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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
EM ENGENHARIA CIVIL
Marcelo de Andrade Pitanga
ANÁLISE TÉRMICA DE VIGAS MISTAS AÇO-CONCRETO EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO
Dissertação de Mestrado
Orientador: Prof. Dr. Romilde Almeida de Oliveira
Recife, agosto de 2004.
Universidade Federal de Pernambuco
Marcelo de Andrade Pitanga
ANÁLISE TÉRMICA DE VIGAS MISTAS
AÇO-CONCRETO EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO
Dissertação de Mestrado
Recife, agosto de 2004
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil, modalidade Estruturas.
Orientador: Prof. Romilde Almeida de Oliveira
P681a Pitanga, Marcelo de Andrade. Análise térmica de vigas mistas aço-concreto em
situação de incêndio / Marcelo de Andrade Pitanga. – Recife : O Autor, 2004.
xvii, 152 folhas. : il. ; fig., graf., tab.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Engenharia Civil, 2004.
Inclui bibliografia.
1. Engenharia civil - Estruturas. 2. Vigas mistas – Aço-concreto. 3. Engenharia civil – Estruturas – Análise térmica. 4. Estruturas em situação de incêndio. I. Título.
UFPE 624.1 CDD(21.ed.) BCTG/2004-07
II
III
À minha querida mãe Analucia de Andrade Pitanga, esteja onde estiver, a quem dedico este trabalho,
por tudo que fez por mim em vida.
IV
AGRADECIMENTOS
À meu pai Hélio da Costa Pitanga e à minha irmã Danielle de Andrade
Pitanga, não só por compreenderem minha interminável ausência, mas também
por perceberem que este era mais um acontecimento importante na minha vida.
Ao meu orientador Prof. Romilde Almeida pelo estímulo, entusiasmo e
parceria, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado.
Ao amigo Roubier Muniz de Souza pelo companheirismo durante todos
esses anos de nossa convivência social e acadêmica.
Aos novos e velhos amigos, sem citar nomes, que caminharam comigo
neste período de intensa dedicação e renúncias.
Aos professores do Departamento de Engenharia Civil da UFPE, em
especial àqueles que fazem parte do Programa de Pós-Graduação em Estruturas,
os quais tenho profundo respeito e admiração.
À UFPE – Universidade Federal de Pernambuco, instituição de ensino
superior que tanto me orgulho de fazer parte.
À CAPES – Fundação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior, pelo apoio financeiro concedido.
E a todos aqueles que de uma forma ou de outra contribuíram para
realização deste trabalho.
V
RESUMO
Pitanga, Marcelo de Andrade. Análise térmica de vigas mistas aço-concreto em
situação de incêndio. Recife, 2004. 150p. Dissertação de Mestrado –
Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco (UFPE).
A estabilidade estrutural dos edifícios em situação de incêndio é diretamente
dependente da resistência mecânica de seus elementos estruturais que, por sua
vez, dependem da temperatura que estarão sujeitos durante o incêndio. Os
elementos estruturais quando expostos aos gases quentes do incêndio perdem
resistência e rigidez devido à degeneração das propriedades físicas de seus
materiais constituintes. A temperatura atingida por um elemento estrutural durante
o incêndio é objeto da análise térmica. Este trabalho tem por objetivo realizar a
análise térmica de vigas mistas aço-concreto em situação de incêndio através do
programa comercial ANSYS – baseado no Método dos Elementos Finitos (MEF),
e também por meio do método simplificado de dimensionamento recomendado
pelas normas brasileiras de segurança estrutural contra incêndio. Como resultado
da análise térmica, observa-se o desenvolvimento e a distribuição do campo de
temperaturas na seção transversal mista, a eficiência do material de proteção
passiva contra incêndio e a importância do fator de forma (massividade) da seção.
Da mesma forma, faz-se uma análise comparativa entre os resultados obtidos pelo
método simplificado e pelo método avançado (MEF), e, por fim, é investigada a
resistência à flexão da viga mista exposta ao fogo, principalmente, destacando a
proteção passiva parcial, cujo emprego como isolante térmico, é uma alternativa à
redução de custos, mas que precisa ser utilizada com senso crítico.
Palavras-chave: Estruturas de aço em situação de incêndio; Análise térmica;
Vigas mistas aço-concreto; Método dos Elementos Finitos; Proteção passiva
estrutural.
VI
ABSTRACT
Pitanga, Marcelo de Andrade. Thermal analysis of composite steel-concrete
beams in fire situation. Recife, 2004. 150. MSc. Dissertation – Department of
Civil Engineering, Federal University of Pernambuco (UFPE).
The structural stability of buildings in fire situation depends on the mechanical
resistance of its structural elements. The structural elements when exposed to the
hot gases lose resistance and rigidity due the degeneration of the physical
properties of its constituent materials. The temperature reached for a structural
member during the fire is the objective of the thermal analysis. The aim of this
work is to carry out the thermal analysis of composite steel-concrete beams in fire
situation through the commercial program ANSYS – based in the Finite Element
Method (FEM), and also by the simplified method of calculation recommended
for Brazilian codes . As the result of the thermal analysis, it can be observed the
development and the distribution of the field of temperature at the composite cross
section, the efficiency of the passive fire protection and the importance of the
section factor for the structural member. In the same way, it is verified the
agreement between the results that had been obtained by the simplified method
and by the numerical method (FEM). Finally, the mechanical behavior of the
composite beam exposed to the fire is investigated, mainly, detaching the partial
passive fire protection, whose thermal use as isolating, is an alternative to the
reduction of costs, but that it needs to be used with critical sense.
Keywords: Steel structures in fire situation; Thermal analysis; Composite steel-
concrete beams; Finite Element Method; Structural passive protection.
VII
SUMÁRIO
RESUMO............................................................................................................. V ABSTRACT .......................................................................................................VI
LISTA DE FIGURAS........................................................................................IX
LISTA DE TABELAS.....................................................................................XII
LISTA DE SÍMBOLOS ................................................................................ XIII
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 1
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ............................................................... 1 1.2 OBJETIVOS E JUSTIFICATIVA .......................................................... 4 1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO ...................................................... 6 1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA................................................................ 7
2 SEGURANÇA CONTRA INCÊNDIO EM EDIFÍCIOS....................... 10
2.1 INTRODUÇÃO..................................................................................... 10 2.2 A CIÊNCIA DO FOGO ........................................................................ 11 2.3 O INCÊNDIO EM UM AMBIENTE COMPARTIMENTADO .......... 13 2.4 RISCOS ASSOCIADOS AO INCÊNDIO COMPARTIMENTADO ..15 2.5 O EDIFÍCIO SEGURO ......................................................................... 15 2.6 RESISTÊNCIA AO FOGO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS ..... 18 2.7 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS.................................................. 19
2.7.1 PROPRIEDADES MECÂNICAS................................................. 19 2.7.2 PROPRIEDADES TÉRMICAS .................................................... 23
2.8 PROTEÇÃO PASSIVA CONTRA INCÊNDIO................................... 27 2.8.1 PROTEÇÕES CLÁSSICAS.......................................................... 28 2.8.2 ARGAMASSAS PROJETADAS.................................................. 28 2.8.3 MATERIAIS PRÉ-FABRICADOS .............................................. 30 2.8.4 TINTAS INTUMESCENTES ....................................................... 31
3 O MÉTODO SIMPLIFICADO DE DIMENSIONAMENTO DE
VIGAS MISTAS AÇO-CONCRETO...................................................... 32
3.1 INTRODUÇÃO..................................................................................... 32 3.2 CAPACIDADE RESISTENTE............................................................. 32 3.3 MODELO REPRESENTATIVO DO INCÊNDIO ............................... 34
3.3.1 INCÊNDIO-PADRÃO .................................................................. 34 3.3.2 TEMPO REQUERIDO DE RESISTÊNCIA AO FOGO (TRRF) 36
3.4 O MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISE TÉRMICA.................. 37 3.4.1 FATOR DE MASSIVIDADE ....................................................... 37 3.4.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS SEM PROTEÇÃO TÉRMICA.39 3.4.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS COM PROTEÇÃO TÉRMICA 41
VIII
3.4.4 O CASO PARTICULAR DA VIGA MISTA ............................... 45 3.5 O MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISE ESTRUTURAL.......... 47
3.5.1 CRITÉRIOS DE CÁLCULO ........................................................ 47 3.5.2 CONECTOR DE CISALHAMENTO........................................... 50 3.5.3 MOMENTO FLETOR RESISTENTE DE CÁLCULO................ 54
3.6 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA ESTRUTURAL ......................... 60 4 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE DE
TRANSFERÊNCIA DE CALOR............................................................. 62
4.1 INTRODUÇÃO..................................................................................... 62 4.2 TRANSFERÊNCIA DE CALOR.......................................................... 62
4.2.1 CONDUÇÃO ................................................................................ 63 4.2.2 CONVECÇÃO .............................................................................. 66 4.2.3 RADIAÇÃO .................................................................................. 68 4.2.4 A EQUAÇÃO DE DIFUSÃO DE CALOR .................................. 74 4.2.5 CONDIÇÕES INICIAL E DE CONTORNO ............................... 77
4.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS............................................ 79 4.3.1 O MODELO FÍSICO DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR ....... 80 4.3.2 FORMULAÇÃO VARIACIONAL FRACA ................................ 82 4.3.3 O MODELO SEMIDISCRETO DOS ELEMENTOS FINITOS..86 4.3.4 A APROXIMAÇÃO TEMPORAL............................................... 94
5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS DA ANÁLISE TÉRMICA
DE VIGAS MISTAS EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO ........................ 98
5.1 INTRODUÇÃO..................................................................................... 98 5.2 COMPORTAMENTO TÉRMICO OBSERVADO ............................ 101 5.3 VIGAS MISTAS SEM MATERIAL DE PROTEÇÃO TÉRMICA... 107 5.4 A EFICIÊNCIA DA PROTEÇÃO PASSIVA .................................... 116 5.5 ANÁLISE COMPARATIVA.............................................................. 123 5.6 COMPORTAMENTO TERMO-MECÂNICO ................................... 127
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................. 133
6.1 INTRODUÇÃO................................................................................... 133 6.2 CONCLUSÕES................................................................................... 134 6.3 SUGESTÕES ...................................................................................... 137 6.4 RECOMENDAÇÃO PARA TRABALHOS FUTUROS ................... 137
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 139
APÊNDICE A .................................................................................................. 146
IX
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Viga mista com fôrma de aço incorporada ......................................... 1 Figura 1.2 – Imagens de incêndios em edifícios no Brasil...................................... 2 Figura 1.3 – One Meridian Plaza na Filadélfia após o incêndio em 1991............... 3 Figura 1.4 – Aspecto do escoramento da laje do 11° pavimento após o incêndio. . 3 Figura 2.1 – O triângulo do fogo ........................................................................... 12 Figura 2.2 – Principais produtos da combustão associados ao triângulo do fogo .13 Figura 2.3 – Evolução do incêndio em um ambiente compartimentado ............... 14 Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação de um aço-carbono típico sob altas
temperaturas ...................................................................................... 20 Figura 2.5 – Condutividade térmica do aço em função da temperatura ................ 23 Figura 2.6 – Condutividade térmica do concreto normal em função da
temperatura. ....................................................................................... 24 Figura 2.7 – Calor específico do aço em função da temperatura. ......................... 25 Figura 2.8 – Calor específico do concreto normal em função da temperatura. ..... 26 Figura 2.9 – Revestimentos típicos de vigas mistas: (a) Tipo contorno; (b) Tipo
caixa................................................................................................... 27 Figura 2.10 – Enclausuramento em concreto dos pilares de aço........................... 28 Figura 2.11 – Argamassa projetada: (a) Ambiente revestido pela argamassa; (b)
Esquema da aplicação por jateamento direto .................................. 29 Figura 2.12 – Materiais pré-fabricados: (a) Manta de fibra cerâmica; (b) Esquema
da fixação das placas ....................................................................... 30 Figura 2.13 – Formação da espuma rígida nas tintas intumescentes..................... 31 Figura 2.14 – Exemplos de dois edifícios urbanos revestidos pelo sistema
intumescente. ................................................................................... 31 Figura 3.1 – Fluxograma para o cálculo da capacidade resistente de uma estrutura
exposta ao incêndio compartimentado .............................................. 33 Figura 3.2 – Curva temperatura-tempo do incêndio-padrão ................................. 35 Figura 3.3 – Incêndio real x incêndio-padrão........................................................ 35 Figura 3.4 – Balanço energético na peça de aço sem proteção térmica ................ 39 Figura 3.5 – Balanço energético na peça de aço com proteção térmica................ 42 Figura 3.6 – Divisão em partes da seção transversal mista ................................... 45 Figura 3.7 – Dimensões da seção transversal da laje mista................................... 47 Figura 3.8 – Diagramas tensão-deformação: (a) concreto em compressão; (b) aço
comum com patamar de escoamento................................................. 49 Figura 3.9 – Limite de resistência para viga mista com interação completa......... 49 Figura 3.10 – Lajes com fôrma de aço incorporada .............................................. 52 Figura 3.11 – Configuração de equilíbrio estático na seção mista ........................ 54 Figura 3.12 – Distribuição de tensões em temperatura elevada para interação
completa: (a) linha neutra plástica na alma; (b) linha neutra plástica na mesa superior; (c) linha neutra plástica na laje de concreto ....... 55
X
Figura 4.1 – Experimento de condução de calor em um bastão cilíndrico............ 63 Figura 4.2 – Convenção de sinal para condução de calor unidimensional num
sólido de comprimento L................................................................... 65 Figura 4.3 – Fluxo térmico normal a uma isoterma .............................................. 65 Figura 4.4 – Transferência de calor por convecção a partir da superfície da placa
aquecida............................................................................................. 66 Figura 4.5 – Convenção de sinal para transferência de calor por convecção........ 68 Figura 4.6 – Processos de absorção, reflexão e transmissão associados a um meio
semitransparente ................................................................................ 69 Figura 4.7 – Volume de controle diferencial dx.A em um meio contínuo e isótropo
........................................................................................................... 75 Figura 4.8 – Balanço de energia para superfície de controle em x=0 ................... 78 Figura 4.9 – Região sólida de domínio arbitrário Ω limitada pela fronteira Γ ...... 80 Figura 4.10 – Condições de contorno do problema de valor inicial...................... 82 Figura 4.11 – Aproximação linear via Método dos Resíduos Ponderados............ 86 Figura 4.12 – Exemplos de elementos finitos bidimensionais .............................. 87 Figura 4.13 – Partição do domínio em intervalos uniformes ................................ 87 Figura 4.14 – Funções de interpolação do tipo “pirâmide”................................... 88 Figura 4.15 – Resultado da aplicação do MEF: (a) Representação das funções de
base globais; (b) Aproximação linear da função u trecho a trecho .89 Figura 4.16 – Subdivisão do domínio em elementos finitos ................................. 89 Figura 5.1 – Modelo proposto para modelagem numérica da viga mista em
situação de incêndio .......................................................................... 99 Figura 5.2 – Elemento finito PLANE35 utilizado na análise térmica ................. 100 Figura 5.3 – Casos estudados: (a) Viga mista com laje de concreto maciça;
(b)Viga mista com fôrma de aço incorporada ................................. 101 Figura 5.4 – Campo de temperaturas para viga mista com laje de concreto maciça
após um tempo de duração do incêndio de: (a) 30 min; (b) 60 min; (c) 90 min e (d) 120 min. ...................................................................... 102
Figura 5.5 –Distribuição das temperaturas (°C) na viga mista com laje de concreto maciça para os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos ......................... 103
Figura 5.6 – Campo de temperaturas para viga mista com fôrma de aço incorporada após um tempo de duração do incêndio de: (a) 30 min; (b) 60 min; (c) 90 min e (d) 120 min............................................... 104
Figura 5.7 – Distribuição das temperaturas (°C) na viga mista com fôrma de aço incorporada para os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos ................. 105
Figura 5.8 – Condução do calor no interior da viga mista com fôrma de aço incorporada ...................................................................................... 106
Figura 5.9 – Pontos e seções escolhidas para obtenção dos resultados numéricos......................................................................................................... 107
Figura 5.10 – Casos estudados: (a) Perfil pequeno; (b)Perfil médio e (c)Perfil grande ............................................................................................ 108
Figura 5.11 – Desenvolvimento da temperatura na alma da viga mista segundo o TRRF de 60 minutos ..................................................................... 109
Figura 5.12 – Desenvolvimento da temperatura na alma e mesas superior e inferior para os três perfis metálicos.............................................. 110
Figura 5.13 – Seção típica da laje de concreto .................................................... 111
XI
Figura 5.14 – Perfil revestido com material de proteção térmica do tipo:(a) contorno e (b) caixa. ...................................................................... 116
Figura 5.15 – Temperatura no perfil VS 400x58 durante o tempo de exposição ao incêndio. ........................................................................................ 118
Figura 5.16 – Campo de temperaturas segundo o TRRF de 60 minutos para o perfil sem e com proteção térmica................................................. 120
Figura 5.17 – Temperatura no perfil com proteção tipo caixa para o TRRF de 120 minutos. ......................................................................................... 121
Figura 5.18 - Temperatura no perfil com proteção tipo caixa para o TRRF de 120 minutos sem levar em conta a presença do ar na cavidade da caixa....................................................................................................... 122
Figura 5.19 – Pontos escolhidos para obtenção dos resultados numéricos ......... 123 Figura 5.20 – Curvas temperatura-tempo do método simplificado e do método
avançado de cálculo para o perfil sem proteção ............................ 124 Figura 5.21 – Curvas temperatura-tempo do método simplificado e do método
avançado de cálculo para o perfil com proteção do tipo contorno 125 Figura 5.22 – Curvas temperatura-tempo do método simplificado e do método
avançado de cálculo para o perfil com proteção do tipo caixa...... 126 Figura 5.23 – Características geométricas dos casos estudados: (a) viga com
proteção total e (b) viga com proteção parcial .............................. 127 Figura 5.24 – Localização da seção e dos pontos para obtenção dos resultados
numéricos ...................................................................................... 128 Figura 5.25 –Mapa de cores segundo o TRRF de 40 minutos ............................ 129 Figura 5.26 – Desenvolvimento da temperatura na mesa inferior da viga mista
durante o tempo de duração do incêndio ....................................... 130 Figura 5.27 – Gráfico momento versus tempo da viga mista durante o tempo de
exposição ao incêndio.................................................................... 131
XII
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Medidas de proteção contra incêndio: aspectos fundamentais a serem
considerados no projeto arquitetônicos de edifícios.......................... 17 Tabela 2.2 – Fatores de redução para o limite de escoamento e módulo de
elasticidade do aço estrutural............................................................. 20 Tabela 2.3 – Fator de redução da resistência característica à compressão para o
concreto de densidade normal ........................................................... 22 Tabela 3.1 – TRRF (min) segundo o Método Tabular .......................................... 36 Tabela 3.2 – Fator de massividade para vigas mistas............................................ 38 Tabela 3.3 – Aquecimento no perfil de aço, sem proteção térmica, durante os
primeiros 10 minutos de exposição ao fogo ...................................... 41 Tabela 3.4 – Aquecimento no perfil de aço, com proteção térmica do tipo
contorno, durante os primeiros 10 minutos de exposição ao fogo .... 44 Tabela 3.5 – Variação da temperatura ao longo da altura da laje de concreto ...... 46 Tabela 5.1 – Condições inicial e de contorno para a viga mista com e sem material
de proteção térmica............................................................................ 99 Tabela 5.2 – Temperatura (°C) no conector e na mesa superior dos casos
estudados ao longo do tempo de duração do incêndio .................... 106 Tabela 5.3 – Temperatura da alma (°C) em função do fator de massividade dos
perfis de aço para o TRRF máximo de 30 minutos. ........................ 109 Tabela 5.4 – Variação da temperatura na altura da laje de concreto para o perfil
VS 250x25 ....................................................................................... 110 Tabela 5.5 – Variação da temperatura na altura da laje de concreto para o perfil
VS 450x59 ....................................................................................... 111 Tabela 5.6 – Variação da temperatura na altura da laje de concreto para o perfil
VS 650x144 ..................................................................................... 112 Tabela 5.7 – Seção crítica na laje de concreto..................................................... 115 Tabela 5.8 – Comparação dos valores de temperatura entre o método avançado
(MEF) e o método simplificado de cálculo (NBR) ......................... 115 Tabela 5.9 – Propriedades do aço e do concreto ................................................. 117 Tabela 5.10 – Características do revestimento de proteção térmica.................... 117 Tabela 5.11 – Propriedades do ar no interior da cavidade da proteção tipo caixa
....................................................................................................... 117 Tabela 5.12 – Temperatura na alma do perfil metálico para os três casos
analisados, segundo os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos .......... 119 Tabela 5.13 – Temperatura no perfil com proteção tipo caixa durante o tempo de
duração do incêndio desprezando-se a existência do ar no interior da cavidade......................................................................................... 122
Tabela 5.14 – Temperatura nas fatias (°C) e a temperatura uniforme (θc) na seção crítica da laje ao longo do tempo de duração do incêndio............. 130
XIII
LISTA DE SÍMBOLOS
LETRAS DO ALFABETO ROMANO
a Espessura comprimida da laje de concreto
A Área da seção transversal do elemento estrutural
Acs Área da seção transversal do conector
(Afy)fi,a Resultante máxima das tensões de tração na viga de aço
(Afck)fi,c Resultante máxima das tensões de compressão na laje de concreto
b Largura efetiva da laje de concreto
c Calor específico
ca Calor específico do aço
cc Calor específico do concreto de densidade normal
cm Calor específico do material de proteção contra incêndio
Cfi Resultante das tensões de compressão no concreto
C`fi Resultante das tensões de compressão na viga de aço
Cred Fator de redução para resistência nominal do Stud Bolt para o caso
de lajes com fôrma de aço incorporada, cujas nervuras estejam
dispostas perpendicularmente à viga de aço
ej Espessura das n fatias da laje de concreto
E Número de subdivisões do domínio Ω em elementos finitos
E Módulo de elasticidade do aço à temperatura ambiente
E Fluxo de calor emitido por uma superfície real
Eac Termo relacionado ao acúmulo de energia no interior do volume de
controle
Ec Módulo de elasticidade do concreto de densidade normal (20°C)
Ec,θ Módulo de elasticidade do concreto de densidade normal sob altas
temperaturas
Ec,Es Termos relativos à entrada e saída de energia
Eg Termo de geração de energia
En Poder emissivo de um corpo negro
Eθ Módulo de elasticidade do aço a uma determinada temperatura
fck Resistência característica à compressão do concreto à 20 °C
XIV
fck,θ Resistência característica à compressão do concreto a uma
determinada temperatura
fy Limite de escoamento do aço à temperatura ambiente (20°C)
fy,θ Limite de escoamento do aço a uma determinada temperatura
fu Limite de resistência à tração do aço
F Fator de massividade ou de forma da seção
Fc Força resultante das tensões de compressão
Fi-j Fator de forma da radiação
FG Valor nominal da ação permanente
FQ Valor nominal das ações variáveis devido às cargas acidentais
FQ,exc Valor representativo da ação excepcional (ação térmica)
Ft Força resultante das tensões de tração
G Taxa pela qual todas radiações térmicas incidem sobre uma área
unitária da superfície é conhecida como irradiação
h Altura da seção de aço
hc Coeficiente de transferência de calor por convecção
hcs Comprimento do conector de cisalhamento após soldagem
hef Altura efetiva da laje de concreto
hr Coeficiente de transferência de calor por radiação
i Número da iteração requerida para se atingir a convergência da
solução no passo do tempo n+1
J Radiosidade definida como a taxa pela qual a radiação térmica
deixa determinada superfície por unidade de área
K Matriz de condutividade térmica
Kc,θ Fator de redução para resistência característica à compressão do
concreto
KE,θ Fator de redução para o módulo de elasticidade do aço
Ky,θ Fator de redução para o limite de escoamento do aço
Ktg Matriz tangente ou jacobiana
M Matriz de capacidade térmica
Mfi,n Momento fletor resistente nominal em situação de incêndio
Mfi,Rd Momento fletor resistente de cálculo em situação de incêndio
n Número do passo do tempo
XV
ncs Número de conectores por nervura sobre a viga
ne Número de pontos nodais do elemento finito
nx,ny Co-senos diretores do vetor normal unitário exterior a um isoterma
N Vetor interpolador da variável de campo mais conhecido como
função de base ou de forma
NT Vetor transposto interpolador da variável de campo mais conhecido como função de base ou de forma
q Vetor do fluxo de calor
qconv Fluxo de calor por convecção
qn Fluxo de calor na direção n (derivada direcional)
qn Resistência nominal do Stud Bolt totalmente embutido em laje
maciça de concreto
qfi,n Resistência nominal do Stud Bolt, em situação do incêndio,
totalmente embutido em laje maciça de concreto
qrad Fluxo de calor por radiação
qx Fluxo de calor por condução
q”x Taxa de condução de calor
Q Fonte interna de geração de calor
Qfi,n Somatório das resistências nominais individuais em situação de
incêndio dos conectores de cisalhamento situados entre a seção de
momento máximo e a seção de momento nulo
R Resíduo ou vetor desbalanceado, representa quão o sistema não-
linear transiente está fora de equilíbrio
Rfi,d Esforço resistente de cálculo em situação de incêndio
Sfi,d Esforço solicitante de cálculo em situação de incêndio obtido
através das combinações de ações últimas excepcionais
t Instante de tempo
tw Espessura da alma da seção de aço
Tfi Resultante das tensões de tração na viga de aço
u Perímetro exposto ao fogo do elemento estrutural
um Perímetro efetivo do material isolante exposto ao fogo
W Função peso ou de ponderação
yp Distância da linha neutra plástica até a face superior da viga de aço
z Braço de alavanca
XVI
LETRAS DO ALFABETO GREGO
α Parâmetro transiente que indica a estabilidade do sistema
α Propriedade radiante conhecida como absortividade
β Propriedade radiante conhecida como refletividade
γg Coeficiente de ponderação para ações permanentes
Γ Superfície de contorno fechada
∆t Intervalo de tempo
∆x Comprimento do bastão cilíndrico
∆θ Diferença de temperatura
∆θa Variação da temperatura do aço durante um intervalo de tempo ∆t
∆θg Variação da temperatura dos gases quentes durante o intervalo de
tempo ∆t
ε Propriedade radiante conhecida como emissividade
εres Emissividade resultante
θ Temperatura
θa Temperatura do aço estrutural
θc Temperatura do concreto de densidade normal
θc,j Temperatura nas n fatias da laje de concreto
θc Variação uniforme de temperatura ao longo da altura da laje de
concreto
θe Vetor das temperaturas nodais desconhecidas
θfluido Temperatura de um fluido genérico
θg Temperatura dos gases quentes no compartimento em chamas
θi Temperatura da mesa inferior e alma da viga de aço
θo Temperatura dos gases quentes no instante t = 0 (20°C)
θsup Temperatura da superfície da placa aquecida
θs Temperatura da mesa superior da viga de aço
λ Condutividade térmica
λa Condutividade térmica do aço
λc Condutividade térmica do concreto de densidade normal
λfluido Constante de condutividade térmica do fluido
XVII
λm Condutividade térmica do material de proteção contra incêndio
ρ Massa específica
ρa Massa específica do aço
ρc Massa específica do concreto de densidade normal
ρm Massa específica do material de proteção contra incêndio
σ Constante de Stefan-Boltzman
τ Propriedade radiante conhecida como transmissividade
ϕ Fluxo de calor por unidade de área
ϕconv Componente do fluxo de calor devido à convecção
ϕrad Componente do fluxo de calor devido à radiação
ψT Vetor transposto que denota a variação virtual nodal da temperatura
no elemento finito
Ω Domínio da região sólida
φfi,a Coeficiente de resistência do aço para o estado limite último em
situação de incêndio
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Na maioria dos paises desenvolvidos as estruturas de aço são sempre uma
opção considerada por arquitetos, engenheiros e construtores para os mais variado
tipos de construções, em especial, os prédios urbanos como os edifícios de
escritórios e de apartamentos, residências, habitações populares, supermercados,
shopping centers, etc.
