Marciano Prates Salbego - UnicampAgradecimentos Agrade˘co ao Universo, que em sua aparente desordem proporcionou inu meras oportunidades de amadurecimento e enriquecimento. Agrade˘co

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao

Marciano Prates Salbego

Controle Robusto de Quadricopteros por Meio

de Desigualdades Matriciais Lineares

Campinas2017

Marciano Prates Salbego

Controle Robusto de Quadricopteros por Meio deDesigualdades Matriciais Lineares

Dissertacao de Mestrado apresentada a Fa-culdade de Engenharia Eletrica e de Compu-tacao da Universidade Estadual de Campi-nas como parte dos requisitos exigidos paraa obtencao do tıtulo de Mestre em Engenha-ria Eletrica, na Area de Automacao.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Coracao de Leao Fontoura de Oliveira

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE A VERSAO FI-

NAL DA DISSERTACAO DE MESTRADO DEFEN-

DIDA PELO ALUNO MARCIANO PRATES SAL-

BEGO E ORIENTADA PELO PROF. DR. RICARDO

CORACAO DE LEAO FONTOURA DE OLIVEIRA.

Campinas2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): FAPESP, 2014/11593-5

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaLuciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Salbego, Marciano Prates, 1993- Sa31c SalControle robusto de quadricópteros por meio de desigualdades matriciais

lineares / Marciano Prates Salbego. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

SalOrientador: Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira. SalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Elétrica e de Computação.

Sal1. Aeronave não tripulada. 2. Desigualdades matriciais lineares. 3. Sistemas

não lineares. I. Oliveira, Ricardo Coração de Leão Fontoura de, 1978-. II.Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e deComputação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Robust control of quadcopters by means of linear matrixinequalitiesPalavras-chave em inglês:QuadcopterLinear matrix inequalitiesNonlinear systemsÁrea de concentração: AutomaçãoTitulação: Mestre em Engenharia ElétricaBanca examinadora:Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira [Orientador]Bruno Augusto AngélicoMatheus SouzaData de defesa: 01-02-2017Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

COMISSAO JULGADORA — DISSERTACAO DE MESTRADO

Candidato: Marciano Prates Salbego RA: 160948

Data da Defesa: 01/02/2017

Tıtulo da Dissertacao/Tese: “Controle Robusto de Quadricopteros por

Meio de Desigualdades Matriciais Lineares”

Prof. Dr. Ricardo Coracao de Leao Fontoura de Oliveira (presidente, FEEC/UNICAMP)

Prof. Dr. Bruno Augusto Angelico (Poli-USP)

Prof. Dr. Matheus Souza (FEEC/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissao Julgadora,

encontra-se no processo de vida academica do aluno.

Agradecimentos

Agradeco ao Universo, que em sua aparente desordem proporcionou inumeras

oportunidades de amadurecimento e enriquecimento.

Agradeco ao professor Pedro Peres, pela leve convivencia, inumeros conselhos

e indicacoes de filmes, musicas, livros. Seu modo de levar a vida com certeza serviu de

inspiracao durante a realizacao deste trabalho.

Agradeco a Fundacao de Amparo e Pesquisa do Estado de Sao Paulo (FA-

PESP) - processo 2014/11593-5 - pelo financiamento durante o mestrado.

Agradeco aos queridos amigos do LE-16, de todos os espectros, os quais pro-

duziram interessantes discussoes na hora do cafe e de onde surgiram frutıferos lacos de

amizade e companheirismo.

Agradeco a minha famılia, especialmente a dona Ivone e ao meu irmao Marcos,

pelo suporte incondicional, carinho e afeto dispendidos durante minha vida toda.

Agradeco ao professor Ricardo, que dedicou-se integralmente para a realiza-

cao deste trabalho, sendo fonte de inspiracao e tendo contribuıdo nao somente na minha

formacao academica, mas tambem na minha formacao pessoal. Neste sentido, um agrade-

cimento especial aos fraternos amigos do Colegio Mıstico e ao mestre Marcelo Hindi, que

foram responsaveis por mostrar-me o real significado da minha existencia.

Por fim, agradeco a Marcela, por ter me acompanhado nesta caminhada e

por ter estado presente nos momentos mais edificantes/desafiadores destes ultimos anos.

Gratidao por todo o aprendizado.

“Uma vez eu li no Reddit que...”

(Autor desconhecido)

Resumo

O problema de estabilizacao de atitude de um quadricoptero e investigado nesta disser-

tacao. A cinematica do sistema mecanico e descrita em termos da parametrizacao de

Cayley-Rodrigues, a partir da qual e construıdo um modelo quasi-LPV utilizado na sın-

tese de controladores escalonados por parametros variantes no tempo com criterios de

desempenho associados. Um conjunto de equacoes diferenciais nao-lineares descrevendo a

dinamica do corpo rıgido e obtido para a validacao da estrategia de controle utilizando o

formalismo de Euler-Lagrange, que considera a cinematica descrita por quaternios. Como

contribuicao adicional, investiga-se o projeto de controladores adaptativos ℒ1, com vis-

tas a futura aplicacao de controladores adaptativos no problema de controle de atitude

do quadricoptero. A sıntese dos controladores e filtros das duas abordagens investigadas

e formulada em termos de desigualdades matriciais lineares dependentes de parametros.

Como metodo de solucao, emprega-se aproximacoes polinomiais (relaxacoes) de grau ar-

bitrario, resultando em problemas de otimizacao convexos de precisao crescente baseados

em desigualdades matriciais lineares, que nesta dissertacao sao obtidos com o auxılio de

pacotes computacionais especializados. As vantagens das abordagens propostas sao ilus-

tradas por meio de comparacoes numericas com outras tecnicas disponıveis na literatura.

Palavras-chaves: Quadricoptero; Controle LPV; Controle Adaptativo ℒ1; Relaxacoes

LMIs.

AbstractThe problem of attitude stabilization of a quadcopter is investigated in this dissertation.

The kinematics of the mechanical system is described in terms of the Cayley-Rodrigues

parametrization, from which is constructed a quasi-LPV system that is used in the syn-

thesis of gain-scheduled controllers associated to performance criteria. A set of nonlinear

differential equations describing the rigid body dynamics is obtained for the validation

of the proposed control strategy using the Euler-Lagrange formalism, that considers the

kinematics described by quaternions. As additional contribution, it is investigated the de-

sign of ℒ1 adaptive controllers, foreseeing future applications of the adaptive controllers

in the quadcopter attitude control problem. The synthesis of the controllers and filters in

both investigated approaches is formulated in terms of parameter-dependent linear matrix

inequalities. As solution method, polynomial approximations (relaxations) of arbitrary de-

gree are employed, resulting in convex optimization problems of increasing precision based

on linear matrix inequalities, that in this dissertation are obtained with the aid of special-

ized computational toolboxes. The advantages of the proposed approaches are illustrated

by means of numerical comparisons with other techniques available in the literature.

Keywords: Quadcopter; LPV Control; ℒ1 Adaptive Control; LMI Relaxations.

Lista de Ilustracoes

Figura 1 – Esquema geral do quadricoptero (retirado de (MAHONY et al., 2012). 18

Figura 2 – Referencial inercial 𝐴 e referencial movel 𝐵 . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 3 – Estrutura conceitual do simulador desenvolvido. . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 4 – Rastreamento de trajetoria senoidal para os tres angulos de Euler. . . . 42

Figura 5 – Reorientacao de grande angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 6 – Comparacao com o controlador PID (SANTANA; BORGES, 2009). . . 44

Figura 7 – Comparacao com o controlador Backstepping (SANTANA; BORGES,

2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 8 – Arquitetura do controlador adaptativo ℒ1 (modificado de (HOVAKIMYAN;

CAO, 2010)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 9 – Diagrama de blocos da funcao de transferencia 𝐻𝑜(𝑠) (modificado de

(LI et al., 2008)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 10 – Representacao de estados de cada bloco da funcao de transferencia

𝐻𝑜(𝑠). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 11 – Representacao de estados de cada bloco da funcao de transferencia𝐻(𝑠)(1−𝐶(𝑠)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 12 – Resultado para o exemplo escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Tabela de parametros utilizados na simulacao. . . . . . . . . . . . . . . 40

Sumario

Lista de Ilustracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Lista de Abrevicoes e Siglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1 Projeto de controlador de reorientacao para manobras de grande variacao

angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Projeto de filtros para controladores adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Organizacao e Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Controle de Orientacao de Quadricopteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Apresentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Modelagem Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Orientacao e Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Equacao Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3 Dinamica Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.4 Equacoes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Simulacao Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Projeto do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Dinamica Simplificada do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Projeto de Controladores quasi -LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Validacao por Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Consideracoes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Projeto de filtros para controladores ℒ1 adaptativos usando LMIs . . . . . . 46

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Definicao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Computo do Ganho ℒ1 via LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Estabilidade Robusta de Sistemas com Atrasos . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Projeto do Filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6 Realizacao do Ganho DC Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7 Projeto Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8 Exemplos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8.1 Relaxacoes LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8.2 Exemplo escalar (LI et al., 2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8.3 Exemplo bidimensional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.9 Consideracoes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Conclusao e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1 Trabalhos publicados/submetidos durante o perıodo de Mestrado . . . . . 70

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

13

1 Introducao

Quadricopteros sao veıculos aereos do tipo pouso e decolagem vertical (em in-

gles, Vertical Taking-off and Landing — VTOL) que vem ganhando um grande destaque

nos ultimos anos, principalmente pelo grande potencial de aplicacoes em diversas areas

como seguranca, agricultura, meio ambiente, filmagem aerea, entre outras. Em parte, o

interesse pela utilizacao deste tipo de aeronave deve-se a sua grande capacidade de ma-

nobrabilidade e a seu baixo peso, possibilitando a realizacao de missoes com restricoes

espaciais severas, bem como o acesso a lugares que potencialmente oferecam risco para

humanos. O rapido desenvolvimento desta tecnologia baseia-se principalmente nos avan-

cos de dispositivos de sensoriamento e no aumento na capacidade de armazenagem e

processamento de dados on-board (MAHONY et al., 2012). Se por um lado estes aspec-

tos contribuem para uma constante miniaturizacao dos quadricopteros, tornando-os cada

vez mais flexıveis e versateis na execucao de tarefas e tambem diminuindo os custos de

operacao, por outro lado tem-se restricoes de desempenho e consequentemente maiores

desafios sob o ponto de vista do controle e navegacao (BOUABDALLAH et al., 2004;

BOUABDALLAH; SIEGWART, 2005).

Ao longo dos anos, inumeras estrategias de controle foram aplicadas ao quadri-

coptero, sendo estas baseadas tanto em tecnicas de projeto lineares como nao-lineares. O

projeto de controladores pode levar em consideracao inumeros aspectos, tais como capaci-

dade de estabilizacao da aeronave em voo planado, seguimento de trajetoria, robustez com

relacao a disturbios e parametros incertos, etc. O trabalho de Bouabdallah (2007) apre-

senta o projeto e comparacoes entre controladores do tipo PID, LQ e Backstepping para

o controle de atitude e posicao, sendo estes controladores validados em uma plataforma

experimental denominada OS4. Na mesma linha de investigacao, (SANTANA; BORGES,

2009) compara o desempenho de controladores PID e Backstepping para o controle de

posicao e orientacao do veıculo. Em (KUN; HWANG, 2016), uma abordagem baseada em

controle adaptativo e desigualdades matriciais lineares e apresentada para o controle de

atitude do veıculo sob condicoes de rajadas de vento e variacao de massa. Em (MICHINI;

HOW, 2009), emprega-se o controle adaptativo ℒ1 com o objetivo de aumentar a robustez

do sistema. O trabalho de Rotondo et al. (2015) considera o emprego de tecnicas lineares

para sistemas quasi -LPV em um cenario de falha de atuadores.

Uma das abordagens mais atraentes e consagradas para analise e controle de

sistemas dinamicos e conhecida na literatura pelo termo LMI 1, cuja traducao significa

Desigualdade Matricial Linear (BOYD et al., 1994; OLIVEIRA; PERES, 2010). O princi-

pal atrativo dessa metodologia e que toda restricao do tipo LMI define um cone convexo,

e portanto pode ser solucionada por meio de procedimentos de otimizacao convexa (mais

1 do ingles — Linear Matrix Inequality

Capıtulo 1. Introducao 14

precisamente, por algoritmos de pontos interiores (NESTEROV; NEMIROVSKII, 1994))

de complexidade polinomial (GAHINET et al., 1995; STURM, 1999). A partir do inıcio

da decada de noventa, inumeros problemas de analise e controle robusto foram caracte-

rizados em termos de LMIs, fornecendo um grande impulso para a popularizacao dessa

classe de metodos (BOYD et al., 1994; GEROMEL et al., 1991). Ressalta-se que um dos

maiores benefıcios dos metodos baseados em LMIs e a imediata extensao para o trata-

mento de incertezas parametricas, viabilizando a adocao de modelos mais precisos para a

representacao do sistema dinamico sob investigacao. Muito embora o surgimento das LMIs

tenha comecado no contexto de sistemas lineares, muitas extensoes foram realizadas nos

ultimos vinte anos (El Ghaoui; NICULESCU, 2000; TANAKA; WANG, 2001; COSTA et

al., 2005; TARBOURIECH; GARCIA, 1997; CHESI et al., 2009; TARBOURIECH et al.,

2011; CHESI, 2011), com destaque para o tratamento de diversos tipos de nao linearida-

des, especialmente por meio da definicao das nao-linearidades em termos de parametros

variantes no tempo confinados em um conjunto convexo, dando origem a chamada re-

presentacao “linear com parametros variantes” (em ingles, Linear parameter-varying —

LPV) (MOHAMMADPOUR; SCHERER, 2012). No entanto, a utilizacao de tecnicas de

projeto de controladores lineares aplicadas a sistemas dinamicos nao-lineares promove,

geralmente, solucoes mais conservadoras quando comparadas com tecnicas nao-lineares,

que sao usualmente orientadas as particularidades do sistema dinamico em consideracao.

Quadricopteros sao sistemas dinamicos inerentemente nao lineares e, portanto,

proporcionam grandes desafios de controle. A literatura mais atual relacionada ao con-

trole dos quadricopteros apresenta inumeros trabalhos que empregam LMIs para projetar

controladores (TAYEBI; MCGILVRAY, 2006; YACEF et al., 2012; SERIROJANAKUL;

WONGSAISUWAN, 2012; RYAN; KIM, 2013), mostrando o grande potencial desta abor-

dagem. Ao longo deste trabalho, considerou-se dois objetivos distintos: projeto e analise de

um controlador de orientacao quasi -LPV considerando a cinematica do veıculo descrita

por meio dos parametros de Cayley-Rodrigues para a reorientacao de grandes desvios

angulares; projeto de controladores adaptativos ℒ1 utilizando LMIs. Na sequencia, sao

apresentados detalhes com respeito as duas contribuicoes principais desenvolvidas:

1.1 Projeto de controlador de reorientacao para manobras de grande

variacao angular

O projeto de controle para o quadricoptero pode ser realizado de maneira desa-

coplada, em uma estrutura de cascata com o controlador de posicao fornecendo referencias

de orientacao para o controle de atitude (orientacao). Desta forma, restringiu-se o projeto

de controle para a orientacao do veıculo considerando manobras de grande deslocamento

angular. As tecnicas usualmente utilizadas na solucao deste problema valem-se de linea-

rizacoes em pontos de equilıbrio. Embora validas para uma pequena faixa de operacao, a


consideracao de grandes desvios angulares do equilıbrio acabam por degradar o desempe-

nho do controlador. Assim, o objetivo principal desta investigacao consiste na obtencao

de controladores utilizando tecnicas lineares que fornecam garantias teoricas de estabiliza-

cao e desempenho (para o modelo considerado) para manobras de reorientacao de grande

angulo do quadricoptero.

Os trabalhos de Lim (2001) e Hughes e Wu (2008) realizam o projeto de

controladores LPV considerando a modelagem da orientacao da aeronave em termos de

quaternios e parametros de Cayley-Rodrigues. Este tipo de projeto leva em consideracao

a dinamica de orientacao nao-linear do veıculo, nao sendo necessaria a linearizacao da

dinamica para a sıntese do controlador. As nao-linearidades presentes na matriz dinamica

do sistema sao tratadas como parametros variantes no tempo com faixa de operacao

conhecida. Embora haja introducao de conservadorismo ao fazer esta consideracao, os

resultados de validacao mostram que os controladores possuem bom desempenho.

Em comparacao ao trabalho de Hughes e Wu (2008), a solucao proposta neste

trabalho difere-se devido a utilizacao de relaxacoes polinomiais para o projeto do con-

trolador. Esta abordagem nao utiliza a amostragem (grade) no espaco de parametros do

sistema LPV para a sıntese e, como consequencia, demanda um menor esforco computa-

cional, bem como a possibilidade de certificacao teorica do funcionamento do controlador

(a abordagem utilizando amostragem garante o funcionamento do controlador somente

para os pontos amostrados). Alem disso, os trabalhos de Lim (2001) e Hughes e Wu

(2008) consideram uma aeronave generica equipada com elementos atuadores capazes de

produzir torques nos tres eixos principais. O trabalho desenvolvido considera a particula-

rizacao destas tecnicas para a dinamica do quadricoptero (considerando o modelo de seus

atuadores), sendo uma contribuicao menor deste trabalho.

1.2 Projeto de filtros para controladores adaptativos

Na segunda frente de trabalho, considerou-se a possibilidade da utilizacao do

controle adaptativo para o controle do quadricoptero. O trabalho de Michini e How (2009)

realizou o projeto de controle utilizando uma estrutura de cascata para o modelo linear

identificado do veıculo equipado com um controlador simples de estabilizacao. O sistema

identificado foi utilizado como objeto de controle para o projeto adaptativo considerando a

tecnica de realimentacao de saıda do controlador ℒ1 adaptativo (CAO; HOVAKIMYAN,

2009). A inclusao do controlador adaptativo permite fornecer garantias de robustez e

rejeicao de disturbios para o sistema em operacao. No contexto de controladores ℒ1 adap-

tativos, a definicao do controlador se da a partir do projeto do filtro passa-baixa presente

na estrutura. O procedimento realizado em (MICHINI; HOW, 2009) para a sıntese do

filtro passa-baixa utiliza de tecnicas heurısticas de otimizacao nao-linear. Desta forma,

reconheceu-se a possibilidade de aplicacao de condicoes LMIs no projeto de sıntese do


filtro, tendo sido esse o principal objetivo desta frente de trabalho, na qual considerou-se

a implementacao do controlador no quadricoptero como uma perspectiva para trabalhos

futuros.

Inicialmente, considerou-se o projeto do filtro passa-baixa presente na arquite-

tura ℒ1 adaptativa com realimentacao de estados. Embora seja um problema mais simples

do que aquele abordado em (MICHINI; HOW, 2009), a compreensao dos parametros fun-

damentais do controlador adaptativo, bem como do projeto do filtro, permite que o caso de

realimentacao de saıda, e sua aplicacao ao quadricoptero, seja desenvolvido em trabalhos

futuros. As condicoes LMIs desenvolvidas para o projeto do filtro consideram uma faixa

de operacao do parametro adaptativo, resultando em um filtro que assegura os limitantes

de desempenho previstos pela teoria do controlador adaptativo (HOVAKIMYAN; CAO,

2010). Ainda, as condicoes propostas fornecem resultados menos conservadores quando

comparadas com metodos presentes na literatura que utilizam uma abordagem similar.

Alem do desenvolvimento das tecnicas de controle, realizou-se a construcao de

um simulador computacional contemplando a modelagem dinamica do veıculo levando

em conta a particularizacao para sua geometria e a dinamica simplificada dos atuadores

rotacionais. Desta forma, os controladores foram validados considerando um modelo mais

completo e, por consequencia, mais fiel ao comportamento fısico real do quadricoptero.

1.3 Organizacao e Notacao

Esta dissertacao esta organizada em tres capıtulos, sendo estes apresentados

de maneira sintetizada na sequencia: O Capıtulo 2 apresenta os resultados do projeto

de um controlador utilizando a abordagem quasi -LPV para o controle de atitude do

quadricoptero. O controlador foi validado utilizando um simulador baseado na modelagem

dinamica do veıculo por meio do metodo de Euler-Lagrange; O Capıtulo 3 desenvolve os

resultados referentes ao projeto de controladores adaptativos ℒ1 utilizando LMIs para a

sıntese do filtro passa-baixa presente na estrutura de controle; O Capıtulo 4 apresenta as

conclusoes finais da dissertacao e perspectivas de trabalhos futuros.

Notacao: Letras maiusculas referem-se a matrizes, enquanto que letras minus-

culas em negrito representam vetores e letras minusculas representam quaternios; 𝑋 < 0(ou 𝑋 > 0) indica que a matriz 𝑋 e definida negativa (ou definida positiva); 𝑋𝑇 indica

a transposta da matriz 𝑋 e 𝐻𝑒(𝑋) representa uma notacao compacta para 𝑋 + 𝑋𝑇 ; a

matriz identidade de dimensao apropriada e representada por I e ⋆ indica blocos simetri-

cos em matrizes definidas por blocos; diag(𝑋1, 𝑋2) representa uma matriz bloco-diagonal

com elementos 𝑋1 e 𝑋2 na diagonal principal;

17

2 Controle de Orientacao de Quadricopteros

2.1 Apresentacao

O quadricoptero pertence a uma classe mais geral de veıculos aereos suba-

tuados demoninada multirrotor, consistindo de quatro rotores coplanares independentes

instalados em uma estrutura rıgida (MAHONY et al., 2012). Cada rotor promove uma

forca normal de empurrao na direcao positiva do eixo 𝑧, sendo esta modelada usualmente

como sendo proporcional ao quadrado da velocidade rotorica desenvolvida. O controle de

posicao e orientacao do veıculo e realizado a partir da aplicacao de diferentes velocida-

des rotoricas a cada par de rotores. A Figura 1 apresenta um esquema conceitual desta

estrutura. O rotor 𝑖 gira em sentido horario para 𝑖 par, e anti-horario para 𝑖 ımpar. Essa

diferenca no sentido da rotacao produz um desbalanceamento nos torques aplicados ao

corpo, sugerindo que a orientacao do veıculo pode ser alterada a partir da manipulacao

destas quantidades. A posicao no eixo 𝑧 e controlada utilizando o empuxo coletivo devido

a rotacao dos quatro propulsores e o voo planado e caracterizado pelo momento em que

os quatro propulsores estao alinhados com o vetor gravitacional e produzindo, cada um,

um empuxo de 𝑚𝑔/4. A posicao no eixo 𝑥− 𝑦, por sua vez, pode ser controlada a partir

da variacao dos tres angulos de Euler do veıculo.

Figura 1 – Esquema geral do quadricoptero (retirado de (MAHONY et al., 2012).

Este capıtulo apresenta o projeto de um controlador com dependencia poli-

nomial nos parametros para a orientacao do quadricoptero, considerando a modelagem

cinematica utilizando os parametros de Cayley-Rodrigues. Inicialmente, deriva-se as re-

lacoes cinematicas de movimento do corpo rıgido no R3, seguido da construcao de um

conjunto de equacoes diferenciais nao-lineares da dinamica do veıculo. Finalmente, o con-

trolador polinomial e proposto em termos de condicoes LMIs dependente de parametros,

sendo o decaimento mınimo da funcao de Lyapunov a metrica de desempenho escolhida.

Capıtulo 2. Controle de Orientacao de Quadricopteros 18

2.2 Modelagem Matematica

Esta secao apresenta a modelagem matematica dos aspectos dinamicos e ci-

nematicos do quadricoptero. Inicialmente, apresenta-se a obtencao da equacao diferencial

que rege o comportamento cinematico do corpo rıgido em movimento em tres dimensoes,

seguido do desenvolvimento das equacoes dinamicas obtidas por meio do formalismo de

Euler-Lagrange.

