Centro Universitário da FEI

Manual de Laboratório de Física I

versão: 01/08/2006 NOS TERMOS DA LEI, FICA TERMINANTEMENTE VEDADA A

REPRODUÇÃO DESTE TEXTO, PARA COMERCIALIZAÇÃO, SEM AUTORIZAÇÃO EXPRESSA DOS AUTORES.

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Apresentação

Este manual contém uma série de materiais didáticos utilizados na disciplina de Física I do Centro Universitário da FEI. Ele foi elaborado através das sugestões e esforços de diversos professores do Departamento de Física, e colocado à disposição dos alunos, sem nenhum custo para os mesmos. Gostaríamos de agradecer a todos aqueles que direta ou indiretamente colaboraram para que este material pudesse ser colocado à disposição dos alunos.

Na capa encontra-se a data da última versão, e na medida do possível estaremos realizando revisões periódicas para tornar o material livre de erros (ou pelo menos para minimizá-los) e sempre atualizado. Assim, recomenda-se ao aluno que tenha sempre a versão mais recente deste Manual.

Embora tenhamos procurado discutir os principais aspectos enfocados pelo laboratório da disciplina de Física I, este manual não deve ser visto pelo aluno como fonte única de consulta. Ele deve ser encarado como um guia que permite apresentar alguns pontos essenciais dos assuntos tratados nas aulas de laboratório. Deste modo, acreditamos que seja fundamental que todos os alunos procurem sempre complementar os assuntos tratados aqui com a pesquisa e leitura das referências apresentadas ao final deste manual, ou com a leitura de outros livros da área de física básica para um curso superior. Gostaríamos de insistir que este manual é apenas um guia, e como tal não contém todos os aspectos dos assuntos propostos para desenvolvimento pela disciplina de Física I, particularmente no que se refere às breves revisões teóricas que são colocadas no início do roteiro de cada experimento.

Quaisquer dúvidas, sugestões e/ou erros encontrados neste manual, pedimos

para que entrem em contato pessoalmente ou via e-mail com qualquer um dos autores indicados abaixo.

Prof. Augusto Martins dos Santos (Coordenador de Física I) – augsant@fei.edu.br Prof. Issao Yamamoto – issaoyam@fei.edu.br

Prof. Dr. Vagner Bernal Barbeta – vbarbeta@fei.edu.br Prof. José Maria Bechara – jbechara@fei.edu.br

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Índice I. Normas de funcionamento do Laboratório ...................................... 03II. Instruções para elaboração dos relatórios de Física I...................... 04 Modelo de capa dos relatórios ........................................................ 051. Análise Dimensional ....................................................................... 06 1.1. Definições preliminares .............................................................. 06 Exercícios ........................................................................................ 10 1.2. Homogeneidade dimensional ..................................................... 11 Exercícios ........................................................................................ 14 1.3. Previsão de equações físicas ...................................................... 16 Exercícios ........................................................................................ 202. Teoria de erros ................................................................................. 21 Exercícios ........................................................................................ 293. Introdução à construção de gráficos ................................................ 31 Exercícios ........................................................................................ 354. Anamorfose ..................................................................................... 36 Exercícios ........................................................................................ 37Experimento: Micrômetro ................................................................... 38Experimento: Paquímetro .................................................................... 42Experimento: Queda livre ................................................................... 46Experimento: Lançamento de Projéteis ............................................... 53Experimento: Leis de Newton ............................................................. 58Experimento: Atrito de Escorregamento ............................................. 62Experimento: Mesa de forças .............................................................. 68Apêndice: O Sistema Internacional de Unidades (SI) ......................... 74Referências complementares ............................................................... 82

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I - NORMAS DE FUNCIONAMENTO DO LABORATÓRIO

1. O tempo máximo de atraso permitido para as aulas de laboratório é de 15 minutos. 2. Desligue sempre o telefone celular ao entrar no laboratório. 3. Qualquer material do laboratório que venha a ser danificado, será de responsabilidade do aluno (ou do grupo). As gavetas contendo o material deverão ser retiradas no almoxarifado e devolvidas ao término do experimento, onde serão conferidas e verificadas. 4. Não serão admitidas brincadeiras de qualquer espécie dentro do laboratório, sob pena do grupo perder os pontos relativos àquele experimento. 5. Os relatórios deverão ser sempre entregues na aula posterior àquela da realização do experimento. 6. Os relatórios deverão ser manuscritos e elaborados conforme instruções apresentadas adiante. 7. Os alunos sempre deverão ler com antecedência as instruções do experimento que será realizado no laboratório. 8. Você pode colaborar com seus colegas para analisar os dados, bem como para discuti-los. Porém, o relatório deverá ser feito individualmente e escrito com suas próprias palavras. Relatórios copiados de outros alunos serão recusados. 9. Os detalhes a respeito dos critérios para aprovação ou não do relatório cabem ao professor de laboratório. Informe-se com ele a respeito desses critérios. 10. Não é permitida a realização de experimentos fora da turma destinada pela escola. Os casos excepcionais serão analisados pelo professor da turma. 11. Somente poderão entregar o relatório os alunos que fizeram o experimento. 12. Os alunos deverão realizar o experimento em grupos de até 3 pessoas, exceção feita às aulas de simulação que deverão, quando possível, ser realizadas individualmente. 13. A última aula de laboratório é reservada para a apresentação de fatores de laboratório. Qualquer dúvida ou problema com o seu fator de laboratório deverá ser resolvido nessa aula. Portanto, não falte, já que após a prova P2 não serão aceitas, em nenhuma hipótese, reclamações relativas ao fator de laboratório.

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II - INSTRUÇÕES PARA ELABORAÇÃO DOS RELATÓRIOS DE FISICA I

Todos os relatórios (a não ser que seja especificado o contrário para algum

experimento) deverão ser manuscritos em papel sulfite ou almaço e à tinta (não serão aceitos impressos de espécie alguma, exceção feita para a capa e folhas para gráficos). Os relatórios deverão obrigatoriamente conter os seguintes elementos: • CAPA contendo: (ver capa modelo adiante)

- Nome da Instituição; - “Laboratório de Física I”; - Nome da Experiência; - Nome completo e o número de matrícula; - Período; - Turma; - Número do grupo ou da bancada; - Nome do professor; - Data da realização da experiência e data da entrega.

• CORPO DO RELATÓRIO

Objetivos da experiência Escrever qual é o objetivo do experimento que foi realizado. 1. Introdução teórica

Detalhar a teoria relacionada com o assunto abordado (ou pesquisa a ser determinada pelo professor). Não copiar do roteiro do Manual de Laboratório. 2. Procedimento experimental

Descrição de todo o procedimento utilizado para a coleta de dados, com material utilizado, esquemas e método de coleta dos dados. Não se esqueça de anotar a precisão de todos os instrumentos utilizados. 3. Dados coletados Dados fornecidos no roteiro e dados coletados na experiência, por exemplo: temperatura ambiente, massa, volume, comprimento, peso, etc. 4. Análise dos resultados

Realizar a análise, com detalhamento dos cálculos (sempre indique as equações utilizadas), gráficos, etc. Cálculos repetitivos não precisam ser escritos, embora devam ser incluídos exemplos representativos de qualquer tipo de cálculo. 5. Conclusões 6. Bibliografia Preferencialmente utilize a norma da ABNT para a colocação de referências bibliográficas.

OBSERVAÇÕES FINAIS: 1. Prestar atenção no objetivo da experiência e no que é pedido no procedimento. 2. A introdução teórica NÃO deverá ser copiada do roteiro do experimento. Também

NÃO serão aceitas impressões de páginas da Internet como introdução teórica (embora seja incentivada a sua utilização como fonte de pesquisa).

3. Tenha certeza de ter calculado TUDO o que foi pedido. 4. Sempre coloque UNIDADES nas grandezas medidas e nas calculadas. 5. Procure fazer uma conclusão clara e coerente da experiência, tendo como base o

objetivo da mesma.

Laboratório de Física I

Experimento: _______________________________________________ Aluno: _____________________________________________________ No: Período: _____________ Turma: Bancada: ______ Professor: ________________ Data de realização: ___ /___ /___ Data de entrega: ___/ ___ / ___

Centro Universitário da FEI

Departamento de Física

Avaliação:

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1. Análise Dimensional

1.1. Definições preliminares As leis da física são expressas em termos de grandezas fundamentais, que devem ser definidas de forma clara. Certas grandezas físicas, como força, velocidade, aceleração, etc., podem ser definidas em termos de grandezas mais fundamentais. Na verdade, qualquer grandeza física pode ser expressa em termos de 7 grandezas, quais sejam, comprimento, tempo, massa, intensidade luminosa, intensidade de corrente elétrica, quantidade de substância e temperatura. Estaremos ao longo destas aulas, discutindo como podem ser expressas todas as grandezas físicas em termos destas 7 grandezas básicas, concentrando-nos particularmente nas grandezas mecânicas, que podem ser expressas em termos das grandezas comprimento, massa e tempo. Estas grandezas são definidas de forma a se estabelecer um padrão, de modo que uma mesma grandeza, medida em diferentes locais, resulte no mesmo valor.

Vejamos a seguir algumas definições preliminares importantes para o estudo da análise dimensional. a) Grandeza física É uma propriedade física que pode ser representada numericamente, pois qualquer fenômeno físico só tem interesse científico quando a ele podemos associar valores mensuráveis. b) Medida de uma grandeza física Medir uma grandeza é compará-la a outra de mesma espécie, chamada "unidade de medida" ou padrão. É verificar quantas unidades de medida estão contidas dentro da grandeza. c) Unidades de medida São padrões previamente estabelecidos de acordo com a conveniência. Existem diversos sistemas de unidades, pois em sua criação foram levados em conta as necessidades e fenômenos físicos observados na natureza, de tal maneira que a unidade escolhida possibilite trabalhar com números razoáveis, não excessivamente grandes nem pequenos. Existem também sistemas como o inglês, em que as medidas foram criadas de maneira a agradar ao Rei. Os sistemas de unidades mais conhecidos são: SI (Sistema Internacional – ver apêndice), MKS, CGS, MK*S (ou Técnico) e o Sistema Inglês.

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d) Medição Denomina-se medição como sendo a verificação de quantas unidades de medida estão contidas na grandeza. Logo,

UGM =

onde: M = medida G = grandeza U = unidade Portanto, podemos escrever:

UMG ⋅= Exemplo: Considere um intervalo de tempo t∆ de 50 s. Medida M = 50 Grandeza G = t∆ (medida de intervalo de tempo) Unidade U = s (segundo) Observação 1: A razão entre as medidas de duas grandezas de mesma unidade é igual à razão entre as suas medidas, isto é:

Se G1 = m1 . U e G2 = m2 . U , então 2

1

2

1

mm

GG

=

Observação 2: A razão entre as medidas de mesma grandeza com unidades diferentes é igual ao inverso da razão entre as suas unidades:

Se 1

1 UGm = e

22 U

Gm = então 1

2

2

1

UU

mm

=

Exemplo: O diâmetro externo de um tubo foi medido com dois instrumentos diferentes. Foram obtidos os seguintes dados: D1 = 50,8 mm e D2 = 2'' (polegadas).

1

2

2

1

UU

mm

= isto é , mm

polegadas=

28,50 1 '' = 25,4 mm

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e) Grandezas fundamentais São grandezas a partir das quais iremos escrever todas as outras grandezas. As grandezas fundamentais são: M (massa) θ (temperatura) N = quantidade de matéria L (comprimento) I (intensidade de corrente elétrica) T (tempo) Io (intensidade luminosa) No Sistema Internacional de unidades, por exemplo, essas grandezas são representadas pelas seguintes unidades: M kg (quilograma) θ K (kelvin) N mol L m (metro) I A (ampère) T s (segundo) Io cd (candela)

A mecânica dos fluidos, por questão de simplificação para os fenômenos por ela estudados, utiliza como grandezas fundamentais:

F (força) L (comprimento) T (tempo) f) Grandezas derivadas São as grandezas escritas em função das grandezas fundamentais na forma de produtos de potência, na qual as bases são as grandezas fundamentais e os expoentes são chamados de dimensões, constituindo-se assim as equações dimensionais. g) Símbolos dimensionais É a maneira pela qual representamos a grandeza física dimensionalmente. Por convenção, uma grandeza derivada qualquer é indicada por uma letra representativa entre colchetes.

[massa] = M [temperatura] = θ [comprimento] = L [corrente elétrica] = I [tempo] = T [intensidade luminosa] = Io [quantidade de matéria] = N

9

Exemplo 1: Determinar a equação dimensional da velocidade.

tsv ∆∆= , onde

s∆ = comprimento [ ]s∆ = L

t∆ = tempo [ ]t∆ = T

[ ] 1−== LTTLv

Exemplo 2: Determinar a equação dimensional da força. F = m.a, onde m = massa [m] = M

a = aceleração tva ∆∆= 21

][ −−

== LTT

LTa

2][ −= MLTF

Exemplo 3: Determinar a equação dimensional da grandeza A, definida pela expressão abaixo, sabendo-se que F = força, r = distância e ω = velocidade angular.