De um modo geral, devido à presença invariável de lajes de concreto no
sistema de piso, um edifício estruturado em aço é na maioria das vezes um sistema
híbrido, ou seja, é um sistema que mistura soluções utilizando mais de um
material construtivo. Denomina-se sistema misto aço-concreto, o sistema híbrido
no qual um perfil de aço (laminado, dobrado ou soldado) trabalha em conjunto
com o concreto formando um pilar misto, uma viga mista, uma laje mista ou uma
ligação mista (QUEIROZ et al., 2001).
Constituídas de um perfil metálico suportando uma laje de concreto, ou
mista, apoiada na mesa superior e a ela ligada por meio de conectores, as vigas
mistas aço-concreto têm sido o sistema de piso misto mais utilizado em edifícios
de aço dada a sua facilidade de construção e redução de peso da obra. A Figura
1.1 ilustra esse tipo de sistema de piso utilizado em edifícios urbanos.
Figura 1.1 – Viga mista com fôrma de aço incorporada
[ref. http://www.metform.com.br].
2
Entretanto, ao se projetar edifícios em aço, é preciso ter conhecimento do
seu desempenho estrutural quando da ocorrência de um incêndio. Isto porque as
propriedades mecânicas dos materiais empregados na construção civil, como o
aço e o concreto, debilitam-se progressivamente com o aumento da temperatura, o
que pode acarretar o colapso prematuro de um elemento estrutural (viga mista, por
exemplo) e ligação (FAKURY, 1999).
Devido ao seu grande poder destrutivo, até hoje são lembradas grandes
perdas humanas e materiais decorrentes de incêndios catastróficos. A Figura 1.2
ilustra algumas dessas tragédias ocorridas em edifícios no Brasil.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.2 – Imagens de incêndios em edifícios no Brasil: (a) Joelma (1977)
[ref. http://www.bombeirosemergencia.com.br/joelma.htm]; (b) Barão de Mauá (1981)
[ref. http://www.terra.com.br/noticias/historia/dez_11.htm]; (c) CESP (1987)
[ref. http://www.lmc.ep.usp.br/people/valdir]; (d) Prédio da Eletrobrás (2004)
[ref. http://www.cb.ce.gov.br/html/noticias_incendio_riodejaneiro.html].
3
No intuito de mostrar a debilidade das propriedades mecânicas dos
materiais construtivos sob altas temperaturas, logo abaixo, duas figuras ilustram
compartimentos típicos de edifícios depois da ocorrência de um incêndio. A
Figura 1.3 mostra um compartimento de um prédio sinistrado nos EUA. Tanto as
vigas como a laje sofreram deformações excessivas em virtude das altas
temperaturas a que estavam sujeitas durante o incêndio.
Figura 1.3 – One Meridian Plaza na Filadélfia após o incêndio em 1991
(GEWAIN et al., 2003).
Já a Figura 1.4, ilustra o caso de um incêndio ocorrido em um prédio de
concreto armado, destinado ao uso residencial e comercial, localizado na cidade
de Porto Alegre, RS. Segundo KLEIN et al. (2000), a laje do 11° pavimento
sofreu deformações excessivas, o qual foi observado um afundamento de piso de
16 cm.
Figura 1.4 – Aspecto do escoramento da laje do 11° pavimento após o incêndio
ocorrido (KLEIN et al., 2000).
4
Nos EUA, Canadá, Japão e Europa, a preocupação com a segurança contra
incêndio em edifícios se fez presente há muitas décadas. Em 1953, a revista
L’ossature Metalique já publicava um longo artigo que tratava da proteção de
estruturas metálicas por envolvimento em concreto, e divulgava o uso, na época,
de proteções à base de gesso e vermiculita (ANDRADE, 2003).
No Brasil, somente em 1995, a ABNT – Associação Brasileira de Normas
Técnicas, que é o Fórum Nacional de Normalização, num trabalho conjunto com a
ABCEM – Associação Brasileira dos Construtores de Estruturas Metálicas, criou
um grupo de trabalho que tinha o objetivo de elaborar textos-base de normas que
se aplicassem à segurança contra incêndio das estruturas. Como resultado,
encontram-se atualmente aprovadas e publicadas as seguintes normas técnicas:
a) NBR 14323 (1999) – Dimensionamento de estruturas de aço de edifícios em
situação de incêndio – Procedimento, cujo objetivo é fixar condições exigíveis
para o dimensionamento em situação de incêndio de elementos estruturais de aço,
de elementos estruturais mistos aço-concreto (vigas mistas, pilares mistos e lajes
mistas) e de ligações executadas com parafusos ou soldas.
b) NBR 14432 (2000) – Exigências de resistência ao fogo de elementos
construtivos de edificações – Procedimento, cujo objetivo é estabelecer condições
a serem atendidas pelos elementos estruturais e de compartimentação que
integram os edifícios para que, em situação de incêndio, seja evitado o colapso
estrutural.
1.2 OBJETIVOS E JUSTIFICATIVA
Em virtude dos numerosos casos de incêndios ocorridos em edifícios no
Brasil nas últimas décadas, e por ser um assunto relativamente recente no meio
técnico, era natural desenvolver pesquisas relacionadas com a segurança de
edifícios em situação de incêndio. Apesar de já haver um número razoável de
trabalhos publicados, poucos pesquisadores têm trabalhado de maneira
contundente sobre o tema.
5
Alguns encontros entre profissionais e demais interessados na área de
segurança contra incêndio vêm sendo promovidos, especialmente, a partir do final
da década de 90 e começo do novo milênio, como os Seminários Internacionais –
“O Uso das Estruturas Metálicas na Construção Civil”, ocorridos em Belo
Horizonte, MG; as Jornadas Sul-americanas de Engenharia Estrutural, cuja última
edição ocorreu em Mendonza, Argentina (2004); e os Congressos Internacionais
da Construção Metálica (CICOM) em São Paulo.
O autor julga que esses encontros e demais trabalhos que já foram e vêm
sendo realizados, são fundamentais para o desenvolvimento tecnológico da área
de segurança contra incêndio em edifícios no Brasil, sendo este, o principal fator
de motivação à realização deste trabalho.
Naquilo que concerne ao projeto estrutural de edifícios, a segurança dos
elementos estruturais e subestruturas perante o fogo deve ser observada. Isto
porque a estabilidade estrutural dos edifícios em situação de incêndio é
diretamente dependente da resistência mecânica de seus elementos estruturais que,
por sua vez, dependem da temperatura que estarão sujeitos durante o incêndio
(COSTA, 2001).
Como a temperatura atingida por um elemento estrutural durante o
incêndio é objeto da análise térmica, este trabalho tem por objetivo realizar a
análise térmica de vigas mistas aço-concreto em situação de incêndio, através do
programa comercial ANSYS – baseado no Método dos Elementos Finitos, e
também por meio do método simplificado de cálculo proposto pelas normas
brasileiras citadas na seção anterior.
Procede-se à análise térmica para diversos tipos de seção mista e diferentes
situações em que pode se encontrar no ambiente em chamas, ou seja, sem
revestimento e com revestimento térmico dos tipos contorno e caixa. Como
resultado da análise térmica, observa-se o desenvolvimento e a distribuição do
campo de temperaturas na seção transversal mista, a eficiência do material de
proteção passiva contra incêndio e a importância do fator de forma (massividade)
da seção. Faz-se também uma análise comparativa entre os resultados obtidos pelo
método analítico (NBR 14323) e pelo método numérico (MEF), e, por fim, é
investigada a capacidade resistente a momento fletor da viga mista exposta ao
fogo, principalmente, destacando a proteção passiva parcial, cujo emprego como
6
isolante térmico, é uma alternativa à redução de custos, mas que precisa ser
utilizada com senso crítico.
1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
A dissertação foi desenvolvida didaticamente ao longo de seis capítulos. O
primeiro capítulo tratou das considerações iniciais, dos objetivos, da justificativa,
e a seguir, na seção 1.4, apresentará uma breve descrição dos antecedentes
históricos das estruturas de aço e mista sob altas temperaturas e em situação de
incêndio.
O segundo capítulo tratará de importantes aspectos relacionados aos
edifícios de aço em situação de incêndio, como da reação físico-química que
produz o fogo, evolução do incêndio em um compartimento típico, sistema global
de segurança contra incêndio, resistência ao fogo dos elementos estruturais,
propriedades dos materiais construtivos sob altas temperaturas e proteção passiva
estrutural contra incêndio.
O terceiro capítulo tratará do método simplificado de dimensionamento de
vigas mistas aço-concreto, recomendado pelas normas brasileiras citadas na seção
1.1, destacando tanto a análise térmica como também a estrutural.
O quarto capítulo tratará do Método dos Elementos Finitos (MEF) na
análise de transferência de calor, principalmente, para o caso de estruturas em
situação de incêndio (método avançado de análise térmica).
O quinto capítulo irá apresentar os resultados numéricos da análise térmica
obtidos a partir da utilização do ANSYS, como também, os resultados analíticos
provenientes do método simplificado de dimensionamento.
E, finalmente, o sexto capítulo discutirá as conclusões referentes ao
capítulo anterior, e também irá sugerir e recomendar trabalhos futuros.
7
1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Sem a pretensão de esgotar todo assunto sobre o tema, até porque
inúmeras pesquisas já foram e vêm sendo realizadas até os dias de hoje, será
tratado aqui, de maneira breve e não exaustiva, alguns estudos relacionados sobre
estruturas de aço e mista sob altas temperaturas e em situação de incêndio.
Os primeiros trabalhos sobre elementos de aço em altas temperaturas
surgiram a partir do final da década de sessenta. WITTEVEEN (1967) estimou a
temperatura de colapso das vigas através da análise plástica, onde a tensão de
escoamento do aço variava com a temperatura. MARCHANT (1972) desenvolveu
um método, através de um modelo perfeitamente elasto-plástico, que incluía a
degradação do módulo de elasticidade e da tensão de escoamento do aço,
admitindo a variação da temperatura na seção transversal da viga. Também
KNIGHT (1972) realizou análises em vigas considerando o modelo elasto-plástico
perfeito, em função da temperatura, e ressaltou os efeitos que a restrição a livre
expansão térmica causava à temperatura de falha da viga. OSSENBRUGGEN et
al. (1973) apresentaram um método de análise de colunas de aço com
carregamento axial sujeitas a diferentes temperaturas, tanto na seção transversal
como também ao longo do comprimento, baseado no desenvolvimento de
fórmulas simples para o cálculo da tensão de flambagem sob altas temperaturas.
CHENG & MAK (1975) desenvolveram um programa baseado no Método dos
Elementos Finitos que incluía o efeito da fluência do aço e a variação da
temperatura na direção de um dos eixos principais da seção transversal. KRUPPA
(1979) desenvolveu um método analítico simplificado para determinar a
temperatura crítica em estruturas de aço. Esse método baseava-se no
comportamento elasto-plástico perfeito, onde uma distribuição uniforme de
temperatura era considerada em toda subestrutura, fossem vigas ou pilares.
Já na década de 80, IDING & BRESLER (1981) desenvolveram um
programa computacional, chamado FASBUSH, que modelava não só o elemento
estrutural como também o pórtico de aço e o sistema de piso. Baseado no Método
dos Elementos Finitos, o programa incorporava curvas de tensão-deformação do
aço e a variação das propriedades físicas e da temperatura dos membros que eram
modelados. JAIN & RAO (1983) conceberam o primeiro programa de elementos
finitos para análise de pórticos planos sob altas temperaturas que incorporava a
8
não-linearidade geométrica. Já BABA & NAGURA (1985) também incluíram, em
suas análises via Método dos Elementos Finitos, a não-linearidade física do
material sob altas temperaturas, que se mostrou ser indispensável ao estudo. EL-
ZANATY & MURRAY (1983) desenvolveram um programa baseado em
elementos finitos, chamado INSTAF, que visava estudar o comportamento
bidimensional dos pórticos de aço, onde mais tarde SHARPLES (1987) adaptou o
mesmo programa à análise de pilares sujeitos a gradientes térmicos ao longo de
sua seção transversal e carregamentos excêntricos. OLAWALE (1988)
desenvolveu um método para análise de colunas perfeitamente isoladas em
incêndio. Essas análises foram baseadas na teoria das pequenas deformações
considerando-se tensões residuais, cargas excêntricas e flambagem local.
No começo da década de 90, BURGESS et al. (1990) elaboraram um
procedimento numérico, que analisava seções transversais de vigas metálicas,
considerando que as propriedades térmicas e mecânicas do aço variavam com a
não-linearidade da temperatura ao longo da seção transversal. LIE & ALMAND
(1990) introduziram um estudo baseado no Método das Diferenças Finitas em
pilares metálicos, com proteção térmica, a fim de determinar sua resistência ao
fogo. Prosseguindo esse estudo, LIE & IRWIN (1993) ampliaram o modelo
matemático baseado no Método das Diferenças Finitas para que se pudesse
predizer a resistência ao fogo de pilares de concreto armado de seção retangular.
LIE (1994) adaptou e ampliou o mesmo modelo para verificar a resistência ao
fogo de pilares de seção circular mista preenchida com concreto armado. POH &
BENNETTS (1995a; 1995b) desenvolveram um método numérico para analisar o
comportamento mecânico de elementos estruturais como vigas e colunas sob altas
temperaturas. Esse método difere dos outros devido ao processo iterativo para
obter a solução do problema. Ele considerava às cargas nominais, grau de
restrição dos apoios, variação da temperatura ao longo da seção transversal e
comprimento, não-linearidades físicas e geométricas e permitia o uso de qualquer
tipo de seção transversal. SAKUMOTO et al. (1992; 1994), SAKUMOTO &
SAITO (1995), SAKUMOTO et al. (1996) e SAKUMOTO (1999), avaliaram o
comportamento mecânico de elementos estruturais isolados, como pilares e vigas,
constituídos de aço resistente ao fogo, inclusive o aço inoxidável, definidos
conforme a composição química e processo de fabricação. Verificou-se que os
aços resistentes ao fogo, analisados experimentalmente e numericamente,
9
forneciam melhor desempenho estrutural sob incêndio quando comparados com o
aço estrutural convencional. WANG (1998) apresentou resultados experimentais e
numéricos propondo um novo modelo que tinha a finalidade de reduzir o custo da
proteção térmica em vigas mistas. É o que ele se referiu como vigas mistas
protegidas parcialmente, ou seja, vigas que possuem proteção térmica apenas na
mesa inferior e em uma pequena fração da alma do perfil metálico.
Ao final do século 20 e início do século 21, CLARET (2000) analisou
vigas mistas com proteção parcial em situação de incêndio por meio de um
programa baseado no Método dos Elementos Finitos, chamado VULCAN, onde
verificou que as vigas mistas tinham uma resistência ao incêndio-padrão da ordem
de 21 minutos quando sem proteção térmica, e de pelos uma hora quando
protegidas parcialmente. SILVA & CALMON (2000), CALMON et al (2000a;
2000b), desenvolveram um programa para análise térmica de estruturas em
situação de incêndio, baseado no Método dos Elementos Finitos, cuja
implementação computacional incorporava a técnica de programação orientada a
objetos. SPÍNDOLA & FAKURY (2002), baseados nos trabalhos desenvolvidos
por BAILEY & MOORE (2000a; 2000b), NEWMAN et al. (2000) e BAILEY
(2001), concluíram que, no dimensionamento de pisos de edifícios em situação de
incêndio, quando se considera o trabalho conjunto de vigas e laje, permite-se que
as vigas secundárias possam ficar sem proteção. Tal fato se deve a habilidade da
laje mista de suportar as ações das vigas secundárias que falham no incêndio e
transferi-las para as vigas principais ainda resistentes da estrutura do piso
(comportamento de membrana). WONG & GHOJEL (2003) analisaram as
formulações de transferência de calor em relação aos membros de aço protegidos
termicamente, o qual verificaram que para certos tipos de materiais isolantes, as
temperaturas calculadas através do Eurocódigo diferiam substancialmente
daquelas calculadas por meio de soluções exatas analíticas.
2 SEGURANÇA CONTRA INCÊNDIO EM EDIFÍCIOS
2.1 INTRODUÇÃO
Os edifícios urbanos atuais, graças ao desenvolvimento tecnológico,
trazem consigo grandes riscos à ocorrência de incêndios que outrora não existiam.
Podemos citar, por exemplo, a incorporação acentuada de materiais combustíveis
trazidos ao interior do edifício e o número crescente de instalações e
equipamentos de serviço. Além disso, grandes áreas sem compartimentação e o
emprego de fachadas envidraçadas, aumentam as chances do incêndio torna-se
ainda mais destrutivo.
A ocorrência de um incêndio em uma edificação expõe seus usuários a
grande risco de vida e, em geral, causa grande perdas patrimoniais decorrentes da
destruição dos materiais construtivos e dos bens nela alojados. A segurança contra
incêndio surge como um importante aspecto a ser observado no projeto de
edifícios. Desta maneira, deve-se identificar quais os objetivos dessa segurança,
observar quais os requisitos funcionais que o edifício deve atender para a
consecução desses objetivos e, então, decidir sobre as medidas de prevenção e
combate ao fogo que serão tomadas. A resistência ao fogo das estruturas aparece
como uma dessas medidas de proteção contra o fogo, pois ela é uma forma de
precaução quanto a um possível colapso estrutural.
Materiais de construção como o aço e o concreto quando sujeitos a altas
temperaturas do incêndio apresentam variações em suas propriedades mecânicas e
térmicas, o que pode provocar a incapacidade do elemento estrutural de resistir às
ações aplicadas. O meio mais comum de proteger o membro estrutural quanto ao
aumento excessivo da temperatura é através da proteção passiva estrutural.
Este capítulo, portanto, tratará destes importantes aspectos que precisam
ser considerados no projeto de segurança contra incêndio dos edifícios urbanos,
principalmente, aqueles estruturados em aço.
11
2.2 A CIÊNCIA DO FOGO
O fogo é conhecido da humanidade desde a pré-história. Há milhões de
anos atrás, foram encontrados vestígios em cavernas do uso do fogo pelo homem
primitivo. Nos dias de hoje, o fogo está presente tanto num simples acender de um
fósforo como também no processo de fabricação do aço nos altos-fornos das
usinas siderúrgicas.
Entretanto, o homem percebeu que o fogo poderia tornar-se uma ameaça
em potencial, ou seja, a partir do momento que ele fugisse de seu controle,
fatalmente perdas humanas e materiais viriam a acontecer. Chama-se incêndio, a
ocasião em que o fogo encontra-se generalizado, isto é, o fogo encontra-se fora de
controle e se alastra rapidamente com grande intensidade (FERREIRA, 1999).
Segundo GOMES (1998), fogo ou incêndio é o produto da combustão de
um material – que contém basicamente os elementos químicos Carbono,
Hidrogênio e Enxofre, provocada por uma fonte de calor (ou de ignição), que
ocorre na presença do oxigênio (comburente).
A combustão é uma reação química de oxidação bastante complexa,
envolvendo um processo de decomposição, ou degradação, do material pelo efeito
do calor. Esta decomposição é conhecida pelo nome de pirólise. A seguir, uma
breve descrição dos elementos que participam da reação química de combustão.
• Combustível – é toda substância susceptível à combustão, capaz de queimar
uma vez iniciada a reação. Pode ser sólida (madeira, algodão, papel, plástico),
líquida (gasolina, óleo diesel) e gasosa (magnésio, potássio, zinco);
• Comburente – são todos os elementos químicos capazes de alimentar o
processo de combustão, dentre os quais, o oxigênio se destaca como o mais
importante, por ser o comburente obtido de forma natural no ar atmosférico que
respiramos, o qual é composto por 78% de nitrogênio, 21% de oxigênio e 1% de
outros gases;
• Fontes de ignição – a reação química só ocorrerá inicialmente entre os dois
reagentes se houver um agente que promova a ignição (partida inicial) do
12
processo de combustão. As fontes de ignição mais comuns são as superfícies
aquecidas, as agulhas, as centelhas e as chamas.
A pirólise tem início quando o material combustível entra em contato com
uma fonte de ignição. Em primeiro lugar é atacada a superfície do material, e há o
desprendimento vagaroso de gases e liberação de calor. Em seguida, após ser
alcançada a temperatura de ignição, que é um pouco superior à temperatura
ambiente, a pirólise passa a se desenvolver rapidamente, só que, absorvendo calor
também. A partir daí, o corpo começa a queimar integralmente e os gases
desprendidos também entram em processo de combustão. A combustão se
manterá caso o balanço de aproveitamento do calor seja positivo, ou seja, se mais
calor estiver sendo aproveitado pelo corpo do que perdido para o ambiente.
A Figura 2.1 mostra o triângulo do fogo que é uma forma simplificada de
representar o fenômeno físico-químico em questão.
Figura 2.1 – O triângulo do fogo.
O tetraedro do fogo, que é uma outra maneira didática de representar a
reação de combustão, complementa o triângulo do fogo com um outro elemento
de suma importância, a reação em cadeia. Como foi visto anteriormente, a
combustão é uma reação que se processa em cadeia, isto é, após a partida inicial
(ignição) é mantida pelo calor gerado durante o próprio processamento da reação.
A seguir, uma breve descrição dos principais produtos da combustão e
seus efeitos à vida humana. E na Figura 2.2, estão representados os principais
produtos da combustão associados ao triângulo do fogo.
13
• Gases (CO2, SO2, HCL e outros gases tóxicos); • Transmissão de calor; • Chamas (provocam queimaduras na pele); • Fumaça (a maior causa de morte nos incêndios, pois prejudica a visibilidade dificultando a fuga e provoca também a asfixia).
Figura 2.2 – Principais produtos da combustão associados ao triângulo do fogo
(SHIRAISHI, 2002).
2.3 O INCÊNDIO EM UM AMBIENTE COMPARTIMENTADO
Tipicamente um incêndio em um edifício residencial, comercial, ou
institucional tem origem em um simples compartimento. Este compartimento
pode ser o quarto de uma casa, o escritório de um prédio comercial, ou a sala de
aula de um edifício institucional. Geralmente, ele é retangular em sua forma e
dispõe de uma razoável área construída. O compartimento também possui janelas
e portas que dão acesso aos ambientes internos e externos à edificação.
Conforme GEWAIN et al. (2003), a evolução do incêndio em um
compartimento é caracterizada por quatro fases: a fase inicial, ou incipiente, a fase
de crescimento, a fase do incêndio completamente desenvolvido, ou de
inflamação generalizada, e a fase de resfriamento, ou de extinção. A Figura 2.3
mostra a evolução típica do incêndio em um ambiente compartimentado.
14
Figura 2.3 – Evolução do incêndio em um ambiente compartimentado.
A primeira fase corresponde ao estágio da ignição incipiente, onde existe a
possibilidade do aparecimento de um foco de incêndio através da interação entre
os materiais combustíveis e as fontes de ignição presentes no interior do edifício.
Uma vez que o material combustível está em contato com a fonte de ignição, é
iniciada a reação química de combustão.
Na fase de crescimento, em um primeiro momento, o incêndio está restrito
a um foco, representado pelo primeiro material ignizado. O ambiente sofrerá uma
elevação gradual da temperatura, e a fumaça e os gases quentes – que são
produtos da combustão, serão acumulados no teto. Uma vez mantida a combustão
e caso haja a oxigenação do compartimento através de comunicações (portas,
janelas, etc) com o interior e exterior, o fogo irá progredir intensamente, e através
de mecanismos de transmissão de calor, poderá ocorrer sua propagação para os
materiais combustíveis que estejam nas adjacências, provocando o surgimento de
novos focos de incêndio.
Caso o incêndio continue a crescer e alcance temperaturas suficientemente
altas – algo em torno de 600°C, ele poderá atingir o instante de inflamação
generalizada ou flashover, que representa a transição entre a fase de crescimento
do incêndio e a fase do incêndio completamente desenvolvido. A partir daí, a
temperatura e o calor são tão intensos dentro do compartimento que todas as
superfícies estarão queimando, liberando grande quantidade de fumaça e gases
quentes. O fogo, então, atingirá rapidamente sua máxima severidade.
Quando praticamente 70% do material combustível presente no
compartimento foi consumido, tem-se o início da fase do resfriamento do
incêndio.
flashover igniç ão
resfriamento incêndio completamentedesenvolvido
crescimento incipiente
temperatura
tempo
15
2.4 RISCOS ASSOCIADOS AO INCÊNDIO COMPARTIMENTADO
Para MITIDIERI & IOSHIMOTO (1998), existem cinco categorias de
riscos associadas ao incêndio compartimentado. O risco de início de incêndio é
caracterizado quando existe a probabilidade de surgimento de um foco de
incêndio através da interação entre as fontes de ignição e os materiais
combustíveis trazidos ao interior do edifício, ou entre os materiais combustíveis
que fazem parte do sistema construtivo do edifício.
A possibilidade de o incêndio passar de sua fase inicial para o instante do
flashover, é que define o risco de crescimento do incêndio. Neste instante,
havendo a presença de comunicações internas entre os ambientes, o fogo se
alastrará rapidamente para os demais compartimentos, e com mais severidade do
que no compartimento de origem. Em caso de janelas ou aberturas existentes na
fachada do edifício, os gases quentes, fumaça e calor serão emitidos às edificações
vizinhas. A propagação do fogo do ambiente de origem para os demais ambientes
e edifícios adjacentes, caracteriza o risco de propagação do incêndio.
Uma vez que os produtos oriundos do incêndio (fumaça, chamas, gases
tóxicos e o calor) provocam lesões aos usuários do edifício e as pessoas que
participam do combate e controle do fogo, tem-se, então, o risco á vida humana.
O risco à propriedade está presente desde o instante do surgimento do
primeiro foco do incêndio até a sua possível propagação para os ambientes
internos e prédios vizinhos ao edifício.
2.5 O EDIFÍCIO SEGURO
Para que um edifício seja seguro contra incêndio, é preciso saber quais os
objetivos dessa segurança e que estratégias deverão ser tomadas. As ações
adotadas para se alcançar um nível de segurança adequado em um edifício
correspondem àquelas requeridas pelo sistema global de segurança contra
incêndio, que é particular a cada edifício.
Considerando-se que a segurança está relacionada à probabilidade de
ocorrência dos riscos associados ao incêndio, um edifício poderá ser considerado
16
seguro contra incêndio, quando for concebido de modo a atender a certos
requisitos funcionais que visam minimizar, principalmente, os riscos à vida
humana e à propriedade. Os requisitos funcionais que visam garantir níveis
adequados de segurança contra incêndios em edifícios são (BERTO, 1991):
a) “precaução contra o início do incêndio;
b) limitação do crescimento do incêndio;
c) extinção inicial do incêndio;
d) limitação da propagação do incêndio;
e) evacuação segura do edifício;
f) precaução contra a propagação do incêndio entre edifícios;
g) precaução contra o colapso estrutural;
h) rapidez, eficiência e segurança das operações relativas ao combate e resgate”.
Definidos os requisitos funcionais, que são particularmente os objetivos da
segurança contra incêndio no que concerne à proteção à vida e à propriedade, é
preciso planejar ações com vista à consecução desses objetivos. Estas ações são
traduzidas em um conjunto de meios ativos e passivos de proteção contra o fogo.
A NBR 14432 classifica os meios ativos como aqueles que reagem
ativamente em resposta aos estímulos provocados pelo fogo. É composto
basicamente pelas instalações prediais de proteção contra incêndio como os
sistemas de alarme contra o calor ou chamas, chuveiros automáticos ou sprinklers,
brigada contra incêndio, corpo de bombeiros, entre outros.
Ainda segundo esta norma, os meios passivos são aqueles incorporados ao
sistema construtivo do edifício cujo intuito é assegurar a estabilidade estrutural e
não estabelecer condições propícias ao crescimento e propagação do fogo,
reagindo passivamente ao desenvolvimento do incêndio. É o caso, por exemplo,
das saídas de emergências, resistência ao fogo dos elementos estruturais, paredes
corta-fogo e a compartimentação.