2.2.1 Orientacao e Cinematica

Um dos aspectos mais importantes concernente a modelagem do veıculo con-

siste no estudo de sua orientacao e de seu comportamento cinematico no espaco. Com esse

proposito, esta secao aborda o tratamento da orientacao de um corpo rıgido movendo-se

no espaco em relacao a um referencial inercial. Para tanto, considere inicialmente os

referenciais 𝐴 e 𝐵 apresentados na Figura 2, sendo estes parametrizados pelas bases orto-

normais {a1, a2, a3} e {b1,b2,b3}, respectivamente. O referencial 𝐴 denota um sistema

de coordenadas fixo enquanto que o referencial 𝐵 possui orientacao variavel ao longo do

tempo.

CB/A

A

B

a1

a2

3a

F2

F1

F3

F4

b1

b3

b2mg

Figura 2 – Referencial inercial 𝐴 e referencial movel 𝐵 .

A descricao de vetores expressos no referencial 𝐵 na base 𝐴 trata-se de uma

operacao fundamental no estabelecimento das relacoes cinematicas do movimento entre os

dois referenciais. Esta relacao pode ser encontrada em termos de transformacoes lineares

que relacionam os vetores expressos em cada base. Considerando o exemplo da Figura 2,

a transformacao e dada pelo operador 𝐶𝐵/𝐴, ou seja, um operador linear que relaciona ve-

tores nos dois referenciais. A notacao 𝐶 para representar a transformacao que descreve os

vetores de 𝐴 na base 𝐵 e 𝐶𝑇 para a relacao contraria e utilizada por questao de brevidade.

Desta forma, considerando que o referencial 𝐵 move-se no espaco, pode-se quantificar por


meio da informacao encapsulada nestas transformacoes lineares a evolucao da orienta-

cao do corpo rıgido ao longo do tempo. Diversas formas de representar a orientacao de

um corpo podem ser encontradas na literatura, sendo as mais populares as parametriza-

coes utilizando angulos de Euler, Matrizes de Direcao dos Cossenos (DCM ) e quaternios

(FRESK; NIKOLAKOPOULOS, 2013). Como descrito em (DIEBEL, 2006), cada para-

metrizacao possui suas particularidades e vantagens, sendo os aspectos mais relevantes a

complexidade computacional de implementacao e a existencia de singularidades, ou seja,

existencia de inconsistencias na representacao de certas orientacoes.

A utilizacao de angulos de Euler para representar a orientacao do veıculo requer

tres parametros, nomeadamente os angulos de rolagem, arfagem e guinada e representa

uma forma intuitiva baseada em rotacoes sucessivas do referencial 𝐵 em relacao ao referen-

cial 𝐴. Devido a sua formulacao direta, este tipo de representacao encontra aplicacao em

inumeros problemas de modelagem de sistemas mecanicos. No entanto, a implementacao

computacional envolve o computo de funcoes trigonometricas, tornando a implementacao

pratica um desafio devido a complexidade computacional do tratamento de tais funcoes,

sobretudo quando o sistema considerado possui capacidade computacional reduzida ou a

escala de tempo de atuacao do controlador e pequena. Alem disso, a existencia de singu-

laridades no espaco de parametros limita o envelope de operacao do sistema (DIEBEL,

2006).

A parametrizacao utilizando a Matriz de Direcao dos Cossenos e uma ma-

neira mais direta de expressar a orientacao do corpo rıgido, pois consiste, conforme (WIE,

1998), da projecao de cada vetor da base 𝐵 na base 𝐴. Embora seja de utilidade con-

ceitual, cada base considerada deve ser ortonormal, de modo que a obtencao deste tipo

de garantia quando se considera a implementacao pratica perfaz um desafio, tornando a

implementacao complexa.

Finalmente, a representacao por quaternios sobressai-se das demais por nao

possuir singularidades no espaco de parametros, envolver somente o calculo de expressoes

polinomiais e possuir uma interpretacao geometrica direta. Diferentemente dos angulos

de Euler, a definicao da orientacao do veıculo em termos de quaternios realiza-se por

meio de quatro parametros. A principal restricao imposta neste tipo de representacao

e a de que, para representar uma orientacao, o quaternio deve possuir norma unitaria

(DIEBEL, 2006). Esta restricao e comumente utilizada como forma de verificar a acuracia

da estimativa da orientacao em sistemas de controle de aeronaves (WIE, 1998), sendo

usualmente relaxada na concepcao de controladores de orientacao (LIM, 2001).

Frente a estas consideracoes, optou-se pela utilizacao de quaternios na mode-

lagem cinematica e dinamica do quadricoptero neste trabalho. A proxima subsecao trata

da obtencao das equacoes cinematicas do movimento do referencial 𝐵 em relacao ao refe-

rencial inercial 𝐴. Para maiores detalhes sobre o desenvolvimento das equacoes e sobre a

matematica dos quaternios, o leitor e referenciado a (WIE, 1998).


2.2.2 Equacao Cinematica

Para a obtencao das relacoes cinematicas do movimento tridimensional do

corpo rıgido, faz-se necessario o conhecimento da velocidade angular do corpo. Como

descrito em (MORIN, 2008), o movimento rotacional realiza-se em torno do vetor de

velocidade angular, sendo este perpendicular ao movimento de rotacao em cada instante

de tempo. Desta forma, considera-se que o referencial 𝐵 realiza um movimento de rotacao

em relacao ao referencial inercial 𝐴 com vetor de velocidade angular Ω associado expresso

na base vetorial {b1,b2,b3} como segue:

Ω𝐵 = Ω1b1 + Ω2b2 + Ω3b3.

Como visto anteriormente, um vetor b expresso no referencial 𝐵 relaciona-se ao referencial

𝐴 pela transformacao

a = 𝐶𝑇 b. (2.1)

Derivando a equacao (2.1) em relacao ao tempo e observando que todo vetor expresso no

referencial inercial 𝐴 possui velocidade nula, obtem-se⎡⎢⎢⎢⎣000

⎤⎥⎥⎥⎦ = ��𝑇 b + 𝐶𝑇 b.

Usando a hipotese de que o referencial 𝐵 rotaciona-se em relacao ao referencial 𝐴 com

velocidade angular Ω𝐵, pode-se escrever

��𝑇 b + 𝐶𝑇 Ω×b = 0, (2.2)

com Ω× definido por

Ω× =

⎡⎢⎢⎢⎣0 −Ω3 Ω2

Ω3 0 −Ω1

−Ω2 Ω1 0

⎤⎥⎥⎥⎦ . (2.3)

Desta forma, considerando que o vetor b e nao-nulo, verifica-se que a equacao (2.2) e

atendida se, e somente se, as seguintes igualdades sao verificadas

��𝑇 = 𝐶𝑇 Ω×,

�� = −Ω×𝐶. (2.4)

As equacoes em (2.4) estabelecem a relacao entre a velocidade angular e a variacao da

orientacao do referencial𝐵 ao longo do tempo. Observa-se que, para Ω conhecido para todo

o tempo, pode-se integrar a equacao (2.4) para obter a orientacao 𝐶 do corpo rıgido. Alem

disso, como descrito em (WIE, 1998), pode-se verificar que, partindo de uma condicao


inicial 𝐶(0) representando uma orientacao valida, as trajetorias que solucionam a equacao

diferencial (2.4) sempre representarao uma orientacao valida. Desta forma, a utilizacao

da equacao cinematica permite a analise da evolucao da orientacao do corpo rıgido ao

longo do tempo. No entanto, em termos praticos, deve-se considerar que erros numericos

na integracao da equacao (2.4) podem degradar a representacao da orientacao. Alem

disso, faz-se necessaria a utilizacao de um metodo eficaz de estimativa da velocidade

angular Ω a partir das medidas provenientes dos sensores instalados no veıculo. Assim, a

equacao cinematica e utilizada geralmente como restricao para a modelagem dinamica do

movimento, sendo a estimativa de orientacao realizada por tecnicas mais robustas, como

por exemplo, por meio de filtros complementares (MAHONY et al., 2008) ou filtros de

Kalman (LEFFERTS et al., 1982).

Reciprocamente, o vetor de velocidade angular Ω pode ser expresso em termos

da matriz 𝐶 e de sua derivada. Esta relacao permite obter o vetor Ω a partir do conheci-

mento da evolucao da orientacao do corpo rıgido ao longo do tempo. Para tanto, observe

que a matriz anti-simetrica Ω× ∈ R3 e parametrizada por {Ω1, Ω2, Ω3}. A matriz 𝐶,

por sua vez, e parametrizada por 9 parametros 𝐶 = [𝐶]𝑖,𝑗, (𝑖, 𝑗) = (1, . . . , 3)× (1, . . . , 3).Assim, para cada parametro de Ω existem duas equacoes descritoras, de modo que se pode

escrever o seguinte resultado (WIE, 1998) para os parametros {Ω1, Ω2, Ω3}

Ω× = − ��𝐶𝑇 ,

Ω1 = ��21𝐶31 + ��22𝐶32 + ��23𝐶33,

Ω2 = ��31𝐶11 + ��32𝐶12 + ��33𝐶13, (2.5)

Ω3 = ��11𝐶21 + ��12𝐶22 + ��13𝐶23.

Desta forma, pode-se particularizar as consideracoes realizadas ate o momento

para a representacao da orientacao utilizando quaternios. Inicialmente, introduz-se o con-

ceito dos quaternios e as operacoes pertinentes ao computo da orientacao. Quaternios

sao numeros hipercomplexos de dimensao 4 divididos em uma componente real e ou-

tras tres componentes chamadas imaginarias. Assim, seja o quaternio 𝑞 representado por

𝑞 =[q 𝑞4

]𝑇, sendo que q =

[𝑞1 𝑞2 𝑞3

]𝑇e a parte imaginaria e 𝑞4 a parte real e o qua-

ternio 𝑝 =[p 𝑝4

]𝑇. As operacoes usuais utilizando quaternios sao definidas da seguinte

maneira :

∙ Adicao:

𝑞 + 𝑝 =[q + p 𝑞4 + 𝑝4

]𝑇.

∙ Multiplicacao:

𝑞 ⊗ 𝑝 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑞4 −𝑞1 −𝑞2 −𝑞3

𝑞1 𝑞4 −𝑞3 −𝑞2

𝑞2 𝑞3 𝑞4 −𝑞1

𝑞3 −𝑞2 𝑞1 𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑝1

𝑝2

𝑝3

𝑝4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .


∙ Conjugado:

Conj(𝑞) = 𝑞⋆ =[−q 𝑞4

]𝑇.

∙ Norma:

||𝑞|| =√

q𝑇 q + 𝑞24.

Se adotarmos a estrutura particular do quaternio 𝑞 dada pela seguinte expressao (FRESK;

NIKOLAKOPOULOS, 2013)

𝑞1 = 𝑢1 · sin(𝜃/2),

𝑞2 = 𝑢2 · sin(𝜃/2), (2.6)

𝑞3 = 𝑢3 · sin(𝜃/2),

𝑞4 = cos(𝜃/2),

em que u =[𝑢1 𝑢2 𝑢3

]𝑇representa o vetor unitario na direcao do eixo de rotacao do

corpo rıgido e 𝜃 o angulo da rotacao, pode-se verificar que a norma ||𝑞|| e unitaria. Alem

disso, o quaternio 𝑞 representa uma rotacao de um angulo 𝜃 ao longo do eixo u.

A multiplicacao de dois quaternios representa a rotacao resultante da aplicacao

de cada rotacao de maneira individual ao corpo rıgido. Note que a operacao de multipli-

cacao nao e comutativa, de onde pode-se concluir que a aplicacao de rotacoes sucessivas

deve ser ordenada para que a rotacao equivalente obtida por meio da multiplicacao dos

quaternios seja consistente. Alem disso, como decorrencia direta da propriedade de rota-

cao, verifica-se que a operacao 𝑞⊗ 𝑝⋆ fornece a diferenca entre as rotacoes de 𝑞 e 𝑝, sendo

util na derivacao de uma metrica de erro para o sistema de controle. Em outras palavras,

pode-se definir um quaternio de erro

𝑞𝑒𝑟𝑟 = 𝑞 ⊗ 𝑞⋆𝑟𝑒𝑓 ,

no qual se deseja como objetivo de controle que 𝑞𝑒𝑟𝑟 convirja para a origem, neste caso

representada pela atitude de voo planado, 𝑞𝑒𝑟𝑟 =[0 0 0 1

]𝑇, que, por sua vez, significa

que o sistema encontra-se na orientacao 𝑞𝑟𝑒𝑓 .

Consideremos novamente a situacao mostrada na Figura 2. A transformacao

𝐶𝐵/𝐴 que relaciona os vetores expressos na base 𝐴 aos vetores expressos na base 𝐵, ou

seja

b = 𝐶𝐵/𝐴a,

pode ser expressa em termos da parametrizacao de quaternios pela seguinte matriz de

transformacao (WIE, 1998)

𝐶𝐵/𝐴 =

⎡⎢⎢⎢⎣1− 2(𝑞2

2 + 𝑞23) 2(𝑞1𝑞2 + 𝑞3𝑞4) 2(𝑞1𝑞3 − 𝑞2𝑞4)

2(𝑞2𝑞1 − 𝑞3𝑞4) 1− 2(𝑞21 + 𝑞2

3) 2(𝑞2𝑞3 + 𝑞1𝑞4)2(𝑞3𝑞1 + 𝑞2𝑞4) 2(𝑞3𝑞2 − 𝑞1𝑞4) 1− 2(𝑞2

1 + 𝑞22)

⎤⎥⎥⎥⎦ . (2.7)


De maneira compacta, a equacao (2.7) pode ser escrita como

𝐶𝐵/𝐴 = (𝑞24 − qTq)I + 2qTq − 2𝑞4𝑄

× (2.8)

com 𝑄× sendo a matriz anti-simetrica

𝑄× =

⎡⎢⎢⎢⎣0 −𝑞3 𝑞2

𝑞3 0 −𝑞1

−𝑞2 𝑞1 0

⎤⎥⎥⎥⎦ .Com respeito a matriz 𝐶𝐵/𝐴 pode-se tecer algumas observacoes. Inicialmente,

devido a restricao de norma do quaternio, esta se trata de uma matriz ortogonal, de onde

se conclui que (𝐶𝐵/𝐴)−1 = 𝐶𝐴/𝐵 = (𝐶𝐵/𝐴)𝑇 . Alem disso, | det(𝐶𝐴/𝐵)| = 1. As notacoes

simplificadas 𝐶, para representar a matriz 𝐶𝐵/𝐴, e 𝐶𝑇 , para representar a matriz 𝐶𝐴/𝐵,

sao utilizadas no decorrer deste texto. A proxima secao aborda a obtencao das equacoes

dinamicas de movimento para o quadricoptero fazendo uso da restricao cinematica (2.4)

particularizada para a representacao da orientacao por meio de quaternios.

2.2.3 Dinamica Lagrangeana

Esta secao apresenta o desenvolvimento das equacoes dinamicas do veıculo

utilizando a representacao de quaternios. Neste contexto, deseja-se obter um conjunto

de equacoes diferenciais nao-lineares capazes de relacionar os estados do sistema com

as entradas representadas pelas velocidades rotoricas impostas aos quatro atuadores. Os

estados considerados consistem das tres posicoes e as quatro variaveis do quaternio de

orientacao 𝜈 =[𝑥 𝑦 𝑧 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4

]𝑇. A abordagem escolhida baseia-se na utiliza-

cao do formalismo de Euler-Lagrange para a obtencao das equacoes de movimento. Esta

abordagem considera o sistema mecanico sob o ponto de vista de sua energia total, sendo

as equacoes obtidas por meio da aplicacao do princıpio de acao mınima na equacao de

energia (funcao Lagrangeana) (MORIN, 2008). A referencia (KATAGIRI, 2016) realiza

um desenvolvimento similar ao realizado neste secao.

A formulacao de um modelo dinamico obtido em funcao da energia do sistema

mecanico permite a concepcao de um modelo mais preciso para a representacao das forcas

atuantes no veıculo, ao preco de um esforco computacional elevado para a resolucao do

sistema. Alem disso, como sera observado posteriormente, a modelagem permite a inclusao

de diferentes efeitos aerodinamicos, sendo os mais comuns o empuxo lateral e vertical

(MAHONY et al., 2012). Como descrito em (MORIN, 2008), inicialmente define-se a

funcao Lagrangeana como segue

𝐿 = 𝑇 − 𝑉. (2.9)

Neste contexto, 𝑇 representa a energia cinetica total do sistema, enquanto que 𝑉 repre-

senta a sua energia potencial. A obtencao das equacoes de movimento segue a partir da


aplicacao da condicao de otimalidade da equacao de Euler-Lagrange. O quadricoptero

trata-se de um sistema mecanico dissipativo, sendo que a energia total do sistema nao se

conserva. Alem disso, as variaveis de estado representativas do quaternio de orientacao 𝑞

nao possuem interpretacao fısica direta. Neste cenario, faz-se necessaria a consideracao da

condicao de otimalidade com forcas e coordenadas generalizadas (ver (MORIN, 2008)),

que permite o tratamento destas particularidades do sistema.

A energia cinetica total pode ser dividida em duas parcelas: uma parcela re-

ferente ao movimento translacional e outra referente ao movimento rotacional. Assim,

definindo os vetores p =[𝑥 𝑦 𝑧

]𝑇∈ R3 e w =

[Ω1 Ω2 Ω3

]𝑇∈ R3, pode-se escrever

𝑇 =𝑇𝑟𝑜𝑡 + 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠,

𝑇𝑟𝑜𝑡 =12w𝑇𝐽w, (2.10)

𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 =𝑚2 v𝑇 v,

com 𝐽 = diag (𝐽𝑥𝑥, 𝐽𝑦𝑦, 𝐽𝑧𝑧) representando a matriz diagonal de inercia do veıculo.

A energia potencial, por sua vez, e obtida de maneira trivial como sendo 𝑉 =−𝑚𝑔𝑧 . A equacao Lagrangeana em sua forma completa e dada por

𝐿 = 𝑚

2 v𝑇 v + 12w𝑇𝐽w−𝑚𝑔𝑧. (2.11)

A equacao (2.5) permite relacionar a velocidade angular do corpo rıgido com a matriz de

orientacao 𝐶. Desta forma, considerando a representacao particular de 𝐶 em funcao do

quaternio 𝑞 (Eq. (2.7)) pode-se estabelecer, conforme descrito em (WIE, 1998), a seguinte

relacao entre a velocidade angular e o quaternio de orientacao 𝑞

Ω1 = 2(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2 − 𝑞4𝑞1),

Ω2 = 2(𝑞2𝑞4 + 𝑞3𝑞1 − 𝑞1𝑞3 − 𝑞4𝑞2), (2.12)

Ω3 = 2(𝑞3𝑞4 + 𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 − 𝑞4𝑞3).

Descrevendo a equacao (2.11) explicitamente em funcao do quaternio 𝑞 obtem-

se

𝐿 = 𝑚

2(��2 + ��2 + ��2

)−𝑚𝑔𝑧 + 2

[𝐽𝑥𝑥(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2 − 𝑞4𝑞1)2

+𝐽𝑦𝑦(𝑞2𝑞4 + 𝑞3𝑞1 − 𝑞1𝑞3 − 𝑞4𝑞2)2 + 𝐽𝑧𝑧(𝑞3𝑞4 + 𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 − 𝑞4𝑞3)2], (2.13)

sendo esta a forma final da funcao Lagrangeana utilizada na modelagem do quadricoptero.

A condicao de Euler-Lagrange considerando coordenadas e forcas generalizadas pode ser

escrita como sendo

𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

)− 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

= 𝑄𝑞𝑖, (2.14)


sendo 𝑞𝑖 a i-esima coordenada generalizada e𝑄𝑞𝑖a forca virtual nao-conservativa associada

a i-esima coordenada generalizada. A definicao das forcas nao-conservativas atuantes no

sistema e dada por (MORIN, 2008)

𝑄𝑞𝑖=∑

𝑗

𝐹𝑗 ·(𝜕rj

𝜕𝑞𝑖

), (2.15)

sendo que 𝐹𝑗 e 𝑟𝑗 representam a j-esima forca aplicada e a coordenada do ponto de apli-

cacao da forca, respectivamente. Para o caso especıfico do quadricoptero, as coordenadas

de aplicacao das forcas podem ser descritas por meio das expressoes

r1 = 𝑥 · a1 + 𝑦 · a2 + 𝑧 · a3 + 𝑙 · b1,

r2 = 𝑥 · a1 + 𝑦 · a2 + 𝑧 · a3 + 𝑙 · b2,

r3 = 𝑥 · a1 + 𝑦 · a2 + 𝑧 · a3 − 𝑙 · b1, (2.16)

r4 = 𝑥 · a1 + 𝑦 · a2 + 𝑧 · a3 − 𝑙 · b2.

No contexto das forcas atuantes, considera-se que cada propulsor exerce forcas

no sentido normal e coplanar ao ponto de aplicacao, sendo estas forcas proporcionais ao

quadrado da velocidade rotorica desenvolvida por cada rotor, podendo ser expressas como

segue

𝐹1 = 𝑘𝜔21 · b3 + 𝑏𝜔2

1 · b2,

𝐹2 = 𝑘𝜔22 · b3 + 𝑏𝜔2

2 · b1,

𝐹3 = 𝑘𝜔23 · b3 − 𝑏𝜔2

3 · b2, (2.17)

𝐹4 = 𝑘𝜔24 · b3 − 𝑏𝜔2

4 · b1,

sendo que 𝜔𝑖 representa a velocidade rotorica desenvolvida pelo i-esimo atuador e 𝑘 e 𝑏

sao as constantes de empuxo vertical e lateral, respectivamente, sendo estes parametros

intrınsecos ao propulsor empregado.

