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<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"> 1 2 <html> 3 <head> 4 <title>ma327 ps2008</title> 5 <style type="text/css"> 6 <!-- 7 td {text-align: center} 8 --> 9 </style> 10 <script language="javascript"> 11 <!-- 12 function aparcera() 13 { 14 meva.style.display = "" 15 } 16 function desaparcera() 17 { 18 meva.style.display = "none" 19 } 20 --> 21 </script> 22 <style type="text/css"> 23 body {font-weight: bold} 24 td {text-align: center;color: black;font-weight: bold} 25 </style> 26 </head> 27 28 <body text="white" link="white" alink="white" vlink="white" 29 bgcolor="green" 30 onLoad="alert('página com conteúdo gaussiano e eliminatório!')"> 31 32 <!-- botão das notas --> 33 34 <div align="center"> 35 <marquee behavior="alternate" width="80%" scrollamount="20"> 36 <form><input type="button" value="notas" 37 onClick="window.location.href='notas.htm'"></form> 38 </marquee> 39 </div> 40 <br> 41 42 <!-- blá-blá-blá incial --> 43 44 <table align="center"><tr><td> 45 <p align="left"><span style="color: white"> 46 Olá pessoal ...vocês foram bem, parabéns 47 ...mas muitas repostas estavam quase sem 48 explicações ...avisamos que nas provas seguintes faremos descontos 49 bem mais pesados pela falta de explicações mínimas.</span></p> 50 </td></tr></table> 51 52
<br> 53 54 <table align="center"> 55 <tr> 56 <td> 57 <a href="ma327p1b.pdf"> 58 <img src="pdf.gif" width="43" height="40" alt="" border="0" 59 valign="top"></a> 60 61 <a href="ma327p1b.txt"> 62 <img src="tex.gif" width="35" height="41" alt="" border="0" 63 valign="top"></a> 64 65 </td> 66 <td valign="middle"><span style="text-align: left;color: 67 white"> 68 esta é para discutir a primeira prova (01/04)<br> 69 ...ao lado em pdf (32KB) com seu latex (4KB) 70 </td> 71 </tr> 72 </table> 73 74 <br> 75 76 <!-- tabela de botões --> 77 78 <table align="center"> 79 <tr> 80 <td align="center"> 81 <a href="#q01"><img src="q01.gif" width="112" height="38" 82 alt="" border="0"> 83 </a></td> 84 <td align="center"> 85 <a href="#q02"><img src="q02.gif" width="112" height="38" 86 alt="" border="0"> 87 </a></td> 88 <td align="center"> 89 <a href="#q03"><img src="q03.gif" width="112" height="38" 90 alt="" border="0"> 91 </a></td> 92 <td align="center"> 93 <a href="#q04"><img src="q04.gif" width="112" height="38" 94 alt="" border="0"> 95 </a></td> 96 </tr> 97 </table> 98 99 <br> 100 101 <!-- foto do gauss --> 102 103 <p align="center"> 104
<a href="gauss.html"> 105 <img src="gauss.jpg" width="269" height="122" alt="" border="0" 106 align="middle"></a> 107 ...saudações gaussianas e 108 eliminatórias!</p> 109 110 <!-- q1: enunciado --> 111 112 <hr width="70%" color="white"> 113 114 <a name="q01"><p>(1) (2,5 pontos) Nesta questão você tem duas 115 alternativas 116 e pode escolher apenas uma:</p></a> 117 118 <ol type="a"> 119 <li> defina matriz elementar e explique como funciona o método de 120 inversão de 121 matrizes do 3.9 do nosso livro-texto, para tanto empregue pelo 122 menos uma página 123 e meia em sua explicação (alertamos que a coerência lógica, a 124 clareza e 125 a completeza da exposição serão avaliadas)</li> 126 <li> ou inverta a matriz quatro por quatro A, que colocamos mais 127 abaixo, pelo 128 referido método.</li> 129 </ol> 130 131 <!-- q1: matriz A --> 132 133 <table align="center" bgcolor="white" border="1"> 134 <tr> 135 <td rowspan="4" 136 valign="middle"> A </td> 137 <td rowspan="4" 138 valign="middle"> = </td> 139 <td> 2 </td> 140 <td> 4 </td> 141 <td> 3 </td> 142 <td> 2 </td> 143 </tr> 144 <tr> 145 <td> 3 </td> 146 <td> 6 </td> 147 <td> 5 </td> 148 <td> 2 </td> 149 </tr> 150 <tr> 151 <td> 2 </td> 152 <td> 5 </td> 153 <td> 2 </td> 154 <td> -3 </td> 155 </tr> 156