Vale ressaltar que tão importante quanto os meios de proteção contra o
fogo já instalado no edifício, é a prevenção, ou seja, seriam aquelas medidas
destinadas a prevenir a ocorrência do início de incêndio.
17
A Tabela 2.1 identifica as principais medidas de prevenção e combate ao
fogo relativas aos requisitos funcionais do sistema global de segurança contra
incêndio.
Tabela 2.1 – Medidas de proteção contra incêndio: aspectos fundamentais a serem considerados no projeto arquitetônicos de edifícios (BERTO, 1991).
Elementos
Principais medidas de prevenção e combate ao fogo
Precaução contra o início
do incêndio
- conscientização do usuário à prevenção do incêndio - distanciamento entre as fontes de calor e os materiais combustíveis - correto dimensionamento e execução de instalações de serviço - manutenção preventiva e corretiva de instalações de serviço
Limitação do crescimento do incêndio
-controle da quantidade de materiais combustíveis incorporados aos elementos construtivos e os trazidos ao interior do edifício -controle das características de reação ao fogo materiais que serão incorporados aos elementos construtivos
Extinção inicial do incêndio
- provisão de equipamentos portáteis de combate, hidrantes e mangotinhos, chuveiros automáticos, alarmes, sinalização de emergência - elaboração de planos e treinamento dos usuários para efetuar o combate inicial ao incêndio
Evacuação segura do edifício
- provisão de rotas de fugas seguras, sinalização de emergência, iluminação de emergência, sistema de comunicação de emergência - manutenção preventiva e corretiva dos equipamentos destinados a garantir a evacuação seguro do edifício
Limitação da propagação do
incêndio
- compartimentação vertical e horizontal - manutenção preventiva e corretiva dos equipamentos destinados a compor a compartimentação vertical e horizontal
Precaução contra a
propagação do incêndio entre
edifícios
- distanciamento seguro entre edifícios - controle das características de reação ao fogo dos materiais incorporados aos elementos construtivos (na fachada do edifício) - controle da disposição de materiais combustíveis nas proximidades das fachadas do edifício
Precaução contra o colapso
estrutural
- resistência ao fogo dos elementos estruturais - resistência ao fogo da fachada do edifício
Rapidez, eficiência e
segurança das operações de
combate e resgate
- provisão de meios de acesso aos equipamentos de combate às proximidades do edifício - provisão de equipamentos portáteis de combate - provisão de meios de acesso seguros da brigada ao interior do edifício - provisão de sistema de controle de movimento da fumaça - manutenção preventiva e corretiva dos equipamentos destinados ao combate e disposição na entrada do edifício de informações úteis
18
2.6 RESISTÊNCIA AO FOGO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
A precaução contra o colapso estrutural é uma das medidas de proteção
que têm por objetivo garantir níveis adequados de segurança contra incêndio em
edifícios (Tabela 2.1). E a resistência ao fogo dos materiais construtivos é um dos
meios passivos de proteção contra incêndio apropriado para este fim.
A NBR 14432 define resistência ao fogo, como a capacidade de um
elemento estrutural de resistir à ação do fogo por um determinado período de
tempo, mantendo sua integridade estrutural. Conceito análogo é mencionado na
NBR 14323, isto é, ela recomenda que os elementos estruturais e suas ligações,
com ou sem proteção contra incêndio, sejam estáveis e resistentes aos esforços
solicitantes em temperatura elevada, a fim de evitar o colapso da estrutura em um
tempo inferior ao previsto pela NBR 14432.
Ainda segundo a NBR 14323, o dimensionamento de um membro
estrutural em situação de incêndio pode ser feito através de ensaios ou por meio
de métodos analíticos de cálculo ou ainda por uma combinação de ensaios e
métodos analíticos.
No dimensionamento por meio de ensaios a resistência ao fogo das
estruturas com ou sem proteção contra incêndio, pode ser determinada através de
resultados de ensaios realizados em laboratório nacional ou estrangeiro, de acordo
com a NBR 5628 (1980) ou qualquer outra norma de especificação nacional ou
estrangeira.
No dimensionamento por meio de métodos analíticos de cálculo pode ser
usado o método simplificado ou o método avançado de dimensionamento. O
primeiro caso será discutido mais adiante neste trabalho. Já o último caso, deve
proporcionar uma análise realística da estrutura e do cenário do incêndio, a fim de
levar a uma aproximação confiável do comportamento dos componentes da
estrutura em situação de incêndio.
A análise térmica deve ser baseada em princípios reconhecidos e hipóteses
da teoria de transferência de calor, e deve considerar a variação das propriedades
térmicas dos materiais com a temperatura conforme bibliografia especializada.
A análise estrutural deve ser baseada em princípios reconhecidos e
hipóteses da mecânica dos sólidos, e quando relevante devem ser considerados os
efeitos das tensões e deformações induzidas termicamente, variações das
19
propriedades do material em função da temperatura, imperfeições geométricas e
as não-linearidades físicas e geométricas.
2.7 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
No dimensionamento por meio de métodos analíticos é preciso levar em
consideração as propriedades físicas do aço e do concreto sob altas temperaturas,
pois a exemplo de outros materiais, debilitam-se progressivamente com o aumento
da temperatura. Conseqüentemente, pode ocorrer o colapso de um elemento
estrutural como resultado de sua incapacidade de resistir às ações aplicadas. Em
decorrência deste fato, as propriedades mecânicas (resistência mecânica e massa
específica) e térmicas (condutividade térmica e calor específico) sofrem alterações
em função da temperatura que o material construtivo poderá alcançar no
compartimento em chamas.
2.7.1 PROPRIEDADES MECÂNICAS
Nas aplicações estruturais, uma característica importante, no que concerne
ao dimensionamento das estruturas, é o diagrama tensão-deformação do material,
visto que, a partir do diagrama é possível determinar a capacidade resistente do
membro estrutural, seja na hipótese elástica ou plástica (NBR 8800, 1986).
Segundo PFEIL (2000), no caso do aço estrutural, temperaturas superiores
a 100°C reduzem sua resistência ao escoamento fy e ruptura fu, bem como seu
módulo de elasticidade E, e também tendem a eliminar o patamar de escoamento
bem definido, tornando o diagrama tensão-deformação arredondado.
Adiante, a Figura 2.4 mostra a redução do limite de escoamento, em
função da temperatura, para um aço-carbono típico que possui resistência ao
escoamento de 275 N/mm2 a temperatura ambiente (20°C).
20
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação de um aço-carbono típico sob altas
temperaturas (COSTA, 2001).
A Tabela 2.2 fornece os fatores de redução, relativos aos valores a 20°C,
para o limite de escoamento e módulo de elasticidade dos aços estruturais,
normalmente utilizados na prática (laminados à quente), conforme a NBR 14323.
Tabela 2.2 – Fatores de redução para o limite de escoamento e módulo de elasticidade do aço estrutural.
Temperatura
do aço estrutural
θa (°C)
Fator de redução para o
limite de escoamento
Ky,θ
Fator de redução para o
módulo de elasticidade
KE,θ
20 1.000 1.0000
100 1.000 1.0000
200 1.000 0.9000
300 1.000 0.8000
400 1.000 0.7000
500 0.780 0.6000
600 0.470 0.3100
700 0.230 0.1300
800 0.110 0.0900
900 0.060 0.0675
1000 0.040 0.0450
1100 0.020 0.0225
1200 0.000 0.0000
21
EEK
ffK
E
yyy
θθ
θθ
=
=
,
,,
Onde:
(2.1)
(2.2)
Sendo:
fy,θ o limite de escoamento do aço a uma determinada temperatura θa (°C); fy o limite de escoamento do aço a temperatura ambiente (20°C); Eθ o módulo de elasticidade do aço a uma determinada temperatura θa (°C); E o módulo de elasticidade do aço a temperatura ambiente (20°C).
No concreto, quando este é aquecido, a água livre em seu interior se
vaporiza a partir de 150°C e exerce uma pressão de dentro para fora, o que pode
provocar o lascamento, ou spalling, de suas camadas superficiais. Isto causa a
retração da pasta de cimento hidratada gerando tensões internas, pois o agregado e
o aço estão sujeitos a expansão térmica. A partir daí, o concreto encontra-se
fissurado perdendo resistência e rigidez (RIGBERTH, 2000).
O módulo de elasticidade do concreto normal sob altas temperaturas pode
ser determinado da seguinte maneira (NBR 14323):
ckccc fkE ⋅⋅⋅= θθ ρ ,5.1
, 42 (2.3)
onde ρc é a massa específica do concreto normal em quilonewton por metro
cúbico. Na expressão anterior, o fck deverá ser dado em megapascal, fazendo com
que o Ec,θ seja fornecido também em megapascal.
A Tabela 2.3, a seguir, fornece o fator de redução da resistência
característica à compressão do concreto de densidade normal, relativa à
temperatura de 20°C, conforme a NBR 14323.
22
Tabela 2.3 – Fator de redução da resistência característica à compressão para o
concreto de densidade normal. Temperatura
do
concreto normal
θc (°C)
Fator de redução para
resistência característica à
compressão do concreto
Kc,θ
20 1.000
100 0.950
200 0.900
300 0.850
400 0.750
500 0.600
600 0.450
700 0.300
800 0.150
900 0.080
1000 0.040
1100 0.010
1200 0.000
Onde:
ckckc ffK θθ ,, = (2.4)
Sendo:
fck,θ a resistência característica à compressão do concreto a temperatura θc (°C);
fck a resistência característica à compressão do concreto a 20°C.
23
Segundo a NBR 14323, a massa específica, que é uma outra propriedade
mecânica do material, pode ser considerada independente da temperatura, e vale
para o aço:
ρa = 7850 kg/m3 (2.5)
E para o concreto normal:
ρc = 2400 kg/m3 (2.6)
2.7.2 PROPRIEDADES TÉRMICAS
Condutividade térmica é um parâmetro que indica a rapidez com que o
calor é conduzido no interior de um dado material. Para o aço, a NBR 14323
estabelece a dependência da condutividade térmica em relação à temperatura
(Figura 2.5).
0 200 400 600 800 1000 12000
10
20
30
40
50
temperatura (°C)
cond
utiv
idad
e té
rmic
a (W
/m.°C
)
Figura 2.5 – Condutividade térmica do aço em função da temperatura.
Assim, a condutividade térmica do aço, λa, em Watt por metro e por graus
Celsius, pode ser determinada da seguinte maneira:
- para 20°C ≤ θa < 800°C
24
aa θλ ⋅⋅−= −21033.354
- para 800°C ≤ θa ≤ 1200°C
3.27=aλ (2.7)
onde θa é a temperatura do aço em graus Celsius.
O projeto de revisão da NBR 14323 (NBR 14323, 200X) estabelece que a
condutividade térmica do concreto normal também é dependente da temperatura
(Figura 2.6). Assim, a condutividade térmica do concreto normal, λc, em Watt por
metro e por grau Celsius, pode ser determinada da seguinte forma:
- para 20°C ≤ θc ≤ 1200°C
2
120012.0
12024.02
⋅+⋅−= cc
cθθ
λ (2.8)
onde θc é a temperatura do concreto em grau Celsius.
0 200 400 600 800 1000 12000
0.5
1
1.5
2
temperatura (°C)
cond
utiv
idad
e té
rmic
a (W
/m.°C
)
Figura 2.6 – Condutividade térmica do concreto normal em função da
temperatura.
25
Calor Específico é a quantidade de calor necessária para elevar de 1°C
uma unidade de massa de um dado material. A NBR 14323 estabelece a
dependência do calor específico em relação à temperatura (Figura 2.7). O calor
específico do aço, ca, em Joule por kilograma e por grau Celsius, pode ser
determinado da seguinte maneira:
- para 20°C ≤ θa < 600°C 36231 1022.21069.11073.7425 aaaac θθθ ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+= −−−
- para 600°C ≤ θa < 735°C
aac
θ−+=
73813002666
- para 735°C ≤ θa < 900°C
73117820545
−+=
aac
θ
- para 900°C ≤ θa < 1200°C
Cca °= 650 (2.9)
0 200 400 600 800 1000 12000
1000
2000
3000
4000
5000
temperatura (°C)
calo
r esp
ecífi
co (J
/kg.
°C)
Figura 2.7 – Calor específico do aço em função da temperatura.
26
A NBR 14323 (200X) estabelece que o calor específico do concreto
normal também é dependente da temperatura (Figura 2.8). Assim, o calor
específico do concreto normal, cc, em joule por kilograma e por grau Celsius,
pode ser determinado da seguinte forma:
- para 20°C ≤ θc ≤ 1200°C
2
1204
12080900
⋅−⋅+= cc
ccθθ
(2.10)
0 200 400 600 800 1000 1200400
600
800
1000
1200
1400
temperatura (°C)
calo
r esp
ecífi
co (J
/kg.
°C)
Figura 2.8 – Calor específico do concreto normal em função da temperatura.
A umidade causa um pico na curva da figura acima entre 100 e 200°C,
devido à vaporização da água contida no interior do concreto. Então, caso se
pretenda levar em conta este efeito, a NBR 14323 (200X) recomenda os seguintes
valores de pico em função da umidade do concreto:
( )Ckg
Jcc
°
=.2750
1875* para umidade
%4%2
do peso do concreto (2.11)
27
2.8 PROTEÇÃO PASSIVA CONTRA INCÊNDIO
A solução mais freqüentemente usada para evitar o aumento excessivo da
temperatura nos elementos estruturais de aço em situação de incêndio, é o
emprego dos materiais isolantes térmicos. Segundo FAKURY (1999), esses
materiais utilizados como meios de proteção passiva contra incêndio, devem:
• ser bons isolantes térmicos sob temperaturas elevadas, para assegurar a
diminuição do acesso do calor ao aço;
• manter-se íntegros durante a evolução do incêndio, sem apresentar fissuras.
Quanto à morfologia, os revestimentos podem ser classificados em tipo
contorno ou tipo caixa. A Figura 2.9 ilustra, para o caso da viga mista, estes dois
tipos de revestimentos. E quanto ao material constituinte, podemos ter:
• Proteções clássicas;
• Argamassas projetadas;
• Materiais pré-fabricados;
• Tintas intumescentes.
(a) (b)
Figura 2.9 – Revestimentos típicos de vigas mistas: (a) Tipo contorno; (b) Tipo caixa.
28
2.8.1 PROTEÇÕES CLÁSSICAS
Inicialmente, a proteção das estruturas de aço era feita através de materiais
já usados na construção civil e de técnica simples, como a execução de alvenarias
contornando os pilares ou o enclausuramento (envolvimento) de vigas e pilares
em concreto. A Figura 2.10 demonstra um desses sistemas tradicionais de
proteção térmica.
Figura 2.10 – Enclausuramento em concreto dos pilares de aço
[ref. http://www.corusconstruction.com/legacy/fire/images/fireres_section4.pdf].
2.8.2 ARGAMASSAS PROJETADAS
São argamassas constituídas basicamente por agregados e aglomerantes,
aplicadas por jateamento direto sobre a superfície do aço. O resultado da aplicação
é uma superfície rugosa, de acabamento rústico semelhante a um chapisco grosso,
mais apropriada para elementos acima de forros ou ambientes menos exigentes.
Devem trabalhar monoliticamente com a estrutura, acompanhando seus
movimentos, sem ocorrência de fissuras ou desprendimento.
A seguir, uma breve descrição de algumas argamassas projetadas
encontradas no mercado brasileiro.
29
• Argamassa projetada “cimentitious” – é um produto com alto conteúdo de
aglomerantes, constituído basicamente de gesso (aproximadamente 80%), cimento
Portland (aproximadamente 2%), resinas acrílicas e materiais inertes, como
poliestireno expandido e celulose;
• Fibra projetada – é constituída por agregados, fibras minerais e aglomerantes.
Basicamente, as fibras são obtidas a partir de escória de alto-forno ou de rochas
basálticas;
• Argamassa à base de vermiculita – é uma argamassa de agregado leve à base
de vermiculita, que pertence ao grupo dos minerais micáceos, que são silicatos
hidratados de composição variada, originados da alteração das micas, com ponto
de fusão em torno de 1370°C. Pode ser aplicada por jateamento ou por processos
manuais com o uso de espátulas.
(a) (b)
Figura 2.11 – Argamassa projetada: (a) Ambiente revestido pela argamassa; (b) Esquema da aplicação por jateamento direto
[ref. http://www.wallcolor.com.br].
30
2.8.3 MATERIAIS PRÉ-FABRICADOS
São elementos rígidos ou flexíveis, geralmente compostos de materiais
fibrosos ou vermiculita ou gesso ou combinação desses materiais, fixados à
estrutura metálica por meio de pinos ou perfis leves de aço. O painel é mantido,
geralmente, visível em estruturas, proporcionando diversas possibilidades de
acabamento.
A seguir, uma breve descrição de elementos pré-fabricados encontrados no
mercado brasileiro.
• Placas de gesso acartonado – são elementos rígidos, constituídos de fibra de
vidro, e, em alguns casos, de vermiculita;
• Placas de lã de rocha – são elementos rígidos, cuja matéria-prima básica
utilizada na confecção dessas placas é o basalto;
• Mantas – são elementos flexíveis, constituídos de fibras cerâmicas ou lã de
rocha ou qualquer outro material fibroso.
(a) (b)
Figura 2.12 – Materiais pré-fabricados: (a) Manta de fibra cerâmica [ref. http://www.corusconstruction.com/legacy/fire/images/fireres_section4.pdf ];
(b) Esquema da fixação das placas [ref. http://www.rockfibras.com.br].
31
2.8.4 TINTAS INTUMESCENTES
São tintas especiais constituídas por polímeros com pigmentos
intumescentes, cuja película fina a partir de 200°C, intumesce (aumenta de
volume), formando uma espuma rígida que protege eficientemente o aço contra o
fogo, como pode ser observado na Figura 2.13.
Figura 2.13 – Formação da espuma rígida nas tintas intumescentes
[ref. http://www.wallcolor.com.br].
O sistema intumescente é constituído basicamente pelo primer epoxídico,
de alto desempenho, pela pintura intumescente, que oferece a característica
intumescente, e pela tinta de acabamento, que proporciona efeito decorativo na
cor especificada pelo usuário.
É aplicado na superfície do aço por meio de pincel, rolo ou spray. A
superfície do aço deve estar devidamente livre de substâncias estranhas, como
carepas de laminação e ferrugens. O sistema intumescente oferece uma aparência
estética final muito boa, e pode ser utilizado nos ambientes mais exigentes. A
Figura 2.14 apresenta dois exemplos de edifícios urbanos revestidos pelo sistema
intumescente.
Figura 2.14 – Exemplos de dois edifícios urbanos revestidos pelo sistema intumescente [ref. http://www.wallcolor.com.br].
3 O MÉTODO SIMPLIFICADO DE DIMENSIONAMENTO DE VIGAS MISTAS AÇO-CONCRETO
3.1 INTRODUÇÃO
O capítulo anterior tratou de alguns aspectos importantes sobre prédios
estruturados em aço quando em situação de incêndio. Foi visto que a resistência
ao fogo dos elementos estruturais era um dos meios passivos de proteção contra
incêndio que deveria ser levado em conta no projeto de edifícios. E tal como
discutido, o método simplificado de cálculo era uma das alternativas disponíveis
para se obter a resistência ao fogo de um elemento estrutural.
Este capítulo tratará do dimensionamento de vigas mistas aço-concreto em
situação de incêndio pelo método simplificado de cálculo proposto pela norma
NBR 14323. Em primeiro lugar, será observado qual é o procedimento geral de
cálculo utilizado para se determinar à capacidade resistente da estrutura em
situação de incêndio. A partir daí, será desenvolvido o modelo representativo do
incêndio, que corresponde à idealização do cenário do incêndio, depois o modelo
de análise térmica, que corresponde à etapa da transferência de calor entre os
gases quentes e a estrutura, e, por fim, será desenvolvido o modelo de análise
estrutural (resistência à flexão das vigas mistas simplesmente apoiadas). No final
do capítulo, também será verificada as condições de segurança que o elemento
estrutural deve atender quando em situação de incêndio.
3.2 CAPACIDADE RESISTENTE
O processo de cálculo da capacidade resistente em situação de incêndio de
um membro estrutural genérico é mostrado no fluxograma da Figura 3.1 e consiste
em três componentes básicos:
• Modelo do incêndio;
• Análise térmica;
• Análise estrutural.
33
Figura 3.1 – Fluxograma para o cálculo da capacidade resistente de uma
estrutura exposta ao incêndio compartimentado.
O modelo do incêndio tenta reproduzir o cenário do incêndio por meio de
curvas temperatura-tempo, tal como descrito na seção 2.3. Para LU &
MAKELAINEN (2003), quando se trata da resistência ao fogo das estruturas, a
fase de pré-flashover é geralmente negligenciada, muito embora, seja um estágio
crítico para vida humana, pois há liberação de gases tóxicos e a temperatura no
compartimento pode alcançar 100°C ou mais. Em termos de análise estrutural, a
fase mais significativa é a do pós-flashover, que corresponde ao pior estágio da
evolução do incêndio no compartimento, pois o incêndio encontra-se totalmente
desenvolvido.
A análise térmica corresponde à etapa da transferência de calor entre os
gases quentes do incêndio e o membro estrutural. A estrutura absorve calor e sofre
uma elevação de temperatura. Entretanto, a taxa com que o calor é absorvido pela
estrutura depende de sua geometria (fator de massividade) e propriedades
térmicas.
A análise estrutural procura determinar a capacidade resistente da estrutura
em função da temperatura alcançada pelo membro estrutural. O esforço resistente
(momento fletor, esforço normal, etc) é calculado de acordo com o estado limite
último considerado em situação de incêndio. Nesta etapa, é preciso levar em
consideração a redução da resistência e da rigidez da estrutura em virtude da
degeneração das propriedades mecânicas sob altas temperaturas de seus materiais
constituintes.
Análise térmica
Análise estrutural
Modelo do incêndio
Capacidade resistente
Cenário do
incêndio
Exposição aos gases quentes do incêndio
Transferência de calor
Propriedades térmicas
Propriedades mecânicas
34
3.3 MODELO REPRESENTATIVO DO INCÊNDIO
3.3.1 INCÊNDIO-PADRÃO
Foi visto que o objetivo do modelo de incêndio é reproduzir o cenário do
incêndio, determinando a evolução da temperatura do ar (gases quentes) no
compartimento em chamas. E uma das formas de fazê-lo, é por meio das
chamadas curvas temperatura-tempo do incêndio. Chamam-se curvas nominais
de temperatura-tempo, o conjunto de curvas que têm o propósito de tornar
reproduzíveis os ensaios de resistência ao fogo, em fornos laboratoriais, dos
elementos estruturais. E o incêndio-padrão representa uma dessas curvas
nominais.
Um exemplo típico de um ensaio padronizado em elementos estruturais é o
tradicionalmente usado no Reino Unido e Europa. Segundo ROBINSON (2001),
vigas isoladas e simplesmente apoiadas são testadas em fornos de laboratórios
respeitando-se a curva temperatura-tempo do incêndio-padrão prevista na norma
ISO 834 (1994). A resistência ao fogo é alcançada normalmente entre 15 e 25
minutos do ensaio, pois é quando a flecha no centro da viga ultrapassa o valor
limite de L/30, sendo L o vão do membro estrutural. Nestas condições, a
temperatura da viga encontra-se entre 550 e 700°C, sendo considerada,
convencionalmente, no meio técnico, como a “temperatura crítica” do ensaio
padronizado para as vigas simplesmente apoiadas sem material de proteção
térmica.
A International Organization for Standartization por meio da norma ISO
834, como também a NBR 14432, recomenda o uso da seguinte expressão para
determinação da curva temperatura-tempo do incêndio-padrão:
( )18log3450 +⋅⋅+= tθθg (3.1)
sendo θ g a temperatura dos gases no ambiente em chamas (°C), θ 0 a temperatura
dos gases no instante t = 0, geralmente admitida 20°C, e t é o tempo em minutos.
A seguir, a Figura 3.2 mostra a representação gráfica da curva do incêndio-padrão.
35
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 1200
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
tempo [min]
tem
prat
ura[
°C]
1100
0
θ NBR t( )
1200 t
Figura 3.2 – Curva temperatura-tempo do incêndio-padrão.
A característica principal desta curva é a de possuir apenas um ramo
ascendente, admitindo-se que a temperatura dos gases seja sempre crescente com
o tempo. É importante salientar que o incêndio-padrão não representa um incêndio
real, todavia, por simplicidade, é comum utilizar-se à curva-padrão no meio
técnico com a finalidade de fornecer parâmetros de projeto.
A Figura 3.3 confronta a curva padronizada com a de um incêndio real.
Como pode ser observado, o incêndio na curva-padrão é modelado a partir do
instante de flashover.
Figura 3.3 – Incêndio real x incêndio-padrão (VARGAS & SILVA, 2003).
36
3.3.2 TEMPO REQUERIDO DE RESISTÊNCIA AO FOGO (TRRF)
É corrente em códigos e normas nacionais e estrangeiras exigir-se que a
resistência ao fogo das estruturas seja determinada em função de um determinado
instante de tempo associado à curva-padrão. Esse tempo, segundo a NBR 14432, é
o Tempo Requerido de Resistência ao Fogo (TRRF), ou seja, é o tempo mínimo
que um elemento construtivo deve resistir ao fogo quando sujeito ao incêndio-
padrão. Ele é determinado por meio de métodos padronizados em normas e
regulamentos, função da dimensão e do tipo de utilização do edifício.
O método padronizado, conhecido como Método Tabular, é o
recomendado pela NBR 14432, o qual é obtido de forma empírica, sem caráter
científico, baseado na experiência de profissionais envolvidos no combate e
prevenção ao fogo. A Tabela 3.1 apresenta um pequeno resumo das
recomendações exigidas pela respectiva norma brasileira para determinação do
TRRF em função da ocupação e utilização da edificação.
Tabela 3.1 – TRRF (min) segundo o Método Tabular (VARGAS & SILVA, 2003).
37
3.4 MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISE TÉRMICA
Este método é aplicável aos elementos estruturais de aço sem e com
material de proteção térmica, situados no interior da edificação, totalmente
imersos no compartimento em chamas, considerando-se fluxo de calor
unidimensional e distribuição de temperatura uniforme no membro estrutural.
Estruturas pertencentes aos elementos de vedação do compartimento em chamas
ou as estruturas externas à edificação, a favor da segurança, também poderão ser
calculadas por este método.
3.4.1 FATOR DE MASSIVIDADE
O aumento da temperatura no elemento estrutural em situação de incêndio
é proporcional ao seu fator de massividade, que é definido pela relação entre a
área exposta ao fogo e o volume aquecido da peça aço. Para barras prismáticas, o
fator de massividade pode ser expresso da seguinte maneira (NBR 14323):
AuF = (3.2)
Onde:
u é o perímetro exposto ao fogo do elemento estrutural;
A é a área da seção transversal do elemento estrutural.
Se o perfil de aço for protegido por material isolante térmico, o perímetro
exposto ao fogo passa a ser um, que representa o perímetro efetivo do material
isolante exposto ao fogo.
O fator de massividade, também chamado fator de forma da seção, pode
ser interpretado como um índice que avalia a velocidade de aquecimento de um
elemento estrutural quando exposto ao fogo. Isto significa que para perfis de
mesma área ou massa específica linear (kg/m), aquele com menor perímetro
exposto ao fogo, irá aquecer-se mais lentamente do que os demais. Analogamente,
38
entre os perfis com mesmo perímetro exposto ao fogo, aquele com maior área ou
massa (kg/m), irá aquecer-se mais lentamente que os outros. A Tabela 3.2
demonstra o fator de massividade para o caso específico da viga mista sem e com
material de proteção térmica, conforme a NBR 14323.
