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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
MÁRCIA APARECIDA BALDIM
Resolução de problemas como metodologia de ensino e
aprendizagem de equações do 1º grau
Londrina - 2008
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MÁRCIA APARECIDA BALDIM
Resolução de problemas como metodologia de ensino e
aprendizagem de equações do 1º grau
Produção Didático Pedagógica – Unidade Didática - apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional, realizado na Universidade Estadual de Londrina, área curricular Matemática.
Orientador: Profº. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho
Co-orientadora: Profª Ms. Loreni Aparecida Ferreira Baldini
Londrina - 2008
3
DEDICATÓRIA
Aos meus pais Rinalda e Laurindo e a minha filha Cássia, pelo amor e carinho, dedicação, compreensão e contribuição em todos os momentos.
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AGRADECIMENTOS
À Deus, porque sem ele nada seria possível. Ao Professor Dr. Túlio Oliveira de Carvalho, pela amizade, compreensão e pela sabedoria na orientação deste trabalho. À Professora Ms. Loreni Aparecida Ferreira Baldini pela co-orientação, sem qual não seria possível coletar as informações. A todos os professores do Programa de desenvolvimento Educacional, pela competência, pelo o nível de qualidade do curso e por todo conhecimento propiciado. Aos meus colegas de turma pela troca de conhecimento, experiências e pela amizade.
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SUMÁRIO
• Íntrodução..................................................................................... 07
• Capítulo I ..................................................................................... 09
• 1. Objetivos ............................................................................... 09
• 1.1.Objetivos Gerais .................................................................... 09
• 1.2. Objetivos específicos ........................................................... 09
• 1.3. Problemas/Problematização ................................................. 09
• Capítulo II .................................................................................... 10
• 2. Revisão Bibliográfica ............................................................... 10
• 2.1. Resolução de problemas ...................................................... 10
• 2.2. Álgebra ................................................................................. 15
• 2.3. Equações ............................................................................. 17
• Capítulo III ................................................................................... 21
• 3. Metodologia ............................................................................. 21
• 3.1. Problemas resolvidos ........................................................... 22
• 3.2. História das equações .......................................................... 26
• 3.3. Problemas que podem ser dados antes do conteúdo de
equações do primeio grau ................................................................. 27
• 3.4. Figuras com o objeto de ajudar a inventar problemas e
desta forma poder contribuir na escrita dos relatórios ...................... 29
• 3.5. Problemas que podem ser resolvidos com o algirítmo
da Equação de primeiro grau ........................................................... 30
• 4. Avaliação................................................................................... 34
• 5. Considerações finais ................................................................ 35
• 6. Referências bibliográficas ........................................................ 36
6
QUADROS E FIGURAS
QUADROS
• Quadro 1 – Comparação entre procedimentos com uma aula
tradicional com a aula de Resolução de Problemas ...................... 11
• Quadro 2 – Fases da Resolução de Problemas ........................ 12
• Quadro 3 – Concepções da Álgebra ......................................... 16
• Quadro 4 – O quadrado dos 100 ............................................... 27
FIGURAS
• Figura 1 ..................................................................................... 19
• Figura 2 ..................................................................................... 29
• Figura 3 ..................................................................................... 29
• Figura 4 ...................................................................................... 30
• Figura 5 ...................................................................................... 30
• Figura 6 ...................................................................................... 31
• Figura 7 ...................................................................................... 32
• Figura 8 ...................................................................................... 32
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Introdução
O tópico de equações do primeiro grau tem um papel da maior
relevância na aprendizagem da Matemática na 6ª série. É fundamental que o aluno
tenha um desenvolvimento aritmético e algébrico nesta série e o professor conheça
os instrumentos que favoreçam o ensino deste tema, para que possam integrar a
sua prática de ensino.
Muitas vezes ouvimos os nossos alunos dizerem que tudo fica mais
complicado quando as letras se juntam aos números. Estas reações devem-se,
principalmente, ao fato de sentirem dificuldade em compreender o significado dos
símbolos, a linguagem formal própria da Álgebra e todas as regras e procedimentos
que lhe estão associados, bem diferentes do trabalho realizado nos primeiros anos
de escola, na Aritmética.
O ensino da matemática baseado na resolução de problemas é uma
idéia que tem sido muito discutida, nos últimos anos, bem como o desenvolvimento
da tecnologia que coloca cada vez mais desafios ao professor, aos alunos e aos
investigadores.
Neste trabalho procura-se avaliar a capacidade dos alunos em
resolver problemas dando sentido ao pensamento algébrico e evitando a prática
repetitiva comum em alguns livros texto. É nossa intenção tirar proveito da
linguagem verbal e escrita, com vistas a mostrar ao aluno o quanto ele já sabe de
álgebra, conduzindo-o progressivamente a usar o simbolismo algébrico.
Lembramos também que o trabalho em grupo na Resolução de
Problemas tem uma grande importância, pois, constitui o suporte fundamental no
ensino aprendizagem, possibilita comunicação social, a interação, a troca de
informações, dando oportunidade para que os alunos negociem significados. As
argumentações dos participantes podem ser organizadas e sintetizadas em
relatórios: a indução à produção escrita constitui um aspecto fundamental da
metodologia aqui proposta.