<tr> 157 <td> 4 </td> 158 <td> 5 </td> 159 <td> 14 </td> 160 <td> 14 </td> 161 </tr> 162 </table> 163 164 <!-- q1: solução do item a --> 165 166 <p><u>solução da opção a</u>:</p> 167 168 <!-- q1a: botões de opção --> 169 170 <p align="center"><button onClick="aparcera()"> 171 verei agora</button> 172 <button onClick="desaparcera()">só mais tarde</button></p> 173 174 <div align="left" id="meva" style="display: none"> 175 176 <!-- q1a: definição de matriz elementar --> 177 178 <p>As matrizes elementares são matrizes quadradas obtidas a partir 179 da matriz 180 identidade através de operações elementares.</p> 181 182 <p>Na discussão que segue veremos que se multiplicamos uma matriz 183 L, 184 que tenha m linhas e n colunas, por uma matriz elementar C (m por 185 m) à sua esquerda, 186 a matriz obtida, <nobr>L' = C L ,</nobr> corresponde à matriz que 187 obteríamos ao 188 efetuar na matriz L a mesma operação elementar que transforma a 189 identidade I em C.</p> 190 191 <p>Para entender este fato, espiemos um pouco um produto matricial 192 genérico de uma 193 matriz quadrada mxm C à esquerda de uma matriz mxn L, 194 transformando-a na 195 matriz mxn L'.</p> 196 197 <!-- q1a: eq matricial, vai até a linha 409 --> 198 199 <table bgcolor="white" align="center"> 200 <tr> 201 <td> </td> 202 <td></td> 203 <td></td> 204 <td></td> 205 <td></td> 206 <td></td> 207 <td> </td> 208
</tr> 209 <tr> 210 <td></td> 211 <td> 212 <table border="1"> 213 <tr> 214 <td> c<sub>11</sub> </td> 215 <td>...</td> 216 <td>...</td> 217 <td>...</td> 218 <td>...</td> 219 <td>...</td> 220 <td>...</td> 221 <td> c<sub>1m</sub> </td> 222 </tr> 223 <tr> 224 <td>...</td> 225 <td>...</td> 226 <td>...</td> 227 <td>...</td> 228 <td>...</td> 229 <td>...</td> 230 <td>...</td> 231 <td>...</td> 232 </tr> 233 <tr> 234 <td>...</td> 235 <td>...</td> 236 <td>...</td> 237 <td>...</td> 238 <td>...</td> 239 <td>...</td> 240 <td>...</td> 241 <td>...</td> 242 </tr> 243 <tr> 244 <td bgcolor="beige"> c<sub>k1</sub> </td> 245 <td bgcolor="yellow"> c<sub>k2</sub> </td> 246 <td bgcolor="beige"> c<sub>k3</sub> </td> 247 <td bgcolor="yellow">...</td> 248 <td bgcolor="beige">...</td> 249 <td bgcolor="yellow">...</td> 250 <td bgcolor="beige">...</td> 251 <td bgcolor="yellow"> c<sub>k4</sub> </td> 252 </tr> 253 <tr> 254 <td>...</td> 255 <td>...</td> 256 <td>...</td> 257 <td>...</td> 258 <td>...</td> 259 <td>...</td> 260
<td>...</td> 261 <td>...</td> 262 </tr> 263 <tr> 264 <td>...</td> 265 <td>...</td> 266 <td>...</td> 267 <td>...</td> 268 <td>...</td> 269 <td>...</td> 270 <td>...</td> 271 <td>...</td> 272 </tr> 273 <tr> 274 <td>...</td> 275 <td>...</td> 276 <td>...</td> 277 <td>...</td> 278 <td>...</td> 279 <td>...</td> 280 <td>...</td> 281 <td>...</td> 282 </tr> 283 <tr> 284 <td> c<sub>m1</sub> </td> 285 <td>...</td> 286 <td>...</td> 287 <td>...</td> 288 <td>...</td> 289 <td>...</td> 290 <td>...</td> 291 <td> c<sub>mm</sub> </td> 292 </tr> 293 </table> 294 </td> 295 <td> 296 297 </td> 298 <td> 299 <table border="1"><tr><td> 300 <table> 301 <tr bgcolor="beige"> 302 <td> l<sub>11</sub> </td> 303 <td>...</td> 304 <td>...</td> 305 <td>...</td> 306 <td> l<sub>ln</sub> </td> 307 </tr> 308 <tr bgcolor="yellow"> 309 <td> l<sub>21</sub> </td> 310 <td>...</td> 311 <td>...</td> 312
<td>...</td> 313 <td> l<sub>2n</sub> </td> 314 </tr> 315 <tr bgcolor="beige"> 316 <td> l<sub>31</sub> </td> 317 <td>...</td> 318 <td>...</td> 319 <td>...</td> 320 <td> l<sub>3n</sub> </td> 321 </tr> 322 <tr bgcolor="yellow"> 323 <td>...</td> 324 <td>...</td> 325 <td>...</td> 326 <td>...</td> 327 <td>...</td> 328 </tr> 329 <tr bgcolor="beige"> 330 <td>...</td> 331 <td>...</td> 332 <td>...</td> 333 <td>...</td> 334 <td>...</td> 335 </tr> 336 <tr bgcolor="yellow"> 337 <td>...</td> 338 <td>...</td> 339 <td>...</td> 340 <td>...</td> 341 <td>...</td> 342 </tr> 343 <tr bgcolor="beige"> 344 <td>...</td> 345 <td>...</td> 346 <td>...</td> 347 <td>...</td> 348 <td>...</td> 349 </tr> 350 <tr bgcolor="yellow"> 351 <td> l<sub>m1</sub> </td> 352 <td>...</td> 353 <td>...</td> 354 <td>...</td> 355 <td> l<sub>mn</sub> </td> 356 </tr> 357 </td></tr></table> 358 </table> 359 </td> 360 <td> 361 = 362 </td> 363 <td> 364