Tabela 3.2 – Fator de massividade para vigas mistas. Situação Descrição Fator de massividade
Seção aberta
exposta ao incêndio por
três lados sem material
de proteção passiva
ltransversaseçãodaáreafogoaoexpostoperímetro
Seção com proteção
do tipo contorno,
de espessura uniforme
exposta ao incêndio por
três lados
açodepeçadaáreabaçodoperímetro −
Seção com proteção
do tipo caixa, de
espessura uniforme
exposta ao incêndio por
três lados
açodepeçadaárea2cbc2d 21 +++
39
3.4.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS SEM PROTEÇÃO TÉRMICA
A diferença de temperatura entre os gases quentes do incêndio e o perfil de
aço gera um fluxo de calor que, por convecção e radiação, é transferido à estrutura
(ação térmica) provocando um aumento progressivo de temperatura.
A elevação de temperatura ∆θa, ao longo do tempo de exposição ao
incêndio, pode ser determinada através do balanço energético envolvendo o calor
emitido pelo fogo e o calor absorvido pela peça de aço como mostra a Figura 3.4.
Aqui, de modo simpificado, a condução não é levada em conta, pois a temperatura
é considerada uniforme na seção transversal do elemento estrutural.
Figura 3.4 – Balanço energético na peça de aço sem proteção térmica.
A energia que chega à peça de aço, Ee, é decorrente dos mecanismos de
transmissão de calor de convecção e radiação. A convecção é um importante fator
no transporte ascendente de fumaça e gases quentes ao teto do compartimento em
chamas e também para fora deste através de comunicações internas e externas.
A parcela de energia, ou taxa de transferência calor, devida à convecção
pode ser obtida da seguinte maneira (ver seção 4.2.2):
aconvconv Aqq" ⋅= (3.3)
onde Aa é a área exposta ao fogo do material sem proteção térmica, e qconv é o
fluxo de calor por convecção (W/m2), isto é:
Ee
Eac
θg
θa
40
( )agcconv θθhq −⋅= (3.4)
onde hc é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m2.°C), θg é a
temperatura (°C) dos gases quentes do incêndio (expressão 3.1), e θa é a
temperatura (°C) do aço exposto ao fogo.
A radiação é o principal mecanismo de transmissão de calor das chamas
aos materiais combustíveis, dos gases quentes aos materiais construtivos e de um
edifício em chamas a um outro circunvizinho. A parcela de energia, ou taxa de
transferência calor, devida à radiação pode ser obtida da seguinte maneira (ver
seção 4.2.3):
aradrad Aqq" ⋅= (3.5)
O fluxo de calor por radiação, qrad, em Watt por metro quadrado, pode ser
calculado como:
( ) ( )[ ]44 273273 +−+⋅⋅= agresrad θθεσq (3.6)
onde εres é a emissividade resultante entre os gases quentes e a peça de aço, e σ é a
constante de Stefan-Boltzmann e vale 5,67.10-8 W/m2.K4.
Por outro lado, a energia que é absorvida (acumulada) pela peça de aço,
Eac, pode ser calculada da seguinte maneira (ver seção 4.2.4):
t∆∆θcρVE aaaac ⋅⋅⋅= (3.7)
onde V é o volume aquecido, ρa é a massa específica e ca é o calor específico do
elemento estrutural de aço.
Do balanço energético mostrado na Figura 3.4, chega-se a seguinte
expressão:
( ) t∆∆θcρVAqq aaaaradconv ⋅⋅⋅=⋅+ (3.8)
41
Definindo aqui, o fator de massividade como VAF a= , a elevação
uniforme de temperatura na peça de aço ∆θa , é obtida da seguinte maneira a partir
da expressão 3.8:
( ) t∆qqρc
F∆θ radconvaa
a ⋅+⋅⋅
= (3.9)
A expressão 3.9 corresponde à da NBR 14323, onde hc é igual a 25
W/m2.°C, εres é igual a 0.5, e ∆t é o intervalo de tempo em segundo, e não pode
ser tomado maior que 25000/F e preferencialmente menor ou igual a 5 segundos.
A Tabela 3.3 demonstra a aplicação da expressão anterior para os
primeiros 10 minutos de exposição ao fogo. Neste exemplo, foi utilizado um perfil
de aço com fator de massividade igual a 149 m-1, que tinha as seguintes
propriedades térmicas: ρa = 7850 kg/m3, ca = 600 J/kg.°C. O intervalo de tempo
adotado foi de 120 s.
Tabela 3.3 – Aquecimento no perfil de aço, sem proteção térmica, durante os primeiros 10 minutos de exposição ao fogo.
Tempo
(s)
θg
(°C)
qconv
(W/m2)
qrad
(W/m2)
∆θa
(°C)
θa
(°C)
0 20 0 0 0 20
120 445 10613 7305 68 88
240 544 11397 12143 89 177
360 603 10644 15537 99 277
480 645 9217 17584 102 379
600 678 7498 18123 97 476
3.4.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS COM PROTEÇÃO TÉRMICA
Nos elementos estruturais protegidos, o calor que é transferido à peça de
aço depende fundamentalmente das propriedades do material de proteção contra
42
incêndio, como a condutividade térmica, calor específico, massa específica e
também da espessura do revestimento.
Assim, a elevação da temperatura ∆θa, ao longo do tempo de exposição ao
incêndio, pode ser determinada através do balanço energético envolvendo o calor
conduzido através do material isolante e o calor absorvido pela peça de aço e pelo
material de proteção térmica como mostra a Figura 3.5. Aqui, o fluxo de calor por
convecção e radiação não é levado em conta, pois se admite que a temperatura na
superfície externa do material de proteção é igual a dos gases quentes do incêndio.
Figura 3.5 – Balanço energético na peça de aço com proteção térmica.
O calor conduzido através do material, Ec,m, pode ser determinado da
seguinte maneira (ver seção 4.2.1):
( ) ( )m
am,extmm
mmmmc t
θθAλ
∆x∆θAλE
−⋅⋅=⋅⋅=, (3.10)
onde λm é a condutividade térmica, tm é a espessura, Am é a área exposta ao fogo,
∆θm é a variação de temperatura (°C) e θm,ext é a temperatura (°C) na face exposta
ao fogo do material de proteção térmica.
Do balanço energético mostrado na Figura 3.5, chega-se a seguinte
expressão:
( )t∆
∆θcρtAt∆
∆θcρVt
θθAλ m
mmmma
aam
am,extmm ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
−⋅⋅ (3.11)
x
θm,ext tm
Eac,a Eac,m
Ec,m
θg
43
Isolando t∆∆θa , a expressão acima resulta em:
( )t∆
∆θcρV
cρtAtcρVθθAλ
t∆∆θ m
aa
mmmm
maa
am,extmma ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅
= (3.12)
Definindo aqui, o fator de massividade como VAF m= , obtém-se:
( )t∆
∆θcρ
cρtFtcρθθλF
t∆∆θ m
aa
mmm
maa
am,extma ⋅⋅
⋅⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
= (3.13)
Uma vez que, aammm cctF ⋅⋅⋅⋅= ρρξ , chega-se a:
( )t∆
∆θξtcρθθλF
t∆∆θ m
maa
am,extma ⋅−⋅⋅
−⋅⋅= (3.14)
Admitindo-se as seguintes simplificações (SILVA, 2002),
gextm θθ ≅, (3.15)
e
( ) ( ) ( ) ( )t∆∆θ∆θ
t∆∆θ∆θ
t∆∆θ agam,extm +
⋅=+
⋅= 21
21 , (3.16)
a expressão 3.14 resulta em:
( )t∆
∆θξt∆
∆θξ
tcρθθλF
t∆∆θ ag
maa
agma
⋅⋅−
⋅⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
22 (3.17)
Após algumas operações algébricas e lembrando que 12
12 +
=+ ξξξ , chega-se a:
44
( )g
maa
agma ∆θ
ξ
t∆ξtcρ
θθλF∆θ ⋅
+
−⋅
+⋅⋅⋅
−⋅⋅=
121
21 (3.18)
A expressão acima, resulta na clássica equação desenvolvida por
PETTERSSON et al. (1976) ao se admitir que 0α1 ≅ (SILVA, 2002). A NBR
14323, no entanto, recomenda o uso da seguinte expressão para a elevação
uniforme de temperatura na peça de aço revestida com material isolante térmico:
( )01
3110 ≥⋅
−−⋅
+⋅⋅⋅
−⋅⋅= g
ξ
maa
agma ∆θe∆t
ξtcρ
θθλF∆θ (3.19)
onde ∆t é o intervalo de tempo em segundo, e não pode ser tomado maior que
25000/F e preferencialmente menor ou igual a 30 segundos.
A Tabela 3.4 demonstra a aplicação da expressão anterior durante os
primeiros 10 minutos de exposição ao fogo. Neste exemplo, foi utilizado um perfil
de aço com fator de massividade igual a 149 m-1, e com proteção térmica do tipo
contorno. Adotou-se para o aço: ρa = 7850 kg/m3, ca = 600 J/kg.°C; e para o
material isolante: λm = 0.15 W/m.°C, cm = 1100 J/kg.°C, ρm = 350 kg/m3, tm =
0.015 m. O intervalo de tempo adotado foi de 120 s.
Tabela 3.4 – Aquecimento no perfil de aço, com proteção térmica do tipo contorno, durante os primeiros 10 minutos de exposição ao fogo.
Tempo (s)
θg (°C)
∆θg (°C)
(θg - θa) (°C)
∆θa (°C)
θa (°C)
0 20 0 0 0 20
120 445 425 425 7 27
240 544 99 517 17 44
360 603 59 559 19 63
480 645 42 583 20 83
600 678 33 595 21 104
45
3.4.4 O CASO PARTICULAR DA VIGA MISTA
Quando a viga mista não é protegida por material de proteção contra
incêndio ou possui proteção passiva do tipo contorno, a determinação da
temperatura pode ser considerada como não-uniforme ao longo da altura do perfil.
A seção transversal é então dividida em três partes: mesa superior, alma e
mesa inferior (Figura 3.6). Considera-se que não há transferência de calor entre as
partes e nem entre a mesa superior e a laje de concreto. A temperatura na seção
transversal do aço deve ser determinada, conforme as expressões 3.9 e 3.19, para
cada parte e cada uma com seu respectivo fator de massividade, definido da
seguinte maneira:
- para mesa inferior e alma: ( ) ( )fifififi tbtb ⋅+⋅2
- para mesa superior:
sobreposta por laje maciça: ( ) ( )fsfsfsfs tbtb ⋅⋅+ 2
sobreposta por laje com fôrma de aço: ( ) ( )fsfsfsfs tbtb ⋅+⋅2
Figura 3.6 – Divisão em partes da seção transversal mista (NBR 14323, 1999).
Na flexão, as deformações de cisalhamento no plano da laje, fazem com
que as seções não mais permaneçam planas, provocando a variação das tensões
46
normais ao longo da largura da mesa de concreto (efeito de Shear Lag). A tensão
de compressão é maior imediatamente sobre a viga metálica, decrescendo à
medida que se afasta da mesma (QUEIROZ et al., 2001). Então, conforme a NBR
8800 (1986), determina-se uma largura colaborante efetiva, b, para a mesa de
concreto (Figura 3.6).
No método simplificado de cálculo, considera-se que a mesa de concreto
possui variação uniforme de temperatura ao longo da largura efetiva, todavia, ao
longo da altura (espessura da laje), considera-se que a variação da temperatura é
não-uniforme, e pode ser obtida da Tabela 3.5 dividindo-se a laje em um máximo
de 14 fatias.
Tabela 3.5 – Variação da temperatura ao longo da altura da laje de concreto (NBR 14323, 1999).
Contudo, de modo simplificado, pode-se considerar como uniforme a
variação de temperatura na espessura da laje de concreto, e igual a:
∑=
⋅⋅=n
jjjc
efc e
h 1,
1 θθ (3.20)
47
onde n é o número de fatias, θc,j e ej representam, respectivamente, a temperatura
e a espessura das n fatias da laje. A altura efetiva, hef , vale:
- para lajes maciças: cef th =
- para lajes com fôrma de aço incorporada: 31
2121 2 ll
llhhhef ++
⋅+=
sendo h1, h2, l1,l2 e l3 as dimensões da laje definidas na Figura 3.7.
Figura 3.7 – Dimensões da seção transversal da laje mista (NBR 14323, 1999).
3.5 O MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Este método é aplicável às vigas mistas simplesmente apoiadas, que
tiverem sido projetadas a temperatura ambiente de acordo com a NBR 8800, e
possuam o perfil de aço com seção transversal em forma de “I”. As lajes podem
ser maciças ou com fôrma de aço incorporada, cuja ligação na interface aço-
concreto seja feita por meio de conectores do tipo pino com cabeça (stud bolt). A
interação na interface aço-concreto deve ser completa e o concreto deve possuir
densidade normal.
3.5.1 CRITÉRIOS DE CÁLCULO
As mais simples e econômicas ligações de apoio de vigas, como as
cantoneiras ou chapas simples, têm pouca rigidez à flexão, sendo mais
conveniente assumir que as vigas construídas com este tipo de ligação sejam
consideradas como simplesmente apoiadas (QUEIROZ et al., 2001).
48
Segundo JONHSON (1994), as vigas simplesmente apoiadas (biapoiadas)
possuem as seguintes vantagens em relação àquelas calculadas como contínuas:
• Normalmente, apenas uma pequena parte da alma fica sujeita à compressão e a
mesa comprimida é travada pela laje, assim, a resistência da viga não é limitada
pela flambagem do perfil de aço, global ou local;
• Os momentos transmitidos aos pilares são baixos ou quase nulos;
• A fissuração do concreto é menor, já que está sujeito à tração apenas nos
apoios (devido à tendência de continuidade);
• A análise estrutural e o dimensionamento são rápidos e simples.
A resistência à flexão das vigas mistas biapoiadas, independente de
estarem ou não em situação de incêndio, envolve a avaliação de seu desempenho
considerando-se os seguintes estados limites:
• Plastificação da seção;
• Flambagem local da seção de aço;
• Flambagem lateral;
• Resistência ao corte dos conectores de cisalhamento.
Ensaios realizados à temperatura ambiente mostram que a capacidade real
a momento da viga mista submetida ao momento fletor positivo (vigas
biapoiadas) pode ser calculada satisfatoriamente considerando que a seção
metálica esteja totalmente escoada e a laje de concreto esteja sob tensão constante
de 0.85fck em toda sua espessura e largura efetiva. Neste caso, admiti-se a
distribuição plástica de tensões na seção transversal mista (VIEST et al., 1997). O
fator de 0.85 leva em consideração a redução da resistência do concreto sob
cargas de longa duração em relação àquela obtida em ensaios rápidos.
Os diagramas tensão-deformação do aço e do concreto são mostrados na
Figura 3.8, adiante, juntamente com os diagramas simplificados (rígido-plásticos),
que são utilizados para cálculos de vigas mistas quando se admite a distribuição
plástica de tensões na seção transversal mista.
49
(a) (b)
Figura 3.8 – Diagramas tensão-deformação: (a) concreto em compressão; (b) aço comum com patamar de escoamento (PFEIL, 2000).
Segundo PFEIL (2000), denomina-se interação completa a condição de
funcionamento da viga mista em que não ocorre deslizamento na interface aço-
concreto. A rigidez à flexão é devida ao trabalho conjunto da laje e da viga
metálica. Neste caso, a capacidade resistente a momento é determinada pela
plastificação do concreto ou da seção de aço, e não pela resistência ao corte dos
conectores de cisalhamento, isto é, o aumento no numero de conectores não
produz acréscimo de resistência à flexão.
No entanto, para que seja atendida a condição de interação completa é
necessário que a quantidade mínima de conectores e sua disposição ao longo da
viga estejam em conformidade com a NBR 8800 (ver detalhes mais adiante). A
Figura 3.9 mostra as tensões normais desenvolvidas na seção transversal mista
considerando-se a interação completa. Pode-se observar a utilização dos
diagramas rígido-plásticos para representar as tensões de compressão no concreto
e de tração no aço. No caso da laje, é desprezada a resistência do concreto à
tração.
Figura 3.9 – Limite de resistência para viga mista com interação completa.
50
Entretanto, para que se atinja o momento fletor de plastificação é preciso
que a seção mista não venha sofrer nenhum tipo de flambagem antes, seja ela
local ou lateral. Conforme a NBR 8800, o perfil que atende a especificação acima
é chamado compacto e pertence à Classe 1 ou à Classe 2.
Em se tratando das vigas mistas biapoiadas, a presença da laje de concreto
em contato com a mesa superior da viga mista impede que esta possa sofrer
flambagem local ou mesmo flambagem lateral com torção. Como a mesa inferior
está tracionada, a condição limite para a distribuição plástica de tensões na seção
transversal é, portanto, a da alma da viga, cuja relação largura/espessura deve
atender a seguinte recomendação da NBR 14323 (200X):
yw fE,
th
⋅≤ 763 (3.21)
onde h é altura e tw é a espessura da alma, E é o módulo de elasticidade e fy é o
limite de escoamento do aço à temperatura ambiente.
3.5.2 CONECTOR DE CISALHAMENTO
Os conectores de cisalhamento são dispositivos mecânicos destinados a
garantir o trabalho conjunto da viga de aço com a laje de concreto. O conector
absorve os esforços cisalhantes horizontais que se desenvolvem na direção
longitudinal da interface aço-concreto, impedindo a separação física desses
componentes.
Segundo a NBR 8800, a resistência nominal de um conector de
cisalhamento do tipo pino com cabeça (stud bolt), totalmente embutido em laje
maciça de concreto, é dada pelo menor dos dois valores abaixo:
⋅
⋅⋅⋅≤
ucs
cckcsn
fAEfA
q5.0
(3.22)
51
Onde:
fck é a resistência característica à compressão do concreto;
Acs é a área da seção transversal do conector;
fu é o limite de resistência à tração do aço do conector;
Ec é o módulo de elasticidade do concreto.
No caso de lajes com fôrma de aço incorporada, cujas nervuras estejam
dispostas perpendicularmente à viga de aço (Figura 3.9), a resistência nominal é
igual a da expressão 3.22, só que, multiplicada por um fator de redução, Cred, dado
por:
11850≤
−⋅
⋅=
F
cs
F
F
csred h
hhb
n.C (3.23)
Sendo:
hcs o comprimento do pino após soldagem, não sendo tomado com valor superior
a hF + 75 mm;
ncs o número de conectores por nervura, sobre a viga, não sendo necessário
considerá-lo maior que 3;
bF a largura média da mísula ou da nervura situada sobre a viga;
hF a altura das nervuras da fôrma de aço.
A seguir, a Figura 3.10 mostra as disposições construtivas em lajes de
concreto com fôrma de aço incorporada segundo a NBR 14323.
52
Figura 3.10 – Lajes com fôrma de aço incorporada.
No caso das vigas mistas em situação de incêndio, algumas alterações
precisam ser feitas na expressão 3.22, de modo que a resistência nominal do stud
bolt seja, agora, dada por:
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅≤
θ
θθ
,
,,,
5.0
yreducs
cckccsrednfi KCfA
EfKACq (3.24)
Onde:
Kc,θ é o fator de redução para resistência característica à compressão do concreto
de densidade normal (Tabela 2.3) , considerado para uma temperatura equivalente
a 40% da temperatura da mesa superior da viga de aço;
53
Ec,θ é o módulo de elasticidade do concreto (expressão 2.4) para uma temperatura
equivalente a 40% da temperatura da mesa superior da viga de aço;
Ky,θ é o fator de redução para o limite de escoamento do aço (Tabela 2.2),
considerado para uma temperatura equivalente a 80% da temperatura da mesa
superior da viga de aço.
Para uma viga simplesmente apoiada sob carga uniformemente distribuída,
os conectores próximos ao apoio são mais solicitados. Aumentando-se a carga, a
viga aproxima-se de seu momento resistente com plastificação progressiva da
seção do meio do vão.
Nesse processo de formação da rótula plástica, há a redistribuição dos
esforços cisalhantes horizontais próximos do meio do vão. Entretanto, desde que
possuam ductilidade, os conectores nos extremos da viga, uma vez atingida sua
resistência, se deformam e transferem uma parcela maior de esforço aos
conectores intermediários. Sendo assim, os conectores podem ser uniformemente
distribuídos entre os pontos de momento máximo e momento nulo (PFEIL, 2000).
Nas vigas com seção de aço compacta com interação completa, o número
de conectores entre os pontos de momento máximo e momento nulo é
determinado em função da resistência da viga e não das cargas atuantes. Logo,
para viga mista em situação de incêndio, tem-se duas alternativas (ver seção
3.5.3):
- Linha neutra plástica na seção de aço: nfi
cfick
qAf
n,
,)(≥
- Linha neutra plástica na laje de concreto: nfi
afiy
qAf
n,
,)(≥
onde n é o número de conectores, qfi,n é a resistência nominal do stud bolt, (Afck)fi,c
é a resultante máxima das tensões de compressão na laje de concreto, e (Afy)fi,a é a
resultante máxima das tensões de tração na viga de aço em situação de incêndio.
O espaçamento mínimo entre os conectores do tipo pino com cabeça deve
ser seis vezes maior que o diâmetro do pino na direção do eixo do perfil e quatro
vezes maior na direção perpendicular; e o espaçamento máximo deve ser oito
54
vezes maior que a espessura total da laje ou 800 mm, o que for menor (NBR
8800).
3.5.3 MOMENTO FLETOR RESISTENTE DE CÁLCULO
Correntemente, o cálculo do momento resistente é baseado na
configuração de equilíbrio estático da seção mista (Figura 3.11), isto é:
zFzFM tcres ⋅=⋅= (3.25)
onde Fc e Ft representam, respectivamente, as forças resultantes das tensões de
compressão e tração, e z é o braço de alavanca. A posição da linha neutra plástica
é obtida a partir do equilíbrio de forças na seção:
∑ =∴= dc FFF 0 (3.26)
A resultante das tensões de tração pode ser obtida multiplicando-se a área
da seção de aço que está tracionada por fy. E da mesma forma, a resultante das
tensões de compressão pode ser obtida multiplicando-se a área da seção de
concreto que está comprimida pelo fator 0.85fck.
Figura 3.11 – Configuração de equilíbrio estático na seção mista.
55
Em situação de incêndio, os coeficientes de minoração das resistências do
aço e do concreto são iguais a unidade, portanto, as resultantes de compressão e
de tração podem ser calculadas em valores absolutos.
Da configuração de equilíbrio estático, três situações diferentes podem ser
encontradas para o posicionamento da linha neutra plástica (LNP) na seção mista
como mostra a Figura 3.12, onde:
Cfi é a resultante das tensões de compressão no concreto;
Tfi é a resultante das tensões de tração na viga de aço;
C`fi é a resultante das tensões de compressão na viga de aço;
yp é à distância da linha neutra plástica até a face superior da viga de aço;
a é a espessura comprimida da laje de concreto;
b, tc, d, bfi, bfs, h, tfi, tfs, tw e hF representam grandezas geométricas da viga mista.
Figura 3.12 – Distribuição de tensões em temperatura elevada para interação completa: (a) linha neutra plástica na alma; (b) linha neutra plástica na mesa
superior; (c) linha neutra plástica na laje de concreto.
56
Considerando-se o caso limite em que a LNP encontra-se na interface
entre a laje de concreto e a mesa superior da peça de aço, o valor da resultante à
tração na seção de aço é máxima e vale:
( ) ( ) ( )[ ] yfsfssy,θwfifiiy,θfi,ay ftbKthtbKAf ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= (3.27)
onde (Afy)fi,a é a resultante máxima das tensões de tração na viga de aço; Ky,θ i e
Ky,θ s são os fatores de redução do limite de escoamento do aço (Tabela 2.2) em
função das temperaturas θ i e θ s, sendo que, estas representam, respectivamente,
as temperaturas da mesa inferior e alma e da mesa superior da viga de aço, e
podem ser obtidas conforme a seção 3.4.4. O valor da resultante à compressão na
laje também é máxima e vale:
( ) cckcfi,cck tbfK.Af ⋅⋅⋅⋅= θ,850 (3.28)
onde (Afck)fi,c é a resultante máxima das tensões de compressão na laje de
concreto; Kc,θ é o fator de redução da resistência característica à compressão do
concreto (Tabela 2.3) em função da temperatura atingida pela laje (expressão
3.20) e fck é a resistência característica do concreto à compressão. Do equilíbrio
das forças na seção, conclui-se que:
• Se ( ) ( )afiycfick AfAf
,, ≥ → a linha neutra estará na laje de concreto;
• Se ( ) ( )afiycfick AfAf
,, < → a linha neutra estará na seção de aço.
Para o primeiro caso, quando a LNP encontra-se na laje de concreto tem-se que:
( )fi,ayfi AfT = (3.29)
abfk.C ckc,θfi ⋅⋅⋅⋅= 850 (3.30)
57
E do equilíbrio entre Tfi e Cfi (Figura 3.12c):
( )c
ckc,θ
fi,ayt
bfK.
Afa ≤
⋅⋅⋅=
850 (3.31)
Tomando-se os momentos em relação a LNP, e do somatório dos
momentos de cada área de interesse da seção mista, chega-se a seguinte expressão
para o momento fletor resistente nominal:
( ) ( )
( )
−++⋅⋅⋅⋅+
+
−
+++⋅⋅+
+−++⋅⋅⋅⋅=
2
22
,
,
atthtbfK
ahthtthat
thdtbfKM
fscFfsfsysy
cFfswfi
cFfifiyiyfi,n
θ
θ
... (3.32)
Para o segundo caso em que a LNP encontra-se na seção de aço,
distinguem-se duas situações:
• Linha neutra plástica na mesa superior (Figura 3.12b);
• Linha neutra plástica na alma (Figura 3.12a).
Considerando-se o caso limite em que a LNP encontra-se na interface
entre a mesa superior e alma na seção de aço, a resultante das tensões de
compressão na viga de aço é obtida da seguinte maneira:
( ) ( )[ ] yfsfssy,θfi ftbkC` ⋅⋅⋅=lim
(3.33)
onde (C´fi)lim é a resultante das tensões de compressão na viga de aço para o caso
limite em questão. Da condição de equilíbrio de forças na seção:
58
( ) ( ) ( )limlim fifi,ayfififi C`AfTC`C −==+
(condição limite)
( ) ( )fi,ayfifi AfC`C =⋅+
lim2 (3.34)
Em que:
( ) fi,cckfi AfC = (3.35)
No caso em que a condição limite seja ( ) ( )afiyfifi AfCC
,lim`2 >⋅+ ; a
linha neutra se situará na mesa superior, e do equilíbrio entre Cfi, C`fi e Tfi (Figura
3.12b):
( )yfssy,θ
fi,dfi,ayp fbK
CAfy
⋅⋅
−⋅=
21 (3.36)
Onde:
( )[ ] ypfssy,θfi fybkC` ⋅⋅⋅= (3.37)
( ) fifi,ayfi C`AfT −= (3.38)
Tomando-se os momentos em relação a LNP, e do somatório dos
momentos de cada área de interesse da seção mista, chega-se a seguinte expressão
para o momento fletor resistente nominal:
( )
( ) ( )
−+⋅⋅+
−−⋅⋅⋅⋅+
+
−+⋅⋅⋅+
++⋅=
pfswpfi
fifiyiy,θ
pfspfsysy,θ
cFpfifi,n
yththyt
dtbfK
ytybfKthyCM
22
22
22
... (3.39)
59
No caso em que a condição limite seja ( ) ( )afiyfifi AfCC
,lim`2 <⋅+ ; a linha
neutra se situará na alma, e do equilíbrio entre Cfi, C`fi e Tfi (Figura 3.12a):
( )[ ]ywiy,θ
fi,dyfsfssy,θwfswfifiiy,θp ftK
CftbKttthtbKy
⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅
⋅=2
21 (3.40)
Onde:
( ) ( ) ( )[ ] ywfspiy,θfsfssy,θfi fttyktbkC` ⋅⋅−⋅+⋅⋅= (3.41)
( ) fifi,ayfi C`AfT −= (3.42)
Tomando-se os momentos em relação a LNP, e do somatório dos
momentos de cada área de interesse da seção mista, chega-se a seguinte expressão
para o momento fletor resistente nominal:
( ) ( )
−−⋅⋅+
+−+−⋅⋅⋅+
+
−⋅⋅⋅⋅+
++⋅=
pfi
fififspfsp
wyiy,θ
fspfsfsysy,θ
cFpfifi,n
yt
dtbtyhty
tfK
tytbfKthyCM
22
2222
... (3.43)
O momento fletor resistente de cálculo das vigas mistas em situação de
incêndio, considerando-se os estados limites previstos na seção 3.5.1, pode ser
determinado da seguinte maneira:
fi,nfi,afi,Rd MφM ⋅= (3.44)
Onde:
φfi,a é o coeficiente de resistência do aço para o estado limite último em situação
de incêndio, e igual a 1.0;
60
Mfi,n é o momento fletor resistente nominal previsto para cada situação em que se
encontrar a LNP na seção transversal mista (ver expressões 3.32, 3.39 e 3.43).
