Autor, portanto, é o do início da Idade Moderna, no qual o desenvolvimento do comércio faz nascer o capitalismo mercantil. Culturalmente, estamos em um contexto marcado pelo florescimento das artes e pelas mu-danças na orientação das ciências – é a época do Renascimento.

Na Europa do século XV, tempo em que escreveu o Primeiro Autor, uma parte importante da educação matemática consiste no ensino e na aprendizagem da aritmética comercial. A escola em que tem lugar essa parte não é a universidade, mas a escola mantida pelos mestres de cálculo, a qual é frequentada pelos filhos de funcionários públicos ou de mercadores, com idades entre 12 e 16 anos.

Embora a autoria da Aritmética de Treviso não seja conhecida, as palavras iniciais do texto revelam que seu autor é um desses mestres de cálculo, que se dedica, a pedido de estudantes que desejam aprender a aritmética para seguir a carreira comercial, a colocar por


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escrito os princípios fundamentais da aritmética, comumente chamada ábaco (Swetz, 1989,

p. 40). O livro é um algorismo, isto é, um tratado dedicado a explicar o uso dos símbolos

indo-arábicos. Porém, trata-se de um tipo especial de algorismo – uma Practica – por apre-

sentar situações-problema ligadas aos negócios e ao comércio.

É importante referir-nos aqui ao estado de aceitação do sistema de numeração indo-

-arábico, à época dessa Practica. Ainda que tal sistema já fosse conhecido na Europa desde

aproximadamente o ano 1000, ele ainda não tinha sido adotado universalmente. No início

do século XV, a Itália estava à frente do resto do continente europeu no uso dos novos sím-

bolos para registros e cálculos – a forma física dos algarismos no livro de Treviso já é a atual,

o que não acontecia nos outros países. Assim, os conhecimentos da obra eram ainda pouco

difundidos no tempo de sua publicação.

Como observamos anteriormente, o Primeiro Autor não usa os símbolos '�’ e '�’. Se-

gundo Boyer (1996), o mais antigo aparecimento do sinal '�’ ocorreu em 1489, na aritmé-

tica comercial de Johann Widman, enquanto o sinal '�’ foi registrado pela primeira vez em

1557, em um livro de Robert Recorde (1510-1558). Portanto esses símbolos, que o Segundo

Autor usa com naturalidade, só foram incorporados aos textos matemáticos depois da publi-

cação do primeiro texto que analisamos que, lembremos, data de 1478.

Retomemos agora outros comentários tecidos na seção anterior deste texto, levando

em conta o que acaba de ser exposto. Pudemos constatar que o Primeiro Autor introduz de

forma um tanto rápida a adição, sem uma tabela com os chamados ‘fatos fundamentais’ e

usando como primeiro exemplo uma operação ‘com reserva’. Swetz (1989) informa que os

primeiros autores de aritmética raramente incluíam essas tabelas em seus livros, mas também

atribui essa abordagem ao fato de que os alunos dos mestres de cálculo eram adolescentes

que já tinham experimentado alguma educação básica na qual haviam aprendido a ler e es-

tudado os ‘fatos fundamentais’ da adição e da multiplicação.

Comentamos também a posição do Primeiro Autor em relação à ordem a ser adotada

na escrita das parcelas da adição: o número maior em cima, e o menor embaixo dele. Possi-

velmente essa recomendação se origina da incorporação de uma prática herdada do uso do

ábaco.

Quanto à instrução ao estudante no sentido de, quando a soma dos números em uma

coluna exceder 10, escrever o algarismo da ordem menor e carregar o algarismo da ordem

seguinte para a próxima coluna, Swetz comenta:

Claramente, o conceito físico de ‘carregar’ (portare) um número para a coluna seguinte

deve sua origem ao ábaco, no qual um excesso de fichas em uma coluna ou linha requereria

uma transferência física ou carregamento de fichas para uma posição de ordem superior.

Nessa aritmética, o número carregado é somado ao algarismo que está na posição mais

embaixo na coluna adjacente à esquerda, na qual a adição começa novamente de baixo

para cima. Nem todos os autores antigos usam esse formato: alguns efetuam a adição da

esquerda para a direita e escrevem a soma em cima ou ao lado da fileira das parcelas. (Swetz,

1989, p. 188-189)


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O que podemos notar, então, é que, conquanto o algoritmo seja o mesmo que conhece-mos e usamos até hoje, a exposição do Primeiro Autor é portadora de sinais característicos claros das práticas abacistas, ainda muito frequentes no século XV.

Para concluir estas considerações contextualizadas em relação ao texto do Primeiro Au-tor, resta-nos focalizar o seu estilo conciso, marcado pelo ‘Faça desta maneira’, que mostra a concepção metodológica clara do ‘aprender fazendo’, sem a explicitação das razões dos procedimentos. Tal característica não é exclusiva da Aritmética de Treviso, e está presente também em muitos outros autores antigos de aritméticas. Esse enfoque, evidentemente, gasta menos palavras – pudemos notar que o texto do Primeiro Autor é menos extenso do que o do Segundo Autor.

Por outro lado, a brevidade do texto está associada ainda ao fator econômico, uma vez que a impressão era dispendiosa e que havia dificuldades específicas na confecção de textos matemáticos. Uma outra explicação para o estilo sucinto estaria no fato de o livro ter sido planejado para ser usado sob a orientação de um mestre de cálculo, ou então em uma au-toinstrução aplicada, na qual o leitor teria de se esforçar realizando um trabalho suplementar para chegar a uma compreensão mais completa do material exposto na obra. O autor não teria, pois, a intenção de escrever um texto abrangente, completo: o livro de Treviso não é uma obra teórica sobre aritmética, à maneira dos acadêmicos da época que se expressavam em latim. É, sim, um livro no qual se aprendiam conhecimentos matemáticos – os símbolos e técnicas da aritmética e os métodos do cálculo comercial, e se desenvolvia alguma apreciação sobre as aplicações dessa matemática.

Finalmente, o trecho comentado neste artigo integra a discussão realizada pelo Primei-ro Autor sobre as cinco operações essenciais para o aprendizado dos métodos aritméticos comerciais – trata-se da parte voltada fundamentalmente para preparar os estudantes para resolver problemas comerciais nas ocupações mercantis – são esses problemas que tomam o maior número de páginas do livro e, portanto, constituem seu objeto principal. O acento da Aritmética de Treviso cai, assim, não no aprendizado fundamentado das técnicas do cálculo aritmético, mas na aquisição de familiaridade com as mesmas como requisito básico para o domínio das aplicações demandadas no quotidiano mercantil. Em outras palavras, e usando uma metáfora muito comum, os algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão constituem a entrada, não o prato principal do livro renascentista.

Passemos a abordar novamente o trabalho do Segundo Autor.

Mais de trezentos anos separam os dois textos de aritmética que estamos analisando, pois o nosso Segundo Autor, o marquês de Condorcet, escreveu a sua Aritmética, livro de onde extraímos o trecho inicial da Quarta Lição, em 1794. Esse tratado inacabado devido à morte de seu autor, quando fugia da perseguição do governo do Terror durante a Revolu-ção Francesa, é um manual didático redigido com a intenção de participar de um concurso promovido por esse mesmo governo para selecionar os livros elementares a serem usados na instrução pública. A realização do concurso resultava de um aspecto característico da política educacional da França revolucionária – a composição de livros didáticos destinados a todo o país como praticamente o único meio de efetuar reformas no ensino. (Schubring, 1989).


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Devemos enfatizar que o próprio Condorcet foi o responsável por um importante projeto

para o ensino no qual eram propostas a elaboração desses livros elementares e a escolha dos

manuais a serem financiados pela república por meio de um concurso público.

Na verdade, a situação da França do Antigo Regime era completamente ineficiente em

relação à escolarização, num momento em que o país precisava de uma mão de obra mais

preparada considerando-se seu contexto socioeconômico. Furet e Ozouf (1977) descrevem

o quadro da instrução nesse período dizendo que somente após alguns anos passados na

aprendizagem da leitura e da escrita, poucos estudantes – aqueles de melhor condição mate-

rial – tinham acesso aos rudimentos da aritmética. E essa educação precária ainda se manti-

nha sob o controle direto e constante da Igreja; na convocação dos Estados Gerais, em 1789,

apresentaram-se vigorosas reivindicações quanto à instrução da população.

Com a Revolução, tomaram-se medidas contra o clero que levaram ao fechamento de

muitas escolas católicas, e transferiu-se para os poderes civis a supervisão da educação pú-

blica. Propuseram-se, então, vários planos para essa educação entre os quais o de nosso

Segundo Autor.

Historicamente, assim, o segundo texto aqui focalizado insere-se no começo da Idade

Contemporânea, no momento em que a burguesia, cuja visão de mundo abraçava funda-

mentalmente o Liberalismo com seus princípios básicos de liberdade, individualismo, igual-

dade, propriedade, democracia, obtinha seus primeiros triunfos. O interesse dos governos

revolucionários franceses pela instrução pública – uma concessão ao povo que apoiava tal

burguesia – está fortemente ligado ao programa de hegemonia dessa classe.

No entanto, os estudos de Condorcet acerca da educação começaram bem antes dos

acontecimentos revolucionários, e ele integra a face mais democrática dentre os autores de

planos de educação pública da Revolução (Lopes, 1981). Na Primeira Memória sobre a Instru-

ção Pública, em 1790, escreve: A sociedade deve ao povo uma instrução pública como meio

de tornar real a igualdade de direitos. Afirmando a existência de uma desigualdade natural

entre os homens, acrescenta que para garantir a igualdade de direitos prevista na lei, é su-

ficiente que cada indivíduo seja instruído de forma a não depender daqueles que possuem

conhecimentos que ele não tem. Entre esses conhecimentos comparece a aritmética:

... (aquele) que ignora a aritmética depende realmente do homem mais instruído, ao qual é

obrigado a recorrer incessantemente. Ele não é igual àqueles a quem a educação deu esses

conhecimentos. Ele não pode exercer os mesmos direitos com a mesma extensão e a mesma

independência... Mas o homem que sabe as regras da aritmética, necessárias para os usos da

vida, não está na dependência do sábio, que possui no mais alto grau o gênio das ciências

matemáticas, e cujo talento lhe será de uma utilidade muito real, sem jamais poder impedi-lo

do gozo de seus direitos... (Condorcet, apud Buisson, 1929, p. 56).

A visão de nosso Segundo Autor contempla, pois, a instrução em geral e o ensino da

aritmética em particular como uma contribuição indispensável no sentido de tornar real a

igualdade de direitos entre os cidadãos proclamada pela lei, devendo o primeiro grau de

ensino previsto em seu projeto de instrução pública (Condorcet, 1997) ser acessível a todos


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os franceses. Dessa forma, a aritmética de seu livro elementar deveria ser ensinada a todas

as crianças na escola primária. Segundo Schubring (1989), todavia, não se tem qualquer in-

formação sobre a utilização efetiva do manual, cujo uso nas escolas primárias foi autorizado

pelo Estado cinco anos após a morte de seu autor.

Como pudemos notar no trecho referente ao algoritmo da adição reproduzido neste

texto, a concepção metodológica de Condorcet envolve necessariamente a compreensão

dos procedimentos a partir das propriedades do sistema de numeração decimal e, por isso,

ele gasta mais espaço em sua abordagem do que o autor da Aritmética de Treviso para tratar

do mesmo assunto. A forma escolhida para a apresentação dos algoritmos das demais ope-

rações também compreende muitas palavras, pouca formalização matemática, e nenhuma

ilustração, o que reflete a época do manual (Picard, 1989), em que, devemos recordar, a

imprensa já avançou muito desde o final de século XV, tempo do Primeiro Autor.

A motivação para os algoritmos e a preocupação patente em tornar claras as razões de

tudo o que é feito estão presentes não apenas no trecho que analisamos, mas em todo o

livro. Condorcet manifesta seu ponto de vista a respeito disso no prefácio:

Pareceu-me que em geral nada se deveria ensinar às crianças sem lhes ter explicado e

feito sentir os motivos. Esse princípio me parece essencial na instrução, mas eu o creio muito

vantajoso sobretudo em aritmética e geometria. Assim, os elementos dessas ciências não

devem apenas ter como objetivo preparar as crianças para executar seguramente e facilmen-

te em seguida os cálculos dos quais podem ter necessidade, mas devem ainda lhes mostrar

elementos de lógica, e servir para desenvolver nelas a faculdade de analisar suas ideias, de

raciocinar com justeza.” (Condorcet, 1989, p. 19)

Assim, nosso Segundo Autor embora tenha, como o Primeiro Autor, o propósito do do-

mínio das técnicas operatórias pelos estudantes, não deseja nem crê que tal domínio ocorra

por meio da repetição e da memorização mecânicas: acredita na potencialidade da educação

aritmética de desenvolver as faculdades intelectuais dos alunos, desde que seja realizada com

ênfase na compreensão.

Uma característica do manual que não podemos deixar de mencionar é o fato de conter,

após o texto para o estudo dos alunos, orientações aos professores, específicas para cada

uma das lições que é apresentada. Especificamente quanto ao algoritmo da adição, focaliza-

do neste artigo, ele recomenda que o mestre trabalhe muitos exemplos com os estudantes,

mas que cuide para que eles se tornem autônomos, a fim de que não adquiram o hábito de

repetir as palavras ‘escrevo’, ‘guardo’, sem reflexão, e por meio de uma memória por assim

dizer automática. (Condorcet, 1989, p. 120)

A leitura comparativa dos dois trechos referentes à adição de números naturais mostrou-

-nos diferenças claras, as quais tentamos, inicialmente, destacar mediante um enfoque in-

terno ao conteúdo dos textos. Em seguida, no que acabamos de expor, procuramos situar

esses textos quanto ao entorno de sua produção a fim de enxergar, sob outro prisma, essas

diferenças. Os dois modos de ensinar a aritmética ganham significação em dois tempos: dois

contextos históricos distintos de educação matemática.


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Dois modos em dois tempos: comentários finais

Na leitura dos textos didáticos aqui focalizados, colocamos em evidência uma dicotomia

entre um modo que poderíamos denominar ‘aprender fazendo’, predominante no trabalho

do Primeiro Autor, um mestre de cálculo da república de Veneza no século XV, e um ou-

tro modo que batizaríamos como ‘aprender compreendendo’, indispensável no escrito do

Segundo Autor, um filósofo francês do Século das Luzes. É claro, como tentamos mostrar,

que essas expressões pelas quais estamos chamando em dois estilos, ainda que traduzam a

essência de duas concepções metodológicas, são insuficientes para revelar todos os aspectos

envolvidos nas duas célebres aritméticas aqui abordadas. Todavia, essa dicotomização nos

serve como ponto de partida para considerar a inadequação e as limitações de uma análise

de concepções, materiais e práticas na educação matemática dissociada das muitas variáveis

sociais e culturais que sempre a compõem.

De fato, ao comparar mediante uma leitura descontextualizada o modo de ensinar do

Primeiro Autor – que parece não se preocupar com a compreensão do significado dos pro-

cedimentos que vai ditando ao leitor – com o do Segundo Autor que, diferentemente, quer

evidenciar a quem o lê os motivos de tudo aquilo que é exposto, não alcançamos uma sig-

nificação completa de ambos os textos. Certamente vamos simpatizar mais com o Segundo

Autor, mais próximo do que concebemos como o tratamento adequado da matemática na

escola. Também queremos que os nossos alunos dominem as técnicas do cálculo aritmético

entendendo-as e não simplesmente memorizando-as mecanicamente; assim, identificamo-

-nos mais com a atitude do filósofo iluminista. Defendemos, como Condorcet, que ao lado

da dimensão instrumental da matemática escolar esteja sempre presente a dimensão for-

mativa – enfatizamos a contribuição da matemática no desenvolvimento das faculdades do

intelecto das crianças, dos adolescentes, dos jovens e adultos. E particularmente em relação à

aritmética, no contexto atual em que a destreza no uso dos algoritmos usuais é menos posta

em relevo, se incentiva a utilização das calculadoras e se valorizam procedimentos pessoais

dos alunos bem como as estimativas e o cálculo mental (Brasil, 1997), o enfoque de nosso

Segundo Autor é, sem dúvida, muito pertinente.

Contudo, a abordagem do mestre de Treviso, como comenta Swetz (1989), não era

somente adequada, mas desejável para as necessidades do século XV, em que um jovem fre-

quentador das escolas de cálculo o fazia por pouco tempo – era uma educação dispendiosa.

Esse jovem logo entrava como aprendiz na profissão comercial e continuava a aprender a

aritmética de que precisava. Swetz especula que talvez após vários anos de trabalho e asso-

ciação com outros mestres, um calculador poderia de fato começar a pesquisar os ‘porquês’

da aritmética. A atitude do Primeiro Autor decorre ainda da inexistência da intenção de

escrever um compêndio enciclopédico de conhecimentos mercantis e técnicas matemáticas;

como diz o nome usado na época – Practica – seu livro é claramente orientado para objetivos

mais imediatos.

Assim, se a leitura e a análise dos textos do passado limitar-se a apresentar descrições

das abordagens adotadas para os conteúdos matemáticos, provavelmente encontraremos

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vários aspectos curiosos e interessantes, mas teremos uma visão restrita do significado da

matemática, da educação matemática e das relações entre elas e as sociedades em que se

desenvolveram.”

Referências bibliográficas:

BOYER, Charles. História da Matemática. Revista por Uta C. Merzbach. Tradução de Elza F.

Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1996.

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. Informe sobre la organización general de la instrucción pública. In: Bosquejo

de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano y otros textos. Tradução de

Francisco González Aramburo. Cidade do México: Fondo de Cultura econômica, 1997.

FURET, François & OZOUF, Joseph. Lire et écrire: l’alphabétisation des français de Calvin à

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LOPES, Eliane Marta T. S. Origens da educação pública: A Instrução na Revolução Burguesa

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PICARD, Nicole. Notes et commentaires sur les “Moyens...”. In: CONDORCET, J. A. N. C.

Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité. Appareil critique – études,

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SCHUBRING, Gert. Introduction: Um savant des lumières. Un livre élémentaire pour la répu-

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1989.

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Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 1997.

SWETZ, Frank J. Capitalism and Arithmetic (second printing). La Salle: Open Court, 1989.

GOMES, Maria Laura Magalhães (Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG).

Dois tempos e modos de ensinar a aritmética. Revista História & Educação Matemática.

Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática, v. 2, n. 2, 2002. p. 173-186.


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4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas

Como trabalhar leitura, escrita e oralidade nas aulas de Matemática?

Essa pergunta está presente no cotidiano tanto de professores que ainda não estão seguros de como desenvolverão essas habilidades quanto daqueles que já têm ações nesse sentido e querem melhorar sua prática.

Para focar esse tema, compilamos quatro textos para informação e reflexão. As fontes são variadas: documentos oficiais, artigos de revistas especializadas em educação e contribuições de professores presentes em sites de qualidade especializados em educação matemática.

A leitura e a escrita na sala de aula de Matemática tem sido um tema cada vez mais pre-sente nas produções brasileiras na área de Educação Matemática. No ano de 2010 a revista Zetetiké, do CEMPEM – Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática, da UNICAMP – dedicou uma edição especial ao tema “Linguagem e Práticas Socioculturais: perspectivas para a Educação Matemática”. Essa edição da revista pode ser acessada integral e gratuitamente no endereço: <www.fe.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id545>. Acesso em: mar. de 2012.

Sugestão de atividade contemplando a História da Educação Matemática, leitura, escrita e oralidade

Você pode propor que os alunos pesquisem junto aos pais, avós e conhecidos exemplos de experiências escolares antigas relativas à Matemática. Vários conceitos podem ser abordados dessa maneira, dependendo do momento de escolaridade. Por exemplo: “O que é a Prova dos Noves?”, “Como se ensinava a tabuada no seu tempo?”, “O que se aprendia no primário/secundário em outros tempos?”, “Como se resolviam os problemas na aula de Matemática?”, “Como eram os livros didáticos?”, entre outras questões nessa direção. Essas experiências de-vem ser registradas e comunicadas aos demais colegas de classe.

Uma atividade dessa natureza pode envolver vários componentes, como Língua Portuguesa e História, e é uma estratégia para desenvolver a escrita, a oralidade e a habilidade de síntese, pois a necessidade de comunicação favorece a compreensão. É preciso organizar claramente as ideias para transmiti-las aos outros colegas. Esse esforço de ultrapassar sua própria compreen-são (e suas estratégias para compreender algo) leva o aluno a refletir sobre o conceito/conteúdo para torná-lo claro aos demais alunos, o que implica aprendizado significativo.

4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002

“A Matriz de Competências do ENEM pressupõe que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos, no sentido amplo do termo, não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todas as áreas e disciplinas que estruturam as ati-vidades pedagógicas na escola. O participante deve, portanto, demonstrar, concomitantemen-te, possuir instrumental de comunicação e expressão adequado, tanto para a compreensão de um problema matemático quanto para a descrição de um processo físico, químico ou biológico


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e, mesmo, para a percepção das transformações de espaço/tempo da história, da geografia e da literatura.”

4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em MatemáticaComo ficou explicitado acima, formar um aluno competente em leitura, interpretação e

escrita não é responsabilidade somente do professor de Língua Portuguesa. Cada tipo de texto, romance, poema, notícia de jornal, texto científico, manual de instruções, relatório, enfim, tem características próprias e requer habilidades leitoras diferenciadas. O aluno precisa construir essas habilidades por meio do trabalho pedagógico de todos os componentes curriculares.

Consideramos que o objetivo final é formar indivíduos capazes de:

• Ler criticamente textos presentes em diferentes suportes (livros, jornais, revistas, internet, manuais etc.) construindo significados para esta leitura.

• Mobilizar conhecimentos prévios utilizando-os para alcançar a compreensão do que lê.

• Variar as estratégias de leitura em função dos objetivos desta.

• Organizar e expressar o conhecimento obtido por meio da oralidade ou da escrita.

• Perceber as diversas funções da leitura: ler para aprender, para se informar, por necessi-dade, por prazer.

O professor de Língua Portuguesa pode e deve ajudar seus colegas, pois provavelmente terá informações valiosas para melhorar o trabalho dos demais docentes. No entanto, aprender a ler em Matemática envolve a participação efetiva do professor em suas aulas. É importante ressaltar que esse trabalho deve ser constante, desenvolvendo, ao longo da vida escolar, hábitos e procedimentos de leitura que acabem por se incorporar à rotina do estudante.

Apresentaremos a seguir algumas sugestões para o trabalho em sala de aula tendo por base o livro didático.

• Ler todos os textos do livro, escolhendo quais serão trabalhados em sala de aula para desenvolver as habilidades de leitura, escrita e oralidade.

• Ter claro qual o objetivo da leitura de cada texto. O aluno precisa saber por que lerá o texto e para que aspectos deve voltar sua atenção.

• Mapear os textos com base nos objetivos de leitura: serão lidos na íntegra ou só em parte? A leitura será feita em classe ou em casa? A resolução de atividades dos boxes permeará a leitura?

• Criar estratégias diversificadas de leitura.