De acordo com Schoen (1997), a metodologia de Resolução de
Problemas pode vir a ser eficaz em um curso de álgebra, pautada pela discussão de
problemas variados e com a finalidade de provocar no aluno a justificativa para a
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simbologia sem perder de vista a aplicação. Esta é a hipótese de trabalho que nos
guiou à redação desta unidade didática.
Este trabalho é organizado da seguinte forma. No primeiro capítulo
apresentamos os objetivos e a problematização, tecendo breves comentários. No
segundo capítulo, é feita a revisão bibliográfica, a qual aborda a Resolução de
Problemas, aspectos da álgebra e mais especificamente das equações do primeiro
grau. No terceiro capítulo, detalhamos a Metodologia, efetivamente propondo alguns
problemas resolvidos para serem trabalhados em sala, seguindo as etapas de Pólya.
Ao final deste capítulo, apresentamos sugestões de problemas que iremos propor
aos alunos, em dois grupos: o primeiro com o fim de introduzir a metodologias de
Resolução de Problemas, e o segundo já pressupondo nos estudantes o
conhecimento das habilidades algébricas. No capítulo final, fazemos uma breve
avaliação da proposta, tecendo considerações finais.
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CAPÍTULO ICAPÍTULO ICAPÍTULO ICAPÍTULO I
1. OBJETIVOS
1.1. Objetivos Gerais
Selecionar problemas que possam proporcionar aos alunos
experiências de aprendizagem significativas, visando capacitá-los a representar
relações simbolicamente e compreender questões no tema de equações do 1º grau.
1.2. Objetivos Especificos
� Avaliar as dificuldades mais freqüentes dos alunos no tema de
equações do 1º grau;
� Identificar as etapas de aprendizado da álgebra na 6ª série.
1.3 Problema/problematização
� Que estratégias adotam os alunos para descrever e para resolver
problemas?
� Que compreensão da linguagem algébrica se revela na 6ª série?
� Que evolução os alunos apresentam após a aplicação das estratégias
da metodologia de Resolução de Problemas?
A preocupação que destacamos sobre este tópico da Matemática
na sexta série é sobre a linguagem algébrica. Acreditamos que a abordagem através
da Resolução de Problemas, pelo uso de problemas interessantes e com forte
caráter interpretativo, venha a potencializar a compreensão pelos alunos da
significação das expressões algébricas, além de torná-los aptos a manipulá-las.
10
CAPÍTULO ICAPÍTULO ICAPÍTULO ICAPÍTULO IIIII
2. REVISÃO BIBLIOGRAFICA
Na revisão bibliográfica abordamos a Resolução de Problemas,
alguns aspectos teóricos da álgebra e da equação do primeiro grau.
2.1 Resolução de Problemas
Garbi (2007) relata que entre todos os documentos contendo
problemas matemáticos da antiguidade que temos conhecimento nos dias de hoje,
os mais famosos são o Papiro de Rhind de 1650 a. C. com 85 problemas e o Papiro
de Moscou de 1850 a. C. com 25 problemas. Neles, o registro é verbal, por não
disporem da simbologia à qual estamos atualmente habituados. Apesar disto,
mostram um conhecimento notável para a época. Este aspecto histórico coloca-se
como uma primeira justificativa para que se tenha uma atitude mais aberta em
relação à produção escrita dos alunos. A metodologia de Resolução de Problemas
vem de encontro a isto, ao considerar que o aluno possa descrever as atividades
verbalmente para depois levá-lo ao uso do símbolo.
Desde o início da história escrita, os povos se interessaram em aplicar a matemática a situações descritas verbalmente. No século XX também, com um hiato de vinte anos nas décadas de 60 e 70, uma das metas importantes da matemática escolar tem sido a solução de aplicações e de problemas. (SCHOEN, 1997, p. 135).
A procura por significados dos simbolos junto com a Resolução de
Problemas faz com que haja algumas diferenças em realizar aulas tradicionais ou
por meio de Resolução de Problemas.
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Quadro 1 - Comparação entre procedimentos em uma au la tradicional com a aula de Resolução de Problemas Tendência tradicional Tendência da Resolução de
Problemas
1) O Professor explica a matéria (teoria).
1) O professor apresenta um problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).
2) O professor mostra exemplos 2) Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.
3) O professor propõe “exercìcios” semelhantes aos exercícios dados para que os alunos resolvam.
3) Quando os alunos encontram algum obstáculo o professor os auxilia por exemplo com a re(visão) do conteúdo.
4) O Professor (ou aluno) resolve no quadro os exercícios.
4) Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os do conteúdo necessário.
5) O professor propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão semelhantes aos exemplos que ele resolveu.
5) O professor apresenta outro problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).
6) O professor (ou um aluno) resolve os exercìcios no quadro.
7) O professor propõe “problemas”, se for o caso, ou mais “exercícios”.
8) Correção dos “problemas” ou dos “exercícios”.