3.6 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA ESTRUTURAL
A segurança estrutural em situação de incêndio, seja visando a proteção à
vida ou tendo em vista a proteção patrimonial, deve ser verificada de modo que se
evite o colapso da estrutura. Ela é verificada através da comparação das
resistências de cálculo com os esforços solicitantes de cálculo, determinados a
partir das combinações últimas de ações para situação de incêndio. As condições
de segurança do membro estrutural podem ser expressas da seguinte maneira:
fi,dfi,d RS ≤ (3.45)
Onde:
Sfi,d é o esforço solicitante de cálculo em situação de incêndio, obtido através das
combinações de ações últimas excepcionais;
Rfi,d é o esforço resistente de cálculo em situação de incêndio.
As combinações de ações para os estados limites últimos em situação de
incêndio devem ser aceitas como combinações últimas excepcionais, visto que,
considera-se que as ações têm duração extremamente curta e baixa probabilidade
de ocorrência durante a vida útil da edificação, sendo assim, tratadas como ações
excepcionais (SILVA, 2001).
Só para exemplificar, a NBR 14323, que teve por base a NBR 8681
(1984), recomenda o uso da expressão 3.46 para combinação última excepcional
de ações, válida em locais em que há predominância de pesos de equipamentos
que permaneçam fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas
61
concentrações de pessoas (por exemplo, edificações comerciais, de escritório e de
acesso público):
∑=
⋅++⋅n
iQQ,excGigi F.FFγ
1
40 (3.46)
Em que:
FG é o valor nominal da ação permanente;
FQ,exc é o valor representativo da ação excepcional (ação térmica);
FQ é o valor nominal das ações variáveis devido às cargas acidentais;
γg é o coeficiente de ponderação para ações permanentes de valor:
• 1,1 para ação permanente desfavorável de pequena variabilidade;
• 1,2 para ação permanente desfavorável de grande variabilidade;
• 1,0 para ação permanente favorável de pequena variabilidade;
• 0,9 para ação permanente favorável de grande variabilidade.
Segundo SILVA (2001), o efeito da ação térmica é levado em conta por
meio dos coeficientes de redução Ky,θ, Kc,θ, KE,θ e, eventualmente, pelas
solicitações provenientes de restrições às deformações térmicas. Entretanto, é
permitido desprezar os efeitos das deformações térmicas axiais quando se utilizar
o modelo do incêndio padrão.
4 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
4.1 INTRODUÇÃO
O capítulo anterior tratou do método simplificado de dimensionamento de
vigas mistas em situação de incêndio, tanto do ponto de vista térmico como
também do estrutural. Naquilo que se refere à análise térmica, o método
simplificado é fundamentado na hipótese do fluxo de calor unidimensional no
membro estrutural. E no caso das vigas mistas, supõe-se também que não há
transferência de calor entre as partes da seção transversal mista (laje de concreto,
alma e mesas superior e inferior). Para melhor compreensão do problema da ação
térmica em vigas mistas, será apresentado neste capítulo, o método avançado de
análise térmica, que é baseado em princípios reconhecidos da teoria da
transferência de calor, cuja solução da equação de difusão de calor será requerida
através do Método dos Elementos Finitos (MEF).
4.2 TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Transferência de calor pode ser definida como a transmissão de energia de
uma região para outra como o resultado da diferença de temperaturas entre elas. A
entidade em trânsito, chamada calor, não pode ser medida ou observada
diretamente, mas os efeitos que ela produz são susceptíveis de observação e
medição, é o caso, por exemplo, da temperatura dos corpos que pode ser medida
por meio de termômetros. O ramo da ciência que trata da relação entre o calor e as
outras formas de energia é a Termodinâmica. Ela pode ser utilizada para calcular a
quantidade de energia necessária para que um sistema passe de um estado inicial
para um estado final de equilíbrio térmico, todavia, não pode precisar o tempo
transcorrido para estabelecer o equilíbrio e nem a temperatura do sistema em um
instante de tempo anterior ao equilíbrio. A transferência de calor, no entanto, pode
ser aplicada para este fim.
63
4.2.1 CONDUÇÃO
Condução é a transferência de energia (calor) de partículas mais
energéticas para partículas de menor energia em um meio seja ele sólido ou
fluido. Nos gases, o mecanismo da condução de calor pode ser explicado através
da teoria cinética dos gases. As moléculas, em seu movimento aleatório e
contínuo, colidem umas com as outras, trocando energia e quantidade de
movimento. As moléculas mais rápidas, que estão na região de altas temperaturas,
colidem com as mais lentas, transmitindo para estas, parte de seu conteúdo
energético e assim por diante. Nos líquidos, o mecanismo de condução de calor é
qualitativamente semelhante ao dos gases.
Nos sólidos, o calor é conduzido através de dois processos: migração dos
elétrons livres e vibração do retículo cristalino. Nos sólidos metálicos, como os
elétrons livres transportam carga elétrica, podem também transportar energia de
uma região de alta temperatura para uma região de baixa temperatura, como no
caso dos gases. É por isso que bons condutores elétricos também são bons
condutores térmicos. Nos sólidos não-metálicos como quase não há migração de
elétrons livres a condução se dá, principalmente, pela vibração do arranjo reticular
(KREITH & BOHN, 2003).
Considere o experimento realizado em um bastão cilíndrico de material
conhecido, que possui as faces superior e inferior isoladas termicamente, e as
outras duas restantes mantidas a diferentes temperaturas, com θ1 > θ2 como
ilustrado na Figura 4.1.
Figura 4.1 – Experimento de condução de calor em um bastão cilíndrico.
x
q”x
∆x
∆θ = θ1 > θ2
θ1, A θ2, A
64
Sabe-se do experimento, que calor é transferido por condução na direção
positiva do eixo x, ou seja, da face esquerda de maior temperatura para a face
direita de menor temperatura. A taxa de condução de calor na barra é diretamente
proporcional à área de sua seção transversal A, e também à diferença de
temperatura ∆θ, porém, inversamente proporcional ao seu comprimento ∆x. Ao se
trocar o material do bastão, a proporcionalidade acima permanece válida,
entretanto, a taxa de condução não é mais a mesma, sugerindo, então, que a
relação de proporcionalidade entre as grandezas também é influenciada pelo
material utilizado no experimento.
A lei matemática que descreve o comportamento global observado, no que
concerne à taxa de condução de calor q”x , em Watts, através do bastão, pode ser
expressa da seguinte maneira:
∆x∆θAλq" xx ⋅⋅−= (4.1)
A expressão acima é a Lei de Fourier em homenagem ao cientista francês,
Joseph Fourier, sendo λx a constante de condutividade térmica (W/m.°C).
Levando-se a expressão 4.1 ao limite, ou seja, 0→∆x , tem-se agora para a taxa
de condução de calor:
dxdθAλq" xx ⋅⋅−= (4.2)
O fluxo de calor por condução qx (W/m2) é definido como a transferência
de calor na direção x por unidade de área perpendicular à direção da transferência,
isto é:
dxdθλq xx ⋅−= (4.3)
O sinal de menos nas expressões anteriores é uma conseqüência do fato de
que o calor é transmitido no sentido da diminuição da temperatura. E neste
sentido, o gradiente de temperatura dθ /dx é negativo, como pode ser visto na
Figura 4.2 em seguida.
65
Figura 4.2 – Convenção de sinal para condução de calor unidimensional num
sólido de comprimento L.
Na expressão 4.3, o fluxo de calor foi definido apenas para uma direção
particular do espaço. Entretanto, o fluxo térmico é uma grandeza vetorial cuja
direção será sempre normal a uma superfície de temperatura constante, conhecida
como isoterma. Em problemas bidimensionais, a temperatura é função de duas
coordenadas do espaço e do tempo [θ = θ(x,y,t)]. Generalizando, o fluxo térmico
em um meio anisotrópico e bidimensional, pode ser expresso da seguinte forma,
em coordenadas cartesianas:
⋅
∂∂
⋅+⋅∂∂
⋅−=∂∂
⋅−= yyxxnn nyθλn
xθλ
nθλq (4.4)
onde qn é o fluxo de calor (W/m2) na direção n, sendo nx e ny os co-senos diretores
do vetor normal unitário exterior ao isoterma como mostra a Figura 4.3.
Figura 4.3 – Fluxo térmico normal a uma isoterma.
L
qx (+) = (-) [ (-) dθ / dx ]
(-) dθ / dx
qx
y
θ(x)
x
n
→
j , ny
qn
→
i , nx
isoterma
66
4.2.2 CONVECÇÃO
É sabido que uma placa de metal aquecida irá resfriar-se mais rapidamente
quando for colocada em frente a um ventilador do que se deixada apenas em
contato com o ar parado. Intuitivamente, é esta a noção do modo de transferência
de calor por convecção, que deve ser ampliada a fim de fornecer uma tratamento
analítico mais adequado para o problema.
A transferência de calor por convecção, como a que ocorre entre a placa e
o fluido do exemplo acima, abrange dois mecanismos: a transferência de energia
devido à ação molecular (nível microscópico) e a transferência de energia devido
ao movimento global, ou macroscópico, do fluido (INCROPERA & DEWITT,
1998).
Considere uma placa aquecida cuja temperatura em sua superfície é θsup, e
que θfluido é à temperatura do fluido que escoa paralelamente a ela como ilustrado
na Figura 4.4.
Figura 4.4 – Transferência de calor por convecção a partir da superfície da placa
aquecida.
Da mecânica dos fluidos, sabe-se que a velocidade do fluido é zero na
superfície da placa e aumenta até o valor Uoo à medida que se afasta da mesma.
Como o fluido não está se movendo na interface entre os dois materiais, calor é
transferido naquele local apenas por condução (ação molecular). A troca de calor
entre a superfície aquecida da placa e o fluido, em Watt por metro quadrado, pode
ser calculada a partir da expressão 4.3 da seguinte maneira:
qconv
Uoo
y
θ(y)
θfluido
θsup
0=∂∂
yyθ
fluxo do fluido
y = 0
u(y) Perfil de velocidade
67
0=∂∂
⋅−= yfluidoconv yθλq (4.5)
onde λfluido é a constante de condutividade térmica do fluido e ∂θ /∂y representa o
gradiente térmico junto à superfície da placa. O gradiente térmico depende da
rapidez com que o calor é retirado da camada do fluido, ou seja, depende do
escoamento ou movimento global do fluido, onde velocidades mais altas
produzirão gradientes térmicos mais elevados [KREITH & BOHN (2003) e
HOLMAN (1983)]. A condução é predominante na região próxima à superfície da
placa, enquanto que, nas regiões mais distantes da superfície, é o movimento
global do fluido que prevalece.
O mecanismo da troca de calor por convecção é classificado pela natureza
do escoamento do fluido. A convecção é chamada forçada, quando o escoamento
é causado por meios externos (caso do ventilador que resfria a placa aquecida) e
natural, quando o escoamento é causado por forças de empuxo (caso da placa
aquecida deixada à temperatura ambiente). Neste último caso, a camada de ar
diretamente em contato com a superfície torna-se mais leve (menos densa) do que
a do ar circunvizinho, de modo que, forças de empuxo induzem um movimento
vertical ascendente do ar aquecido que é substituído pelo influxo da camada do ar
circunvizinho mais frio.
Independentemente do mecanismo de troca de calor, o fluxo de calor por
convecção entre uma superfície e um fluido pode ser determinado pela Lei do
Resfriamento de Newton, em homenagem ao cientista inglês Isaac Newton, da
seguinte maneira:
( )supθθhq fluidocconv −⋅= (4.6)
sendo qconv o fluxo de calor por convecção (W/m2), hc o coeficiente de
transferência de calor por convecção (W/m2.°C), e θfluido e θsup representam,
respectivamente, as temperaturas do fluido e da superfície da placa. Por
convenção, o fluxo térmico será considerado positivo se o calor é transferido para
superfície (θfluido > θsup) de acordo com a Figura 4.5 adiante.
68
Figura 4.5 – Convenção de sinal para transferência de calor por convecção.
Da combinação entre as expressões 4.5 e 4.6, tem-se para o coeficiente de
transferência de calor por convecção:
( )sup
0
θθyθλ
hfluido
yfluidoc −
∂∂⋅−= = (4.7)
Percebe-se que o coeficiente de transferência de calor por convecção
depende das propriedades físicas do fluido, bem como de sua velocidade de
escoamento e da diferença de temperatura entre o fluido e a superfície.
4.2.3 RADIAÇÃO
Radiação térmica é a energia emitida por toda matéria que se encontra a
uma temperatura não-nula, independente do estado físico seja ele sólido, líquido
ou gasoso. Enquanto que a transmissão de calor (energia) por condução ou
convecção necessita de um meio sólido ou fluido, a radiação não requer meio
material para se propagar, pois é transportada através de ondas eletromagnéticas.
Um corpo negro é uma superfície ideal que possui as seguintes
propriedades:
1) Absorve toda energia incidente sobre ele;
2) Nenhuma superfície pode emitir mais energia do que um corpo negro;
3) O corpo negro é um emissor difuso, ou seja, emite energia em todas as direções
do espaço.
θsup
fluido
qconv θfluido θfluido > θsup
69
O poder emissivo de um corpo negro, En, é definido como a taxa pela qual
energia é liberada por unidade de área (W/m2), ou seja:
4supθσEn ⋅= (4.8)
onde σ (= 5,67.10-8 W/m2.K4) é a constante de Stefan-Boltzman, e θsup é a
temperatura absoluta (K) da superfície do corpo. A expressão 4.8 é mais
conhecida como a Lei de Stefan-Boltzman em homenagem aos dois cientistas
austríacos: J. Stefan e L. Boltzman. Entretanto, o fluxo de calor emitido por uma
superfície real, E, é menor do que aquele emitido por um corpo negro a uma
mesma temperatura, ou seja:
nEεθσεE ⋅=⋅⋅= 4sup (4.9)
onde ε é a uma propriedade radiante da matéria conhecida como emissividade (0 <
ε < 1). A radiação térmica também pode incidir sobre uma superfície a partir de
sua vizinhança oriunda de uma fonte especial como o Sol ou de outras superfícies
também. A taxa pela qual todas radiações térmicas incidem sobre uma área
unitária da superfície é conhecida como irradiação. Como mostra a Figura 4.6, a
irradiação, G, pode ser decomposta em outras três componentes, a saber:
otransmissãabsorçãoreflexão GGGG ++= (4.10)
Figura 4.6 – Processos de absorção, reflexão e transmissão associados a um
meio semitransparente.
Absorção ( Gabsorção )
Irradiação (G)
Transmissão ( Gtransmissão )
Reflexão ( Greflexão )
Radiação emissiva ( E )
70
Dividindo-se a expressão 4.10 pela irradiação G, tem-se que:
GG
GG
GG
GG otransmissãabsorçãoreflexão ++=
ταβ ++=1 (4.11)
onde β, α e τ representam propriedades radiantes da matéria e são conhecidas,
respectivamente, como refletividade, absortividade e transmissividade.
Uma relação importante entre ε e α pode ser obtida a partir da Lei de
Kirchhoff, a qual afirma que a emissividade monocromática (relativa a um certo
comprimento de onda) é igual a absortividade monocromática para qualquer
superfície (PLANCK, 1959). Contudo, para os corpos ditos “cinzentos”, a
emissividade e a absortividade independem do comprimento de onda (KREITH &
BOHN, 2003), onde conclui-se que αε = . Para uma superfície cinzenta e opaca (τ
= 0), permite-se escrever a seguinte identidade a partir da expressão 4.11:
εαβ −=−= 11 (4.12)
A radiação que deixa uma certa superfície pode ser tratada de uma forma
mais conveniente em termos da radiosidade, J, definida como a taxa pela qual a
radiação térmica deixa determinada superfície por unidade de área (W/m2).
Assim, reportando-se a Figura 4.6 e expressão 4.11, a radiosidade para uma
superfície cinzenta e opaca pode ser determinada da seguinte maneira:
( ) GεEεGβEεJ nn ⋅−+⋅=⋅+⋅= 1 (4.13)
Uma outra característica importante da radiação é a fração da energia
térmica que deixa uma superfície e é interceptada por outra e vice-versa. A fração
da radiação difusa que deixa uma superfície Ai e alcança a superfície Aj é
conhecida como fator de forma da radiação, Fi-j, onde o primeiro subscrito indica
a superfície da qual emana a radiação, enquanto que, o segundo indica a superfície
receptora da radiação.
71
Será admitido aqui que a troca de energia radiante se dá entre superfícies
cinzentas, opacas e difusas, cujas propriedades radiantes sejam uniformes ao
longo de cada superfície de interesse.
Assim, segundo INCROPERA & DEWITT (1998), a taxa de transferência
de calor por radiação entre duas superfícies Ai e Aj (gases quentes e a viga mista,
por exemplo), deve ser igual à energia líquida que deixa a superfície i, qi, que
deve ser igual à energia líquida que chega a superfície j, qj, que também deve ser
igual à troca de energia líquida entre as duas superfícies, qi j, isto é:
jiji qqq =−= (4.14)
A energia líquida que deixa a superfície Ai é a diferença entre a
radiosidade e a irradiação, e reportando-se a expressão 4.13, chega-se a:
( ) ( )[ ]iiiniiiiiii GGεEεAGJAq −⋅−+⋅⋅=−⋅= 1 (4.15)
Contudo, é preciso eliminar o valor da irradiação na expressão acima. E,
mais uma vez, reportando-se a expressão 4.13, Gi pode ser determinado em
função de Ji, Eni e ε. Assim, substituindo-se o valor da irradiação na expressão
4.15, e após algumas operações algébricas, fica-se com:
( )ii
i
inii
AεεJEq
⋅−−
=1
(4.16)
E da mesma forma para energia líquida que chega a superfície Aj:
( )jj
j
njjj
AεεEJ
q
⋅−−
=−1
(4.17)
72
A energia que deixa a superfície Ai e atinge a superfície Aj, vale:
ji-ii FAJ ⋅⋅ (4.18)
E reciprocamente para energia que deixa a superfície Aj e atinge a superfície Ai:
ij-jj FAJ ⋅⋅ (4.19)
Logo, a troca de energia líquida entre as duas superfícies é obtida da seguinte
maneira:
ij-jjji-iiji FAJFAJq ⋅⋅−⋅⋅= (4.20)
Mas como da Lei de Reciprocidade ijjjii FAFA −− ⋅=⋅ (HOLMAN, 1983), e após
algumas operações algébricas, a expressão acima resulta em:
jii
jiji
FA
JJq
−⋅
−=
1 (4.21)
Reportando-se a expressão 4.14, tem-se agora que:
( ) ( )jii
ji
jj
j
njj
ii
i
ini
FA
JJ
AεεEJ
AεεJE
−⋅
−=
⋅−−
=
⋅−−
111 (4.22)
Fazendo-se uso de uma das propriedades das proporções, a taxa de transferência
de calor por radiação entre as duas superfícies é determinada da seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ( )jiijj
j
ii
i
njni
jiijj
j
ii
i
jinjjinirad
FAAεε
Aεε
EE
FAAεε
Aεε
JJEJJEq"
−− ⋅+
⋅−
+⋅
−
−=
⋅+
⋅−
+⋅−
−+−+−=
111111
73
( ) ( ) ( )44
1111
ji
jiijj
j
ii
irad θθσ
FAAεε
Aεε
q" −⋅⋅
⋅+
⋅−
+⋅−
=
−
(4.23)
Segundo WONG & GHOJEL (2003), no caso de estruturas em situação de
incêndio, a hipótese de cálculo adotada é aquela que corresponde à troca de
energia radiante entre dois planos infinitos paralelos, onde Ai e Aj são iguais e o
fator de forma de radiação é igual à unidade. Dessa maneira, a partir da expressão
4.23, chega-se a:
( )44
1111
11
ji
jii
rad θθσ
εεA
q" −⋅⋅
−+= (4.24)
Dividindo-se por Ai a expressão acima, resulta em:
( )44jiresrad θθσεq −⋅⋅= (4.25)
onde qrad (=q”rad/Ai) é o fluxo de calor por radiação (W/m2) e εres é a emissividade
resultante entre as duas superfícies. Reescrevendo-se a expressão 4.25, de modo a
torná-la semelhante à expressão 4.6 (fluxo de calor por convecção), fica-se com:
( )jirrad θθhq −⋅= (4.26)
Onde:
( ) ( )jijiresr θθθθσεh +⋅+⋅⋅= 22 (4.27)
−+=
1111
ji
res
εε
ε (4.28)
74
sendo hr o coeficiente de transferência de calor por radiação (W/m2.K), e θi e θj
são, respectivamente, as temperaturas nas superfícies i e j em graus Kelvin.
4.2.4 A EQUAÇÃO DE DIFUSÃO DE CALOR
Considere o que estabelece a primeira lei da termodinâmica: “A taxa com
que a energia térmica entra em um volume de controle, mais à taxa com que a
energia térmica é gerada no interior do volume de controle, menos a taxa com que
a energia térmica deixa o volume de controle, deve ser igual à taxa de aumento da
energia armazenada no interior do volume de controle em um determinado
instante de tempo”. Traduzindo a primeira lei em uma expressão matemática:
acgse EEEE =−+ (4.29)
Onde:
Ee e Es são os termos relativos à entrada e saída de energia e estão relacionados
com fenômenos que ocorrem na superfície de controle, como é o caso dos
mecanismos de transferência de calor por condução, convecção e radiação.
Eg é o termo da geração de energia e está associado à conversão de uma fonte de
energia qualquer (química, elétrica, etc) em energia térmica. É um fenômeno
relacionado ao interior do volume de controle sendo proporcional à magnitude do
mesmo.
Eac é o temo relacionado ao acúmulo de energia no interior do volume de controle
(fenômeno volumétrico). Portanto, se um material sólido sofre um aumento
líquido de energia armazenada, a tendência é sua temperatura aumentar no
transcorrer do tempo.
75
Seja um meio contínuo cujas propriedades físicas independem da
orientação no espaço (isotropia). Partindo-se do pressuposto que a temperatura no
material é somente função da coordenada x e do tempo t, na presença de um
gradiente de temperatura, haverá transferência de calor por condução através do
volume de controle diferencial (dx.A) como mostra a Figura 4.7.
Figura 4.7 – Volume de controle diferencial dx.A em um meio contínuo e
isótropo.
Na figura acima q”x representa a taxa de condução de calor que chega ao volume
de controle, enquanto que, q”x+dx representa a taxa de condução de calor que deixa
o volume de controle. Reportando-se a expressão 4.2, estas quantidades de energia
podem ser expressas da seguinte maneira (HOLMAN, 1983):
(4.30)
No interior do volume de controle pode haver também, como já foi visto, um
termo associado à geração de energia térmica, assim:
AdxQEg ⋅⋅= (4.31)
q”x+dx q”x
dx
Eg Eac
y
x
A
∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅−=∂∂
⋅⋅−=
∂∂
⋅⋅−=
++ dxxθλ
xθ
xθλA
xθAλq"
xθAλq"
dxxdxx
x
76
onde Q é a taxa pela qual a energia térmica é gerada por unidade de volume. Além
disso, pode também ocorrer a variação da energia interna do material, ou seja:
AdxtθcρEac ⋅⋅
∂∂
⋅⋅= (4.32)
onde ρ e c são, respectivamente, a massa específica e o calor específico do meio e
∂θ/∂t é a taxa da variação no tempo da energia térmica por unidade de volume.
Da primeira lei da termodinâmica, tem-se o seguinte balanço energético
para o volume de controle diferencial (Figura 4.7):
Adxtθcρ)(q"AdxQq" dxxx ⋅⋅
∂∂
⋅⋅=−⋅⋅+ + (4.33)
Substituindo-se as expressões 4.30 em 4.33, e após algumas operações algébricas,
deduz-se a seguinte expressão:
tθcρQ
xθλ
x ∂∂
⋅⋅=+
∂∂
⋅∂∂ (4.34)
A expressão acima se aplica somente ao fluxo de calor unidimensional,
pois ela foi derivada sob a suposição de que a distribuição da temperatura era
unidimensional. Considerando-se agora que a temperatura é função das
coordenadas x e y e também do tempo, ou seja, θ = θ(x,y,t), a expressão 4.34 pode
ser expandida da seguinte maneira:
tθcρQ
yθλ
yxθλ
x ∂∂
⋅⋅=+
∂∂
⋅∂∂
+
∂∂
⋅∂∂ (4.35)
A expressão 4.35 é a forma geral em coordenadas cartesianas da equação
de difusão do calor, ou simplesmente equação do calor. A partir dela pode-se
obter a distribuição de temperatura em um meio contínuo bidimensional e
isotrópico (λx = λy) em função do tempo.
77
Os problemas de transferência de calor são classificados de acordo com as
variáveis que influenciam a temperatura. Se esta for dependente do tempo, a
análise térmica é dita não-estacionária ou transiente (expressão 4.35). Quando a
temperatura for independente do tempo, a análise térmica é dita permanente ou
estacionária. Nesta condição, a equação do calor assume a seguinte forma:
0=+
∂∂
⋅∂∂
+
∂∂
⋅∂∂ Q
yθλ
yxθλ
x (4.36)
4.2.5 CONDIÇÕES INICIAL E DE CONTORNO
Muitos problemas de transferência de calor que acontecem na prática da
engenharia são dependentes do tempo. Tal como descrito na seção anterior,
problemas assim são chamados de não-estacionários ou transientes, e decorrem de
mudanças nas condições da fronteira do sistema.
Um caso típico que ocorre em processos industriais é o resfriamento do
lingote de metal quente, retirado do forno e exposto a uma corrente de ar frio. No
processo de resfriamento, calor é perdido por convecção e radiação da superfície
do lingote para a vizinhança. No interior da peça, através da condução, a
temperatura de cada ponto decrescerá com o passar do tempo, até que a condição
de regime estacionário (equilíbrio térmico) seja atingida. Este fenômeno físico é
traduzido por uma expressão matemática através da equação do calor.
A solução da equação, entretanto, depende das condições do sistema em
um determinado instante inicial como também das condições de contorno
impostas na fronteira do mesmo. As condições de contorno podem tomar
diferentes formas, e segundo INCROPERA & DEWITT (1998), três são os tipos
de situações físicas que podem ser encontradas na fronteira do sólido em
processos de transferência de calor:
78
1) Condição de Contorno de Dirichlet
É comumente chamada de condição de contorno de primeira espécie. A
temperatura é prescrita na superfície de contorno de interesse. Ela pode ser
constante ou uma função das coordenadas do espaço e/ou do tempo.
2) Condição de Contorno de Newmann
É conhecida como condição de contorno de segunda espécie. Aqui, o
fluxo de calor é que é especificado na superfície de contorno de interesse. Ele
também pode ser constante, ou uma função das coordenadas do espaço e/ou do
tempo. Se o fluxo de calor for igual a zero, a superfície de contorno é chamada
perfeitamente isolada ou adiabática.