Exemplos:

• Leitura individual silenciosa identificando no texto palavras-chave previamente indicadas pelo professor. Na seleção das palavras-chave é importante contemplar termos próprios da Matemática: incógnita, radical, expoente etc. Terminada a leitura, o professor pode mediar a discussão dos alunos em torno das palavras-chave e seus significados, retomando sempre que necessário a leitura de trechos


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mais importantes do texto. O registro das informações, conceitos, conclusões sobre o texto e exemplos pode ser feito no quadro.

• Leitura de imagens. Solicita-se que observem somente fotos, gráficos, diagramas etc., presentes no texto, sem lê-lo. Pergunta-se, por exemplo: que informações ou conhecimentos você identifica nestas imagens? O que já conhecemos? O que há de novo para você? Observando as imagens temos uma ideia do assunto do texto? Essa estratégia costuma motivar os alunos para a leitura do texto integral, que deve acontecer depois dos questionamentos. É uma forma que pode ser eficiente para resgatar conhecimentos prévios. Uma variação é pedir que leiam previa-mente os boxes presentes no texto e aí procurem no texto as informações que precisam para responder às questões.

• Criar muitas oportunidades para os alunos expressarem oralmente e por es-crito suas ideias. O texto 3 deste item discute particularmente esse assunto. Veja exemplos simples de trabalho com a oralidade e a escrita nas aulas de Ma-temática. Usamos aspas para apresentar as ações do professor:

– Durante a correção de exercícios:

“Eu resolvi o problema desta forma: Alguém pensou em uma estratégia dife-rente? Quem quer vir ao quadro mostrar seu raciocínio para os colegas?”

– No desenvolvimento do tema polígonos:

“Todo quadrilátero é um paralelogramo. Quem acha que essa afirmação é ver-dadeira? Quem acha que é falsa? Expliquem sua opinião para os colegas.”

– Numa tarefa de casa pede-se:

“Explique com palavras como você ensinaria uma pessoa que não sabe operar

com frações a calcular 52

�

16

�

34

.”

Como dissemos, as sugestões têm foco nos textos do livro didático, mas é importante pro-piciar a leitura de textos de todos os tipos. Procure explorar também jornais, internet, textos técnicos etc.

“A palavra comunicação esteve presente durante muito tempo ligada a áreas curricula-res que não incluíam a Matemática. Pesquisas recentes afirmam que, em todos os níveis os alunos devem aprender a se comunicar matematicamente e que os educadores precisam es-timular o espírito de questionamento e levar os seus educandos a pensar e comunicar ideias.

A predominância do silêncio, no sentido de ausência de comunicação, é ainda comum em Matemática. O excesso de cálculos mecânicos, a ênfase em procedimentos e a lingua-gem usada para ensinar Matemática são alguns dos fatores que tornam a comunicação pouco frequente ou quase inexistente.

4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem


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Se os educandos são encorajados a se comunicar matematicamente com seus colegas, com o educador ou com os pais, eles têm oportunidade para explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto.

Assim, aprender Matemática exige comunicação, no sentido de que é através dos recur-sos de comunicação que as informações, conceitos e representações são veiculados entre as pessoas. A comunicação do significado é a raiz da aprendizagem.

Promover comunicação em Matemática é dar aos alunos a possibilidade de organizar, explorar e esclarecer seus pensamentos. O nível ou grau de compreensão de um conceito ou ideia está intimamente relacionado à comunicação bem-sucedida deste conceito ou ideia.

Dessa forma, quanto mais os alunos têm oportunidade de refletir sobre um determina-do assunto, falando, escrevendo ou representando, mais eles compreendem o mesmo.

Somente trocando experiências em grupo, comunicando suas descobertas e dúvidas e ouvindo, lendo e analisando as ideias do outro é que o aluno interiorizará os conceitos e significados envolvidos nessa linguagem de forma a conectá-los com suas próprias ideias.

A capacidade para dizer o que se deseja e entender o que se ouve ou lê deve ser um dos resultados de um bom ensino de Matemática.

Essa capacidade desenvolve-se quando há oportunidades para explicar e discutir os re-sultados obtidos e para testar conjecturas.

A oralidade em MatemáticaEm toda nossa vida de falantes, a oralidade é o recurso de comunicação mais acessível,

que todos podem utilizar, seja em Matemática ou em qualquer outra área do conhecimen-to, é um recurso simples, ágil e direto de comunicação que permite revisões quase que instantaneamente, que pode ser truncada e reiniciada, assim que se percebe uma falha ou inadequação, independentemente da idade e série escolar.

Criar oportunidades para os alunos falarem nas aulas faz com que eles sejam capazes de conectar sua linguagem, seu conhecimento, suas experiências pessoais com a linguagem da classe e da área do conhecimento que se está trabalhando. É preciso promover a comu-nicação pedindo que esclareçam e justifiquem suas respostas, que reajam frente às ideias dos outros, que considerem pontos de vista alternativos.

Na essência, o diálogo capacita os alunos a falar de modo significativo, conhecer outras experiências, testar novas ideias, conhecer o que eles realmente sabem e o que mais preci-sam aprender.

A partir da discussão estabelecida, das diferentes respostas obtidas, o educador será capaz de aprender mais sobre o raciocínio de cada aluno e poderá perceber a natureza das respostas, realizando assim intervenções apropriadas.

A comunicação oral favorece também a percepção das diferenças, a convivência dos alunos entre si, o exercício de escutar um ao outro numa aprendizagem coletiva. Possibili-tando também aos alunos terem mais confiança em si mesmos, se sentirem mais acolhidos e sem medo de se exporem publicamente.


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A comunicação escritaA escrita é o enquadramento da realidade. Quando escrevemos não podemos ir para

tantos lados como no oral, ela prevê um planejar, esse planejar não é necessariamente escri-to, mas auxilia na escrita. Portanto, o oral antecede a escrita e nesse sentido a escrita pode ser usada como mais um recurso de representação das ideias dos alunos.

Temos observado que escrever sobre Matemática ajuda a aprendizagem dos alunos de mui-tas formas, encorajando reflexão, clareando ideias, e agindo como um catalisador para as discus-sões em grupo. Escrever em matemática ajuda o aluno a aprender o que está sendo estudado.

Além disso, a escrita auxilia o resgate da memória e muitas discussões orais poderiam ficar perdidas se não as tivéssemos registrado em forma de texto. A História, como disciplina, originou-se graças a esse recurso – escrita de recuperação da memória.

Trabalhar essas diferentes funções da escrita em sala de aula leva o aluno a procurar descobrir a importância da língua escrita e seus múltiplos usos.

Os textos servem para informar alguma coisa ou para dar ao outro o prazer de ler. Nesse sentido, os alunos precisam entender que ao produzir um texto é preciso se preocupar com as informações, com as impressões e se necessário com as instruções.

A escrita também sofre evolução à medida que o educador tiver o cuidado nos momen-tos de correção de não usar um modelo único, mas diversificá-lo, tendo a preocupação de escrever o melhor possível para que a sua comunicação seja o mais eficiente possível.

Sugestões para auxiliar a melhoria dos processos de comunicação nas aulas de Matemática:

• Explorar interações nas quais os alunos explorem e expressem ideias através de discus-são oral, da escrita, do desenho de diagramas, da realização de pequenos filmes, do uso de programas de computador, da elaboração e resolução de problemas.

• Pedir aos alunos que expliquem seu raciocínio ou suas descobertas por escrito.

• Promover discussões em pequenos grupos ou com a classe toda sobre um tema.

• Valorizar a leitura em duplas dos textos no livro didático.

• Propor situações-problema nas quais os alunos sejam levados a fazer conjecturas a partir de um problema e procurar argumentos para validá-las.

Com esse trabalho nossos objetivos são levar os alunos a:

• Relacionar materiais, desenhos, diagramas, palavras e expressões matemáticas com ideias matemáticas.

• Refletir sobre e explicar o seu pensamento sobre situações e ideias matemáticas.

• Relacionar a linguagem de todos os dias com a linguagem e os símbolos matemáticos.

• Compreender que representar, discutir, ler, escrever e ouvir Matemática são uma parte vital da aprendizagem e da utilização da Matemática.

• Desenvolver compreensões comuns sobre as ideias matemáticas, incluindo o papel das definições.

• Desenvolver conjecturas e argumentos convincentes.

• Compreender o valor da notação matemática e o seu papel no desenvolvimento das ideias matemáticas.


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A avaliação e a comunicação

A avaliação tem a função de permitir que educador e educando detectem pontos frágeis,

certezas e que extraiam as consequências pertinentes sobre para onde direcionar posterior-

mente a ênfase no ensino e na aprendizagem. Ou seja, a avaliação tem caráter diagnóstico,

de acompanhamento em processo e formativo.

Nesta proposta a avaliação é concebida como instrumento para ajudar o aluno a apren-

der. Assim, o educador revê os procedimentos que vem adotando e replaneja sua atuação,

enquanto o educando vai continuamente se dando conta de seus avanços e dificuldades.

A avaliação só é instrumento de aprendizagem quando o educador utiliza as informações

conseguidas para planejar suas intervenções, propondo procedimentos que levem o educan-

do a atingir novos patamares de conhecimento.

O recurso da comunicação, nesse sentido, é essencial, pois no processo de comunicar o

educando nos mostra ou fornece indícios de que habilidades ou atitudes está desenvolvendo

e que conceitos ou fatos domina, apresenta dificuldades ou incompreensões. Os recursos da

comunicação são novamente valiosos para interferir nas dificuldades encontradas ou para

permitir que o educando avance mais, propondo-se outras perguntas, mudando-se a forma

de abordagem.

Como podemos ver, há muitas vantagens em estimular a comunicação nas aulas de Ma-

temática.

Que tal você tentar?”SMOLE, Kátia C. S.; DINIZ, Maria I. Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem.

Disponível em: <www.mathema.com.br/reflexoes/comunicacao_mat.html>. Acesso em: fev. 2009.

4.3.4 Leitura na escola

O texto a seguir é parte do artigo intitulado “Uma reflexão acerca das competências leitoras e

das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática”, assinado por Emilio

Celso de Oliveira e Célia Maria Carolino Pires.

O artigo está disponível na íntegra no endereço eletrônico: <www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.

br/index.php/bolema/article/view/4300/3434>.

Leitura na escola“As considerações acerca dos problemas e dificuldades de apropriação de práticas de

leitura no espaço educativo nos levaram ao estudo das pesquisas de Lerner, Foucambert, Soares, Solé, e Koch e Elias.

Lerner (2002, p. 76) faz uma instigante análise das mazelas que envolvem o trabalho escolar no que diz respeito à questão da leitura. A autora constata que a leitura apare-ce desvinculada dos propósitos que lhe dão sentido no uso social, destacando que cada


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situação de leitura precisa apresentar dois propósitos: por um lado, ensinar e aprender algo sobre a prática social da leitura; por outro, cumprir com um objetivo que tenha sen-tido na perspectiva imediata do aluno. Lerner centra sua crítica ao controle rigoroso do processo de aprendizagem do aluno, levando à produção artificial de textos específicos para o ensino, que pretensamente respeitem a maturidade do leitor, pela graduação que vai do simples ao complexo. Como resultado, a elaboração teórica de Lerner (2002, p. 80) sinaliza que a ação educativa com a leitura, para ser efetiva, torna-se uma iniciativa que tem como pressuposto a articulação dos objetivos didáticos – referentes ao ensino e à aprendizagem – e os propósitos imediatos da situação social que lhe confere sentido.

Foucambert (1997, p. 95-99) apresenta um conjunto de fundamentos ou caracterís-ticas comuns, advindos das mais diferentes motivações e modalidades de práticas sociais que definem o ato de ler, ou, em nosso entendimento, as competências leitoras. A primei-ra dessas características é a percepção da intencionalidade em relação ao texto, que faz o leitor definir um projeto de leitura pelo qual reconhece as modalidades e os objetivos do texto.

A segunda característica é que a leitura, como qualquer comunicação, exige que se invista uma quantidade de informações bastante superior àquela que se extrai. Assim, o conhecimento prévio do leitor é posto em ação no trabalho de leitura, sendo que, quanto mais experiência tivermos como leitores em sentido amplo, mais competência ativaremos no momento de atribuir significados aos textos de interesse nas situações sociais.

A terceira característica diz respeito à experiência linguística, pois a competência do leitor se manifesta ao organizar as possibilidades semânticas, à medida que o fluxo de leitura pelo material gráfico vai acontecendo, de forma a transformar informação gráfica em significados.

A quarta característica está relacionada ao projeto específico que leva o leitor ao tex-to, no tipo de investigação buscada, podendo ser uma leitura de correção ortográfica, de triagem de texto, de estilo, de ponto de vista, de funcionamento do discurso.

A quinta característica inerente ao ato de ler reside na possibilidade de emancipação do leitor, na medida em que o contato com os diferentes textos aguça ainda mais a von-tade de busca de sentido em outros textos.

A sexta e última característica diz respeito à consciência da intertextualidade, e refere-se à competência leitora relacionada à concepção de que um texto é um nó em uma trama de outros textos, o que permite inferir que toda leitura é uma leitura em rede.

Como resultado, essas características definem, em nosso entendimento, competên-cias leitoras que o aluno precisa desenvolver conjuntamente com o trabalho do professor, não só de língua materna, mas de qualquer área do conhecimento.

Soares (2002) preconiza que ao professor de matemática e de outras áreas cabe a res-ponsabilidade de ser um parceiro do professor de língua materna em relação ao compro-misso de aprendizagem de estratégias de leitura. Consideramos que o texto matemático, ao apresentar aspectos específicos, necessita de conhecimentos por parte do leitor, sendo


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o professor de matemática o mediador qualificado na interação ativa do aluno durante o processo de compreensão e interpretação.

Solé (1998, p. 73-74), ao tratar da leitura na escola, apresenta um conjunto de ques-tões que o professor pode formular ao aluno-leitor para orientá-lo no processo de com-preensão do que se lê. A autora verifica que o trabalho do professor em qualquer aula é excessivamente centrado na estratégia de fazer perguntas aos alunos. Para superar esse centralismo, ela propõe que as estratégias de leitura sejam organizadas pelo professor em três momentos: antes, durante e depois da leitura.

Nesses momentos, o trabalho com o texto progressivamente passa por três etapas: a etapa do modelo, em que o professor lê em voz alta o texto, tanto para verbalizá-lo como para comentar dúvidas, falhas de compreensão e os mecanismos que utiliza para resolvê-las; a etapa de participação do aluno, em que o professor transfere a este a res-ponsabilidade de interagir e buscar a compreensão do texto, por suas próprias estratégias, afastando-se aos poucos da tutela do professor; e a etapa de leitura silenciosa, que tem como finalidade transferir autonomia ao aluno em refazer o trabalho das etapas anterio-res, ou seja, estabelecer os objetivos de leitura, levantar e verificar hipóteses, detectar e resolver falhas de compreensão. Esse resultado é de interesse, porque tais momentos e etapas de compreensão leitora podem ser apropriados pelo professor de matemática nas práticas que fazem uso de textos que tratem do conhecimento matemático.

Koch e Elias (2008, p. 31) tomam como pressuposto básico a concepção de que o texto é lugar de interação de sujeitos sociais que, dialogicamente, nele se constituem e são constituídos; e que, por meio de ações linguísticas e sociocognitivas, autor e leitor constroem significados e partilham sentidos, sendo que, em todo e qualquer texto, im-plícitos dos mais variados tipos emergem na leitura pela mobilização de estratégias de compreensão para reconstituir o contexto sociocognitivo no interior do qual se encontram os atores sociais.

Dentre a variedade de textos, são de especial interesse para o professor de matemáti-ca os enunciados de problemas, porque envolvem atividade da investigação científica que remete ao fazer do matemático e de pesquisadores de ciências.

Polya (1978, p. 1-11) desenvolve uma abordagem na resolução de problemas na qual está presente a preocupação com o desenvolvimento das competências leitoras e escri-toras, como investigadas por nós. Além disso, subjaz o interesse pelo processo de apren-dizagem da atitude científica, por meio de uma metodologia de resolução de problemas que seja de interesse à matemática, mas que possa ser aplicada a outras áreas das ciências naturais.”

OLIVEIRA, Emilio Celso de; PIRES, Célia Maria Carolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática.

Bolema, Rio Claro (SP), v. 23, n. 37, p. 931 a 953, dezembro 2010.

Nota dos autores: Professor, apresentamos a metodologia proposta por Polya no item 4.2 deste manual.


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4.4 O comprometimento com o próprio aprendizadoSabemos que o compromisso do aluno com sua própria aprendizagem é uma das premissas para

o sucesso escolar. No entanto, jovens com idade entre 11 e 17 anos vivem uma fase de descobertas, repleta de novos interesses, todos mais “importantes”, para eles, do que as aulas e o estudo.

As constantes “broncas” e “sermões” sobre a necessidade de dedicar-se aos estudos não costu-mam funcionar. Ao contrário, podem gerar um clima hostil entre professor e aluno:

— Os alunos não querem saber de nada!

— O professor é muito chato, não me entende!

Uma proposta é tentar fazer com que os estudantes tornem-se parceiros do professor no pro-cesso de ensinar e de aprender.

Para que essa parceria se desenhe, o aluno precisa sentir que seu professor quer que ela acon-teça. Isso requer uma postura de acolhimento, de vontade, de entusiasmo por parte do mestre. É importante tornar efetiva a participação do aluno no desenvolvimento do curso. Por exemplo: antes do início de um conteúdo, o professor propõe um cronograma de trabalho, com o número de aulas previsto para cada item, compartilhando com eles os objetivos do assunto e as atividades que farão: trabalhos, provas, leituras etc. Tudo isso, é claro, dentro do nível de compreensão e de atuação dos estudantes. Uma ficha pode ajudar nessa tarefa:

Assunto Objetivos PeríodoNúmero de aulas previstas

Palavras- -chave

LeiturasAtividades avaliativas

Conjuntos numéricos

Compreender os diversos tipos de números como

criações humanas, analisando as

necessidades que levaram à criação.

Classificar os números em conjuntos.

3/3 a 24/3

15

Números naturais, inteiros,

racionais, reais,

dízimas, �, números

irracionais, reta

numérica.

p. 7,8,9

p. 11 e 12

p. 14 e 15

p. 17 e 18

p. 20,21,22

p. 25 e 27

Texto de criação coletiva envolvendo

a ampliação dos conjuntos numéricos.

A ficha, preenchida em conjunto com o aluno, permitirá que ele acompanhe o desenvolvimento do curso, sabendo com antecedência o que será tratado nas aulas, quais os objetivos do assunto, os textos que deverá ler, e em que atividades será avaliado.

No verso da ficha pode ser colocada uma tabela para autoavaliação. Veja o modelo:

Ficha de acompanhamento do meu desempenho

Conteúdo DataTarefa/

Atividade Fácil Média Difícil

Dúvidas, dificuldades,

observações e ideias

Como estou em relação a este item?

Adição e subtração de frações

5/8Exercícios da p. 180.

XÀs vezes esqueço de simplificar o resultado.

Exercícios corrigidos na lousa: só errei o 46, mas agora entendi.


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Não seremos ingênuos a ponto de achar que somente o uso da ficha fará com que os alunos se comprometam com os estudos, mas, sem dúvida, pode contribuir nesse processo. O aluno deve incorporá-la aos poucos, percebendo que não é uma folha de papel a mais, mas sim um instru-mento útil na gestão de seu aprendizado. Para isso, é preciso criar demandas que sistematizem seu uso, tais como:

• Considerá-la como material obrigatório na aula.

• Retomá-la constantemente para verificar o caminho já percorrido, ajustar o cronograma e discutir o aproveitamento.

• Nesses momentos, manter o aluno ativo no processo, levantando questões como:

“O que já aprendemos até aqui? Precisamos retomar alguma coisa? Quais das palavras-chave já conhecemos? Estamos dentro do cronograma? Estamos atrasados (ou adiantados)? Por quê? Quais serão nossas próximas ações?”

• Valorizar muito o aluno que utiliza a ficha para preparar-se previamente, que lê o texto a ser abordado e que traz questões ou dúvidas. Usar, sempre que possível, as observações ou questões trazidas por ele para encaminhar a aula.

• Mostrar que esse aluno aproveita melhor, aprende mais e ajuda a enriquecer a aula, moti-vando os demais a experimentarem como é bom aprender e ensinar.

• Observar e incentivar o uso da ficha de autoavaliação. Se possível, acompanhar ou avaliar os registros periodicamente.

Tudo o que foi proposto precisa ser realizado com constância. Adquirir uma postura e cultivá-la leva tempo e exige paciência. No entanto, se pensarmos que em algum momento teremos alunos assumindo seu papel de forma consciente e participativa no processo de ensino-aprendizagem, todo o esforço terá valido a pena.