9) O professor começa outro assunto. Fonte:
Para Lester (1983 apud Buriasco, 1995), “problema” é uma situação
que o individuo ou um grupo quer ou precisa resolver e para o qual não dispõe de
um caminho rápido e direto que o leve à solução. Problemas matemáticos para a
maioria dos alunos são uma barreira que precisam enfrentar no aprendizado da
matemática, pois esses têm dificuldade em identificar o raciocínio que deve ser
utilizada para a sua resolução, a pesquisa em matemática tem seu esteio em
problemas abertos sem solução, por outro lado, há problemas que possuem
diversas soluções.
Segundo Pólya (2006 p.4), a Resolução de Problemas envolve
quatro fases: Compreensão do Problema, Estabelecimento de um Plano, Execução
12
do Plano e Retrospecto. Em resumo, estas fases se caracterizam pelos aspectos
que descrevemos no quando a seguir.
Quadro 2 – Fases da Resolução de Problemas COMPREENSÂO DO PROBLEMA
Primeiro
É preciso compreender o problema
È preciso que o aluno compreenda o problema, descrevendo as relações entre dados e incógnitas, podendo usar figuras, diagramas ou adotar uma notação que julgue adequada.
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Segundo
Encontre a conexão entre os dados e a incógnita
Baseando-se em conhecimentos já adquiridos ou considerando problemas auxiliares, o aluno deve procurar encontrar uma conexão imediata com um problema correlato. É preciso chegar afinal a um plano de resolução.
EXECUÇÃO DO PLANO Terceiro
Execute o seu plano
Esta pode ser a parte mais fácil do processo desde que as fases anteriores estejam corretas. Por outro lado, somente executando seu plano, verá o aluno a necessidade de correções às etapas anteriores.
RETROSPECTO Quarto
Examine a solução obtida
Examinar a solução obtida, nesta fase poderá ser revisado todo o processo e perceber se existe um modo diferente para o problema ser resolvido.
Há diferenças entre fazer uma aula apresentando a solução de
exercícios e a metodologia de Resolução de Problemas. Enquanto na resolução de
exercícios os estudantes dispõem de mecanismos e técnicas que os levam, de
forma imediata, à solução, na Resolução de Problemas isto não ocorre, porque,
muitas vezes, é preciso entender os problemas, traçar um plano, executar e testar.
Desta forma, uma mesma situação pode ser fácil para alguns e mais difícil para
outros, dependendo do conhecimento que cada aluno tem. Deve-se finalmente fazer
os alunos assumirem a responsabilidade de serem capazes de resolver problemas
(PARANÁ 2008 p 36).
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Butts (1997) classifica o conjunto de problemas matemáticos em
cinco subconjuntos;
1. Exercícios de reconhecimento: são exercícios que lembram um fato,
uma definição ou o enunciado de um teorema.
Ex: Assinale a equação polinomial do 1º grau
a. 6 + 2 = 10 - 2
b. 2x – 4 =12
c. 4x < 3 + 7x
2. Exercícios de algoritmos: São exercícios que podem ser resolvidos
passo a passo, freqüentemente um algoritmo numérico.
Ex: Calcule:
21 ÷ 3 + 4(7 – 6)
Resolva:
4x – 8 = 21
3. Problemas de aplicação: são os problemas tradicionais, para a sua
resolução deve-se se fazer sua formulação simbólica e manipulação
simbólica mediante algoritmos diversos.
Ex: O triplo de um número mais cinco é igual a vinte. Qual é esse
número?
4. Problemas de pesquisa aberta: são problemas cujos enunciados não
indicam nenhuma estratégia para solução.
Ex: Uma empresa de correios vende apenas selos de dois tipos: 7
centavos e 9 centavos. Como pode ser postada uma carta de 32
centavos?
5. Situações-problema: são aquelas nas quais a primeira coisa a fazer é
identificar o problema inerente, cuja solução vai ajudar a “manejar” as
próprias situações.
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Ex: Verificar qual é o desperdício causado por uma torneira que está
gotejando.
Resolver problemas só terá significado se a escolha dos problemas for
adequada à prática de sala de aula e ao interesse dos alunos.
Uma grande parte das atividades que constam dos livros didáticos são das três primeiras categorias. A característica comum às três é o fato de conterem a estratégia para sua resolução nos próprios enunciados. Por essa razão, apenas os problemas das duas últimas categorias são considerados problemas de fato (BURIASCO 1995).
Segundo Musser e Shaughnessy (1997), as principais
estratégias de resolução de problemas que podem ser ensinadas nas escolas;
1) Tentativa-e-erro: talvez esta estratégia seja a mais usada para a
resolução de exercícios.
2) Padrões: esta estratégia considera casos particulares do problema e
chega-se à solução através da generalização
3) Resolver um problema mais simples : esta estratégia um problema com
uma versão mais resumida, passando depois para a generalização.
4) Trabalhar em sentido inverso: difere dos anteriores pelo fato de partir do
resultado, para o que deve ser encontrado.
5) Simulação: a solução de um problema compreende preparar e realizar um
experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada na análise dos
dados.
A procura dos significados dos símbolos e as estratégias de
Resolução de Problemas não devem ser vistos como um conjunto de regras e sim
em como um processo facilitador para o aluno.