ωr.FA =

[F] = MLT-2

[r] = L

[ω] = T-1

121

2 .][ −−

−

== TMLT

LMLTA

10

EXERCÍCIOS 1) Determine as equações dimensionais para as grandezas abaixo relacionadas: 01. Área (S) 02. Volume (V) 03. Velocidade (v) 04. Aceleração (a) 05. Ângulo plano (θ) 06. Velocidade angular (ω) 07. Aceleração angular (α) 08. Força (peso, normal, atrito, etc.) (F) 09. Impulso e quantidade de movimento (I e p) 10. Massa específica ou densidade absoluta (ρ) 11. Peso específico (γ ) 12. Pressão (p) 13. Tensão superficial em um líquido (σ) 14. Vazão em volume (Q) 15. Vazão em massa (Qm) 16. Vazão em peso (Q 17. Viscosidade dinâmica (µ) 18. Viscosidade cinemática (ν) 19. Trabalho (W) 20. Potência (P) 21. Torque ou Momento de uma força (M) 22. Constante elástica da mola (k) 23. Constante de gravitação universal (G) 24. Freqüência (f) 25. Quantidade de calor (Q) 26. Calor específico (c) 27. Capacidade térmica (C) 28. Densidade linear (µ) 29. Energia (cinética, potencial, mecânica) (E) 30. Momento angular (H) 2. Para as grandezas acima relacionadas, pesquisar as unidades de cada uma delas nos seguintes sistemas de unidades: a) Internacional b) CGS 3) Determinar as equações dimensionais para as grandezas abaixo discriminadas, onde l = comprimento, F = força, µ = densidade linear, H = momento angular e ω = velocidade angular.

a) µFx = b) x

ly

21

= 2 c) 2ωHz = d)

zyx

u =

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1.2. Homogeneidade dimensional

As equações que representam os fenômenos físicos são, em geral, polinômios de um ou mais termos. Uma equação deste tipo é dita homogênea quando cada um de seus monômios possuírem os mesmos símbolos dimensionais com os mesmos expoentes.Vamos, por exemplo, considerar uma equação física qualquer, constituída por grandezas mecânicas e representada pela expressão abaixo:

HEDCBA ..

+=

Suponhamos que as fórmulas dimensionais dos termos sejam:

[ ] 111 γβα TLMA =

2221... γβα TLMDCBDCB

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

[ ] 333. γβα TLMHE =

A equação é dimensionalmente homogênea se:

α1 = α2 = α3 e β1 = β2 = β3 e γ1 = γ2 = γ3 "UMA EQUAÇÃO FÍSICA SERÁ DIMENSIONALMENTE HOMOGÊNEA SE TODAS AS PARCELAS DOS DOIS MEMBROS POSSUÍREM IGUAL DIMENSÃO EM RELAÇÃO À MESMA GRANDEZA FUNDAMENTAL". PRINCÍPIO DA HOMOGENEIDADE "TODA EQUAÇÃO FÍSICA VERDADEIRA É DIMENSIONALMENTE HOMOGÊNEA." OBSERVAÇÃO.: uma equação pode ser dimensionalmente homogênea e não verdadeira. Logo, a homogeneidade dimensional é necessária mas não é suficiente para que a equação física seja verdadeira.

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Exemplo: Verificar se as expressões abaixo são dimensionalmente homogêneas:

a) 34

2

..

DpSF

τ= , onde F = força; S = área; p = pressão; τ = trabalho; D = diâmetro

[F] = MLT -2

[S] = L2 [p] = ML-1T -2 [τ ] = ML2T -2 [D] = L

1o. Membro: MLT -2

2o. Membro: ( ) 13 3326

233

422

2122

.. −−

−

−

−

−−

=== LLTMLTML

LTMLTMLL

MLT -2 ≠ L-1 Logo, esta equação não é dimensionalmente homogênea.

b) R

mvF2

= , onde: F = força; m = massa; v = velocidade e R = raio

1o. Membro: [F] = MLT -2 2o. Membro

[m] = M [v] = LT -1 [R] = L

2

2221).( −−−

== MLTLTML

LLTM

1o. Membro = 2o. Membro

MLT -2 = MLT -2 Logo, a equação é dimensionalmente homogênea.

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c) Sabendo-se que a equação abaixo é dimensionalmente homogênea, determinar as dimensões das grandezas A, B e D. Obs.: p = pressão; Q = quantidade de movimento e π é adimensional.

BQpA QpD

+=.

.. π

[A] = [B] = [p.Q] [ ] 21 −−= TMLp [Q] = MLT -1 [π] = adimensional = 1 [p.Q] = ML-1T -2MLT -1 = M 2T -3

Logo,

[A] = [B] = M 2T -3

0001. TLM

QpD

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

[ ] 000

1

21. TLMMLT

TMLD=−

−−

[ ] 00012 TLMTLD =⋅ −−

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒=−−

120

. 00012

γβα

γβα TLMTLTLM

[ ] 12TLD =

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EXERCÍCIOS: 1) Verificar a homogeneidade dimensional das seguintes equações abaixo, onde: v =

velocidade, g = aceleração da gravidade, h = altura, Ec = energia cinética, m = massa, F = força, W = trabalho, p = pressão e ρ = massa específica ou densidade absoluta.

a) ghv 2=

b) 2

2mvEc =

c) WFvh π=

d) hgp ρ=

e) 2

2mvW =

2) Seja d = distância percorrida, g = aceleração da gravidade, t = tempo e k é um

adimensional. Determinar as constantes A e B para a expressão abaixo, sabendo-se que ela é verdadeira.

d = k.gA.tB

3) A equação do MHS (Movimento Harmônico Simples) é )tcos(Ay 0φω += , onde

y é a ordenada (posição) e t é tempo. Determinar a equação dimensional das grandezas (A, ω, φ0).

4) A equação abaixo fornece a velocidade média de escoamento v da água em um rio

onde RH é o raio hidráulico, que é a relação entre a área da secção e o perímetro molhado, e k é adimensional. Determinar as equações dimensionais de A e B.

H

H

RBA

Rkv+

=.

5) Na equação de Van der Waals para gases reais p = pressão, υ = volume específico,

que é a razão entre o volume e a massa, e t = temperatura. Determinar as equações dimensionais das constantes a, b e k.

( ) tkbap =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + υ

υ 2

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6) Segundo a Teoria da Relatividade, um objeto que tem comprimento próprio Lo (Lo é medido em relação a um referencial que tem velocidade zero em relação ao objeto) possui um comprimento L = Lo /γ quando medido em relação a um observador que se move com uma velocidade v em relação ao objeto (este efeito é

chamado de contração do espaço). Sabendo-se que 21

1β

γ−

= (fator de

Lorentz), onde cv

=β (parâmetro de velocidade ou fator de dobra), determine as

equações dimensionais de c, β e γ. 7) Em um sistema mola-massa que oscila verticalmente sujeito a um amortecimento

(Movimento Harmônico Simples amortecido), a posição y da massa m em função

do tempo t é dada por )(cos φωγ += − teAy t . Sabendo-se que mb

2=γ ,

determine as equações dimensionais de A, γ , b, ω e φ.

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1.3. Previsão de equações físicas a) Teorema de Bridgman: “TODA GRANDEZA DERIVADA QUE SATISFAZ A CONDIÇÃO DE SIGNIFICADO ABSOLUTO DO VALOR RELATIVO, PODE SER EXPRESSA PELO PRODUTO DE UMA CONSTANTE PURAMENTE NUMÉRICA, POR POTÊNCIAS CONVENIENTES DE GRANDEZAS FUNDAMENTAIS.” Exemplo: γβα CBAKG .= onde: A, B, C são grandezas fundamentais e K, α, β e γ são constantes numéricas, ou seja, sem unidades.

Com base na homogeneidade dimensional e utilizando-se o Teorema de Bridgman, podemos fazer previsões de equações físicas através de dados obtidos em ensaios experimentais. Para se fazer a previsão de uma fórmula para um certo fenômeno é necessário conhecer quais grandezas estão envolvidas no fenômeno. Exemplo: A força de atração entre duas cargas elétricas depende das cargas Q1 e Q2 e da distância entre elas.

F = f(Q1, Q2, d)

Sabemos quais são as grandezas envolvidas, mas não sabemos qual é a relação entre elas. b) Previsão de equações físicas:

Seja uma grandeza qualquer A. Sabemos através de experiências que ela depende de outras grandezas B, D, E. Pelo Teorema de Bridgman, podemos escrever:

γβα EDKBA =

Para se determinar a equação física, é necessário descobrir os valores das constantes k, α, β e γ. Suponhamos que A, B, D e E são grandezas mecânicas. Logo, vamos escrever suas equações dimensionais usando como grandezas fundamentais M, L, T.

[ ] zyx TLMA = [ ] 111 zyx TLMB = [ ] 222 zyx TLMD =

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[ ] 333 zyx TLME = [A] = K[B]α[D]β[E]γ

Logo,

[ ] [ ] [ ]γβα 333222111 zyxzyxzyxzyx TLMTLMTLMKTLM =

(M) x = x1α + x2β + x3γ

(L) y = y1α + y2β + y3γ

(T) z = z1α + z2β + z3γ

Portanto, chegamos a um sistema com três equações e três incógnitas (α, β e γ), pois x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2, z3 são conhecidos. Para que a equação fique completa é necessário determinar o valor de K. Com α, β e γ conhecidos, basta fazer uma experiência e determinar os valores de A, B, D e E. Substituindo-se todos os valores na equação podemos calcular K. Exemplo: 1) A potência P de uma hélice de avião depende da densidade absoluta do ar (ρ), da

velocidade angular da hélice (ω) e do raio da mesma (R). Determinar a equação que dá esta dependência.

),,( RfP ωρ=

[P] = ML2T -3

[ρ] = ML-3

[ω] = T-1

[R] = L

[ ] [ ] [ ]γβα ωρ RKP =

[ ] [ ] [ ]γβα LTMLTML 1332 −−− =

(M) α = 1

(L) 2 = -3α + γ 2 = -3 + γ γ = 5

(T) -3 = -β β = 3

53 RKP ωρ=

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2) A velocidade de uma onda que se propaga em uma corda depende da densidade linear da corda (µ) e da força que traciona a corda (F). Uma experiência foi realizada em uma corda de comprimento l = 1 m e massa m = 10 g que estava sujeita a uma força F = 4 N, e encontrou-se v = 20 m/s. Determinar a expressão da velocidade.

v = KFα µβ

[v] = LT -1

[F] = MLT -2

[µ] = ML-1

[v] = K [F]α[µ]β

LT -1= K [MLT -2]α [ML-1]β

(M) 0 = α + β

(L) 1 = α – β 1 = 0,5 – β β = -0,5

(T) -1 = -2α α = 0,5

5,05,0 −= µKFv

µFKv =

Determinação de K

v = 20 m/s

F = 4 N

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10110.10 −

−

===lmµ kg/m

210420 −= K

K = 1 µFv =∴

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3) A velocidade do som em um gás depende da constante dos gases R, da massa m, do mol M do gás e da temperatura absoluta (t). Sabe-se que a velocidade do som no ar à temperatura de 0 oC é de 332 m/s. Determinar a velocidade para t = 40 °C.

v = f (R, m, M, t) v = K.RαmβMγ tδ

[v] = LT-1

[ ] 1122 −−−= NTMLR θ

[m] = M

[M] = N

[t] = θ

LT -1 = K[ML2T -2θ -1N -1]α[M]β[N]γ[θ]δ

(L) 1 = 2α α = 0,5

(T) -1 = -2α α = 0,5

(M) 0 = α + β β = -0,5

(θ) 0 = -α + δ δ = 0,5

(N) 0 = -α + γ γ = 0,5

v = KR0,5m-0,5M0,5t0,5 m

tMRKv =

Para t = 0 oC (273 K) e v = 332 m/s:

mRMK 273.332 =

mRMKK ='

332 = K’.16,523 K’ = 20,093

Para t = 40 °C (313 K)

313'Kv = v = 355,5 m/s

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EXERCÍCIOS 1) Numa experiência sobre estados estacionários em uma corda tracionada, sabe-se

que a freqüência f é diretamente proporcional ao n° de ventres n e que é função do comprimento l da corda, da força F que traciona a corda e da densidade linear µ. Um aluno realizou esta experiência e encontrou os seguintes dados: f = 50 Hz, n = 2 ventres, l = 1 m, F = 25 N e µ = 10-2 kg/m. Determinar a expressão da freqüência para o estado estacionário.

2) Sabe-se que o período de vibração (T) de uma gota é função da massa específica ρ

do fluido, da tensão superficial σ e do raio R da gota. Determinar a expressão do período.

3) Uma partícula de massa m, movendo-se na direção horizontal com velocidade v0,

fica sujeita à ação de uma força vertical, de intensidade constante F, a partir de um certo instante. Nestas condições a trajetória descrita é um arco de parábola. Seja θ o ângulo que sua velocidade faz com a horizontal num instante qualquer t. A tangente de θ é inversamente proporcional à massa e é função ainda de F, t, e v0. Determinar o ângulo θ no instante t = 4 s, sabendo-se que no instante t = 6 s temos que θ = 60°.

4) Sabe-se que o momento de inércia I de um cilindro depende de sua massa m e do

raio R de sua base, quando calculado em relação ao seu eixo de simetria. Sabendo-se que o momento angular é H = Iω, que quando a massa vale m = 50 kg e o raio R = 0,05 m, temos I = 0,09 kg.m2, determinar: a) A equação dimensional do momento de inércia b) A expressão do momento de inércia do corpo

5) A energia cinética de rotação Kr de um corpo depende do momento de inércia I e

da velocidade angular ω. Determine a expressão da energia cinética de rotação, sabendo-se que quando I = 0,1 kg.m2 e ω = 10 rad/s, temos Kr = 5 joules.