3) Condição de Contorno de Robin
É também chamada como condição de contorno mista, ou de terceira
espécie. Descreve a existência na fronteira do sólido de um aquecimento (ou
resfriamento) por convecção e/ou radiação. É obtida por meio de um balanço de
energia na superfície de contorno de interesse (Figura 4.8).
Figura 4.8 – Balanço de energia para superfície de controle em x=0.
Para superfície de controle da figura acima, tem-se o seguinte balanço
energético (primeira lei da termodinâmica):
θ(0, t)
θ(x,t)qn
θfluido , h x
qcon
qrad superfície
de controle
θfluido > θ(0,t)
79
radconvn qqq += (4.37)
Substituindo-se as expressões 4.4, 4.6 e 4.25 na expressão acima, chega-se a:
( )[ ] ( )[ ],tθθh,tθθhxθλ fluidorfluidocxx 000 −⋅+−⋅=
∂∂
⋅− = (4.38)
onde hc é o coeficiente de transferência de calor por convecção, hr é o coeficiente
de transferência de calor por radiação, θfluido é a temperatura do fluido que escoa
paralelamente à superfície de controle, e θ(0,t) é a temperatura do sólido em x = 0
para um instante de tempo t qualquer.
4.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Diversos problemas com importância para Engenharia podem ser descritos
em termos de equações que envolvem derivadas parciais, como é o caso da
transferência de calor em corpos sólidos. Os métodos para resolver a equação 4.35
incluem o uso de procedimentos analíticos, gráficos e numéricos.
O procedimento analítico envolve a elaboração de uma solução exata,
entretanto, embora várias técnicas estejam disponíveis para solução da equação,
elas envolvem, com freqüência, séries e funções matemáticas complicadas, que só
podem ser obtidas para um conjunto restrito de geometrias e condições de
contorno mais simples.
Enquanto que o método analítico fornece resultados exatos para qualquer
ponto do meio, os métodos gráfico e numérico geram resultados aproximados para
alguns pontos discretos do meio. Contudo, o método numérico além de se adaptar
bem a geometrias e condições de contorno complexas, ele pode apresentar
resultados bastante precisos. E entre os métodos numéricos, o Método dos
Elementos Finitos (FEM) vem se desenvolvendo muito nas últimas décadas, e
ganhou importância destacada na resolução de problemas matriciais complexos da
engenharia estrutural.
80
O MEF é uma importante ferramenta computacional que resolve
problemas descritos por equações diferenciais parciais, cujo domínio de interesse
pode ser representado como uma montagem de subdomínios chamados elementos
finitos (NIKISHKOV, 2001). A função requerida para solução da equação
diferencial é interpolada, mediante funções de aproximação, sobre cada elemento
finito.
Correntemente, o termo MEF significa o resultado da combinação da
subdivisão de um certo domínio em elementos finitos e um dos métodos
variacionais de cálculo (SHII, 1984). Assim, o termo Método dos Elementos
Finitos de Galerkin, significa a combinação do Método de Galerkin – que é um
caso particular do Método dos Resíduos Ponderados, e a interpolação polinomial
trecho a trecho sobre cada elemento finito.
4.3.1 O MODELO FÍSICO DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Seja um sólido qualquer, cujo domínio Ω é limitado pela superfície de
contorno fechada Γ como mostra a Figura 4.9.
Figura 4.9 – Região sólida de domínio arbitrário Ω limitada pela fronteira Γ.
A equação do calor, em sua forma mais geral, é expressa da seguinte
maneira:
tθcρQ
yθλ
yxθλ
x ∂∂
⋅⋅=+
∂∂
⋅∂∂
+
∂∂
⋅∂∂ (4.39)
x
y
Γ
Ω
81
Admita que não haja fonte interna de geração de calor (Q = 0), e que as
propriedades térmicas do meio contínuo, como a condutividade térmica e o calor
específico, sejam dependentes da variável de campo que é a temperatura. Logo, a
equação do calor pode ser reescrita assim:
( ) 0=∂∂
⋅−
∂∂
⋅∂∂
+
∂∂
⋅∂∂
tθθcρ
yθλ(θ)
yxθλ(θ)
x (4.40)
onde θ é a temperatura, ρ é massa específica, c é o calor específico e λ é a
condutividade térmica do sólido. Em problemas transientes é necessário
especificar um campo de temperaturas para o sólido em um certo instante de
tempo, que se admite como ponto de partida para análise (condição inicial), isto é:
(x)θθ 0= em x = (x,y) ∈ Ω , t = 0 (4.41)
onde θ0(x) representa o campo de temperaturas do sólido em t = 0, que é o instante
de tempo inicial. Como mostra a Figura 4.10, em seguida, as seguintes condições
de contorno podem ser especificadas em Γ:
a) Temperatura prescrita
( )x,tθθ s= para x = (x,y) em Γ4 , t > 0 (4.42)
b) Fluxo de calor prescrito
( ) ( ) sgrgcn qθθhθθhq +−+−= para x = (x,y) em nqΓ , t > 0 (4.43)
Na expressão acima, θg representa a temperatura dos gases quentes do
ambiente em chamas (expressão 3.1), θ é a temperatura na porção do contorno Γ
de interesse, e qn é a derivada direcional do fluxo de calor na direção n.
82
Figura 4.10 – Condições de contorno do problema de valor inicial.
Como o sólido absorve calor a partir de sua vizinhança, então, da inspeção
da expressão 4.4, a derivada direcional do fluxo de calor
yxn nyθλ(θ)n
xθλ(θ)q ⋅
∂∂
⋅+⋅∂∂
⋅= (4.44)
é uma quantidade positiva, pois se considera aqui que a temperatura aumenta da
superfície para o interior do sólido, ou seja, o gradiente térmico é positivo no
sentido da absorção de calor pelo corpo.
4.3.2 FORMULAÇÃO VARIACIONAL FRACA
O que se pretende descobrir é a função θ = θ(x,y,t) que satisfaça a equação
do calor (expressão 4.35) quando sujeita às condições inicial e de contorno
descritas na seção anterior. Problemas deste tipo são geralmente conhecidos como
problemas de valor inicial, cuja solução requerida precisa ser válida em todo
domínio espaço-tempo.
Entretanto, segundo ZIENKIEWICZ & MORGAN (1983), é mais
conveniente utilizar a técnica da discretização parcial, ou seja, primeiro resolve-se
o problema de valor de contorno (aproximação espacial), e em seguida o
problema dependente do tempo (aproximação temporal). Assim, considerando
apenas o domínio espacial, caso θ fosse a solução exata válida para todo domínio
Ω, o resíduo R = RΩ deveria ser zero em qualquer lugar do mesmo, ou seja:
y
x
Γ2 : qn = hr (θg – θ)
Γ1 : qn = hc (θg – θ)Γ3 : qn = qs
Γ4 : θ = θs
Ω
83
( ) 0=∂∂
⋅⋅−
∂∂
⋅∂∂
+
∂∂
⋅∂∂
=tθθcρ
yθλ(θ)
yxθλ(θ)
xRΩ (4.45)
Todavia, como nos problemas reais da engenharia não é este o caso, uma
solução aproximada é requerida, fazendo com que o resíduo seja diferente de zero
em Ω. Entretanto, o Método dos Resíduos Ponderados procura anular este
resíduo, através do uso de uma função peso ou de ponderação w = w(x,y). A idéia
básica do método consiste em buscar uma função de aproximação para θ que além
de satisfazer as condições de contorno essenciais (temperatura prescrita), torne
zero no sentido da “média” a seguinte formulação integral (HECKE & MARCHI,
2002):
∫ =⋅Ω
0dΩΩRw (4.46)
sendo válida para toda função de ponderação, w = w(x,y), que satisfaça algumas
condições tais como ser suficientemente suave, no sentido que as operações de
integração e diferenciação tenham sentido, e ser nula nos contornos que possuam
valores impostos ou prescritos para variável de campo (solução homogênea).
A escolha da função de ponderação leva a vários métodos de aproximação.
Em um destes métodos, conhecido como o Método de Galerkin, a função de
ponderação é escolhida a partir das mesmas funções de base usadas para construir
θ. Propõem-se, então, as seguintes funções de base para aproximação de θ e w:
i
n
1iinn2211 αNNαNαNαθ ∑
=
=+++≅ K (4.47)
i
n
1iinn2211 βNNβNβNβw ∑
=
=+++≅ K (4.48)
onde Ni, i = 1 até n, representa as funções de base, linearmente independentes
entre si, e que geralmente são polinômios conhecidos em x e y. Os parâmetros αi e
βi são coeficientes ajustáveis, independentes de x e y, e inicialmente
desconhecidos. Substituindo-se a expressão 4.45 em 4.46, chega-se a:
84
( )∫ =
∂∂
⋅⋅⋅−
∂∂
⋅∂∂
+
∂∂
⋅∂∂
⋅Ω
0dΩtθθcρw
yθλ(θ)
yxθλ(θ)
xw (4.49)
Da inspeção da expressão acima, percebe-se que é necessário que a função
que aproxima variável de campo tenha grau de continuidade C2, isto é, as
derivadas de segunda ordem precisam ser contínuas neste campo. É desejável
“relaxar” esta restrição, e para tal, é preciso aplicar a integração por partes em
relação à derivada parcial de 2° ordem fazendo-se uso do Teorema de Green-
Gauss. Primeiramente, considerando que x
F∂∂
⋅=θθλ )(1 e
yθλ(θ)F
∂∂
⋅=2 , a
expressão 4.49 pode ser reescrita da seguinte maneira:
( )∫ ∫ =
∂∂
⋅⋅⋅−
∂∂
⋅+∂∂
⋅Ω Ω
21 0dΩdΩtθθcρw
yFw
xFw (4.50)
Observando-se a seguinte identidade para quaisquer funções diferenciáveis w(x,y)
e F(x,y) em relação a x (o mesmo vale para y), tem-se que:
( ) ( ) FxwFw
xxFwF
xw
xFwFw
x⋅
∂∂
−⋅∂∂
=∂∂
⋅∴⋅∂∂
+∂∂
⋅=⋅∂∂ (4.51)
Reescrevendo a expressão 4.50 a partir da expressão acima, fica-se com:
( ) ( ) ( )∫ ∫ =
∂∂
⋅⋅⋅−
⋅∂∂
−⋅∂∂
+⋅∂∂
−⋅∂∂
Ω Ω2211 0dΩdΩ
tθθcρwF
ywFw
yF
xwFw
x (4.52)
O Teorema da Divergência pode ser utilizado para converter uma
integração sobre uma superfície em uma integração sobre sua fronteira. Então,
examinando a expressão acima, o teorema estabelece que (REDDY &
GARTLING, 1994):
( ) ( ) ∫∫ ⋅⋅=
⋅
∂∂
Γ1
Ω1 dΓdΩ xnFwFw
x (4.53a)
85
( ) ( ) ∫∫ ⋅⋅=
⋅∂∂
Γ2
Ω2 dΓdΩ ynFwFw
y (4.53b)
Substituindo-se as expressões derivadas do Teorema de Green-Gauss, e após
algumas operações algébricas, a expressão 4.52 resulta em:
( ) ∫
∂∂
+∂∂
⋅=∫ ∫
∂∂
⋅⋅+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
ΓdΓ
Ω ΩdΩdΩ yn
yθλ(θ)xn
xθλ(θ)w
tθθcρw
yθ
ywλ(θ)
xθ
xwλ(θ)
... (4.54)
O termo do lado direito da igualdade da expressão acima que está entre
colchetes é a derivada direcional do fluxo de calor (expressão 4.44), logo:
( ) ∫∫ ∫ ⋅=
∂∂
⋅⋅⋅+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
ΓΩ Ω
dΓdΩdΩ nqwtθθcρw
yθ
ywλ(θ)
xθ
xwλ(θ) (4.55)
A expressão acima é com freqüência chamada de forma fraca da equação
diferencial original (expressão 4.49), pois a exigência agora é que apenas a
derivada parcial de 1° ordem em relação à temperatura seja contínua. Todavia, o
mesmo requerimento vale agora também para função de ponderação. Em
problemas não-transientes ou estacionários, o Método dos Resíduos Ponderados
(Galerkin) aplicado à expressão 4.55, conduz a um sistema de equações algébricas
cuja solução proporciona a determinação dos coeficientes αi definidos na
expressão 4.47.
Apenas para ilustrar o resultado da aplicação do método, a Figura 4.11
mostra um exemplo de uma função u = u(x) aproximada linearmente através de
uaprox = α1 + α2.x, onde é possível verificar que o erro da aproximação (resíduo) é
distribuído de maneira ponderada, de modo que se tenha um erro médio ao longo
de todo domínio Ω.
86
Figura 4.11 – Aproximação linear via Método dos Resíduos Ponderados.
4.3.3 O MODELO SEMIDISCRETO DOS ELEMENTOS FINITOS
Na seção anterior, verificou-se que o Método dos Resíduos Ponderados
poderia ser utilizado para resolver numericamente equações que envolvem
derivadas parciais (como o caso da transferência de calor em corpos sólidos, por
exemplo). Entretanto, a função que aproximava θ estava definida por uma única
expressão válida para todo domínio Ω.
Um outro modo para resolver o problema, consiste em dividir o domínio
em um número finito de subdomínios não sobrepostos, e então construir a
aproximação para θ trecho a trecho sobre cada subdomínio (ZIENKIEWICZ &
MORGAN, 1983). Esta é a idéia básica do Método dos Elementos Finitos (MEF),
ou seja, é a discretização de um certo domínio contínuo em um número finito de
elementos, interligados por pontos nodais, de formas geométricas relativamente
simples, chamados elementos finitos, onde a função incógnita do problema é agora
aproximada em cada subdomínio (elemento finito).
Os elementos finitos variam em sua forma, número de pontos nodais,
número de graus de liberdade e funções de interpolação. Em análises
bidimensionais, o mais comum é a utilização de elementos triangulares e
quadrangulares (retangulares, trapezoidais, etc) como mostra a Figura 4.12.
Ω
87
Figura 4.12 – Exemplos de elementos finitos bidimensionais.
Os polinômios são muito utilizados como funções de interpolação devido a
sua fácil integração e diferenciação. De um modo geral, a definição do grau do
polinômio está associado ao número de pontos nodais conhecidos. Caso o
elemento finito tenha, por exemplo, nós somente nos vértices do elemento, o grau
do polinômio que interpola a variável de campo é de 1° ordem, isto porque a
interpolação linear define de forma única à reta que passa pelos respectivos pontos
nodais (ALVES FILHO, 2000).
Apenas para exemplificar a motivação do MEF, considere a aproximação
da função u = u(x) (seção 4.3.2). Será proposto uma partição do domínio Ω em
intervalos uniformes como mostra a Figura 4.13.
Figura 4.13 – Partição do domínio em intervalos uniformes.
As funções de base são geradas através do uso de funções simples lineares
por partes, elemento a elemento, sobre toda a malha de elementos finitos. Além
disso, as funções de base são escolhidas de maneira que os parâmetros αi
(expressão 4.47) sejam os valores da solução aproximada nos respectivos pontos
Ω1 Ω2 Ω3 Ω4
Nó típico
88
nodais. Se as coordenadas dos nós são denotadas por xi, as funções de base Ni(x)
são definidas para cada nó i (= 1,2,3,4,5), de modo que:
≥≤
≤≤−
≤≤−
=
+−
++
−−
1i1i
1ii1i
i1i1i
i
xxexxpara0
xxxparah
xx
xxxparahxx
(x)N
A Figura 4.14 mostra a representação gráfica das funções de base
discutidas acima, também chamadas de funções pirâmide.
Figura 4.14 – Funções de interpolação do tipo “pirâmide”.
Supondo-se que os valores aproximados da função, u = u(x), nos nós
1,2,3,4,5 sejam, respectivamente, u1, u2, u3, u4, u5, então, tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xNuxNuxNuxNuxNuxNuu 55443322
5
1i11iiaprox ++++=⋅= ∑
=
A Figura 4.15 mostra o resultado da aplicação do MEF para o problema
em questão. Pode-se perceber que o requerimento de continuidade na
aproximação linear trecho a trecho é garantida na interface dos elementos ao se
considerar que os parâmetros αi assumem os valores da solução aproximada nos
respectivos pontos nodais.
89
(a)
(b)
Figura 4.15 – Resultado da aplicação do MEF: (a) Representação das funções de base globais; (b) Aproximação linear da função u trecho a trecho.
Retornando ao problema de valor inicial, considere agora que o corpo
sólido seja subdividido em elementos finitos como mostra a Figura 4.16. Aqui, o
domínio típico de um elemento finito será denotado por Ωe e seu contorno por Γe.
Figura 4.16 – Subdivisão do domínio em elementos finitos (KRUGER, 2001).
90
Segundo REDDY & GARTLING (1994), a aproximação da variável de
campo no elemento finito pode ser feita considerando-se primeiro à aproximação
espacial e depois à temporal, logo, reportando-se a expressão 4.47, tem-se que:
[ ]∑=
⋅=⋅≅ne
1j
ene
e2
e1
ne21ejj
e
θ
θ
θ
NNN(t)θy)(x,Nt)y,(x,θM
K (4.56)
E em notação matricial:
eθNt)y,(x,θe ⋅≅ (4.57)
onde N é vetor (1 x ne) interpolador da variável de campo, mais conhecido como
função de base ou de forma, θe é o vetor (ne x 1) das temperaturas nodais
desconhecidas, e ne é o número de pontos nodais do elemento finito. O mesmo
requerimento para aproximar a variável de campo vale também para a função de
ponderação, logo:
[ ]∑=
⋅=⋅≅ne
1j
e3
e2
e1
ne21ejj
ψ
ψ
ψ
NNNψy)(x,Ny)w(x,M
K (4.58)
E em notação matricial:
TT Nψy)w(x, ⋅≅ (4.59)
onde (*)T denota o transposto de um vetor, NT é vetor (ne x 1) interpolador da
variável de campo, mais conhecido como função de base ou de forma, ψT é o
vetor (1 x ne) que denota a variação virtual nodal da temperatura no elemento
finito. A expressão 4.55 (forma fraca da equação do calor) quando reescrita para
um elemento finito típico, resulta em:
( ) ∫∫ ∫ ⋅=
∂∂
⋅⋅⋅+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
ee e Γ
ee
Ω Ω
e dΓdΩdΩ n
eee
qwtθθcρw
yθ
ywλ(θ)
xθ
xwλ(θ)
... (4.60)
91
Em um primeiro momento, apenas o lado esquerdo da igualdade da
expressão anterior será examinado. Assim, tem-se a seguinte formulação integral:
( ) ( ) e
Ω
e
Ω
dΩdΩee∫∫
∂∂
⋅⋅⋅+
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
tθθcρw
yθxθ
yw
xwθλ
e
e
e
(4.61)
Reportando-se a expressão 4.56, tem-se que:
[ ] e
ene
e
ne
ne
e
e
θBθ
θ
yN
yN
yN
xN
xN
xN
yθxθ
⋅=
⋅
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂∂∂
M
L
L 1
21
21
(4.62)
E da mesma forma para expressão 4.58:
[ ]TT Bψyw
xw
⋅=
∂∂
∂∂ (4.63)
Uma vez que ee θNt)y,(x,θ ⋅≅ (expressão 4.57), obtém-se:
•
⋅=∂
∂⋅=
∂∂ e
ee
θNtθN
tθ (4.64)
Substituindo-se as expressões 4.62, 4.63 e 4.64 em 4.61, e após algumas
operações algébricas, chega-se a:
( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ ⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅•
e eΩ Ω
eTTeTT dΩdΩ ee θBBλ(θ)ψθNNθcρψ
( )[ ] ( )[ ] eecond
ee θθKψθθMψ ⋅+
⋅=•
ee ΩTΩT (4.65)
92
A integral de linha do lado direito da igualdade (expressão 4.60) pode ser
decomposta do seguinte modo (ver expressão 4.43):
( )[ ] ( )[ ] ( )∫∫∫ ∫ ⋅+−⋅⋅+−⋅⋅=⋅e3
e2
e e1 ΓΓΓ Γ
edΓ dsqwdsθθhwdsθθhwqw se
gre
gcn
... (4.66) onde ds representa um comprimento de arco infinitesimal ao longo do contorno Γe
do elemento finito. O objetivo agora é decompor a expressão 4.66 em relação a
cada porção do contorno Γe de interesse. Então, da inspeção das expressões 4.57 e
4.59, tem-se que:
( )[ ] [ ] [ ] [ ] eTc
Tgc
egc θdsNNhψdsNθhψθθhw ⋅⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅ ∫∫∫
e1
e1
e1 Γ
T
Γ
T
Γ
e1dΓ
[ ] econvconv θKψqψ ⋅−=
e1
e1 ΓTΓT (4.67)
( )[ ] [ ] [ ] [ ] eTr
Tgr
egr θdsNNhψdsNθhψθθhw ⋅⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅ ∫∫∫
e2
e2
e2 Γ
T
Γ
T
Γ
e2dΓ
( ) ( )[ ] eerad
erad θθKψθqψ ⋅−=
e2
e2 ΓTΓT (4.68)
( ) [ ] e3
e3
e3
ΓT
Γ
TT
Γ
e3dΓ sss qψdsNqψqw =⋅=⋅ ∫∫ (4.69)
Uma vez que o lado direito (expressão 4.65) e o lado esquerdo (expressões
4.67, 4.68 e 4.69) da igualdade foram decompostos, a expressão 4.60 pode ser
reescrita na seguinte forma matricial:
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
=⋅
+++
⋅
• e3
e2
e1
e2
e1
ee ΓΓΓT
ΓΓΩT
ΩT
se
radconvee
radconve
condee qθqqψθθKKθKψθθMψ
( )[ ]
⋅=•eeeT θθMψ + ( )[ ] eee θθKψ ⋅T = ( ) ee θqψT (4.70)
93
Somando-se as contribuições de cada elemento finito de domínio Ωe de
modo que se tenha a solução para todo domínio Ω:
[ ] [ ] ∑ ∑ ∑= = =
•
=⋅+
⋅E
1e
E
1e
E
1e
TTT )()()( eeeeeeee θqψθθKψθθMψ
( ) ( ) ( )θqΨθθKΨθθMΨ ⋅=⋅⋅+⋅⋅=•
TTT (4.71)
A expressão anterior deve ser satisfeita para qualquer vetor Ψ T, desde que,
ψ i seja nulo nos contornos, ou nós, que possuam valores impostos ou prescritos
para variável de campo (solução homogênea). Este procedimento corresponde a
eliminar as linhas e colunas relacionadas aos nós que satisfaçam a condição acima
(CHANDRUPATTA & BELEGUNDU, 1997). Para ilustrar a idéia, considere o
seguinte sistema de equações algébricas, resultante da análise térmica linear em
regime permanente:
⋅=
⋅⋅
⋅
N
2
1
T
N
2
1
T
NNN2N1
2N2221
1N1211
T
q
Ψ
θ
θθ
Ψ
KKK
KKKKKK
ΨMM
K
M
K
K
(4.72)
Considerando, hipoteticamente, que θ1 = A1 (temperatura prescrita), a
variação virtual da temperatura é nula no respectivo ponto nodal, ou seja, ψ1 = 0.
Escolhendo o vetor da variação virtual da temperatura como Ψ = [0, 1, 0, ..., 0]T,
Ψ = [0, 0, 1, ..., 0]T, ...... , Ψ = [0, 0, 0, ..., 1]T, e substituindo cada um destes no
sistema original em 4.72, fica-se com:
⋅−
⋅−⋅−
=
⋅
1N1N
2313
1212
N
3
2
NNN3N2
3N3332
2N2322
AKq
AKqAKq
θ
θθ
KKK
KKKKKK
MM
K
M
K
K
(4.73)
onde se percebe que a linha e a coluna correspondentes ao nó com temperatura
prescrita foram excluídas do sistema original. Isto posto, apenas para tornar mais
94
elegante a apresentação do MEF, a expressão 4.71 pode ser reescrita da seguinte
maneira:
( ) ( ) ( )θqθθKθθM =⋅+⋅•
(4.74)
As expressões 4.71 e 4.74 representam um sistema de equações
diferenciais de primeira ordem em relação ao tempo, onde E é o número de
subdivisões do domínio Ω em elementos finitos, M é a matriz de capacidade
térmica, K é a matriz de condutividade térmica, e q é o vetor do fluxo de calor.
Para o problema específico da transferência de calor entre os gases quentes
e a viga mista, a matriz de condutividade térmica, K, como também o vetor de
fluxo de calor, q, são dependentes da temperatura e também do tempo, pois,
ambos, possuem o termo do coeficiente de transferência de calor por radiação, hr,
em suas formulações. Ao término desta etapa, o modelo do MEF é chamado
“semidiscreto”, porque apenas a aproximação espacial foi formulada.
4.3.4 A APROXIMAÇÃO TEMPORAL
Na última etapa, conhecida como aproximação temporal, a solução da
expressão 4.74 é alcançada mediante o emprego do método da integração direta,
onde as equações diferenciais de primeira ordem em relação ao tempo são
representadas por meio de diferenças finitas no intervalo de tempo considerado
(POLIVKA & WILSON, 1976). Este procedimento começa por dividir o intervalo
de integração de interesse (0 ≤ t ≤ tfinal) em um número de segmentos discretos
denotados por ∆t (= tn+1 – tn), onde n corresponde ao número do passo do tempo.
Fazendo-se uso da aproximação por diferenças finitas à esquerda para o
instante de tempo “n+1” (ZIENKIEWICZ & MORGAN, 1983):
( )∆t∆θ
∆tθθ
tθ nn
n =−
=∂∂ +
+
1
1 (4.75)
Avaliando-se a expressão 4.74 no instante de tempo “n+1”, e usando-se a
definição acima, chega-se a:
95
( ) ( ) ( ) ( )11111 ++++ =⋅+⋅⋅ nnnn θqθθK∆θθM∆t
(4.76)
A expressão anterior pode ser generalizada em relação a outros tipos de
diferenças finitas, a qual produzirá o seguinte algoritmo quando avaliada no
instante de tempo ta (REDDY & GARTILING, 1994):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) naanaa θθKαθqθθKα∆θθM∆t
⋅⋅−−=⋅⋅+⋅⋅ + 11 1 (4.77)
Em que:
( ) 11 +⋅+⋅−= nna θαθαθ (4.78)
onde α (0 ≤ α ≤ 1) representa um parâmetro transiente que indica a estabilidade
do sistema. E para diferentes valores do parâmetro transiente, tem-se os seguintes
métodos de aproximação temporal:
α = 0 – Método Explícito (condicionalmente estável);
α = 1/2 – Método de Crank-Nicolson (incondicionalmente estável);
α = 2/3 – Método de Galerkin (incondicionalmente estável);
α = 1 – Método Implícito (incondicionalmente estável).
Quando α < ½ o sistema é estável apenas para certas restrições impostas
ao passo do tempo (critério de estabilidade). O Método Implícito corresponde ao
caso da expressão 4.76, que é incondicionalmente estável seja qual for o
incremento de tempo utilizado na análise. Como θθθ ∆+=+ nn 1 (expressão 4.75),
e após algumas operações algébricas a partir da expressão 4.76, chega-se a:
( ) ( ) ( ) ( ) nnnnn θθKθq∆θθKθM∆t
⋅−=⋅
+⋅ ++++ 11111 (4.79)
96
A expressão acima inclui não-linearidades cuja solução requer processos
iterativos de cálculo a cada passo do tempo (BATHE, 1996). Os métodos de
iteração mais largamente utilizados na análise dos elementos finitos são os
baseados na técnica clássica de Newton-Raphson. Reescrevendo a expressão 4.79
de maneira mais conveniente à aplicação do método:
( )[ ] ( ) 11
11
+−
+− =⋅ n
iinitg θR∆θθK (4.80)
Em que:
( )[ ] ( ) ( )
+⋅= +++
−1
11
11
11 n
i-ni-
nitg θKθM
∆tθK (4.81)
e
( ) ( ) ( ) ni-
ni-
ni-
ni θθKθqθR 1
11
11
11 ⋅−= +++
− (4.82)
Onde:
n+1 representa o número do passo do tempo;
i representa o número da iteração requerida para se atingir a convergência da
solução no passo do tempo n+1;
( )[ ]11+
−nitg θK é a matriz tangente ou Jacobiana;
( ) 11+
−niθR é o resíduo ou vetor desbalanceado, e representa quão o sistema não-
linear transiente está fora de equilíbrio.