O grande problema para o professor deve ser o de articular o seu conhecimento com as hipóteses elaboradas pelos seus alunos, sem cair no grave erro de adotar como pressuposto
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que aquilo que ele acha que sabe é uma verdade absoluta, ou que não pode ser pensado de modo diferente... Disposto a ouvir o que têm a dizer seus alunos, o professor será surpreendido com as múltiplas interpretações. (VIANNA 2002 p. 401-410)
Será importante respeitar o ritmo da aprendizagem em geral, e
principalmente na Resolução de Problemas levando em conta o conhecimento
prévio dos alunos e sem dar dicas demais, aceitar compreensões parciais e
identificar certos tipos de erros e dificuldades, e a partir daí construir um
conhecimento correto do significado de equações do primeiro grau.
2.2. Álgebra
Um grave problema do ensino da Álgebra é que ele tem se limitado,
em grande parte, à aplicação de regras e procedimentos, principalmente através da
resolução de exercícios repetitivos. Deste modo, o que é pedido aos alunos é que
saibam aplicar essas regras e procedimentos numa determinada expressão, sem
que percebam a sua estrutura, o seu significado ou aplicações aos problemas fora
dos livros.
A álgebra começa como a arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representam números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes espécies de números [...] e que as regras inclusive se aplicam a coisas [...] que de maneira nenhuma são números. Um sistema algébrico, como veremos, consiste em um conjunto de elementos de qualquer tipo sobre os quais operam funções como a adição e a multiplicação, contando apenas que essas operações satisfaçam certas regras básicas. (LANE E BIRKHOFF apud USISKIN, 1995, p.9)
Usiskin (op, cit.1995, p. 13), afirma, ainda, que as finalidades para
Álgebra relacionam-se com diferentes concepções da Álgebra, que se
correspondem à diferente importância dada aos vários usos das variáveis. As
concepções são apresentadas no quando 3.
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Quadro 3 – Concepções da Álgebra
Concepções da álgebra Uso das variáveis Resumo sim plificado Aritmética generalizada Generalizações e
Modelos (traduzir e generalizar)
Noção que é fundamental na modelagem matemática
Meio de resolver certos problemas
Incógnitas, constantes (resolver e simplificar)
Álgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, em que temos a variável como incógnita
Estudo de relações Argumentos, parâmetros (relacionar, gráficos)
Álgebra como o estudo de relações entre quantidades, podendo a variável ser um argumento, seja um valor do domínio da função, ou um parâmetro, seja um número do qual outros dependam
Estrutura Sinais arbitrários no papel (manipular, justificar)
Álgebra como o estudo de estruturas, em que a variável é um objeto arbitrário numa estrutura relacionada por certas propriedades
O conceito de variável que os alunos desenvolvem vai depender
das concepções da Álgebra que serão abordadas ao longo de toda a escolaridade,
tendo em vista que a abordagem por meio de resolver certos problemas tem como
objetivo a resolução de equações e a interpretação da letra como incógnita.
As tentativas mais superficiais de descrever a atividade algébrica têm em comun o fato de ficarem apenas na primeira parte do trabalho: a associação com conteúdos é imediata, e a caracterização pára por ai: atividade algébrica é resolver problemas de álgebra (resolver equações, por exemplo), sejam eles problemas‘descontextualizados’ ou parte da solução de problemas contextualizados. Em resumo, a atividade algébrica é descrita como ‘fazer ou usar álgebra’. A versão mais banal dessa posição é a que descreve a atividade algébrica como’ calcular com letras. (LINS, GIMENES, 1997 p. 90).
17
É fundamental que o professor conheça métodos atuais que
facilitem o ensino deste tema e não leve a uma “técnica automática” de um
“simbolismo extremado”, com vista ao desenvolvimento do pensamento algébrico
dos alunos. Incentivar o aluno a falar ou descrever o problema pode ser uma ponte
para o simbolismo algébrico, o entendimento e a resolução do problema.
Schoen (1997) destaca no capítulo de “Resolução de Problemas”, a
importância de fornecer um vínculo entre o conteúdo algébrico, e o desenvolvimento
de aptidões para resolvê-los e não apenas para desenvolver técnicas algébricas,
mas para dar um significado para o conteúdo algébrico, citando seis recomendações
básicas para um curso de álgebra:
• Basear a aprendizagem de coisas novas no conhecimento e na compreensão
que os alunos já têm.
• Levar gradualmente da verbalização ao simbolismo algébrico.
• Introduzir os tópicos de álgebra com aplicações.
• Ensinar os tópicos de álgebra a partir da perspectiva de como eles podem ser
aplicados.
• Ensinar a modelar processos heurísticos específicos como auxiliares para a
compreensão e resolução de problemas.
• Comprometer os alunos com a resolução de problemas.
O que nos propomos é romper com a conduta histórica que tem
sido de ensinar a álgebra resumindo-a a procedimentos mecânicos, com a maestria
da linguagem matemática. Apesar de que alguns alunos cheguem a dominar estes
procedimentos, automatizando-os, o que de fato tem importância para o aprendizado
na 6ª série, nossa reflexão é que este se torna mais significativo ao passar pela
interpretação e discussão dos problemas.