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2. Teoria de Erros

Qualquer medida física que se faça, implica na existência de um erro associado a esta medida. Deste modo, para qualquer grandeza física que se meça, existe um valor exato, ou verdadeiro, embora este seja normalmente desconhecido. Os tipos de erros que ocorrem em uma medida podem ter várias fontes.

Um tipo possível de erro é o chamado erro grosseiro. Os erros grosseiros são causados por engano do operador no manuseio ou leitura do instrumento. Estes erros podem ser evitados, ou pelo menos minimizados, bastando para isso que o operador tome os devidos cuidados quando for realizar uma medida, e portanto não nos preocuparemos em discuti-los.

Outro tipo possível, é o chamado erro estatístico. Os erros estatísticos ocorrem quando existe algum fator aleatório (ou que não pode ser controlado ou repetido) que faz com que as medidas não se repitam, distribuindo-se em torno de determinado valor.

Finalmente, os erros que não se enquadram na categoria anterior são chamados de erros sistemáticos. Os erros sistemáticos surgem quando existe algum problema com o equipamento (descalibração, por exemplo), vícios de leitura do operador ou fatores ambientais externos, que fazem com que as medidas difiram de uma certa quantidade do valor verdadeiro. A precisão limitada inerente a qualquer instrumento de medida é uma fonte de erro sistemático. Note que em algumas situações, é difícil saber se um determinado tipo de erro deve ser enquadrado em uma categoria ou outra. Por exemplo, se tivermos uma régua de aço que se dilata com a temperatura, isto leva à ocorrência de um erro sistemático, quando esta está sendo utilizada fora de sua temperatura de calibração. Por outro lado, se a variação de temperatura do local onde as medidas estão sendo realizadas for grande, aumentando e diminuindo durante o processo de medida, o comprimento da régua irá mudar segundo essas variações de temperatura, levando à ocorrência de um erro estatístico. Numa terminologia mais moderna1, buscando-se evitar essas confusões de classificação, algumas organizações internacionais costumam agrupar os erros em duas grandes categorias: os erros do tipo A e do tipo B. Estes erros levam à presença de incertezas nas medidas, sendo as do tipo A avaliadas a partir de métodos estatísticos e as do tipo B avaliadas por outros métodos. Discutiremos a seguir como representar uma grandeza física, levando-se em conta que uma medida traz consigo uma incerteza. Antes disso, porém, iremos falar sobre o conceito de algarismos significativos, já que isso é fundamental para que se possa representar de forma conveniente uma grandeza. Algarismos significativos O número de dígitos que devem ser utilizados para representar a medida de uma dada grandeza física, está intimamente ligado com a precisão do instrumento utilizado para realizar a medida. Por exemplo, se utilizarmos uma régua com divisões em milímetros para medir a largura de um bloco de metal, na melhor condição poderíamos avaliar uma casa decimal extra além da menor medida que é de um

1 Ver, por exemplo, o site do NIST em http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/bibliography.html (Acessado em 29/04/2002)

22

milímetro. Assim, neste caso, as seguintes representações para a largura do corpo seriam possíveis: L = 12,3 mm L = 12,0 mm L = 12,7 mm Note que embora a menor divisão seja de 1 mm, é possível para o operador, neste caso, avaliar até uma casa extra. Assim, dizemos que o erro da medida devido à precisão do instrumento, é de ± 0,5 mm (metade da menor divisão do instrumento). Em alguns casos, a regra da metade da menor divisão não faz sentido. Um exemplo, é no caso de uma escala com os valores de menor divisão excessivamente próximos, o que inviabiliza a avaliação de uma casa a mais. Outro exemplo, é o caso de um instrumento digital, onde o valor da medida é lido diretamente em um display, e não há, portanto, como avaliar uma casa extra. Nesses casos, costuma-se utilizar a menor divisão como sendo o erro da medida. Enfatizamos o fato de que o procedimento de se utilizar metade da menor divisão visa apenas a definir um procedimento geral para a estimativa do desvio devido à precisão do instrumento. Nada impede que um instrumento mal fabricado faça com que o desvio seja maior até mesmo que a menor divisão.2 No caso da régua apresentada anteriormente, a medida L = 12,35 mm não estaria correta, pois a segunda casa decimal não faria sentido (não seria significativa) para o instrumento utilizado. Existe, portanto, uma representação utilizada para indicar o grau de precisão de nossas medidas. Nesta forma de representação, os algarismos que são conhecidos com certeza são chamados de significativos. Após o último algarismo significativo, temos os algarismos duvidosos. Por uma questão de convenção, o primeiro algarismo duvidoso é também chamado de significativo. Deste modo, se tomarmos as representações L = 12,0 mm e L = 12,00 mm, embora estas sejam parecidas, possuem significados diferentes. A primeira indica que a incerteza na medida realizada está na primeira casa decimal, e a segunda de que está na segunda casa decimal. Isto indica que o instrumento utilizado para realizar a segunda medida era mais preciso que o primeiro. Para que seja uniformizado o processo de medida, adotaremos o seguinte procedimento: A última casa representada somente poderá assumir valores múltiplos da menor divisão, isto é, não iremos avaliar nenhuma casa extra*. Por exemplo, uma régua graduada em milímetros (embora seja possível avaliar uma casa decimal, não o faremos em nenhum caso) terá como representações possíveis para uma medida 12 , 15 , etc., porém não serão aceitos 12,5 , 15,75 , etc.

É importante neste momento esclarecermos os conceitos de precisão e de acurácia (ou exatidão). Note que precisão tem a ver com a capacidade que um instrumento tem de avaliar uma grandeza com menor flutuação estatística e com mais casas significativas. Acurácia é a capacidade deste instrumento de chegar mais próximo ao valor verdadeiro. É claro que para obter um valor próximo ao valor verdadeiro, devemos utilizar um instrumento preciso, porém o uso de um instrumento preciso não leva necessariamente a um valor acurado. Se o instrumento, por exemplo, estiver descalibrado, o valor medido, embora preciso, pode diferir bastante do valor verdadeiro. 2 Ver o artigo Helene, O. et al. , “O que é uma medida”, Revista Brasileira de Ensino de Física, dezembro de 1991.

23

* OBS.: Este procedimento será adotado, pois, de forma geral, nos instrumentos que permitem uma avaliação de uma casa extra, isto já é feito pelo próprio fabricante. Por exemplo, um micrômetro que permita ler até 0,005 mm, tem essa possibilidade já indicada no próprio instrumento.

Valor médio ou valor mais provável de uma grandeza Como já dissemos, em alguns casos, existem fatores que podem introduzir erros em nossas medidas, além daqueles devidos às limitações de nossos equipamentos de medida. Por exemplo, suponha que o corpo tenha alguma rugosidade, o que torna a avaliação de sua largura dependente da posição em que se coloca a régua. Nestes casos, e no caso da ocorrência de outros erros associados a fatores estatísticos, podemos realizar séries de medidas e calcular a médias dos valores medidos, o que representaria a melhor estimativa para o valor verdadeiro. O valor médio de uma série de n medidas de uma grandeza xi (que sejam estatisticamente independentes) será portanto dado por:

n

xx

n

ii∑

== 1

Para um conjunto de medidas serem consideradas estatisticamente independentes, é necessário que a distribuição de probabilidade associada a determinado dado seja independente dos outros dados. No caso, por exemplo, de uma série de medidas de comprimento com o uso de régua, para garantir a independência estatística, seria necessário que cada um dos dados fosse medido com uma régua de origem diferente e realizado por diferentes operadores. Obviamente, não nos preocuparemos com esse nível de detalhe e utilizaremos as expressões acima (e as seguintes) de modo que os dados sejam considerados estatisticamente independentes. Desvio padrão O valor médio, embora seja fundamental numa série de medidas, não nos oferece a possibilidade de analisar o quanto podemos confiar neste valor. O desvio padrão é a grandeza que nos dá esta informação, caracterizando a dispersão em um conjunto de medidas (quanto os dados individuais estão afastados do valor médio). Quanto maior o desvio padrão, menor é a confiança no valor médio obtido. O desvio padrão é definido como sendo:

)1(

)(1

2

−

−=

∑=

n

xxn

ii

σ

24

Assim, no caso de um conjunto de n medidas, o erro do instrumento pode não ser a melhor representação do erro da medida. Na verdade, o que se costuma fazer é o seguinte: Como existem erros provenientes do instrumento e erros provenientes de oscilações estatísticas, o intervalo de confiança em uma medida é obtido através da propagação destes erros, de modo que ambos contribuem para o erro final. Uma grandeza importante para se realizar tal propagação é o chamado desvio padrão da média. Desvio padrão da média O desvio padrão da média (σe) é obtido quando analisamos uma série de n medidas repetidas sob as mesmas condições. É dado por:

neσσ =

Na verdade o problema é probabilístico por natureza, e o desvio padrão da média nos fornece apenas a informação de que existe aproximadamente 68% de probabilidade do valor verdadeiro da grandeza se encontrar entre os limites dados por

)( exx σ±= . Se quisermos ser mais detalhistas, o intervalo de confiança de 68% seria obtido com um conjunto infinito de medidas. Para, por exemplo, um conjunto de apenas 10 medidas, o valor de σe deveria ser multiplicado por 1,06 para resgatar a probabilidade de 68%. É interessante observar que podemos a princípio ir diminuindo o valor de σe, realizando mais e mais medidas. Na prática, no entanto, é mais fácil diminuir o valor de σe diminuindo-se o valor de σ, isto é, tomando-se um instrumento mais preciso3. A grandeza σe é comumente chamada de incerteza estatística. Erros sistemáticos residuais Uma vez que se tenha buscado eliminar as possíveis fontes de erros sistemáticos (grosseiramente falando, erros do tipo B), existe ainda uma fonte de erro sistemático que está ligado à própria limitação do instrumento. Como regra, dissemos anteriormente que a precisão p de um instrumento está relacionada à menor divisão que este pode representar, e que se utiliza como desvio metade da menor divisão. Assim, os erros sistemáticos relacionados à precisão do instrumento de medida podem ser representados por um desvio que chamaremos de incerteza sistemática residual rσ (ou simplesmente incerteza residual), e que será dado em nosso caso por metade da menor divisão (a menos que seja estabelecido o contrário). Isto é, rσ será dado por:

2p

r =σ

3 G. L. Squires, “Practical Physics”, Cambridge University Press, 3a edição, Cambridge, p. 18, 1998.

25

Incerteza Padrão O desvio final (σp), chamado de incerteza padrão, será obtido propagando-se a incerteza estatística (σe) e a incerteza residual (σr), isto é:

22rep σσσ +=

Notação para representação de uma grandeza Como forma de representação de uma grandeza estaremos utilizando aqui a seguinte notação: a grandeza será representada pelo seu valor médio, seguido de “±” e do valor da incerteza padrão (obtido pela propagação da incerteza estatística (σe) e da incerteza residual (σr)). Assim o valor de uma grandeza será escrito como:

)( pxx σ±= Deve-se observar que a quantidade de algarismos significativos para se representar a incerteza padrão não é estabelecida de forma unânime em todos os textos. A forma mais usual, é de que se utilize a seguinte regra: - quando o primeiro algarismo for 1 ou dois, deve-se utilizar 2 algarismos significativos na incerteza padrão; - quando o primeiro algarismo for 3 ou maior, pode-se utilizar um ou dois algarismos significativos na incerteza padrão. Obs. 1: Embora seja aceito pela regra acima 1 ou 2 algarismos significativos quando o primeiro algarismo da incerteza padrão é 3 ou maior, iremos utilizar aqui a incerteza padrão com 2 algarismos significativos em todos os casos. Obs. 2: Quando o valor da incerteza padrão for maior do que 99, deverá ser utilizada notação exponencial para representá-la. Obs. 3: Não confundir algarismos significativos com casas decimais. Por exemplo, o número 0,07 tem 2 casas decimais e apenas 1 significativo. Por outro lado, o número 1,2 tem 1 casa decimal e 2 algarismos significativos. Obs. 4: O número de casas decimais do valor mais provável deve coincidir com o número de casas decimais da incerteza padrão. Regras de arredondamento:

Existem diferentes regras de arredondamento. Estaremos adotando em nosso curso, as regras de arredondamento estabelecidas pela norma NBR5891 de 1977 da ABNT, segundo a qual:

26

a) se a parte a ser arredondada é menor ou igual a 499999, elimina-se o valor; b) se a parte a ser arredondada é maior do que 500000, soma-se 1 à casa anterior; c) se a parte a ser arredondada for 500000, verifica-se se o algarismo anterior, e caso

este seja par, mantém-se, e, caso seja ímpar, soma-se 1. Exemplos de arredondamento para 2 casas decimais 3,213 3,21 3,23789 3,24 5,475 5,48 13,5512 13,55 4,6450 4,64 546,6500 546,65 7,2 7,20 575 575,00 Exemplos de arredondamento para 2 algarismos significativos 0,02543 0,025 0,00475 0,0048 0,00445 0,0044 0,0557 0,056 1,475 1,5 75,498 75 457,57 4,6.102 9545 9,5.103

Exemplos de aplicação: 1. Um aluno de laboratório realizou uma série de 10 medidas do comprimento L de

uma barra, com uma régua com menor divisão igual a 0,5 mm. Os valores obtidos pelo aluno estão colocados na tabela abaixo:

Medida L (mm)

1 12,5 2 12,0 3 12,0 4 11,0 5 12,0 6 12,0 7 13,0 8 12,5 9 13,0 10 12,5

Note que devido à proximidade visual entre uma divisão e outra, não faria

muito sentido em se avaliar uma medida de comprimento como sendo 12,3 mm, embora formalmente isso não esteja incorreto. Isso até poderia ser feito se fosse por exemplo utilizada uma lupa para ampliar a escala, a régua tivesse suas divisões bem definidas, e o fabricante garantisse a qualidade de sua régua.