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5. Quadro de conteúdos6o ano

Unidade Conteúdo

1 – Sistema de numeração decimal

• Processos de contagem – história dos números

• Noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano

• Sistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos numeraisindo-arábicos

2 – Números naturais

• Sequência dos números naturais

• Sucessor, antecessor, números naturais consecutivos

• Aplicações dos números naturais

• Reta numérica

3 – Adição e subtração de números naturais

• Ideias da adição e da subtração

• Cálculo mental nas adições e subtrações

• Estimativas por arredondamento

• Problemas envolvendo adição e subtração de números naturais

4 – Multiplicação e divisão de números naturais

• As ideias da multiplicação

• Divisão – ideias e algoritmos

• Multiplicação e divisão – operações inversas

• Relação fundamental da divisão

• Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais

• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração

• Cálculo mental de produtos

• Resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais

• Unidades de medida de tempo – problemas

5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais

• Potenciação – significado, representação e cálculos

• Quadrados e cubos

• Expoente zero e expoente 1

• Raiz quadrada de números naturais

• Expressões numéricas

6 – Múltiplos e divisores

• Sequência dos múltiplos de um número

• Fatores ou divisores de um número natural

• Critérios de divisibilidade

• Números primos e decomposição em fatores primos

• Mínimo múltiplo comum

• Divisores comuns e máximo divisor comum

7 – Dados, tabelas e gráficos de barras

• Utilidade dos gráficos

• Dados e tabelas de frequência

• Construção e interpretação de gráficos de barras

• Elaboração e análise de uma pesquisa estatística simples


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8 – Observando formas

• As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano

• Formas planas e não planas

• Blocos retangulares – estudo e planificação

• Ponto, reta, plano e segmento de reta

• Perspectivas e vistas

• Construção de poliedros

9 – Ângulos

• Identificação, elementos e representação

• Medidas de ângulos e uso do transferidor

• Retas paralelas e retas perpendiculares

• Uso dos esquadros

10 – Polígonos e circunferências

• Polígonos – características e nomenclatura

• Triângulos – classificação

• Quadriláteros – classificação

• Polígonos regulares

• Perímetro de polígonos

• Circunferência – definição e elementos

• Uso do compasso

• Simetria nos polígonos e no círculo

11 – Frações

• Frações como partes do inteiro

• Representação e leitura

• Frações de uma quantidade

• Números mistos e frações impróprias

• Frações equivalentes

• Simplificação de frações

• Comparação de frações

• Operações com frações

• Problemas envolvendo frações e suas aplicações

12 – Números decimais

• A notação decimal

• Números decimais e o registro de medidas

• Números decimais na forma de fração

• Comparação de números decimais

• Adição e subtração de números decimais

• Multiplicação e divisão por 10, 100, 1 000, …

• Multiplicação de números decimais

• Divisão de números naturais com quociente decimal

• Divisão de números decimais

• Problemas envolvendo números decimais e suas aplicações

13 – Porcentagens• Significado, representação e cálculos simples envolvendo porcentagens

• Representação decimal de porcentagens

14 – Medidas

• Conceito de medida e de unidade de medida

• Medidas de comprimento no SMD

• Medidas de superfície e área do retângulo

• Relações entre km2, m2 e cm2

• Conceito de volume e volume de um bloco retangular

• Equivalência entre litro e decímetro cúbico

• Medidas de massa


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7o ano

Unidade Conteúdo

1 – Números naturais

Retomada e aprofundamento dos conhecimentos sobre os números natu-rais, abordando:• sequência dos números naturais, sucessor, antecessor, números consecutivos• representação na reta numérica• múltiplos e divisores - mmc e mdc• números primos

2 – Frações e números decimais

• Fração e divisão• Frações equivalentes• Frações e números decimais na reta numérica• Expressões numéricas• Potenciação e raiz quadrada de números decimais• Medidas de tempo

3 – Números negativos

• Aplicações dos números negativos• Comparação• Representação na reta numérica• Módulo e simétrico• Operações com números negativos• Expressões numéricas envolvendo operações com números negativos

4 – Proporcionalidade

• Grandezas e comparação de grandezas• Razões e proporções• Escalas, plantas e mapas• Grandezas diretamente proporcionais• Grandezas inversamente proporcionais

5 – Razões e porcentagens• Representação e cálculo de porcentagens• Descontos e acréscimos• Problemas envolvendo porcentagens

6 – Construindo e interpretando gráficos

• Construção e análise de gráficos de barras e de setores• Pictogramas• Médias

7 – Sólidos geométricos

• Poliedros• Prismas e pirâmides• Poliedros regulares• Cilindros, cones e esferas

8 – Áreas e volumes

• Dimensionalidade• Medidas de superfície – unidades e conversões• Comparação de áreas• Área do retângulo e do quadrado• Cálculo de áreas por composição e decomposição de figuras• Área do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio• Problemas envolvendo o cálculo de áreas• Relações entre unidades de medida de volume e de capacidade

9 – Equações

• Observação de padrões numéricos – generalizações• Uso das letras – linguagem algébrica• Algumas operações com letras• Resolução de equações do 1o grau• Resolução de problemas por meio de equações do 1o grau

10 – Inequações• Desigualdades – símbolos e propriedades• Resolução de inequações• Inequações e problemas

11 – Ângulos e triângulos

• Retomada sobre ângulos• Ângulos suplementares, complementares, opostos pelo vértice• Grau e subdivisões do grau• Bissetriz de um ângulo• Os ângulos nos triângulos• Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo• Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero


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8o ano

Unidade Conteúdo

1 – Conjuntos numéricos

• Números naturais• Números inteiros• Números racionais• Representação dos números racionais• Números irracionais• Pi – um número irracional• Números reais• Os números reais e as operações

2 – Potenciação e notação científica

• Expoentes inteiros• Propriedades das potências• Potências de base 10• Multiplicação por potências de base 10• Notação científica

3 – Radiciação• Aprofundamento sobre raízes• Raízes exatas• Raízes não exatas

4 – Cálculo algébrico

• Retomada de equações• Variáveis• Expressões algébricas• Monômios e polinômios• Operações e expressões algébricas• Simplificação de expressões com letras• Multiplicação de polinômios

5 – Produtos notáveis• Desenvolvimento de produtos notáveis• Aplicações dos produtos notáveis no cálculo algébrico

6 – Fatoração• Principais casos de fatoração• Aplicações da fatoração

7 – Frações algébricas

• Letras no denominador• Condição de existência• Problemas e equações envolvendo frações algébricas• Simplificação de frações algébricas• Operações com frações algébricas

8 – Sistemas de equações

• Problemas do 1o grau com duas incógnitas – representação por meio de um sistema de equações

• Método da substituição• Método da adição• Dízimas periódicas na forma de fração

9 – Retas e ângulos

• Posição relativa entre retas• Ponto médio de um segmento• Retas perpendiculares e paralelas• Distância entre dois pontos• Distância de ponto à reta

10 – Triângulos• Elementos, perímetro e classificação• Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo• Propriedade do ângulo externo

11 – Triângulos: congruência e pontos notáveis

• Congruência de figuras planas• Casos de congruência de triângulos• Mediana, bissetriz e altura em um triângulo• Triângulo isósceles e triângulo equilátero• Maior lado e maior ângulo de um triângulo


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12 – Quadriláteros e outros polígonos

• Elementos e classificação dos quadriláteros• Propriedades dos paralelogramos e dos trapézios isósceles• Ângulos de um polígono

13 – Circunferência e círculo

• Caracterização• Construção de triângulos• Posições relativas de duas circunferências• Posições relativas entre reta e circunferência• Cordas• Arco e ângulo central• Comprimento de um arco• Construção de polígonos regulares• Ângulo inscrito

14 – Possibilidades e estatística

• Tabela e árvore de possibilidades• Problemas de contagem• Gráficos estatísticos


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9o ano

Unidade Conteúdo

1 – Potenciação e radiciação

• Retomada e aprofundamento da potenciação e suas propriedades• Retomada da radiciação• Expoentes racionais• Propriedades dos radicais• Simplificação de radicais• Adição e subtração de radicais• Cálculos com radicais• Racionalização

2 – Equações do 2o grau

• Equações e grau de uma equação• Equações incompletas do 2o grau• Forma geral de uma equação do 2o grau• Resolução de equações do 2o grau pela fatoração do trinômio quadrado perfeito• Fórmula geral de resolução de equações do 2o grau• Resolução de problemas envolvendo equações do 2o grau• Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau• Equações fracionárias e biquadradas• Equações irracionais

3 – Sistema cartesiano

• Localização no plano• Sistema cartesiano• Coordenadas geográficas

4 – Funções

• Conceito e aplicações• Tabela de valores e lei de formação de uma função• Interpretação de gráficos• Construção de gráficos das funções do 1o grau e do 2o grau

5 – Noções de probabilidade

• Probabilidade e estatística• Problemas envolvendo o cálculo de probabilidades• Conceito de população e amostra numa pesquisa estatística

6 – Teorema de Tales e se-melhança de triângulos

• Razões, proporções e segmentos proporcionais• Teorema de Tales• Semelhança• Semelhança de triângulos• Aplicação da semelhança de triângulos na resolução de problemas

7 – Relações métricas nos triângulos retângulos

• Teorema de Pitágoras e suas aplicações• Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero• Relações métricas nos triângulos retângulos• Problemas de aplicação

8 – Trigonometria no triângulo retângulo

• Razões trigonométricas: tangente, seno e cosseno• Aplicações na resolução de problemas• As razões trigonométricas e os ângulos de 30°, 45° e 60°

9 – Círculo e cilindro

• Área do círculo• Área de setor circular e de coroa circular• Área da superfície e volume de um cilindro• Aplicações na resolução de problemas

10 – Porcentagem e juro• Problemas envolvendo porcentagens, descontos e acréscimos• Juros simples e composto


6ª PROVAARMANDO



6. Sobre o livro do 6o anoEsta seção do manual trata do desenvolvimento dos conteúdos do livro do 6o ano, trazendo, para

cada unidade, objetivos gerais e específicos, sugestões e comentários sobre a utilização do livro do aluno, possibilidades de integração com outras áreas do conhecimento e de atividades para compor o processo de avaliação.

No item 7 do manual de cada volume, apresentamos um conjunto de questões, contextualizadas ou não, selecionadas a partir de exames elaborados de forma criativa e pertinente por instituições públicas conceituadas. Essas questões contemplam conteúdos desenvolvidos no livro do aluno.

Incluímos também, ao final dos comentários sobre cada unidade, sugestões de sites que dis-ponibilizam objetos educacionais envolvendo os temas trabalhados: arquivos de vídeo e de áudio, jogos, experimentos, simulações, entre outros.

Unidade 1 – Sistema de numeração decimal

I. Objetivo geral• Compreender as necessidades práticas que levaram à criação dos números, relacionando o

desenvolvimento dos sistemas de numeração com a história da humanidade.

II. Objetivos específicos• Conhecer métodos primitivos de contagem e as situações que motivaram sua criação e evolução.

• Identificar diferentes representações do mesmo número.

• Conhecer os símbolos e as regras básicas do sistema de numeração egípcio e do sistema de numeração romano. Registrar números nesses sistemas, comparando-os com o que utilizamos hoje: o sistema de numeração decimal.

• Ampliar e aprimorar a compreensão das regras do sistema de numeração decimal.

• Ler e escrever corretamente números nesse sistema.

III. ComentáriosO trabalho com o sistema de numeração decimal desenvolvido nos anos iniciais do ensino funda-

mental deve prosseguir no 6o ano, visando ampliar e consolidar mais a ideia de número e de sistema de numeração.

O recurso à História da Matemática é um grande aliado nessa tarefa. Os textos e as atividades abordam processos primitivos de contagem – surgidos da necessidade prática – e os sistemas de numeração criados por antigas civilizações. A apresentação dos símbolos e das regras básicas dos sistemas de numeração egípcio e romano pretendem mostrar como ideias e registros evoluíram e ressaltar as vantagens do sistema que hoje usamos, tais como ter somente 10 símbolos, ser posicional, tendo um símbolo (o zero) para indicar a ausência de unidades, dezenas etc.

Julgamos importante retomar a leitura e a escrita correta de números, principalmente “números grandes”, devido à sua aplicação em muitas situações do cotidiano e do trabalho.

PRATICANDO MATEMÁTICA 6º ANO – PNLD 2014MP PARTE ESPECÍFICA – MAC 2

7ª PROVAPAULO

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A unidade traz um texto que merece ser trabalhado: “Matemática – uma grande criação da hu-manidade”, que você pode ler em voz alta e debatê-lo com os alunos, levantando questões como:

• A Matemática sempre existiu?

• Que razões motivaram a criação dos números?

• Só grandes gênios participaram da construção do conhecimento matemático ao longo da História?

• Ainda hoje, a Matemática continua a ser construída?

O objetivo é mostrar a Matemática como criação humana em constante evolução e de cuja his-tória fazemos parte.

O texto traz uma sugestão de tarefa em duplas, que costuma agradar muito aos alunos: inventar um sistema de numeração com regras e símbolos.

<matematica.com.sapo.pt>

<educar.sc.usp.br/matematica/mod1.htm>

Sugestões para a avaliaçãoO item 4, “Leitura e escrita de números no sistema de numeração decimal”, apresenta um boxe

com atividades para serem realizadas em duplas com o uso de jornais. Sugerimos utilizá-las no pro-cesso de avaliação. Oriente os alunos com antecedência sobre o material necessário, explique como será a aula e o que será avaliado. Outras questões podem ser incluídas a seu critério.

Além dos aspectos conceituais é possível avaliar conteúdos atitudinais, como, por exemplo:

• Organização e responsabilidade: a dupla trouxe o material necessário para a atividade? Sabem se organizar? Fazem o trabalho com capricho e cuidam da limpeza da sala de aula?

• Trabalho cooperativo: sabem ouvir? Respeitam a opinião do outro? Negociam para chegar ao entendimento?

Uma parte da nota integral do trabalho pode ser reservada para a observação desses itens.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoA leitura de um paradidático que trate da história dos números e dos sistemas de numeração

permite a integração com as disciplinas de História e de Geografia (estudos e pesquisas ligados ao Antigo Egito, civilização maia, Índia, China etc.).

Sugestão de paradidático:

IMENES, Luís Marcio. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1998 (Coleção-Vivendo a Matemática).


7ª PROVAPAULO



O ábaco“Ábacos são tidos como as formas mais elementares de máquinas calculadoras. São

dispositivos simples inventados para registrar números e efetuar operações. Eram muito necessários, já na antiguidade, uma vez que os sistemas de numeração então vigentes não facilitavam as computações e não havia material conveniente para a escrita (o papiro, usa-do pelos egípcios, surgiu na Grécia só por volta do século VII a.C.; o papel, muitos séculos mais tarde).

A palavra ábaco vem do grego abax, que significa tábua coberta com pó ou areia, usada para desenhar figuras e fazer contas. Com o passar do tempo, as tábuas foram substituídas por placas de madeira ou metal, com linhas ou sulcos, onde deslizavam pequenas pedras ou contas (em latim, pedra é calculus, origem da palavra calcular).

O ábaco romano continha sulcos designando agrupamentos de 1 (I), 5 (V), 10 (X), 50 (L), 100 (C), 500 (D) unidades, estes números multiplicados por 1 000: I , V , X, ... Continha

também sulcos para as frações 12

, 112

, 124

, 148

e 172

. Em cada sulco, apenas as pedrinhas

colocadas no alto entravam na composição do número. Veja na figura da página seguinte a representação do número:

1 773 34

� 1 000 � 500 � 200 � 50 � 20 � 3 � 12

� 312

Os ábacos chinês e japonês possuem varetas verticais com contas, separadas por uma barra horizontal; cada conta acima da barra horizontal tem valor igual a 5 vezes o valor de cada conta correspondente, abaixo da barra horizontal; estes valores são, da direita para a esquerda: 1, 10, 100, 1 000 etc.

Vale notar que os ábacos eram essencialmente uma representação posicional dos números. As computações no ábaco tinham já as vantagens das computações do sistema de numeração indo-arábico; os povos, porém, usavam o sistema sem reconhecer o princípio posicional que praticavam.

Cabe uma observação a respeito do processo de implantação do sistema numérico in-do-arábico. Este sistema possui procedimentos de computação, os algoritmos, descritos em termos dos algarismos dos números; os algoritmos, ao permitirem efetuar contas no papel, abriram os horizontes para a generalização. Os que advogavam o uso do sistema indo-arábico eram chamados “algoristas”.

Os que preferiam ficar com o ábaco para a computação eram os “abacistas”. Houve um período de aproximadamente 500 anos de acirrada rivalidade até que os “algoristas” logras-sem a aceitação geral de suas técnicas de computação. Por volta de 1600, o uso do sistema indo-arábico estava generalizado e as técnicas aritméticas de operações estavam estabelecidas na forma de hoje.

O ábaco experimentou uma fase de esquecimento; mas, hoje em dia, com o advento da computação eletrônica, ressurge o interesse pelo ábaco, inclusive nas escolas. Vale notar que o ábaco sempre teve praticantes na China e no Japão; para negociantes, funcionários em

V. Texto complementar para o professor


7ª PROVAPAULO



escritório, donas de casa etc., experientes no uso do ábaco, este tem sido um auxiliar de con-tabilidade seguro, rápido, de manuseio fácil e econômico.”

O ábaco romano

Hél

io S

enat

ore

V D L V D L V

I C X I C X I

172

148

124

112

12

Está indicando 1 773 34 , incluindo

a parte fracionária.

O ábaco chinês

Hél

io S

enat

ore Está indicando 2 347.

O ábaco japonês

Hél

io S

enat

ore Está indicando 27 183.

O ábaco. Revista do Professor de Matemática. São Paulo:

IME-USP, n. 17, 1990. p. 63-64.


7ª PROVAPAULO



VI. Sobre as atividades propostas

Atividades 3 e 4 Trabalham formas diferentes para o registro de quantidades, o que é desejável. Leve palitos de

fósforos usados para a sala de aula e exercite o registro de quantidades usando as regras propostas pelo menino da atividade. Proponha que, em duplas, utilizem os palitos mudando ou ampliando as regras, por exemplo, usando a posição inclinada ( ) para representar 100.

Atividades 5 a 14O objetivo de apresentar os sistemas de numeração egípcio e romano é compará-los com o

Sistema de Numeração Decimal que hoje usamos. Chame a atenção para as vantagens de nosso sis-tema, como o fato de que, com somente 10 símbolos, podemos escrever qualquer número. O boxe apresentado na página 11 discute as regras do sistema romano. Compare-o com o que usamos: os romanos tinham símbolo para o zero?

Atividade 16Jogos que trabalham as regras de troca do SND são importantes para verificar se os alunos as

dominam. Um exemplo:

Jogo do Nunca três

Materiais: 2 dados comuns e tiras de cartolina colorida (3 verdes, 3 azuis, 3 amarelas). As cores podem ser outras.

Modo de jogar

– 3 tiras verdes são trocadas por 1 tira azul.

– 3 tiras azuis são trocadas por 1 tira amarela.

– O aluno joga os dois dados e o número obtido é representado pelas barras, de acordo com as regras acima. Exemplos: 4: uma tira azul e uma verde;

11: uma tira amarela e duas verdes.

Box da página 16O uso de jornais, revistas, folhetos é sempre bem-vindo. Essas atividades desenvolvem a observa-

ção e aproximam o conteúdo matemático da vida cotidiana. Sugerimos inclusive que a atividade seja usada para avaliação. (Ver item “Sugestões para a avaliação”).

Atividade 24 Uma sugestão é levar fotocópias de cheques em papel sulfite e pedir que preencham correta-

mente os valores ditados por você usando algarismos e por extenso. Depois de preenchidos, os che-ques mudam de mãos e um aluno corrige o preenchimento feito pelo colega.

Atividade 29Os pictogramas serão formalmente apresentados no livro do 7o ano, mas sua presença cons-

tante em jornais, revistas etc., permite trabalhar com esse tipo de recurso para representar da-dos, ainda no 6o ano. Se possível, leve mais alguns exemplos de pictogramas para analisar com a classe.


7ª PROVAPAULO



Unidade 2 – Números naturais

I. Objetivo geral• Reconhecer e explorar os números naturais em diferentes contextos.

II. Objetivos específicos• Identificar e ordenar números naturais.

• Utilizar os números naturais em situações de contagem e ordenação.

• Representar números naturais na reta numérica.

III. ComentáriosA nomenclatura “números naturais” pode ser nova para os alunos. Comente que são os núme-

ros que eles usam para contar, mais o zero, como explicado no texto didático.

Conceituamos antecessor e sucessor de um número natural e mostramos como representar estes números por pontos de uma reta. É preciso que o aluno tenha claro que para esta representação é preciso marcar o ponto correspondente ao zero, estabelecer uma unidade para toda a reta e consi-derar o sentido crescente da esquerda para a direita.

Os exercícios priorizam a aplicação dos números naturais em situações contextualizadas. Um alerta ao professor: o exercício 7 não deve ter abordagem algébrica. Sugerimos deixar que os alunos criem uma forma de descobrir os números. Eles podem usar, por exemplo, a divisão fazendo 325 ÷ 2.

Sabemos da importância do trabalho com o tratamento da informação. A partir da Unidade 2, introduzimos exercícios que envolvem tabelas e leituras de gráficos. São propostas simples, com as quais o aluno conseguirá trabalhar a partir de conhecimentos adquiridos na experiência cotidiana e também nos anos escolares anteriores. No entanto, vale a pena checar esse conhecimento prévio, acompanhando a resolução dessas atividades e dando atenção especial à sua correção. A Unidade 7 trata especificamente dos gráficos de barras, introduzindo o conceito de frequência e mostrando como construir corretamente esse tipo de gráfico.

Para fechar esta unidade, sugerimos a elaboração de cartazes pelos alunos, mostrando situações diversas envolvendo números naturais com diferentes funções como contagem, ordenação, códigos de identificação etc. O material pode ser obtido em jornais e revistas, folhetos, anúncios, documentos pessoais como o RG, cartões de visita etc.

<mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/>

<objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/MEC/19621>

Sugestões para a avaliaçãoEsta atividade de elaboração de cartazes pode ser usada para avaliar os alunos.

Além de observar a correção das informações nos cartazes, você pode observar conteúdos atitu-dinais, nos mesmos moldes do que foi sugerido na Unidade 1.


7ª PROVAPAULO



IV. Integração com outras áreas do conhecimentoOs mesmos cartazes podem ser aproveitados para a formação cidadã, discutindo a importância

dos documentos pessoais (RG, CPF, título de eleitor) e a utilidade de ter-se um número identifican-do cada cidadão. Uma parceria com Geografia ou História seria oportuna. A história também está presente no texto e atividade “A linha do tempo da tecnologia” que sugerimos no item V para o trabalho com os alunos.

V. Atividade complementar para trabalhar com os alunos

A linha do tempo da tecnologiaVivemos em meio à tecnologia: televisão, celular, micro-ondas, computador... Um grande

salto no desenvolvimento tecnológico aconteceu no século XX e os avanços são ainda mais rápidos neste início do século XXI. Mas, e antes disso? O que de importante aconteceu, por exemplo, no século XIX?

Traçamos a seguir uma linha do tempo, mostrando alguns avanços desse período:

1814Stephenson inventa a locomotiva a vapor

1876Alexander Graham Bell

inventa o telefone

1896Marconi inventa o telégrafo sem fio

1859Primeiro poço de petróleo

é perfurado nos EUA

1885Gottlieb Daimler produz o pri-meiro carro movido a gasolina

1879Thomas Edison testa a 1a lâmpada incandescente

1820Primeira iluminação urbana, em Londres

1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910

Agora é sua vez. Trace uma linha do tempo com 20 cm. Divida-a em dez partes iguais usando régua, como fizemos acima. Listamos a seguir importantes conquistas tecnológicas do século XX.

Localize na linha do tempo o ponto correspondente a cada data e evento.

1906: Santos Dumont voa com o 14 Bis e Auguste Lumière inventa a fotografia colorida

1913: Henry Ford desenvolve a linha de produção em suas fábricas

1927: Charles Lindbergh torna-se a primeira pessoa a cruzar o Oceano Atlântico em um avião

1935: Primeiras transmissões televisivas, na Alemanha e na França

1943: O primeiro computador eletrônico – Mark I – é projetado e construído nos EUA

1950: Início da televisão brasileira

1957: União Soviética dá largada à corrida espacial, lançando o Sputnik

1969: O ser humano pisa na Lua

1972: Lançada a primeira calculadora de bolso do mundo

1981: Lançados os primeiros PCs (computadores pessoais)

1983: É criada a internet

1992: Os brasileiros passam a ter acesso à internet

DAE


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Boxe da página 26Depois de feita a leitura da página, proponha a resolução do boxe, para verificar se ficou claro

que todo número natural tem sucessor e que somente o zero não tem antecessor. Explore a ideia de números consecutivos.

Boxe da página 28Situações da vida cotidiana envolvem o cálculo de quantos números há entre outros dois núme-

ros e quantos números há de um número até o outro. O boxe explora essa diferenciação assim como o exercício 12.

Atividade 18 Traz dados representados por meio de um gráfico de barras. Como dissemos anteriormente,

esse tipo de gráfico será objeto de estudo ainda no volume do 6o ano, mas os alunos provavelmente tiveram contato com gráficos de barras em jornais, revistas, televisão etc., e no Ensino Fundamental, em anos anteriores. A atividade é também interessante, pois o aluno deve observar a altura da barra mais alta e relacioná-la com o maior número e assim por diante.

Atividade 23Trabalha com distâncias em quilômetros entre cidades brasileiras usando a leitura de uma tabela

de dupla entrada, associando números naturais e medidas. A atividade explora também relações como “mais próxima”, “mais afastada”. Relembre com os alunos que 1 km � 1 000 m.

Unidades 3 e 4 – Adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais

I. Objetivo geral• Retomar e ampliar os conhecimentos sobre as operações fundamentais com números naturais,

seus significados e aplicações na resolução de problemas.