2.3. Equações
As letras da equação representam números desconhecidos e são
chamadas incógnitas. O conceito de equações exige a compreensão do significado
18
do sinal de igual e do número desconhecido. Segundo (Barroso 2006, p. 161):
“Equação é toda sentença matemática com letras expressa por uma igualdade”.
Uma concepção (decerto limitada) das equações é que se trata de
calcular com letras. A letra, porém, representa uma incógnita, que pode ter uma
interpretação prática. Os cálculos algébricos dependem da correta manipulação dos
símbolos e das operações.
Essa é a perspectiva que estabelece, definitivamente, nossa afirmação de que a atividade algébrica e a atividade aritmética acontecem juntas, embora em planos diferentes. (LINS,GIMENES,1997, p. 122)
Kieran (1995) relata sobre algumas abordagens na resolução de
uma equação do primeiro grau com uma incógnita. A primeira sobre as partes
diferentes de uma equação, como o símbolo da igualdade e o termo desconhecido;
a segunda sobre a resolução de equações e a terceira sobre equivalência de
equações. As respostas dos alunos indicam que os principiantes em álgebra podem
se divididos em dois grupos o da aritmética que focalizava as operações dadas; é a
abordagem aritmética, na qual os alunos substituem a letra por diferentes números
até encontrar um que estabeleça o equilíbrio entre o primeiro e o segundo membro
da equação; e o outro focalizava a inversa das operações dadas; é a abordagem
algébrica, estes resolviam as equações transpondo termos de um membro para
outro. Esta abordagem consiste em usar as inversas de cada operação para
chegarem a raiz.
A raiz de uma equação é um valor que pode ser nela testado e que
a torna verdadeira. Por exemplo, no caso da equação x + 8 = 11, apenas o número 3
torna a sentença verdadeira, Dizemos então que o número 3 é a solução (ou raiz)
desta equação, e para qualquer outro valor de x, a sentença será falsa.
Outra abordagem também usada para resolver equações do
primeiro grau é o método de equações equivalentes que consiste em efetuar a
mesma operação nos dois membros; é preciso manter a equação em equilíbrio
como se fosse uma balança.
19
Figura 1
Fonte: educacaodialogica.blogspot.com
A solução é inalterada ao longo do processo de resolução. Esse
procedimento envolve também a simplificação do primeiro e do segundo membro da
equação, e não apenas de um dos membros como ocorre na transposição de
termos. Sabendo que as equações são igualdades, então as leis do cancelamento
se aplicam a elas.
A equação a seguir
3x - 5 = 13
Por exemplo para achar a solução pelo principio aditivo precisa-se acrescentar nos
dois termos, como se fosse dois pratos da balança quantidade que anulam o termo
independente (-5) do primeiro membro nos dois pratos, ou seja, nos dois membros.
3x – 5 + 5 = 13 + 5
Assim vamos obter
3x = 18
Agora, de modo análogo, pela lei do cancelamento, dividir-se os dois membros pelo
mesmo número.
3
3x=
3
18
20
E, portanto, x = 6
Após a compreensão da lei do cancelamento o aluno poderá
resolver as equações pela transposição de termos com as operações inversas,
deixando assim o processo de resolução de equações mais simples.
21
CAPÍTULO ICAPÍTULO ICAPÍTULO ICAPÍTULO IIIIIIIII
3. METODOLOGIA
Para o desenvolvimento deste trabalho a turma será subdivida em
grupos de três ou quatro alunos que, após a apresentação do(s) problema(s),
discutirão caminhos para sua solução. Nos minutos finais, as discussões serão
redigidas e entregues para que o professor possa avaliar as dificuldades/facilidades
de cada grupo e problema.
Em uma próxima aula pode-se fazer uma mudança nos grupos para
troca de informações e, caso necessário, o professor poderá intervir com sugestões
para solução através de perguntas para os alunos. Deve ser evitado que uma
solução pronta seja dada pelo professor, porque isto não permitirá aos alunos a
compreensão da necessidade da linguagem algébrica.
Após os alunos lerem os problemas e tentar resolver é que será
realizada a discussão e compreensão dos problemas, bem como as demais fases
propostas por Pólya (2006).
Segundo Dante (2005), o professor pode utilizar um banco de
problemas com o intuito de promover o interesse dos alunos em resolver problemas
e incentivá-los a criar ou pesquisar problemas do seu interesse.
Esta proposta de intervenção pedagógica será desenvolvida em
uma turma de 6ª série do Colégio Estadual Unidade Pólo, na cidade de Arapongas –
PR, no decorrer do ano letivo,
Como é essencial que os problemas a serem propostos tenham o
espírito de pesquisa, colocamos a seguir quatro problemas resolvidos com possíveis
intervenções de acordo com as etapas de Polya (2006) os dois primeiros serão
explorados da forma como o aluno conseguir resolver e os dois seguintes em dar
significados dos símbolos, e também com uma a pesquisa sobre a história das
equações.
22
3.1 Problemas resolvidos:
1) (Obmep 2008) - Um terreno retangular foi divido em 4 terrenos, também
retangulares. As áreas de 3 deles estão dadas na figura em km2. Qual e a área do
terreno que foi dividido?
1º - Compreensão do problema:
Pergunta (P) 1) O que é área?