2.2.4 Equacoes de Movimento

A obtencao das equacoes de movimento para a dinamica do veıculo segue da

aplicacao da condicao descrita na equacao (2.14) considerando a funcao Lagrangeana

(2.13) para cada coordenada. O computo das forcas generalizadas, tal qual descrito pela

equacao (2.15), e realizado para cada grau de liberdade. Desta forma, obtem-se as seguintes

relacoes para cada grau de liberdade do sistema

∙ Coordenada 𝑥:

𝑚�� = 𝑄𝑥. (2.18)


∙ Coordenada 𝑦:

𝑚𝑦 = 𝑄𝑦. (2.19)

∙ Coordenada 𝑧:

𝑚𝑧 = 𝑄𝑧 −𝑚𝑔. (2.20)

∙ Coordenada 𝑞1:

4𝐽𝑥𝑥

[− 𝑞4(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2 − 𝑞4𝑞1)− (𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2)𝑞4 − (𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2

−𝑞4𝑞1)𝑞4

]+ 4𝐽𝑦𝑦

[− 𝑞3(𝑞1𝑞3 − 𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)− (𝑞1𝑞3 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)𝑞3

−(𝑞1𝑞3 − 𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)𝑞3

]+ 4𝐽𝑧𝑧

[− 𝑞2(𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)

−(𝑞1𝑞2 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)𝑞2 − (𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)𝑞2

]= 𝑄𝑞1 . (2.21)


4𝐽𝑥𝑥

[− 𝑞3(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2 − 𝑞4𝑞1)− (𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞4𝑞1)𝑞3 − (𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2

−𝑞4𝑞1)𝑞3

]+ 4𝐽𝑦𝑦

[𝑞4(𝑞1𝑞3 − 𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)− 𝑞4(𝑞3𝑞1 − 𝑞1𝑞3 + 𝑞2𝑞4) + 𝑞4(𝑞1𝑞3

−𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)]

+ 4𝐽𝑧𝑧

[𝑞1(𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)− (𝑞2𝑞1 − 𝑞3𝑞4 + 𝑞4𝑞3)𝑞1

+(𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)𝑞1

]= 𝑄𝑞2 . (2.22)


4𝐽𝑥𝑥

[𝑞2(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2 − 𝑞4𝑞1)− 𝑞2(𝑞3𝑞2 − 𝑞1𝑞4 + 𝑞4𝑞1) + 𝑞2(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2

−𝑞4𝑞1)]

+ 4𝐽𝑦𝑦

[𝑞1(𝑞1𝑞3 − 𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)− (𝑞3𝑞1 + 𝑞2𝑞4 − 𝑞4𝑞2)𝑞1 + (𝑞1𝑞3

−𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)𝑞1

]+ 4𝐽𝑧𝑧

[− 𝑞4(𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)− (𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1

+𝑞3𝑞4)𝑞4 − (𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)𝑞4

]= 𝑄𝑞3 . (2.23)



4𝐽𝑥𝑥

[𝑞1(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2 − 𝑞4𝑞1)− 𝑞1(𝑞3𝑞2 − 𝑞2𝑞3 + 𝑞4𝑞1) + 𝑞1(𝑞1𝑞4 + 𝑞2𝑞3 − 𝑞3𝑞2

−𝑞4𝑞1)]

+ 4𝐽𝑦𝑦

[− 𝑞2(𝑞1𝑞3 − 𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)− (𝑞1𝑞3 − 𝑞3𝑞1 + 𝑞4𝑞2)𝑞2 − (𝑞1𝑞3

−𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4 + 𝑞4𝑞2)𝑞2

]+ 4𝐽𝑧𝑧

[𝑞3(𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)− 𝑞3(𝑞2𝑞1 − 𝑞1𝑞2

+𝑞4𝑞3) + 𝑞3(𝑞1𝑞2 − 𝑞2𝑞1 + 𝑞3𝑞4 − 𝑞4𝑞3)]

= 𝑄𝑞4 . (2.24)

Note que, a partir das equacoes de movimento para cada estado, pode-se construir um

sistema de equacoes diferenciais de ordem dois que, por sua vez, pode ser resolvido com-

putacionalmente. Aplicando as expressoes para as forcas atuantes, equacao (2.17), bem

como as equacoes referentes ao ponto de aplicacao das forcas, equacao (2.16), na equacao

(2.15) para cada coordenada, obtem-se as respectivas equacoes das forcas generalizadas

atuantes sobre o corpo:

∙ Coordenada 𝑥:

𝑄𝑥 = 2𝑘(𝜔21 + 𝜔2

2 + 𝜔23 + 𝜔2

4)(𝑞2𝑞4 + 𝑞1𝑞3)

+𝑏(𝜔22 − 𝜔2

4)(1− 2(𝑞22 + 𝑞2

3))

+2𝑏(𝜔21 − 𝜔2

3)(𝑞1𝑞2 − 𝑞3𝑞4). (2.25)

∙ Coordenada 𝑦:

𝑄𝑦 = 2𝑘(𝜔21 + 𝜔2

2 + 𝜔23 + 𝜔2

4)(𝑞3𝑞2 − 𝑞1𝑞4)

+2𝑏(𝜔22 − 𝜔2

4)(𝑞3𝑞4 + 𝑞1𝑞2)+

𝑏(𝜔21 − 𝜔2

3)(1− 2(𝑞21 + 𝑞2

3)). (2.26)

∙ Coordenada 𝑧:

𝑄𝑧 = 𝑘(𝜔21 + 𝜔2

2 + 𝜔23 + 𝜔2

4)(1− 2(𝑞21 + 𝑞2

2))

+2𝑏(𝜔22 − 𝜔2

4)(𝑞3𝑞1 − 𝑞2𝑞4)

+2𝑏(𝜔21 − 𝜔2

3)(𝑞1𝑞4 + 𝑞3𝑞2). (2.27)

As expressoes das forcas generalizadas para os estados 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 e 𝑞4 envolvem a

transformacao de vetores para o referencial inercial e, por questao de compactacao

da notacao, sao apresentadas em sua formulacao matricial. Definindo os vetores

auxiliares

f𝐵1 =

⎡⎢⎢⎢⎣𝑏(−𝜔2

1 − 𝜔23)

𝑏(𝜔21 + 𝜔2

3)𝑘(𝜔2

1 − 𝜔23)

⎤⎥⎥⎥⎦ , f𝐵2 =

⎡⎢⎢⎢⎣𝑏(𝜔2

2 + 𝜔24)

𝑏(𝜔22 + 𝜔2

4)𝑘(𝜔2

2 − 𝜔24)

⎤⎥⎥⎥⎦ , (2.28)

obtem-se para cada coordenada:



𝑄𝑞1 = 𝑙

((𝐶𝑇 f𝐵

1

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣0

2𝑞2

2𝑞3

⎤⎥⎥⎥⎦+(𝐶𝑇 f𝐵

2

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣2𝑞2

−4𝑞1

2𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎦). (2.29)


𝑄𝑞2 = 𝑙

((𝐶𝑇 f𝐵

1

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣−4𝑞2

2𝑞1

−2𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎦+(𝐶𝑇 f𝐵

2

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣2𝑞1

02𝑞3

⎤⎥⎥⎥⎦). (2.30)


𝑄𝑞3 = 𝑙

((𝐶𝑇 f𝐵

1

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣−4𝑞3

2𝑞4

2𝑞1

⎤⎥⎥⎥⎦+(𝐶𝑇 f𝐵

2

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣−2𝑞4

−4𝑞3

2𝑞2

⎤⎥⎥⎥⎦). (2.31)


𝑄𝑞4 = 𝑙

((𝐶𝑇 f𝐵

1

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣0

2𝑞3

−2𝑞2

⎤⎥⎥⎥⎦+(𝐶𝑇 f𝐵

2

)𝑇·

⎡⎢⎢⎢⎣−2𝑞3

02𝑞1

⎤⎥⎥⎥⎦). (2.32)

As equacoes dinamicas (2.18)-(2.24), associadas com as respectivas forcas ge-

neralizadas dadas pelas equacoes (2.25)-(2.32), fornecem um modelo de segunda ordem

que rege a dinamica de movimento linear e rotacional do veıculo. No contexto deste traba-

lho, o modelo dinamico completo e empregado na construcao de um simulador, conforme

descrito na proxima secao. Deve-se destacar que as forcas atuantes no veıculo, nomeada-

mente as forcas relacionadas a cada um dos propulsores, foram consideradas como sendo

proporcionais ao quadrado da velocidade rotorica de cada rotor. Embora seja uma con-

sideracao valida para uma faixa limitada de operacao, pode-se incluir outros efeitos de

natureza aerodinamica, resultando em um sistema de maior complexidade computacional.

2.3 Simulacao Computacional

O desenvolvimento de um simulador baseado na dinamica nao-linear do veıculo

permite uma maior compreensao das caracterısticas e dos principais desafios do projeto

de controle deste tipo de aeronave. Alem disso, a utilizacao de um simulador permite a

rapida prototipacao de controladores e de estrategias de estimacao de estados.

Seguindo estas premissas, construiu-se um simulador considerando a dinamica

nao-linear desenvolvida na secao anterior. De maneira conceitual, podemos estruturar o


software criado por meio da ilustracao apresentada na Figura 3. De maneira sintetica, o

funcionamento do simulador compreende a resolucao do sistema de equacoes diferenciais

nao-lineares de segunda ordem (representado pelo bloco “Planta nao-linear”) a partir das

entradas e dos estados no instante atual de simulacao. As entradas sao as velocidades

rotoricas aplicadas aos motores instalados no veıculo. Em um cenario mais realista, a di-

namica do controle de velocidade dos motores deve ser considerada, visto que a velocidade

comandada pelo sistema de controle nao pode ser instantaneamente desenvolvida pelo mo-

tor devido a sua propria dinamica. No entanto, para propositos de validacao do controle

de orientacao, desconsiderou-se esta dinamica, assumindo que a velocidade comandada e

instantaneamente refletida na velocidade dos motores.

A estrutura de controle apresentada segue as linhas gerais de (ALEXIS et al.,

2011), na qual estrutura-se o controlador do quadricoptero em funcao de dois subsiste-

mas com dinamicas desacopladas, sendo o primeiro, em mais baixo nıvel, caracterizado

pelo controle de atitude do veıculo e o segundo responsavel pelo controle de posicao. O

simulador conta com a implementacao somente do controle de atitude, sendo o controle

de posicao topico para desenvolvimentos futuros.

Estrategia deControle

...

...

sacirotoRsedadicoleVoluclaC

raenil-oanatnalP

τxτyτz

ω1

ω2

ω3

ω4

Ref.

Controle de Atitude:

Estados

o:acisoPedelortnoC

Figura 3 – Estrutura conceitual do simulador desenvolvido.

A estrategia de controle baseia-se no calculo dos torques que devem ser aplica-

dos ao corpo rıgido para que um determinado objetivo seja atingido. Considerando o caso

do controle de orientacao, o principal objetivo e o rastreamento de referencias de atitude

para um determinado envelope de voo. A definicao deste envelope esta intimamente relaci-

onada com a complexidade do controlador empregado, levando em consideracao aspectos

como realimentacao dos estados, linearizacao, ordem do controlador, etc. De maneira ge-

ral, controladores mais complexos tendem a prover uma regiao de operacao mais ampla.


2.4 Projeto do Controlador

Como visto na Secao 2.1, o veıculo quadricoptero e subatuado, possuindo qua-

tro entradas disponıveis para controle. Desta forma, o projeto de controle apresenta-se

como um desafio teorico e pratico. O objetivo principal desta secao e a concepcao de um

controlador LPV capaz de estabilizar o veıculo em uma orientacao especıfica, em geral

com um desempenho superior a controladores robustos (que nao dependem dos parame-

tros). Particularmente, interessa-se pela orientacao de voo planado, na qual as velocidades

rotoricas dos motores sao iguais e compensam o peso do proprio veıculo. O projeto do con-

trolador e realizado em funcao da utilizacao da teoria de Lyapunov para sistemas lineares

com parametros variantes no tempo (MOHAMMADPOUR; SCHERER, 2012; APKA-

RIAN; GAHINET, 1995; APKARIAN; ADAMS, 1998). As condicoes para a sıntese do

controlador sao expressas em termos de LMIs dependente de parametros, sendo estas re-

solvidas computacionalmente por algoritmos eficientes utilizando as chamadas ”relaxacoes

LMIs”, que podem ser obtidas a partir da imposicao de estruturas polinomiais para as

variaveis de decisao do problema.

A utilizacao de tecnicas de controle LPV para o controle de sistemas nao-

lineares constitui uma maneira generalista e elegante de tratamento e vem sendo exten-

sivamente utilizada em aplicacoes de controle, nas quais o desempenho de controladores

convencionais (em geral robustos) nao e satisfatorio. A principal caracterıstica que permite

o uso desta abordagem em sistemas nao-lineares e o fato de as nao-linearidades presentes

na planta serem modeladas como parametros independentes (dos estados), assumindo-se

que estes se encontram confinados em um certo conjunto convexo. Desta forma, tecnicas

consagradas de analise e sıntese de sistemas lineares podem ser empregadas no projeto

do controlador. Nao obstante, o emprego de tecnicas LPV perfaz uma metodologia sis-

tematica de sıntese, diferentemente do projeto de controladores nao-lineares, que requer

um procedimento orientado ao problema especıfico em consideracao. No entanto, espera-

se resultados mais conservadores do controlador projetado para o modelo linear quando

comparado com tecnicas nao-lineares adotadas especificamente para o projeto de controle

de orientacao do quadricoptero.

Esta secao apresenta a derivacao de um modelo nao-linear afim capaz de re-

presentar a dinamica rotacional do veıculo para manobras de grande variacao angular.

A representacao da orientacao utilizada na sıntese do controlador e a dos parametros de

Cayley-Rodrigues (TSIOTRAS, 1996). Esta representacao relaciona-se diretamente com a

formulacao utilizando quaternios e possui algumas vantagens que sao exploradas durante

o processo de sıntese.

No decorrer do desenvolvimento, apresenta-se as equacoes dinamicas utilizadas

na sıntese do controlador, bem como observacoes sobre a particularidade de cada repre-

sentacao. Por fim, a tecnica de sıntese do controlador para o sistema LPV e os resultados

de simulacao sao apresentados e discutidos. Assume-se que as velocidades angulares e o


quaternio de orientacao da aeronave sao parametros lidos em tempo real e disponıveis

para o calculo do controlador.

2.4.1 Dinamica Simplificada do Sistema

Inumeros trabalhos na literatura abordam o controle da orientacao de veıculos

aereos utilizando a representacao de quaternios. Dentre estes, destacam-se os trabalhos

de Hall et al. (2010), Wie et al. (1989) e Lim (2001). Recentemente, os trabalhos de

Kehlenbeck (2014) e Fresk e Nikolakopoulos (2013) abordam o caso especıfico do controle

de quadricopteros utilizando quaternios. No entanto, abordagens que considerem o projeto

do controlador de orientacao por meio de procedimentos de sıntese utilizando tecnicas

de projeto baseadas em LMIs nao foram exploradas para o caso particular do veıculo

quadricoptero. O trabalho de Lim (2001) realiza a sıntese de um controlador LPV para

a dinamica dos quaternios de maneira similar a desenvolvida neste trabalho. A descricao

do sistema nao-linear segue a partir da definicao de um quaternio de erro associado a um

quaternio de referencia 𝑞𝑟𝑒𝑓 , sendo esta a referencia para a qual deseja-se que o sistema

convirja. Desta forma, o quaternio de erro pode ser obtido por

𝑞𝑒𝑟𝑟 = 𝑞𝑟𝑒𝑓 ⊗ 𝑞*. (2.33)

Sendo o quaternio de erro dado por 𝑞𝑒𝑟𝑟 =[𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4

]𝑇, pretende-se en-

contrar uma representacao em espaco de estados para a dinamica do quaternio 𝑞𝑒𝑟𝑟. Para

tanto, considere a equacao (2.12) e a restricao de norma do quaternio

𝑞21 + 𝑞2

2 + 𝑞23 + 𝑞2

4 = 1. (2.34)

Derivando esta igualdade em relacao ao tempo obtem-se

0 = 2(𝑞1𝑞1 + 𝑞2𝑞2 + 𝑞3𝑞3 + 𝑞4𝑞4).

Incluindo a informacao da equacao (2.12) resulta em⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ω1

Ω2

Ω3

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑞4 𝑞3 −𝑞2 −𝑞1

−𝑞3 𝑞4 𝑞1 −𝑞2

𝑞2 −𝑞1 𝑞4 −𝑞3

𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑞1

𝑞2

𝑞3

𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (2.35)

Considerando-se a restricao de norma, pode-se concluir que a matriz apresentada na equa-

cao (2.35) e ortogonal, portanto sua inversa e igual a sua transposta. Desta forma,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑞1

𝑞2

𝑞3

𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 12

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑞4 −𝑞3 𝑞2 𝑞1

𝑞3 𝑞4 −𝑞1 𝑞2

−𝑞2 𝑞1 𝑞4 𝑞3

−𝑞1 −𝑞2 −𝑞3 𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ω1

Ω2

Ω3

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (2.36)


A equacao (2.36) pode ser escrita de maneira compacta como sendo

q =12𝑄

×Ω + 12𝑞4IΩ, (2.37)

𝑞4 =− 12q𝑇 Ω,

com q =[𝑞1 𝑞2 𝑞3

]𝑇.

Considerando 𝑞𝑟𝑒𝑓 =[0 0 0 1

]𝑇, verifica-se que, em uma situacao de voo

planado, 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 ≈ 0 e a parte real do quaternio 𝑞𝑒𝑟𝑟 converge para +1 ou −1, com

o sinal indicando a direcao da rotacao (WIE et al., 1989).

A dinamica angular do veıculo pode ser descrita por meio da equacao de Euler

como sendo

𝐽Ω + Ω×𝐽Ω = u, (2.38)

com 𝑢 representando a entrada de controle, isto e, a relacao de torque dos quatro propul-

sores instalados no veıculo com relacao as forcas geradas. Se considerarmos a relacao de

como as forcas foram definidas na modelagem utilizando o formalismo Lagrangeano, pode-

mos concluir as seguintes relacoes entre os torques comandados e as velocidades rotoricas

dos quatro propulsores

u =

⎡⎢⎢⎢⎣𝜏𝑥

𝜏𝑦

𝜏𝑧

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣𝑙𝑘(𝜔2

2 − 𝜔24)

𝑙𝑘(𝜔21 − 𝜔2

3)𝑙𝑏(𝜔2

1 − 𝜔22 + 𝜔2

3 − 𝜔24)

⎤⎥⎥⎥⎦ . (2.39)

Para a realizacao do controle do quadricoptero, necessita-se converter os tor-

ques atuantes no corpo nas quatro velocidades dos propulsores. O sistema de equacoes

(2.39) relaciona as quatro velocidades rotoricas com os tres torques atuantes. Desta forma,

nao e possıvel encontrar uma solucao para a relacao desejada. Para contornar este pro-

blema introduz-se a equacao do impulso vertical coletivo

𝑈 = 𝑘(𝜔21 + 𝜔2

2 + 𝜔23 + 𝜔2

4).

Definindo as variaveis auxiliares 𝑇𝑥 = 𝜏𝑥/𝑙𝑘, 𝑇𝑦 = 𝜏𝑦/𝑙𝑘, 𝑇𝑧 = 𝜏𝑧/𝑙𝑏 e 𝑈𝑇 = 𝑈/𝑘

pode-se reescrever o sistema de equacoes como sendo⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑇𝑥

𝑇𝑦

𝑇𝑧

𝑈𝑇

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 1 0 −11 0 −1 01 −1 1 −11 1 1 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝜔2

1

𝜔22

𝜔23

𝜔24

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , (2.40)

resultando na seguinte solucao para as velocidades rotoricas⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝜔2

1

𝜔22

𝜔23

𝜔24

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 14

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 2 1 12 0 −1 10 −2 1 1−2 0 −1 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑇𝑥

𝑇𝑦

𝑇𝑧

𝑈𝑇

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (2.41)


𝜔1 =12√

2𝑇𝑦 + 𝑇𝑧 + 𝑈𝑇 , > 0,

𝜔2 =12

√2𝑇𝑥 − 𝑇𝑧 + 𝑈𝑇 , > 0,

𝜔3 =12√−2𝑇𝑦 + 𝑇𝑧 + 𝑈𝑇 , > 0,

𝜔4 =12

√−2𝑇𝑥 − 𝑇𝑧 + 𝑈𝑇 , > 0.

As equacoes (2.37) e (2.38) constituem um sistema dinamico que pode ser

escrito na forma de um sistema de dimensao sete no espaco de estados como segue:

x = 𝐴(x)x +𝐵u. (2.42)

com

𝐴(x) =

⎡⎢⎢⎢⎣−𝐽−1Ω×𝐽 0 0

12𝑄

×I + 12𝑞4I 0 0

−12q𝑇 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐵 =

⎡⎢⎢⎢⎣𝐽−1

00

⎤⎥⎥⎥⎦ , 𝑥 =

⎡⎢⎢⎢⎣Ωq𝑞4

⎤⎥⎥⎥⎦ . (2.43)

A equacao dinamica dada em (2.42) representa um sistema nao-linear afim com

parametros variantes no tempo. A estrategia de controle utilizando a abordagem LPV con-

siste na transformacao dos estados presentes na matriz dinamica em parametros variantes

no tempo limitados e desacoplados dos estados. O emprego desta consideracao aumenta

o conservadorismo do controlador projetado, visto que este nao leva em consideracao a

relacao direta entre os parametros e os estados do sistema. Os parametros variantes sao

limitados em dois sentidos: o quaternio de erro 𝑞 possui a restricao de norma ||𝑞||2 = 1para que este represente uma rotacao; a velocidade angular do corpo rıgido usualmente

limita-se pela capacidade de leitura dos sensores presentes em uma unidade inercial movel

(LIM, 2001).

Desta forma, e possıvel construir um sistema linear afim com parametros va-

riantes no tempo a partir dos limites de operacao do sistema. No entanto, o projeto de

um controlador utilizando as tecnicas LPV para o sistema (2.42) nao pode ser realizado

devido a algumas caracterısticas do sistema. Inicialmente, a restricao de norma nao pode

ser introduzida na formulacao do problema devido a sua caracterıstica nao linear. Em

contrapartida, a referencia (LIM, 2001) sugere a relaxacao de tal restricao assumindo-

se que os parametros do quaternio 𝑞 encontram-se em um hipercubo unitario. Note que

tal relaxacao torna o problema demasiadamente conservador, pois a grande maioria dos

estados considerados validos no projeto nao atendem a restricao de norma, sendo ina-

tingıveis do ponto de vista da operacao do veıculo. Alem disso, existem parametros na


regiao considerada valida que resultam em um par (𝐴,𝐵) nao-controlavel (por exemplo

𝑞 =[0 0 0 0

]𝑇). Com intuito de mitigar este problema, o trabalho de (LIM, 2001)

propoe o projeto de um controlador auxiliar, baseado na parametrizacao 𝑄.

Um outro ponto a ser considerado e a necessidade de tratar um sistema com

sete parametros variantes no tempo. A construcao de LMIs para tratar um problema desta

magnitude pode demandar um alto esforco computacional. Tendo em vista os problemas

apresentados e baseando-se no trabalho de (HUGHES; WU, 2008), optou-se por utilizar

a representacao de Cayley-Rodrigues para a orientacao do veıculo. Os resultados deste

capıtulo diferem do desenvolvimento de (HUGHES; WU, 2008) por considerar o projeto

do controlador utilizando aproximacoes polinomiais (relaxacoes) aplicadas ao conjunto de

LMIs dependente de parametros que surgem na formulacao do problema. Em (HUGHES;

WU, 2008), as LMIs do projeto do controlador sao construıdas a partir da amostragem

de um numero finito de pontos interiores a regiao de operacao. Esta abordagem nao so

aumenta a complexidade computacional do problema como nao fornece garantia teorica,

por exemplo de estabilidade, para os demais pontos no espaco de parametros. Alem disso,

o numero de termos utilizados no controlador esta diretamente associado ao numero de

pontos amostrados.

Como discutido em (TSIOTRAS, 1996), a definicao da orientacao usando o

quaternio 𝑞 e redundante, pois se utiliza quatro parametros para descrever tres graus de

liberdade. Ainda, a formulacao dada em (2.6) garante que a restricao de norma (2.34) e

atendida, sendo sempre possıvel renormalizar o quaternio obtido. Desta forma, a orienta-

cao do corpo rıgido pode ser definida em termos dos tres parametros de Cayley-Rodrigues,

nomeadamente p =[𝑝1 𝑝2 𝑝3

]𝑇, como segue

𝑝1 = 𝑞1

𝑞4,

𝑝2 = 𝑞2

𝑞4,

𝑝3 = 𝑞3

𝑞4, (2.44)

sendo os tres parametros relacionados pela restricao

𝑝21 + 𝑝2

2 + 𝑝23 = 1

𝑞24− 1

e a faixa de rotacoes validas limitada por um angulo maximo de Φ = 𝜋. A dinamica de 𝑝

pode ser escrita, conforme (TSIOTRAS, 1996), como sendo

p = 12(I− 𝑃× + pp𝑇 )Ω

= 12

⎡⎢⎢⎢⎣1 + 𝑝2

1 𝑝3 + 𝑝1𝑝2 −𝑝2 + 𝑝1𝑝3

−𝑝3 + 𝑝1𝑝2 1 + 𝑝22 𝑝1 + 𝑝2𝑝3

𝑝2 + 𝑝1𝑝3 −𝑝1 + 𝑝2𝑝3 1 + 𝑝23

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣Ω1

Ω2

Ω3

⎤⎥⎥⎥⎦ , (2.45)


resultando no seguinte sistema em espaco de estados (considerando a dinamica de Ω dada

pela equacao (2.38)):

x = 𝐴(x)x +𝐵u (2.46)

com

𝐴(x) =⎡⎣ −𝐽−1Ω×𝐽 0 0

12(I− 𝑃× + pp𝑇 ) 0 0

⎤⎦ ,

𝐵 =

⎡⎢⎢⎢⎣𝐽−1

00

⎤⎥⎥⎥⎦ , 𝑥 =⎡⎣Ω

p

⎤⎦ . (2.47)

Nota-se que, para um valor fixo dos parametros do sistema (2.47), o par (𝐴,𝐵) e sempre

controlavel, sendo portanto adequada a aplicacao de tecnicas de controle LPV para o

projeto do controlador. A linearizacao do sistema (2.47) parte da consideracao de que

os estados {Ω1, Ω2, Ω3, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3} da matriz dinamica 𝐴(x) representam parametros

variantes no tempo, para os quais nao se assume nenhuma relacao com o estado original.