II. Objetivos específicos

• Efetuar adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números naturais, reco-nhecendo elementos e aplicando as ideias associadas a cada operação.

• Reconhecer e utilizar propriedades das operações.

• Relacionar adição/subtração e multiplicação/divisão como operações inversas.

• Estabelecer e registrar estratégias para resolver problemas por meio das operações com números naturais.

• Desenvolver o cálculo mental.

• Utilizar arredondamentos e estimativas para prever resultados.


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III. Comentários

Adição e subtraçãoTomando por base uma situação-problema, retomamos as ideias ligadas à adição e à subtração,

bem como os algoritmos dessas operações. O trabalho com os algoritmos permite ao professor veri-ficar se as regras do sistema de numeração decimal foram bem compreendidas.

As propriedades comutativa, associativa e elemento neutro da adição foram trabalhadas a partir de conclusões dos próprios alunos, sem citar a nomenclatura, mas julgamos que termos como par-celas, soma e total devam ser utilizados sempre.

A seção que explora o cálculo mental permitirá associar as propriedades da adição às técnicas usadas nesse tipo de atividade. Dê oportunidade para os alunos mostrarem técnicas que utilizam para calcular mentalmente. Solicite que descrevam com palavras e números o cálculo mental que fizeram, apontando onde uma propriedade foi aplicada.

Exemplo:

13 � 9 � 7 � 9 � 13 � 7 � 9 � 20 ��

comutativa associativa

Com relação às estimativas, é comum observar alunos que, diante de um problema, sabem que procedimentos e operações devem ser feitas para resolvê-lo e, no entanto, erram nos cálculos. Ainda pior, não percebem que o resultado não poderia ser aquele. Por exemplo, o resultado obtido é 10 ou 100 vezes maior do que o correto, e ele não se dá conta disso.

As estimativas por arredondamento são de grande valia para que erros como esse não ocorram. Espera-se que o aluno seja capaz de prever a ordem de grandeza do resultado de uma operação. Por isso, é desejável que você trabalhe com frequência a habilidade de estimar e avaliar resultados.

<www.mais.mat.br/wiki/Estimativas>

Multiplicação e divisãoA ideia de multiplicação como adição de parcelas iguais foi retomada numa situação-problema.

Aproveitando a mesma situação, um novo significado foi dado à multiplicação: contar possibilidades.

Nos exercícios, trabalhamos informalmente a propriedade comutativa e a propriedade associa-tiva da multiplicação, bem como a ideia de linhas × colunas, também associada a essa operação. A substituição do sinal (×) por (·) pode ser nova, bem como os nomes “fatores” e “produto”. Não há porque evitar o uso da nomenclatura correta nas quatro operações fundamentais.

Na divisão, demos espaço para que os alunos apresentem outra técnica ou forma de registro para efetuar a divisão que eventualmente utilizem. Dê oportunidade para que eles avaliem os processos da divisão, apontando vantagens e desvantagens, ampliando, dessa forma, a compreensão dos sig-nificados dessa operação e de seus elementos.

Julgamos improdutivo trabalhar expressões numéricas extensas. É preciso exercitar a resolução de expressões para preparar o aluno visando a Álgebra. No entanto, sem exageros. Da mesma forma, ele deve ser capaz de representar, por meio de uma expressão numérica, a resolução de alguns problemas.


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Espera-se que os alunos nessa faixa etária resolvam problemas, envolvendo as quatro operações, utilizando a Aritmética, desenhos, diagramas, e deixando a linguagem algébrica para os anos seguintes.

Consideramos importante convidar sempre os alunos a fazer estimativas de produtos e de quo-cientes. Antes de efetuar cada operação, perguntar: “O resultado deve ser próximo de que número?“.

O texto “Calculadora: usando as teclas de memória” (Unidade 3) permite descobrir alguns dos recursos de uma calculadora simples. É sempre oportuno mostrar a importância de saber usar as ferramentas tecnológicas.

No trabalho com operações inversas, tão importante para resolução de problemas, sugerimos verificar se os alunos resolvem situações como:

38 – � � 29 mostrando que 29 � � � 38 e 38 – 29 � �65 : � � 13 mostrando que 13 · � � 65 e 65 : 13 � �Sugerimos a seguir uma atividade para ser realizada em duplas, explorando as expressões numéricas.

Os quatro “quatros”*

Atividade em duplas

Este é um problema clássico no ensino da Matemática, que muitos professores conhecem por ter sido proposto no livro O homem que calculava de Malba Tahan (editora Record) que, inclusive, você e os alunos podem ler.

Consideramos que este problema é um recurso bastante motivador para levar os alunos a refletir sobre a resolução de expressões numéricas. Proponha às duplas a seguinte atividade:

• Utilizando quatro algarismos 4 e os sinais aritméticos �, –, ×, : , ( ), e �, obtenha os números de 1 a 10.

Lembre-os de que os parênteses são uma indicação de quais operações devem ser feitas em primeiro lugar, para obter o resultado desejado. Cada expressão descoberta deve ser anotada para posterior discussão.

Caso os alunos tenham dificuldade para entender a proposta, dê um exemplo:

4 : 4 � 4 : 4 � 2 ou 44 : 4 – 4 � 7

Dê um tempo para que os alunos construam as expressões e, enquanto isso, observe as duplas: Compreenderam a tarefa? Houve interesse em desenvolvê-la? Utilizam apenas os quatro “quatros”? Utilizam os sinais adequadamente? Resolvem as expressões corretamente?

Neste momento, você deve auxiliar apenas as duplas que não compreenderam a tarefa. Mesmo assim, procure discutir as dúvidas com toda a classe, pedindo que os alunos conversem entre si sobre eventuais dificuldades.

Provavelmente, enquanto tentam obter números de 1 a 10, os alunos conseguirão outros re-sultados. Estimule-os a anotar cada expressão experimentada. Para motivá-los, você pode também transformar a atividade numa espécie de competição, na qual vence a dupla que conseguir o maior número de expressões corretas.

Após um certo tempo, compare e discuta as expressões conseguidas, pedindo que uma dupla por vez anote na lousa seus resultados. Procure estimular a classe a analisar cada expressão, verificando que:

• há casos em que colocar parênteses é irrelevante, pois o resultado não se altera:

4 : 4 × 4 : 4 � 1 e (4 : 4) × (4 : 4) � 1

• há casos nos quais a presença de parênteses altera totalmente o resultado:

(4 � 4) : 4 � 4 � 6 e 4 � 4 : 4 � 4 � 9

* Fonte de pesquisa da atividade: Os quatro “quatros”. Ensinar e Aprender. Curitiba: CENPEC (Centro de Estudos e Pesquisas

em Educação, Cultura e Ação Comunitária), 1998. p. 21-22.


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• pode haver mais de uma forma de obter um mesmo número.

Procure aproveitar esse momento para esclarecer dúvidas que se apresentem sobre a resolução de expressões, quais operações priorizar na resolução etc.

Estimule os alunos a anotar as observações e conclusões feitas durante a discussão da atividade.

Em outro momento, proponha que em duplas os alunos resolvam os problemas.

• Coloque sinais aritméticos �, �, �, : e/ou ( ) para obter os resultados indicados:

9 9 9 9 � 7

9 9 9 9 � 9

9 9 9 9 � 10

9 9 9 9 � 80

Sugestões de resposta:

9 � (9 � 9) : 9 � 7

(9 � 9) : 9 � 9 � 9

(9 � 9 � 9) : 9 � 10

9 � 9 � 9 : 9 � 80

<www.apm.pt/portal/index.php?id=32960>

<www.escolovar.org/mat_operacao_todas.htm>

<mdmat.mat.ufrgs.br> (acessar repositório)

<www.calculu.cjb.net>

Sugestões para a avaliaçãoMuitas situações do cotidiano, do trabalho, das ciências e da tecnologia envolvem as operações

fundamentais com números naturais. Uma ideia interessante é que os alunos trabalhem em duplas ou trios, criando e resolvendo problemas. As ideias ou temas podem vir de notícias, anúncios, da própria vivência dos alunos, de situações presentes na escola ou na comunidade. Cada grupo elabora e resolve seu problema. Com auxílio da área de Língua Portuguesa, os enunciados podem ser corri-gidos e melhorados. Quando os problemas estiverem prontos, os grupos podem trocá-los entre si, resolvendo-os em seguida.

Você pode intermediar todo o processo, apresentando sugestões, incentivando as produções, escla-recendo dúvidas e avaliando o trabalho dos alunos. Essa avaliação pode abranger os seguintes aspectos:

• Criatividade na escolha do contexto do problema: uso de notícias ou de alguma situação presente no cotidiano, pesquisa de algum fato científico ou de um assunto importante para a comunidade, uso de outros conhecimentos matemáticos além das quatro operações etc.

• Elaboração do enunciado (seria interessante ter a parceria do professor de Língua Portuguesa): clareza, ausência de erros ortográficos e/ou gramaticais.

• Resolução: corretismo e organização.

Alguns dos problemas podem ser selecionados, por exemplo, para fazer parte de uma futura provinha ou lista de exercícios.


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IV. Integração com outras áreas do conhecimentoA atividade proposta acima proporcionará essa integração, pois a ideia é que os alunos criem

problemas baseados em situações reais tomadas nos diversos campos de atividade humana.

V. Textos complementares para o professor

Operações e propriedadesO que é uma operação? Sempre é bom retomar...

Dados dois conjuntos não vazios A e B chamamos produto cartesiano de A por B (ou simples-mente A cartesiano B) o conjunto de pares ordenados (x, y) tais que x � A e y � B. Simbolicamente:

A � B � {(x, y) | x � A e y � B}

Os subconjuntos de A � B são relações de A em B. Se A � B temos uma relação em A.

Uma relação R de A em B é chamada de função de A em B se se verifica a condição abaixo:

A todo elemento de A, corresponde um e um só elemento de B.

Tomemos um conjunto A � {5, 7, 9}. Temos que A � A � {(5, 5), (5, 7), (5, 9), (7, 5), (7, 7), (7, 9), (9, 5), (9, 7), (9, 9)}

Escreveremos agora os pares ordenados da relação R de A � A em A, que satisfaz a condi-ção: a todo elemento de A � A corresponde em A o número que é o segundo elemento do par.

R � {((5, 5), 5), ((5, 7), 7), ((5, 9), 9), ((7, 5), 5), ((7, 7), 7), ((7, 9), 9), ((9, 5), 5), ((9, 7), 7), ((9, 9), 9)}

Observe que pela relação R, todo elemento de A � A tem um e um só correspondente em A, ou seja, R é uma função de A � A em A.

Chamaremos de operação em A toda função de A � A em A. A relação R do exemplo é uma operação em A.

A adição, a multiplicação e a potenciação (de expoente natural) são operações em IN pois a todo par ordenado de IN � IN corresponde um e um só elemento de IN pela adição, pela multiplicação e pela potenciação.

Exemplos:

(13, 4) � IN � IN. Pela adição: 13 � 4 � 17 e 17 � IN

(8, 10) � IN � IN. Pela multiplicação: 8 � 10 � 80 e 80 � IN

(2, 3) � IN � IN. Pela potenciação: 23� 8 e 8 � IN

A subtração não é uma operação em IN, pois dados x e y � IN, x � y só pertence a IN se x � y. Há pares ordenados de IN � IN que não têm correspondente em IN pela relação chamada subtração. Para que tenhamos a subtração como uma operação, devemos definir um conjunto P � {(x, y) � IN � IN / x � y } e tomar a função de P em IN que associa todo (x, y) de P, a x � y em IN.

O mesmo acontece com a divisão e a radiciação. No entanto, por razões óbvias, nos livros didáticos destinados ao Ensino Fundamental, consideramos a subtração, a divisão e a radicia-ção como operações em IN, mostrando sempre aos alunos que subtrações, divisões e radicia-ções nem sempre terão resultado em IN.

Propriedades das operações

Usaremos o símbolo * para representar uma operação num conjunto A.

A operação * associa todo (x, y) pertence a A � A a um único elemento z de A.


7ª PROVAPAULO



A

A operação *:

- tem a propriedade comutativa se x * y � y * x � z;

- possui elemento neutro e se x * e � e * x � x;

- possui a propriedade associativa se dados a, b, c em A, a * b * c � (a * b) * c � a * (b * c).

A adição e a multiplicação possuem as propriedades comutativa e também a associativa em IN. O elemento neutro da adição é o zero e o da multiplicação 1. A potenciação não possui a propriedade associativa.

Definindo outra operação em A que chamaremos de #, a operação * possui a propriedade distributiva em relação à operação # se, dados a, b, c em A, temos: a * (b # c) � (a * b) # (a * c) e (b # c) * a � (b * a) # (c * a).

A multiplicação goza da propriedade distributiva em relação à adição e à subtração em IN. A potenciação só possui a propriedade distributiva à esquerda, em relação à multiplicação e à divisão.

Fazendo contas sem calculadora

Introdução

“A calculadora de bolso é, hoje em dia, um instrumento de fácil acesso a qualquer pessoa. Já vai longe o tempo em que se discutia se os alunos podem ou não usá-la, pois eles a têm em mãos com a maior facilidade. O importante é saber quando seu uso é recomendado porque ajuda, e quando a calculadora em nada contribui e deve ser evitada. [...]

Vamos fazer contas “de cabeça”

Isso mesmo, vamos começar com problemas que podemos resolver “na hora”, quando esta-mos no meio de uma conversa e não dispomos de lápis e papel, muito menos de calculadora. É o que se costuma chamar fazer as contas “de cabeça”.

Vamos começar com contas de subtrair, usando a técnica da “translação”. Por exemplo, sub-trair 34 de 61 é o mesmo que subtrair 30 de 57 (veja, estamos transladando os dois números para a esquerda de 4 unidades) ou, ainda, o mesmo que subtrair 40 de 67 (agora somamos 6 unidades a ambos os números). Em ambos os casos, é fácil ver que a diferença é 27.

Problema 1: Meu avô nasceu em 1872 e faleceu em 1965. Quantos anos viveu?

Por que pegar lápis e papel para fazer a conta? Use a técnica da translação, assim: a diferença entre 1965 e 1872 é a mesma que entre 1963 e 1870. Ora, de 1870 a 1900 são 30 anos; a estes somo os 63 que vão de 1900 a 1963. Meu avô viveu 93 anos.

Posso também raciocinar assim: 1965 � 1872 � 165 � 72 � 163 � 70 � 63 � 30 � 93.

Outro modo: de 1965 a 1972 (quando meu avô completaria 100 anos de idade) são 7 anos. Então ele viveu 100 � 7 � 93 anos.

Podíamos também ter transladado para frente, assim (mas tudo de cabeça):

(1965 � 8) � (1872 � 8) � 1973 � 1880 � 20 � 73 � 93.

Outro modo: de 1872 a 1962 são 90 anos (pois só faltam mais 10 para chegar a 100 anos em 1972); aos 90 acrescento 3 para chegar a 1965, obtendo os 93 anos.

Problema 2: Em 1942 meu avô completou 70 anos. Em que ano ele nasceu?

Somo 30 a 1942 e obtenho 1972, quando meu avô completaria 100 anos; logo, ele nasceu em 1872, ou seja, 100 anos antes.

Outro modo: se o ano fosse 1940, eu voltaria 40 anos ao ano de 1900, do qual volto mais 30 e che-go a 1870; agora somo os 2 anos que tirei no início e chego ao ano do nascimento de meu avô: 1872.


7ª PROVAPAULO



Alguns desses problemas de calcular a idade de uma pessoa são muito fáceis de resolver quando os anos de nascimento e morte têm formas bem particulares. Veja, por exemplo, o caso de Nicolau Copérnico, que nasceu em 1473 e faleceu em 1543. Aqui é fácil ver que faltam 30 anos para se chegar a 1573, quando Copérnico completaria 100 anos; logo, ele viveu 70 anos, ou seja, 100 � 30.

Problema 3: Outro dia encontrei-me com um senhor que foi muito amigo do meu pai. Eu lhe perguntei a idade e ele me disse: estou com 83 anos. Em que ano ele nasceu?

Vejamos: tenho de subtrair 83 de 1995*. Pela técnica de translação, basta subtrair 80 de 1992, o que é fácil fazer de cabeça. O resultado é 1912, ano do nascimento desse amigo do meu pai.

Outro modo: somo 7 a 1995 e vou para 2002, quando ele terá 90 anos; mais 10 e chego a 2012, quando ele terá 100 anos; volto 100 anos a 1912, que é quando ele nasceu.

Problema 4: Lúcia tinha 10 anos em 1917 e ainda está viva. Qual a sua idade hoje?

1995 � 1917 é o mesmo que 1998 � 1920, que é 78; somados aos 10 anos que Lúcia tinha, resulta que sua idade hoje é 88.

Outro modo de resolver o problema: se em 1917 Lúcia tinha 10 anos, em 1910 ela estava com 3 anos. De 1910 a 1995 são mais 85 anos; portanto, neste último ano ela estava com 88 anos de idade.

De tanto resolver problemas como esses, o aluno vai por si mesmo, inventando maneiras próprias de fazer as contas.

Contas de somarQuando usamos a técnica da translação nas contas de subtrair, temos de aumentar ou diminuir

os dois números, simultaneamente, da mesma quantidade. No caso da soma aumentamos um e diminuímos o outro da mesma quantidade. Por exemplo, somar 47 com 39 é o mesmo que somar 46 com 40, ou 50 com 36, resultando em 86. Somar 143 com 234 é o mesmo que somar 140 com 237, que é o mesmo que, 40 � 337, que é 377; mas tudo isso de cabeça, nada de lápis e papel.

A resolução mental desses probleminhas é um bom exercício para desenvolver bem a com-preensão das operações de soma e subtração. E é coisa que pode ser exercitada durante a aula, num clima agradável e de brincadeira com as crianças, introduzindo questões como estas:

Vai ver que, embora Luciana seja mais velha que o Francisco, o avô deste pode ter nascido antes do que o avô da Luciana. Vai ver que o Gabriel nem sabe a idade da avó ou do pai dele! Então terá mais um dever de casa: trazer, amanhã, as idades de seu pai e sua avó. Mas não vá lhes perguntar em que ano nasceram, isso fica para ser resolvido durante a aula. [...]

Cálculos aproximadosVoltando a falar de cálculos, é claro que não faz mais sentido, hoje em dia, insistir com os

alunos para que aprendam a fazer, manualmente, cálculos como:

3,21897 � 9,38 ou 2,801799 : 1,98,

como era exigido de mim no 4o ano primário*. Mas, embora não tenha de fazer contas como essas, o aluno de hoje deve estar preparado para saber, por um rápido exame, que a primeira dessas contas resulta em aproximadamente 3 � 10 � 30, enquanto a segunda se aproxima de 2,8 : 2 � 1,4. Con-ferindo com a calculadora, vemos que a primeira dá 30,193938 e a segunda, 1,411505.

Essa questão do cálculo aproximado é muito importante e deveria merecer a devida atenção nos programas do 1o e 2o graus*.”

ÁVILA, Geraldo (UFG, Goiânia, GO). Revista do Professor de Matemática, São Paulo: IME-USP, n. 29, 1995. p. 1-5.

*Nota do editor: Todos os exemplos têm como base o ano de 1995, data de publicação do artigo. O 4o ano primário

corresponde hoje ao 5o ano; o 1o e 2o graus ao Ensino Fundamental e Ensino Médio, respectivamente.


7ª PROVAPAULO



Um artigo envolvendo a construção de quadrados mágicos, de autoria do professor Lenimar Nunes de Andrade e publicado na Revista do Professor de Matemática, n. 41, p.12, além de interes-sante, recebeu a complementação de um leitor e colaborador da revista no exemplar de número 48. Ambos estão transcritos a seguir.

Quadrados mágicos

Introdução

“Quadrados mágicos têm intrigado matemáticos, cientis-tas e curiosos por séculos. O exemplo conhecido mais antigo é o Loh-Shu encontrado na China.

Trata-se de um quadrado mágico de ordem 3 que data de 2850 a.C. Nele, os números ímpares são representados por boli-nhas brancas e os pares por bolinhas pretas.

Uma abordagem algébrica

Um quadrado mágico de ordem n pode ser defi nido como sendo uma matriz (aij )n×n onde os ele-mentos aij pertencem ao subconjunto de IN �1, 2, ..., n2�, são dois a dois distintos e a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna e de qualquer uma das duas diagonais é igual a uma constante M.

A constante M pode ser facilmente calculada em função de n. Para isso, basta observar que a soma das n linhas da matriz é igual M � M � ... � M � nM. Por outro lado, essa soma é igual a

1 � 2 � 3 � ... � n2 � n2 (n2 � 1)2

.

Portanto, nM � n2 (n2 � 1)2

; logo, obtemos M � n (n2 � 1)2

.

Vamos descobrir a forma geral de um quadrado mágico de ordem 3:

a b c

d e f

g h i

Neste caso, a constante “mágica” M deve ser igual a 3 (32 � 1)2

� 15.

Resolvendo o sistema linear formado pelas igualdades das somas de linhas, colunas e diago-nais e escolhendo a e b como variáveis livres, chegamos à conclusão de que um quadrado mágico de ordem 3 tem o aspecto ao lado:

a b 15 � a � b

20 � b

� 2a5 b � 10

� 2a

�5 � a

� b10 � b 10 � a

DAE


7ª PROVAPAULO



À primeira vista pode parecer que há uma infinidade de quadrados mágicos de ordem 3, bastando para isso atribuirmos valores inteiros às variáveis a e b. Mas isso deve ser feito levando em conta que os valores obtidos devem ser inteiros não repetidos no intervalo [1, n2]. Por isso, (a, b) pode assumir apenas os valores (2, 7), (2, 9), (4, 3), (4, 9), (6, 1), (6, 7), (8, 1) ou (8, 3), fornecendo os quadrados:

2 7 6 2 9 4 4 3 8 4 9 2 8 3 4

9 5 1 7 5 3 9 5 1 3 5 7 1 5 9

4 3 8 6 1 8 2 7 6 8 1 6 6 7 2

Cada um desses oito quadrados pode ser obtido a partir de qualquer um dos outros através de operações de troca de linhas, troca de colunas ou transposição de matrizes. Nesse caso, dize-mos que os quadrados são idênticos e que existe um único quadrado mágico de ordem 3”.

ANDRADE, L. N. Quadrados mágicos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 41, 1999. p. 12.

...

Outros quadrados mágicos“Escreve-nos mais uma vez nosso leitor e colaborador Sebastião Vieira do Nascimento, de

Campina Grande, PB, a respeito do artigo, de Lenimar Nunes de Andrade sobre quadrados mági-cos (RPM 41, p. 12-16). No referido artigo, o autor afirma que essencialmente existe um só qua-drado mágico de ordem 3. O colega Sebastião lembra que isso acontece porque o autor utiliza somente os números de 1 a 9, o que determina que a constante mágica do quadrado de ordem 3 seja 15. Sem essa condição, podendo preencher os espaços com números naturais quaisquer, o colega apresenta outros quadrados mágicos de ordem 3:

10 3 8 7 0 5 16 2 12

5 7 9 2 4 6 6 10 14

6 11 4 3 8 1 8 18 4

Constante mágica 21 Constante mágica 12 Constante mágica 30

Ele mostra ainda que para qualquer quadrado de ordem 3, tem-se que a constante mágica é o triplo do número central (o que ocupa a 2a coluna na 2a linha) e que a soma dos quadrados dos elementos da 1a linha é a mesma que a soma dos quadrados dos elementos da 3a linha. Fato análogo acontece com a 1a e 3a colunas.