Resposta Esperada (RE): Medida de uma superfície limitada por uma figura
geométrica, expressa em uma unidade convencionada.
P 2) O que é um retângulo?
RE: É um quadrilátero que possui lados opostos paralelos e congruentes e
quatro ângulos retos.
P 3) Como calcular a área de um retângulo?
RE: Multiplicando a medida da base pela medida da altura do retângulo.
P 4) Como descobrir a medida do lado de um retângulo sendo dado apenas a
área?
RE: Procurando dois números que multiplicados tenha como resultado a área do
retângulo.
P 5) Quais são os dados do problema?
RE: São dados três retângulos de área 18, 27 e 72.
P 6) O que o problema está pedindo?
23
RE: para calcular a área total do retângulo.
Estes são alguns questionamentos que poderão ser feitos para os alunos.
2º - Estabelecimento de um plano:
Encontrar os divisores de 18, 27 e 72, para encontrar as possíveis medidas dos
lados do retângulo.
D(18)={1,2,3,6,9,18}
D(27)= {1,3,9,27}
D(72)= {1,2,3,4,6,8,9,12,24,72}
3º - Execução do plano:
• Nos retângulos que possuem área 27 e 18 precisamos encontrar um divisor comum entre eles que pode ser o 3 ou o 9, e pela lógica escolhemos o 3 para o lado menor,
• No retângulo que tem área 27 fica com o lado menor 3 e o maior 9 • No retângulo que tem área 18 o lado menor 3 e o maior 6 • No retângulo que tem área 72 o lado menor 6 e o maior 12 • Descobrindo assim que um lado do terreno que não possui medida de área é
9, e o outro é 12, e área 108 • Portando a área total do terreno é 27 + 18 + 72 + 108 = 225.
4º - Retrospecto:
- se descobrimos que um lado mede 9 + 6 = 15, e o outro 3 + 12 = 15
- então 15 x 15 = 225.
24
2) (Obmep 2008) - João e Maria têm um jarro grande, cada, com um litro de água
em cada um. No primeiro dia, João coloca 1 ml da água do seu jarro no jarro da
Maria. No segundo dia, Maria coloca 2 ml da água do seu jarro no jarro do João. No
terceiro dia, João coloca 3 ml da água do seu jarro no jarro da Maria, e assim por
diante. Depois de 200 dias, quantos mililitros de água tem no jarro de Maria?
Entendendo que1l = 1000ml.
Pode-se determinar o que acontece nos primeiros dias e estabelecer um padrão.
No 1º dia João coloca 1ml, no jarro da Maria, no 2º dia Maria coloca 2ml no jarro de
João, 3º dia João coloca 3ml no jarro da Maria 4º dia Maria coloca 4ml no jarro de
João e assim por diante até 200 dias.
No jarro da Maria
1º e 2º dias: 1000ml + 1 – 2= 999ml
3º e 4º dias: 999ml + 3 – 4= 998ml
5º e 6º dias: 998ml + 5 – 6= 997ml, e assim por diante, o aluno pode perceber que a
cada dois dias deve se diminuir 1ml do jarro de Maria.
Então se são 200 dias, e se a cada dois dias diminui 1ml é só fazer 1000ml – 100ml
= 900ml
3) (Krulik 1997) - Ontem à noite, terminei de fazer a lista de convidados para o
jantar que vou dar no próximo mês. Como haverá trinta pessoas, vou precisar tomar
emprestadas algumas mesas de jogo, de tamanho que permita sentar-se uma
pessoa de cada lado. Quero dispô-las numa longa fileira, encostadas umas nas
outras, Naturalmente, quero tomar emprestado o mínimo de mesas possível. De
quantas mesas de jogo vou precisar?
25
Podemos fazer desenhos para representar as mesas do um jogo.
Ou generalizar conforme a seguinte tabela:
Nº de
mesas
Nº de
pessoas
1 4
2 6
3 8
4 10
5 12
A generalização pode levar à fórmula 2.m + 2, que representa uma função
Esta é uma das generalizações que pode-se chegar, sendo que foi descoberto
através do número de mesas, porém o problema diz o número de pessoas, então
podemos escrever que:
2.m+ 2 = 30, e resolver a seguinte equação com operações inversas.
Sendo m = 14
4) (Dante 2005) - As pombas e o gavião
O gavião chega no pombal e diz:
- Adeus, minhas cem pombas.
As pombas respondem em coro
- Cem pombas não somos nós; com mais dois tantos de nós e com você, meu caro
gavião, cem pássaros seremos nós.
Quantas pombas estavam no pombal?
26
O gavião fala adeus minhas 100 pombas
E as pombas respondem: 100 pombas não somos nós, com mais dois tantos de
nós e mais você, 100 pássaros seremos nós.
O que nos leva a entender:
Pombas + 2 tantos de pombas + o gavião = 100
Este plano pode ser escrito na forma da seguinte equação
Usando x para as pombas
x + 2.x + 1 = 100
3.x = 100 – 1
x = 33
3.2. História das Equações
(Educ) Resolver uma equação sempre foi um desafio desde os inícios dos
conhecimentos matemático, como podemos apreciar nos papiros de Moscou (1.890
a.C), de Rhind (1.650.a.C) e outros.