<table border="1"><tr><td> 365 <table> 366 <tr> 367 <td> l'<sub>11</sub></td> 368 <td>...</td> 369 <td>...</td> 370 <td>...</td> 371 <td> l'<sub>1n</sub></td> 372 </tr> 373 <tr> 374 <td>...</td> 375 <td>...</td> 376 <td>...</td> 377 <td>...</td> 378 <td>...</td> 379 </tr> 380 <tr> 381 <td>...</td> 382 <td>...</td> 383 <td>...</td> 384 <td>...</td> 385 <td>...</td> 386 </tr> 387 <tr bgcolor="pink"> 388 <td> l'<sub>k1</sub> </td> 389 <td> l'<sub>k2</sub> </td> 390 <td>...</td> 391 <td>...</td> 392 <td> l'<sub>kn</sub> </td> 393 </tr> 394 <tr> 395 <td>...</td> 396 <td>...</td> 397 <td>...</td> 398 <td>...</td> 399 <td>...</td> 400 </tr> 401 <tr> 402 <td>...</td> 403 <td>...</td> 404 <td>...</td> 405 <td>...</td> 406 <td>...</td> 407 </tr> 408 <tr> 409 <td>...</td> 410 <td>...</td> 411 <td>...</td> 412 <td>...</td> 413 <td>...</td> 414 </tr> 415 <tr> 416
<td> l'<sub>m1</sub> </td> 417 <td>...</td> 418 <td>...</td> 419 <td>...</td> 420 <td> l'<sub>mn</sub> </td> 421 </tr> 422 </table> 423 </td></tr></table> 424 </td> 425 <td></td> 426 </tr> 427 <tr> 428 <td></td> 429 <td></td> 430 <td></td> 431 <td></td> 432 <td></td> 433 <td></td> 434 <td> </td> 435 </table> 436 437 <!-- q1a: ação das elementares --> 438 439 <p>No cálculo da k-ésima linha da matriz resultante L', 440 multiplicamos a k-ésima 441 linha da matriz à esquerda C por todas as colunas da matriz L. 442 Interpretando 443 as linhas de L e L' como vetores no IR<sup>n</sup>, a k-ésima 444 linha da matriz 445 resultante L' corresponde a uma combinação linear das linhas da 446 matriz L, sendo 447 os coeficientes dados pela k-ésima linha da matriz C ...isto 448 é:</p> 449 450 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 451 black"> 452 453 L'<sub>k</sub> = c<sub>k1</sub> L<sub>1</sub> + ... + 454 c<sub>km</sub> L<sub>m</sub> (*) 455 </span></p> 456 457 <p>onde L<sub>j</sub> e L'<sub>j</sub> 458 <nobr>j=1,...,m</nobr> são respectivamente 459 as m linhas da matriz L e da matriz L' vistas como vetores do 460 IR<sup>n</sup>.</p> 461 462 <p>Ora, se pensamos que o produto à esquerda por C transformou a 463 matriz L na 464 matriz L', com uma escolha apropriada dos coeficientes de C 465 podemos implementar 466 qualquer operação elementar na matriz L ...pois em todas operações 467 elementares 468
as linhas resultantes são combinações lineares das linhas 469 originais.</p> 470 471 <p>Para efetuar a troca entre a primeira e a segunda linha de uma 472 matriz 473 três por dois, por exemplo, teríamos que escolher os elementos da 474 matriz C de 475 forma que:</p> 476 477 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 478 black"> 479 480 L'<sub>1</sub> = 0 L<sub>1</sub> + 1 L<sub>2</sub> + 0 481 L<sub>3</sub>, 482 <br> 483 L'<sub>2</sub> = 1 L<sub>1</sub> + 0 L<sub>2</sub> + 0 484 L<sub>3</sub>, 485 <br> 486 L'<sub>3</sub> = 0 L<sub>1</sub> + 0 L<sub>2</sub> + 1 487 L<sub>3</sub>, 488 </span></p> 489 490 <p>O interessante é que tendo escolhido a matriz C mxm de forma a 491 produzir 492 uma certa operação elementar, dada a expressão (*), ela produz a 493 mesma operação 494 elementar em qualquer matriz L, quaisquer que sejam suas entradas 495 e 496 qualquer que seja o seu número de colunas. Assim, 497 para descobrir a expressão de uma matriz C que efetua uma dada 498 operação elementar, 499 podemos efetuar tal operação com as linhas da matriz identidade 500 kxk, pois 501 <nobr>C = C I</nobr> e a identidade 502 transformada resultará na própria matriz C. Vemos assim que estas 503 matrizes, 504 que produzem as operações elementares, são exatamente as matrizes 505 elementares que 506 definimos no começo da discussão.</p> 507 508 <p>Tendo entendido que efetuar operações elementares com uma 509 matriz de k linhas 510 é o mesmo que multiplicá-la a esquerda por matrizes elementares 511 correspondentes 512 às tais operações, o processo de levar uma matriz à sua forma 513 escada pode ser 514 entendido como o mesmo que assim multiplicá-la sucessivamente por 515 várias matrizes 516 elementares:</p> 517 518 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 519 black"> 520