A convergência é obtida quando o vetor residual resultar menor do que
uma tolerância pré-definida para a i-ésima iteração no passo de tempo n+1.
Basicamente, o algoritmo do método iterativo de Newton-Raphson consiste em:
97
(1) Assumir o valor inicial n0θ , que de início corresponde ao vetor que
representa a condição inicial, e posteriormente corresponderá ao vetor resultante
das iterações de um passo de tempo anterior;
(2) Calcular as matrizes M, K e o vetor q, no passo de tempo “n+1”, através do
vetor “predictor” 11+−
niθ , que corresponde a solução da expressão 4.77 quando α
for igual a zero (Método Explícito), isto é:
( ) ( ) ( ) ( ) ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni θθKθq∆tθθMθθM 11111
111 −−−−−+
−− ⋅−⋅+⋅=⋅ (4.83)
(3) Determinar a matriz tangente e o vetor residual para 11+−
niθ fazendo-se uso das
expressões 4.81 e 4.82;
(4) Calcular i∆θ , a partir da expressão 4.80, por meio de métodos diretos ou
indiretos de solução de sistemas de equações algébricas, lembrando-se de eliminar
as linhas e colunas que correspondem as condições de contorno de Dirichlet;
(5) Somar i∆θ e 11+
−niθ de modo a obter a próxima aproximação, ou seja:
ini
ni ∆θθθ += +
−+ 1
11 (4.84)
Os passos (3) à (5) são repetidos até obter-se a convergência requerida no
passo de tempo “n+1”. Segundo BATHE (1996), quando a matriz tangente é
atualizada a cada iteração, o método iterativo é chamado de Newton-Raphson
Completo. Quando a atualização é feita com menor freqüência, isto é, geralmente
na primeira ou segunda iteração, o método iterativo é chamado de Newton-
Raphson Modificado. No método de Newton-Raphson de Rigidez Inicial, a matriz
Jacobiana é atualizada quando da ocorrência de mudanças nas características
iniciais do sistema.
5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS DA ANÁLISE TÉRMICA DE VIGAS MISTAS EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO
5.1 INTRODUÇÃO
O software comercial ANSYS é um programa baseado no Método dos
Elementos Finitos que resolve numericamente uma grande variedade de
problemas mecânicos, tais como: estruturais (estáticos/dinâmicos), transferência
de calor, escoamento de fluidos, acústicos e eletromagnéticos. No que concerne à
transferência de calor, ele resolve problemas multidimensionais de difusão de
calor com as mais severas não-linearidades e com os mais diversos tipos de
condições de contorno.
Em linhas gerais, o programa ANSYS segue aquilo que foi discutido no
capítulo anterior, sendo, portanto, o programa numérico utilizado no presente
capítulo para realizar a análise térmica transiente não-linear de vigas mistas em
situação de incêndio.
5.2 HIPÓTESES DE CÁLCULO
Em se tratando do método avançado de análise térmica, é preciso
considerar algumas hipóteses de cálculo antes da análise propriamente dita.
Admite-se que o elemento estrutural encontra-se totalmente imerso nas chamas do
compartimento e que a elevação da temperatura dos gases quentes respeita a curva
temperatura-tempo do incêndio-padrão (expressão 3.1). É o chamado “lado
exposto ao fogo”, onde se localiza a viga de aço e a parte inferior da laje de
concreto. Na parte superior da laje, chamado “lado não exposto ao fogo”,
considera-se que não há incêndio, e que o ar encontra-se à temperatura ambiente
(convecção natural).
Logo adiante, a Tabela 5.1 traz um resumo das condições inicial e de
contorno adotadas neste trabalho. O coeficiente de transferência de calor por
convecção do lado não exposto ao fogo segue o que foi descrito em KRUPPA &
99
ZHAO (1995) e recomendado pelo Eurocódigo, isto é, no caso de elementos
pertencentes à vedação (a laje de concreto é considerada como elemento de
compartimentação horizontal) pode-se usar o valor especificado na tabela, como
também, desprezar os efeitos da transferência de calor por radiação. Os demais
valores seguem o recomendado pela NBR 14323 (capítulo 3).
Tabela 5.1 – Condições inicial e de contorno para a viga mista com e sem material de proteção térmica.
Coeficiente de transferência de calor por convecção do lado não exposto ao fogo (W/m2.°C)
9
Emissividade resultante entre os gases quentes e o perfil de aço (também vale para o caso da proteção passiva)
0.5
Coeficiente de transferência de calor por convecção do lado exposto ao fogo (W/m2.°C)
25
Temperatura inicial (°C) 20
A Figura 5.1 representa o modelo físico proposto para análise térmica.
Nela se observa duas situações físicas distintas à que está sujeita a superfície de
contorno da viga mista, ou seja, o lado que está, e o outro que não, exposto ao
fogo.
Figura 5.1 – Modelo proposto para modelagem numérica da viga mista em
situação de incêndio.
100
5.3 IMPLEMENTACÃO COMPUTACIONAL
O elemento utilizado foi o PLANE35, que é um elemento finito triangular
quadrático composto por seis pontos nodais, como mostra a Figura 5.2, o qual se
encontra na biblioteca de elementos do programa ANSYS, sendo muito utilizado
em problemas bidimensionais de transferência de calor.
Figura 5.2 – Elemento finito PLANE35 utilizado na análise térmica.
A função de interpolação quadrática para o elemento PLANE35 é dada
por:
As funções de forma são expressas em termos da área ou das coordenadas
naturais, Li, que estão relacionadas pela condição auxiliar L1 + L2 + L3 = 1, ou
seja, existem apenas duas coordenadas de área independentes.
θ =
101
5.3 COMPORTAMENTO TÉRMICO OBSERVADO
Esta seção tem como objetivo descrever o comportamento térmico
genérico em situação de incêndio da viga mista sem proteção térmica com laje
maciça de concreto e também com fôrma de aço incorporada, cuja ligação na
interface aço-concreto é feita através do “Stud Bolt”. Para isso utilizou-se o perfil
metálico VS 300x28. A Figura 5.3 apresenta as dimensões (mm) e geometria das
vigas mistas submetidas à análise térmica não-linear transiente.
(a)
(b)
Figura 5.3 – Casos estudados: (a) Viga mista com laje de concreto maciça; (b)Viga mista com fôrma de aço incorporada.
As propriedades do aço foram aquelas recomendadas pela NBR 14323
(1999) – ver expressões 2.5, 2.7 e 2.9. Já para o concreto, foram utilizadas as
propriedades térmicas descritas pelas expressões 2.8 e 2.10 [NBR 14323 (200X)],
e para a massa específica foi utilizada a expressão 2.6. Já o incremento de tempo
adotado foi de 30 segundos.
102
A Figura 5.4 apresenta o campo de temperaturas durante o tempo de
duração do incêndio de 30, 60, 90 e 120 minutos, para a viga mista com laje de
concreto maciça.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.4 – Campo de temperaturas para viga mista com laje de concreto maciça após um tempo de duração do incêndio de: (a) 30 min; (b) 60 min;
(c) 90 min e (d) 120 min.
As cores variam do azul ao vermelho, representando, respectivamente, as
baixas e as altas temperaturas. Nota-se que o campo de temperaturas na laje de
concreto é uniforme ao longo da largura efetiva, exceto na região que contém o
conector, o qual se percebe uma zona de perturbação das isotermas devido à
diferença de condutividade térmica entre o aço e o concreto. A temperatura
mínima ocorre na superfície da laje que não está exposta ao fogo, enquanto que, a
máxima ocorre na alma do perfil metálico, mais precisamente no centro de
gravidade da seção mista.
103
Logo abaixo, a Figura 5.5 está representando a distribuição das
temperaturas na viga mista segundo os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos.
Figura 5.5 –Distribuição das temperaturas (°C) na viga mista com laje de concreto maciça para os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos.
Adiante, a Figura 5.6 apresenta o campo de temperaturas durante o tempo
de duração do incêndio de 30, 60, 90 e 120 minutos, para a viga mista com fôrma
de aço incorporada.
104
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.6 – Campo de temperaturas para viga mista com fôrma de aço incorporada após um tempo de duração do incêndio de: (a) 30 min; (b) 60 min;
(c) 90 min e (d) 120 min.
Percebe-se que as superfícies de igual temperatura (isotermas) apresentam
um padrão diferente do que o da viga mista com laje maciça. Na laje mista o
campo de temperaturas não é mais uniforme ao longo da largura efetiva da laje,
ele varia quando há mudanças na geometria da fôrma e na presença do conector
de cisalhamento.
Pelo fato de existir peculiaridades inerentes ao Steel Deck, a NBR 14323
(1999), em seu ANEXO C, dispõe sobre o caso específico das lajes mistas em
situação de incêndio.
105
A Figura 5.7 demonstra a distribuição das temperaturas na viga com fôrma
de aço incorporada para os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos.
Figura 5.7 – Distribuição das temperaturas (°C) na viga mista com fôrma de aço
incorporada para os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos.
O campo de temperaturas no perfil metálico foi omitido, pois é
rigorosamente o mesmo que o da viga mista com laje de concreto maciça.
A seguir, a Figura 5.8 mostra de que forma o calor é conduzido no interior
da viga mista com fôrma de aço incorporada. A resultante vetorial do fluxo
térmico é representada por uma pequena seta vermelha que aponta na direção da
diminuição de temperatura.
106
Figura 5.8 – Condução do calor no interior da viga mista com fôrma de aço
incorporada.
A Tabela 5.2 traz os valores da temperatura no conector e na mesa superior
para os dois casos estudados. A temperatura no Stud Bolt corresponde a do ponto
médio (centróide) representado nas figuras 5.5 e 5.7. Nota-se que a temperatura no
Stud Bolt é praticamente a mesma para os dois casos, variando de 60% a 80% em
relação à temperatura da mesa superior do perfil metálico.
Tabela 5.2 – Temperatura (°C) no conector e na mesa superior dos casos estudados ao longo do tempo de duração do incêndio.
Temperatura (°C)
Laje maciça Steel Deck
Tempo
(minutos) Conector Mesa superior Conector Mesa superior
30 382,505 634,104 406,168 634,104
60 596,730 841,007 639,569 841,007
90 722,696 940,503 776,660 940,503
120 814,712 1001,49 874,327 1001,49
107
5.4 VIGAS MISTAS SEM MATERIAL DE PROTEÇÃO TÉRMICA
Os objetivos desta seção são dois: no perfil metálico, observar o
aquecimento da peça de aço em função do fator de massividade da seção, e
examinar o desenvolvimento da temperatura durante o tempo de exposição ao
incêndio em relação a cada uma das partes da seção de aço (mesa superior, alma e
mesa inferior); e na laje de concreto maciça, verificar qual é a seção crítica e
comparar os resultados obtidos com os da NBR 14323.
Foram analisadas três vigas mistas sem material de proteção térmica, cujos
perfis metálicos representavam diferentes tipos de tamanho: pequeno (VS
250x25), médio (VS 450x59) e grande (VS 650x144). A laje de concreto possuía
espessura de 10 cm e largura efetiva de 100 cm. A Figura 5.9 mostra os pontos e
as seções escolhidas para obtenção dos resultados numéricos. Os pontos (1), (2) e
(3), correspondem, respectivamente, a temperatura na mesa inferior, alma e mesa
superior.
Figura 5.9 – Pontos e seções escolhidas para obtenção dos resultados numéricos.
As propriedades físicas do aço e do concreto foram as mesmas da seção
anterior. O incremento de tempo adotado foi de 30 segundos. As dimensões (mm)
e geometria dos casos analisados estão representadas na Figura 5.10, logo em
seguida.
108
(a)
(b)
(c)
Figura 5.10 – Casos estudados: (a) Perfil pequeno; (b)Perfil médio e (c)Perfil
grande.
A seguir, a Figura 5.11 apresenta o desenvolvimento da temperatura na
alma da viga mista para o TRRF máximo de 60 minutos. Percebe-se que o perfil
de menor massa (kg/m) e maior fator de massividade, é aquecido mais
rapidamente nos primeiros 30 minutos de duração do incêndio, seguido pelo
médio e depois o grande. Após 30 minutos, a resposta térmica é praticamente a
mesma para os três casos.
109
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
VS 250x25 VS 450x59 VS 650x144
Figura 5.11 – Desenvolvimento da temperatura na alma da viga mista segundo o TRRF de 60 minutos.
A Tabela 5.3 traz a temperatura alcançada pela alma, para o TRRF
máximo de 30 minutos, em função do fator de massividade de cada perfil
metálico.
Tabela 5.3 – Temperatura da alma (°C) em função do fator de massividade dos perfis de aço para o TRRF máximo de 30 minutos.
Temperatura (°C)
Fator de massividade (m-1)
Tempo
(minutos) 301 (VS 250x25)
214 (VS 450x59)
115 (VS 650x144)
5 419,68 375,626 333,072
10 621,664 598,496 567,279
15 707,300 695,603 679,093
20 763,623 756,358 745,149
25 803,803 799,763 793,459
30 834,309 831,811 828,178
110
A Figura 5.12 mostra o desenvolvimento da temperatura em relação a cada
uma das partes da seção de aço, ao longo do tempo de duração do incêndio, para
os três perfis de aço analisados.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
Mesa inferior Alma Mesa superior
(a) VS 250x25
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
Mesa inferior Alma Mesa superior
(b) VS 450x59
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
Mesa inferior Alma Mesa superior
(c) VS 650x144
Figura 5.12 – Desenvolvimento da temperatura na alma e mesas superior e inferior para os três perfis metálicos.
111
Conforme a figura anterior, no perfil pequeno, a curva que representa a
temperatura da alma praticamente coincide com a da mesa inferior, e na medida
que a seção vai se tornando menos compacta, ou mais esbelta (Figura 5.10), a uma
ligeira diferença entre as duas, que fica mais evidente no perfil de maior porte.
Ainda de acordo com a mesma figura, observa-se também que a inclinação das
curvas é menos pronunciada à medida que a seção de aço torna-se mais pesada e
com menor fator de massividade.
No caso da laje de concreto, a Figura 5.13 mostra os pontos escolhidos
para obtenção dos resultados numéricos em relação a cada seção típica da laje (ver
Figura 5.9).
Figura 5.13 – Seção típica da laje de concreto.
As tabelas a seguir apresentam valores de temperatura para cada seção
típica da laje em relação aos pontos e fatias da Figura 5.13. A temperatura nos
pontos foi obtida através da análise térmica dos perfis descritos anteriormente. A
temperatura em cada fatia, corresponde à média entre os pontos inferior e superior
da mesma. A variação de temperatura uniforme na laje de concreto, θc, foi
determinada por meio da expressão 3.20, que nada mais é do que a média
ponderada das n fatias distribuídas ao longo da altura de cada seção típica da laje.
Tabela 5.4 – Variação da temperatura na altura da laje de concreto para o perfil VS 250x25. Tempo Temperatura nos pontos escolhidos (°C) (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 701,833 489,376 348,045 250,212 181,265 132,437 98,0231 74,301 58,7337 49,6205 45,9111 60 873,006 677,413 531,833 421,864 337,743 273,291 224,299 187,682 161,429 144,043 134,495 90 955,385 782,304 644,632 535,761 449,747 381,61 328,109 286,629 255,401 232,974 218,272 120 1009,48 854,356 725,337 620,429 535,24 466,362 410,875 366,582 331,89 305,412 286,1
Tempo Temperatura nas fatias (°C) θc
(min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (°C) 30 596 419 299 216 157 115 86 67 54 48 206 60 775 605 477 380 306 249 206 175 153 139 346 90 869 713 590 493 416 355 307 271 244 226 448 120 932 790 673 578 501 439 389 349 319 296 526
Seção Típica 1 Tempo Temperatura nos pontos escolhidos (°C) (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 693,412 492,7 354,421 257,002 187,526 137,842 102,538 78,0149 61,8117 52,2625 48,3307 60 859,492 674,519 533,197 425,043 341,62 277,344 228,279 191,483 165,016 147,423 137,684 90 944,311 778,149 643,715 536,567 451,501 383,875 330,618 289,23 257,989 235,483 220,649 120 1000,71 850,668 724,009 620,425 536,008 467,593 412,371 368,205 333,554 307,046 287,642
Temperatura nas fatias (°C) Tempo (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
θc (°C)
30 593 424 306 222 163 120 90 70 57 50 209 60 767 604 479 383 309 253 210 178 156 143 348 90 861 711 590 494 418 357 310 274 247 228 449 120 926 787 672 578 502 440 390 351 320 297 526
Seção Típica 2
Tabela 5.5 – Variação da temperatura na altura da laje de concreto para o perfil VS 450x59. Tempo Temperatura nos pontos escolhidos (°C) (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 674,242 468,788 331,97 237,717 171,594 125,006 92,3404 69,9496 55,333 46,8217 43,3891 60 861,259 666,169 521,125 412,026 328,894 265,374 217,215 181,31 155,641 138,708 129,498 90 949,006 775,746 637,799 528,918 443,061 375,18 321,992 280,847 249,956 227,855 213,474 120 1004,8 849,722 720,362 615,299 530,114 461,315 405,966 361,878 327,416 301,193 282,172
Tempo Temperatura nas fatias (°C) θc
(min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (°C) 30 572 400 285 205 148 109 81 63 51 45 196 60 764 594 467 370 297 241 199 168 147 134 338 90 862 707 583 486 409 349 301 265 239 221 442 120 927 785 668 573 496 434 384 345 314 292 522
Seção Típica 1 Tempo Temperatura nos pontos escolhidos (°C) (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 693,421 492,717 354,443 257,025 187,547 137,859 102,551 78,0236 61,8175 52,2665 48,3341 60 859,493 674,518 533,192 425,033 341,606 277,327 228,259 191,46 164,992 147,399 137,662 90 944,305 778,128 643,68 536,52 451,445 383,811 330,55 289,158 257,916 235,411 220,581 120 1000,7 850,633 723,952 620,35 535,92 467,495 412,267 368,098 333,447 306,942 287,544
Tempo Temperatura nas fatias (°C) θc
(min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (°C) 30 593 424 306 222 163 120 90 70 57 50 210 60 767 604 479 383 309 253 210 178 156 143 348 90 861 711 590 494 418 357 310 274 247 228 449 120 926 787 672 578 502 440 390 351 320 297 526
Seção Típica 2
Tabela 5.6 – Variação da temperatura na altura da laje de concreto para o perfil VS 650x144. Tempo Temperatura nos pontos escolhidos (°C) (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 577,318 399,673 281,533 200,69 144,432 105,106 77,8171 59,3102 47,356 40,4681 37,7382 60 804,622 617,866 480,814 378,289 300,631 241,551 196,826 163,64 140,005 124,532 116,288 90 923,074 748,661 611,401 504,148 420,122 354,122 302,677 263,146 233,634 212,705 199,325 120 987,188 831,483 701,932 597,051 512,48 444,449 389,907 346,74 313,181 287,869 269,785
Tempo Temperatura nas fatias (°C) θc
(min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (°C) 30 488 341 241 173 125 91 69 53 44 39 166 60 711 549 430 339 271 219 180 152 132 120 310 90 836 680 558 462 387 328 283 248 223 206 421 120 909 767 649 555 478 417 368 330 301 279 505
Seção Típica 1 Tempo Temperatura nos pontos escolhidos (°C) (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 693,41 492,65 354,306 256,862 187,395 137,734 102,456 77,9549 61,7683 52,2294 48,3018 60 859,471 674,46 533,111 424,938 341,501 277,216 228,145 191,346 164,879 147,289 137,557 90 944,283 778,053 643,568 536,38 451,283 383,634 330,362 288,965 257,723 235,223 220,402 120 1000,67 850,537 723,8 620,157 535,698 467,251 412,008 367,834 333,183 306,686 287,303
Tempo Temperatura nas fatias (°C) θc
(min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (°C) 30 593 423 306 222 163 120 90 70 57 50 209 60 767 604 479 383 309 253 210 178 156 142 348 90 861 711 590 494 417 357 310 273 246 228 449 120 926 787 672 578 501 440 390 351 320 297 526
Seção Típica 2
115
A Tabela 5.7 apresenta a variação de temperatura uniforme θc nas seções
da laje de concreto, obtida a partir das tabelas anteriores. As maiores temperaturas
estão localizadas na seção 2 – chamada “seção crítica”, que se encontra numa
posição mais distante do eixo de simetria vertical da viga mista. Uma outra
observação importante é que na seção 2, as temperaturas são as mesmas, seja qual
for o perfil. Observa-se também, que na seção 1, as maiores temperaturas
pertencem novamente ao perfil de maior fator de massividade.
Tabela 5.7 – Temperatura uniforme nas seções da laje de concreto. θc (°C)
Seção 1 Seção 2
Tempo
(min) VS
250x25
VS
450x59
VS
650x144
VS
250x25
VS
450x59
VS
650x144
30 206 196 166 209 210 209
60 346 338 310 348 348 348
90 448 442 421 449 449 449
120 526 522 505 526 526 526
Na Tabela 5.8 estão representados os valores da temperatura uniforme na
laje de concreto para seção 2 e os recomendados pela NBR (14323,1999), que
foram determinados a partir da Tabela 3.5 (capítulo 3).
Tabela 5.8 – Comparação dos valores de temperatura entre os métodos: avançado (MEF) e simplificado de cálculo (NBR).
θc (°C) Tempo (minutos) NBR MEF
30 190 209 60 296 348 90 361 449 120 407 526
116
5.5 A EFICIÊNCIA DA PROTEÇÃO PASSIVA
Esta seção tem como objetivo avaliar o desempenho da viga mista
revestida com material isolante térmico, e verificar qual dos dois tipos de proteção
passiva, contorno ou caixa, é o mais eficiente para retardar o acesso do calor ao
aço.
Três casos foram analisados via Método dos Elementos Finitos (MEF): o
perfil sem proteção, o perfil com proteção do tipo contorno e o perfil com
proteção do tipo caixa. O perfil utilizado foi o VS 400x58. A Figura 5.14
apresenta as dimensões (mm) e a geometria do perfil revestido. O incremento de
tempo adotado foi de 20 segundos.
(a)
(b)
Figura 5.14 – Perfil revestido com material de proteção térmica do tipo:
(a) contorno e (b) caixa.
117
A Tabela 5.9, logo abaixo, mostra as propriedades do aço e do concreto
utilizadas na análise térmica transiente.
Tabela 5.9 – Propriedades do aço e do concreto.
Propriedades Aço Concreto
Massa específica (kg/m3) 7850 2400
Calor específico (J/kg.°C) 600 1000
Condutividade térmica (W/m.°C) 45 0.90
As propriedades e a espessura do material isolante estão representadas na
Tabela 5.10. Já para o caso da proteção tipo caixa, embora seja difícil prever qual
o mecanismo de transmissão de calor que predomina no interior da cavidade, será
considerado aqui, apenas a condução conforme a Tabela 5.11 (HOLMAN, 1983).
Tabela 5.10 – Características do revestimento de proteção térmica.
Espessura (mm) 15
Calor específico (J/kg.°C) 1100
Condutividade térmica (W/m.°C) 0.15
Massa específica (kg/m3) 350
Tabela 5.11 – Propriedades do ar no interior da cavidade da proteção tipo caixa.
Temperatura (°C)
Propriedades 20 270 520 720 1000
ρ (kg/m3) 1,18 0,64 0,44 0,35 0,27
c (J/kg.°C) 1006 1039 1098 1142 1197
λ (W/m.°C) 0,026 0,044 0,058 0,068 0,083
A seguir, a Figura 5.15 mostra o desenvolvimento da temperatura durante
o tempo de duração do incêndio em relação às partes constituintes da seção de
aço. Os pontos escolhidos para obtenção dos resultados foram os centróides da
mesa superior, mesa inferior e alma.
118
0100200300400500600700800900
10001100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
sem proteção com proteção tipo contorno com proteção tipo caixa
(a)Mesa inferior
0100200300400500600700800900
10001100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
sem proteção com proteção tipo contorno com proteção tipo caixa
(b)Alma
0100200300400500600700800900
10001100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
sem proteção com proteção tipo contorno com proteção tipo caixa
(c)Mesa superior
Figura 5.15 – Temperatura no perfil VS 400x58 durante o tempo de exposição ao incêndio.
119
Da inspeção da figura anterior, pode-se observar a diminuição da
temperatura quando o perfil metálico é revestido pelo material isolante, sendo
mais significativa quando o perfil possui proteção do tipo caixa. Apenas para
exemplificar, a Tabela 5.12 mostra valores de temperatura na alma da seção de
aço sem proteção, com proteção tipo contorno e com proteção tipo caixa para os
TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos.
Tabela 5.12 – Temperatura na alma do perfil metálico para os três casos analisados, segundo os TRRF de 30, 60, 90 e 120 minutos.
Temperatura (°C) TRRF (minutos) Sem proteção Com proteção
tipo contorno Com proteção
tipo caixa 30 834 406 62 60 942 644 161 90 1004 781 268 120 1048 871 366
Para o TRRF de 60 minutos, a Figura 5.16, logo a seguir, demonstra o
campo de temperaturas obtido através da análise térmica transiente. Percebe-se
que praticamente não houve variação de temperatura ao longo da largura efetiva
da laje de concreto, a não ser na região imediatamente sobreposta ao flange
superior da seção de aço, no caso do perfil revestido pelo material de proteção
térmica. Entretanto, nesta região, onde se situa o conector de cisalhamento, não há
grandes variações térmicas ao longo da altura da laje.
No que concerne à seção de aço, observa-se como o material isolante
contribuiu para retardar o aumento da temperatura. No perfil desprotegido a faixa
de variação da temperatura encontra-se entre o amarelo e laranja, já no perfil
revestido com material de proteção tipo contorno, a faixa de variação da
temperatura encontra-se entre o azul e o verde e, por fim, no perfil revestido com
material de proteção do tipo caixa, a faixa de variação da temperatura está entre o
azul claro e o azul escuro.
120
(a)Perfil sem proteção
(b)Perfil com proteção tipo contorno
(c)Perfil com proteção tipo caixa
Figura 5.16 – Campo de temperaturas segundo o TRRF de 60 minutos para o perfil sem e com proteção térmica.
121
A Figura 5.17 apresenta o campo de temperaturas do perfil com proteção
tipo caixa para o TRRF de 120 minutos. Mesmo para um tempo de duração do
incêndio longo, a variação máxima de temperatura situa-se entre 550 e 650 °C,
que corresponde à faixa verde localizada no flange inferior do perfil. A presença
dos materiais isolantes contribuiu com grande eficiência para retardar o efeito do
calor na peça de aço.
Figura 5.17 – Temperatura no perfil com proteção tipo caixa para o TRRF de
120 minutos.
A NBR 14323 despreza a existência do ar no interior da cavidade e admite
uma distribuição uniforme de temperatura ao longo da seção de aço. Para esse
caso hipotético, a Tabela 5.13, adiante, apresenta os resultados obtidos do
programa ANSYS para o perfil com proteção tipo caixa segundo os TRRF de 30,
60, 90 e 120 minutos.
122
Tabela 5.13 – Temperatura no perfil com proteção tipo caixa durante o tempo de duração do incêndio desprezando-se a existência do ar no interior da cavidade.
Temperatura (°C) TRRF ( minutos ) Mesa inferior Alma Mesa superior
30 167 40 42 60 323 113 88 90 450 202 140 120 554 289 195
Da inspeção da Tabela 5.12, nota-se para o caso específico da alma, que os
valores obtidos são semelhantes aos da Tabela 5.13, porém, considerando-se o ar,
os resultados são mais conservadores.