Conforme dito anteriormente, adotaremos para a representação valores múltiplos da menor divisão. Podemos calcular o valor médio desse conjunto de medidas, o que nos leva ao valor:

2500,12L = mm

27

O desvio padrão é então dado por: 5892557,0=σ mm O desvio padrão da média (σe), que nos fornece a incerteza estatística associada ao conjunto de medidas é dado por: 186339,0=eσ mm O valor da incerteza sistemática residual σr, tomando-se metade da menor divisão, é então dado por: 25,0=rσ mm Portanto, a incerteza padrão vale: 31,03118,022 =⇒=+= prep σσσσ mm (com 2 alg. significativos) Assim, o valor do comprimento L do corpo é melhor representado por: )31,025,12( ±=L mm Observe o resultado final, e note que neste caso os desvios estatísticos e sistemáticos se combinam para a apresentação do resultado final. Não estranhe se o resultado final possuir mais algarismos significativos que as medidas individuais. Este resultado provém de um conjunto de medidas, tratadas estatisticamente, portanto é possível se chegar mais próximo ao valor verdadeiro do que em uma medida individual. 2. Um aluno de laboratório realizou uma série de medidas do diâmetro d de um

cilindro, com um instrumento com menor divisão igual a 0,01 mm. Os valores obtidos pelo aluno estão colocados na tabela abaixo:

Medida d (mm)

1 75,01 2 74,98 3 75,01 4 74,99 5 75,00 6 75,01 7 75,02

Podemos calcular o valor médio desse conjunto de medidas, o que nos leva ao valor:

002857,75=d mm

28

A tabela seguinte será útil para obtermos o desvio padrão:

Medida d (mm) )( dd − (mm) 2)( dd − (mm2)

1 75,01 0,007143 0,000051022 2 74,98 -0,022857 0,000522442 3 75,01 0,007143 0,000051022 4 74,99 -0,012857 0,000165302 5 75,00 -0,002857 0,000008162 6 75,01 0,007143 0,000051022 7 75,02 0,017143 0,000293882

∑ =− 2)( dd 0,001142854 O desvio padrão é então dado por:

⇒−

=−

−=

∑=

17001142854,0

)1(

)(1

2

n

ddn

iσ 013801,0=σ mm

O desvio padrão da média (σe), que nos fornece a incerteza estatística associada ao conjunto de medidas é dado por:

⇒==7

013801,0ne

σσ 005216,0=eσ mm

A incerteza sistemática residual σr, tomando-se metade da menor divisão, é então dada por:

⇒=σ2p

r 005,0=rσ mm

Portanto, a incerteza padrão vale: 007226,022 =+= rep σσσ mm Representando-a com 2 algarismos significativos, temos:

0072,0=pσ mm

Assim, o valor do diâmetro d do corpo é melhor representado por:

)0072,00029,75( ±=d mm

29

EXERCÍCIOS 1. Usando a norma da ABNT de arredondamento descrita anteriormente, escreva os

seguintes números (A) com 2 algarismos significativos e (B) com duas casas decimais:

a) 0,002546 b) 0,03967 c) 0,000455 d) 0,0000753 e) 4,4798 f) 17,965 g) 0,00751 h) 0,00750 i) 0,000850 j) 0,000853 k) 278 l) 9413 m) 18975,47 n) 947,3 o) 254679,4

2. Foi realizada uma série de medidas de comprimento de uma peça metálica com

um instrumento de precisão p = 0,02 mm e foram encontrados os seguintes resultados:

17,46 17,48 17,54 17,46 17,48 17,46 17,52 17,50

Determinar: a) o valor médio b) o desvio padrão c) o desvio padrão da média (incerteza estatística) d) a incerteza residual e) a incerteza padrão f) escrever o resultado da grandeza 3. Foi realizada uma série de medidas do diâmetro de uma peça metálica com um

instrumento de precisão p = 0,05 mm e foram encontrados os seguintes resultados: 25,25 24,95 25,85 25,10 25,55 24,90 24,95 25,15 25,65 25,85

Determinar: a) o valor médio b) o desvio padrão c) o desvio padrão da média (incerteza estatística) d) a incerteza residual e) a incerteza padrão f) escrever o valor da grandeza

30

4. A medida da largura de um corte em uma peça metálica feita com uma régua graduada em milímetros, resultou na seguinte tabela:

56 54 54 52 52 52 52 53 53 53

Determinar: a) o valor médio b) o desvio padrão c) o desvio padrão da média (incerteza estatística) d) a incerteza residual e) a incerteza padrão f) escrever o valor da grandeza

31

3. Introdução à construção de gráficos Embora o uso de gráficos seja uma linguagem utilizada com freqüência na Física para se discutir e explorar conceitos, os procedimentos para a construção e interpretação de gráficos são ainda desconhecidos por muitos. Para a utilização de forma adequada desta “linguagem matemática”, é fundamental que se tenha conhecimento de como construir gráficos “manualmente”, razão pela qual iremos discutir com detalhe esse assunto. Existem duas razões básicas para se construir gráficos. A primeira, é que em diversas situações, utilizamos um método gráfico para realizar a estimativa de uma determinada grandeza através do coeficiente angular de uma reta média, ou através do seu coeficiente linear. No entanto, esta aplicação não é uma das mais importantes, principalmente quando a reta média é feita de forma visual.

A segunda razão, é que os gráficos são um auxiliar importante para a “visualização” de um determinado fenômeno, e que às vezes se torna difícil de ser observado quando os resultados são dados na forma de tabelas. A escala mais simples de se trabalhar é a escala linear. Uma escala linear é aquela em que a coordenada de um ponto é proporcional à grandeza que ela representa. Em uma escala linear, costumamos definir o chamado “Módulo de Escala”, que é a razão entre a variação da grandeza que se quer representar e o comprimento do papel disponível para um eixo.

Assim, por exemplo, se o comprimento do papel disponível para o eixo x é L = 18 cm, e a grandeza varia de 0 a 29 s, o “Módulo de Escala” será dado por:

ou seja, cada cm do eixo corresponde a 2 s.

No exemplo mostrado anteriormente, arredondou-se o módulo de escala para um valor maior que o calculado. Esta prática é aconselhável, pois torna o módulo de escala mais fácil de se trabalhar e permite utilizar todos os valores da grandeza. Se tivéssemos arredondado o módulo para 1,6 s/cm, necessitaríamos mais do que 18 cm para representar o último valor da grandeza (29 s), além de ser muito mais trabalhoso para a construção do gráfico. Como procedimento geral, iremos adotar módulos de escala fáceis de trabalhar, quais sejam: (1; 2; 5).10 ±n (sendo “n” um inteiro).

Quando se está construindo um gráfico cartesiano de uma grandeza y que varia em função de uma grandeza x (escreve-se y vs x para falar sobre o gráfico com y na vertical e x na horizontal), é importante a observação de uma série de cuidados, mesmo quando se utiliza um programa de computador (e principalmente nesses casos). Alguns desses cuidados são:

a) utilize módulos de escala fáceis de operar e interpretar ou indique claramente o

módulo de escala para cada eixo (ver comentário acima); b) trace os eixos e indique as grandezas com as respectivas unidades entre

parênteses; no eixo horizontal é usual colocar essa informação abaixo do eixo e no eixo vertical ao lado esquerdo;

cms

cms

cms

LGmX 0,261,1

18)029(

≅=−

=∆

=

32

c) segundo convenção, a variável independente deverá estar no eixo horizontal e a dependente no eixo vertical, isto é, coloque a causa no eixo horizontal e o efeito no eixo vertical;

d) coloque na parte superior do gráfico o título do gráfico; e) gradue os eixos em espaços regulares, de cm em cm ou de 2cm em 2cm; evite

deixar muito espaçamento entre as graduações, ou acumular muitos números nos eixos;

f) Procure não escrever todos os dados da tabela, que, em geral, são “quebrados”;

localize-os, sem escrever os números; pior do que esse procedimento, é escrever exatamente os números constantes nas tabelas, sem as graduações em espaços regulares;

g) ao localizar os pontos, não utilize “tracejados” para todos os pontos; reserve os

“tracejados” para alguns pontos importantes, para determinar coeficientes angulares, etc;

h) represente os pontos do gráfico por “cruz”, “retângulo” ou um outro símbolo que

torne os pontos visíveis (eles devem ser bem visíveis, porém não exagere); não utilize apenas “pontinhos” para localizá-los. Quando tiver diferentes conjuntos de dados no mesmo gráfico, use símbolos diferentes para cada conjunto. Nesse caso, inclua uma legenda com o símbolo e o conjunto a que se refere;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s)

0 2 4 6 8 10 t(s)

0 10 20 t(s)

t(s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,5 3,5 2,51,5 6,55,54,5 9,5 8,5 7,5

Sim

Sim

Não

Não

1,3 3,1 8,9 5,40 t (s) Não

33

i) não ligue os pontos “dois a dois” através de segmentos de retas, nem passe uma

curva “lisa” por todos os pontos; lembre-se que, em Física, nenhuma medida é “exata”;

10,0

20,0

30,0

40,0

15,0

25,0

35,0

45,0

5,0

0,0

x(cm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

Não!

10,0

20,0

30,0

40,0

15,0

25,0

35,0

45,0

5,0

0,0

x(cm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

Não!

34

j) trace uma curva que melhor se ajuste aos pontos, ou seja, uma “curva média”, que passe pela maioria dos pontos, de tal modo que o número de pontos situados acima da curva seja aproximadamente igual ao número de pontos abaixo;

k) no caso em que a curva esperada é uma reta, trace uma reta média de modo que o

número de pontos que estejam acima da reta seja aproximadamente igual ao número de pontos abaixo da reta;

l) quando for retirar o coeficiente angular de uma reta ajustada, utilize pontos do

gráfico e nunca pontos da tabela. Para tanto, monte preferencialmente um triângulo grande, já que isso permite uma maior precisão;

m) quando se deseja representar também o erro da medida, coloque barras horizontais

e/ou verticais, de comprimento apropriado. OBSERVAÇÃO: Não é fundamental que cada escala gráfica tenha como ponto inicial o 0 (zero), mas não é conveniente o uso de “números quebrados”. Por exemplo: pode começar com 0,2 mas não é bom começar com 0,257. O bom senso é fundamental para a construção de escalas legíveis.

10,0

20,0

30,0

40,0

15,0

25,0

35,0

45,0

5,0 0,0

x(cm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

Curva Média

x=f(t)

Sim

Gráfico x versus t

35

EXERCÍCIOS: 1. Em um experimento de lançamento horizontal, foram obtidas as coordenadas x e y

do objeto e os respectivos instantes de tempo t, conforme mostrado na tabela abaixo.

x(m) 0 6,2 12,2 18,1 24,0 30,5 36,2 42,0 y(m) 70 68 65 59 50,5 38,7 25,7 8,0 t(s) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

a) Faça o gráfico de y vs t b) Faça o gráfico de y vs t2 , ajuste uma reta e determine o coeficiente angular c) Faça o gráfico de y vs x 2. Em um experimento de molas, foi obtido o valor da força (F) para diferentes

valores de elongação da mola (x). Desenhe o gráfico de F vs x, ajuste uma reta e determine o coeficiente angular da reta.

F(N) 3,6 7,8 11,2 15,2 18,4 22,5 28,7 x(m) 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

36

4. Anamorfose

De forma geral, é conveniente trabalhar-se com gráficos de funções lineares. Ao obtermos um conjunto de pontos experimentais, se quisermos comparar estes resultados com algum modelo teórico, isso será mais fácil de ser feito se a função teórica for linear. Obviamente, nem todos os sistemas físicos têm comportamento linear, o que nos leva muitas vezes à necessidade de se proceder a linearização de uma função, ou anamorfose. Suponha, por exemplo, que estejamos trabalhando com um pêndulo simples, cujo período (tempo que leva para completar uma oscilação) é dado por:

glT π2=

onde l é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade. Se quisermos utilizar esse sistema para determinar experimentalmente o valor da aceleração da gravidade, poderíamos fazer um gráfico de T vs l. Este gráfico não é uma reta, e o que sabemos fazer com certa qualidade é ajustar retas médias.