521 E<sub>k</sub> E<sub>k-1</sub> ... E<sub>2</sub> E<sub>1</sub> A = 522 E 523 </span></p> 524 525 <!-- q1a: explicação do método --> 526 527 <p>...lembramos da associatividade do produto matricial e notamos 528 que 529 o produto das matrizes elementares na ordem inversa das operações 530 efetuadas, 531 <nobr>A* = E<sub>k</sub>...E<sub>1</sub>,</nobr> acaba por 532 funcionar como 533 um 'inverso à esquerda' para a matriz A, que multiplicando-a 534 transforma-a 535 na sua forma escada. No caso em que A é quadrada e inversível 536 teremos que 537 <nobr>E = I,</nobr> 538 <nobr>A* = A<sup> -1</sup></nobr> e este inverso à esquerda é de 539 fato o 540 inverso de A.</p> 541 542 <p>Desta última afirmação decorre o método do 3.9 para a inversão 543 de matrizes, 544 emparelhamos a matriz kxk A com a identidade de mesma ordem, 545 obtendo uma 546 matriz com k linhas e 2k colunas, a estrutura do produto matricial 547 implica que:</p> 548 549 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 550 black"> 551 552 E<sub>k</sub>...E<sub>1</sub> [ A || I ] = 553 [ E = I || A<sup> -1</sup> = E<sub>k</sub>...E<sub>1</sub> ] 554 </span></p> 555 556 <p>...assim sendo, ao efetuarmos as operações linhas na ampliada 557 de forma a 558 levarmos a matriz inversível A na identidade, levaremos 559 automaticamente a 560 matriz identidade na inversa de A.</p> 561 562 <!-- q1: critérios de correção para o item a --> 563 564 <p><u>critérios de correção para o item a</u>: ...é importante que 565 se faça 566 uma definição coerente de matriz elementar e de como devemos 567 associar uma 568 operação elementar à matriz elementar correspondente, também é 569 importante 570 que em algum momento apareça uma prova ou uma explicação de por 571 que uma 572
operação elementar pode ser substituida pelo produto de uma matriz 573 elementar 574 à esquerda (a falta desta explicação pode descontar até um ponto), 575 também sobre 576 a idéia do método e por que razão ele funciona. A clareza, a 577 coerência lógica e a 578 completeza serão avaliadas.</p> 579 580 </div> 581 582 <!-- q1: solução do item b --> 583 584 <p><u>solução da opção b</u>:</p> 585 586 <!-- q1: observação sobre o item b --> 587 588 <p><u>observação prévia</u>:</p> 589 590 <p>Tomamos o exercício 3, da página 74 do texto Matrizes, de Frank 591 Ayres Jr, da 592 Coleção Schaum ...a edição que tenho é a de 1971, da McGraw-Hill 593 do Brasil. Este 594 texto, como muitos outros da coleção Schaum, tem exercícios 595 resolvidos e vale 596 a pena ser consultado. Por vezes os livros da coleção Schaum, 597 muito usados nos 598 anos 70 e 80, são encotrados em sebos.</p> 599 600 <p><u>solução:</u></p> 601 602 <p>Devemos emparelhar a matriz dada com a identidade,</p> 603 604 <p align="center"><img src="p101.gif" width="464" height="416" 605 alt="" border="0"></p> 606 607 <p> e em seguida escalonar a matriz formada pelas duas:</p> 608 609 <p align="center"><img src="p102.gif" width="465" height="287" 610 alt="" border="0"></p> 611 612 <p>...que a inversa aparece no bloco quatro por quatro à 613 direita,</p> 614 615 <!-- q1: matriz A invertida --> 616 617 <table align="center" bgcolor="white" border="1"> 618 <tr> 619 <td rowspan="4" valign="middle"> A<sup> -620 1</sup> </td> 621 <td rowspan="4" 622 valign="middle"> = </td> 623 <td> -23 </td> 624
<td> 29 </td> 625 <td> -64/5 </td> 626 <td> -18/5 </td> 627 </tr> 628 <tr> 629 <td> 10 </td> 630 <td> -12 </td> 631 <td> 26/5 </td> 632 <td> 7/5 </td> 633 </tr> 634 <tr> 635 <td> 1 </td> 636 <td> -2 </td> 637 <td> 6/5 </td> 638 <td> 2/5 </td> 639 </tr> 640 <tr> 641 <td> 2 </td> 642 <td> -2 </td> 643 <td> 3/5 </td> 644 <td> 1/5 </td> 645 </tr> 646 </table> 647 648 <!-- q1: passo-a-passo --> 649 650 <p>Agora vejamos como seria o escalonamento passo-a-passo. A 651 matriz quatro por 652 oito que chamamos de m transformar-se-á em m1, m2, m3 ...através 653 de sucessivas 654 operações linha, até ficar na forma escada.</p> 655 656 <p>(i) Para tanto começamos por dividir a primeira linha por 2, de 657 forma que seu 658 primeiro elemento não nulo seja igual a um:</p> 659 660 <p align="center"><img src="p103.gif" width="464" height="288" 661 alt="" border="0"></p> 662 663 <p>(ii) então empregamos a primeira linha para cancelar as 664 entradas da primeira 665 coluna referentes às outras linhas, obtendo:</p> 666 667 <p align="center"><img src="p104.gif" width="460" height="369" 668 alt="" border="0"></p> 669 670 <p>(iii) daí trocamos a segunda linha com a terceira:</p> 671 672 <p align="center"><img src="p105.gif" width="460" height="311" 673 alt="" border="0"></p> 674 675 <p>(iv) e empregamos a segunda linha para eliminar as entradas da 676