RPM: Com efeito, se a e b são os dois primeiros elementos da 1a linha e se k é um número natural tal que 0 � ab � 2k, k � a � b � 3k e 2k � 2a � b � 4k, então é possível construir o quadrado mágico de constante 3k que começa com a e b. É possível verificar esse resultado de forma análoga à feita na RPM 41. E para qualquer desses quadrados continuam válidas as pro-priedades encontradas pelo colega Sebastião”.

Outros quadrados mágicos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 48, 2002.p. 46.

Cartas do leitor.


7ª PROVAPAULO




Unidade 3: Adição e subtração de números naturais

Atividade 15Aparece pela primeira vez na coleção uma atividade envolvendo quadrados mágicos. Os alunos

apreciam este tipo de atividade, por isso serão utilizados em todos os volumes. O site <nautilus.fis.uc.pt/mn/p_index.html> traz atividade on-line envolvendo quadrados mágicos.

Atividades 16 a 23Propõem a exercitação do cálculo mental na adição e subtração aplicando esse tipo de cálculo na

resolução de problemas do dia a dia, como as apresentadas nas atividades 19, 22 e 23.

Atividades 24 a 28Os alunos devem criar o hábito de usar o arredondamento para estimar resultados de operações,

evitando, assim, erros. Essa lista de exercícios se dedica ao desenvolvimento destas habilidades.

Seção livre da página 44Ensina aos alunos como usar as teclas de memória de uma calculadora comum. Você pode in-

centivar a prática destes recursos da calculadora em situações do cotidiano: “levem a calculadora à padaria, à banca de jornais, às compras, usem o que vocês aprenderam”.

Unidade 4: Multiplicação e divisão de números naturais

Atividades 40 e 41Por meio de um exemplo, mostram a propriedade distributiva como facilitadora no cálculo men-

tal de produtos. Você pode propor mais cálculos desse tipo no quadro.

Atividades 42 a 47São problemas envolvendo as quatro operações vistas. Propusemos que os alunos resolvam os

problemas em duplas, para que troquem informações, compartilhem e confiram estratégias.

Atividade 60Retirada de avaliação do Colégio Pedro II, é um problema muito interessante. Sugerimos que os

alunos o resolvam em duplas ou trios para compartilharem ideias e depois comentarem suas resoluções.

Unidade 5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais

I. Objetivos gerais• Identificar o significado e a vantagem da representação de produtos com dois ou mais fatores

iguais na forma de potência.

• Estender essa representação, de modo lógico, a casos especiais.

• Relacionar a raiz quadrada com as potências de expoente dois.


7ª PROVAPAULO



II. Objetivos específicos• Escrever produtos de fatores iguais na forma de potência, identificando base e expoente.

• Ler e calcular potências.

• Introduzir o cálculo de raízes quadradas em IN.

• Resolver expressões numéricas simples envolvendo a potenciação e a raiz quadrada em IN.

III. ComentáriosIntroduzimos a potenciação como forma de registro da multiplicação de fatores iguais, mos-

trando a vantagem dessa notação. Por ser um assunto novo, trabalhamos com foco no conceito da operação e no uso correto da nomenclatura.

Erros do tipo “92 � 18” são comuns. Mostre, sempre que necessário, no quadro:

92 � 9 · 9 � 9 � 9 � 9 � 9 � 9 � 9 � 9 � 9 � 9 � 81

9 · 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 18

Portanto, 92 � 9 · 2.

Também consideramos importante mostrar que 92 � 29, por exemplo, pois nesse início de con-tato com as potências, os alunos podem achar permitido trocar base com expoente. As potências de expoente nulo são abordadas considerando a manutenção de padrões que, no 8o ano, serão esten-didos para obter as potências de expoente negativo.

Optamos por tratar das propriedades da potenciação também no 8o ano, para que fiquem pró-ximas do cálculo algébrico em que terão mais aplicações.

A raiz quadrada em IN é apresentada, mas de maneira leve, visando à preparação para o estudo da radiciação nos anos seguintes.

<portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=20280>

Sugestões para a avaliaçãoSugerimos uma atividade lúdica para preceder uma avaliação escrita. Corte quadradinhos de

papel e escreva em cada um deles uma potência ou uma raiz quadrada exata em IN: 25, 72, 150, 25, 100 etc. Dobre os papeizinhos e coloque-os numa caixa ou saco. Divida a turma em dois grupos, A

e B. Escolha um representante de cada grupo para anotar os pontos no quadro. Vão à frente da sala um aluno do grupo A e um do grupo B. O do grupo A sorteia um papel. O do grupo B deve ler em voz alta a potência ou a raiz escrita e resolvê-la no quadro. Se acertar, o grupo B ganha 1 ponto. Se errar, qualquer aluno do grupo A pode se candidatar a responder e receber o ponto, se acertar. Na segunda rodada são chamados mais dois alunos, só que agora B sorteia e A responde. Assim, o jogo prossegue até acabarem os papeizinhos.

Na aula seguinte você pode pedir que os alunos resolvam e entreguem por escrito, para avalia-ção, expressões numéricas simples envolvendo as potências e as raízes que apareceram no jogo.

Apresentamos também como sugestão um bingo envolvendo operações. Os alunos gostam de jogos e este é fácil de ser realizado em classe. Leve uma ficha com os números dos alunos e aproveite para avaliá-los durante a brincadeira:


7ª PROVAPAULO



— Que número devemos marcar na cartela se sorteamos ��36?

Os alunos levantarão a mão e você anotará os que acertaram.

Atividade sugerida: Bingo“Em meio às maiores preocupações que permeiam a prática didática, parece ser unânime

a opinião dos professores em relação às dificuldades existentes para conquistar o interesse dos alunos nas atividades propostas em sala de aula.

Professora de uma turma de quinta série, cujos alunos eram bastante resistentes a ativi-dades, percebendo as dificuldades que eles possuíam em relação às operações de multiplica-ção, divisão, potenciação e radiciação, optei por um recurso didático diferente: construí um Bingo das seis operações, pois para que o jogo não fosse considerado difícil pelos alunos, acrescentei, além das operações mencionadas, a adição e a subtração.

Utilizando caixas de sapatos, construí variadas cartelas, conforme exemplos a seguir, que revesti com fita adesiva larga para que não fossem riscadas e pudessem ser utilizadas várias vezes.

5 8 1 25 100 1 000

9 81 6 4 0 16

36 10 7 64 27 13

Usando quadrados também construídos a partir das caixas de sapato, organizei as fichas, a serem sorteadas, com operações cujos resultados são os números necessários para completar as cartelas, conforme as ilustrações a seguir:

23 10 � 3 33 9 � 7 5 � 8

15 – 4 ��36 ��100 103 7 � 7

Por exemplo, se a ficha ‘cantada‘ é ��36, os alunos devem marcar o número 6 na cartela; se 103 é ‘cantada‘, os alunos marcam 1000 na cartela, e assim por diante. Para incentivar a par-ticipação efetiva, foi estabelecido como regra, que os alunos deveriam anotar em seu caderno cada uma das expressões sorteadas, assim como o resultado das operações que seria marcado caso estivesse na tabela.

A mudança na atitude dos estudantes diante do jogo foi notória. O jogo colaborou para transformar o ambiente da sala de aula, ampliando a participação dos estudantes.

NR.: Cabe a cada professor, considerando o número de alunos na classe, decidir quantas fichas elaborar e como distribuir os resultados nas cartelas. Um jogo de bingo similar pode ser utilizado em classes do ensino médio, utilizando operações logarítmicas, trigonométricas etc.”

BINI, Marcia Bárbara (Professora de escola pública – SC). Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 67, 2008, p.1 e 2.


7ª PROVAPAULO



IV. Integração com outras áreas do conhecimentoSugerimos o trabalho com calculadora, ensinando aos alunos como operá-la para calcular potên-

cias e raízes quadradas. Mostre como a calculadora permite economizar tempo.


O símbolo da raiz“O símbolo apareceu impresso, pela primeira vez, no livro de Álgebra Die Coss, da

autoria de Christoff Rudolff, em 1525, porém sem índices que indicassem a natureza da raiz. O símbolo pode ter sido usado por se parecer com a forma manuscrita do r minúsculo (r de radix) ou pode ter sido uma invenção arbitrária. As raízes cúbicas e quartas eram indicadas res-pectivamente por: c e . Quando Michael Stifel editou o Die Coss em 1553, ele porém usou outros símbolos.

O símbolo criado por Rudolff não teve aceitação imediata nem mesmo na Alemanha, sua terra natal. A letra � (latus, “lado”) era muitas vezes usada. Assim, � 4 representava 4 e c� 5, 53 . Por volta do século XVII o uso do símbolo de Rudolff para raiz quadrada havia se difundido bastante, apesar de ainda existirem muitas variações na maneira de escrever os índices das raízes.

Em 1655, John Wallis usou o índice quase como hoje: 3x para o nosso x3 .

A colocação moderna do índice na abertura do sinal do radical foi sugerida por Albert Girard em 1629, mas sua utilização foi se impondo só no século XVIII.

O traço que se usa atualmente foi usado por René Descartes, em 1637, no seu ‘Géometrie‘.”

O símbolo da raiz. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 2, 1983. p. 42.


Atividades 1 a 3A notação de potência é uma novidade e são comuns confusões e erros como 92 � 18. Use estas

atividades para incorporar a notação e a terminologia base e expoente.

Atividade 4Trabalha o resultado da potenciação quando a base é zero e quando a base é 1. Os expoentes 0

e 1 serão tratados no item 3 desta Unidade.

Boxe da página 78Ensina a usar a calculadora para efetuar potenciações. Lembre-se de aproveitar oportunidades de

aprendizado dos recursos desta tecnologia.


7ª PROVAPAULO



Unidade 6 – Múltiplos e divisoresI. Objetivo geral

• Identificar o conceito de múltiplo e de divisor de um número natural e sua relevância na Ma-temática e em problemas do cotidiano.

II. Objetivos específicos• Reconhecer e escrever a sequência de múltiplos de um número natural.

• Utilizar corretamente as relações “é múltiplo de”, “é divisível por” e “é divisor de”.

• Aplicar os critérios de divisibilidade como facilitadores para verificar se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10.

• Determinar a sequência de múltiplos comuns a dois ou mais números naturais constatando sua importância em situações do contexto social.

• Identificar o menor número que é múltiplo de dois outros e suas aplicações.

• Conceituar número primo.

• Escrever números naturais como produto de fatores primos.

• Encontrar divisores de um número natural e o mdc entre os dois ou mais números naturais, aplicando esse conhecimento na resolução de problemas.

III. ComentáriosProsseguindo no estudo dos números naturais e suas operações, o texto e as atividades buscam

estabelecer com clareza os conceitos de múltiplo e de divisor, é importante que o aluno associe a palavra múltiplo com produto, isto é, que ele perceba que o produto obtido sempre será múltiplo de qualquer um dos fatores que o geraram.

Os critérios de divisibilidade devem ser encarados como facilitadores, permitindo descobrir mais rapidamente se um número natural é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10.

Introduzimos o conceito de número primo e a ideia de fatoração – escrever na forma de produ-to –, mostrando como utilizar a forma fatorada prima para determinar os divisores de um número natural. O processo prático de decomposição em fatores primos ajuda nessa tarefa.

O mínimo múltiplo comum é apresentado a partir da observação de múltiplos comuns numa situação contextualizada. Em muitas situações, o aluno determinará o mmc mentalmente e essa prática deve ser valorizada. No entanto, o processo prático pode ser utilizado para determinar o mmc de números maiores.

Partimos de um problema contextualizado para estabelecer o conceito de divisores comuns entre números naturais e definir mdc. Apresentamos como utilizar a decomposição em fatores primos para o cálculo do mdc. No entanto, na maior parte das situações propostas, o mdc poderá ser encontrado mentalmente com base nos divisores comuns.

A atividade lúdica Jogando com múltiplos pode ser realizada em sala. Sugerimos que partici-pem três ou quatro jogadores para que o número de grupos seja menor, facilitando o acompanha-mento do professor. No entanto, pode-se jogar em duplas.

<www.mais.mat.br/wiki/Morto_ou_vivo><www.mais.mat.br/wiki/N%C3%BAmeros_primos><nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_202_g_3_t_2.html?from=category_g_3_t_2.html>


7ª PROVAPAULO



Sugestões para a avaliaçãoPropomos que os alunos, organizados em trios, elaborem e resolvam um problema contextuali-

zado usando os conteúdos vistos na unidade. A unidade traz vários destes exercícios: 5, 28, 29, 33, 34, 35, 46, 50, 53 e 62, entre outros. Você deve mediar a elaboração dando sugestões e corrigindo falhas. Quando os problemas estiverem prontos e corretos, pode-se montar uma lista com todos eles (aproximadamente 10 problemas) e apresentar para a classe resolvê-los. As resoluções seriam recolhidas e avaliadas.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoApresentamos um texto complementar sobre números primos (página 93), mostrando sua

aplicação na criptografia, utilizada para aumentar a segurança na transmissão de informações via computador. O assunto é atual e provavelmente despertará o interesse dos alunos. Você pode apresentar as informações do texto integrando conhecimento matemático e desenvolvimento tec-nológico.

V. Atividade complementar para trabalhar com os alunos

Determinando os divisores de um número naturalObserve a atividade abaixo. É um exercício interessante para determinar de forma lúdica os

divisores de um número.

Para determinar os divisores de 20, por exemplo, peça para que os alunos desenhem e recor-tem 20 quadrados, todos com a mesma área. Eles devem usar todos os quadrados para formar retângulos. Nesse exemplo, obterão os retângulos: 20 � 1, 10 � 2, 5 � 4.

Ficam listados todos os divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Os alunos perceberão também que com 11 quadrados idênticos, por exemplo, só é possível compor um retângulo de 11 � 1, verificando que os números primos só possuem 2 divisores: 1 e ele mesmo.


Atividades 5 e 6 O problema 5 pretende que o aluno perceba o padrão da sequência dos anos em que há Copa

do Mundo: são múltiplos de 4, somados a 2. O problema 6 também envolve a observação de pa-drões numa sequência envolvendo múltiplos de 3.

Atividades 18 a 21É importante que o aluno compreenda que a forma fatorada prima é uma outra maneira de

representar um número natural. Muitas vezes o aluno não faz o inverso: passar da forma fatorada prima para o número natural, e não utiliza a forma fatorada para descobrir os divisores do número. Estas atividades exploram estas habilidades.

Boxe da página 98O aluno utilizará o conceito de mmc, por exemplo, nas adições e subtrações com frações. A

obtenção do mmc, na maioria das operações, pode ser mental. O boxe exercita essa habilidade e também trabalha o mmc de números quando percebemos que um deles é múltiplo do outro.


7ª PROVAPAULO



Atividade 32 Apresentamos o procedimento para determinar o mdc por meio da fatoração dos números, mas

sugerimos incentivar os alunos a listar mentalmente os divisores do maior número, buscando os divi-sores comuns ao outro número e assim encontrando o maior deles.

Unidade 7 – Dados, tabelas e gráficos de barrasI. Objetivo geral

• Construir procedimentos para organizar e representar dados por meio de tabelas e gráficos estatísticos.

II. Objetivos específicos• Reconhecer e interpretar um gráfico de barras.

• Construir tabelas de frequência e gráficos de barras.

III. ComentáriosO aluno tem contato frequente com tabelas e gráficos estatísticos, como o gráfico de barras.

Se nos anos anteriores os alunos exploraram ideias básicas sobre a organização e representação de dados, a partir do 6o ano o conhecimento sobre estatística pode ser ampliado e gradualmente siste-matizado.

No 6o ano, optamos por trabalhar com a elaboração de tabelas de frequência, com a leitura e a construção de gráficos de barras. Inicialmente mostramos os gráficos de barras como forma de co-municação eficiente, permitindo visualizar e comparar dados com rapidez e clareza.

Escolhemos um exemplo de pesquisa de interesse dos alunos – forma de lazer – para introduzir as tabelas de frequência e o processo de construção do gráfico de barras. Você pode utilizar outras situações do contexto particular de seus alunos. O trabalho com jornais e revistas em temas como esporte, cultura, saúde, política etc. é sempre desejável e permite a integração com outras disciplinas e temas transversais.

Enfatizamos aspectos importantes na construção de gráficos, como a adequação do título e a determinação correta da escala para o eixo das frequências.

<escolovar.org/mat_graficos1.htm>

Sugestões para a avaliaçãoPropusemos, na unidade, uma pesquisa estatística sobre os aspectos positivos e negativos de

um bairro (onde se localiza a escola, por exemplo). O trabalho pode ser feito em grupos de três. Eles entrevistarão moradores ou frequentadores do bairro fazendo a eles duas perguntas:

1) O que mais lhe agrada no bairro?

2) Em sua opinião, qual o maior problema do bairro?

O entrevistado escolherá uma dentre as cinco alternativas propostas para cada pergunta. As alternativas devem ser elaboradas pela turma, em conjunto.

Segue uma ideia de cronograma para o trabalho:


7ª PROVAPAULO



Aula 1

• Divisão dos trios e explicitação da forma de avaliação.

Os alunos precisam saber de antemão o que será observado por você para atribuir a nota. Apre-sentamos uma ideia para a distribuição de nota variando de zero a dez:

1 ponto 2 pontos 1 ponto 2 pontos 4 pontos

Para a participação individual na aula 1 e aula 2. Os seguintes

aspectos seriam observados:

• Participou da discussão de forma oportuna?

• Sabe ouvir?

• Argumenta?

• Contribuiu com a ordem e a disciplina?

Para a realização e apresentação

correta dos dados da entrevista.

(Nota do grupo.)

Para o preenchimento

correto das tabelas de frequência

na aula 3. (Nota do grupo.)

Pela execução do trabalho em sala na aula 4. Os alunos serão observados individualmente e

no grupo, nos seguintes aspectos:

• Trouxeram o material necessário?

• Souberam organizar--se e distribuir as tarefas?

• Trocaram ideias, agindo de forma cooperativa?

• Mostraram capricho?

Pela análise do produto

final (nota do grupo): correção

do conteúdo, pertinência da

análise de dados e conclusões.

• Levantamento dos aspectos positivos do bairro e elaboração pelos alunos das alternativas de resposta para a pergunta 1.

Inicie perguntando aos alunos quais características positivas eles destacam no bairro. Devem surgir opiniões como: “possui um comércio bem diversificado” ou “tem várias praças” e assim por diante.

O debate gerará uma lista de aspectos que servirá de referência para que os alunos elaborem, em conjunto, as alternativas de resposta para a pergunta 1.

Aula 2

• Elaboração das alternativas de resposta para a pergunta 2 (mesmos procedimentos usados na aula 1).

• Explicações sobre a aplicação do questioná-rio – determinação da amostra e forma de recolhimento dos dados.

Sugerimos que cada grupo entreviste 20 pesso-as. Numa turma com 30 alunos, a amostra terá um total de 200 respostas para cada pergunta. Cons-trua com eles uma tabela para anotar os dados (ver modelo abaixo). Oriente-os no sentido de diversifi-car o tipo de entrevistados: homens, mulheres, jo-vens, adultos, pessoas idosas, ocupações diversas.

Os grupos devem trazer a tabela pronta para a aula 3, em data marcada por você (um prazo de 15 dias é suficiente).

Fern

ando

Fav

oret

to


7ª PROVAPAULO



Sexo, idade e ocupação do entrevistado

Alternativa escolhida para a pergunta 1

Alternativa escolhida para a pergunta 2

F – 25 – professora a e

M – 60 – aposentado b c

etc.

Pesquisa Estatística – entrevista

Componentes do grupo:

Pergunta 1

O que mais lhe agrada no bairro?

a)

b)

c)

d)

e)

Pergunta 2

Na sua opinião, qual é o maior problema do bairro?

a)

b)

c)

d)

e)

Aula 3

• É o momento de tabular os dados.

O trio, reunido, com sua orientação, preencherá as tabelas de frequência:

Pergunta 2

Alternativa Frequência

A 1

B 4

C 3

D 8

E 4

Total 20

Pergunta 1

Alternativa Frequência

A 6

B 5

C 7

D 2

E 0

Total 20

Em seguida, no quadro, monte, com auxílio dos alunos, as duas tabelas de frequência para o total da amostra – aproximadamente 200 respostas para cada pergunta.

Os alunos devem copiar as tabelas no caderno para utilizá-las na aula 4. Devem também anotar o material necessário para essa aula: folhas de papel canson (duas por trio) tamanho A4, folha de papel sulfi te, régua, lápis comum, papel quadriculado, canetas coloridas ou lápis de cor, tesoura e cola.


7ª PROVAPAULO



Aula 4

• Finalização do trabalho.

Reunidos, os trios distribuem as tarefas para apresentar os resultados da pesquisa no papel canson. Segue uma sugestão para o layout do trabalho:

2a folha

Título do trabalho

Análise dos dados da pergunta 2 e conclusões sobre a pesquisa.

TabelaPergunta 2

a)

b)

c)

d)

e)

Gráfico de barras

Fazer o gráfico no papel

quadriculado, recortar e colar.

Título do trabalho

Análise dos dados da pergunta 1.

Tabela

1a folha

Pergunta 1

a)

b)

c)

d)

e)

Gráfico de barras

Fazer o gráfico no papel

quadriculado, recortar e colar.

Pode-se também solicitar um único gráfico de barras duplas.

Para ganhar tempo, os alunos podem escrever o título do trabalho e copiar as tabelas na folha de sulfite, recortar e colar no papel canson. É importante observar como eles se organizam e decidem as estratégias de trabalho.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoA pesquisa estatística envolve o bairro onde se localiza a escola. Dentro da capacidade dos alunos

do 6o ano, aspectos ligados à história do bairro, às suas características físicas e populacionais, infor-mações sobre a administração pública e a participação política da comunidade podem ser trabalha-das com as disciplinas de História e de Geografia.

Os professores dessas disciplinas, bem como o professor de Língua Portuguesa, podem auxiliar na discussão e no levantamento dos aspectos positivos e negativos do bairro, na elaboração do ques-tionário e na redação das conclusões sobre os resultados da pesquisa.

V. Sobre as atividades propostas

Seção livre da página 110Os alunos construirão um gráfico de barras em papel quadriculado. As dificuldades mais frequen-

tes são com a graduação do eixo vertical. Você pode sugerir uma escala de 5 em 5 e localizar com eles as alturas das barras, principalmente para os números 34 e 38. Dê tempo para que exercitem o uso da régua para traçar as barras e para colori-las. Mostre os trabalhos, todos, para os colegas. Se possível coloque num mural. A atividade 2 tem como objetivo mostrar a maneira correta de graduar o eixo vertical. Deixe que os alunos percebam os erros na escala e na largura das barras.

Atividades das páginas 111 e 112Focam na leitura de gráficos, tabelas simples e de dupla entrada. Seria interessante apresentar

gráficos de barras retirados de jornais e revistas, com temas do interesse dos alunos para leitura e análise de dados.