A História das equações Ilustra a importância do tema na história da matemática.
Quem sabe vendo o que aconteceu no passado e pesquisando um pouco de história
tudo possa fazer mais sentido.
Propõe-se uma pesquisa sobre a História da Matemática em busca das "equações",
para apresentar em forma de seminário, destacando as seguintes
perguntas.
Como foi a evolução?
Para que eles utilizavam?
Traga também curiosidades.
27
Para encontrarem respostas, dividam-se em 5 grupos e pesquisem nos povos:
Egípcios, Babilônios, Gregos, Hindus, Árabes.
.
O grupo poderá utilizar cartazes, a TV Pen Drive, retro projetor, lousa enfim o que
achar conveniente e disponível.
A referência básica para este trabalho é Garbi (op.cit), mas há outros livros que os
alunos poderão encontrar na biblioteca da escola, além evidentemente da internet.
3.3 Problemas que podem ser dados antes do conteúd o de equações do
primeiro grau.
1) (educ) - Quadro 4- O Quadrado dos 100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
a). Tenho um quadrado com os números de um a cem, organizados em ordem
crescente da esquerda para a direita e de cima para baixo.” Esta frase é lida para
Fábio (outro aluno) e informo-lhe ter escolhido o número 65.
- por cima do 65 está o 55, e em baixo está o 75 e de lado estão o 64 e o 66.
Como Fábio pensou?
b) Calcule a soma das quatro primeiras linhas da tabela. O que observa? Sem fazer
cálculos indique a soma das outras linhas.
c) Calcule a soma das duas primeiras colunas da tabela. O que observa? Sem fazer
cálculos indique a soma das outras colunas.
28
d) Calcule a soma das duas diagonais.
2) (obmep 2008) - Lucinda manchou com tinta dois algarismos em uma conta que
ela tinha feito, como mostra a figura. Qual foi o menor dos algarismos manchados?
3) (Obmep 2008) - Ana e Beatriz compraram dezoito bombons de mesmo preço.
Ana pagou por oito deles e Beatriz pelos outros dez. Na hora do lanche, dividiram os
bombons com Cecília e cada uma delas comeu seis. Para dividir igualmente o preço
dos bombons. Cecília deveria pagar R$1,80 para Ana e Beatriz. Ela pensou em dar
R$0,80 para Ana e R$1,00 para Beatriz, mas percebeu que essa divisão estava
errada. Quanto ela deve pagar para Beatriz?
4) (Obmep 2008) - Fabio tem cinco camisas: uma preta de mangas curtas, uma
preta de mangas compridas, uma azul. Uma cinza e uma branca e quatro calças:
uma preta, uma azul, uma verde e uma marrom. De quantas maneiras diferentes ele
pode se vestir com uma camisa e uma calça de cores distintas?
5) (Dante 2005) - Com 24 palitos de fósforo, forme 9 quadradinhos, como mostra a
figura abaixo. Como fazer para tirar apenas 4 palitos e deixar 5 quadradinhos?
29
3.4 Figuras com o objeto de ajudar inventar problem as e desta forma poder
contribuir na escrita dos relatórios .
1) (Dante 2005) - Elabore um problema para cada uma das seguintes figuras e
resolva:
Figura 2
Figura 3
30
2) (Dante 2005) - Observe o cardápio da lanchonete da escola. Com base nele,
invente um problema e o resolva:
Figura 4
3.5 Problemas que podem ser resolvidos com o algori tmo da Equação do 1º
grau
1) (Profezequias) - Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de
fósforos como mostra o desenho a seguir:
Figura 5
a)Quantos palitos seriam necessários para fazer 100 quadrados?
b) Quantos quadrados seguindo este padrão poderiam ser feitos com 250 palitos?
31
2) (terra/supertestes) - Observe as balanças em equilíbrio:
Figura 6
Cada pacote A tem quantas gramas?
3) (obmep 2008) - Oito bolinhas de gude têm o mesmo tamanho, mesma cor e mesma forma. Sete delas têm o mesmo peso e a restante é mais pesada. Usando uma balança com dois pratos, como se pode encontrar a bolinha mais pesada efetuando somente duas pesagens?
4) (obmep 2008) -Usando todo o suco que esta numa jarra é possível encher 9 copos pequenos e 4 copos grandes ou encher 6 copos pequenos e 6 copos grandes. Quantos copos grandes é possível encher usando todo o suco da jarra?
32
5) (terra/supertestes) - Leia atentamente a tirinha abaixo:
Figura 7
A história de 2 namorados corresponde à equação:
a) x + 2x = 220
b) 2x + 10 = 220 - 10
c) 2x + 10 = 220
d) x + 2x + 10 = 220
6) (obmep 2008) - A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de
areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos
também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?
Figura 8
Fonte: http://ww w.obmep.org.br
33
7) (hammermat) - Uma fita de 30 cm de comprimento, serviu para contornar um
quadrado, sobrando 2 cm de fita. Qual o comprimento de cada lado do quadrado?
8) (Matemática net) - A Rita e a Felipa foram ambas para a colheita da maçã. Ao
todo colheram 300 kg de maçãs, tendo a Rita colhido o quádruplo da quantidade de
maçãs que a Felipa colheu. Supõe que f representa a quantidade, em kg, de maçãs
colhidas pela Felipa. Qual das seguintes equações resolve o problema enunciado?