primeira e da 677 terceira, também multiplicamos a terceira linha por dois para que 678 seu 679 primeiro elemento não nulo fique igual a um:</p> 680 681 <p align="center"><img src="p106.gif" width="463" height="307" 682 alt="" border="0"></p> 683 684 <p>(v) continuamos, empregamos a terceira linha para cancelar as 685 entradas da 686 terceira coluna das outras linhas:</p> 687 688 <p align="center"><img src="p107.gif" width="465" height="305" 689 alt="" border="0"></p> 690 691 <p>(vi) dividimos a última linha por cinco:</p> 692 693 <p align="center"><img src="p108.gif" width="460" height="286" 694 alt="" border="0"></p> 695 696 <p>(vii) e empregamos a última linha para cancelar as entradas da 697 quarta coluna 698 das outras três:</p> 699 700 <p align="center"><img src="p109.gif" width="463" height="364" 701 alt="" border="0"></p> 702 703 <!-- q1: arquivo do mathematica --> 704 705 <p><a href="q01.nb"> 706 <img src="p110.gif" width="48" height="58" alt="" border="0" 707 valign="top"></a> 708 ...assim chegamos, em sete etapas, à forma escada da 709 matriz quatro por oito, se 710 quiser o arquivo .nb do mathematica que fez o cálculo, clique com 711 o botão direito 712 no ícone à esquerda.</p> 713 714 <!-- q1: critérios de correção para o item b --> 715 716 <p><u>critérios de correção para o item b</u>: 717 718 <p>Erros conceituais causam a perda de todos os pontos da questão, 719 erros 720 numéricos dentro de uma estratégia correta e eficaz causam 721 desconto de meio 722 a 1 ponto dependendo da gravidade e da conseqüência.</p> 723 724 <hr width="70%" color="white"> 725 726 <!-- q2: enunciado --> 727 728
<a name="q02"><p>(2) (2,5 pontos) Considere o espaço vetorial 729 P<sub>3</sub>, dos 730 polinômios com grau menor ou igual a três. Neste subespaço 731 considere o subespaço 732 W gerado pelos quatro polinômios:</p></a> 733 734 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 735 black"> 736 737 p<sub>1</sub> = t<sup>3</sup> - 2 t<sup>2</sup> + 4 t + 1 , 738 <br> 739 p<sub>2</sub> = 2 t<sup>3</sup> - 3 t<sup>2</sup> + 9 t - 1 , 740 <br> 741 p<sub>3</sub> = t<sup>3</sup> + 6 t - 5 , 742 <br> 743 p<sub>4</sub> = 2 t<sup>3</sup> - 5 t<sup>2</sup> + 7 t + 5 . 744 </span></p> 745 746 <p>Encontre a dimensão de W e apresente uma base para este 747 espaço.</p> 748 749 <!-- q2: observação prévia --> 750 751 <p><u>observação prévia</u>: Este exercício foi tirado da página 752 126 do livro 753 Álgegra Linear, de Seymour Lipschutz, também da coleção Schaum, a 754 edição 755 que tenho é de 1972, McGraw-Hill do Brasil. O exercício é 756 interessante e 757 semelhante a outro que aparece em nosso livro-texto e que 758 discutimos em sala.</p> 759 760 <p><u>solução</u>:</p> 761 762 <p>Lembramos que P<sub>3</sub> é essencialmente o espaço das 763 quádruplas de 764 números reais, IR<sup>4</sup>, pois cada polinômio de grau menor 765 ou igual a 766 três é representado pela quádrupla de números reais formados por 767 seus coeficientes, 768 ao polinômio</p> 769 770 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 771 black"> 772 773 p = a<sub>3</sub> t<sup>3</sup> + a<sub>2</sub> t<sup>2</sup> + 774 a<sub>1</sub> t + a<sub>0</sub> 775 </span></p> 776 777 <p>associamos a quádrupla de números reais</p> 778 779 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 780