A Figura 5.18 apresenta o campo de temperaturas do perfil VS 400x58
com proteção tipo caixa sem levar em conta a presença do ar no interior da
cavidade segundo o TRRF de 120 minutos. Nota-se a semelhança com o mapa de
cores da Figura 5.17.
Figura 5.18 - Temperatura no perfil com proteção tipo caixa para o TRRF de
120 minutos sem levar em conta a presença do ar na cavidade da caixa.
123
5.6 ANÁLISE COMPARATIVA
O objetivo desta seção é comparar os resultados obtidos pelo método de
cálculo avançado (ANSYS) com os do método simplificado (NBR, 1999). E para
tal, foram analisados três casos: o perfil sem proteção térmica (VS 650x144), o
perfil com proteção do tipo contorno (VS 400x58) e o perfil com proteção do tipo
caixa (VS 400x58).
Procedeu-se à análise térmica via MEF para o primeiro caso, onde as
características geométricas da viga mista encontram-se na Figura 5.10c e as
propriedades dos materiais na Tabela 5.9. Nos demais casos, a análise térmica foi
a mesma descrita na seção anterior. O incremento de tempo adotado foi de 20
segundos. Os pontos escolhidos para obtenção dos resultados numéricos
encontram-se na Figura 5.19. Os pontos (1), (2) e (3), correspondem,
respectivamente, a temperatura da mesa inferior, alma e mesa superior. Os
resultados da análise térmica via norma brasileira foram obtidos tal como descrito
no capítulo 3.
Figura 5.19 – Pontos escolhidos para obtenção dos resultados numéricos.
Na Figura 5.20, em seguida, estão representadas as curvas temperatura-
tempo do método simplificado e do método avançado de cálculo, em relação às
partes da viga de aço (mesa inferior, alma e mesa superior), para o caso do perfil
sem proteção térmica.
124
0100200300400500600700800900
10001100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Mesa inferior)
0100200300400500600700800900
100011001200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Alma)
0100200300400500600700800900
10001100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Mesa superior)
Figura 5.20 – Curvas temperatura-tempo do método simplificado e do método avançado de cálculo para o perfil sem proteção.
Na Figura 5.21, em seguida, estão representadas as curvas temperatura-
tempo do método simplificado e do método avançado de cálculo, em relação às
partes da viga de aço, para o caso do perfil com proteção do tipo contorno.
125
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Mesa inferior)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (°C)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Alma)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Mesa superior)
Figura 5.21 – Curvas temperatura-tempo do método simplificado e do método
avançado de cálculo para o perfil com proteção do tipo contorno.
126
Na Figura 5.22 estão representadas as curvas temperatura-tempo do
método simplificado e do método avançado de cálculo, em relação às partes da
viga de aço, para o caso do perfil com proteção do tipo caixa.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Mesa inferior)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Alma)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
tem
pera
tura
(°C
)
ANSYS NBR 14323
(Mesa superior)
Figura 5.22 – Curvas temperatura-tempo do método simplificado e do método avançado de cálculo para o perfil com proteção do tipo caixa.
127
5.7 COMPORTAMENTO TERMO-MECÂNICO
Em se tratando do desempenho estrutural da viga composta, um dos
fatores mais importantes, no que concerne ao seu dimensionamento, é a sua
capacidade resistente ao momento fletor positivo, principalmente, nos casos em
que é calculada como simplesmente apoiada. Assim, esta seção tem como objetivo
investigar o comportamento mecânico das vigas mistas, a partir do método
avançado de análise térmica.
O estudo foi realizado em duas etapas: a primeira representava análise
térmica e a segunda a análise estrutural. Foram estudados três casos: perfil sem
proteção, perfil com proteção total e o perfil com proteção parcial. A Figura 5.23
apresenta as dimensões (mm) e a geometria dos casos estudados.
(a)
(b)
Figura 5.23 – Características geométricas dos casos estudados: (a) viga com proteção total e (b) viga com proteção parcial.
128
Entende-se como proteção total, o revestimento térmico do tipo contorno
que envolve toda a seção metálica. Segundo WANG (1997), vigas mistas
protegidas parcialmente são aquelas onde apenas a mesa inferior e uma fração da
alma da seção de aço estão protegidas termicamente contra o fogo. Na viga com
proteção parcial (Figura 5.23b), o valor de 60 mm corresponde a 15% da altura
(400 mm) do perfil.
No que concerne à análise térmica, em se tratando do perfil de aço, os
pontos que representavam os centróides da mesa superior, alma e mesa inferior
foram escolhidos para obtenção dos resultados numéricos. Na laje de concreto foi
escolhida a seção crítica investigada na seção 5.3, a qual foi dividida em cinco
fatias iguais de 20 mm. A Figura 5.24 ilustra o que foi discutido acima. As
propriedades dos materiais foram as mesmas da seção 5.4 (Tabelas 5.9 e 5.10). O
incremento de tempo adotado foi de 60 segundos.
Figura 5.24 – Localização da seção e dos pontos para obtenção dos resultados
numéricos.
Na Figura 5.25, a seguir, estão representados os campos de temperaturas
de cada caso estudado para um tempo de duração do incêndio de 40 minutos. Na
situação de proteção parcial, percebe-se que a mesa inferior e a fração da alma que
estão protegidos apresentam um campo de temperaturas semelhante ao do perfil
com proteção total, enquanto que, nas regiões que não estão protegidas, o campo
de temperaturas assemelha-se ao do perfil sem proteção.
seção crítica
129
(Perfil sem proteção)
(Perfil com proteção parcial)
(Perfil com proteção total)
Figura 5.25 –Mapa de cores segundo o TRRF de 40 minutos.
130
A Figura 5.26 apresenta o desenvolvimento da temperatura na mesa
inferior para os três casos estudados.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Tempo(min)
Tem
p(°C
)
SEM PROTEÇÃO PROTEÇÃO PARCIAL PROTEÇÃO TOTAL
Figura 5.26 – Desenvolvimento da temperatura na mesa inferior da viga mista durante o tempo de duração do incêndio.
A Tabela 5.14 mostra os resultados numéricos para seção crítica da laje de
concreto. Os valores da temperatura são os mesmos para os três casos. Tanto a
temperatura nas fatias como a temperatura uniforme, θc, foram determinados
conforme a seção 5.3.
Tabela 5.14 – Temperatura nas fatias (°C) e a temperatura uniforme (θc) na seção crítica da laje ao longo do tempo de duração do incêndio.
FATIAS (mm) TEMPO (minutos) 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100
θc (°C)
10 278 71 26 21 20 83 20 436 165 58 28 21 141 30 539 252 104 45 27 193 40 613 325 154 71 39 240 50 669 386 202 101 57 283 60 714 439 248 134 80 323 70 752 484 290 168 106 360 80 784 524 329 201 133 394 90 812 559 366 234 160 426 100 837 591 400 266 188 456 110 859 621 431 297 215 485 120 880 648 461 326 241 511
131
Concluída a primeira etapa, a etapa seguinte era a que correspondia a
análise estrutural. Foi desenvolvido um programa para calcular à resistência ao
momento fletor positivo de vigas mistas em situação de incêndio. O software
comercial utilizado foi o MATHCAD.
O modelo adotado foi o de uma viga mista simplesmente apoiada,
pertencente a um edifício comercial. O perfil de aço tinha limite de escoamento de
250 MPa, enquanto que, à resistência característica do concreto à compressão era
de 18 MPa. Foram utilizados 21 conectores do tipo pino com cabeça (Stud Bolt)
de diâmetro 19 mm, cujo aço tinha limite de resistência à ruptura de 415 MPa. Os
conectores estavam devidamente espaçados entre a seção central (de momento
máximo) e do apoio (de momento nulo) como recomenda a NBR 8800, de modo
que se tivesse satisfeita a condição de interação completa. Os demais dados
necessários à análise estrutural encontram-se no APÊNDICE A, que faz a
demonstração do cálculo da capacidade resistente a momento, em situação de
incêndio, da viga mista com proteção parcial. O modelo estrutural seguiu aquilo
que foi discutido no capítulo 3.
Uma vez procedidas todas as análises, a Figura 5.27 apresenta a
distribuição do momento fletor positivo ao longo do tempo de duração do
incêndio para os três casos estudados. O momento fletor no tempo inicial (t = 0)
corresponde ao do dimensionamento a temperatura ambiente (20 °C).
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
tempo (min)
mom
ento
(KN
.m)
sem proteção proteção parcial proteção total
Figura 5.27 – Gráfico momento versus tempo da viga mista durante o tempo de exposição ao incêndio.
132
Da inspeção da figura anterior, percebe-se como a resistência à flexão da
viga diminui com o passar do tempo do incêndio. Nota-se que o perfil com
proteção total, naturalmente, é o de melhor desempenho estrutural seguido pelo
perfil com proteção parcial e depois o perfil desprotegido.
Como a mesa inferior responde por uma parcela importante do momento
fletor resistente, no caso específico do perfil com proteção parcial, seu isolamento
térmico foi necessário para garantir uma maior resistência quando comparada
àquela do perfil totalmente desprotegido, pelo menos até os primeiros trinta
minutos de duração do incêndio.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
6.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior foram apresentados os resultados numéricos do estudo
das vigas mistas em situação de incêndio. Basicamente, procurou-se realizar a
análise térmica transiente linear, e também a não-linear, através do software
comercial ANSYS. Procedeu-se também a análise simplificada da NBR 14323.
Na seção 5.1 foram discutidas as hipóteses de cálculo, como o modelo
físico e as condições inicial e de contorno presentes na análise.
A implementação computacional foi tratada na seção 5.2, que descreveu o
elemento finito e as funções de interpolação utilizadas na análise.
Na seção 5.3 foi investigado o comportamento térmico do perfil VS
300x28 com laje maciça e também com fôrma de aço incorporada, interligados
com o Stud Bolt, que procurou generalizar o comportamento da viga mista sem
proteção térmica perante o fogo.
Na seção 5.4 procedeu-se a análise térmica em três perfis de tamanhos
distintos, os quais estavam sem proteção térmica, com o objetivo de examinar o
comportamento da viga de aço e da laje de concreto maciça expostos ao incêndio.
Na seção 5.5, a utilização da proteção passiva contra incêndio foi
abordada. A análise térmica foi realizada para o perfil VS 400x58 sem proteção
térmica e com proteção térmica dos tipos contorno e caixa.
Na seção 5.6, os métodos avançado e simplificado de cálculo foram
comparados e, finalmente, na seção 5.7 foi discutido o comportamento termo-
mecânico das vigas mistas, com e sem proteção térmica, a partir do acoplamento
entre o método avançado de análise térmica e o método simplificado de análise
estrutural.
De posse dos resultados numéricos, que foram apresentados na forma de
gráficos e tabelas, esta seção tratará das considerações finais, onde serão debatidas
as conclusões alusivas ao capítulo anterior e, em seguida, as sugestões e
recomendação para trabalhos futuros.
134
6.2 CONCLUSÕES
Antes da conclusão propriamente dita, é preciso tecer alguns comentários
sobre as hipóteses de cálculo. A suposição de que os gases quentes no
compartimento em chamas respeitavam a curva do incêndio-padrão é uma
hipótese aceitável que precisa ser utilizada com senso crítico, pois ela não
representa o comportamento real do incêndio. Todavia, não só no Brasil como na
maioria dos países do mundo, ela ainda hoje é bastante utilizada, principalmente,
para auferir a resistência dos elementos estruturais sob altas temperaturas.
A outra hipótese que tratava da superfície superior da laje (lado que não
está exposto ao fogo), é razoável desde que o edifício reúna condições mínimas de
segurança contra o incêndio, como paredes corta-fogo, compartimentação vertical
e horizontal, chuveiros automáticos (Sprinklers) e etc, de modo a evitar a
propagação das chamas para outros ambientes.
A presença da laje de concreto, ou mista, sobreposta ao perfil de aço gerou
um gradiente térmico entre as mesas superior e inferior. Como não estava
totalmente exposta ao incêndio devido à presença da laje, a mesa superior
alcançou temperaturas menores do que a mesa inferior, a qual estava exposta ao
incêndio por todos os lados. Já a alma, além de possuir a maior temperatura na
seção mista, apresentou uma distribuição não-uniforme de temperatura, onde as
temperaturas aumentavam da mesa inferior para o centróide e diminuíam, a partir
deste, em direção à mesa superior.
Na laje maciça de concreto, e da mesma forma para a laje mista, também
ocorreu à presença de um forte gradiente térmico ao longo da altura (espessura),
devido à diferença de temperatura entre o lado que estava, e o outro que não,
exposto ao fogo.
O fator de massividade é um item importante no dimensionamento de
elementos estruturais em situação de incêndio, pois ele dirá qual perfil irá
aquecer-se mais rapidamente para um determinado tempo duração do incêndio
(TRRF). O método avançado comprovou o fato após a análise três perfis
metálicos de tamanhos distintos. Aquele com maior fator de massividade
esquentou mais rapidamente que os demais, durante os primeiros trinta minutos de
exposição ao fogo. Portanto, quando do dimensionamento da viga mista,
recomenda-se à escolha de perfis com menor fator de massividade.
135
Uma outra observação importante é que quanto menor for a massa
específica linear (kg/m) e mais compacto for o perfil, existirá à tendência de uma
distribuição mais uniforme da temperatura na seção transversal de aço, ou seja, a
temperatura em todo perfil se aproximará da temperatura alcançada pela alma.
A laje de concreto desempenha papel importante quanto ao
comportamento estrutural da viga mista, pois ela contribui com parcela
significativa do momento resistente de cálculo. Admitindo-se à hipótese da
condição de contorno de convecção natural, verificou-se que os valores
encontrados para distribuição uniforme de temperatura ao longo da altura da laje
eram por demais diferentes, visto que, a temperatura determinada pelo MEF, para
um TRRF de 120 minutos, por exemplo, chegou a ser 30% maior que a da norma
brasileira (Tabela 5.8). É importante dizer que o gradiente térmico ao longo da
altura da laje de concreto é diferente para cada situação física a que estiver sujeita
a parte superior da laje, todavia, qualquer que seja a situação física, o campo de
temperaturas no perfil metálico não sofrerá modificação.
O material empregado na proteção passiva contra incêndio retardou a
velocidade do aquecimento da viga mista. Além disso, ele também protegeu a laje
de concreto na região imediatamente acima do flange superior. Este fato é
importante porque caso um conector de cisalhamento fosse instalado ali, ele
atingiria temperaturas menores do que se fosse instalado em um perfil sem
proteção. A proteção térmica do tipo caixa se mostrou mais eficiente do que a do
tipo contorno, porque além do material empregado como isolante térmico, existia
à presença do ar no interior da cavidade da caixa. Foi observado também, que a
temperatura não é uniforme ao longo da seção metálica, principalmente, na região
da mesa inferior que se encontrava em contato direto com a proteção passiva do
tipo caixa, a qual apresentou as maiores temperaturas da seção.
Em se tratando da análise comparativa entre os métodos, para o caso da
viga mista sem proteção e com proteção térmica do tipo contorno, a melhor
concordância de resultados ocorreu em relação à mesa inferior. Na alma pôde ser
observado uma divergência de resultados não muito acentuada, mas que existiu
porque a NBR 14323 recomenda que a temperatura da alma seja igual a da mesa
inferior (hipótese aceitável em perfis de altura moderada), e também pela escolha
do centróide como ponto representativo da temperatura na alma, isto é, ali, a favor
da segurança, representava a máxima temperatura alcançada pela alma. A mesa
136
superior também apresentou divergência de resultados, que se explica pelo fato da
NBR 14323 não levar em consideração a presença da laje de concreto sobreposta
ao perfil, portanto, não há troca de calor na interface aço-concreto.
A maior discrepância de resultados ocorreu para a viga mista com proteção
do tipo caixa. A NBR 14323 não leva em consideração a presença do ar no
interior da cavidade e admite uma distribuição de temperatura uniforme na peça
de aço. Por outro lado, como foi dito anteriormente, existem três mecanismos de
transmissão de calor que ocorrem concomitantemente em fluidos, principalmente,
no estado gasoso. Neste trabalho, conforme HOLMAN (1983), procurou-se adotar
apenas o mecanismo da condução de calor em detrimento aos demais. Todavia, a
favor da segurança, os resultados do método simplificado se mostraram mais
conservadores que os do método de cálculo avançado.
De acordo com a análise termo-mecânica, a capacidade resistente a
momento da viga mista biapoiada sem proteção térmica cai para 5% em relação a
da mesma viga a temperatura ambiente, para um tempo de duração do incêndio de
60 minutos. Sendo assim, o ideal seria proteger todas as vigas contra o fogo,
entretanto, o custo inerente a esse processo construtivo é por demais caro.
Segundo CLARET (2000), estima-se que no Brasil o custo com a
proteção passiva estrutural esteja entre 5% e 25% do custo total da obra. Partindo-
se da hipótese de que é preciso revestir as vigas com proteção total, uma
alternativa seria a utilização da proteção parcial. Neste caso, a espessura requerida
do material de revestimento térmico, para garantir o mesmo nível de capacidade
resistente a momento, deveria ser de duas a três vezes maior que a espessura da
proteção total (WANG, 1998).
Para situações cujo custo do material empregado na proteção total e parcial
seja similar, justifica-se o uso da proteção parcial porque o custo com a instalação
do material é bem menor do que o da proteção total. Contudo, o emprego da
proteção parcial é aceitável como uma alternativa para redução de custos, desde
que, utilizada com cuidado, pois o ideal é a proteção térmica total, seja do tipo
contorno, seja do tipo caixa.
137
6.3 SUGESTÕES
Como sugestões, de modo a dar prosseguimento ao estudo que foi aqui
realizado, e baseado no atual estágio de desenvolvimento tecnológico da área de
segurança contra incêndio em edifícios, sugere-se:
• Dar continuidade à análise térmica das vigas mistas, através do método
avançado de cálculo, utilizando-se as curvas parametrizadas do Eurocódigo
(incêndio natural), e comparar os resultados obtidos com os da curva padronizada
(incêndio-padrão);
• Realizar análise térmica em sistemas de lajes mistas por meio do método
avançado de cálculo, e associar esses resultados aos do método de
dimensionamento simplificado proposto pela NBR 14323;
• Realizar análise térmica e estrutural acopladas, via método avançado de
cálculo, de vigas mistas em situação de incêndio, e daí tirar conclusões sobre as
ações que provavelmente causariam o colapso do elemento estrutural.
6.4 RECOMENDAÇÃO PARA TRABALHOS FUTUROS
Vários países no mundo têm investido em programas de testes de incêndio
reais em edifícios, para conhecer corretamente o comportamento de suas
estruturas e propor critérios de cálculo mais realísticos do que os convencionais.
Entre janeiro de 1995 e julho de 1996, foi desenvolvido um programa de
ensaios de incêndio nos laboratórios Building Research Establishment´s
Cardington do Reino Unido. Os testes foram realizados em um edifício típico de
escritório do Reino Unido, construído especificamente para este fim. O edifício
ensaiado tinha oito pavimentos, área construída por andar de 945 m2 e uma altura
de 33 m. As vigas eram mistas com fôrma de aço incorporada e consideradas na
análise como simplesmente apoiadas.
138
Os Ensaios de Cardington comprovaram que a verdadeira resistência ao
fogo está associada à estrutura como um todo, pois se deveria levar em
consideração a interação entre os elementos estruturais, seus vínculos e a
transmissão de carga entre eles. Apenas para exemplificar, um dos ensaios de
Cardington tinha a intenção de investigar o comportamento da viga de piso sujeita
à ação mista da laje e do perfil de aço e a restrição na conexão viga/coluna. Como
resultado, o colapso da viga simplesmente apoiada, que ocorre em ensaios
padronizados, não ocorreu para a estrutura mista ensaiada, apesar da viga ter
alcançado a temperatura de 900 °C.
Segundo ROBINSON (2001), a partir dos Ensaios de Cardington, a
tendência mundial é envolver no projeto de resistência ao fogo toda estrutura e
não mais elementos estruturais individuais. Portanto, como recomendação,
propõe-se que sejam desenvolvidos trabalhos que sigam essa diretriz mundial, de
maneira que venham a contribuir para o avanço do atual estágio de
desenvolvimento tecnológico da área de segurança contra incêndio em edifícios.
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APÊNDICE A
MOMENTO FLETOR RESISTENTE DE CÁLCULO EM SITUAÇÃO DE
INCÊNDIO DA VIGA MISTA PROTEGIDA PARCIALMENTE
AÇO: CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS: bfi 200:= mm largura da M.inferior bfs 200:= mm largura da M. superior tfi 9.5:= mm espessura da M. inferior tfs 9.5:= mm espessura da M. superior tw 6.3:= mm espessura da alma d 400:= mm altura h 381= mm altura entre as mesas PROPRIEDADES MECÂNICAS: fy 250:= MPa limite de escoamento do aço ASTM A36 CURVA DO FATOR DE REDUÇÃO DO LIMITE DE ESCOAMENTO: (Temperatura do aço) (Redução para o limite de escoamento do aço)
θa0
012
3
45
67
8
910
1112
20100200
300
400500
600700
800
9001000
11001200
:= ka0
01
23
4
5
67
8
9
10
1112
11
11
1
0.78
0.470.23
0.11
0.06
0.04
0.020
:=
147
Ajustamento de curvas via Interpolação Linear ky θ( ) linterp θa ka, θ,( ):= (função de ajuste dos pontos)
0 200 400 600 800 1000 12000
0.25
0.5
0.75
1
ky θ( )
θ
CONCRETO: CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS: b 1500:= mm largura efetiva da laje de concreto tc 100:= mm espessura da laje de concreto PROPRIEDADES MECÂNICAS: fckn 18:= MPa resistência característica à compressão do concreto γc 24:= KN/m3 peso específico do concreto CURVA DO FATOR DE REDUÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DO CONCRETO:
148
(Temperatura do concreto) (Redução para resistência à compressão do concreto) Ajustamento de curvas via Método da Spline: kcn θ( ) linterp θc kc, θ,( ):= (função de ajuste dos pontos)
0 200 400 600 800 1000 12000
0.25
0.5
0.75
1
kcn θ( )
θ
CONECTOR DE CISALHAMENTO - STUD BOLT: Dsc 19:= mm diâmetro nominal Asc 283.529= mm2 área da seção transversal fu 415:= MPa limite de resistência à tração n 21:= quantidade de conectores entre as seções de momento máximo e nulo
θc0
012
3
45
6
7
89
10
1112
20100200
300
400500
600
700
800900
1000
11001200
:= kc0
01
2
3
4
5
6
7
89
10
11
12
10.95
0.9
0.85
0.75
0.6
0.45
0.3
0.150.08
0.04
0.01
0
:=
149
TEMPERATURA NA SEÇÃO TRANSVERSAL DA VIGA DE AÇO:
(M. inferior) (Alma) (M. superior) obs: os valores da temperatura variam de 0 até 12, que representam os TRRF de 0 à 120 minutos. TEMPERATURA UNIFORME NA LAJE DE CONCRETO: Obs: os valores da temperatura variam de 0 até 12, que representam os TRRF de 0 à 120 minutos.
θw0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20601
764
833
879
914
943
966
986
1004
1020
1035
1048
:=θb0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20143
315
460
579
674
751
813
862
903
937
965
989
:= θt0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20329
573
708
788
841
880
912
938
960
980
997
1013
:=
θcon0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2083
141
193
240
283
323
360
394
426
456
485
511
:=
150
VERIFICAÇÃO QUANTO A INTERLIGAÇÃO NA INTERFACE AÇO-CONCRETO: Ec θ( ) 42 γc
1.5⋅ kcn θ( ) fckn⋅⋅:= (Módulo de Elasticidade do concreto)
qfiRd1 θ( ) 0.5 Asc⋅ kcn θ( ) fckn⋅ Ec θ( )⋅⋅ 10 3−
⋅:= (Resistência mecânica do Sutd Bolt) qfiRd2 θ( ) Asc ky θ( )⋅ fu⋅ 10 3−
⋅:= INTERAÇÃO
Cfid 0.85 kcn θconi( )⋅ fckn⋅ b⋅ tc⋅ 10 3−⋅←
Afyfia ky θbi( ) bfi⋅ tfi⋅ ky θwi( ) h⋅ tw⋅+ ky θti( ) bfs⋅ tfs⋅+( ) fy⋅ 10 3−⋅←
AUX0 qfiRd1 θti 0.40⋅( )←
AUX1 qfiRd2 θti 0.80⋅( )←
QfiRd if AUX0 AUX1> AUX1, AUX0,( ) n⋅←
ni " COMPLETA"← QfiRd Afyfia≥if
ni " PARCIAL"← otherwise
Cfid Afyfia≥if
ni " COMPLETA"← QfiRd Cfid≥if
ni " PARCIAL"← otherwise
Cfid Afyfia<if
i 0 12..∈for
n
:=
INTERAÇÃO
001
23
45
67
89
1011
12
" COMPLETA"" COMPLETA"
" COMPLETA"" COMPLETA"
" COMPLETA"" COMPLETA"
" COMPLETA"" COMPLETA"
" COMPLETA"" COMPLETA"
" COMPLETA"" COMPLETA"
" COMPLETA"
=
obs: os valores de 0 até 12 representam os TRRF de 0 à 120 minutos.
151
MOMENTO FLETOR RESISTENTE DE CÁLCULO:
MfiRd
Cfid 0.85kcn θconi( )⋅ fckn⋅ b⋅ tc⋅ 10 3−⋅←
Afyfia ky θbi( ) bfi⋅ tfi⋅ ky θwi( ) h⋅ tw⋅+ ky θti( ) bfs⋅ tfs⋅+( ) fy⋅ 10 3−⋅←
aAfyfia 103
⋅
0.85kcn θconi( )⋅ fckn⋅ b⋅←
Mfii fy ky θbi( )⋅ bfi tfi⋅ d tc+( )tfi a+( )
2−
⋅
⋅ fy ky θwi( )⋅ h tw⋅ tfs tc+h a−( )
2+
⋅
⋅+
fy ky θti( )⋅ bfs tfs⋅ tctfs a−( )
2+
⋅
⋅+
...←
Cfid Afyfia≥if
AUX0 Cfid ky θti( ) bfs⋅ tfs⋅ fy⋅ 10 3−⋅+←
AUX1 ky θbi( ) bfi⋅ tfi⋅ fy⋅ ky θwi( ) h⋅ tw⋅ fy⋅+( ) 10 3−⋅←
yp 0.5Afyfia Cfid−( )
ky θti( ) bfs⋅ fy⋅ 10 3−⋅⋅←
Mfii Cfid yptc2
+
⋅ ky θti( ) fy⋅ bfs⋅yp2 tfs yp−( )2
+ 2
⋅+
ky θbi( ) fy⋅ bfi tfi⋅ d yp−tfi2
−
⋅
⋅ ky θwi( ) fy⋅ h tw⋅ tfs yp−h2
+
⋅
⋅++
...←
AUX0 AUX1≥if
ypky θbi( ) bfi⋅ tfi⋅ ky θwi( ) h⋅ tw⋅+ ky θwi( ) 2⋅ tfs⋅ tw⋅+ ky θti( ) bfs⋅ tfs⋅−( )( ) fy⋅ Cfid 103
⋅−
2 ky θwi( )⋅ tw⋅ fy⋅←
Mfii Cfid yptc2
+
⋅ ky θti( ) fy⋅ bfs⋅ tfs⋅ yptfs2
−
⋅+ ky θbi( ) fy⋅ bfi⋅ tfi⋅ d yp−tfi2
−
⋅+
ky θwi( ) fy⋅ tw 0.5⋅ yp tfs−( )2⋅ h yp− tfs+( )2+ ⋅+
...←
AUX0 AUX1<if
Cfid Afyfia<if
MfiRdi Mfii 10 6−⋅←
i 0 12..∈for
MfiRd
:=
152
MfiRd
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
413335
274
224
142
82
52
35
29
23
21
19
17
= KN x m
obs: os valores para o momento fletor positivo de cálculo variam de 0 até 12, que representam os TRRF de 0 à 120 minutos.