Desta forma, pode-se construir um sistema linear variante no tempo com dependencia

polinomial nos parametros atribuindo a cada estado um parametro 𝜃 = {𝜃1, 𝜃2, 𝜃3} como

segue:

x = 𝐴(𝜃)x +𝐵u (2.48)

com

𝐴(𝜃) = 12

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 −2(𝐽22𝜃6)/𝐽11 2(𝐽33𝜃5)/𝐽11 0 0 02(𝐽11𝜃6)/𝐽22 0 −2(𝐽33𝜃4)/𝐽22 0 0 0−2(𝐽11𝜃5)/𝐽33 2(𝐽22𝜃4)/𝐽33 0 0 0 0

(1 + 𝜃21) (𝜃1𝜃2 + 𝜃3) (𝜃1𝜃3 − 𝜃2) 0 0 0

(𝜃1𝜃2 − 𝜃3) (1 + 𝜃22) (𝜃2𝜃3 + 𝜃1) 0 0 0

(𝜃1𝜃3 + 𝜃2) (𝜃2𝜃3 − 𝜃1) (1 + 𝜃23) 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (2.49)

Note que matriz 𝐴(𝜃) possui seis parametros variantes no tempo. Com o intuito de reduzir

o esforco computacional necessario para a sıntese do controlador, (HUGHES; WU, 2008)

propoe o cancelamento do termo giroscopico (−𝐽−1Ω×𝐽) por meio da lei de controle.

Considerando a lei de controle

u = Ω×𝐽 +𝐾(𝜃)x, (2.50)


observa-se um cancelamento exato do termo giroscopico, resultando em uma matriz dina-

mica equivalente do sistema a ser controlado dada por

𝐴(𝜃) = 12

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

(1 + 𝜃21) (𝜃1𝜃2 + 𝜃3) (𝜃1𝜃3 − 𝜃2) 0 0 0

(𝜃1𝜃2 − 𝜃3) (1 + 𝜃22) (𝜃2𝜃3 + 𝜃1) 0 0 0

(𝜃1𝜃3 + 𝜃2) (𝜃2𝜃3 − 𝜃1) (1 + 𝜃23) 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (2.51)

A matriz 𝐴(𝜃) pode ser reescrita em funcao dos seus monomios como sendo

𝐴(𝜃) = 𝐴000 + 𝜃21𝐴200 + 𝜃2

2𝐴020 + 𝜃23𝐴002 + 𝜃1𝜃2𝐴110

+ 𝜃1𝜃3𝐴101 + 𝜃2𝜃3𝐴011 + 𝜃1𝐴100 + 𝜃2𝐴010 + 𝜃3𝐴001. (2.52)

Note que, com a introducao do termo nao-linear na lei de controle (2.50), reduz-se o nu-

mero de parametros variantes no sistema de seis para tres. Esta reducao torna o conjunto

de LMIs necessarias para o projeto do controlador menos complexo. As tecnicas de con-

trole LPV sao aplicadas considerando o sistema dinamico (2.48) com a matriz dinamica

modificada (2.51).

2.4.2 Projeto de Controladores quasi -LPV

O projeto de controladores utilizando tecnicas LPV considera que o sistema a

ser controlado possui dependencia linear nos parametros. No contexto deste trabalho, a

utilizacao do termo LPV perfaz um abuso de notacao, pois tanto o sistema (2.51) quanto

o controlador projetado sao polinomiais nos parametros. Ainda, modelos LPV em que

os parametros variantes no tempo sao definidos pelos proprios estados do sistema sao

comumente referidos na literatura como sistemas quasi -LPV (ROTONDO et al., 2015).

No entanto, deve-se destacar que as tecnicas de projeto LPV podem ser utilizadas para o

tratamento de sistemas polinomiais em que os estados sao considerados como parametros

variantes. Em uma ultima instancia, a estabilidade e o desempenho dos controladores

projetados devem ser validados em termos de simulacoes. Assim, seja o sistema dinamico

x = 𝐴(𝜃)x +𝐵u, (2.53)

com 𝐴(𝜃) ∈ R𝑛×𝑛 sendo uma matriz polinomial nos parametros 𝜃 = {𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑛}de grau 𝑟, 𝐵 ∈ R𝑛×𝑚 a matriz de entrada do sistema e u ∈ R𝑚 a entrada de controle.

Assumindo que os parametros 𝜃𝑖 estao limitados na forma

𝜃𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜃𝑖 ≤ 𝜃𝑖𝑚𝑎𝑥,

e possıvel construir um conjunto compacto na forma de um hipercubo Θ combinando-se

os valores extremos (maximos e mınimos) de 𝜃𝑖. Deseja-se projetar um controlador poli-

nomial 𝐾(𝜃) de grau generico capaz de estabilizar o sistema robustamente considerando a


realimentacao completa dos estados. Em outras palavras, deseja-se projetar 𝐾(𝜃) tal que

a matriz dinamica do sistema em malha fechada (𝐴(𝜃) + 𝐵𝐾(𝜃)) seja assintoticamente

estavel para todo 𝜃 ∈ Θ e para variacoes arbitrarias de 𝜃 ao longo do tempo. Alem disso,

considera-se a inclusao da imposicao de um limitante inferior a taxa de decaimento ma-

xima da funcao de Lyapunov como metrica de desempenho. Como descrito em (BOYD et

al., 1994), a taxa de decaimento do sistema pode ser caracterizada como sendo o maior

valor constante 𝛼 tal que

lim𝑡→∞

𝑒𝛼𝑡||x(𝑡)|| = 0

verifica-se para toda a trajetoria x(𝑡) solucao do sistema dinamico (2.53). O seguinte lema

considera a obtencao de um limitante inferior para a taxa de decaimento 𝛼 do sistema

dinamico

x = 𝐴x. (2.54)

Lema 2.1. (BOYD et al., 1994) Seja 𝑉 (x) = x𝑇𝑃x uma funcao de Lyapunov quadratica

e um escalar 𝛼 ∈ R+. Se �� (x) ≤ −2𝛼𝑉 (x), entao a taxa de decaimento do sistema (2.54)

e de pelo menos 𝛼. Alem disso, a restricao �� (x) ≤ −2𝛼𝑉 (x) e equivalente a existencia de

uma matriz 𝑃 = 𝑃 ′ > 0 tal que a seguinte LMI e verificada

𝐴𝑇𝑃 + 𝑃𝐴+ 2𝛼𝑃 ≤ 0. (2.55)

Demonstracao. Consultar (BOYD et al., 1994)

Usando o resultado do L ema 2.1, pode-se enunciar a seguinte condicao de

sıntese baseada na bem conhecida estabilizabilidade quadratica (BOYD et al., 1994) para

o projeto do controlador estabilizante 𝐾(𝜃) que garante um limitante para a taxa de

decaimento considerando o sistema (2.53)

Teorema 2.1. Se existir um escalar positivo 𝛼 ∈ R, uma matriz simetrica definida posi-

tiva 𝑃 ∈ R𝑛×𝑛 e uma matriz dependente de parametros 𝑍(𝜃) ∈ R𝑚×𝑛, tais que a seguinte

LMI dependente de parametros e verificada

𝐴(𝜃)𝑃 + 𝑃𝐴(𝜃)𝑇 +𝐵𝑍(𝜃) + 𝑍(𝜃)𝑇𝐵𝑇 + 2𝛼𝑃 < 0 (2.56)

para todo 𝜃 ∈ Θ, entao o controlador 𝐾(𝜃) = 𝑍(𝜃)𝑃−1 estabiliza robustamente o sis-

tema (2.53) com taxa de decaimento 𝛼.

Demonstracao. Inicialmente considere o sistema modificado com a realimentacao de es-

tados u = 𝐾(𝜃)x dado por

x = (𝐴(𝜃) + 𝛼I)x +𝐵𝐾(𝜃)x. (2.57)


Seja a funcao de Lyapunov candidata 𝑉 (x) = x𝑇𝑊x, cuja derivada em relacao ao tempo

resulta em

�� (x) = x𝑇

((𝐴(𝜃) + 𝛼I +𝐵𝐾(𝜃))𝑇𝑊 +𝑊 (𝐴(𝜃)𝛼I +𝐵𝐾(𝜃))

)x.

Uma condicao suficiente para a estabilidade do sistema modificado e que 𝑉 (x) > 0 e

�� (x) < 0 para todas as trajetorias do sistema. Desta forma, faz-se necessario testar a

positividade de 𝑊 e da expressao(𝐴(𝜃) + 𝛼I +𝐵𝐾(𝜃)

)𝑇𝑊 +𝑊

(𝐴(𝜃) + 𝛼I +𝐵𝐾(𝜃)

)< 0.

Aplicando uma transformacao de congruencia utilizando 𝑊−1 e introduzindo

a nova variavel 𝑃 = 𝑊−1 resulta na seguinte desigualdade

𝑃(𝐴(𝜃) + 𝛼 +𝐵𝐾(𝜃)

)𝑇+(𝐴(𝜃) + 𝛼 +𝐵𝐾(𝜃)

)𝑃 < 0

⇒ 𝑃(𝐾(𝜃)𝑇𝐵𝑇 + 𝐴(𝜃)𝑇

)+(𝐴(𝜃) +𝐵𝐾(𝜃)

)𝑃 + 2𝛼𝑃 < 0.

Finalmente, introduzindo a variavel 𝑍(𝜃) = 𝐾(𝜃)𝑃 recupera-se a LMI dependente de

parametros (2.56), com o controlador sendo expresso em termos das variaveis do problema

como 𝐾(𝜃) = 𝑍(𝜃)𝑃−1. Note que a estabilidade do sistema modificado (2.57) implica que

a LMI (2.56) e factıvel e, portanto, a taxa de decaimento e de pelo menos 𝛼.

A verificacao da LMI dependente de parametros (2.56) como enunciada no

Teorema 2.1 consiste de um problema de otimizacao de dimensao infinita, visto que a

desigualdade deve ser verificada para todo 𝜃 ∈ Θ. No entanto, como demonstrado em

(BLIMAN, 2004; BLIMAN et al., 2006), as solucoes do problema, caso existam, sempre

podem ser aproximadas por solucoes polinomiais de graus arbitrarios. Portanto, restringir

a matriz 𝑍(𝜃) como uma matriz polinomial nos parametros nao ocasiona nenhuma perda

de generalidade, pois sempre que a LMI dependente de parametros (2.56) tiver uma so-

lucao, tambem existira uma solucao 𝐾(𝜃) polinomial de grau suficientemente grande (em

princıpio desconhecido). Fixando-se o valor do grau, ainda resta a necessidade de realizar

o teste de negatividade de um polinomio matricial, que pode ser feito por meio das tec-

nicas baseadas no Teorema de Polya, que foram amplamente difundidas na literatura nos

ultimos 15 anos (RAMOS; PERES, 2001; RAMOS; PERES, 2002; OLIVEIRA; PERES,

2007). Explorando algumas propriedades de polinomios com variaveis confinadas em um

hipercubo, e possıvel expressar o teste de negatividade (ou positividade) em termos de

um conjunto finito de LMIs. Nesta dissertacao tal tarefa e realizada com o auxılio do

pacote computacional ROLMIP (Robust LMI Parser) (AGULHARI et al., 2012), que foi

desenvolvido especialmente para este fim.


2.5 Validacao por Simulacao

Para validar o procedimento de sıntese proposto considerou-se o projeto do con-

trolador de orientacao utilizando o Teorema 2.1 com a lei de controle (2.50) e a dinamica

definida por (2.53) com a matriz do sistema modificada (2.51). A programacao da condicao

de sıntese do controlador foi realizada utilizando o resolvedor de LMIs SeDuMi (STURM,

1999) e os parsers ROLMIP (AGULHARI et al., 2012) e YALMIP (LOFBERG, 2004)

no software MATLAB versao R2014b em um computador com processador modelo Intel

Core i7 e 8GB de memoria RAM. A lei de controle projetada foi testada para diferentes

condicoes iniciais de orientacao considerando o modelo completo da dinamica nao-linear

do quadricoptero obtido por meio da formulacao Lagrangeana (equacoes (2.18)-(2.24)).

Os parametros intrınsecos ao quadricoptero utilizados foram os mesmos de (SANTANA;

BORGES, 2009) e sao apresentados na Tabela 1. O controlador foi sintetizado utilizando

Tabela 1 – Tabela de parametros utilizados na simulacao.

Sımbolo Descricao Valor𝑚 massa 1.5 kg𝑔 gravidade local 9.81 m/s2

𝐽𝑥𝑥 inercia eixo 𝑒1 0.033 kg ·m2

𝐽𝑦𝑦 inercia eixo 𝑒2 0.033 kg ·m2

𝐽𝑧𝑧 inercia eixo 𝑒3 0.066 kg ·m2

𝑙 meia envergadura 0.5 m𝑘 coef. empuxo vertical 2.64× 10−4 N · s2

𝑏 coef. empuxo lateral 7.5× 10−7 N ·m · s2

os parametros de inercia tambem apresentados na Tabela 1. O parametro de taxa de de-

caimento foi definido como 𝛼 = 0.25 e definiu-se a estrutura do controlador como sendo

dependente dos mesmos monomios da matriz dinamica 𝐴(𝜃). Desta forma tem-se

𝐾(𝜃) = 𝐾0 + 𝜃21𝐾1 + 𝜃2

2𝐾2 + 𝜃23𝐾3 + 𝜃1𝜃2𝐾4 + 𝜃1𝜃3𝐾5 + 𝜃2𝜃3𝐾6 + 𝜃1𝐾7 + 𝜃2𝐾8 + 𝜃3𝐾9

com 𝐾𝑖 ∈ R3×6 representando o i-esimo coeficiente do controlador. Na sequencia sao

apresentados os termos do controlador 𝐾(𝜃) (truncado com 4 dıgitos decimais) obtido


por meio da programacao das condicoes do Teorema 2.1:

𝐾0 =

⎡⎢⎢⎢⎣−0.7970 0.2901 0.1615 −10.2134 2.2617 4.34050.1015 −0.4530 0.2174 2.4424 −4.5131 1.90600.6615 0.1103 −1.1418 8.2688 4.2761 −12.7412

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾1 =

⎡⎢⎢⎢⎣−0.7756 0.2209 0.1051 −9.8339 1.8042 3.79420.1285 −0.0776 −0.0224 1.7725 −0.5509 −0.64350.2452 −0.0809 −0.1155 3.2699 −0.4214 −1.7872

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾2 =

⎡⎢⎢⎢⎣−0.0527 0.0911 −0.0384 −0.7669 0.9531 −0.22090.0093 −0.4368 0.1541 1.4166 −4.2328 1.6469−0.0052 0.1545 −0.1476 −0.4385 1.8117 −1.2555

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾3 =

⎡⎢⎢⎢⎣−0.0865 −0.0044 0.1173 −0.9995 −0.3757 1.4051−0.0404 −0.0322 0.0944 −0.4552 −0.5030 1.05260.4152 0.0192 −1.0921 5.6843 3.4861 −11.5034

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾4 =

⎡⎢⎢⎢⎣−0.6862 0.3183 −0.0466 −9.0831 3.1067 2.0086−0.0763 0.0272 0.4394 −1.3206 −1.1234 4.33490.3694 −0.8840 0.0773 7.1952 −8.1202 −0.1849

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾5 =

⎡⎢⎢⎢⎣0.1408 0.1567 −0.6883 1.6723 3.5150 −6.9862−0.1424 −0.3622 0.2863 −0.7068 −4.0628 3.39441.0144 −0.1828 −0.0020 12.5563 −1.8321 −3.7700

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾6 =

⎡⎢⎢⎢⎣0.0596 0.4820 −0.1064 −0.7931 4.5756 −1.4842−0.5820 0.0666 0.2153 −7.2400 0.0479 4.17500.6338 −0.2293 −0.9840 8.9815 0.9300 −11.3319

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾7 =

⎡⎢⎢⎢⎣0.1426 −0.5642 0.1904 3.3955 −5.6072 1.5333−0.5445 0.2465 0.0412 −7.2509 2.1868 2.32140.2306 0.1095 −0.1049 2.4338 1.2378 −1.9084

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾8 =

⎡⎢⎢⎢⎣0.3990 −0.0238 −0.6801 5.3065 1.8406 −7.79490.0544 −0.0367 0.1001 0.6864 −0.6445 0.7378−1.1978 0.3257 0.3823 −15.4737 1.9483 7.9246

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

𝐾9 =

⎡⎢⎢⎢⎣−0.0490 0.0861 0.0787 −0.9255 0.5228 0.86580.2020 0.0905 −0.5225 2.4818 2.3922 −5.6507−0.0593 −0.8064 0.5259 1.5487 −8.7516 5.5465

⎤⎥⎥⎥⎦ .A validacao do controlador foi realizada em termos de alguns testes comparativos com

controladores apresentados na literatura. Inicialmente, considerou-se a comparacao do

rastreamento de uma trajetoria senoidal para os tres angulos de Euler com amplitude

de 0.5 rad (FRESK; NIKOLAKOPOULOS, 2013). O controlador proposto por (FRESK;

NIKOLAKOPOULOS, 2013) consiste da realimentacao do quaternio de orientacao e da


velocidade angular em uma estrutura proporcional. Explicitamente, a entrada de controle

e definida como

u = 𝑃𝑞𝑞𝑒𝑟𝑟 + 𝑃𝜔Ω.

O resultado e apresentado na Figura 4. Nota-se que o controlador polinomial

𝐾(𝜃) proporciona um rastreamento satisfatorio da referencia com um pequeno atraso

na fase do sinal. O controlador de (FRESK; NIKOLAKOPOULOS, 2013) apresenta um

maior atraso (≈ 0.5 s) no rastreamento do sinal comandado.

0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

0 5 10 15

0

0.5

1

0 5 10 150

200

400

600

φ

ψ

θ

Tempo (s) Tempo (s)

Tempo (s)

Tempo (s)Tempo (s)

RP

M

QuaternioEsforco de Controle

Angulos de Euler

q4q1q2q3

(θK )

Fresk

Referencia

ω1

ω2

ω3

ω4

Figura 4 – Rastreamento de trajetoria senoidal para os tres angulos de Euler.

Ainda, considerou-se tres cenarios de reorientacao para a situacao de voo pla-

nado, nomeadamente: manobra de reorientacao de grande desvio angular; comparacao de

reorientacao de pequeno desvio angular com o controlador PID; comparacao de reorienta-

cao de medio desvio angular com o controlador nao-linear Backstepping. Os resultados de

orientacao para o controlador PID e Backstepping foram retirados de (SANTANA; BOR-

GES, 2009). Para fornecer uma comparacao direta, converteu-se a orientacao do veıculo

de quaternios para angulos de Euler (angulos 𝜑, 𝜃 e 𝜓), utilizando a sequencia de rotacoes

Z-Y-X, de acordo com a seguinte equacao 2

⎡⎢⎢⎢⎣𝜑

𝜃

𝜓

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣atan2(2(𝑞0𝑞1 + 𝑞2𝑞3), 𝑞2

0 − 𝑞21 − 𝑞2

2 + 𝑞23)

asin(2(𝑞0𝑞2 − 𝑞3𝑞1))atan2(2(𝑞0𝑞3 + 𝑞1𝑞2), 𝑞2

0 + 𝑞21 − 𝑞2

2 − 𝑞23

⎤⎥⎥⎥⎦ . (2.58)

A Figura 5 apresenta o resultado do controle de reorientacao para um grande desvio an-

gular (≈ 100𝑜). Todos os exemplos foram inicializados com velocidades rotoricas e lineares

nulas. A Figura 6 apresenta a comparacao do controlador LPV com o controlador PID

apresentado em (SANTANA; BORGES, 2009) (identificado como PSGB PID), enquanto

que a Figura 7 mostra comparacao com o controlador nao-linear backstepping (identificado

como PSGB BK .

Considerando a primeira manobra, verifica-se um esforco de controle alto e com

variacoes abruptas no sinal de controle. Uma maneira de reduzir a amplitude do sinal de

controle e a inclusao de restricoes para a norma do controlador 𝐾(𝜃). No entanto, deve-se

atentar que a obtencao de uma dinamica rapida e a reducao na norma do controlador sao

dois objetivos conflitantes. Desta forma, o projeto levando em consideracao este aspecto

deve tambem considerar o compromisso entre desempenho e energia.

Na comparacao com o controlador PID observa-se que o sistema convergiu para

o equilıbrio mais rapido e com menos oscilacoes com o controlador 𝐾(𝜃). O esforco de

controle maximo demandado foi nos rotores 1 e 3, com velocidade rotorica de 900 RPMs.

Considerando a segunda comparacao, verifica-se que o tempo de convergencia

para a origem e bastante similar ao controlador backstepping. No entanto, o controlador

nao-linear apresenta trajetorias mais suaves. Verifica-se um grande aumento no esforco de

controle demandado (rotacao maxima de 200 RPMs).

2.6 Consideracoes Finais

O projeto de um controlador polinomial dependente de parametros com decai-

mento pre-especificado foi proposto como principal contribuicao deste capıtulo. A constru-

cao de um simulador da dinamica completa do veıculo permitiu a validacao da estrategia

de controle considerando a conversao entre os torques comandados pelo controlador e as

velocidades rotoricas impostas aos atuadores. Alem disso, as comparacoes realizadas de-

monstram que o controlador possui bom desempenho para diferentes tipos de manobras.

Potenciais limitacoes da aplicacao deste tipo de estrategia de controle sao a necessidade

do calculo da expressao polinomial envolvendo os parametros lidos e a rapida variacao do

sinal de controle durante a realizacao de manobras de grande desvio angular.

2 A funcao atan2(y,x) e o equivalente a calcular a tangente inversa de y / x, exceto que os sinais deambos os argumentos sao usados para determinar o quadrante do resultado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1000

2000

3000

Quaternio

Tempo (s)

RPM

Esforco de Controle

ω1

ω2

ω3

ω4

q4q1q2q3

Figura 5 – Reorientacao de grande angulo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

φψ

θ

PSGB PID

K(θ)

Tempo (s)

Tempo (s)Tempo (s)

Angu

lo(rad/s

)

0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 20

300

600

900

RPM

ω1

ω2

ω3

ω4

q4

q1, q2, q3

Quaternio

Angulos de Euler

Esforco de Controle

Figura 6 – Comparacao com o controlador PID (SANTANA; BORGES, 2009).

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−0.4

0

0.4

0.8

K(θ)

PSGB BK

Tempo (s)

Angu

lo(rad/s

)

Angulos de Euler

0 1 2 3 4−0.4

0

0.4

0.8

1.2

0 1 2 3 40

500

1000

1500

2000

Tempo (s)Tempo (s)

q4

q1, q2, q3

Quaternio Esforco de Controle

ω1

ω2

ω3

ω4

φψ

θ

Figura 7 – Comparacao com o controlador Backstepping (SANTANA; BORGES, 2009).

3 Projeto de filtros para controladores ℒ1adaptativos usando LMIs

3.1 Introducao

A investigacao de estrategias de controle para o desenvolvimento de controla-

dores adaptativos perfaz um campo de pesquisa rico e ativo durante varios anos, sendo

primariamente orientada a concepcao de tecnicas capazes de tratar o controle de plantas

incertas e a questoes de robustez (ASTROM; WITTENMARK, 1995). Os primeiros de-

senvolvimentos devem-se a criacao de pilotos automaticos de alta capacidade utilizados

em aeronaves (IOANNOU; SUN, 2012). Tal tarefa representa um desafio teorico princi-

palmente devido as caracterısticas nao-lineares da dinamica da aeronave, bem como as

drasticas alteracoes nas condicoes parametricas (altitude, numero de Mach, etc.) obser-

vadas ao longo das missoes.