A. 4f = 300
B. f + 4f = 300
C. 300 + f = 4f
D. f + 4 + f = 300
9) (SAEB, 1998) - Um carteiro entregou 100 telegramas em 5 dias. A cada dia, a
partir do primeiro, entregou 7 telegramas a mais que no dia anterior. Quantos
telegramas entregou em cada dia?
10) (testonline) - Um livro custa R$ 1,00 mais a metade do seu preço. Quanto custa
o livro?
34
4. AVALIAÇÃO
Além de atribuir uma nota, a finalidade da avaliação é proporcionar
uma boa formação dos alunos. Com a metodologia de Resolução de Problemas
devemos deixar de lado a visão de que a Matemática deve simplesmente ser
memorizada ou repetida. O trabalho cognitivo depende do conhecimento que o
aluno traz para a sala de aula de experiências passadas e de identidades culturais.
Algumas questões são fundamentais para que o professor elabore
uma proposta de práticas avaliativas que indiquem se o aluno:
� Comunica-se matematicamente, de forma oral ou por
escrito.
� Participa coletiva e colaborativamente nos trabalhos
realizados em grupos.
� Compreende, por meio da leitura, um problema matemático.
� Elabora um plano que possibilite a solução do problema.
� Encontra meios diversos para a resolução de um problema
matemático. (BURIASCO, 2004).
Os instrumentos que pretendemos utilizar na avaliação da Resolução
de Problemas de acordo com Buriasco (2004) são: os relatórios nos quais os alunos
devem escrever um texto coerente sobre a resolução de um problema de modo que
seja compreensível para o leitor; e por testes em duas fases sendo este um
instrumento que o aluno poderá responder em dois momentos, no primeiro sem
nenhuma indicação do professor e no segundo dispondo de mais tempo e dos
comentários que o professor formulou ao avaliar as respostas iniciais. Lembramos
ao professor e ao aluno que as críticas e sugestões desta metodologia são inerentes
ao próprio processo de aprendizagem.
35
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com este estudo procuro verificar se a Resolução de Problemas
pode contribuir para a aprendizagem e o desenvolvimento o pensamento algébrico
dos alunos e na compreensão da incógnita na equação. Procuramos assim, analisar
quais as estratégias que os alunos utilizam para resolverem problemas e com isso
mostrar que a linguagem algébrica é uma maneira de facilitar estes cálculos nas
equações do primeiro grau. Por fim, procuramos fazer uma reflexão pessoal sobre a
experiência de investigação e sobre as implicações na nossa prática profissional.
36
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BURIASCO. Regina L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (II). Nosso
Fazer,ano 1, n.º. 6, Secretaria Municipal de Educação - Londrina, 1995.
BURIASCO, R. L. C. (Docente ): A lógica da escola e a avaliação da aprendizagem.;
2004; Palestra; Moderadora; VIII ENEM; Encontro Nacional de Educação
Matemática; Anais, Recife; BR; Vários.
BUTTS. T. Colocando Problemas Adequadamente. In: KRULIK, S. e REYS, R. E. A
Resolução de Problemas na Matemática Escolar . São Paulo: Atual, 1997.
COXFORD A.; SHULTE A. P. As idéias da álgebra. Tradução de Hygino H.
Domingues, São Paulo Editora atual, 1997.
DANTE, Luiz R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática São Paulo
Editora Ática , 2005.
GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. 2 ed. São Paulo:
Editora Livraria da Física, 2007.
KIERAN, C. Duas abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra In: As
idéias da álgebra. Tradução de Hygino H. Domingues, São Paulo Editora atual,
1997.
LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século
XXI. São Paulo Editora Papirus, 1997.
MUSSER,G. L.; SHAUGHNESSY, J. M. Estratégias de resolução de problemas na
matemática escolar In: KRULIK, S. e REYS, R. E. A Resolução de Problemas na
Matemática Escolar . São Paulo: Atual, 1997.
37
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação.
Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, versão preliminar, 2007.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de
Araújo. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.
SCHOEN, H. L. Ensinar a álgebra elementar focalizando problemas In: As idéias da
álgebra. Tradução de Hygino H. Domingues, São Paulo Editora atual, 1997.
USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das
variáveis In: As idéias da álgebra. Tradução de Hygino H. Domingues, São Paulo
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VIANNA, Carlos R. Resolução de Problemas, 2002, disponível no site
diaadiaeducacao.pr.gov.br, acessado em 10/11/2008.
SISTEMA NACIONAL DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – SAEB/1998.
http://www.profezequias.net/papg.html, acessado em 18/07/2008
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http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Exercicios/Teste6s/teste6.htm,
acessado em 17/10/2008.
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em 18/10/2008.
http://hammermat.no.sapo.pt, acessado em 19/10/2008,
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm21/equacoes.htm, acessado em 19/10/2008.
38
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/temporario/SEM LB/Numeros_Tarefas.pdf,
acessado em 19/10/2008.
http://www.testonline.com.br/mat01.htm, acessado em 01/12/2008.