A expressão acima poderia ser reescrita, no entanto, como:

aXYlg

T =⇒=π2

onde g

a π2= (uma constante durante o experimento) e lX =

Assim, se fizermos um gráfico de T vs l iremos obter uma reta cujo

coeficiente angular a será proporcional a g, isto é, a aceleração da gravidade será dada por:

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ag π

37

EXERCÍCIOS: 1. Em um experimento de pêndulo simples, obteve-se o período de oscilação T do

pêndulo para diferentes comprimentos l, conforme tabela abaixo. Monte um gráfico apropriado para que se obtenha a partir do mesmo o valor da aceleração da gravidade para o local em que o ensaio foi realizado, sabendo-se que o período de oscilação T é dado por:

glT π2=

l (m) 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 T (s) 2,70 3,14 3,51 3,82 4,15 4,44 4,73 4,98

2. Em um experimento de Pêndulo de Mola, podemos calcular a constante elástica da

mola através do chamado método dinâmico. Neste método, o período de oscilação T do pêndulo depende da massa m e da constante elástica k da mola, conforme expressão abaixo:

kmT π2=

Partindo da expressão acima, e dos dados da tabela abaixo, realize uma anamorfose que seja conveniente, e obtenha a partir do gráfico construído o valor da constante elástica k da mola.

m (kg) 0,020 0,080 0,200 0,500 0,800 1,500 2,000 T (s) 0,126 0,251 0,397 0,628 0,794 1,088 1,256

3. Em uma transformação adiabática de um gás ideal, temos que KpV =γ . Para uma

transformação adiabática, obteve-se a tabela abaixo para os valores de p e V. A partir desta tabela, realizar a anamorfose e montar o gráfico correspondente e obter os valores de γ e K. (Sugestão: calcule o logaritmo de ambos os lados da equação)

V (m3) p (Pa) 0,01 199.0000,02 80.800 0,03 47.700 0,04 32.830 0,05 24.500 0,06 19.380 0,07 15.800 0,08 13.300 0,09 11.400 0,10 10.000

38

Roteiro do Experimento de Micrômetro Objetivos: Discutir o conceito de precisão do micrômetro, aprender a efetuar medições com o micrômetro, estudar os conceitos relativos a representação do resultado de uma série de medidas. Materiais necessários: Micrômetro, esferas de vidro e de aço I. Fundamentação Teórica O micrômetro é um instrumento de precisão destinado a medir espessura de objetos. A figura abaixo mostra um micrômetro típico com as principais partes que o compõe.

Quando se dá uma volta completa no tambor, este se desloca

“horizontalmente” de 0,5 mm Portanto, 50 divisões do tambor equivalem a 0,5 mm, ou seja, 1 divisão do tambor equivale a 0,01 mm. Embora se possa estimar um valor intermediário quando a escala do tambor cai entre duas divisões da escala fixa, não iremos fazê-lo, pois o próprio fabricante não recomenda este procedimento (por questões de precisão do instrumento). O valor será aproximado para a divisão que mais se aproximar. Assim, adotaremos a precisão do micrômetro como sendo p = 0,01 mm.

TAMBOR

CATRACA

TRAVA

ESCALA FIXA (BAINHA)

ESCALA DO TAMBOR

ENCOSTO MÓVEL

ENCOSTO FIXO

39

5 10

40

45

0,5 mm (passo)

5 10

40

45

5 10

15

20

5 10

20

25

5 10

25

30

L = 10,42 mm

L =

L =

L =

40

II. Procedimento experimental 1. Medir 8 vezes o diâmetro da esfera de vidro e da esfera de aço, preenchendo a tabela abaixo.

2. Calcular o valor médio (ou valor mais provável), o desvio padrão, o desvio padrão da média (incerteza estatística), a incerteza residual e a incerteza padrão dos diâmetros das esferas de vidro. 3. Apresentar o resultado final do diâmetro da esfera de vidro, seguindo as regras estabelecidas. 4. Repetir os itens (2) e (3) para a esfera de aço.

5 10

45

0

D

5 10 15

10

L =

L =

Esfera de vidro Esfera de açon Di(mm) Di(mm)12345678

41

III. Exemplo de análise dos dados

mmD

D ii

544,348350,276

8

8

1 ===∑

=

mmne 1401,0

83963,0

===σσ

mmpr 005,0

201,0

2===σ

mmrep 1402,0005,01401,0 2222 =+=+= σσσ

mmD p )14,054,34( ±=± σ

mmDDn

3963,018

099188,1)(1

1 2 =−

=−−

= ∑σ

n1 3 4 ,4 3 -0 ,1 1 4 0 ,0 1 29 9 62 3 4 ,6 5 0 ,1 0 6 0 ,0 1 12 3 63 3 4 ,9 5 0 ,4 0 6 0 ,1 6 48 3 64 3 5 ,0 6 0 ,5 1 6 0 ,2 6 62 5 65 3 4 ,0 3 -0 ,5 1 4 0 ,2 6 41 9 66 3 4 ,7 4 0 ,1 9 6 0 ,0 3 84 1 67 3 3 ,9 6 -0 ,5 8 4 0 ,3 4 10 5 68 3 4 ,5 3 -0 ,0 1 4 0 ,0 0 01 9 6

2 7 6 ,3 50 1 ,0 9 91 8 8

)mm()DD( i22−)mm)(DD( i −)mm(D i

42

Roteiro do Experimento de Paquímetro Objetivos: Aprender a utilizar o paquímetro, bem como reforçar os conceitos de teoria dos erros. Materiais necessários: Chapa metálica e paquímetro I. Fundamentação Teórica O paquímetro é um instrumento de precisão utilizado para medir comprimentos, diâmetros e ressaltos. Ele apresenta uma precisão menor do que o micrômetro, sendo sua precisão dada por p = 1/n, onde n é o número de divisões do nônio. Com o paquímetro podemos realizar diferentes tipos de medidas como, por exemplo, medições externas (a), profundidades (b), ressaltos internos (c) e medições internas (d).

ENCOSTO MÓVEL

ENCOSTO FIXO

NÔNIO

ESCALA PRINCIPAL

(a) (c)(b) (d)

ORELHA

VARETA

43

Para a leitura com o paquímetro, devemos verificar quando milímetros estão sendo indicados pelo zero do nônio (milímetros anterior ao zero) e adicionar a quantidade decimal, observando qual a divisão do nônio é coincidente com um traço qualquer da escala principal. No caso da figura abaixo, teríamos:

Esta leitura indicada pelo paquímetro seria, portanto, 14,26 mm, isto é, 14 mm indicado pela escala principal, mais 0,26 mm indicado pela divisão do nônio coincidente com um traço da escala principal. OBS. 1: Em caso de dúvida sobre o traço coincidente, analisar o traço anterior e o posterior àqueles sobre os quais recai a dúvida. OBS. 2: O traço coincidente na escala principal serve apenas como referência, não devendo ser lido em hipótese alguma.

14 mm

0,26 mm (divisão coincidente)

44

II. Procedimento experimental 1. Utilize o paquímetro para medir o comprimento (C) e a largura (L) do corte da

peça mostrada abaixo, bem como o diâmetro (D) e a espessura (E) da chapa metálica, preenchendo a tabela mostrada a seguir.

Medida L (mm) C (mm) D (mm) E (mm) 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

2. Calcular o valor médio (valor mais provável), o desvio padrão, o desvio padrão da

média (incerteza estatística), a incerteza residual e a incerteza padrão da largura L. 3. Apresentar o resultado final da largura L, seguindo as regras estabelecidas. 4. Repetir os itens (2) e (3) para o comprimento C 5. Repetir os itens (2) e (3) para o diâmetro D 6. Idem, para a espessura E.

D C

L

45

III. Exemplo de análise dos dados

)(mmL ))(( mmLL − )()( 22 mmLL −1 12,15 -0,38 0,1444 2 13,05 0,52 0,2704 3 12,35 -0,18 0,0324 4 12,40 -0,13 0,0169 5 11,95 -0,58 0,3364 6 12,05 -0,48 0,2304 7 13,15 0,62 0,3844 8 12,45 -0,08 0,0064 9 13,00 0,47 0,2209 10 12,75 0,22 0,0484

125,30 1,6910

mmne 13707,0

10433,0

===σσ

mmpr 025,0

205,0

2===σ

mmrep 13933,0025,013707,0 2222 =+=+= σσσ

mm L p )14,053,12( ±=± σ

mmL 530,12= 22)( mm 1,6910LL∑ =−

∑ −−

= 2)(1

1 LLn

σ mm 0,43346=σ

46

Roteiro do Experimento de Queda Livre Objetivos:

- estudar o movimento de um objeto em queda livre, obtendo a partir do mesmo o valor da aceleração da gravidade;

- construir gráfico; - entender o significado gráfico de derivada.

Materiais necessários: - Computador - Interface Pasco 750 - Suporte para barra - Prendedor - Barra com adaptador para photogate - Photogate - Acrílico zebrado I. Fundamentação Teórica Quando um objeto é solto sujeito somente à ação da força gravitacional, este objeto é dito em queda livre. Este é um dos exemplos mais simples e familiar de movimento com aceleração constante (aproximadamente constante, já que os efeitos de resistência do ar podem não ser desprezíveis). Quando os efeitos de resistência do ar são desprezíveis, vale a previsão de Galileu de que todos os corpos, independente de suas formas ou pesos, caem com a mesma aceleração e, portanto, levam o mesmo tempo para atingir o solo quando soltos de uma certa altura. Note que um corpo lançado verticalmente para cima (em movimento de ascensão), também é dito em queda livre. Sistema de coleta de dados

Antes de ligar qualquer equipamento, verifique se o photogate está posicionado corretamente e com o cabo conectado na Interface Pasco 750 como mostrado abaixo.

47

Para acessar o programa de aquisição de dados, siga os seguintes passos: - Ligue a interface e a seguir ligue o computador. - Caso o computador tenha sido ligado e a interface esteja desligada, ligue a

interface e reinicialize o computador selecionando a opção Iniciar Desligar Reiniciar o computador

- Selecione Iniciar Programas ScienceWorkshop Queda Livre

A tela mostrada abaixo deverá ser observada:

As duas tabelas mostradas na tela acima irão nos fornecer os dados da posição (x) e do intervalo de tempo (∆t). Além disso é possível visualizar o gráfico da posição em função do tempo. Note que as posições variam de 5 em 5 cm, que é a distância entre o início de uma faixa escura e o início da faixa escura seguinte. O intervalo de tempo (∆t) é o tempo necessário para o acrílico movimentar-se de 5 cm.

5 cm

48

Para a aquisição de dados, deve-se seguir a seguinte seqüência: - clique inicialmente sobre o botão REC (note que ao clicar sobre o botão, se a

janela não estiver ativa, a aquisição não será iniciada e o botão não se movimentará; nesse caso, clique novamente sobre o botão REC)

- Posicione cuidadosamente o acrílico zebrado em frente ao photogate, tomando o cuidado para que não se interrompa o feixe de luz, conforme mostrado abaixo.:

- Solte o acrílico zebrado cuidando para que este se choque com uma superfície

macia quando atingir a bancada. Deverá ser observada na tela do computador uma seqüência de nove valores.

- Clique sobre o botão STOP

Quando a primeira região escura do acrílico zebrado passar em frente ao photogate, será iniciada efetivamente a aquisição. Será medido então o tempo entre o início de uma região escura e o início da região escura seguinte. Isto é, o instante de tempo para uma determinada posição é sempre dado pela soma de todos os ∆t anteriores.

Se fizermos um gráfico da posição em função do tempo e ajustarmos uma

parábola, obteremos o gráfico abaixo.

Gráfico de X vs t

y = 4.899x2 + 0.7055x + 0.0001

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300

t (s)

x (m

)

49

Através da parábola ajustada, é possível obter o valor da aceleração da

gravidade, isto é:

200 2

1 gttvyy ++=

Portanto, temos que:

smgg /8,9899,421

=⇒= 2

50

II. Procedimento experimental 1. Coletar os dados, conforme explicado anteriormente

t’ (s) s (m) t = t’-t’o 0,000

2. Montar em papel milimetrado o gráfico de x vs t 3. A partir do gráfico, escolher 5 pontos e traçar as retas tangentes. 4. Calcular o coeficiente angular de cada reta tangente, que será a velocidade

(instantânea) em cada instante escolhido. Reúna as velocidades obtidas em uma tabela:

v (m/s) t (s)

5. Com base na tabela anterior, montar um gráfico de velocidade em função do

tempo em papel milimetrado, ajustando a este uma reta média. 6. Pelo coeficiente angular da reta anterior, determinar o valor da aceleração da

gravidade. 7. Comparar o valor obtido com o valor teórico de 9,78 m/s2.

100.78,9

78,9% exp −

=g

E

8. Caso deseje, experimente usar o Excel e ajustar uma parábola aos dados de x vs t,

obtendo assim o valor da aceleração da gravidade. Compare este valor com o obtido pelo método anterior

51

III. Exemplo de análise de dados 1. Suponhamos que tenham sido coletados os seguintes dados:

x (m) t' (s) 0.05 4,0312 0.10 4,0665 0.15 4,0953 0.20 4,1209 0.25 4,1426 0.30 4,1630 0.35 4,1819 0.40 4,2000 0.45 4,2169

Podemos então montar a seguinte tabela da posição x em função do tempo t:

x (m) t’ (s) t (s) 0.05 4,0312 0 0.10 4,0665 0,0353 0.15 4,0953 0,0641 0.20 4,1209 0,0897 0.25 4,1426 0,1114 0.30 4,1630 0,1318 0.35 4,1819 0,1507 0.40 4,2000 0,1688 0.45 4,2169 0,1857

2. A partir da tabela anterior, podemos montar o gráfico de x vs t: 3. A partir do gráfico, escolhemos 5 pontos (instantes de tempo) e traçamos as

tangentes, conforme ilustrado no gráfico mostrado a seguir para o instante de tempo ta;

52

Gráfico de X vs t

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0 0,05 0,1 0,15 0,2

tempo (s)

x (m

)

∆x

∆t

ta

4. Com o coeficiente angular das retas tangentes, montamos um gráfico de

velocidade em função do tempo, ajustando a este uma reta média.