Em (CAO; HOVAKIMYAN, 2006a), o termo Controle Adaptativo ℒ1 e introdu-

zido para representar uma classe de arquiteturas de controle capazes de tratar de maneira

sistematica problemas bem conhecidos e pertinentes associados a controladores adaptati-

vos, tais como: garantia de desempenho na fase transitoria, instabilidade e robustez com

respeito a rapidas variacoes parametricas da planta. A estrategia apresentada baseia-se

na introducao de um filtro passa-baixa na estrutura do controlador MRAC (do ingles,

Model Reference Adaptive Control). Como afirmado em (CAO; HOVAKIMYAN, 2006a),

a utilizacao deste tipo de controlador permite a consideracao da adaptacao e robustez do

sistema em dois objetivos de controle desacoplados: Por um lado, o atuador deve possuir

capacidade de banda suficiente considerando o sinal filtrado de controle. Por outro lado,

a capacidade computacional disponıvel deve ser suficiente para garantir a utilizacao de

altos ganhos de adaptacao.

O filtro passa baixa deve ser projetado de modo que o ganho pico-a-pico (tam-

bem referido na literatura como ganho ℒ1) (VIDYASAGAR, 1986) do sistema interconec-

tado seja limitado pelo inverso da constante de Lipschitz do vetor de parametros incertos

associado ao controlador. Alem disso, faz-se necessaria a imposicao de ganho DC unita-

rio para a funcao de transferencia do filtro. Esta ultima restricao representa um desafio

quando considera-se o desenvolvimento de um metodo sistematico e generico para o pro-

jeto do filtro. Finalmente, e possıvel incorporar consideracoes sobre a margem de atraso

do sistema de controle como um requisito de projeto, garantindo um procedimento de

sıntese que nao somente satisfaz a restricao de ganho mas tambem estabelece um atraso

maximo para o qual garante-se o comportamento do sistema como previsto em teoria (LI

et al., 2008).

Como proposto em (LI et al., 2008), as restricoes de projeto do filtro passa-

baixa podem ser expressas em termos de LMIs (BOYD et al., 1994). Desta forma, o

problema de sıntese pode ser descrito em termos de um problema de otimizacao convexo,

que por sua vez pode ser eficientemente resolvido utilizando pacotes computacionais co-

nhecidos, como YALMIP (LOFBERG, 2004), SeDuMi (STURM, 1999) e o LMI Control

Toolbox (GAHINET et al., 1995). Apesar do esforco na introducao de novas condicoes

de sıntese, a solucao proposta em (LI et al., 2008) possui como desvantagem restricoes

severas na estrutura das variaveis de decisao, especialmente na matriz de Lyapunov. Estas

restricoes contribuem para o aumento do conservadorismo da condicao, gerando solucoes

factıveis com limitantes irrealistas para o ganho ℒ1, bem como para a margem de atraso

do sistema.

O objetivo deste capıtulo e a proposicao de novas condicoes de sıntese baseadas

em LMIs para o projeto do filtro passa-baixa presente em controladores adaptativos ℒ1,

potencialmente proporcionando resultados menos conservadores quando comparados com

(LI et al., 2008). O primeiro desenvolvimento nesta direcao deve-se a utilizacao de variaveis

de folga para a condicao de sıntese. Como consequencia, a matriz de Lyapunov pode ser

tratada de maneira irrestrita, sem a imposicao de restricoes em sua estrutura. Alem disso,

propoe-se uma nova restricao de estrutura para as variaveis de otimizacao, com vistas a

garantir o ganho DC unitario do filtro. Como uma ultima contribuicao, o tratamento da

margem de atraso apresentado considera condicoes em um framework de programacao

robusta, no qual as solucoes podem ser obtidas por meio de aproximacoes polinomiais

e relaxacoes LMIs, permitindo que o projetista considere o compromisso entre precisao

e esforco computacional. As condicoes de sıntese propostas podem ser utilizadas para

o projeto de um filtro tanto com ganho ℒ1 otimizado e uma margem de atraso pre-

especificada quanto com ganho ℒ1 fixado e margem de atraso maximizada.

Este capıtulo esta organizado da seguinte forma: a Secao 3.2 apresenta uma

introducao ao Controle ℒ1 Adaptativo, bem como dos parametros fundamentais que sao

utilizados no projeto do filtro; a Secao 3.3 trata da otimizacao do ganho ℒ1 para o caso

de sistemas lineares invariantes no tempo (do ingles, Linear Time Invariant — LTI); a

Secao 3.4 discute a estabilidade de sistemas na presenca de atrasos invariantes no tempo;

a Secao 3.5 desenvolve as condicoes propostas para o projeto do filtro passa-baixa; a

Secao 3.6 introduz novas estruturas para as variaveis de decisao capazes de lidar com a

restricao de ganho DC unitario; a Secao 3.8 apresenta exemplos numericos que ilustram

o procedimento proposto e a Secao 3.9 conclui o capıtulo.

3.2 Definicao do Problema

Considere o sistema linear SISO 3

x(𝑡) = 𝐴x(𝑡) + bu(𝑡), (3.1)

𝑦(𝑡) = c𝑇 x(𝑡), x(0) = x0,

em que x ∈ R𝑛×1 e o estado, u ∈ R e a entrada de controle, b ∈ R𝑛×1 e c ∈ R𝑛×1 sao ve-

tores, 𝐴 ∈ R𝑛×𝑛 e uma matriz desconhecida e 𝑦 ∈ R e a saıda do sistema. Adicionalmente,

e considerado que o sistema (3.1) satisfaz a seguinte hipotese:

Hipotese 1 (CAO; HOVAKIMYAN, 2006a): Existe uma matriz Hurwitz 𝐴𝑚 e

um vetor de parametros ideais 𝜃 ∈ R𝑛 pertencente a um conjunto convexo Θ tal que o

par (𝐴𝑚,b) e controlavel e a matriz 𝐴 pode ser decomposta em 𝐴 = 𝐴𝑚 − b𝜃𝑇 .

Considerando a Hipotese 1, o sistema (3.1) pode ser reescrito como

x(𝑡) = 𝐴𝑚x(𝑡) + b(u(𝑡)− 𝜃𝑇 x(𝑡)), (3.2)

𝑦(𝑡) = c𝑇 x(𝑡).

O sistema ideal de referencia utilizado para estabelecer criterios de desempenho

para o controlador ℒ1 adaptativo e definido por

x𝑚(𝑡) = 𝐴𝑚x(𝑡) + b𝑘𝑔𝑟(𝑡), (3.3)

𝑦𝑚(𝑡) = c𝑇 x𝑚(𝑡),

em que 𝑟(𝑡) e o sinal de referencia ao qual deseja-se que o sistema rastreie e 𝑘𝑔 e um ganho

feedforward que garante rastreamento assintotico para sinais comandados do tipo degrau

(CAO; HOVAKIMYAN, 2006a).

Lema 3.1. Seja o sistema de referencia dado pela equacao (3.3), entao o ganho 𝑘𝑔 dado

por 𝑘𝑔 = −1/(c𝑇𝐴−1𝑚 b) garante que a saıda 𝑦𝑚(𝑡) converge assintoticamente para o sinal

𝑟(𝑡).

Demonstracao. A funcao de transferencia 𝑌𝑚(𝑠)/𝑅(𝑠), em que 𝑌𝑚(𝑠) e 𝑅(𝑠) representam

as transformadas de Laplace dos sinais 𝑦𝑚(𝑡) e 𝑟(𝑡), respectivamente, e dada por

𝑌𝑚(𝑠)𝑅(𝑠) = c𝑇𝐻(𝑠)𝑘𝑔𝑅(𝑠) (3.4)

com

𝐻(𝑠) = I(𝑠I− 𝐴𝑚)−1b (3.5)

3 do ingles, Single-Input Single-Output

Desta forma, avaliando o limite fazendo uso do teorema de valor final (ASTROM; WIT-

TENMARK, 1995) obtem-se

lim𝑡→∞

𝑦𝑚(𝑡) = lim𝑠→0

𝑠c𝑇 (𝑠I− 𝐴𝑚)−1b−1

c𝑇𝐴−1𝑚 b

𝑅(𝑠) (3.6)

= lim𝑠→0

𝑠𝑅(𝑠) (3.7)

= lim𝑡→∞

𝑟(𝑡) (3.8)

a partir do qual conclui-se que a saıda 𝑦𝑚(𝑡) rastreia assintoticamente o sinal 𝑟(𝑡).

A estrutura completa do controlador e composta pelo preditor de estados da ar-

quitetura indireta do MRAC, a lei de adaptacao e a entrada de controle (HOVAKIMYAN;

CAO, 2010) como segue: O preditor de estados e dado por

˙x(𝑡) = 𝐴𝑚x(𝑡) + b(u(𝑡)− 𝜃𝑇 (𝑡)x(𝑡)), x0 = x0, (3.9)

𝑦(𝑡) = c𝑇 x(𝑡),

enquanto que a lei de adaptacao e dada por

˙𝜃 = ΓProj(𝜃(𝑡),x(𝑡)(x(𝑡)− x(𝑡))𝑇𝑃b), 𝜃(0) = 𝜃0 (3.10)

sendo que Γ ∈ R𝑛×𝑛 = Γ𝑐I e a matriz dos ganhos de adaptacao e 𝑃 e a matriz solucao

para a equacao de Lyapunov 𝐴𝑇𝑚𝑃 +𝑃𝐴𝑚 = −𝑄, para alguma matriz 𝑄 definida positiva.

O operador de projecao e definido como em (HOVAKIMYAN; CAO, 2010), garantindo

que a estimativa dos parametros incertos permaneca limitada, isto e, 𝜃 ∈ Θ. Alem disso,

a entrada de controle e definida por

𝑈(𝑠) = 𝐶(𝑠)(��(𝑠) + 𝑘𝑔𝑅(𝑠)), (3.11)

sendo que 𝑈(𝑠), ��(𝑠) e 𝑅(𝑠) sao as transformadas de Laplace dos sinais 𝑢(𝑡), 𝑟(𝑡) e 𝑟(𝑡),respectivamente, com 𝑟(𝑡) definido por

𝑟(𝑡) = 𝜃𝑇 x(𝑡). (3.12)

O filtro 𝐶(𝑠) representa uma funcao de transferencia estavel, estritamente pro-

pria e passa-baixa com ganho DC unitario (LI et al., 2008). A estrutura completa do

controlador ℒ1 adaptativo e apresentada na Figura 8, em que ℒ−1(·) representa a trans-

formada inversa de Laplace.

Considerando a estrutura apresentada para o controlador, associada a seguinte

restricao do ganho ℒ1

||𝐻(𝑠)(1− 𝐶(𝑠))||ℒ1 <1

𝜃𝑚𝑎𝑥

, 𝜃𝑚𝑎𝑥 = max𝜃∈Θ

𝑛∑𝑖=1|𝜃𝑖| (3.13)

x(t) = Amx(t) + b(u(t) − θTx(t))

˙x(t) = Amx(t) + +b(u(t) − θT (t)x(t))

˙θ = ΓProj(θ(t)

θ(t), x(t)(x(t) −

−

x(t))TPb)

r(t)e(t)

x(t)

x(t)

u(t)L−1{C(s)}

L−1{R(s) + kgR(s)}

Figura 8 – Arquitetura do controlador adaptativo ℒ1 (modificado de (HOVAKIMYAN;CAO, 2010)).

e possıvel derivar os seguintes limitantes para os estados e sinais de controle do sistema

||x− xref ||ℒ∞ ≤ 𝜆1/√

Γ𝑐, ||u− uref ||ℒ∞ ≤ 𝜆2/√

Γ𝑐, (3.14)

com 𝜆1 e 𝜆2 sendo constantes descritas em funcao do sistema (consultar (CAO; HOVA-

KIMYAN, 2006a) para uma descricao completa) com xref e uref definidos pelo seguinte

sistema de referencia (dado em termos da sua transformada de Laplace):

𝑋𝑟𝑒𝑓 (𝑠) = 𝐻(𝑠)(𝑘𝑔𝐶(𝑠)𝑅(𝑠) + (𝐶(𝑠)− 1)𝜃𝑇𝑋𝑟𝑒𝑓 (𝑠)),

𝑈𝑟𝑒𝑓 (𝑠) = 𝐶(𝑠)(𝑘𝑔𝑅(𝑠) + 𝜃𝑇𝑋𝑟𝑒𝑓 (𝑠)),

𝑌𝑟𝑒𝑓 (𝑠) = 𝑐𝑇𝑋𝑟𝑒𝑓 (𝑠).

Desta forma, pode-se concluir que, sujeitas a restricao de ganho dada pela equa-

cao (3.13) e com um ganho de adaptacao Γ𝑐 suficientemente alto, as normas ||x−xref ||ℒ∞

e ||u − uref ||ℒ∞ podem ser feitas arbitrariamente pequenas, garantindo o rastreamento

das trajetorias do sistema sendo controlado. O filtro 𝐶(𝑠) deve ser escolhido de modo

que a restricao de ganho ℒ1 seja satisfeita. Alem disso, a concepcao de um procedimento

de projeto que forneca limitantes superiores pequenos para o ganho ℒ1 do sistema inter-

conectado 𝐻(𝑠)(1 − 𝐶(𝑠)) permite a consideracao de um intervalo maior de incertezas

(equacao (3.13)).

A referencia (CAO; HOVAKIMYAN, 2006b) estabelece que a margem de

atraso para o controlador adaptativo ℒ1 e limitada inferiormente por

𝜏 ≥ 𝒯 (𝐻𝑜(𝑠)) = 𝒫(𝐻𝑜(𝑠))/𝜔𝑐, (3.15)

em que 𝜔𝑐 e a frequencia de corte da funcao de transferencia 𝐻𝑜(𝑠) e 𝒫(𝐻𝑜(𝑠)) a margem

de fase, sendo 𝐻𝑜(𝑠) (LI et al., 2008) dado por

𝐻𝑜(𝑠) = 𝐶(𝑠)(1 + 𝜃𝑇 ��(𝑠))/(1− 𝐶(𝑠)), (3.16)

��(𝑠) = (𝑠I− 𝐴𝑚 − b𝜃𝑇 )−1b.

O ponto onde o atraso ocorre encontra-se demonstrado na Figura 9. Consi-

derando a definicao da restricao de ganho ℒ1 e a expressao explıcita para a margem de

atraso dada em (3.15), pode-se expressar o procedimento de projeto do filtro 𝐶(𝑠) em

termos de dois problemas distintos. O primeiro considera o projeto de 𝐶(𝑠) de forma que

a norma ℒ1 do sistema em cascata seja minimizada considerando um atraso maximo 𝛿

definido a priori :

+−

1

1 − C(s)

C(s)(1 + θT H(s))

Atraso

L{rb(t)}L{ξ(t)}

Figura 9 – Diagrama de blocos da funcao de transferencia 𝐻𝑜(𝑠) (modificado de (LI et al.,2008)).

Problema 1: Projetar 𝐶(𝑠) minimizando a norma ||𝐻(𝑠)(1 − 𝐶(𝑠))||ℒ1 tal

que 𝐶(𝑠) possua ganho DC unitario (𝐶(0) = 1) e 𝜏 ≥ 𝛿.

De maneira analoga, o segundo problema baseia-se na maximizacao da margem

de atraso considerando um limitante maximo para ganho ℒ1 do sistema.

Problema 2: Projetar 𝐶(𝑠) maximizando a margem de atraso 𝒯 (𝐻𝑜(𝑠)) tal

que 𝐶(𝑠) possua ganho DC unitario (𝐶(0) = 1) e ||𝐻(𝑠)(1− 𝐶(𝑠))||ℒ1 ≤ 𝛾.

O compromisso entre os dois objetivos distintos (minimizacao de ganho e ma-

ximizacao da margem de atraso) pode ser formulado em termos de LMIs (LI et al., 2008),

sendo o objeto de estudo das proximas secoes.

3.3 Computo do Ganho ℒ1 via LMIs

O problema de otimizacao do ganho ℒ1 para sistemas lineares utilizando LMIs

e investigado nas referencias (ABEDOR et al., 1996; SCHERER et al., 1997). Utilizando

a definicao da norma estrela (do ingles star norm ou *-norm) , estes trabalhos propoem

procedimentos numericos que combinam restricoes LMIs com busca escalar para computar

limitantes superiores do ganho ℒ1 de um sistema LTI. Como contribuicao, uma formu-

lacao alternativa que inclui variaveis extras (tambem conhecidas como variaveis de folga

(OLIVEIRA et al., 1999)) e proposta na sequencia. A norma ℒ1, tambem conhecida como

norma induzida ℒ∞, pode ser definida, conforme (ABEDOR et al., 1996), da seguinte

forma

Definicao 3.1. Seja v(𝑡) um vetor de sinais reais v𝑖 : [0 ∞)→ R. A norma ℒ∞ e dada

por

||v||ℒ∞ = sup𝑡≥0

√v(𝑡)𝑇 v(𝑡). (3.17)

Diz-se que o vetor de sinais v(𝑡) pertence ao espaco ℒ∞ se a norma correspondente e

limitada, ou seja, se ||v(𝑡)||ℒ∞ < ∞. Desta forma, a norma induzida ℒ∞ (ganho ℒ1) de

um operador 𝐻 : ℒ∞ → ℒ∞ e definida como sendo

||𝐻||ℒ1 = sup||w||ℒ∞ ≤1

||𝐻w||ℒ∞ . (3.18)

A obtencao do ganho ℒ1 exato para sistemas lineares utilizando a relacao (3.18)

constitui um desafio teorico devido as restricoes do problema. No entanto, pode-se expres-

sar a busca por um limitante superior conservador para o ganho ℒ1 por meio da seguinte

proposicao: considere o seguinte sistema LTI

𝒢 ,

⎧⎨⎩ x(𝑡) = 𝐴x(𝑡) +𝐵v(𝑡),

y(𝑡) = 𝐶x(𝑡),(3.19)

em que x ∈ R𝑛 e o vetor de estados, y ∈ R𝑞 e a saıda do sistema e v ∈ R𝑚 e a entrada.

Note que o sistema (3.19) foi definido em termos de um numero arbitrario de entradas

e saıdas, isto e, um sistema MIMO (do ingles, Multi-Input Multi-Output). Apesar deste

caso mais geral nao ser utilizado no problema sob investigacao, a nova condicao proposta

nesta secao pode ser utilizada em diferentes problemas de controle cuja aplicacao do ganho

ℒ1 pode ser util. O teorema seguinte estabelece condicoes para o computo de um limitante

superior para o ganho ℒ1 do sistema (3.19) em termos de LMIs (SCHERER et al., 1997)

Teorema 3.1. Seja 𝜆 um escalar real positivo. Se existir uma matriz simetrica definida

positiva 𝐾 ∈ R𝑛×𝑛 e escalares reais 𝛾 e 𝜇 resolvendo as seguintes LMIs⎡⎣𝐴𝑇𝐾 +𝐾𝐴+ 𝜆𝐾 𝐾𝐵

⋆ −𝜇I

⎤⎦ < 0 (3.20a)

⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝐾 0 𝐶𝑇

⋆ (𝛾 − 𝜇)I 0⋆ ⋆ 𝛾I

⎤⎥⎥⎥⎦ > 0 (3.20b)

entao o ganho ℒ1 do sistema (3.19) e limitado por ||𝒢||ℒ1 ≤ 𝛾.

Demonstracao. (Adaptada de (BRIAT, 2015)) Considere a funcao de Lyapunov candidata

𝑉 (𝑡) = x(𝑡)𝑇𝐾x(𝑡). Se a LMI (3.20a) for factıvel, entao conclui-se que

�� (𝑡) + 𝜆𝑉 (𝑡)− 𝜇v(𝑡)𝑇 v(𝑡) ≤ 0 (3.21)

pois

�� (𝑡) = x(𝑡)𝑇𝐾x(𝑡) + x(𝑡)𝑇𝐾x(𝑡)

=(𝐴x(𝑡) +𝐵v(𝑡))𝑇𝐾x(𝑡) + x(𝑡)𝑇𝐾(𝐴x(𝑡) +𝐵v(𝑡)) (3.22)

e, portanto,

�� (𝑡) + 𝜆𝑉 (𝑡)− 𝜇v(𝑡)𝑇 v(𝑡) =x(𝑡)𝑇𝐾x(𝑡) + x(𝑡)𝑇𝐾x(𝑡)

=(𝐴x(𝑡) +𝐵v(𝑡))𝑇𝐾x(𝑡) + x(𝑡)𝑇𝐾(𝐴x(𝑡) +𝐵v(𝑡))

+ 𝜆x(𝑡)𝑇𝐾x(𝑡)− 𝜇v(𝑡)𝑇 Iv(𝑡) (3.23)

=[x(𝑡)𝑇 v(𝑡)𝑇

] ⎡⎣𝐴𝑇𝐾 +𝐾𝐴+ 𝜆𝐾 𝐾𝐵

⋆ −𝜇I

⎤⎦ ⎡⎣x(𝑡)v(𝑡)

⎤⎦ .Assumindo que ||v(𝑡)||ℒ∞ ≤ 1 e x(0) = 0, entao

𝑉 (𝑡) ≤ 𝑒−𝜆𝑡𝑉 (0) + 𝜇∫ 𝑡

0𝑒−𝜆(𝑡−𝑠)v(𝑠)𝑇 v(𝑠)𝑑𝑠

= 𝜇∫ 𝑡

0𝑒−𝜆(𝑡−𝑠)v(𝑠)𝑇 v(𝑠)𝑑𝑠

≤ ||v(𝑡)||ℒ∞

∫ 𝑡

0𝑒−𝜆(𝑡−𝑠)𝑑𝑠 (3.24)

= 𝜇𝜆−1(1− 𝑒−𝜆𝑡)||v(𝑡)||ℒ∞

≤ 𝜇𝜆−1.

Por outro lado, a aplicacao do complemento de Schur na desigualdade (3.20b) resulta em

𝛾−1

⎡⎣𝐶𝑇

0

⎤⎦ [𝐶 0]−

⎡⎣𝜆𝑃 00 (𝛾 − 𝜇)I

⎤⎦ ≥ 0, (3.25)

garantindo que

y(𝑡)𝑇 y(𝑡) ≤ 𝛾𝜆x(𝑡)𝑇𝑃x(𝑡) + 𝛾v(𝑡)𝑇 (𝛾 − 𝜇)v(𝑡)

≤ 𝛾𝜇+ 𝛾v(𝑡)𝑇 (𝛾 − 𝜇)v(𝑡) (3.26)

≤ 𝛾2.

Desta forma, pode-se concluir que ||y(𝑡)||ℒ∞||v(𝑡)||ℒ∞

≤ 𝛾, finalizando a prova.

O menor limitante para ||𝒢||ℒ1 pode ser computado minimizando o valor de 𝛾

sujeito as restricoes (3.20) e considerando uma busca no parametro 𝜆. O seguinte corolario

introduz um limitante para o espaco de busca do parametro 𝜆.

Corolario 3.1. Considerando que a matriz 𝐴 e Hurwitz (Hipotese 1), entao o parametro

𝜆 e limitado por 𝜆 ∈ (0,−2𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)), em que 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) representa a maxima parte real dos

autovalores da matriz 𝐴.

Demonstracao. Note que o fato de a LMI (3.20a) ser verificada implica que

(𝐴+ 𝜆

2 I)𝑇𝐾 +𝐾(𝐴+ 𝜆

2 I) < 0, (3.27)

com 𝐾 = 𝐾𝑇 > 0. Desta forma, pode-se concluir que a condicao (3.27) se trata de um

teste para a estabilidade do sistema autonomo

x = (𝐴+ 𝜆

2 I)x (3.28)

e que este e estavel para 𝜆 ∈ (0,−2𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)) (assumindo que 𝐴 seja estavel).