7ª PROVAPAULO



Unidade 8 – Observando formasI. Objetivo geral

• Desenvolver a capacidade de observação do espaço, visando compreender, descrever e repre-sentar de forma organizada o mundo físico.

II. Objetivos específicos• Identificar e diferenciar formas planas e formas não planas.

• Caracterizar polígono.

• Caracterizar poliedro.

• Identificar e quantificar faces, arestas e vértices de um bloco retangular e de alguns poliedros.

• Representar e identificar pontos, retas, segmentos de retas e planos.

• Obter a planificação de um bloco retangular.

• Construir poliedros a partir de modelos de faces poligonais.

III. ComentáriosO texto inicial chama a atenção para a observação das formas presentes na natureza e das for-

mas criadas pelo ser humano, mostrando a Geometria como modelização do espaço físico.

Além da leitura do texto, sempre que possível, faça com que os alunos observem e manipulem objetos e modelos em cartolina, representando várias formas. A investigação levará à descoberta de características e propriedades das formas. Mesmo que a linguagem não seja a mais adequada, os alunos devem escrever o que observaram, diferenciando formas planas de não planas, polígonos de não polígonos e poliedros de não poliedros. A terminologia correta pode ser introduzida aos poucos, de forma natural.

Lembramos que, ao classificar as formas em planas e não planas, é importante mostrar que uma forma não plana pode não ter volume. O estudo específico da dimensionalidade será feito no 7o ano.

O trabalho concreto com a caixa de fósforos leva à identificação e à quantificação de faces, ares-tas e vértices de um bloco retangular. Em sequência, das arestas, vértices e faces do bloco retangular, vêm as ideias e representações de ponto, reta, segmento de reta e plano. Consideramos importante deixar claro para o aluno que a “marca” que fará no papel com o lápis é a representação de um ponto. O mesmo acontece com qualquer figura geométrica. O desenho de uma reta ou de um po-lígono é uma representação para podermos trabalhar com os entes geométricos. Devem perceber, por exemplo, que a reta é ilimitada nos dois sentidos, apesar de sua representação não ser.

Nesta unidade, trabalhamos mais detalhadamente a planificação do bloco retangular. No 7o ano, introduziremos a planificação de outros poliedros, como prismas e pirâmides. Nesta unidade, não definimos polígonos nem poliedros, o que será feito posteriormente na coleção. A ideia é trabalhar com características destas figuras levantadas por meio da observação e da troca de informações entre os colegas, com a mediação do professor.

<www.sitiodosmiudos.pt/matematica/default.asp?url_area=E>

<escolovar.org/mat_geometri_solidos.htm>

<www.escolakids.com/planificacao-de-solidos-geometricos.htm>


7ª PROVAPAULO



Sugestões para a avaliaçãoO item “Construindo poliedros” traz uma proposta de atividade em duplas. Sugerimos utilizá-la no

processo de avaliação. Os alunos devem receber orientação sobre o material necessário para a montagem dos poliedros. O ideal é que eles já tragam os polígonos recortados. Se a escola possuir uma fotocopiado-ra, copie os moldes do livro e deixe disponível para que os alunos tirem cópias, por exemplo em papel co-lorset. Explique como será a aula e o que será avaliado. Outras questões podem ser incluídas a seu critério.

Além dos aspectos conceituais, sugerimos observar e atribuir uma parte da nota para o capricho e a organização do grupo, o cuidado com a limpeza da sala de aula, o relacionamento com o colega de dupla.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoConhecimentos sobre formas geométricas e suas características são necessários em situações do

cotidiano e do trabalho. O incentivo à observação do espaço também é importante. Devemos ensinar o aluno a olhar ao redor, educando o olhar para perceber, no real, a aplicação dos conhecimentos geométricos.

Se for possível, convide, para uma conversa com os alunos, algum profissional como um en-genheiro, um arquiteto, um desenhista ou um azulejista para contar a eles sobre a importância da Geometria em seu trabalho. Isso motivará os alunos para o aprendizado.


Boxe da página 119Deixe que os alunos troquem ideias e expressem o que diferencia formas planas e não planas

com suas palavras, mesmo que não sejam as mais adequadas. Sugerimos no próprio boxe que você mostre formas bidimensionais não planas. Comente que representamos no papel formas não planas usando para isso recursos como perspectiva, sombreamento etc. É sempre bom lembrar aos alunos que usamos representações das figuras geométricas para podermos estudá-las.

Boxe da página 120Não nos preocupamos em definir formalmente polígonos neste momento. Os alunos devem,

nesta unidade, serem capazes de diferenciar polígonos de não polígonos pelas suas características. O mesmo acontecerá com poliedros e não poliedros. As atividades da página 122 têm este objetivo.

Atividade 13Desenhar figuras em perspectiva na malha quadriculada é um bom exercício, pois desenvolve a

visão espacial e pratica o uso da régua. Você pode complementar esta atividade levando para a classe um modelo de cubo e pedindo que façam o desenho em perspectiva a partir da observação.

Atividade 16É uma boa oportunidade para construir com os alunos as planificações do cubo em cartolina.

Unidade 9 – ÂngulosI. Objetivo geral

• Construir a noção de ângulo, constatando sua presença na natureza, nas obras feitas pelo ser humano e na Matemática.


7ª PROVAPAULO



II. Objetivos específicos• Identificar a aplicação dos ângulos em construções e em objetos feitos pelo homem e na natureza.

• Representar e nomear semirretas.

• Identificar e representar um ângulo e seus elementos.

• Definir ângulo nulo, ângulo raso e ângulo reto.

• Medir e traçar ângulos com auxílio do transferidor.

• Classificar ângulos em agudos, retos ou obtusos.

• Identificar os ângulos de um esquadro, compreendendo as funções desse instrumento.

• Reconhecer retas paralelas e retas perpendiculares e traçá-las com auxílio do esquadro.

III. ComentáriosPodemos encontrar muitos exemplos de aplicações dos ângulos. A motivação para o aprendiza-

do do conteúdo desta unidade pode começar pela observação do mundo físico, identificando nele a presença de ângulos. Há sugestões presentes no texto e nos exercícios.

Nesta unidade, o aluno trabalhará com o transferidor e os esquadros. O uso do transferidor é, de início, difícil para os alunos. Por isso detalhamos os procedimentos no texto e sugerimos sua especial atenção a esse aprendizado.

Depois de traçar e medir ângulos com transferidor em seu caderno, ele pode medir ângulos pre-sentes no mundo real. O boxe da página 135 traz uma sugestão interessante.

<escolovar.org/mat_geometri_angulos.htm>

< nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_141_g_3_t_3.html?open=activities&from= category_g_3_t_3.html>

Sugestão para a avaliaçãoOs alunos, em geral, gostam de desenhar. Você pode pedir que eles criem um desenho que con-

tenha algumas construções com transferidor e com esquadros. Por exemplo, o desenho deve conter pelo menos um par de retas paralelas e um par de retas perpendiculares, um ângulo de 60°, um de 40°, um de 150° e pelo menos um ângulo reto.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoRepare na quantidade de elementos geomé-

tricos presentes nessa tela do pintor russo Wassily Kandinsky (1866-1944). Essa reprodução é facil-mente encontrada em livros de arte e na internet. Você pode projetá-la numa transparência (se não for possível abri-la num computador) e explorá-la em conjunto com o professor de Educação Artística. Além de a obra apresentar ângulos, retas paralelas e retas perpendiculares, vemos círculos, semicír-culos e vários polígonos que serão estudados na próxima unidade.

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Wassily Kandinsky. Composition VIII, 1923. Óleo sobre tela, 1,40 m � 2,01 m.


7ª PROVAPAULO




Marcando um ângulo sem transferidor“Num artigo nesta Revista, Imenes e Jakubovic diziam que “o mundo está a nossa volta e a

Matemática está presente [...] nas atividades de muitas pessoas. É preciso sair em busca disto e conversar com outras pessoas” (RPM 1, p. 2).

Um conselho especialmente interessante e que pude seguir facilmente: afinal, lecionava num colégio instalado próximo ao canteiro de obras de uma hidrelétrica na Amazônia. E um dia des-ses, vi algo simples e engenhoso.

Fui visitar a Central de Armação, onde são dobrados os ferros para a estrutura de concreto da barragem, no comprimento e com a inclinação apropriados. O encarregado recebe um lote de barras de ferro com uma plaqueta, mais ou menos como na figura abaixo, querendo dizer que cada barra, de 1,30 � 5,60 � 2,10 � 9 m, deverá ser dobrada em

ângulo reto numa extremidade e a 45° na outra.

1,30

5,60

2,10

Embora este serviço seja feito por uma máquina, o encarregado tem necessidade de verificar se o ângulo está certo. Para isso, prepara-se um padrão: dobra-se uma pequena barra que é sobreposta a cada barra preparada para conferir.

Assim, é preciso inicialmente marcar um ângulo de 45° (no nosso exemplo). Como não se tem transferidor – e nem será preciso, como se verá –, o encarregado toma uma trena, tira 57 cm e, segu-rando esta marca, traça, com giz, sobre uma mesa, uma semicircunferência. Em seguida, tira 45 cm, e entorta, sobre a semicircunferência, a trena, determinando um arco. O ângulo subtendido por este arco mede 45°.

A justificativa é simples. Uma circunferência de raio R cm tem comprimento 2�R cm e subten-de um arco cuja medida é de 360º; um arco de x cm subtende um arco de �°. Logo:

2�R360

� x�

� � 180x�R

� 57,3 xR

Para ser � � x, vem R � 57 cm.”

KLEIS, Alexandre. Marcando um ângulo sem transferidor. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 11, 1987. p. 45-46.


Boxe da página 137Se possível, faça a construção proposta para associar giros a ângulos: volta completa, meia-

-volta, um quarto de volta...

Boxe da página 141Antes desta atividade, pratique bastante o uso do transferidor no papel, pedindo que tracem

ângulos, dadas as medidas, e apresentando ângulos já traçados, para que eles meçam.

45o


7ª PROVAPAULO



Boxe da página 145A ideia de colar etiquetas nos ângulos do esquadros permite o reconhecimento rápido das me-

didas e ajuda a memorizá-las. Deixe que manuseiem os esquadros e que os usem como molde no traçado de outros ângulos, como mostra o texto abaixo do boxe, antes de traçar com eles paralelas e perpendiculares usando este instrumento.

Unidade 10 – Polígonos e circunferênciasI. Objetivo geral

• Ampliar e organizar os conhecimentos sobre figuras geométricas planas, em particular polígo-nos e circunferências.

II. Objetivos específicos• Identificar e nomear polígonos e seus elementos.

• Reconhecer e caracterizar polígonos regulares.

• Classificar triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos.

• Identificar quadriláteros e seus elementos.

• Nomear quadriláteros de acordo com as características que possuem.

• Resolver problemas envolvendo o cálculo do perímetro de polígonos.

• Definir circunferência, identificando e dando significado ao centro e ao raio.

• Traçar circunferências utilizando o compasso.

• Investigar a existência de eixos de simetria em polígonos e em outras figuras planas.

III. ComentáriosNa Unidade 8, o aluno diferenciou figuras planas e não planas, polígonos e não polígonos. Pro-

gressivamente, os conhecimentos sobre as figuras planas serão ampliados e organizados.

Nesta unidade, definimos polígonos, abordamos a nomen-clatura dos polígonos quanto aos lados e apresentamos os po-lígonos regulares, cujo estudo prosseguirá nos anos seguintes. Observamos a rigidez como característica dos triângulos, mos-trando situações em que ela é desejável e situações em que a maleabilidade é necessária. Você pode mostrar mais objetos e utensílios que ilustrem a aplicação dessas características.

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to

Fern

ando

Fav

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Gal

vezo

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Latin

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Maleabilidade Maleabilidade Rigidez


7ª PROVAPAULO



O objetivo é mostrar que conhecer as propriedades das figuras geométricas permite utilizá-las melhor em situações práticas.

Classificamos os triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos e, tratando dos quadriláteros, caracterizamos os trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados.

Mais uma vez, é importante mostrar as formas dos polígonos em objetos, móveis, utensílios, constru-ções, calçadas, paredes, na arte, na moda... enfim, tudo isso aproxima o conteúdo do cotidiano dos alunos.

Em relação à circunferência, utilizamos as características do compasso (fixar um ponto e uma distância), para defini-la de forma clara, dando significado ao centro e ao raio.

O manuseio do compasso precisa ser treinado. Sugerimos que você oriente e supervisione o traçado de várias circunferências no caderno. Peça que identifiquem o centro e deem a medida do raio de cada uma delas. Os alunos podem compor um desenho usando somente círculos coloridos desenhados com compasso. Caso tenha sido feito o estudo da tela de Kandinsky (na Unidade 9), sugerimos retomá-lo nesta unidade.

<escolovar.org/mat_geometri_figuras.htm>

<www.apm.pt/portal/index.php?id=33699>

Sugestões para a avaliaçãoPode ser pedido um trabalho de construção de mosaicos na malha triangular. Os alunos criariam

mosaicos coloridos, identificando os polígonos que os compõem. Esta atividade estimula a criativi-dade, trabalha a coordenação motora e a classificação dos polígonos quanto ao número de lados. Os alunos devem ser questionados sobre a composição de seu mosaico: quantas figuras diferentes utilizou, qual o nome delas, se são ou não regulares etc. Depois de avaliados, os trabalhos podem ser expostos em murais, nos corredores da escola.

A atividade proposta no item “Simetria nos polígonos e nos círculos” pode ser utilizada também. Os alunos podem entregar a tabela preenchida mais as respostas das questões propostas para a sua avaliação.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoA composição de um mosaico na malha triangular está ligada à Arte. O desenho dos mosaicos

deve ser precedido de motivação: procurar com os alunos o significado da palavra “mosaico” no dicionário, mostrar fotos de vitrais em igrejas, painéis de azulejos, pisos, tapetes etc. Essa motivação pode contar com a parceria do professor de Educação Artística. Apresentamos um texto complemen-tar sobre a história dos mosaicos, que pode ser usado nessa motivação.

V. Texto complementar para os alunosO texto abaixo pode preceder a atividade de construção de mosaicos sugerida na página 158.

Um pouco sobre a história dos mosaicosMosaico é uma forma de arte decorativa, em que desenhos ou composições são construídos

colando pequenos pedaços de pedra, vidro, cerâmica, mármore ou outros materiais numa superfície.

Esta técnica tem milhares de anos e foi muito praticada na Grécia e Roma antigas, onde obras belíssimas revestiam pisos e paredes. Os gregos formavam quadros usando pequenos sei-xos brancos, pretos e de vários tons de vermelho com cenas de luta e de caça, além de motivos mitológicos. A partir de 40 a.C. a Itália torna-se o maior centro de produção de mosaicos. Eles


7ª PROVAPAULO



eram utilizados principalmente em motivos religiosos. Na cidade italiana de Ravena, encontram-se maravilhosos mosaicos. Com o desenvolvimento de novas técnicas pelos artistas, a produção de mosaicos foi perdendo força. Por volta da segunda metade do século XV, o gênero praticamente deixou de ser apreciado.

A palavra mosaico tem origem na palavra grega mouseîn, a mesma que deu origem à pa-lavra música, que significa “próprio das musas”. Mosaicos construídos com peças cortadas à mão são únicos, pois cada corte é feito separadamente tornando quase impossível reproduzi-lo.

Consagrados artistas brasileiros como Cândido Portinari e Di Cavalcanti utilizaram mosai-cos em diversas de suas obras.

Hoje, encontramos mosaicos na decoração de ambientes, em salões, calçadas, vitrais, no artesanato, além de ser praticado como hobby por muitas pessoas.

Veja mosaicos com motivos geométricos:

VI. Texto complementar para o professor

As diferentes definições dos quadriláteros notáveisQuadrados são losangos? Paralelogramos são trapézios?

Perguntas como essas são formuladas tanto por estudantes como por professores. Este artigo vai contar por que um mesmo quadrilátero pode aparecer na literatura matemática com defini-ções diferentes. E uma nota da redação, NR, vai dizer, na opinião da RPM , como um professor pode lidar com tal situação.

A geometria que se estuda hoje nas escolas tem suas origens num livro chamado Os Elemen-tos, escrito aproximadamente em 300 a.C. por Euclides. É na Grécia que nasceram as principais ideias da geometria. E é lá que iremos ver como Euclides tratava os quadriláteros.

Na definição 19 do livro I de Os Elementos, Euclides define “figura quadrilátera” como sendo aquela “contida por quatro linhas retas”. Em seguida, na definição 22, ele apresenta caracteriza-ções de alguns quadriláteros notáveis:

Quadrado é uma figura quadrilátera de quatro lados iguais com ângulos retos.

Oblongo é uma figura quadrilátera com ângulos retos, mas que não tem quatro lados iguais.

Rombo é uma figura quadrilátera com quatro lados iguais, mas não com ângulos retos.

Romboide é uma figura quadrilátera que tem lados e ângulos opostos iguais entre si, mas não tem quatro lados iguais nem ângulos retos.

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Calçada de Copacabana, Rio de Janeiro, RJ. Di Cavalcanti. Painel em mosaico, 1952, situado no Edifício do Jornal de São Paulo, São Paulo, SP.


7ª PROVAPAULO



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Oblongo Rombo Quadrado Romboide

Podemos observar que o oblongo de Euclides é um caso particular do hoje denominado retângulo, que o rombo é um caso particular do nosso losango e que romboide é um paralelo-gramo particular.

Representaremos a seguir, por um diagrama de Venn, os conjuntos dos quadriláteros notáveis definidos por Euclides.

DAE

Quadriláteros

Oblongos Rombos Quadrados Romboides

Entre os textos de geometria que foram importantes no ensino, depois dos Elementos de Euclides, estão os Elementos de Geometria de Legendre (1793) e o tratado de Hadamard (1898), Leçons de géométrie élémentaire.

Legendre, que preconizava uma geometria mais rigorosa e menos intuitiva, caracterizava os quadriláteros notáveis da seguinte maneira:

O quadrado tem seus lados iguais e seus ângulos retos.

O retângulo tem ângulos retos sem ter os lados iguais.

O losango tem os lados iguais sem que os ângulos sejam retos.

O paralelogramo tem os lados opostos paralelos.

Podem-se observar algumas diferenças entre as definições de Legendre e as de Euclides. O oblongo e o rombo de Euclides passam a se denominar respectivamente retângulo e losango. O romboide recebe o nome de paralelogramo, mas o seu conceito é ampliado: agora, o paralelogra-mo apresenta os lados opostos paralelos. Essa alteração na definição permite que os quadrados, os retângulos e os losangos sejam também classificados como paralelogramos.

Mais tarde, em 1898, Hadamard caracteriza os quadriláteros notáveis de uma maneira mais ampla:

Quadrado é um quadrilátero que tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais.

Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais e, consequentemente, retos.

Losango é um quadrilátero que tem os quatro lados iguais.

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os quatro lados paralelos dois a dois.


7ª PROVAPAULO



Nessas novas defi nições, as restrições impostas aos retângulos e aos losangos foram eliminadas: agora todo quadrado pode ser considerado losango e retângulo. É importante observar que o processo que permitiu evoluir para as defi nições modernas de Hadamard levou muitos anos. Durante séculos, a obra de Euclides serviu de modelo para o ensino da geometria e cada novo autor de manual de geo-metria respeitava a divisão dos conteúdos da obra de Euclides, bem como as defi nições e proposições.

Quadriláteros

Paralelogramos

Qua

drad

os

Retângulos Losangos

DAE

Os quadriláteros notáveis na obra de Hadamard

Voltando ao ensino dos quadriláteros, podemos dizer que as concepções dos nossos alunos relativas às defi nições dos quadriláteros notáveis, nas séries iniciais, assemelham-se muito às de Eu-clides e Legendre. Os quadrados, losangos, retângulos e paralelogramos são identifi cados dentro de quatro classes distintas de objetos matemáticos. Quando as defi nições mais amplas são introduzidas, parece-nos que uma difi culdade do aluno em aceitá-las está no fato de ter que fazer corresponder a um único nome (por exemplo, retângulo) objetos matemáticos representados por formas diferentes (retângulo e quadrado). Compete a nós, professores de Matemática, a tarefa de acolher o saber tra-zido pelos alunos (e que não está errado!) e de fazê-los progredir lentamente para uma concepção mais ampla, como a de Hadamard, generalizando proposições relacionadas com quadriláteros.

NR

Questionamentos causados pelas defi nições diferentes de alguns quadriláteros incomodam, mas não provocam maiores consequências.

O que o professor pode fazer:

1. Adotar uma das defi nições existentes (nunca inventar novas defi nições). Se a classe estiver usando um livro-texto, adotar, de preferência, a defi nição dada no livro.

2. Avisar os alunos que talvez eles encontrem defi nições ligeiramente diferentes, pois, histo-ricamente, elas sempre existiram.

3. Responder coerentemente a perguntas como as do início deste artigo se forem feitas por alunos, mas não provocar esse tipo de questionamento.

Reforçando nosso argumento:

O que é importante saber sobre o losango? Que é um paralelogramo; que seus lados são congruentes; que suas diagonais são perpendiculares. Falar sobre os ângulos do losango é uma “questão de gosto”. Se eles puderem ser retos, o quadrado é losango. Se eles não puderem ser retos, o quadrado não é um losango. Só isso!

BONGIOVANNI, Vincenzo. As diferentes defi nições dos quadriláteros notáveis. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP, n. 55, 2004. p. 29-32.


7ª PROVAPAULO



VII. Sobre as atividades propostas

Atividade 9Consideramos que paralelogramos são trapézios. Por isso, no item b, colocamos “tem apenas

um par de lados paralelos” e, no item c, escrevemos ”têm dois pares de lados paralelos”, em vez de perguntar quais são paralelogramos e quais são trapézios.

Boxe da página 160O primeiro item trabalha as possibilidades de construção de retângulos dado o perímetro. Em

seguida, propomos o exercício de estimativas para perímetros complementadas com medidas feitas com régua e com trena. Sempre que possível, convide os alunos a realizar medidas diretas, familiari-zando-os com os instrumentos utilizados.

Atividade 21Provavelmente os alunos não perceberão de imediato que basta somar os “trechos” horizontais

e os verticais, sem haver necessidade de saber as medidas de cada segmento do contorno da figura. Esse tipo de questão estimula o pensamento criativo.

Atividade 22Depois de definir circunferência, treine os alunos no uso do compasso. Peça que tracem várias

circunferências, marcando seu centro e traçando um raio. Esta atividade reforça o fato de todos os pontos da circunferência estarem a uma mesma distância de seu centro.

Boxe da página 165Envolve a classificação de triângulos quanto aos lados e a classificação de quadriláteros para

depois propor a investigação da existência de eixos de simetria nestas figuras. Nos comentários sobre esta unidade sugerimos usar a atividade no processo de avaliação.

Unidade 11 – FraçõesI. Objetivo geral

• Reconhecer e interpretar números racionais na forma fracionária em diferentes contextos, aplicando os conhecimentos sobre frações para representar e resolver problemas.

II. Objetivos específicos• Representar partes especiais de um todo e certos resultados de medidas por meio de frações.

• Ler e escrever frações, identificando e dando significado ao numerador e ao denominador.