5. Pelo coeficiente angular da reta anterior, determinar o valor da aceleração da

gravidade. gexp = 9,6 m/s2

6. Comparamos o valor obtido com o valor teórico de 9,78 m/s2.

%8,110078,9

78,96,9% =−

=E

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

t(s)

v (m

/s)

53

Roteiro do Experimento Lançamento de Projéteis Objetivos: Estudar movimento parabólico; determinar velocidade de lançamento de projéteis; determinar aceleração da gravidade. Materiais necessários: Computador e programa lanc.exe I. Fundamentação Teórica

Ao lançarmos um projétil na direção horizontal com uma velocidade inicial v0x e de uma altura y0, sujeito a uma força vertical (devido à ação da força de gravidade), este irá descrever uma trajetória curvilínea, no caso uma trajetória parabólica. Podemos descrever o movimento desse corpo separando as componentes da velocidade em duas direções perpendiculares: uma horizontal e outra vertical. Como a força só age na direção vertical, o movimento ao longo da direção horizontal é uniforme, com aceleração nula. Na direção vertical, devido à força da gravidade, o movimento é uniformemente acelerado. Sendo a aceleração constante (desprezando-se os efeitos de resistência do ar) e igual a g, e orientando o eixo vertical para baixo, podemos obter a equação horária das velocidades integrando a aceleração. Assim, temos:

∫ +=⇒=t

yyy gtvtvdtgtv0

0)(.)(

Da mesma forma, podemos obter a equação horária das posições y(t) do corpo integrando a equação horária das velocidades, isto é:

∫ ∫ +==t t

yy dtgtvdttvty0 0

0 ).().()(

2

0 21)( gttvyty oy ++=⇒

Da mesma forma, podemos obter as componentes da velocidade da posição na direção horizontal (x). Como não existe força atuando na direção x, a aceleração é nula e, portanto, a velocidade vx é constante. Assim, equação horária das posições x(t) será dada por:

tvxdtvdttvtx x

t

x

t

x 000

00

.).()( +=== ∫∫

54

Para o problema em questão, na posição inicial, v0y=0. Assim, podemos escrever o vetor velocidade como sendo:

jvivv yx

rrr+=

onde a velocidade xv , como dissemos, é constante, e a velocidade yv é dada por: gttvy =)( As posições x e y do corpo serão dadas, respectivamente, por: tvxtx ox+= 0)(

20 2

1)( gtyty +=

Considerando que corpo é lançado de uma certa altura y0 e da posição xo=0, se

eliminarmos o tempo das duas equações anteriores, podemos obter a equação da trajetória, a qual é a equação de uma parábola:

220 2

1 xVgyyx

+=

Funcionamento do Programa: Vamos supor que desejamos estudar o lançamento de uma bola de uma altura de 100 m, no planeta A (Terra, g = 9.8 m/s2). Para tanto, realize as seguintes operações: 1. Inicie o programa 2. Entre com o valor da altura digitando 100 <enter> 3. Entre com o código do planeta digitando A 4. Aumente a compressão da mola digitando + 5. Para disparar o corpo digite D Se tudo correu bem uma tela semelhante à mostrada na figura a seguir deverá ser obtida. Caso não tenha conseguido, saia do programa e refaça todos os procedimentos anteriores.

55

Caso deseje reposicionar o corpo em frente à mola, digite R Comandos disponíveis L - Limpa a área de gráficos, bem como a escala R - Reposiciona o corpo em frente à mola D - Dispara o corpo F - Altera as características físicas do experimento G - Liga e desliga a grade fina O - Liga o localizador de ponto + - Aumenta a compressão da mola - - Diminui a compressão da mola T - Termina a simulação

56

II. Procedimento Experimental

1. Para uma altura h =10 m e para o caso do planeta A (Terra, g = 9.8 m/s2), lance a bola para um dado valor de compressão da mola. Lembre-se de anotar o número de vezes que você apertou a tecla +, pois precisará desta informação posteriormente. Anote também o tempo t e o ∆x (distância horizontal percorrida pelo corpo desde o ponto de lançamento até o ponto em que toca o solo) para este caso.

t = ∆x =

2. Obtenha a partir do gráfico da trajetória apresentado na tela, um conjunto de pares x e y (utilize o localizador de ponto - comando “O”). Monte com estes pontos um gráfico de y vs x2.

y (m) x (m) x2 (m2)

3. A partir do gráfico anterior obtenha o valor de Vxg para a compressão escolhida. Isto pode ser feito sabendo-se que

2

2

21

xgVxgy = e V g

kxg =2

onde: k yx

=∆∆ 2 é o coeficiente angular obtido do gráfico.

4. Compare o valor obtido (Vxg) com aquele obtido dividindo-se o espaço percorrido na horizontal pelo tempo total gasto pelo corpo para alcançar o solo (Vx).

Vxg = V xtx = =

∆

57

5. Repetir o item 1 para o caso de outro planeta, ou seja, h = 10m, código do planeta = (B, C ou D) e compressão da mola igual à do item 1.

y (m) x (m) t (s) t2 (s2)

Obs.: Na tabela, t = x/Vx, onde Vx foi calculado no item 3. 6. A partir do gráfico de y vs t2, obtenha o valor da aceleração da gravidade (gp) para o planeta escolhido. Identifique o planeta comparando o valor que obteve com o valor mostrado na tabela abaixo: gp= Planeta:

Planeta g (m/s2) Júpiter 26.4 Vênus 8.8

Mercúrio 3.7 7. Obtenha o erro percentual no valor da aceleração da gravidade do planeta

100% exp

teor

teor

ggg

E−

= E% =

58

Roteiro do Experimento de Leis de Newton

Objetivo: - verificar as leis de Newton, através do uso de um trilho de ar, realizando aquisição de dados por computador. Materiais necessários: - Trilho de Ar PASCO com acessórios - 4 photogates - Interface PASCO 750 com fonte de alimentação e cabo de dados - Computador com software Science Workshop I. Fundamentação Teórica A dinâmica é a área da Física que estuda as causas do movimento. Para o estudo da dinâmica, é fundamental o conhecimento das três leis de Newton. Embora sejam de formulação relativamente simples, o seu entendimento é muitas vezes deficiente. Vejamos como podemos enunciar estas três leis. 1ª Lei (Lei da Inércia): Se a resultante de forças sobre um ponto material for zero, este tenderá a manter o seu estado de movimento, isto é, se estiver parado, continuará parado. Se estiver em movimento retilíneo com uma velocidade v, continuará em seu movimento com velocidade v. Comentário: A 1ª lei de Newton, na verdade, já havia sido proposta há alguns anos antes por Galileu. Contrariamente ao que se supunha até então (conforme as idéias propostas por Aristóteles no século III a.C.), a 1a lei nos diz que o estado natural dos objetos é o de manter o seu estado de movimento, e não o de parar. Esta lei é ainda ignorada por muitas pessoas, pois a experiência diária parece indicar que os corpos na ausência de forças, tendem a perder velocidade com o tempo e parar. Este tipo de raciocínio simplista é impreciso, pois não se leva em conta a força de atrito. Caso esta pudesse ser completamente eliminada, perceberíamos que a tendência natural dos corpos é a de manter o seu estado de movimento e não a de parar. A 1ª lei é importante, e não deve ser considerada apenas como um caso particular da 2a lei, como veremos adiante. Ela é fundamental para definirmos os chamados referenciais inerciais. Um referencial inercial pode ser definido como sendo aquele em que a 1ª lei de Newton é válida. Como é possível mostrar, uma forma alternativa de se definir um referencial inercial, é a de que um referencial inercial é aquele cuja aceleração é nula. 2ª Lei (R = m a): Se a resultante de forças sobre um corpo for diferente de zero, existirá uma aceleração proporcional a esta resultante.

59

Comentário: A segunda lei nos fornece uma relação entre a resultante de forças sobre um corpo, e a correspondente aceleração. Essa constante de proporcionalidade é chamada de massa inercial (ou simplesmente massa). É importante ressaltar que existe uma outra grandeza chamada de massa gravitacional, que surge na expressão da força de atração gravitacional entre dois corpos. Todas as medidas realizadas até hoje indicam que a massa inercial é numericamente igual à massa gravitacional, e por isso costuma-se utilizar simplesmente o termo "massa". Deve-se notar ainda que a segunda lei expressa uma relação vetorial, que pode ser reescrita em termos de suas projeções, isto é Rx = m ax, Ry = m ay e Rz = m az. 3ª Lei (Ação e reação): Para cada força de ação, existe uma força de reação correspondente, de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto. Comentário: A lei da ação e reação nos diz basicamente que as forças na natureza sempre surgem aos pares, nunca de forma isolada. É importante notar que as forças de ação e reação atuam em corpos diferentes, o que é em geral fonte de confusão. A aplicação incorreta da 3a lei juntamente com a 2ª lei, leva a confusões do tipo: "Aplico uma força de 10 N em um carrinho e este reage aplicando uma força de 10 N em mim com sentido oposto, e assim a resultante destas duas forças é nula. Como pode então o carrinho se mover?" Este tipo de confusão é causada pelo descuido em se verificar que as forças de ação e reação estão aplicadas a corpos distintos e, portanto, a resultante de forças no carrinho, neste caso, não é zero!

60

II. Procedimento Experimental 1. Verifique se o trilho de ar está nivelado. Para tanto, solte o flutuador e observe se este principia a se movimentar. Caso isto ocorra, ajuste o nível de forma conveniente de modo a que permaneça parado. 2. Posicione os 4 photogates ao longo do trilho de ar, separados por uma distância de 20 cm. Coloque 2 massas de 50 gramas de cada lado do suporte para massas do flutuador. Prenda também o gancho e o contrapeso nas laterais do flutuador, bem como a bandeira sinalizadora em seu topo. Anote a massa total do flutuador (M). 3. Carregue o arquivo "Newton", e clique sobre o botão REC. Empurre o carrinho levemente com a mão e obtenha a velocidade em cada photogate, preenchendo a tabela abaixo. Ao final clique sobre o botão STOP.

Photogate v (m/s) 1 2 3 4

4. Explique o que ocorre com o valor da velocidade quando a resultante de forças é nula (resultado do item 3). 5. Prenda o barbante no gancho do flutuador, passe-o pela polia e coloque uma massa de 15 g (os dois cilindros metálicos) no porta-massas, cuja massa própria vale 2 g. Posicione o sistema antes do 1º photogate, clique sobre o botão REC e solte o flutuador cuidadosamente. Anote na tabela abaixo os valores de velocidade e instantes de tempo t' obtidos a partir da tabela (o tempo t' é o tempo decorrido desde o instante em que o botão REC é acionado até o flutuador entrar no photogate, e é obtido diretamente pelo computador). Monte a coluna t, subtraindo de todos os valores de tempo t' o valor do tempo inicial. Anote o valor da massa pendente (m).

gancho

flutuador

Suporte para massas contrapeso

Bandeira sinalizadora Porta-

massas

61

Photogate v (m/s) t' (s) t = t’ – t’o

1 t’o = 2 3 4

6. Monte um gráfico de v vs t (velocidade em função do tempo). Ajuste uma reta e obtenha o valor da aceleração experimental (aexp) a partir do coeficiente angular da reta. 7. Obtenha analiticamente o valor da aceleração (ateo). Os valores das massas dos diversos elementos utilizados estão discriminados na tabela abaixo. Note que o atrito neste sistema é desprezível. Adotar g = 9,78 m/s2.

Elemento Massa (g)Flutuador 180 Gancho 10

Contrapeso 10 Porta-massas 2

Bandeira 10 8. Obtenha o erro percentual entre o valor da aceleração obtido experimentalmente (aexp) e aquele calculado analiticamente (ateo).

%100.% exp

teo

teo

aaa

E−

=

62

Roteiro do Experimento de Atrito de Escorregamento Objetivos: Determinar os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre duas superfícies. Materiais necessários: Computador e programa atrito.exe I. Fundamentação Teórica

O programa atrito.exe permite que se estude o atrito estático e dinâmico entre duas superfícies, através da simulação de um plano inclinado sobre o qual um objeto desliza sem rolamento. A simulação é feita em tempo real, e o programa permite que se escolha 4 tipos diferentes de material. É gerado um gráfico de velocidade versus tempo, bem como é apresentada uma animação do deslocamento do objeto ao longo do plano inclinado. Sabendo-se o ângulo onde começa a haver escorregamento e o ângulo onde a velocidade passa a ser constante, é possível obter os coeficientes de atrito estático e dinâmico do sistema. Considere um plano inclinado sobre o qual se encontra apoiado um bloco de um material com coeficiente de atrito estático µe e coeficiente de atrito dinâmico µd. Se começarmos a levantar lentamente o plano inclinado, em um determinado ângulo θc, estaremos na iminência de escorregamento do bloco. Nestas condições, temos que: µ θ µ θ θe C e C CN mg mg mg= ⇒ =sin( ) cos( ) sin( ) isto é, µ θe C= tan( ) (1) Quando o corpo iniciar o movimento, teremos: ma mg mgC d C= −sin( ) cos( )θ µ θ (2) A aceleração do corpo pode ser então escrita como: a g C d C= −(sin( ) cos( ))θ µ θ (3) Podemos escrever ainda a equação horária do corpo, isto é:

s s v t a t− = +0 0

212

∆

onde vo = 0 e s - s0 = l . Assim, a aceleração do corpo pode ainda ser escrita como:

63

a l

t=

22∆ (4)

Substituindo a equação (4) na equação (3), temos que o atrito dinâmico µd, pode ser escrito como:

)cos()(

22

ced tg

lθ

µµ∆

−= (5)

Podemos então, a partir do tempo total ∆t gasto pelo corpo para percorrer o plano de comprimento l, obter o valor de µd. Uma forma alternativa de se obter o coeficiente de atrito dinâmico, é após o corpo iniciar o movimento, abaixarmos o plano até que a velocidade em um certo ângulo Cθ ′ fique constante. Nesta condição, teremos que a aceleração será nula, e a equação (3) se reduzirá a: )(cos)(0 CdCsin θµθ ′−′= ou reescrevendo, teremos que:

)(tan Cd θµ ′= (6) Funcionamento do programa O programa atrito.exe simula basicamente um plano de comprimento l o qual pode ser gradualmente levantado. Sobre este plano está apoiado um objeto de massa M, sendo que há um coeficiente de atrito estático eµ e coeficiente de atrito dinâmico

dµ entre as duas superfícies. Acima de um certo ângulo crítico Cθ o objeto passa a se deslocar, descendo o plano inclinado. No instante em que o objeto começa a se mover, um cronômetro é disparado, e este será desligado no instante em que o objeto alcançar o final do plano, isto é, após percorrer a distância l. Através do ângulo crítico

Cθ e do tempo necessário que o objeto levou para percorrer a distância l, é possível se obter os coeficientes de atrito estático e dinâmico conforme mostrado no tópico anterior. Alternativamente, o coeficiente de atrito dinâmico pode ser obtido abaixando-se lentamente o plano até que a velocidade do corpo se torne constante, e medindo-se o ângulo Cθ ′ correspondente. Na figura abaixo, temos um exemplo de uma sessão típica, onde podemos observar o sistema após atingir velocidade constante e a partir do qual podemos obter o coeficiente de atrito dinâmico. Na figura a seguir podemos observar ainda as regiões onde a tela se encontra dividida. As três áreas mais importantes são a área de entrada de dados, a área de parâmetros da simulação, a área de animação e a área de gráficos.