O proximo teorema apresenta uma nova condicao para a obtencao de um li-

mitante superior do ganho ℒ1, sendo a principal contribuicao desta secao.

Teorema 3.2. Seja 𝜆 ∈ (0,−2𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)) um escalar real dado. Se existirem matrizes

𝐹,𝐺 ∈ R𝑛×𝑛, 𝐻 ∈ R𝑞×𝑛 e escalares reais 𝜇 e 𝛾 de modo que as seguintes LMIs sao

verificadas ⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃 +𝐻𝑒(𝐹𝐴𝑇 ) 𝑃 − 𝐹 + 𝐴𝐺𝑇 𝐵 + 𝐴𝐻𝑇

⋆ −𝐺−𝐺′ −𝐻𝑇

⋆ ⋆ −𝜇I

⎤⎥⎥⎥⎦ < 0 (3.29a)

⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃 0 𝑃𝐶𝑇

⋆ (𝛾 − 𝜇)I 0⋆ ⋆ 𝛾I

⎤⎥⎥⎥⎦ > 0 (3.29b)

entao ||𝒢||ℒ1 ≤ 𝛾.

Demonstracao. Seja 𝑀1 = diag(𝐾−1, I) e 𝑀2 = diag(𝐾−1, I, I). Multiplicando a LMI

(3.20a) por 𝑀𝑇1 a esquerda e por 𝑀1 a direita e aplicando o mesmo procedimento com

respeito a LMI (3.20b) com 𝑀2, obtem-se as desigualdades dadas em (3.30) apos a intro-

ducao de uma nova variavel 𝑃 , 𝐾−1.⎡⎣𝑃𝐴𝑇 + 𝐴𝑃 + 𝜆𝑃 𝐵

⋆ −𝜇I

⎤⎦ < 0 (3.30a)

⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃 0 𝑃𝐶𝑇

⋆ (𝛾 − 𝜇)I 0⋆ ⋆ 𝛾I

⎤⎥⎥⎥⎦ > 0 (3.30b)

Note que a desigualdade dada em (3.30a) pode ser escrita na forma

ℬ⊥𝑇𝒬ℬ⊥ < 0 (3.31)

com

ℬ⊥ =

⎡⎢⎢⎢⎣I 0𝐴𝑇 00 I

⎤⎥⎥⎥⎦ , 𝒬 =

⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃 𝑃 𝐵

⋆ 0 0⋆ ⋆ −𝜇I

⎤⎥⎥⎥⎦ . (3.32)

Aplicando o Lema de Finsler (de Oliveira; SKELTON, 2001), e possıvel concluir que a

desigualdade dada em (3.31) e equivalente a

𝒬+ 𝒳ℬ + ℬ𝑇𝒳 𝑇 < 0, (3.33)

sendo que ℬ e tal que ℬℬ⊥ = 0. Seja ℬ = [𝐴𝑇 − I 0], 𝒳 = [𝐹 𝑇 𝐺𝑇 𝐻𝑇 ]𝑇 e 𝒬 definida

como em (3.32), entao a desigualdade (3.31) e equivalente a⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃 𝑃 𝐵

⋆ 0 0⋆ ⋆ −𝜇I

⎤⎥⎥⎥⎦+𝐻𝑒

(⎡⎢⎢⎢⎣𝐹

𝐺

𝐻

⎤⎥⎥⎥⎦ [𝐴𝑇 −I 0] )

< 0, (3.34)

que e exatamente (3.29a), concluindo a prova.

A vantagem do Teorema 3.2 com respeito ao teorema proposto em (SCHERER

et al., 1997) e que a matriz de Lyapunov aparece linearmente em (3.29a). Esta caracte-

rıstica e particularmente util quando se deriva condicoes de sıntese, nas quais geralmente

faz-se necessaria a imposicao de restricoes de estruturas nas variaveis que multiplicam

as matrizes do sistema (𝐴 e 𝐵). Note que, neste caso, as variaveis 𝐹 , 𝐺 e 𝐻 podem ser

restringidas, enquanto que a matriz de Lyapunov permanece livre. Esta caracterıstica da

condicao pode promover a obtencao de resultados menos conservadores.

Alem disso, a condicao do Teorema 3.2 pode ser programada em termos de

LMIs com uma busca no parametro escalar 𝜆. Para obter o mınimo 𝛾 tal que o limitante

||𝒢||ℒ1 seja o menor possıvel para um 𝜆 fixo, basta considerar a minimizacao da funcao

custo 𝑓(𝛾) = 𝛾 sujeita as restricoes de desigualdade dadas em (3.29).

3.4 Estabilidade Robusta de Sistemas com Atrasos

Considerando a funcao de transferencia de malha aberta 𝐻𝑜(𝑠) dada em (3.16)

e o bloco indicado na Figura 9 onde o atraso ocorre, e possıvel derivar a representacao de

estados dada em (3.35) para o sistema (LI et al., 2008). A Figura 10 apresenta detalhes

da representacao em espaco de estados de cada bloco da funcao de transferencia 𝐻𝑜(𝑠).

x(𝑡) =

⎡⎢⎢⎢⎣𝐴𝑓 +𝐵𝑓𝐶𝑓 −𝐵𝑓𝐶𝑓 0

0 𝐴𝑓 𝐵𝑓𝜃𝑇

0 0 𝐴𝑚 + 𝑏𝜃𝑇

⎤⎥⎥⎥⎦x(𝑡) +

⎡⎢⎢⎢⎣0 0 0

𝐵𝑓𝐶𝑓 −𝐵𝑓𝐶𝑓 0𝑏𝐶𝑓 −𝑏𝐶𝑓 0

⎤⎥⎥⎥⎦x(𝑡− 𝛿), 𝜃 ∈ Θ.

(3.35)

Neste ponto, e importante notar que a matriz dinamica em (3.35) e afetada

pelo vetor de parametros incertos 𝜃 ∈ Θ. Desta forma, uma condicao de estabilidade

para (3.16) deve ser, particularmente, uma condicao de estabilidade robusta. Uma forma

padrao de representar Θ na literatura de controle robusto e por meio de um hipercubo, em

+−rb(t)

+−1

1 − C(s)

C(s)(1 + θT H(s))

AtrasoAtraso

x3 = (Am + bθ)x3 + b

y3 = θx3 + u3

u3x2 = Afx2 + Bfu2

y2

y2

= Cfx2

x1 = (Af + BfCf )x1 + Bfu1u1

y1

y1

= Cfx1 + u1

Figura 10 – Representacao de estados de cada bloco da funcao de transferencia 𝐻𝑜(𝑠).

que cada componente de 𝜃 limita-se na forma 𝜃𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜃𝑖 ≤ 𝜃𝑖𝑚𝑎𝑥. Alem disso, combinando

os valores extremos de 𝜃𝑖 (vertices do hipercubo) e possıvel construir um politopo, dando

origem a chamada representacao politopica da incerteza, para a qual existem inumeras

ferramentas de programacao robusta disponıveis na literatura. Buscando este tipo de

representacao, note que a matriz dinamica pode ser escrita na forma

𝐴(𝛼) =𝑁∑

𝑖=1𝛼𝑖𝐴𝑖,

sendo que o vetor 𝛼 =[𝛼1, . . . , 𝛼𝑁

]𝑇pertence ao simplex unitario

Λ ,

{𝜉 ∈ R𝑁 :

𝑁∑𝑖=1

𝜉𝑖 = 1, 𝜉𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑁}

e os vertices 𝐴𝑖 sao obtidos por meio da combinacao dos valores extremos de 𝜃 (total de

2𝑛 combinacoes). Desta forma, considere o seguinte sistema LTI incerto afetado por um

atraso invariante 𝛿

x(𝑡) = 𝐴(𝛼)x(𝑡) + 𝐴𝑑x(𝑡− 𝛿). (3.36)

O proximo teorema estabelece condicoes suficientes (FRIDMAN, 2001) para testar a es-

tabilidade robusta do sistema (3.36) em funcao do maximo atraso admissıvel 𝛿, ∀𝛼 ∈ Λ.

Teorema 3.3. Seja 𝛿 um escalar positivo dado. Se existirem matrizes 𝐹 (𝛼) ∈ R𝑛×𝑛,

𝐺(𝛼) ∈ R𝑛×𝑛, uma matriz simetrica 𝑅(𝛼) ∈ R𝑛×𝑛 e uma matriz simetrica positiva definida

𝑃 (𝛼) ∈ R𝑛×𝑛 tais que a seguinte LMI dependente de parametros e verificada⎡⎢⎢⎢⎣𝐻𝑒

((𝐴𝑇 (𝛼) + 𝐴𝑇

𝑑 )𝐹 (𝛼))

𝑃 (𝛼)− 𝐹 (𝛼)𝑇 + (𝐴𝑇 (𝛼) + 𝐴𝑇𝑑𝐺(𝛼)) 𝛿𝐹 𝑇 (𝛼)𝐴𝑑

⋆ −𝐻𝑒(𝐺(𝛼)) + 𝛿𝑅(𝛼) 𝛿𝐺𝑇 (𝛼)𝐴𝑑

⋆ ⋆ −𝛿𝑅(𝛼)

⎤⎥⎥⎥⎦ < 0,

(3.37)

entao o sistema (3.36) e assintoticamente estavel admitindo um maximo atraso invariante

no tempo menor ou igual a 𝛿, ∀𝛼 ∈ Λ.

Demonstracao. A prova do teorema pode ser encontrada em (FRIDMAN, 2001), sendo

esta omitida por brevidade.

Note que a condicao LMI dependente de parametros apresentada no Teo-

rema 3.3 introduz duas novas variaveis dependentes de parametros, 𝐹 (𝛼) e 𝐺(𝛼). Como

demonstrado em (FRIDMAN, 2001), a presenca de tais variaveis reduz o conservadorismo

com respeito a estimativa do atraso maximo admissıvel quando comparado com outras

condicoes na literatura. Alem disso, como apresentado na proxima secao, a sıntese do

filtro pode ser expressa em termos destas variaveis adicionais, sem a necessidade de im-

posicao de estrutura na matriz de Lyapunov 𝑃 (𝛼). Como comentario final, note que as

LMIs dependentes de parametros do Teorema 3.3 produzem um problema de otimizacao

de dimensao infinita, ou seja, que precisa ser testado para todos os valores (infinitos) de

𝛼. Relaxacoes para resolver este problema sao discutidas na secao 3.7.

3.5 Projeto do Filtro

Como discutido na secao 3.3, o filtro 𝐶(𝑠) deve ser projetado de modo que a

norma ||𝐻(𝑠)(1−𝐶(𝑠))||ℒ1 seja minimizada a fim de satisfazer a restricao de ganho dada

em (3.13). A Figura 11 apresenta a realizacao em espaco de estados de cada bloco da

funcao de transferencia 𝐻(𝑠)(1 − 𝐶(𝑠)). Desta forma, a realizacao em espaco de estados

x1 = Afx1 + Bfu

y1

y1= Cfx1 + u

ux2 = Amx2 + bu2

y

y

2 = Ix2

−(1 C(s ))H(s)

Figura 11 – Representacao de estados de cada bloco da funcao de transferencia 𝐻(𝑠)(1−𝐶(𝑠)).

da funcao 𝐻(𝑠)(1− 𝐶(𝑠)) (LI et al., 2008) pode ser expressa na forma

𝜁(𝑡) =⎡⎣𝐴𝑚 −b𝐶𝑓

0 𝐴𝑓

⎤⎦⏟ ⏞

𝐴

𝜁(𝑡) +⎡⎣ b𝐵𝑓

⎤⎦⏟ ⏞

��

u(𝑡), (3.38)

𝑦(𝑡) =[I 0

]⏟ ⏞

𝐶

𝜁(𝑡).

com 𝜁 ∈ R𝑛+𝑟 sendo o vetor de estados aumentado do sistema e 𝐴𝑓 ∈ R𝑟×𝑟, 𝐵𝑓 ∈ R𝑟×1 e

𝐶𝑓 ∈ R1×𝑟 as variaveis do filtro. O filtro 𝐶(𝑠) com ganho ℒ1 otimizado pode ser projetado

utilizando o seguinte teorema, sendo esta a primeira contribuicao desta secao.

Teorema 3.4. Seja 𝜆 ∈ (0,−2𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴𝑚)), 𝜉1, 𝜉2 e 𝜉3 escalares reais dados e 𝑟 ∈ Z+ a

ordem do filtro desejado. Se existirem matrizes 𝑌 ∈ R𝑟×𝑟, 𝑍 ∈ R1×𝑟, 𝐹 , 𝐺 ∈ R(𝑛+𝑟)×(𝑛+𝑟),

𝐻 ∈ R𝑛×(𝑛+𝑟), uma matriz simetrica positiva definida 𝑃𝜆 ∈ R(𝑛+𝑟)×(𝑛+𝑟) e escalares reais

𝛾, 𝜇, resolvendo as seguintes LMIs⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃𝜆 +𝐻𝑒(Δ(𝐹, 𝜉1)) −𝐹 + 𝑃𝜆Δ(𝐺, 𝜉2)𝑇 �� + Δ(𝐻, 𝜉3)𝑇

⋆ −𝐺−𝐺′ −𝐻𝑇

⋆ ⋆ −𝜇I

⎤⎥⎥⎥⎦ < 0, (3.39a)

⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃𝜆 0 𝑃𝜆𝐶

𝑇

⋆ (𝛾 − 𝜇)I 0⋆ ⋆ 𝛾I

⎤⎥⎥⎥⎦ > 0, (3.39b)

com 𝐹 , 𝐺 e 𝐻 estruturadas na forma

𝐹 =⎡⎣𝐹11 𝜉1𝒴𝐹22

𝐹12 𝐹22

⎤⎦ , 𝐺 =⎡⎣𝐺11 𝜉2𝒴𝐹22

𝐺12 𝐹22

⎤⎦ , 𝐻 =[𝐻11 𝜉3𝒴𝐹22

], (3.40)

𝒴 definido por

𝒴 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩[I 0

]se 𝑟 > 𝑛,

I se 𝑟 = 𝑛,[I 0

]𝑇se 𝑟 < 𝑛,

(3.41)

�� e 𝐶 dados pela realizacao em espaco de estados do filtro (equacao (3.38)) e

Δ(𝑋, 𝜁) ,⎡⎣𝑋11𝐴

𝑇𝑚 − 𝜁𝒴𝑍b𝑇 𝜁𝒴𝑌

𝑋12𝐴𝑇𝑚 − 𝑍b𝑇 𝑌

⎤⎦ , (3.42)

Δ(𝑋, 𝜁) ,[𝑋11𝐴

𝑇𝑚 − 𝜁𝒴𝑍b𝑇 𝜁𝒴𝑌

], (3.43)

entao

||𝐻(𝑠)(1− 𝐶(𝑠))||ℒ1 ≤ 𝛾 (3.44)

com as matrizes do filtro dadas por 𝐴𝑓 = (𝐹−122 𝑌 )𝑇 , 𝐵𝑓 e 𝐶𝑓 = (𝐹−1

22 𝑍)𝑇 .

Demonstracao. Aplicando as condicoes do Teorema 3.2 com respeito ao sistema definido

pelas matrizes em espaco de estados (𝐴, ��, 𝐶) dadas em (3.38) resulta em⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃 +𝐻𝑒(𝐹𝐴𝑇 ) 𝑃 − 𝐹 + 𝐴𝐺𝑇 𝐵 + 𝐴𝐻𝑇

⋆ −𝐻𝑒(𝐺) −𝐻𝑇

⋆ ⋆ −𝜇I

⎤⎥⎥⎥⎦ < 0,

⎡⎢⎢⎢⎣𝜆𝑃 0 𝑃𝐶𝑇

⋆ (𝛾 − 𝜇)I 0⋆ ⋆ 𝛾I

⎤⎥⎥⎥⎦ > 0. (3.45)

Demonstra-se a seguir que a desigualdade (3.39a) e um caso particular de (3.45) quando

as variaveis 𝐹 , 𝐺 e 𝐻 sao restritas em estrutura. Para verificar isso, considere a estrutura

particular de 𝐹 , 𝐺 e 𝐻 dadas em (3.40). O calculo dos termos 𝐹𝐴𝑇 , 𝐺𝐴𝑇 e 𝐻𝐴𝑇 fornece

𝐹𝐴𝑇 =⎡⎣𝐹11𝐴

𝑇𝑚 − 𝜉1𝒴𝐹22𝐶

𝑇𝑓 b𝑇 𝜉1𝒴𝐹22𝐴

𝑇𝑓

𝐹12𝐴𝑇𝑚 − 𝐹22𝐶

𝑇𝑓 b𝑇 𝐹22𝐴

𝑇𝑓

⎤⎦ ,𝐺𝐴𝑇 =

⎡⎣𝐺11𝐴𝑇𝑚 − 𝜉2𝒴𝐹22𝐶


𝑇𝑓

𝐺12𝐴𝑇𝑚 − 𝐹22𝐶

𝑇𝑓 b𝑇 𝐹22𝐴

𝑇𝑓

⎤⎦ ,𝐻𝐴𝑇 =

[𝐻11𝐴

𝑇𝑚 − 𝜉3𝒴𝐹22𝐶


𝑇𝑓

].

Considerando a mudanca de variaveis 𝑍 = 𝐹22𝐶𝑇𝑓 e 𝑌 = 𝐹22𝐴

𝑇𝑓 , e possıvel verificar que

os produtos 𝐹𝐴𝑇 , 𝐺𝐴𝑇 e 𝐻𝐴𝑇 sao dados por Δ(𝐹, 𝜉1), Δ(𝐺, 𝜉2) e Δ(𝐻, 𝜉3), respectiva-

mente. Desta forma, pode-se concluir que a factibilidade das desigualdades (3.39) garante

a factibilidade de (3.29), assegurando que o limitante (3.44) e valido, ou seja, que 𝛾 e um

limitante superior (custo garantido) para o ganho ℒ1 do sistema (3.38).

Como discutido na secao 3.3, o parametro 𝜆 e limitado pelo maximo autovalor

da matriz dinamica do sistema. Desta forma, o espaco de busca de 𝜆 considerado no

Teorema 3.4 restringe-se ao maximo autovalor da matriz ideal 𝐴𝑚 (note que 𝐴 e triangular

superior). Como consequencia direta desta propriedade, observa-se que o procedimento

de sıntese impoe uma restricao estrutural na variavel 𝐴𝑓 , visto que o escalar utilizado

na sıntese deve estar contido no intervalo (0, 𝜆𝑚𝑎𝑥

(diag(𝐴𝑚, 𝐴𝑓 )

)). Alem disso, verifica-se

que a escolha de 𝐴𝑓 pode, no maximo, reduzir o espaco de busca factıvel em consideracao.

A condicao apresentada no Teorema 3.4 introduz variaveis escalares livres, no-

meadamente 𝜉𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 3. O emprego destas variaveis promove um grau de liberdade

extra na busca de solucoes menos conservadoras durante a sıntese. Apesar de nao ser

apresentado um metodo sistematico de busca de tais constantes, pode-se utilizar proce-

dimentos de otimizacao de modo a encontrar o melhor conjunto de constantes para uma

solucao particular.

Uma formulacao em termos de LMIs considerando um atraso maximo prescrito

e apresentada na sequencia. A sıntese do filtro deve ser realizada de modo que o sistema

em malha aberta 𝐻𝑜(𝑠) seja estavel para um maximo atraso 𝛿, ou seja, que a margem de

atraso do controlador seja limitada superiormente por 𝛿. Considerando que o procedimento

apresentado no Teorema 3.3 avalia a estabilidade de um sistema incerto com presenca de

atraso, a aplicacao da condicao (3.37) leva ao resultado desejado.

Teorema 3.5. Seja 𝛿 um escalar positivo dado, 𝜅𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 5, constantes reais com

𝜅3 > 0 e 𝑟 ∈ Z+ a ordem do filtro desejado. Se existir uma matriz simetrica 𝑅(𝛼) ∈R(2𝑟+𝑛)×(2𝑟+𝑛), uma matriz simetrica definida positiva 𝑃𝛿(𝛼) ∈ R(2𝑟+𝑛)×(2𝑟+𝑛) e uma matriz

𝐹 (𝛼) ∈ R(2𝑟+𝑛)×(2𝑟+𝑛) com a seguinte estrutura

𝐹 (𝛼) =

⎡⎢⎢⎢⎣𝐹11 𝜅1𝐹11 𝐹13(𝛼)𝜅2𝐹11 𝜅3𝐹11 𝐹23(𝛼)𝜅4𝒴𝐹11 𝜅5𝒴𝐹11 𝐹33(𝛼)

⎤⎥⎥⎥⎦ (3.46)

de forma que a LMI dependente de parametros⎡⎢⎢⎢⎣𝐻𝑒(Ω(𝛼)) 𝑃𝛿(𝛼)− 𝐹 𝑇 (𝛼) + Ω(𝛼) 𝛿Ψ

⋆ −𝐻𝑒(𝐹 (𝛼)

)+ 𝛿𝑅(𝛼) 𝛿Ψ

⋆ ⋆ −𝛿𝑅(𝛼)

⎤⎥⎥⎥⎦ < 0 (3.47)

seja verificada ∀𝛼 ∈ Λ, com Ω(𝛼) e Ψ definidos por

Ω(𝛼) ,

⎡⎢⎢⎢⎣𝑍𝐵𝑇

𝑓 (1− 𝜅1) + 𝑌 𝑍𝐵𝑇𝑓 (1− 𝜅1) + 𝜅1𝑌 + 𝐹13(𝛼)𝜃𝐵𝑇

𝑓

𝑍𝐵𝑇𝑓 (𝜅2 − 𝜅3) + 𝜅2𝑌 𝑍𝐵𝑇

𝑓 (𝜅2 − 𝜅3) + 𝜅3𝑌 + 𝐹23(𝛼)𝜃𝐵𝑇𝑓

𝒴𝑍𝐵𝑇𝑓 (𝜅4 − 𝜅5) + 𝜅4𝒴𝑌 𝒴𝑍𝐵𝑇

𝑓 (𝜅4 − 𝜅5) + 𝜅5𝒴𝑌 + 𝐹33(𝛼)𝜃𝐵𝑇𝑓

𝐹13(𝛼)(𝜃b𝑇 + 𝐴𝑇𝑚) + 𝑍b𝑇 (1− 𝜅1)

𝐹23(𝛼)(𝜃b𝑇 + 𝐴𝑇𝑚) + 𝑍b𝑇 (𝜅2 − 𝜅3)

𝐹33(𝛼)(𝜃b𝑇 + 𝐴𝑇𝑚) + 𝒴𝑍b𝑇 (𝜅4 − 𝜅5)

⎤⎥⎥⎥⎦ , (3.48)

Ψ ,

⎡⎢⎢⎢⎣0 0 0

𝐵𝑓𝑍𝑇 (1− 𝜅1) 𝐵𝑓𝑍

𝑇 (𝜅2 − 𝜅3) 𝐵𝑓𝑍𝑇𝒴𝑇 (𝜅4 − 𝜅5)

b𝑍𝑇 (1− 𝜅1) b𝑍𝑇 (𝜅2 − 𝜅3) b𝑍𝑇𝒴𝑇 (𝜅4 − 𝜅5)

⎤⎥⎥⎥⎦ (3.49)

e 𝒴 definido como em (3.41), para algum 𝐵𝑓 fixo, entao o sistema (3.35) e estavel para

0 < 𝛿 ≤ 𝛿 e ∀𝛼 ∈ Λ, com as matrizes do filtro 𝐶(𝑠) dadas por 𝐴𝑓 = (𝐹−111 𝑌 )𝑇 , 𝐵𝑓 e

𝐶𝑓 = (𝐹−111 𝑍)𝑇 .