• Conhecer contextos históricos ligados à criação das frações.

• Calcular uma fração de uma quantidade.

• Dada uma fração de uma quantidade, obter essa quantidade.

• Identificar e obter frações equivalentes a uma fração dada.

• Comparar frações.

• Operar com frações.

• Resolver problemas envolvendo frações e suas operações.


7ª PROVAPAULO



III. ComentáriosA partir de situações contextualizadas, retomamos o significado de fração como parte de um

todo e a representação e leitura de frações. Nesta coleção, o significado de fração como quociente e o conceito de razão serão explorados a partir do 7o ano.

Destacamos o trabalho com frações equivalentes, visando à sua aplicação na comparação, na simplificação, na adição e na subtração de frações de denominadores diferentes. É importante mos-trar aos alunos como os conceitos de múltiplo e de divisor são importantes no estudo das frações.

Consideramos que há dois aspectos que devem ser assegurados:

– o aluno deve perceber que frações equivalentes representam o mesmo número, ou seja, são nume-rais diferentes para um mesmo número e, todo número natural pode ser escrito na forma de fração.

– na adição e subtração envolvendo frações, o conceito de fração equivalente é aplicado de forma consciente, evitando procedimentos do tipo: “divide pelo de baixo, multiplica pelo de cima”.

Deve-se insistir no cálculo mental para a obtenção do mmc dos denominadores na adição e subtra-ção com frações, valendo-se do processo prático só quando for realmente necessário. Também insistir na simplificação dos resultados das operações e na utilização do cancelamento nas multiplicações.

Não trabalhamos especificamente com as propriedades da adição e da multiplicação, mas por meio de atividades os alunos perceberão que estas valem nas operações que envolvem frações. Quando apresentamos a divisão envolvendo frações, introduzimos o elemento inverso, mas de ma-neira informal. No 8o e no 9o anos, as propriedades das operações serão abordadas formalmente.

Procuramos priorizar a compreensão dos significados e procedimentos envolvidos na multiplica-ção e divisão com frações, bem como sua aplicação na resolução de problemas. Na Unidade 2 do 7o ano, quando apresentaremos frações como quocientes, todas as operações serão retomadas.

O texto “As frações e as medidas” aborda a ligação entre problemas de medidas e o surgimento das frações.

Sugestão de atividadeOs alunos costumam interessar-se pela atividade dos estiradores de corda, funcionários dos faraós

do Antigo Egito. É possível aproveitar esse interesse para trabalhar algumas ideias, levando um pedaço de barbante para a sala de aula. O barbante pode ser “dobrado” de forma que você consiga dar os “nós” que o dividirão em um número n de partes iguais. Usando o barbante e a distância entre dois nós como unidade de medida, mede-se o compri-mento da sala de aula, comentando como deve ter surgido a necessidade de fracionar a unidade. Os alunos devem tentar expressar a medida com um número misto: x “nós” e uma fração de “nó” esti-mada por eles. Provavelmente também perceberão que uma distância menor entre os nós (unidade de medida menor) melhoraria a precisão da medida.

<portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19729><mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/><educar.sc.usp.br/matematica/m5p1t11.htm><educar.sc.usp.br/matematica/m5p1t7.htm>

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ando

Fav

oret

to


7ª PROVAPAULO



Sugestões para a avaliaçãoPedaços de barbante propiciam desenvolver uma atividade manipulativa interessante, que permi-

te observar a representação, a escrita, a leitura, a ideia de fração equivalente e outros conhecimentos sobre frações. Além de um pedaço de barbante de aproximadamente 1,2 m de comprimento, cada aluno deve trazer uma tesoura escolar e uma caneta hidrocor. Veja a seguir algumas sugestões de encaminhamento. Também é possível explorar outras questões.

1) Cada aluno, sentado em sua carteira, deve cortar 2 pedaços de barbante de mesmo comprimento.

Esse comprimento deve ser igual ao do seu braço esticado (do ombro ao punho).

2) Feito isso, ele deve dividir o primeiro pedaço de barbante em 4 partes iguais, dobrando-o. O pedaço não deve ser cortado. As divisões serão marcadas com a caneta hidrocor, como mostra a fotografia.

Fern

ando

Fav

oret

to

3) Usando o mesmo procedimento, ele deve dividir o segundo pedaço em 6 partes iguais. Deixe que eles façam sozinhos a divisão e as marcas. Observe e avalie este procedimento.

4) Os alunos podem inicialmente escrever no caderno as frações do comprimento do braço

marcadas em cada barbante: 14

, 16

etc. Solicite a participação de alguns oralmente (leitura

dessas frações) e de outros por escrito; estes devem ir ao quadro para registrá-las. Em seguida pode-se pedir que eles:

• comparem 14

do comprimento do seu braço com 14

do comprimento do braço de um co-

lega, para perceber que o comprimento correspondente a 14

não é o mesmo, ou seja, 14

de “algo” depende desse “algo”.

• explorem no concreto a equivalência entre frações (12

� 24

, 23

� 46

etc.) e algumas

operações como 16

� 13

� 36

� 12

, 12

� 13

� 56

.

Avalie o desempenho dos alunos nessas atividades.


7ª PROVAPAULO



IV. Integração com outras áreas do conhecimentoSugerimos estudar aspectos do Antigo Egito em conjunto com História e Geografia. Estes com-

ponentes tratam da importância geográfica e histórica do rio Nilo e dessa civilização na trajetória da humanidade. Você, como professor de Matemática, pode apresentar algumas das muitas contribui-ções dos egípcios para essa ciência. Um primeiro momento de contato com a civilização egípcia já foi proposto na Unidade 1.


Divisão de fração por fraçãoNormalmente, muitos alunos de uma turma do 1o grau têm dificuldade em entender os passos

dados na divisão por fração. Uma forma diferente de encaminhar essa divisão pode melhorar o entendimento.

Por exemplo: 6 : 23

pode ser representado na forma 6 23

e, se multiplicarmos o divisor, 23 , e

o dividendo, 6, pelo número 32

transformamos o divisor em 1. Representamos:

6 � 32

23

� 32

ou 6 � 32

1 ou 9 1

que tem 9 como resultado. É claro que 9 é também o resultado da divisão original 6 : 23 , uma vez que

a multiplicação do divisor e do dividendo por um mesmo número não altera o resultado da divisão.

Um outro exemplo:

23

: 47

ou 23

47

ou 23

� 74

47

� 74

ou 76

1

que é igual a 76 .

MADEIRO, Paulo C. Divisão de fração por fração. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: IME-USP n. 30, 1996. p. 22.

VI. Sobre as atividades propostasAtividade 25

Propõe que os alunos descubram como extrair inteiros dada uma fração imprópria, apresentando esta terminologia, que por vezes é usada.

Box da página 191Antes de enunciar a regra da divisão por fração, é conveniente que os alunos cheguem aos quo-

cientes solicitados usando desenhos, para compreenderem melhor a regra geral.

Unidade 12 – Números decimaisI. Objetivos gerais

• Estender as regras do sistema de numeração decimal para representar números racionais na forma decimal, compreendendo esses registros.

• Reconhecer a forma decimal dos números racionais em diferentes contextos, aplicando-os na representação e na resolução de situações-problema.


7ª PROVAPAULO



II. Objetivos específicos• Escrever frações decimais na forma de número decimal e vice-versa.• Ler números decimais.• Utilizar números decimais para registrar medidas.• Comparar números decimais.• Operar com números decimais e estimar resultados.• Resolver problemas envolvendo números decimais.

III. ComentáriosEstendendo as regras do sistema de numeração decimal, retomamos o registro e a leitura

dos números racionais na forma decimal. Os alunos possuem conhecimentos anteriores sobre os números decimais. A partir do 6o ano esses conhecimentos são aprofundados e organizados. O trabalho com figuras e com o registro de medidas é importante nesse processo. Explorar a régua é importante. Muitos alunos chegam ao 6o ano com dúvidas na sua utilização. Peça que tracem segmentos com diferentes medidas, usando números decimais. Se for possível, leve para a sala de aula uma balança e um termômetro clínico nos quais seja possível observar as subdivisões decimais das unidades. Explore, junto com os alunos, a leitura de medidas feitas com régua e com esses instrumentos.

Uma situação do cotidiano introduz a adição e a subtração de números decimais. O texto lembra que o mesmo procedimento adotado na adição de números naturais, ou seja, considerar as centenas, as dezenas e as unidades que formam esses números e reuni-las, separadamente, reagrupando, se necessário, pode ser utilizado com os números decimais. Colocar vírgula embai-xo de vírgula facilita o processo.

Na comparação de números decimais, vale lembrar que, enquanto com números naturais o número de ordens na escrita do número é um indicador de ordem de grandeza, com números decimais isso não ocorre: 7,1 > 2,6734, por exemplo. Você deve estar atento a essa provável dificuldade dos alunos.

Observando padrões nas multiplicações e divisões por 10, 100, 1 000 etc., o aluno compreenderá como obter o produto de números decimais. Esses padrões também serão importantes na escrita de números na notação científica, assunto do 8o ano.

Trabalhamos a divisão de números naturais com quociente decimal, retomando mais uma vez as regras do sistema de numeração decimal. Os procedimentos para a divisão de números decimais serão bem compreendidos a partir da propriedade já vista na Unidade 4 e retomada no início da sessão que discute a divisão de números decimais. Retome essa propriedade propondo que os alunos façam divisões como as abaixo, chegando eles mesmos à conclusão.

12 : 3 � 4 24 : 6 � 4 240 : 60 � 4 2 400 : 600 � 4 etc.

�2 �10 �10�2 �10 �10

Enfatizamos o trabalho com estimativas por arredondamento para o resultado de operações com números decimais. É importante mostrar aos alunos como as estimativas podem evitar erros. Sempre que for efetuar uma operação, peça que eles estimem a ordem de grandeza do resultado. Por exem-plo, é comum os alunos errarem em divisões do tipo 81,6 : 8. Em geral, eles apontam erradamente 1,2 como quociente. Se estimarem que “81 : 8 dará pouco mais do que 10”, perceberão seu erro.


7ª PROVAPAULO



Destacamos, em boxes ao longo do texto, situações que podem trazer dificuldade para os alu-nos e que merecem sua atenção. A multiplicação por um número racional entre 0 e 1 resulta um produto menor do que o número inicial. Na divisão por um número racional entre 0 e 1, o quociente obtido é maior do que o número inicial. Você pode utilizar outros exemplos simples (� 0,5 e : 0,5) e figuras, para tornar claro por que isso ocorre.



Sugestões para a avaliaçãoOs números decimais estão presentes em inúmeros contextos. Usando jornais, revistas, propa-

gandas, folhetos e da observação de situações do cotidiano, os alunos, divididos em trios, podem elaborar e resolver problemas envolvendo números decimais e suas operações. O encaminhamento da atividade seria o mesmo sugerido para as Unidades 3 e 4.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoA atividade sugerida anteriormente contempla a aplicação de conteúdos vistos em outras áreas

de atividade humana, pois pretende que os alunos elaborem problemas com base em situações reais.


Box da página 202Pode ser usado como motivação para o aprendizado do conteúdo, pois pretende mostrar o

quanto os números decimais são frequentes no cotidiano. Deixe que os alunos, depois de colarem os recortes, identifiquem qual a aplicação de cada número: medida de comprimento, de massa, preço etc.

Unidade 13 – PorcentagensI. Objetivo geral

• Reconhecer a importância das porcentagens no contexto social e científico, sabendo identifi-car valores correspondentes a porcentagens básicas.

II. Objetivos específicos• Identificar o símbolo % com centésimos.

• Construir estratégias variadas para o cálculo de porcentagens.

• Escrever porcentagens na forma de número decimal.

• Utilizar corretamente a calculadora para determinar porcentagens.

• Resolver problemas envolvendo porcentagens.


7ª PROVAPAULO



III. ComentáriosAs porcentagens, seus significados, suas representações e aplicações serão abordadas em vários

momentos nesta coleção.

Nesta unidade, associamos o símbolo % com centésimos, priorizando o cálculo mental das por-centagens básicas, dando-lhes significado.

O texto e os exercícios exploram situações contextualizadas envolvendo porcentagens. Você pode se valer de outros exemplos que abordem temas do interesse de seus alunos: esportes, música, informática, futuras profissões, preços de eletroeletrônicos etc. Jornais, revistas e internet são impor-tantes fontes para exemplos e atividades.

Destacamos a importância do uso da calculadora, sempre associado à ideia de que sua operação e utilidade dependem do domínio dos conceitos matemáticos. Mostramos como empregar a calcula-dora para determinar porcentagens. Sugerimos exercitar esse uso com os alunos.

<www.objetoseducacionais2.mec.br/handle/mec/10468>

Sugestões para a avaliaçãoComo dissemos, porcentagens estão presentes em inúmeros assuntos. A sugestão que apresen-

tamos abaixo é uma entre muitas possibilidades. Os problemas ligados à produção e ao destino do lixo provavelmente foram trabalhados com os alunos nos anos anteriores. Essa temática pode gerar um trabalho interessante que envolva a Matemática na pesquisa e análise de dados numéricos, vi-sando à educação ambiental. A análise e a discussão desses dados serão utilizadas para avançar um pouco mais com os alunos em sua formação cidadã, pois o fechamento do trabalho será a elabo-ração de um texto coletivo que apresente propostas concretas (mesmo que pequenas, limitadas ao âmbito escolar) que contribuam para diminuir a produção do lixo.

Aula 1

Você pode motivar a sala, levantando questões como:

• Quando jogamos o lixo na lixeira, ele desaparece?

• O que acontece com o lixo depois que o jogamos fora?

• Quanto será que uma pessoa produz de lixo por dia? E um país?

• Para onde vai esse lixo? Etc.

Em seguida, os alunos podem ser divididos em grupos de três. O produto final será um cartaz.

Cada trio pesquisará:

1) O que é considerado lixo? Quais os tipos de lixo existentes (orgânico, tóxico etc.)?

Todos os grupos farão essa parte da pesquisa.

2) Dados a respeito de um dos seguintes temas (um deles para cada trio):

• Composição média do lixo urbano (tipo de material e porcentagem aproximada na composi-ção do lixo: metal, vidro, plástico, papel, lixo orgânico etc.).


7ª PROVAPAULO



Reciclagem 1

• Quais os materiais recicláveis?

• Quanto tempo cada material demora para se decompor na natureza?

• Quantidade de lixo produzido no Brasil e no mundo, por dia.

Reciclagem 2

• Números da reciclagem no Brasil: porcentagem reciclada de cada tipo de material.

Reciclagem 3

• Números da reciclagem no mundo.

• Coleta do lixo: porcentagem de domicílios que têm esse serviço e porcentagem de cidades brasileiras que têm coleta seletiva.

• Destinos do lixo (lixões, usinas de compostagem, aterros sanitários): porcentagem de lixo que vai para cada um desses destinos.

Sugerimos que a pesquisa seja individual, para evitar que precisem encontrar-se fora do horário das aulas. Na aula 2, as pesquisas serão socializadas entre os três componentes.

Divida os temas entre os grupos e forneça a bibliografia para as pesquisas, marcando uma data (duas ou três semanas adiante) para que o grupo traga o material colhido. Se a escola possuir biblio-teca ou hemeroteca, pode-se pedir que os funcionários recolham com antecedência artigos, reporta-gens para que os alunos possam consultar. Colocamos abaixo algumas sugestões de sites confiáveis que tratam desses assuntos: <www.cempre.org.br>, <www.lixo.com.br>, <www.ciaeco.com.br>, <www.ib.usp.br>, <www.ambientebrasil.com.br>.

É importante explicitar o cronograma de trabalho e o que será avaliado. Veja a seguir uma suges-tão de tabela para a distribuição da nota.

Alunos do grupo

Aula 2Pesquisa

VALOR 1,5 Atitude

VALOR 1,0

Aula 3Execução em sala

VALOR 1,5

ConteúdoVALOR 4,0

Aula 4Apresentação dos trabalhos

VALOR 1,0

Aula 5 Debate e

texto coletivoVALOR 1,0

Nota final de 0 a 10

Tema Reciclagem 1

Ana

Silvia

Rui

Tema Reciclagem 2

Luís

etc.


7ª PROVAPAULO



Aula 2

Na aula marcada, os trios se reúnem para organizar as pesquisas e definir o formato do trabalho: título, quais dados colocarão, se usarão tabelas e gráficos, se colocarão curiosidades, conclusões etc.

Circule pela sala, atribuindo uma nota individual para as pesquisas e orientando os grupos quan-to ao conteúdo e à formatação do trabalho. Esse momento também é propício para a avaliação da parte atitudinal. Apresentamos sugestões de como fazê-lo nos comentários da Unidade 1. No final da aula, cada grupo deve ter, por escrito, um roteiro de tarefas (quais e quem as fará) para a execução do trabalho em classe, na aula seguinte.

Aula 3

Montagem e entrega do cartaz. Sugerimos o uso de papel canson A4 no lugar de cartolina. O grupo fará o trabalho em classe. Novamente, você deve acompanhar e avaliar os grupos.

Aula 4

Depois da correção dos conteúdos, devolva os trabalhos, e os grupos socializam suas informações por meio de breve exposição oral nesta aula. Os alunos devem anotar informações importantes para discuti-las durante a aula de fechamento do trabalho, cuja data será marcada por você.

Aula 5

Nesta aula você deve mediar uma grande conversa entre todos os alunos, retomando informações, ouvindo a análise que eles fizeram dos dados pesquisados. O objetivo é escrever com eles um texto coletivo que contenha as principais informações levantadas e, principalmente, propostas criadas por eles para diminuir a produção de lixo na escola e em suas casas. Quando o texto estiver pronto e revisado, pode ser divulgado para o restante da comunidade escolar.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoO trabalho sugerido no item anterior apresenta diversas oportunidades para a participação de

outras disciplinas: Geografia, História e Ciências podem promover a motivação dos alunos, orientar as pesquisas, apresentar textos que complementem os temas selecionados. A ligação com Língua Portuguesa na elaboração e correção do texto coletivo seria muito proveitosa.

Outros temas ligados à saúde, ao meio ambiente, ao esporte, à cultura, ao trabalho e ao con-sumo podem ser trabalhados por várias disciplinas, cada uma explorando o cálculo de porcentagens num recorte adequado a seu conteúdo.


Uma forma interessante de propor questões tipo testeNa Revista do Professor de Matemática número 27 há um artigo com exemplos de ques-

tões compiladas pela professora Renate Watanabe a partir de um exame realizado nos EUA: o Scholastic Aptitude Test (SAT). O que há de interessante nessas questões? Elas envolvem o que se intitula comparações quantitativas.

Em geral, questões de múltipla escolha apresentam enunciado e cinco alternativas, sendo uma delas a correta. As questões mencionadas acima também são do tipo teste, mas têm outra estrutura.


7ª PROVAPAULO



Para exemplificar, apresentamos a seguir 3 questões nesse estilo, criadas por nós autores, utilizando porcentagens, que é o assunto desta Unidade. Veja como a ideia é interessante e pode ser aproveitada na elaboração de atividades envolvendo vários conteúdos.

Na prova do SAT, as questões eram precedidas das seguintes instruções:

“Em cada teste há duas quantidades, uma na coluna A e outra na coluna B. Você deve comparar as duas quantidades e na folha de respostas assinalar:

A, se a quantidade da coluna A for a maior.

B, se a quantidade da coluna B for a maior.

C, se as duas quantidades foram iguais.

D, se a relação entre as quantidades não puder ser determinada a partir das informações dadas.”

Coluna A Coluna B Respostas

15% de 20 reais

10% de 30 reais

A B C D

0,028 28% A B C D

20%15

A B C D


Atividades 1 a 6Exercitam a relação entre porcentagens e frações. Atente para o trabalho com a simplificação das

frações e as equivalências básicas: 14

� 25%, 12

� 50%, 34

� 75%, 15

� 20%.

Unidade 14 – MedidasI. Objetivo geral

• Ampliar a construção do conceito de medida, percebendo sua importância nas situações do cotidiano, do trabalho e das ciências.

II. Objetivos específicos

• Identificar grandezas como comprimento, área e volume.

• Registrar medidas de comprimento usando unidades de medidas padronizadas ou não.

• Estimar comprimentos.

• Compreender as vantagens do uso de unidades de medidas padronizadas.

• Registrar medidas de comprimento no sistema métrico decimal.

• Fazer conversões entre as principais unidades de medida do sistema métrico decimal.


7ª PROVAPAULO



• Construir o conceito de área.

• Medir superfícies usando unidades de medida padronizadas ou não.

• Construir o metro quadrado e relacioná-lo ao centímetro quadrado e ao quilômetro quadrado.

• Estimar áreas.

• Calcular a área de retângulos e quadrados.

• Construir o conceito de volume.

• Registrar volumes usando unidades de medida padronizadas ou não.

• Identificar unidades de medida de volume e de capacidade em situações concretas.

• Constatar que 1 dm³ � 1 L.

• Conceituar massa e registrar medidas de massa usando unidades padronizadas.

III. ComentáriosO trabalho com medidas permeia toda a obra, em unidades específicas, conectado à Geometria,

Álgebra e estudo dos números.

Essa unidade apresenta o significado de medida e discute a necessidade de padronização de uni-dades de medida. É interessante fazer algumas medidas utilizando unidades não padronizadas como o passo e o palmo para enfatizar essa necessidade.

Aspectos históricos ligados à evolução dos padrões de medida são apresentados. Os alunos costumam se interessar por unidades de medida pouco usadas atualmente, como a jarda e o pé.

Aproveite esse interesse para discutir as vantagens do sistema métrico decimal em relação a outros sistemas, como o inglês.

Sugerimos que você leve para a sala de aula régua, fita métrica, trena, metro de carpinteiro e mostre, concretamente, o metro, o decímetro, o centímetro e o milímetro. Provavelmente, os alu-nos já realizaram trabalho semelhante em anos anteriores, mas vale a pena retomá-lo. O trabalho com régua é sempre desejável. Peça a eles que desenhem no caderno segmentos com 10,3 cm, 3,8 cm, 45 mm, 2 dm etc.

Se possível, meça com os alunos comprimentos maiores como o da quadra ou o do pátio da escola. Apresente questões do tipo: “Quantos comprimentos iguais a esse precisamos para ter 100 m? E para ter 1 km?”.

O trabalho com material concreto também é importante para a compreensão do conceito de área. Auxilie os alunos na construção do metro quadrado com folhas com quadradinhos de 1 cm de lado, constatando que 1 m² � 10 000 cm². No 7o ano aprofundaremos as conversões entre unida-des de área do SMD. Propusemos uma atividade que ajuda os alunos a descobrir as relações entre quilômetro quadrado e centímetro quadrado. O texto e os exercícios buscam exercitar a habilidade de estimar medidas.

Apresentamos o conceito de volume com o empilhamento de caixas, chegando às unidades pa-drão e ao cálculo do volume do bloco retangular. Em outras oportunidades, nos anos seguintes, essas ideias serão retomadas e aprofundadas.


7ª PROVAPAULO



Destinamos uma sessão à aplicação prática das principais unidades de medida de volume e de capacidade. Se possível, leve para a sala de aula latas, garrafas PET, jarra graduada etc.