black"> 781 782 v = ( a<sub>0</sub> , a<sub>1</sub> , a<sub>2</sub> , 783 a<sub>3</sub> ) . 784 </span></p> 785 786 <p>Quando multiplicamos um polinômio de por um número real 787 <nobr>λ ∈ IR,</nobr> multiplicamos cada coeficiente da 788 sua 789 quádrupla por 790 <nobr>λ ∈ IR</nobr> e quando efetuamos a soma vetorial 791 de dois polinômios, 792 a quádrupla do polinômio soma é a soma das quádruplas, tal qual no 793 espaço 794 IR<sup>4</sup>. A base natural para P<sub>3</sub>, análoga à base 795 canônica de 796 IR<sup>4</sup>, é dada por:</p> 797 798 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 799 black"> 800 801 <font size="5">{</font> 1 = t<sup>0</sup>, t , t<sup>2</sup> , 802 t<sup>3</sup> <font size="5">}</font> . 803 </span></p> 804 805 <!-- q2: solução --> 806 807 <p><u>solução</u>:</p> 808 809 <p>Trabalhamos com as quádruplas de coeficientes, construímos uma 810 matriz 811 quatro por quatro que em cada linha tem a quádrupla correspondente 812 a cada 813 um dos polinômios dados:</p> 814 815 <p align="center"> 816 <img src="p111.gif" width="468" height="357" alt="" 817 border="0"></p> 818 819 <p>Em seguida reduzimos, por operações linha, esta matriz à sua 820 forma escada:</p> 821 822 <p align="center"> 823 <img src="p112.gif" width="466" height="253" alt="" 824 border="0"></p> 825 826 <p>Vejamos este procedimento passo-a-passo, partindo da matriz 827 original, com a 828 primeira eliminamos os elementos não nulos da primeira coluna das 829 outras:</p> 830 831 <p align="center"><img src="p114.gif" width="473" height="334" 832
alt="" border="0"></p> 833 834 <p>...em seguida, com a segunda, os elementos não nulos da segunda 835 coluna das outras:</p> 836 837 <p align="center"><img src="p115.gif" width="470" height="335" 838 alt="" border="0"></p> 839 840 <p>...e com apenas dois passos a matriz já fica na forma 841 escada.</p> 842 843 <p>As linhas da matriz na forma escada são combinações lineares 844 das linhas da 845 matriz na sua forma original e vice-versa, assim sendo as linhas 846 da matriz 847 na forma escada geram o mesmo subespaço W gerado pelas linhas da 848 matriz 849 em sua forma original. Ademais as duas linhas não nulas da matriz 850 na forma escada são 851 linearmente independentes, servindo de base para o espaço vetorial 852 W.</p> 853 854 <p>Concluímos que a dimensão de W é dois e que tal espaço tem como 855 base:</p> 856 857 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 858 black"> 859 860 { q<sub>1</sub> = 1 + 6 t<sup>2</sup> - 5 t<sup>3</sup> 861 , q<sub>2</sub> = t + t<sup>2</sup> - 3 t<sup>3</sup> 862 } . 863 </span></p> 864 865 <!-- q2: arquivo do mathematica --> 866 867 <p><a href="q02.nb"> 868 <img src="p113.gif" width="50" height="57" alt="" border="0"></a> 869 ...se quiser o arquivo .nb do mathematica que fez o cálculo, 870 clique com o botão 871 direito no ícone à esquerda.</p> 872 873 <!-- q2: critérios de correção --> 874 875 <p><u>critérios de correção</u>:</p> 876 877 <p>Erros conceituais causam a perda de todos os pontos da questão, 878 erros 879 numéricos dentro de uma estratégia correta e eficaz causam 880 desconto de meio 881 a 1,5 pontos dependendo da gravidade e da conseqüência ...uma 882 estratégia 883 ineficaz pode acentuar este desconto. Afirmações errôneas, mesmo 884
não 885 relacionadas ao objetivo principal do problema, podem causar perda 886 de até meio 887 ponto. Respostas por demais taquigráficas, sem qualquer 888 explicação, podem 889 perder pontos.</p> 890 891 <hr width="70%" color="white"> 892 893 <!-- q3: enunciado --> 894 895 <a name="q03"><p>(3) (2,5 pontos) Considere o espaço vetorial das 896 matrizes 897 três por dois, M(3,2). Neste seja 898 <nobr>W <u>⊂</u> M(3,2)</nobr> o subespaço gerado pelos três 899 vetores 900 <nobr>{v<sub>1</sub> , v<sub>2</sub> , v<sub>3</sub>}</nobr> 901 abaixo:</p></a> 902 903 <table bgcolor="white" align="center" border="1"> 904 <tr> 905 <td rowspan="3"><font size="7" 906 color="gray">{ </font></td> 907 <td> 0 </td> 908 <td> 0 </td> 909 <td rowspan="3"><font size="6" 910 color="gray"> , </font></td> 911 <td> 0 </td> 912 <td> 1 </td> 913 <td rowspan="3"><font size="6" 914 color="gray"> , </font></td> 915 <td> 0 </td> 916 <td> 1 </td> 917 <td rowspan="3"><font size="7" 918 color="gray"> }</font></td> 919 </tr> 920 <tr> 921 <td>1</td> 922 <td>1</td> 923 <td>0</td> 924 <td>-1</td> 925 <td>0</td> 926 <td>0</td> 927 </tr> 928 <tr> 929 <td>0</td> 930 <td>0</td> 931 <td>1</td> 932 <td>0</td> 933 <td>0</td> 934 <td>0</td> 935 </tr> 936