Demonstracao. Inicialmente, considere a seguinte LMI dependente de parametros⎡⎢⎢⎢⎣𝐻𝑒(𝐹 (𝛼)(𝐴𝑇 (𝛼) + 𝐴𝑇

𝑑 )) 𝑃𝛿(𝛼)− 𝐹 𝑇 (𝛼) + 𝐹 (𝛼)(𝐴𝑇 (𝛼) + 𝐴𝑇𝑑 ) 𝛿𝐴𝑑𝐹

𝑇 (𝛼)⋆ −𝐻𝑒(𝐹 (𝛼)) + 𝛿��(𝛼) 𝛿𝐴𝑑𝐹

𝑇 (𝛼)⋆ ⋆ −𝛿��(𝛼)

⎤⎥⎥⎥⎦ < 0.

(3.50)

Verifica-se imediatamente que Ω(𝛼) na desigualdade (3.47) e igual a 𝐹 (𝛼)(𝐴𝑇 (𝛼) + 𝐴𝑇𝑑 )

seguido da introducao das novas variaveis 𝑌 = 𝐹11𝐴𝑇𝑓 e 𝑍 = 𝐹11𝐶

𝑇𝑓 com 𝐹 (𝛼) estruturado

de acordo com (3.46). A mesma observacao pode ser realizada com respeito a Ψ ser

igual ao produto 𝐴𝑑𝐹𝑇 (𝛼). Desta forma, pode-se concluir que a factibilidade de (3.47)

implica na verificacao da LMI dependente de parametros (3.50). Na sequencia, demonstra-

se que a LMI dependente de parametros (3.50) e um caso particular de (3.37). Seja ϒ =

(ℱ ,ℱ ,ℱ) = (𝐹 (𝛼)−1, 𝐹 (𝛼)−1, 𝐹 (𝛼)−1), entao multiplicando (3.37) a esquerda por ϒ𝑇 e a

direita por ϒ resulta em:⎡⎢⎢⎢⎣𝐻𝑒

((𝐴+ 𝐴𝑑)ℱ

)ℱ𝑇𝑃𝛿(𝛼)ℱ − ℱ + ℱ𝑇 (𝐴𝑇 (𝛼) + 𝐴𝑇

𝑑 )𝐺(𝛼)ℱ 𝛿𝐴𝑑ℱ⋆ −𝐻𝑒

(ℱ𝑇𝐺(𝛼)ℱ

)+ 𝛿ℱ𝑇𝑅(𝛼)ℱ 𝛿ℱ𝑇𝐺𝑇 (𝛼)𝐴𝑑ℱ

⋆ ⋆ −𝛿ℱ𝑇𝑅(𝛼)ℱ

⎤⎥⎥⎥⎦ < 0.

(3.51)

Impondo que 𝐺(𝛼) = 𝐹 (𝛼) e introduzindo novas variaveis 𝐹 (𝛼) = (𝐹 (𝛼)−1)𝑇 , 𝑃𝛿(𝛼) =𝐹 (𝛼)𝑃𝛿(𝛼)𝐹 𝑇 , ��(𝛼) = 𝐹 (𝛼)𝐺(𝛼)𝐹 𝑇 (𝛼) pode-se concluir que a existencia de uma solucao

factıvel para (3.47) garante que a LMI dependente de parametros (3.37) e satisfeita. Desta

forma, o sistema (3.35) e assintoticamente estavel ∀𝛼 ∈ Λ com respeito ao maximo atraso

𝛿, com a representacao em espaco de estados do filtro 𝐶(𝑠) dada por (𝐴𝑓 , 𝐵𝑓 , 𝐶𝑓 ).

De maneira similar ao Teorema 3.4, a condicao de sıntese para o problema de

otimizacao da margem de atraso introduz novas variaveis escalares 𝜅𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 5 que

podem ser ajustadas (sob um maior custo computacional) a fim de proporcionar solucoes

menos conservadoras.

3.6 Realizacao do Ganho DC Unitario

As condicoes de projeto desenvolvidas na Secao 3.5 nao levam em considera-

cao o requisito de ganho DC unitario para o filtro 𝐶(𝑠). Esta restricao e naturalmente

nao convexa e expressa-la em termos de uma formulacao convexa sem a introducao de

conservadorismo parece ser um desafio teorico. Uma condicao suficiente foi proposta em

(LI et al., 2008), utilizando formas companheiras e restricoes estruturais. Alem disso, se-

guindo as linhas desenvolvidas em (LI et al., 2008), faz-se necessaria a imposicao de que

a matriz 𝐵𝑓 seja fixa. Note que esta ultima restricao tambem foi adotada nesta disser-

tacao, visto que as desigualdades apresentadas no Teorema 3.5 parecem ser virtualmente

impossıveis de serem linearizadas se considerarmos 𝐵𝑓 como variavel de decisao. Nesta

secao apresenta-se uma solucao em termos de novas estruturas para as variaveis 𝑌 e 𝑍 dos

Teoremas 3.4 e 3.5 que garante 𝐶(0) = 1 para as solucoes obtidas. Apesar de ser somente

suficiente, esta nova proposicao fornece um numero maior de variaveis livres do que (LI

et al., 2008), potencialmente resultando em solucoes menos conservadoras.

Teorema 3.6. Seja (𝐴𝑓 , 𝐵𝑓 , 𝐶𝑓 ) a realizacao em espaco de estados do filtro 𝐶(𝑠), com

𝐵𝑓 ∈ R𝑟×1 fixo na forma

𝐵𝑇𝑓 =

[0 · · · 𝛽⏟ ⏞

𝑖

· · · 0],

sendo 𝛽 ∈ R a unica entrada nao nula de 𝐵𝑓 na i-esima posicao e fornecida a priori. Seja

𝐴𝑓 = (𝐹𝑌 )𝑇 e 𝐶𝑓 = (𝐹𝑍)𝑇 . Se 𝑌 ∈ R𝑟×𝑟 e 𝑍 ∈ R𝑟×1 sao estruturadas como segue

𝑌 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑦1,1 𝑦1,2 . . . 𝑦1,𝑟−1 𝑦1,𝑟

𝑦2,1 𝑦2,2 . . . 𝑦2,𝑟−1 𝑦2,𝑟

......

. . ....

...

𝑦𝑟−1,1 𝑦𝑟−1,2 . . . 𝑦𝑟−1,𝑟−1 𝑦𝑟−1,𝑟

0 0 . . . 0 𝜌𝛽

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, 𝑍 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑧1

𝑧2...

𝑧𝑟−1

−𝜌

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, (3.52)

para 𝑖 = 𝑟, ou

𝑌 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜌𝛽 0 . . . 0 0𝑦1,1 𝑦1,2 . . . 𝑦1,𝑟−1 𝑦1,𝑟

𝑦2,1 𝑦2,2 . . . 𝑦2,𝑟−1 𝑦2,𝑟

......

. . ....

...

𝑦𝑟−1,1 𝑦𝑟−1,2 . . . 𝑦𝑟−1,𝑟−1 𝑦𝑟−1,𝑟

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, 𝑍 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−𝜌𝑧1

𝑧2...

𝑧𝑟−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, (3.53)

para 𝑖 = 1, ou

𝑌 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑦1,1 . . . 0 𝑦1,𝑖+1 . . . 𝑦1,𝑟

.... . .

......

. . ....

0 . . . 𝜌𝛽 0 . . . 0𝑦𝑖+1,1 . . . 0 𝑦𝑖+1,𝑖+1 . . . 𝑦𝑖+1,𝑟

.... . .

......

. . ....

𝑦𝑟,1 . . . 0 𝑦𝑟,𝑖+1 . . . 𝑦𝑟,𝑟

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, 𝑍 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑧1...

−𝜌𝑧𝑖+1

...

𝑧𝑟

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, (3.54)

para 𝑖 ∈ [2, 3, . . . , 𝑟 − 1], entao 𝐶(0) = 1.

Demonstracao. A funcao de transferencia 𝐶(𝑠) pode ser expressa por

𝐶(𝑠) = 𝐶𝑓 (𝑠I− 𝐴𝑓 )−1𝐵𝑓 . (3.55)

Assim, computando diretamente 𝐶(0) resulta em

𝐶(0) = − 𝐶𝑓𝐴−1𝑓 𝐵𝑓

= − 𝑍𝑇𝐹 𝑇 (𝐹 𝑇 )−1(𝑌 𝑇 )−1𝐵𝑓 = −𝑍𝑇 (𝑌 𝑇 )−1𝐵𝑓 .

Demonstra-se na sequencia que as estruturas apresentadas garantem o ganho

DC unitario para o caso em que 𝑖 = 𝑟 e 𝑖 ∈ [2, 3, . . . , 𝑟−1]. O caso em que 𝑖 = 1 e analogo

ao caso 𝑖 = 𝑟.

∙ Caso 1 (𝑖 = 𝑟): Considere que 𝑌 𝑇 e particionada da seguinte forma

𝑌 𝑇 =⎡⎣𝑌11 0𝑌21 𝑌22

⎤⎦ . (3.56)

A inversa de 𝑌 𝑇 pode ser caracterizada explicitamente em termos dos seus blocos

constituintes (HORN; JOHNSON, 1985) como sendo

(𝑌 𝑇 )−1 =⎡⎣ 𝑌 −1

11 0𝑌 −1

22 𝑌21𝑌−1

11 𝑌 −122

⎤⎦ . (3.57)

Seja 𝑌22 = 𝜌𝛽. Entao a ultima componente do produto 𝑍𝑇 (𝑌 𝑇 )−1 e igual a −𝜌/𝜌𝛽 =−1/𝛽. Considerando o fato de que 𝐵𝑓 e um vetor coluna composto de zeros exceto

pela ultima entrada, que e igual a 𝛽, entao e direta a conclusao de que 𝐶(0) = 1.

∙ Caso 2 (𝑖 ∈ [2, 3, . . . , 𝑟 − 1]): Considere 𝑌 𝑇 particionada da seguinte forma

𝑌 𝑇 =

⎡⎢⎢⎢⎣𝑌11 0 𝑌13

0 𝜌𝛽 0𝑌31 0 𝑌33

⎤⎥⎥⎥⎦ , , (3.58)

em que 𝛽𝜌 e o i-esimo elemento da diagonal principal de 𝑌 . Deseja-se mostrar que

a entrada [(𝑌 𝑇 )−1](𝑖,𝑖) = 1/𝛽𝜌 e que a matriz inversa preserva a estrutura de zeros

da matriz original. Para tanto, considere que

𝑌 −1 = 𝑎𝑑𝑗(𝑌 )det(𝑌 ) .

O elemento (𝑖, 𝑖) da matriz 𝑎𝑑𝑗(𝐴) e dado por

[𝑎𝑑𝑗(𝑌 )](𝑖,𝑖) = det(⎡⎣𝑌11 𝑌13

𝑌31 𝑌33

⎤⎦).Por outro lado, deve-se computar explicitamente det(𝑌 ). Para tanto, usa-se do fato

de que o determinante altera o sinal para cada troca de linhas ou colunas. Dessa

forma, sempre e possıvel reescrever 𝑌 utilizando um numero par de permutacoes

como sendo

𝑌 =

⎡⎢⎢⎢⎣𝛽𝜌 0 00 𝑌11 𝑌13

0 𝑌31 𝑌33

⎤⎥⎥⎥⎦ (3.59)

e portanto

det(𝑌 ) = 𝛽𝜌 det(⎡⎣𝑌11 𝑌13

𝑌31 𝑌33

⎤⎦)

consequentemente [(𝑌 𝑇 )−1](𝑖,𝑖) = 1/𝛽𝜌. Quanto as entradas nulas da matriz, observa-

se que dada a particular estrutura, a matriz adj(𝑌 ) sempre sera dada em termos do

determinante de uma matriz com uma linha ou uma coluna de zeros, preservando

assim sua estrutura. Assim, utilizando o mesmo argumento do Caso 1 com respeito

ao produto 𝑍𝑇 (𝑌 𝑇 )−1𝐵𝑓 pode-se concluir que 𝐶(0) = 1.

O numero de variaveis de decisao em 𝑍 e 𝑌 e 𝑛2, enquanto que o numero

correspondente de variaveis quando considera-se o metodo proposto por (LI et al., 2008) e

2𝑛−1. Alem disso, a estrutura escolhida para a matriz 𝑌 e menos restrita do que a forma

companheira adotada em (LI et al., 2008), auxiliando na reducao do conservadorismo.

Deve-se notar que 𝐶(0) e definido somente em termos das variaveis 𝑍, 𝑌 e 𝐵𝑓 . Conside-

rando que a variavel 𝐹 (𝐹11 no Teorema 3.4 e 𝐹22 no Teorema 3.5) garantidamente possui

inversa, pode-se concluir que qualquer solucao factıvel retornada pelo metodo proposto

possuira ganho DC unitario 𝐶(0) = 1. Alem disso, a utilizacao do escalar 𝛽 na definicao

do vetor 𝐵𝑓 fornece um grau de liberdade adicional que pode ser utilizado na busca de

solucoes menos conservadoras (ao preco de um esforco computacional maior). Deve-se res-

saltar tambem que a estrutura apresentada contempla uma famılia de vetores de entrada

do sistema, podendo-se variar a posicao em que a entrada nao-nula do filtro ocorre. A

solucao proposta por (LI et al., 2008) utiliza um vetor de entrada 𝐵𝑓 fixo no qual a unica

entrada nao nula e a ultima componente, sendo igual a 1.

3.7 Projeto Conjunto

O procedimento de projeto conjunto compreende o desenvolvimento de condi-

coes de sıntese que considerem os problemas de otimizacao formulados na Secao 3.2. Am-

bos os problemas podem ser resolvidos combinando os Teoremas 3.4 e 3.5 e conduzindo

a otimizacao com relacao as respectivas funcoes objetivo. Pseudo codigos que resolvem

estes problemas sao apresentados nos Algoritmos 3.1 e 3.2.

Pseudocodigo 3.1 Filtro com norma otimizada para uma margem de atraso fixa.

Inicializacao:Seja 𝒮(𝜆) um espaco de busca em 𝜆;Criar o conjunto de variaveis comuns dos Teoremas 3.4 e 3.5: 𝑌 , 𝑍 e 𝐹22 no Teorema 3.4igual a 𝐹11 no Teorema 3.5;Criar as variaveis distintas dos Teoremas 3.4 e 3.5;Procedimento:Escolher os escalares 𝜉𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 3 e 𝜅𝑗, 𝑗 = 1, . . . , 5;para 𝜆 ∈ 𝒮(𝜆) faca

Minimizar 𝑓(𝛾) = 𝛾 sujeito as restricoes (3.39)-(3.47) e considerando a maximamargem de atraso 𝛿;Coletar a solucao com mınimo limitante para o ganho ℒ1;

fim para𝐶(𝑠)← (𝐴𝑓 = (𝐹−1𝑌 )𝑇 , 𝐵𝑓 , 𝐶𝑓 = (𝐹−1𝑍)𝑇 );

Note que uma consequencia imediata da aplicacao do metodo proposto e a pos-

sibilidade de utilizacao de duas matrizes de Lyapunov distintas, uma para cada conjunto

(ganho e atraso) de restricoes. Neste sentido e importante mencionar que a abordagem

Pseudocodigo 3.2 Filtro com margem de atraso otimizada e ganho ℒ1 pre-especificado.

Inicializacao:Seja 𝒮(𝛿) um espaco de busca em 𝛿;Criar o conjunto de variaveis comuns dos Teoremas 3.4 e 3.5: 𝑌 , 𝑍 e 𝐹22 no Teorema 3.4igual a 𝐹11 no Teorema 3.5;Criar as variaveis distintas dos Teoremas 3.4 e 3.5;Procedimento:Escolher os escalares 𝜉𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 3 e 𝜅𝑗, 𝑗 = 1, . . . , 5;para 𝛿 ∈ 𝒮(𝛿) faca

Verificar a factibilidade das LMIs (3.39)-(3.47) considerando um limitante superiorfixo para ��;Coletar a solucao com maximo 𝛿;

fim para𝐶(𝑠)← (𝐴𝑓 = (𝐹−1𝑌 )𝑇 , 𝐵𝑓 , 𝐶𝑓 = (𝐹−1𝑍)𝑇 );

apresentada em (LI et al., 2008) emprega uma unica matriz de Lyapunov que, adici-

onalmente, possui severas restricoes (estrutura diagonal). Por outro lado, as restricoes

estruturais do metodo proposto foram aplicadas para as variaveis de folga do problema.

Apesar de este procedimento tambem introduzir conservadorismo na condicao, melhores

resultados podem ser obtidos quando comparados aos obtidos pela condicao de (LI et al.,

2008), como sera ilustrado na proxima secao por meio de exemplos numericos.

Como um comentario final, note que se um unico objetivo e desejado, como

por exemplo, projeto de um filtro com ganho ℒ1 otimizado, os algoritmos apresentados

podem ser facilmente adaptados para tratar este caso particular. A mesma observacao e

valida para o caso em que somente a otimizacao da margem de atraso e considerada no

projeto.

3.8 Exemplos Numericos

Esta secao apresenta dois exemplos numericos para o procedimento de projeto

conjunto discutido na secao anterior. Inicialmente, um exemplo escalar proposto por (LI

et al., 2008) e considerado, seguido de um exemplo de um sistema bidimensional. Uma

importante consideracao a ser feita deve-se ao fato de que as condicoes propostas neste

artigo sao tambem somente suficientes. Desta forma, considerando qualquer 𝐶(𝑠) obtido

pelos Algoritmos 3.1 ou 3.2, e possıvel obter limitantes menores (para o caso do ganho

ℒ1) e maiores (para o caso da margem de atraso) utilizando as condicoes de analise dadas

pelos Teoremas 3.2 e 3.3. Note que neste caso nao ha a imposicao de nenhuma restricao

estrutural nas variaveis de decisao, de onde espera-se resultados menos conservadores.

Este procedimento e considerado nos exemplos numericos apresentados na sequencia.

3.8.1 Relaxacoes LMIs

Como mencionado na Secao 3.4, as condicoes do Teorema 3.5 nao sao progra-

maveis na forma em que sao apresentadas, visto que LMIs dependentes de parametro sao

problemas de dimensao infinita, ou seja, devem ser verificadas ∀𝛼 ∈ Λ. No entanto, como

provado em (BLIMAN, 2004), (BLIMAN et al., 2006), solucoes gerais para as LMIs depen-

dentes de parametros com parametros pertencentes ao simplex unitario podem sempre ser

aproximadas por solucoes polinomiais homogeneas de graus arbitrarios. Como consequen-

cia desta abordagem, as desigualdades resultantes envolvem matrizes polinomiais de grau

𝑔, cujos monomios sao sempre nao-negativos (nao-positivos) para todo 𝛼 pertencente ao

conjunto simplex. Desta forma, uma maneira simples de testar a negatividade (ou positi-

vidade) do polinomio e a imposicao de que cada coeficiente associado aos monomios seja

positivo (ou negativo). Esta tecnica e conhecida na literatura como relaxacao de Polya

(OLIVEIRA; PERES, 2005). Usando essa estrategia, as condicoes do Teorema 3.5 foram

resolvidas fixando as variaveis de otimizacao dependente de parametros como polinomios

de grau 𝑔 e aplicando testes de positividade baseados em relaxacoes de Polya (OLIVEIRA;

PERES, 2005). Ao passo que o grau 𝑔 cresce, solucoes menos conservadoras podem ser

obtidas, ao preco de um maior esforco computacional. A programacao das condicoes foi

realizada utilizando o ROLMIP (Robust LMI parser) (AGULHARI et al., 2012), Yalmip

(LOFBERG, 2004) e Sedumi (STURM, 1999).

3.8.2 Exemplo escalar (LI et al., 2008):

Considere a planta escalar com 𝐴𝑚 = −2, 𝑏 = 1 e 𝜃 = 1.7 (sem incerteza).

Escolhe-se um filtro de segunda ordem 𝐶(𝑠) = 𝐶𝑓 (𝑠I− 𝐴𝑓 )−1)𝐵𝑓 com: 𝐴𝑓 ∈ R2×2, 𝐶𝑓 ∈R2×1 e 𝐵𝑓 =

[0 1

]𝑇. Seja 𝛿 = 0.65 (a margem de atraso considerada em (LI et al., 2008) e

𝛿 = 0.6) a margem de atraso desejada para o projeto. Para garantir o ganho DC unitario,

adota-se as estruturas dadas em (3.52).

Utilizando o procedimento apresentado na Secao 3.7, o Algoritmo 3.1 (𝐴𝑙𝑔1) foi

empregado para projetar o filtro 𝐶(𝑠) de forma que o ganho ℒ1 do sistema e minimizado.

O conjunto de constantes escolhido foi 𝜅𝑖 = 1, 𝜉𝑖 = 0. A Figura 12 apresenta o comporta-

mento do metodo proposto considerando um espaco de busca para 𝜆 igual a 𝜆 ∈ (0.1, 4).O resultado de sıntese esta identificado como 𝐴𝑙𝑔1𝑆 enquanto que o resultado de analise

(avaliado a posteriori) esta identificado como 𝐴𝑙𝑔1𝐴. O melhor resultado encontrado e

para 𝜆 = 0.317, resultando nas seguintes matrizes de espaco de estados (truncadas com 4

casas decimais)

𝐴𝑓 =⎡⎣ −0.8297 0−695.5870 −0.6068

⎤⎦ , 𝐵𝑓 =⎡⎣01

⎤⎦ , 𝐶𝑓 =[696.5131 0.6068

],

sendo a respectiva funcao de transferencia de 𝐶(𝑠) dada por

𝐶(𝑠) = 0.6068𝑠+ 0.5039𝑠2 + 1.437𝑠+ 0.5039 . (3.60)

Apesar de o espaco de busca considerado ser 𝜆 ∈ (0.1, 4), nenhuma solucao foi encontrada

para 𝜆 > 0.35. O mınimo limitante superior para ||𝐶(𝑠)(1 − 𝐻(𝑠))||ℒ1 e 0.6941. Como

comparacao, a condicao apresentada em (LI et al., 2008) nao produziu uma solucao factıvel

para a margem de atraso considerada. O melhor resultado reportado em (LI et al., 2008)

e ||𝐶(𝑠)(1 − 𝐻(𝑠))||ℒ1 < 0.7622 para um maximo atraso de 0.6. Alem disso, e facil a

verificacao de que a solucao obtida pelo metodo proposto atende o requisito de ganho DC

unitario.

Alg1S

0.1

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.15 0.2 0.25 0.3

Alg1A

γ

λ

Análise

Síntese

Figura 12 – Resultado para o exemplo escalar.

3.8.3 Exemplo bidimensional:

Considere o sistema (3.2) definido por

𝐴𝑚 =⎡⎣−1 0

1 −1.5

⎤⎦ , b =⎡⎣ 00.5

⎤⎦ ,com −1 ≤ 𝜃𝑖 ≤ 1, 𝑖 = 1, 2 e escolhendo a ordem do filtro como 𝑟 = 3. Seja 𝛿 = 0.6 a

margem de atraso desejada. Note que este exemplo considera que o parametro 𝜃 pertence

a uma regiao retangular, que pode ser representada por um politopo de quatro vertices.

Como consequencia, o filtro sintetizado garante que ||𝐻(𝑠)(1−𝐶(𝑠))||ℒ1 e limitada por 𝛾

para todo valor de 𝜃. O grau utilizado nas matrizes polinomiais do Teorema 3.5 e 𝑔 = 1,

e as constantes definidas por 𝜅1 = 𝜅3 = 1, 𝜅2 = 𝜅4 = 𝜅5 = 0 e 𝜉𝑖 = 1, 𝑖 = 1, . . . , 3. O

filtro 𝐶(𝑠) foi sintetizado utilizando o Algoritmo 3.1 e a melhor solucao foi encontrada

para 𝜆 = 0.8367, considerando um espaco de busca de 𝜆 ∈ (0.1, 3). As seguintes matrizes

de estado foram obtidas (truncadas com 4 casas decimais)

𝐴𝑓 =

⎡⎢⎢⎢⎣−0.0137 −0.1802 0.09165.2680 −1.9357 0.50966.4697 −1.6369 −0.7349

⎤⎥⎥⎥⎦ , 𝐵𝑓 =

⎡⎢⎢⎢⎣001

⎤⎥⎥⎥⎦ , 𝐶𝑓 =[−1.4029 0.1172 1.0536

],

fornecendo a funcao de transferencia

𝐶(𝑠) = 1.054𝑠2 + 1.985𝑠+ 0.9657𝑠3 + 2.684𝑠2 + 2.65𝑠+ 0.9657 .