Também propusemos que o aluno constate experimentalmente que 1 dm³ � 1 L. Caso não seja possível cada aluno construir seu decímetro cúbico, você pode construir um e levá-lo para a sala, junto com uma jarra graduada. Use grãos de arroz no lugar de água.

As relações 1 cm³ � 1 mL e 1 m³ � 1 000 L serão vistas no 7o ano.

A unidade se encerra com as medidas de massa. Apresentamos “massa” como a quantidade de matéria de um corpo e no boxe da página 256, diferenciamos peso de massa. No entanto, em nota explicamos que em várias atividades usaremos a palavra peso em vez de massa para nos aproximar-mos da linguagem comum.

<mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais>

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoAs medidas estão presentes nas mais variadas atividades humanas.

Você pode pedir aos alunos que observem e anotem, durante um certo período de tempo, todas as situações que vivenciaram envolvendo medidas e preparem um relatório. Por exemplo:

• Numa viagem no fim de semana, vi uma placa que indicava: Santos – 50 km.

• Fui à loja de armarinhos e comprei 4 m de fita de cetim.

• Num anúncio no jornal de hoje estava escrito: carpete de náilon 10 mm – R$ 23,00 por metro quadrado colocado.

• Minha mãe pediu para eu comprar na padaria 400 g de mussarela e uma garrafa de 2 L de refrigerante.

Os relatórios devem ser comentados pela classe e, em seguida, solicite que os alunos relacionem as unidades de medida com os diversos tipos de grandezas, como: comprimento, área, capacidade, volume, tempo, massa etc. Para encerrar, peça que escrevam um pequeno texto falando sobre a importância das medidas em nossa vida.


Boxe da página 237Essa atividade é interessante, pois mostra o inconveniente de medir com unidades não padroni-

zadas como o passo. É o momento de discutir com os alunos os motivos que levaram à criação do SMD. Pode-se pedir, por exemplo, que pesquisem unidades de medida que não pertencem ao SMD, como a milha, por exemplo. Em geral, os alunos gostam de saber quanto vale uma milha em metros. Posteriormente, durante o estudo de medidas de superfície, podem pesquisar unidades agrárias como o alqueire e o hectare.


7ª PROVAPAULO



Boxe da página 241

Propusemos que os alunos descubram como converter metros em milímetros e vice-versa. Deixe que troquem informações, mediando e corrigindo se as conclusões não forem as esperadas. Reforce sempre o significado dos prefixos: deci, centi, mili, associando-os à décima parte, centésima parte e milésima parte.

Atividades 18 a 34

Nesse volume, os problemas e questões envolvendo áreas exploram mais o conceito de área e o cálculo de áreas de quadrados e de retângulos, por meio de problemas em sua maioria contextualizados.

Atividades 35 a 50

As unidades de capacidade são comuns no dia a dia – resgate dos alunos conhecimentos prévios sobre elas antes de fazer a leitura do texto didático e de propor a realização das atividades, que têm foco no conceito e na aplicação de cada tipo de unidade de medida de volume e capacidade.

Atividade 55

Explorar rótulos de produtos é interessante quando se fala em capacidade e também em massa. Esta atividade apresenta o significado de peso líquido e de peso bruto.

7. Avaliação – O que se pede por aíO objetivo deste item é oferecer a você, professor, exemplos de questões sintonizadas com as

atuais tendências para a avaliação em Matemática, que têm, como pontos básicos, a aproximação com o cotidiano, a articulação entre conteúdos e a mobilização de habilidades diversificadas para a resolução de problemas.

Neste volume, as questões foram selecionadas a partir de avaliações aplicadas pelo Colégio de Aplicação – Universidade Federal de Pernambuco (CAP-UFPE) nos anos de 1998, 1999, 2002, 2003, 2005, 2008 e 2009.

1. Utilizando todos esses algarismos 1, 3, 4, 7 e 8, escreva:

a) o maior número que se pode formar, sem repetir algarismos.

b) o menor número par que se pode formar, sem repetir algarismos.

c) o maior número ímpar inferior a 14 000 que se pode formar, sem repetir algarismos.

2. Os números 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... formam uma sequência decrescente onde se vê os seis primeiros termos. Então, o sétimo termo é:

( A ) 25 ( B ) 24 ( C ) 23 ( D ) 22

3. Amanda, Bárbara, Camila e Daniele jogam na equipe de basquete da escola que estudam. Num certo jogo, elas tiveram o seguinte desempenho: Camila fez 46 pontos; Bárbara marcou três pontos a menos do que Amanda; Daniele fez a metade de pontos que Camila conseguiu fazer e Amanda marcou 7 pontos a mais que Daniele. Com essas informações responda:

a) Quantos pontos Bárbara marcou?

b) Quem marcou menos pontos?


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4. Qual o número que se deve colocar no espaço sombreado da expressão abaixo de modo que a igualdade seja verdadeira?

3 � 18 � � 6 � 4

5. A balança representada pela figura abaixo está em equilíbrio.

Considerando que objetos iguais tem o mesmo “peso” e que cada cilindro “pesa” 45 g; qual deve ser o “peso” de cada bloco?

6. Complete a sequência abaixo, colocando um número no interior de cada um dos três primei-ros retângulos, de modo que ao efetuarmos as operações indicadas, o resultado seja 45.

� 25 � 12 � 9 45

7. O gráfico abaixo representa a quantidade de bicicletas vendidas por uma loja em seis meses:

160150140130120110100

908070605040302010

0

Qua

ntid

ade

de B

icicle

tas V

endi

das

MesesJan AbrFev MaiMar Jun

LOJA BICICLETAS DO BRASIL

Marque com V ou F:

a) A loja vendeu no mês de maio 30 bicicletas a menos que no mês de abril ( ).

b) Em todos os meses, a loja vendeu mais de 100 bicicletas ( ).

c) Durante os três primeiros meses, a loja vendeu um total de 290 bicicletas ( ).

d) A meta da loja era vender nos seis meses 1 000 bicicletas, faltaram apenas 330 bicicletas para atingir essa quantidade ( ).

Ilust

raçõ

es: D

AE


7ª PROVAPAULO



8. Em um mês de 31 dias, o dia 10 foi num sábado.

a) Em que dia da semana foi a primeira segunda-feira desse mês?

b) Em que dia da semana foi a última segunda-feira desse mês?

9. Observe a pilha de blocos.

a) Quantos blocos iguais a este há nesta pilha?

b) Assinale a figura que representa a vista (lateral direita) que está sendo indicada pela seta.

A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( )

10. Observe a figura abaixo.

a) Quantos vértices essa figura tem?

b) Quantas arestas ela tem?

c) E quantas faces?

d) Assinale a alternativa cujo desenho não corresponde a uma das possíveis planificações da figura desenhada acima.

Ilust

raçõ

es: D

AE

A ( ) B ( ) C ( ) D ( )


7ª PROVAPAULO



11. É muito comum as crianças decidirem no “par ou ímpar” quem começa uma partida de fu-tebol, por exemplo. Ganha quem adivinhar a “soma” dos números de dedos apresentados por dois participantes, em uma de suas mãos. Se um dos participantes apresentar a mão fechada, considera-se que o valor indicado por ele é zero.

�Com base nesse tipo de sorteio, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) ao lado de cada uma das afirmações abaixo.

a) ( ) Na disputa indicada na figura acima Marcelo foi o ganhador.

b) ( ) Num jogo de par ou ímpar, a soma dos dedos de dois jogadores pode dar 7 (sete).

c) ( ) A chance de “dar” par é igual à chance de “dar” ímpar.

d) ( ) Só há uma possibilidade de dar soma cinco.

e) ( ) A chance de “dar” soma 10 (dez) é maior do que a chance de “dar” soma 5 (cinco).

12. Observe a figura abaixo.

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) ao lado de cada afirmação abaixo:

a) ( ) A parte pintada da figura corresponde a 14

da mesma.

b) ( ) A parte pintada da figura corresponde a 15

da mesma.

c) ( ) A parte pintada da figura corresponde a 0,25 da mesma.

d) ( ) A parte pintada da figura corresponde a 0,2 da mesma.

13. Coloque em ordem crescente (do menor para o maior) os seguintes números racionais:

1,454

1,0958

João Marcelo

Par!

Ímpar!

DAE

Hélio

Sen

ator

e


7ª PROVAPAULO



14. Em cada caso abaixo, escreva nos espaços pontilhados os números que tornam as senten-ças verdadeiras:

a) 12

� ..... � 34

d) 23 � ..... � 471,5

b) 2 12

� ..... � 1 e) 287 � ..... � 28,7

c) 12,8 � ..... � 53,1 f ) 42 � ..... � 420

15. Pretendendo comprar uma TV, João pesquisou o preço em duas lojas “A” e “B”, cujas formas de pagamento estão apresentadas a seguir.

TV

À VISTA R$ 980,00

OU

6 � R$ 170,00

TV R$ 1.080,00

DESCONTO DE 10% À VISTA OU

EM 6 VEZES SEM JUROS

Observe os preços e responda:

a) Se João pretendesse comprar essa TV à vista, que loja ofereceria o menor preço e quanto ele economizaria?

b) Se João pretendesse comprar essa TV em 6 vezes, que loja ofereceria o menor preço e quanto ele economizaria?

16. São necessários 600 cm2 de papel para recobrir uma embalagem cúbica como esta desenha-da a seguir:

Quantos centímetros quadrados, no mínimo, serão necessários para recobrir uma embalagem formada por três cubos iguais ao anterior, mas colados e dispostos como mostra a figura abaixo?

Loja A Loja B

Hélio

Sen

ator

e

DAE

DAE


7ª PROVAPAULO



17. Josué quer comprar latas de tintas para pintar todo o chão da quadra, representado pelo re-tângulo abaixo:

12 m

18 m

Quadra

Uma lata possui 5 litros de tinta, e com 1 litro dessa tinta pintam-se perfeitamente 8 m2 do chão. Quantas latas de tinta Josué deve comprar?

18. Clarice quer encher um baú como este com cubos iguais ao desenhado:

6

6

4

22

2

Quantos desses cubos (de aresta 2) são necessários para preencher completamente esse baú, sem ultrapassar a borda?

Ilust

raçõ

es: D

AE

Respostas:

1. a) 87 431

b) 13 478

c) 13 847

2. c

3. a) 27 pontos

b) Daniele.

4. 300

5. 90 g

6. 1 500; 60; 5

7. a) F

b) F

c) V

d) V

8. a) dia 5

b) dia 26

9. a) 9 blocos

b) D

10. a) 9 vértices

b) 16 arestas

c) 9 faces

d) B

11. a) F

b) V

c) V

d) F

e) F

12. a) F

b) V

c) F

d) V

13. 58

; 1,09; 1,25; 1,4

14. a) 14

b) 32

c) 40,3

d) 20,5

e) 10

f) 0,1 ou 110

15. a) Loja B; R$ 8,00.

b) Loja A; R$ 60,00.

16. 1 400 cm2

17. 6 latas

18. 18 cubos


7ª PROVAPAULO



8. Sugestões de livros e sites para o professor

No magistério, como em várias outras profissões, estudar continuamente e atualizar-se é indispensável.

Fornecemos algumas sugestões de livros e sites que podem auxiliá-lo nessa nobre tarefa – a de ensinar.

8.1 Livros

8.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas• BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática.

São Paulo: IME–USP, 1995.

• ENZENSBERGER, Hans. O diabo dos números. São Paulo: Cia. das Letras, 1997.

• KALEFF, Ana Maria. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Rio de Janeiro: Eduff, 2003. (Coleção O Prazer da Matemática.)

• KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1996.

• LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 1997.

• OBERMAIR, G. Quebra-cabeças: truques e jogos com palitos de fósforos. Rio de Janeiro: Ediouro, 1981.

• SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; MILANI, Estela. Cadernos do Mathema: Jogos de Matemática de 6o a 9o ano. São Paulo: Artmed, 2007.

• TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987.

• ______. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2001.

8.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática • BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996.

• CARAÇA, Bento Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1998.

• IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992.

• MIGUEL, A.; MIORIM, M.A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Ho-rizonte: Autêntica, 2004.

• MIORIM, M.A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998.

• STRUICK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.

8.1.3 Paradidáticos• Coleção Contando a História da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1996. Flashes

da História da Matemática e situações-problema para o aluno resolver.




• Coleção Pra que serve Matemática? Diversos autores. São Paulo: Atual, 1990. Temas variados como: Números negativos, Ângulos e Álgebra, entre outros.

• Coleção Vivendo a Matemática. Diversos autores. São Paulo: Scipione, 1990. Temas varia-dos como: problemas curiosos, os números na história das civilizações, teorema de Pitágoras, Lógica, Poliedros etc.

• Série A descoberta da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1991. Temas variados como: Números negativos, Frações e Ângulos, entre outros.

• BELLOS, Alex. Alex no país dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.

8.1.4 Educação Matemática• CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, na escola

zero. São Paulo: Cortez, 1995.

• Coleção Matemática: aprendendo e ensinando. Diversos autores. São Paulo: Atual.

• Coleção Tendências em Educação Matemática. Diversos autores. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

• COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.). As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1994.

• D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 2001.

• KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1980.

• LINDQUIST, M. M.; SCHULTE, Albert P. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.

• MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna. São Paulo: Cortez, 1990.

• MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. O ensino da Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986.

• POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

Coleção de publicações do CAEM–IME/USP:

1. O uso de malhas no ensino de Geometria.

2. Materiais didáticos para as quatro operações.

3. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria.

4. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil.

5. Álgebra: das variáveis às equações e funções.

6. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática.

7. A Matemática das sete peças do Tangram.

O Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) é um órgão de extensão vinculado ao Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP). O Caem assessora professores, promovendo cursos e produzindo materiais de apoio para as aulas de Matemática. O site do Caem e o e-mail para contato são, respectivamente, <http://www.ime.usp.br/caem> e [email protected].




8.2 Revistas• Revista do Professor de Matemática (RPM)

Conhecida como RPM, a revista é distribuída ininterruptamente desde o ano de 1982, e é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que, dentre outras atividades, promove também as Olimpíadas de Matemática. O endereço para contato com a RPM é Caixa Postal 66.281 – São Paulo (SP), CEP 05311-970, fone: (11) 3091-6124, e o ende-reço eletrônico é [email protected]. O site da revista é www.rpm.org.br, e nela o professor encontrará artigos sobre ensino de Matemática e discussões gerais que podem auxiliá-lo em suas dúvidas.

• Boletim de Educação Matemática (Bolema)

O Bolema foi criado no ano de 1985, no Programa de Pós-graduação em Educação Matemá-tica da Unesp de Rio Claro, que é o mais antigo Programa de Pós-graduação, nessa área, na América Latina. Voltado à divulgação de artigos de pesquisa, todo o conteúdo da revista está disponível gratuitamente no site <www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br>. Atualmente o BO-LEMA tem três edições anuais e alguns números especiais, voltados à discussão de temas espe-cíficos (Ensino de números racionais (de 2008), Avaliação em Matemática (de 2009), História da Educação Matemática (de 2010), Educação Estatística (de 2011) e Modelagem Matemática (de 2012).

• Revista Zetetiké

O nome Zetetiké está relacionado ao termo “pesquisa”. A revista Zetetiké é uma publicação do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) da Faculdade de Edu-cação da Unicamp. A Zetetiké circula bimestralmente desde o ano de 1993 e todas as suas edições podem ser acessadas gratuitamente em: <www.fe.unicamp.br/zetetike/archive.php>.

• Boletim Gepem

O Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática (Gepem) é um grupo carioca que começou a funcionar no ano de 1976 e é o mais antigo ainda em funcionamento no Brasil. Voltado a publicar artigos de pesquisa e experiências em sala de aula, o Boletim Gepem, de periodicidade bimestral, pode ser acessado gratuitamente no site: <www.gepem.ufrrj.br>.

• Revista Nova Escola

Publicada pela Editora Abril, a revista Nova Escola é uma revista especifica de Educação Matemática, seu conteúdo é sobre Educação. Frequentemente, porém, podemos encon-trar em suas páginas artigos que tratam do ensino e aprendizagem de Matemática, além de textos relativos a outras disciplinas e de discussões gerais acerca das práticas escolares. Ao contrário das demais publicações aqui referenciadas, a revista Nova Escola é uma edi-ção comercial, que pode ser comprada em bancas e cujas edições são mensais. O site da revista é: <www.novaescola.org.br>.




• Revista Educação e Matemática

A Educação e Matemática é um periódico da Associação de Professores de Matemática de Portugal, publicada desde 1987 e com periodicidade atual de cinco edições anuais. A revista publica artigos sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, relatos de experiências e pro-postas de atividades para a sala de aula. Há alguns artigos e materiais disponíveis on-line (o acesso integral a todos os artigos só é possível a associados) pelo site: <www.apm.pt/portal/em.php>.

8.3 SitesVivemos num mundo de comunicação e informação, o que implica serem infinitas as pos-

sibilidades de encontrarmos, à nossa disposição, motivações e propostas para implementarmos em sala de aula ou usarmos para nossa formação complementar continuada, para atualizarmos nossos conhecimentos. A internet é um dos melhores exemplos dessas infinitas possibilidades. Mas exatamente por serem tantas as informações disponíveis, os professores devem ser caute-losos quando “passeando” pelo mundo virtual. Embora sugestões criativas para nosso trabalho possam vir de onde menos se espera – o mundo está cheio de situações que podem ser usadas criativa e criteriosamente em nossas salas de aula – nossas visitas a sites na internet não podem prescindir de uma boa dose de cuidado. Para auxiliar os professores em suas buscas, oferecemos alguns sites. Páginas virtuais de grupos de pesquisa, universidades, centros de formação conhe-cidos, profissionais experientes, instituições oficiais e não governamentais reconhecidas por sua atuação e programas de pós-graduação são endereços mais seguros – embora não sejam os únicos – que podem, ao serem acessados, informar o professor e motivá-lo a criar atividades e abordagens para seu cotidiano escolar. Alguns sites já foram disponibilizados nos tópicos ante-riores, outros seguem abaixo:

• www.mathema.com.br

O Mathema é um grupo que investiga novos métodos e materiais para o ensino de Matemá-tica. Seu site contém textos e materiais para vários níveis de escolaridade.

• www.sbm.org.br

• www.sbem.com.br

• www.apm.pt

A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) –, a Sociedade Brasileira de Educação Matemá-tica (SBEM) e a Associação de Professores de Matemática de Portugal (APM) são sociedades voltadas à pesquisa e ao ensino, e em seus sites os professores podem encontrar informações sobre eventos e publicações. Essas sociedades mantêm revistas especializadas em ensino de Matemática – a SBM publica a Revista do Professor de Matemática; a APM publica as revistas Quadrante (revista teórica e de investigação) e Educação e Matemática; a SBEM publica, além de boletins eletrônicos frequentes, a Educação Matemática em Revista e a Revista Internacio-nal de Pesquisa em Educação Matemática (Ripem). Cada estado da Federação tem uma SBEM regional, e muitas delas também mantêm boletins e revistas com informações e atividades para professores de Matemática.




• www.ibge.gov.br

• www.ibge.gov.br/paisesat/main.php

Site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística e do link em que recentemente foi dis-ponibilizado um mapa-múndi digital. Esse mapa-múndi traz síntese, histórico, indicadores sociais, economia, redes, meio ambiente, entre outras curiosidades, relativos a todos os países do mundo.

Veja, a seguir, exemplos – dentre os muitos existentes – de sites de Programas de Pós-graduação em Educação Matemática ou de Ensino de Ciências e Matemática em funcionamento no Brasil. Nesses sites o professor pode encontrar informações sobre cursos, disciplinas, eventos e outras atividades rela-tivas à pesquisa sobre o ensino de Matemática e a práticas de ensino de Matemática.

• www.rc.unesp.br/igce/pgem/

• www.pucsp.br/pos/edmat/

• www.propesq.ufpe.br/index.php?option=com_content&view=article&id=70&Itemid=138

• www.pg.im.ufrj.br/pemat/mestrado.htm

• www.edumat.ufms.br/

• www.mat.ufrgs.br/~ppgem/

• www.ufjf.br/mestradoedumat/

• www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/

Outros sites de interesse para os professores de Matemática • www.cabri.com.br/index.php

• www.matinterativa.com.br/layout.swf

• www.ime.usp.br/~matemateca

• www.somatematica.com.br

• educar.sc.usp.br/matematica

• matematica.com.sapo.pt

• nautilus.fis.uc.pt

• www.programaescoladigital.org.br

• www.obm.org.br

• www.obmep.org.br

Portais educacionais e objetos de aprendizagemObjetos de aprendizagem (OA) são jogos, animações, experimentos, vídeos, textos etc., disponi-

bilizados na internet para uso de professores e alunos.

Há vários portais e repositórios que podem ser consultados. Seguem sugestões:

• mdmat.mat.ufrgs.br

• www.wisc-online.com/ListObjects.aspx

• www.apm.pt/portal/index.php?id=26373

• www.mais.mat.br/wiki/Pagina_principal




• www.portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

• objetoseducacionais2.mec.gov.br

• escolovar.org/mat.htm

• www.diaadia.pr.gov.br

• Repositórios de Objetos de Aprendizagem:

Rived – rived.mec.gov.brBioe – objetoseducacionais2.mec.gov.br/LabVirt – www.labvirt.fe.usp.brCesta – www.cinted.ufrgs.br/CESTA

• Repositórios Internacionais:

Merlot – www.merlot.orgAriadne – www.ariadne-eu.org




9. Referências bibliográficasBORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São

Paulo: IME–USP, 1995.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. PCN de Matemática. Brasí-lia: SEF/MEC, 1998.

CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: IME–USP, 1992.

CENTURION, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática, números e operações. São Paulo: Scipione, 1994.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus, 1995.

DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. São Paulo: IME–USP, 1992.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Geometria plana. São Paulo: Atual, v. 9. 1993. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.)

GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática,v. 1. 1998. (Coleção Contando a História da Matemática.)

GUNDLACH, Bernard H. Números e numerais. 1. ed. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Tópicos de História da Matemática.)

IEZZI, Gelson et al. Conjuntos, funções. São Paulo: Atual, v. 1. 1985. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar)

IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992.

KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas. Implicações da teoria de Piaget. Campinas: Pa-pirus, 1992.

KRULIK, Stephen; REYS, Robert (Orgs.). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1980.

LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1975. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.)

LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectiva em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997.

MACHADO, Nilson José. Coleção Matemática por Assunto. São Paulo: Scipione, v. 1. 1988.

MOISE, E; DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971.

MONTEIRO, Jacy. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1978.

NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1987.

NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1984.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.




RUBINSTEIN, Cléa et al. Matemática para o curso de formação de professores. São Paulo: Moderna, 1977.

SANTOS, Vânia Maria Pereira (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática: métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; Projeto Fundão; Spec/PADCT/Capes, 1997.

SOLOMON, Charles. Matemática. Série Prisma. São Paulo: Melhoramentos, 1978.

SOUZA, Eliane Reame; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: IME–USP, 1994.

STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.

TROTA, Fernando; IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José. Matemática aplicada. São Paulo: Mo-derna, 1980.

WALLE, John A. van de. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.

ZABALLA, Antoni (Org.). A prática educativa: como ensinar. São Paulo: Artmed, 1998.



Documents

Manual Do Professor -Matemática 6º Ano