64

As diversas áreas são respectivamente: (1) Área de entrada de dados: Região da tela onde se procede a entrada das características da simulação. (2) Área de parâmetros da simulação: Região da tela onde se encontram as informações necessárias para a obtenção dos coeficientes de atrito. (3) Linha auxiliar: Utilizada para entrada ou saída auxiliar de dados e mensagens. (4) Linha de status: Utilizada para informar a condição em que se encontra o simulador. As possibilidades são: - Entrando dados - Aguardando comando - Limpando a tela - Calculando a escala - Simulando experimento (5) Área de animação: Região onde é feita em tempo real a animação do bloco sobre o plano inclinado.

65

(6) Área de gráficos: Região da tela onde é colocado o gráfico de velocidade em função do tempo. Este gráfico acompanha em tempo real o comportamento do bloco sobre o plano. Na parte superior do gráfico encontra-se a escala do eixo y (valor máximo de y). Lembre-se que o valor mínimo de y é zero. O valor mínimo de x também é zero e o valor máximo é definido na entrada de dados. (7) Linha de ajuda: Linha com comandos possíveis e as respectivas letras que os executam. Uma vez inicializado o programa, este irá pedir as características físicas do experimento a ser simulado. O primeiro parâmetro a ser fornecido é o comprimento l do plano. A seguir, deve-se fornecer a massa do corpo (em kg) e o tipo de material de contato (A, B, C ou D). O último parâmetro é o intervalo de tempo para geração do gráfico. Na tabela abaixo, temos sumarizado os valores de eµ e dµ para os 4 tipos de pares de materiais possíveis de serem utilizados dentro do programa.

Par de materiais eµ dµ A 0.1 0.05 B 0.2 0.10 C 0.3 0.15 D 1.4 1.10

Uma vez terminada a entrada das características físicas do experimento, o programa irá esperar que se digite “↑” para subir o plano ou “↓”para abaixá-lo. O passo no ângulo pode ser alterado digitando-se “+” para multiplicar o valor corrente por 2 e “-“ para dividi-lo por 2. Se formos subindo o plano, ao atingirmos o ângulo θC o cronômetro será automaticamente disparado, e ao alcançar o final do plano será desligado. Se desejarmos fazer uma nova simulação com outras características, basta alterar os parâmetros e digitar a seguir R para reposicionar o bloco no ponto de partida do plano. Após ser realizada a primeira simulação, as novas simulações serão feitas utilizando-se a mesma escala obtida no primeiro caso. Para que uma nova escala seja calculada é preciso, antes de se executar a simulação, que se apague a tela de gráficos através do comando L (limpa). O programa foi feito de modo a tentar evitar que haja terminação anormal do mesmo (erro de execução). Para tanto, algumas precauções foram tomadas. Na entrada de dados numéricos, por exemplo, caso haja a digitação de valores não numéricos, ou a mistura destes com dados numéricos, o programa tentará convertê-lo para um dado numérico. Caso não consiga, os dados entrados serão ignorados e será assumido um valor interno. Do mesmo modo, quando se desejar manter o valor estabelecido na simulação anterior, basta digitar <enter>, e o valor anterior será assumido. Quando for a primeira simulação, ao digitarmos <enter> estaremos utilizando os valores determinados internamente.

66

Comandos disponíveis Os seguintes comando estão disponíveis: L - Limpa a área de gráficos, bem como a escala R - Reposiciona o bloco no início do plano F - Altera as características físicas do experimento G - Liga e desliga a grade fina + - Aumenta o passo no ângulo (multiplica por 2) - - Diminui o passo no ângulo (divide por 2) ↑ - Levanta o plano de um certo passo ↓ - Desce o plano de um certo passo T - Termina a simulação

67

II. Procedimento Experimental

1. Para um plano de comprimento l = 1m, um corpo de massa m de 100 g e par de materiais em contato do tipo A, obtenha o valor do coeficiente de atrito estático. Repita o experimento várias vezes com passos cada vez menores para obter o valor de θC com precisão.

Passo 1 0,5 0,25 0,125

Cθ

µe = tan( Cθ ) 2. Para os materiais em contato do tipo A, varie a massa do corpo e verifique a influência em Cθ

. Massa

Cθ

µe = tan( Cθ ) 3. Obtenha o tempo gasto pelo corpo para percorrer o plano para cada um dos 4 tipos de pares de materiais. Use um plano não muito longo (por exemplo, 10 m). A partir desses valores, obtenha o coeficiente de atrito dinâmico e compare os resultados com aqueles obtidos no item 4.

Materiais A B C D ∆t

Cθ l = 10 m

µd m = 0.1 kg

Lembre-se que:

µ µ

θd eC

lg t

= −2

2cos( ) ∆ e )tan( Ce θµ = 4. Para os materiais em contato dos tipos A, B, C e D, obtenha o coeficiente de atrito dinâmico fazendo com que a velocidade fique constante ao descer o plano. Utilize para isso um plano longo (por exemplo, 150 m) e um tempo de cerca de 40 s.

Materiais A B C D Cθ ′ l = 150 m

µd = tan( Cθ ′ ) m = 0.1 kg

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Roteiro do Experimento de Mesa de Forças Objetivos: - verificar experimentalmente o equilíbrio de um ponto; - determinar a força equilibrante de um sistema de duas forças concorrentes utilizando diferentes métodos. Materiais necessários: - Mesa de Força PASCO - Três polias com presilhas - Três suportes para massas - Anel plástico - Conjunto de massores I. Fundamentação Teórica A condição para que um ponto material permaneça em equilíbrio, é que a resultante de todas as forças que atuam sob este ponto material seja zero. No caso de um sistema sujeito a duas forças, o ponto material estará em equilíbrio se estas forças tiverem o mesmo módulo, direção e sentidos opostos. Se este não for o caso, é possível obter o equilíbrio, aplicando-se uma terceira força coplanar às forças anteriores. Para se encontrar o valor desta terceira força e o ângulo que deverá fazer com as outras duas forças, existem alguns métodos algébricos e gráficos, que discutiremos a seguir. A. Regra do Paralelogramo

Se duas forças P e Q atuam sobre um ponto material, estas podem ser substituídas por uma única força R. Essa força é chamada de resultante das forças P e Q, e pode ser obtida graficamente pela construção de um paralelogramo, onde os lados são dados por P e Q, sendo a diagonal a força resultante R. Esta é a chamada Regra do Paralelogramo para a adição de duas forças.

Deste modo, se desejarmos que o ponto material esteja em equilíbrio sob a ação destas forças, devemos aplicar uma terceira força, que chamaremos de

P

Q

R

69

equilibrante (FE), cujo módulo e direção sejam os mesmos da força resultante R, porém com sentido oposto. B. Decomposição de forças Podemos decompor um conjunto de forças, em suas componentes horizontal e vertical, para assim encontrar a resultante das mesmas. Suponha as forças P e Q mostradas abaixo. Se chamarmos de δ o ângulo formado pela força P com a horizontal e β o ângulo formado pela força Q com a horizontal, podemos obter as componentes Px, Py, Qx e Qy das forças P e Q. Isto é:

Px = P cos(δ) Py = P sen(δ)

Qx = Q cos(β) Qy = Q sen(β)

As componentes Rx e Ry da resultante R serão dadas por:

Rx = Px + Qx Ry = Py + Qy

P

Q

R

FE

Rx

P

Q

y

x

δ β

Px Qx

R

Qy

Py

Ry

γ

70

O módulo R da força resultante e o ângulo γ que ela faz com a horizontal serão, portanto:

22yx RRR +=

x

y

RR

tg =)(γ

Assim, para um ponto material sujeito às forças P e Q estar em equilíbrio, a

força equilibrante FE deverá ter o mesmo módulo e direção da força resultante R, porém sentido oposto. C. Lei dos Cosenos Uma forma alternativa para a obtenção da resultante de duas forças é através do uso da Lei dos Cosenos, a qual pode ser deduzida a partir da decomposição de forças. Se considerarmos os dois vetores P e Q, mostrados anteriormente, e chamarmos de θ o ângulo formado entre estes dois vetores, teremos que a resultante será dada por: )cos(222 θPQQPR ++=

P

Q

y

x

θ

R

71

II. Procedimento Experimental 1. Verificar inicialmente se a mesa de forças encontra-se nivelada. Posicione o anel no pino guia, prenda as polias e coloque os porta massas, conforme figuras abaixo. 2. Fixe as polias 1 e 2 nos ângulos α1 e α2 indicados na tabela abaixo.

Bancada m1(g) m2(g) α1 α2 1 65 45 40o 170o 2 70 40 30o 160o 3 70 45 40o 150o 4 60 45 30o 170o 5 65 50 40o 160o 6 55 50 50o 140o 7 40 60 35o 155o 8 45 65 50o 120o

3. Coloque as massas m1 e m2, conforme indicado na tabela acima (observe que cada porta massa tem uma massa própria de 5 g). Tome o cuidado de ajustar as polias de maneira que elas possam girar livremente e para que os fios fiquem paralelos à mesa (ver figura anterior). 4. Utilizando o papel anexo, obtenha graficamente através da regra do paralelogramo, o valor da força equilibrante FEgraf e o respectivo ângulo αgraf (utilize, por exemplo, a seguinte proporção: 1 cm = 10 gf). FEgraf = αgraf = (α é contado a partir do 0o, sentido anti-horário) 5. Determine, através da Lei dos Cosenos, o valor do módulo da força equilibrante FE. FE =

Anel

Polia 1 Linha AnelPolia Linha

Pino guia

Polia 2

Polia 3

Porta massa

72

6. Posicione inicialmente a polia no ângulo obtido graficamente, e coloque no suporte as massas, de maneira a obter a força encontrada anteriormente. Ajuste então o ângulo e a massa para que seja obtido um equilíbrio perfeito (note que o anel deverá ficar centralizado e se for deslocado de sua posição de equilíbrio deverá retornar a ela). Indique os valores da força equilibrante e do ângulo α, obtidos experimentalmente.

FEexp = αexp = 7. Compare os valores experimentais de FE e α com aqueles obtidos pelo método gráfico e encontre os erros percentuais.

100.% exp

graf

graf

FEFEFE

E−

= 100.% exp

graf

grafEα

αα −=

8. Usando decomposição de forças, encontre o valor da força equilibrante e o ângulo α. Obs.: Faça um diagrama das forças num sistema de eixos cartesianos e indique os cálculos! FEteor = αteor = 9. Compare o valor experimental de FE e α com os valores teóricos obtidos pelo método analítico (decomposição de forças) e encontre os erros percentuais.

100.% exp

teor

teor

FEFEFE

E−

= 100.% exp

teor

teorEα

αα −=

lll. Instruções para o Relatório

Incluir, além de todas as partes costumeiras do relatório (capa, objetivos,

introdução teórica, etc.), todos os resultados obtidos nos itens anteriores, inclusive a folha para a determinação da força equilibrante pelo método gráfico.

73

Centro Universitário da FEI Departamento de Física

Laboratório de Física I

Nome: ____________________________ No. _______________ Turma: ______

Data: ___/___/____

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Apêndice: O Sistema Internacional de Unidades (SI)

Breve Histórico

Uma grandeza física só tem sentido quando pode ser medida de alguma forma. Medir uma grandeza significa compará-la a um padrão. Por muito tempo, cada país teve seu próprio sistema de medidas, isto é, seu conjunto de padrões. Esses sistemas de medidas, entretanto, eram muitas vezes arbitrários e imprecisos, como por exemplo, aqueles baseados no corpo humano, como o palmo, o pé, a polegada, etc. Com a expansão do comércio entre os países, diversos problemas começaram a surgir, devido a essa subjetividade de alguns padrões, e devido à pouca familiaridade que as pessoas de uma dada região tinham com o sistema de medir das outras regiões. A necessidade de se converter uma medida em outra era tão importante quanto a necessidade de se converter uma moeda em outra. Em diversos países, inclusive no Brasil Imperial, o órgão responsável pela moeda também respondia pelo sistema de medidas.