O menor limitante superior obtido para ||𝐻(𝑠)(1 − 𝐶(𝑠)||ℒ1 foi 0.3321. Este limitante

satisfaz a restricao de ganho (equacao (10)) considerando a faixa de incerteza do parametro

adaptativo 𝜃 e admitindo um maximo atraso de 0.6. Para este exemplo particular, a

condicao de (LI et al., 2008) nao produziu nenhum resultado.

3.9 Consideracoes Finais

Este capıtulo apresentou novas condicoes LMIs para o projeto do filtro passa

baixa dos controladores adaptativos ℒ1. Os exemplos numericos ilustraram que as condi-

coes desenvolvidas, embora mais complexas, podem gerar resultados menos conservadores

quando comparados com os resultados obtidos pela condicao proposta em (LI et al., 2008).

Alem disso, o framework robusto para a condicao de margem de atraso permite o projeto

de um filtro com garantias de desempenho para toda faixa de operacao dos parametros

incertos. Como perspectivas futuras, pretende-se considerar a utilizacao de variaveis de

folga para tratar o projeto do filtro do arquitetura de controladores adaptativos ℒ1 com

realimentacao de saıda (CAO; HOVAKIMYAN, 2009).

4 Conclusao e Perspectivas

Esta dissertacao apresentou resultados pertinentes ao controle de veıculos do

tipo quadricoptero utilizando como metodologia de projeto tecnicas de otimizacao con-

vexa na forma de desigualdades matriciais lineares, tendo oferecido contribuicoes em duas

frentes distintas:

∙ O Capıtulo 2 apresentou o desenvolvimento do projeto de um controlador com de-

pendencia polinomial nos parametros com base em um modelo quasi-LPV para a

orientacao do veıculo considerando a parametrizacao de Cayley-Rodrigues. A parti-

cular escolha desta parametrizacao permitiu a obtencao de um sistema polinomial

incerto relativo ao erro de orientacao computado entre a orientacao desejada e a

orientacao atual do veıculo, no qual aplicou-se uma tecnica de controle por rea-

limentacao de estados baseada na estabilizabilidade quadratica do sistema. Alem

disso, considerou-se a inclusao de uma metrica simples de desempenho, sendo esta

definida por meio da imposicao de um limitante inferior para a taxa de decaimento

do sistema em malha fechada.

Observou-se que a inclusao do termo nao-linear giroscopico na lei de controle, plau-

sıvel neste contexto devido a baixa magnitude desta quantidade, promove uma re-

presentacao menos complexa do sistema dinamico variante no tempo utilizado na

condicao de sıntese, reduzindo o numero de parametros variantes no tempo de sete

para tres. Dentre as contribuicoes realizadas, destaca-se a utilizacao de aproxima-

coes polinomiais (relaxacoes) na solucao das condicoes de projeto do controlador,

que possibilita a definicao de garantias teoricas de estabilizacao e desempenho para

o sistema em malha fechada para todo o conjunto de parametros considerado. Esta

certificacao teorica e a principal vantagem do metodo proposto em relacao a outras

abordagens da literatura, que realizam o projeto do controlador baseado na interpo-

lacao de controladores projetados pontualmente para diversos pontos de operacao

do sistema. Finalmente, os resultados de simulacao apresentam um desempenho

satisfatorio quando comparados com outras tecnicas de controle disponıveis na lite-

ratura.

Como linha de investigacao futura, pretende-se considerar a incorporacao de me-

tricas de desempenho mais elaboradas ao projeto, tais como as normas ℋ2 e ℋ∞,

bem como a obtencao de modelos discretizados que considerem aspectos relevantes

da implementacao pratica da lei de controle, como tempo de amostragem e capa-

cidade computacional embarcada. Outro aspecto importante a ser investigado e o

tratamento da saturacao dos atuadores em fase de projeto, levando a obtencao de

ganhos de controle com maiores garantias de sucesso na implementacao pratica. Sob

o ponto de vista da simulacao, pretende-se ampliar a capacidade do simulador de-

senvolvido, incluindo modelos realistas dos sensores de orientacao e altimetria, bem

como a incorporacao de algoritmos de estimacao de estados eficientes, tais como o

Extended Kalman Filter e o Filtro complementar.

O problema de controle do quadricoptero demonstrou-se como um desafio multidis-

ciplinar interessante, possibilitando a consideracao de inumeras tecnicas e procedi-

mentos. Embora esta dissertacao tenha considerado somente o problema de controle

de orientacao, diversos topicos ainda podem ser abordados, tais como o rastreamento

de trajetorias, rejeicao de disturbios, robustez a variacoes parametricas da massa e

da inercia do veıculo, entre outros.

∙ O Capıtulo 3 desenvolveu condicoes de projeto de controladores adaptativos ℒ1 con-

siderando a arquitetura de realimentacao de estados e expressando as condicoes de

restricao de norma e margem de atraso em termos de LMIs. Embora este capıtulo

nao tenha tratado diretamente da implementacao pratica do controle adaptativo

no contexto de quadricopteros, considerou-se o estudo e compreensao dos principais

parametros de projeto desta tecnica com vistas a permitir a realizacao da implemen-

tacao pratica desta arquitetura de controle em trabalhos futuros. Como apresentado

em trabalhos da literatura, pode-se utilizar a estrutura de realimentacao de saıda

do controle adaptativo ℒ1 para o controle de posicao do veıculo, com resultados

praticos promissores. Embora mais simples, o estabelecimento de condicoes de pro-

jeto para a realimentacao de estados contribuiu para uma maior compreensao deste

tipo de arquitetura de controle. A utilizacao de variaveis de folga para a expressao

das condicoes de projeto do controlador adaptativo apresentou resultados melhores

quando comparados com outras condicoes disponıveis na literatura, garantindo li-

mitantes superiores menos conservadores para a norma ℒ1 do sistema, bem como

um aumento na margem de atraso.

Como perspectivas futuras pretende-se considerar a expressao das condicoes de pro-

jeto de controladores adaptativos ℒ1 para o caso da realimentacao de saıda e a

implementacao pratica deste tipo de arquitetura no modelo dinamico do quadricop-

tero.

4.1 Trabalhos publicados/submetidos durante o perıodo de Mes-

trado

∙ M. P. Salbego e R. C. L. F. Oliveira - Projeto de Controladores Polinomiais para a

Reorientacao de Quadricopteros Considerando Manobras de Grande Desvio Angular

- Em preparacao

∙ M. P. Salbego, R. C. L. F. Oliveira e P. L. D. Peres - Improved LMI-based filter

design of ℒ1 Adaptive Controllers, International Journal of Adaptive Control and

Signal Processing, Setembro de 2016 - Em revisao

∙ M. P. Salbego, R. C. L. F. Oliveira e P. L. D. Peres - Controle chaveado de sistemas

politopicos: Relaxacoes LMIs usando matrizes polinomiais homogeneas. Anais do

Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente, Natal, RN, Brasil, Setembro de 2015.

Referencias

ABEDOR, J.; NAGPAL, K.; POOLLA, K. A linear matrix inequality approach to

peak-to-peak gain minimization. International Journal of Robust and Nonlinear Control,

v. 6, n. 9-10, p. 899–927, November 1996. Citado na pagina 51.

AGULHARI, C. M.; OLIVEIRA, R. C. L. F.; PERES, P. L. D. Robust LMI parser:

A computational package to construct LMI conditions for uncertain systems. In:

Proceedings of the XIX Brazilian Conference on Automation. Campina Grande, PB,

Brazil: [s.n.], 2012. p. 2298–2305. Citado 3 vezes nas paginas 39, 40 e 66.

ALEXIS, K.; NIKOLAKOPOULOS, G.; TZES, A. Switching model predictive attitude

control for a quadrotor helicopter subject to atmospheric disturbances. Control

Engineering Practice, v. 19, n. 10, p. 1195–1207, 2011. Citado na pagina 30.

APKARIAN, P.; ADAMS, R. J. Advanced gain-scheduling techniques for uncertain

systems. IEEE Transactions on Control Systems Technology, v. 6, n. 1, p. 21–32, 1998.

Citado na pagina 31.

APKARIAN, P.; GAHINET, P. A convex characterization of gain-scheduled ℋ∞

controllers. IEEE Transactions on Automatic Control, v. 40, n. 5, p. 853–864, May 1995.


ASTROM, K. J.; WITTENMARK, B. Adaptive Control. Reading, MA: Addison-Wesley,

1995. Second edition. Citado 2 vezes nas paginas 46 e 49.

BLIMAN, P.-A. An existence result for polynomial solutions of parameter-dependent

LMIs. Systems & Control Letters, v. 51, n. 3-4, p. 165–169, March 2004. Citado 2 vezes

nas paginas 39 e 66.

BLIMAN, P.-A.; OLIVEIRA, R. C. L. F.; MONTAGNER, V. F.; PERES, P. L. D.

Existence of homogeneous polynomial solutions for parameter-dependent linear matrix

inequalities with parameters in the simplex. In: Proceedings of the 45th IEEE Conference

on Decision and Control. San Diego, CA, USA: [s.n.], 2006. p. 1486–1491. Citado 2

vezes nas paginas 39 e 66.

BOUABDALLAH, S. Design and control of quadrotors with application to autonomous

flying. Tese (Doutorado) — Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, 2007. Citado na

pagina 14.

BOUABDALLAH, S.; NOTH, A.; SIEGWART, R. PID vs LQ control techniques applied

to an indoor micro quadrotor. In: Proceedings of the 2004 IEEE/RSJ International

Conference on Intelligent Robots and Systems. Sendai, Japan: [s.n.], 2004. v. 3, p.

2451–2456. Citado na pagina 14.

BOUABDALLAH, S.; SIEGWART, R. Backstepping and sliding-mode techniques

applied to an indoor micro quadrotor. In: Proceedings of the 2005 IEEE International

Conference on Robotics and Automation. Barcelona, Spain: [s.n.], 2005. p. 2247–2252.


BOYD, S.; El Ghaoui, L.; FERON, E.; BALAKRISHNAN, V. Linear Matrix Inequalities

in System and Control Theory. Philadelphia, PA: SIAM Studies in Applied Mathematics,

1994. Citado 4 vezes nas paginas 14, 15, 38 e 47.

BRIAT, C. Linear Parameter-Varying and Time-Delay Systems — Analysis, Observation,

Filtering and Control. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2015. v. 3. 394 p. Citado na

pagina 52.

CAO, C.; HOVAKIMYAN, N. Design and analysis of a novel ℒ1 adaptive controller,

part I: Control signal and asymptotic stability. In: Proceedings of the 2006 American

Control Conference. Minneapolis, MN, USA: [s.n.], 2006. p. 3397–3402. Citado 3 vezes

nas paginas 46, 48 e 50.

CAO, C.; HOVAKIMYAN, N. Design and analysis of a novel ℒ1 adaptive controller, part

II: Guaranteed transient performance. In: Proceedings of the 2006 American Control

Conference. Minneapolis, MN, USA: [s.n.], 2006. p. 3403–3408. Citado na pagina 50.

CAO, C.; HOVAKIMYAN, N. ℒ1 adaptive output-feedback controller for non-strictly-

positive-real reference systems: Missile longitudinal autopilot design. Journal of

Guidance, Control, and Dynamics, v. 32, n. 3, p. 717–726, May-June 2009. Citado 2


CHESI, G. Domain of Attraction: Analysis and Control via SOS Programming. London,

UK: Springer, 2011. v. 415. Citado na pagina 15.

CHESI, G.; GARULLI, A.; TESI, A.; VICINO, A. Homogeneous Polynomial Forms

for Robustness Analysis of Uncertain Systems. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 2009.

v. 390. Citado na pagina 15.

COSTA, O. L. V.; FRAGOSO, M. D.; MARQUES, R. P. Discrete-Time Markovian

Jump Linear Systems. New York, NY, USA: Springer-Verlag, 2005. Citado na pagina

15.

de Oliveira, M. C.; SKELTON, R. E. Stability tests for constrained linear systems.

In: Reza Moheimani, S. O. (Ed.). Perspectives in Robust Control. New York, NY:

Springer-Verlag, 2001, (Lecture Notes in Control and Information Science, v. 268). p.

241–257. Citado na pagina 55.

DIEBEL, J. Representing attitude: Euler angles, unit quaternions, and rotation vectors.

Matrix, v. 58, n. 15-16, p. 1–35, 2006. Citado na pagina 20.

El Ghaoui, L.; NICULESCU, S. I. (Ed.). Advances in Linear Matrix Inequality Methods

in Control. Philadelphia, PA: SIAM, 2000. Citado na pagina 15.

FRESK, E.; NIKOLAKOPOULOS, G. Full quaternion based attitude control for a

quadrotor. In: Proceedings of the 2013 European Control Conference. Zurich, Switzerland:

[s.n.], 2013. p. 17–19. Citado 5 vezes nas paginas 20, 23, 32, 41 e 42.

FRIDMAN, E. New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and

neutral type systems. Systems & Control Letters, v. 43, n. 4, p. 309–319, July 2001.

Citado 2 vezes nas paginas 56 e 57.

GAHINET, P.; NEMIROVSKII, A.; LAUB, A. J.; CHILALI, M. LMI Control Toolbox

User’s Guide. Natick, MA: The Math Works, 1995. Citado 2 vezes nas paginas 15 e 47.

GEROMEL, J. C.; PERES, P. L. D.; BERNUSSOU, J. On a convex parameter space

method for linear control design of uncertain systems. SIAM Journal on Control and

Optimization, v. 29, n. 2, p. 381–402, March 1991. Citado na pagina 15.

HALL, J. S.; ROMANO, M.; CRISTI, R. Quaternion feedback regulator for large angle

maneuvers of underactuated spacecraft. In: Proceedings of the 2010 American Control

Conference. Baltimore, MD, USA: [s.n.], 2010. p. 2867–2872. Citado na pagina 32.

HORN, R. A.; JOHNSON, C. R. Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press,

1985. Citado na pagina 63.

HOVAKIMYAN, N.; CAO, C. ℒ1 Adaptive Control Theory: Guaranteed Robustness with

Fast Adaptation. Philadelphia, PA, USA: SIAM, 2010. Citado 4 vezes nas paginas 10,

17, 49 e 50.

HUGHES, H.; WU, F. Optimal control for spacecraft large angle maneuvers using ℎ∞

linear varying parameter control techniques. In: Proceedings of the AIAA Guidance,

Navigation and Control Conference and Exhibit. Honolulu, HI, USA: [s.n.], 2008. Citado

3 vezes nas paginas 16, 35 e 36.

IOANNOU, P. A.; SUN, J. Robust Adaptive Control. Mineola, New York: Dover

Publications, Inc., 2012. Citado na pagina 46.

KATAGIRI, K. Dynamics of a Quadcopter via Euler Rota-

tions and Lagrangian EOMs. 2016. <http://kenkatagiri.me/

dynamics-of-quadcopter-via-euler-rotations-and-lagrangian-eoms/>. Accessed:

2016-05-30. Citado na pagina 24.

http://kenkatagiri.me/dynamics-of-quadcopter-via-euler-rotations-and-lagrangian-eoms/

http://kenkatagiri.me/dynamics-of-quadcopter-via-euler-rotations-and-lagrangian-eoms/

KEHLENBECK, A. G. Quaternion-based control for aggressive trajectory tracking with a

micro-quadrotor UAV. Tese (Doutorado), 2014. University of Maryland, Maryland, USA


KUN, D. W.; HWANG, I. Linear matrix inequality-based nonlinear adaptive robust

control of quadrotor. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, v. 39, n. 5, p.

996–1008, 2016. Citado na pagina 14.

LEFFERTS, E. J.; MARKLEY, F. L.; SHUSTER, M. D. Kalman filtering for spacecraft

attitude estimation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, v. 5, n. 5, p. 417–429,


LI, D.; HOVAKIMYAN, N.; CAO, C.; WISE, K. Filter design for feedback-loop trade-off

of ℒ1 adaptive controller: A linear matrix inequality approach. In: Proceedings of the

AIAA Guidance, Navigation and Control Conference. Honolulu, HI, USA: [s.n.], 2008.

Citado 15 vezes nas paginas 10, 12, 46, 47, 49, 50, 51, 55, 57, 61, 64, 65, 66, 67 e 68.

LIM, S. New quaternion feedback control for efficient large angle maneuvers. In:

Proceedings of the AIAA Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit.

Montreal, Canada: [s.n.], 2001. Citado 5 vezes nas paginas 16, 20, 32, 34 e 35.

LOFBERG, J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB. In:

Proceedings of the 2004 IEEE International Symposium on Computer Aided Control

Systems Design. Taipei, Taiwan: [s.n.], 2004. p. 284–289. Citado 3 vezes nas paginas 40,

47 e 66.

MAHONY, R.; HAMEL, T.; PFLIMLIN, J.-M. Nonlinear complementary filters on

the special orthogonal group. IEEE Transactions on Automatic Control, v. 53, n. 5, p.

1203–1218, 2008. Citado na pagina 22.

MAHONY, R.; KUMAR, V.; CORKE, P. Multirotor aerial vehicles: Modeling,

estimation, and control of quadrotor. IEEE Robotics & Automation Magazine, v. 19,

n. 3, p. 20–32, 2012. Citado 4 vezes nas paginas 10, 14, 18 e 24.

MICHINI, B.; HOW, J. ℒ1 adaptive control for indoor autonomous vehicles: design

process and flight testing. In: Proceeding of AIAA Guidance, Navigation, and Control

Conference. Chicago, IL, USA: [s.n.], 2009. p. 5754–5768. Citado 3 vezes nas paginas

14, 16 e 17.

MOHAMMADPOUR, J.; SCHERER, C. W. (Ed.). Control of Linear Parameter Varying

Systems with Applications. New York: Springer, 2012. Citado 2 vezes nas paginas 15

e 31.

MORIN, D. Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions. [S.l.]:

Cambridge University Press, 2008. Citado 4 vezes nas paginas 21, 24, 25 e 26.

NESTEROV, Y.; NEMIROVSKII, A. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex

Programming. Philadelphia, PA: SIAM, 1994. Citado na pagina 15.

OLIVEIRA, M. C. de; BERNUSSOU, J.; GEROMEL, J. C. A new discrete-time robust

stability condition. Systems & Control Letters, v. 37, n. 4, p. 261–265, July 1999. Citado

na pagina 51.

OLIVEIRA, R. C. L. F.; PERES, P. L. D. Parameter-dependent LMIs in robust analysis:

Characterization of homogeneous polynomially parameter-dependent solutions via LMI

relaxations. IEEE Transactions on Automatic Control, v. 52, n. 7, p. 1334–1340, July


OLIVEIRA, R. C. L. F.; PERES, P. L. D. Analise e controle de sistemas lineares por meio

de desigualdades matriciais lineares. In: FELTRIN, A. P.; MINUSSI, C. R.; TEIXEIRA,

M. C. M.; LaZARO, R. A. R. (Ed.). Tutoriais do XVIII Congresso Brasileiro de

Automatica. Sao Paulo: Cultura Academica, 2010. p. 203–229. ISBN 978-85-7983-061-7.


RAMOS, D. C. W.; PERES, P. L. D. A less conservative LMI condition for the robust

stability of discrete-time uncertain systems. Systems & Control Letters, v. 43, n. 5, p.

371–378, August 2001. Citado na pagina 39.

RAMOS, D. C. W.; PERES, P. L. D. An LMI condition for the robust stability of

uncertain continuous-time linear systems. IEEE Transactions on Automatic Control,

v. 47, n. 4, p. 675–678, April 2002. Citado na pagina 39.

ROTONDO, D.; NEJJARI, F.; PUIG, V. Robust quasi-LPV model reference FTC of a

quadrotor UAV subject to actuator faults. International Journal of Applied Mathematics

and Computer Science, v. 25, n. 1, p. 7–22, 2015. Citado 2 vezes nas paginas 14 e 37.

RYAN, T.; KIM, H. J. LMI-Based gain synthesis for simple robust quadrotor control.

IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, v. 10, n. 4, p. 1173–1178,

October 2013. Citado na pagina 15.

SANTANA, P. H. R. Q. A.; BORGES, G. A. Modelagem e controle de quadrirrotores.

In: Anais do IX Congresso Brasileiro de Automacao Inteligente. Brasılia, DF, Brasil:

[s.n.], 2009. Citado 7 vezes nas paginas 10, 14, 40, 42, 43, 44 e 45.

SCHERER, C.; GAHINET, P.; CHILALI, M. Multiobjective output-feedback control

via LMI optimization. IEEE Transactions on Automatic Control, v. 42, n. 7, p. 896–911,

July 1997. Citado 3 vezes nas paginas 51, 52 e 55.

SERIROJANAKUL, A.; WONGSAISUWAN, M. Optimal control of quad-rotor

helicopter using state feedback LPV method. In: Proceedings of the 9th International

Conference on Electrical Engineering/Electronics, Computer, Telecommunications and

Information Technology. Hua Hin, Thailand: [s.n.], 2012. p. 1–4. Citado na pagina 15.

STURM, J. F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over

symmetric cones. Optimization Methods and Software, v. 11, n. 1–4, p. 625–653, 1999.

<http://sedumi.ie.lehigh.edu/>. Citado 4 vezes nas paginas 15, 40, 47 e 66.

TANAKA, K.; WANG, H. Fuzzy Control Systems Design and Analysis: A Linear Matrix

Inequality Approach. New York, NY: John Wiley & Sons, 2001. Citado na pagina 15.

TARBOURIECH, S.; GARCIA, G. (Ed.). Control of Uncertain Systems with Bounded

Inputs. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1997. v. 227. Citado na pagina 15.

TARBOURIECH, S.; GARCIA, G.; Gomes da Silva Jr., J. M.; QUEINNEC, I. Stability

and Stabilization of Linear Systems with Saturating Actuators. London, UK: Springer,


TAYEBI, A.; MCGILVRAY, S. Attitude stabilization of a VTOL quadrotor aircraft.

IEEE Transactions on Control Systems Technology, v. 14, n. 3, p. 562–571, May 2006.


TSIOTRAS, P. Stabilization and optimality results for the attitude control problem.

Journal of Guidance, Control, and Dynamics, v. 19, n. 4, p. 772–779, 1996. Citado 2


VIDYASAGAR, M. Optimal rejection of persistent bounded disturbances. IEEE

Transactions on Automatic Control, v. 31, n. 6, p. 527–534, June 1986.

OLIVEIRA, R. C. L. F.; PERES, P. L. D. Stability of polytopes of matrices via affine

parameter-dependent Lyapunov functions: Asymptotically exact LMI conditions. Linear

Algebra and Its Applications, v. 405, p. 209–228, August 2005. Citado na pagina 46.

WIE, B. Space Vehicle Dynamics and Control. [S.l.]: American Institute of Aeronautics

and Astronautics, 1998. Citado na pagina 66.

WIE, B.; WEISS, H.; ARAPOSTATHIS, A. Quarternion feedback regulator for

spacecraft eigenaxis rotations. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, v. 12, n. 3,

p. 375–380, 1989. Citado 5 vezes nas paginas 20, 21, 22, 23 e 25.

YACEF, F.; BOUHALI, O.; KHEBBACHE, H.; BOUDJEMA, F. Takagi-Sugeno

model for quadrotor modelling and control using nonlinear state feedback controller.

International Journal of Control Theory and Computer Modelling, v. 2, n. 3, p. 9–24,

2012. Citado 2 vezes nas paginas 32 e 33.


http://sedumi.ie.lehigh.edu/

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Marciano Prates Salbego - UnicampAgradecimentos Agrade˘co ao Universo, que em sua aparente desordem proporcionou inu meras oportunidades de amadurecimento e enriquecimento. Agrade˘co