</table> 937 938 <br> 939 940 <table> 941 <tr> 942 <td valign="middle" nowrap><span style="text-align: 943 left;color: white"> 944 Verifique se o vetor v = 945 </td> 946 <td> 947 <table bgcolor="white" align="center" border="1"> 948 <tr> 949 <td>0</td> 950 <td>2</td> 951 </tr> 952 <tr> 953 <td>3</td> 954 <td>4</td> 955 </tr> 956 <tr> 957 <td> 5 </td> 958 <td> 0 </td> 959 </tr> 960 </table> 961 </td> 962 <td valign="middle" nowrap><span style="text-align: 963 left;color: white"> 964 pertence ou não ao subespaço W. 965 </td> 966 </tr> 967 </table> 968 969 <!-- q3: observação inicial --> 970 971 <p><u>observação</u>: Este exercício veio do nosso livro texto, o 972 de número 8 973 ao final do capítulo 4.</p> 974 975 <!-- q3: início da solução --> 976 977 <p><u>início da solução</u>:</p> 978 979 <p>Pergunta-se se v pode ser escrito como combinação linear dos 980 três vetores 981 geradores de W, isto é, se existem reais x, y e z tais que</p> 982 983 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 984 black"> 985 986 v = x v<sub>1</sub> + y v<sub>2</sub> + z v<sub>3</sub> 987 </span></p> 988
989 <p>...e responder a esta pergunta é o mesmo que responder se o 990 sistema abaixo 991 é possível ou não:</p> 992 993 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 994 black"> 995 996 0 x + 0 y + 0 z = 0 , 997 <br> 998 0 x + 1 y + 1 z = 2 , 999 <br> 1000 1 x + 0 y + 0 z = 3 , 1001 <br> 1002 1 x - 1 y + 0 z = 4 , 1003 <br> 1004 0 x + 1 y + 0 z = 5 , 1005 <br> 1006 0 x + 0 y + 0 z = 0 . 1007 </span></p> 1008 1009 <p>Não é difícil verificar que tal sistema é impossível e que 1010 portanto 1011 <nobr>v <font face="symbol">Ï</font> W,</nobr> basta 1012 examiná-lo.</p> 1013 1014 <p>Entretanto, dada a função 1015 didática desta resolução, procederemos de forma sistemática, 1016 para que seja aplicável a outros sistemas. Por esta mesma razão 1017 faremos a observação abaixo, antes de continuar a solução.</p> 1018 1019 <!-- q3: pausa para observação --> 1020 1021 <p><u>observação</u>:</p> 1022 1023 <p>Lembramos que M(3,2) é essencialmente o espaço das sêxtuplas de 1024 números reais, IR<sup>6</sup>, pois cada matriz três por dois é 1025 representada 1026 pelos seis números reais formados pelas entradas de suas linhas 1027 que 1028 podem ser ordenados em seqüência ...à matriz</p> 1029 1030 <table bgcolor="white" align="center" border="1"> 1031 <tr> 1032 <td>a<sub>11</sub></td> 1033 <td>a<sub>12</sub></td> 1034 </tr> 1035 <tr> 1036 <td>a<sub>21</sub></td> 1037 <td>a<sub>22</sub></td> 1038 </tr> 1039 <tr> 1040
<td> a<sub>31</sub> </td> 1041 <td> a<sub>32</sub> </td> 1042 </tr> 1043 </table> 1044 1045 <p>associamos a sêxtupla de números reais</p> 1046 1047 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 1048 black"> 1049 1050 v = ( a<sub>11</sub> , a<sub>12</sub> , a<sub>21</sub> , 1051 a<sub>22</sub> , a<sub>31</sub> , a<sub>32</sub>) . 1052 </span></p> 1053 1054 <p>Quando multiplicamos uma matriz por um número real 1055 <nobr>λ ∈ IR,</nobr> multiplicamos cada uma de suas 1056 entradas, ou 1057 cada componente de sua sêxtupla por 1058 <nobr>λ ∈ IR</nobr> ...e quando efetuamos a soma 1059 vetorial de duas matrizes, 1060 a sêxtupla da matriz soma é a soma das sêxtuplas, tal qual no 1061 espaço 1062 IR<sup>6</sup>. A base natural para M(3,2), análoga à base 1063 canônica de 1064 IR<sup>6</sup>, é dada por:</p> 1065 1066 <p align="center"><span style="background-color: white;color: 1067 black"> 1068 1069 { E<sub>11</sub> , E<sub>12</sub> , E<sub>21</sub> , 1070 E<sub>22</sub> , 1071 E<sub>31</sub> , E<sub>32</sub> } 1072 </span></p> 1073 1074 <p>onde a matriz E<sub>ij</sub> é a matriz três por dois que tem 1075 todas entradas 1076 nulas exceto a entrada ij, que vale um. Esta é chamada de base de 1077 Weil para M(3,2).</p> 1078 1079 <p>Notem que não há diferença essencial entre e IR<sup>6</sup> e 1080 M(3,2), apenas 1081 uma diferença na forma de apresentar as sêxtuplas, em linha ou 1082 empilhadas.</p> 1083 1084 <p>Terminamos por lembrar o comentário que fizemos várias vezes em 1085 aula, que a 1086 pergunta de se no IR<sup>n</sup> um dado vetor v pertence ao 1087 subespaço vetorial 1088 <nobr>W = [v<sub>1</sub> , ... , v<sub>k</sub>]</nobr>, gerado por 1089 k vetores, é 1090 equivalente à pergunta de se é possível o sistema</p> 1091 1092