O Governo Francês, em 1789, procurou resolver esse problema de diferentes sistemas de unidades pedindo à Academia de Ciência da França que criasse um sistema de medidas baseado em uma "constante natural", ou seja, procurando evitar a arbitrariedade no sistema de medidas. Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal, constituído inicialmente por três unidades básicas: o metro, que deu nome ao sistema, o litro e o quilograma.

Neste sistema, a unidade de medir a grandeza comprimento, o metro, foi definida como sendo o comprimento do meridiano terrestre dividido por 40.000.000. Para materializar-se esta grandeza foi construída uma barra de platina de secção retangular, com 25,3mm de espessura e com 1m de comprimento. Esse padrão data de 1799 e não é mais usado como padrão de comprimento, servindo apenas como peça de museu.

A unidade de medir a grandeza volume, no Sistema Métrico Decimal, foi chamada de litro e foi definida como sendo "o volume de um decímetro cúbico". O litro permanece ainda hoje como uma das unidades em uso no SI.

Para medir a grandeza massa, foi definido o quilograma como sendo "a massa de um decímetro cúbico de água na temperatura de maior massa específica, ou seja, a 4,44ºC". Para materializá-lo foi construído um cilindro de platina iridiada, com diâmetro e altura iguais a 39 milímetros.

Muitos países, inclusive o Brasil, adotaram por algum tempo o Sistema Métrico Decimal. Apesar das vantagens que possuía, não foi possível torná-lo universal. Além disso, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada vez mais precisas para as diversas grandezas, o que fez com que em 1960 ele fosse substituído pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), cujas definições são mais complexas, sofisticadas e precisas. Ainda hoje, diversos sistemas de medidas encontram-se em uso, embora exista uma forte pressão para que se adote de maneira global o Sistema Internacional de Unidades (SI). O SI foi sancionado em 1960 pela Conferência Geral de Pesos e Medidas. O Brasil adotou oficialmente o Sistema Internacional de Unidades em 1962. A Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial ratificou a adoção do SI no País e tornou seu uso obrigatório em todo o território nacional.

75

Unidades SI mais utilizadas

Grandeza Nome Símbolo Definição comprimento metro m Metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz

no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo (Unidade de Base ratificada pela 17ª CGPM - 1983)

área metro quadrado

m² Área de um quadrado cujo lado tem 1 metro de comprimento

volume metro cúbico

m³ Volume de um cubo cuja aresta tem 1 metro de comprimento

ângulo plano radiano rad Ângulo central que subtende um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio

tempo segundo s Duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133 (Unidade de Base ratificada pela 13ª CGPM - 1967)

freqüência hertz Hz Freqüência de um fenômeno periódico cujo período é de 1 segundo

velocidade metro por segundo

m/s Velocidade de um móvel que, em movimento uniforme percorre a distância de 1 metro em 1 segundo

aceleração metro por segundo

por segundo

m/s² Aceleração de um móvel em movimento retilíneo uniformemente variado, cuja velocidade varia de 1 metro por segundo em 1 segundo

massa quilograma kg Massa do protótipo internacional do quilograma (Unidade de Base ratificada pela 3ª CGPM -1901)

massa específica

quilograma por metro

cúbico

kg/m³ Massa específica de um corpo homogêneo, em que um volume igual a 1 metro cúbico contém massa igual a 1 quilograma

vazão metro cúbico por segundo

m³/s Vazão de um fluído que, em regime permanente através de uma superfície determinada, escoa o volume de 1 metro cúbico do fluído em 1 segundo

quantidade de matéria

mol mol Quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos são os átomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. (Unidade de Base ratificada pela 14ª CGPM -1971.) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser átomos, moléculas, íons, elétrons ou outras partículas, bem como agrupamentos especificados de tais partículas

força newton N Força que comunica à massa de 1 quilograma a aceleração de 1 metro por segundo, por segundo

trabalho, energia,

quantidade de calor

joule J Trabalho realizado por uma força constante de 1 newton que desloca seu ponto de aplicação de 1 metro na sua direção

76

potência, quantidade de

energia

watt W Potência desenvolvida quando se realiza, de maneira contínua e uniforme, o trabalho de 1 joule em 1 segundo

corrente elétrica ampère A Corrente elétrica invariável que mantida em dois condutores retilíneos, paralelos, de comprimento infinito e de área de seção transversal desprezível e situados no vácuo a 1 metro de distância um do outro, produz entre esses condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton, por metro de comprimento desses condutores. (Unidade de Base ratificada pela 9ª CGPM - 1948.) O ampère é também unidade de força magnetomotriz; nesse caso, se houver possibilidade de confusão, poderá ser chamado de ampère-espira, porém sem alterar o símbolo A

carga de energia (quantidade de eletricidade)

coulomb C Carga elétrica que atravessa em 1 segundo, uma seção transversal de um condutor percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère

tensão elétrica, diferença de

potencial

volt V Tensão elétrica entre os terminais de um elemento passivo de circuito, que dissipa a potência de 1 watt quando percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère

resistência elétrica

ohms Resistência elétrica de um elemento passivo de circuito que é percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère, quando uma tensão elétrica constante de 1 volt é aplicada aos seus terminais. O ohm é também unidade de impedância e de reatância em elementos de circuito percorridos por corrente alternada

condutância siemens S Condutância de um elemento passivo de circuito cuja resistência elétrica é de 1 ohm. (O siemens é também unidade de admitância e de susceptância em elementos de circuito percorridos por corrente alternada)

capacitância farad F Capacitância de um elemento passivo de circuito entre cujos terminais a tensão elétrica varia uniformemente à razão de 1 volt por segundo, quando percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère

temperatura termodinâmica

kelvin K Fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água. (Unidade de Base ratificada pela 13ª CGPM -1967). Kelvin e grau Celsius são ainda unidades de intervalo de temperaturas. t (ºC) =T(K) - 273,15

temperatura Celsius

grau Celsius

ºC Intervalo de temperatura unitário igual a 1 kelvin, numa escala de temperaturas em que o ponto 0 coincide com 273,15 kelvins. (Unidade de Base ratificada pela 13ª CGPM - 1967). Kelvin e grau Celsius são ainda unidades de intervalo de temperaturas

intensidade luminosa

candela cd Intensidade luminosa, numa direção dada, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de freqüência 540 x 1012 hertz e cuja intensidade

77

energética naquela direção é 1/683 watt por esterradiano (Unidade de Base ratificada pela 16ª CGPM - 1979)

fluxo luminoso lúmen lm Fluxo luminoso emitido por uma fonte puntiforme e invariável de 1 candela, de mesmo valor em todas as direções, no interior de um ângulo sólido de 1 esterradiano

iluminamento lux lx Iluminamento de uma superfície plana de um metro quadrado de área, sobre a qual incide perpendicularmente um fluxo luminoso de 1 lúmen, uniformemente

O "Quadro Geral de Unidades", aprovado pela Resolução do CONMETRO nº

12/88 inclui outras unidades aceitas para uso simultâneo com as unidades SI, sem restrição de prazo.

GRANDEZA Nome Símbolo Definição Valor em unidade do SI

unidade astronômica UA

Distância média da terra ao sol. (Valor adotado

pela União Astronômica Internacional.)

149.600 x 106 m

comprimento

parsec pc Comprimento do raio de um círculo no qual o ângulo central de 1

segundo subtende uma corda igual a 1 unidade astronômica. (A União

Astronômica Internacional adota como exato o valor 1pc=206.265 UA)

300.857 x 1016m (aproximadamente)

volume litro l ou L

Volume igual a 1 decímetro cúbico. (Adotado pela 16ª CGPM - 1979). O

símbolo L será empregado sempre que

as máquinas de impressão não

apresentem distinção entre o algarismo 1 e a

letra minúscula "l".

0,001m³

78

grau º

Ângulo plano igual à fração 1/360 do ângulo central de um círculo

completo.

π/180 rad

minuto ' Ângulo plano igual à fração 1/60 de 1 grau.

π/10.800 rad ângulo plano

segundo " Ângulo plano igual à fração 1/60 de 1 minuto

π/648.000 rad

minuto min Intervalo de tempo igual a 60 segundos 60s

hora h Intervalo de tempo igual a 60 minutos

3.600s tempo

dia d Intervalo de tempo igual a 24 horas

86.400s

intervalo de freqüências oitava não tem

Intervalo de duas freqüências cuja relação é igual a 2. (O número

de oitavas de um intervalo de freqüências é igual ao logaritmo de base 2 da relação entre as freqüências extremas

do intervalo)

n/t

unidade (unificada de massa atômica)

u Massa igual à fração 1/12 da massa de um átomo de carbono 12

1,660 57 x 10-27 kg massa

tonelada t Massa - igual a 1.000 quilogramas

1.000kg

velocidade angular

rotação por minuto rpm

Velocidade angular de um móvel que, em

movimento de rotação uniforme a partir de uma posição inicial, retorna à mesma posição após 1

minuto

π/30 rad/s

energia elétron-volt eV

Energia adquirida por um elétron ao

atravessar, no vácuo, uma diferença de

potencial igual a 1 volt

1,602 19 x 10-19 J (aproximadamente)

nível de potência decibel dB

Divisão de uma escala logarítmica cujos

valores são 10 vezes o logaritmo decimal da

relação entre o valor de potência considerado, e um valor de potência especificado, tomado

como referência e

n/t

79

expresso na mesma unidade

dbn ==0

10log10ρρ

decremento logarítmico neper n/t

Divisão de uma escala logarítmica cujos

valores são os logarítmos neperiano da

relação entre dois valores de tensões

elétricas, ou entre dois valores de correntes

elétricas. N = loge V1/V2 Np ou

N = loge I1/I2 Np

n/t

Múltiplos e Submúltiplos mais usuais das Unidades SI

Nome do Prefixo Símbolo do Prefixo Fator pelo qual a unidade é multiplicada

peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000 mega M 106 = 1 000 000 quilo k 103 = 1 000 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001

micro µ 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001

Grafia dos nomes e símbolos das Unidades SI Para se escrever as unidades do SI, devem ser obedecidas certas regras: a) As unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de símbolos. Exemplos: 10 metros ou 10 m 30 segundos ou 30 s

80

b) Os nomes das unidades SI são escritos em letra minúscula, exceto quando esta se encontra no início de uma frase. Exemplos: quilograma; newton; c) A Resolução CONMETRO 12/88 estabelece regras específicas para a formação do plural dos nomes das unidades SI, que muitas vezes não coincidem com as regras da língua portuguesa. O plural correto dos nomes de algumas unidades são os seguintes: d) Nas unidades SI o acento tônico recai sobre a unidade e não sobre o prefixo:

Exemplos centigrama, hectolitro, micrometro e megametro Exceções quilômetro, hectômetro, centímetro, decâmetro, decímetro e

milímetro e) Quando a unidade provém do nome de algum cientista, o símbolo é obtido tomando-se a primeira letra do nome, e grafando-se a mesma em letra maiúscula. Exemplos: Volt V Ampère A g) Ao escrever medidas de tempo, observe os símbolos corretos para hora, minuto e

segundo. Exemplo:

Certo Errado 9h 25min 6s 9:25h e 9h 25' 6"

Alguns cuidados precisam ser tomados para evitar alguns erros muito comuns quando se escrevem unidades: a) Símbolo não é abreviatura: O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto. Exemplos:

Certo Errado s s. m m. ; mt. ; mtr. ; mt kg kg. ; kgr.

81

b) Símbolo não tem plural: Lembre-se sempre que o símbolo das unidades SI é invariável e, portanto, não pode ser seguido de "s" para indicar o plural. Exemplos:

Certo Errado 5 m 5 ms 3 kg 3 kgs

c) Não misturar nome com símbolo: Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo. Exemplos:

Certo Errado quilômetro por hora quilômetro/h

km/h km/hora metro por segundo metro/s

m/s m/segundo d) Cuidado com a grandeza “grama”. O grama pertence ao gênero masculino. Por

isso, ao escrever (e pronunciar) essa unidade, seus múltiplos e submúltiplos, faça a concordância corretamente. Exemplos:

Certo Errado dois quilogramas duas quilogramas

duzentos e cinqüenta gramas

duzentas e cinqüenta gramas

quinhentos miligramas quinhentas miligramas oitocentos e um gramas oitocentas e uma gramas

e) Cuidado com o prefixo quilo: O Prefixo “quilo” (símbolo k minúsculo) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto não pode ser utilizado sozinho. Deve ser dada atenção para a grafia correta do mesmo. Exemplos:

Certo Errado quilograma; kg quilo; k

quilômetro kilômetro quilograma kilograma quilolitro kilolitro

82

Referências complementares e sugestões de leituras 1. Vuolo, J. H., Fundamentos da Teoria dos Erros, Ed. Edgard Blücher Ltda., São

Paulo (2000). 2. Site do NIST no endereço http://www.nist.gov/public_affairs/pubs.htm 3. Site do Bureau International des Poids et Mésures (BIPM) que pode ser acessado no endereço http://www.bipm.fr/enus/welcome.html 4. A biblioteca do Centro Universitário da FEI dispõe das normas da ABNT para consulta. 5. Um guia para laboratório de física pode ser encontrado no endereço: http://www.ifi.unicamp.br/~brito/apost.html 6. Squires, G. L., Practical physics, 3a edição, Cambridge University Press,

Cambridge, 1998. 7. Young, H. D., Sears e Zemansky Física, vol. I, 10a. edição, Ed. Addison Wesley,

São Paulo (2003). 8. O apêndice sobre o SI é um texto adaptado do IPEM, que pode ser acessado no endereço: http://www.ipem.sp.gov.br/