<p align="center"><span style="background-color: white;color: 1093 black"> 1094 1095 v = x<sub>1</sub> v<sub>1</sub> + ... + x<sub>k</sub> 1096 v<sub>k</sub> 1097 </span></p> 1098 1099 <p>e que este sistema com n equações e k incógnitas tem os vetores 1100 geradores de W, v<sub>j</sub>, com <nobr>j = 1,...,k ,</nobr> nas 1101 colunas da sua matriz de coeficientes ...e o vetor v na sua coluna 1102 de dados.</p> 1103 1104 <p>Muitos textos, como por exemplo o do Banchoff, definem o 1105 IR<sup>n</sup> 1106 como o espaço das matrizes coluna com n linhas. Daí este resultado 1107 é 1108 mais evidente ainda.</p> 1109 1110 <p>Neste contexto, identificando M(3,2) com IR<sup>6</sup>, vemos 1111 que o sistema 1112 de seis equações e três incógnitas a que chegamos na questão 3 tem 1113 as colunas 1114 de sua matriz de coeficientes formada pelas componentes das três 1115 matrizes geradoras 1116 de W na base de Weil ...e como coluna de dados as componentes 1117 nesta base da matriz 1118 sobre qual perguntamos se pertence ao espaço W ou não.</p> 1119 1120 <!-- q3: continuação da solução --> 1121 1122 <p><u>continuação da solução</u>:</p> 1123 1124 <p>Devemos analisar se o sistema é possível ou não, como 1125 observamos isto 1126 poderia ser feito facilmente por inspeção, mas seguiremos o 1127 procedimento 1128 sistemático que consiste em verificar se o posto da matriz 1129 ampliada 1130 coincide com o posto da matriz dos coeficientes do sistema. Para 1131 tanto 1132 levamos a matriz ampliada para sua forma escada, assim a matriz 1133 dos coeficientes também ficará escalonada.</p> 1134 1135 <p>Primeiro entramos com a matriz ampliada, que como vimos na 1136 observação 1137 acima tem como colunas da submatriz dos coeficientes os vetores 1138 geradores 1139 de W e como coluna de dados o vetor v:</p> 1140 1141 <p align="center"><img src="p116.gif" width="462" height="392" 1142 alt="" border="0"></p> 1143 1144
<p>Em seguida a colocamos na sua forma escada:</p> 1145 1146 <p align="center"><img src="p117.gif" width="464" height="245" 1147 alt="" border="0"></p> 1148 1149 <p>e a diferença de posto entre a restrita e a ampliada mostra que 1150 o sistema 1151 é impossível, notem que a linha quatro é nula para a restrita mas 1152 não é nula 1153 para a ampliada, levando ao absurdo 1154 <nobr>0x + 0y + 0z = 1.</nobr></p> 1155 1156 <p>Façamos o escalonamento passo-a-passo. Partimos da matriz 1157 original e levamos 1158 a primeira linha, que é nula, para o final ...também fazemos uma 1159 permuta:</p> 1160 1161 <p align="center"><img src="p118.gif" width="466" height="273" 1162 alt="" border="0"></p> 1163 1164 <p>Agora empregamos a primeira linha para cancelar o primeiro 1165 elemento não nulo 1166 da terceira:</p> 1167 1168 <p align="center"><img src="p119.gif" width="463" height="274" 1169 alt="" border="0"></p> 1170 1171 <p>Agora empregamos a segunda linha para eliminar os segundos 1172 elementos não 1173 nulos das outras:</p> 1174 1175 <p align="center"><img src="p120.gif" width="465" height="268" 1176 alt="" border="0"></p> 1177 1178 <p>Empregamos daí a terceira linha para eliminar os terceiros 1179 elementos 1180 não nulos das outras linhas:</p> 1181 1182 <p align="center"><img src="p121.gif" width="462" height="285" 1183 alt="" border="0"></p> 1184 1185 <p>Poderíamos dividir a última linha por seis e empregá-la para 1186 cancelar os 1187 quartos elementos não nulos das outras linhas, mas neste momento 1188 já vemos que 1189 o posto da ampliada é diferente do posto da restrita e já temos o 1190 absurdo 1191 <nobr>0x + 0y + 0z = 6,</nobr> mostrando que o sistema é 1192 impossível.</p> 1193 1194 <!-- q3: arquivo do mathematica --> 1195 1196
<p><a href="q03.nb"> 1197 <img src="p122.gif" width="42" height="56" alt="" border="0"></a> 1198 ...se quiser o arquivo .nb do mathematica que fez o cálculo, 1199 clique com o botão 1200 direito no ícone à esquerda.</p> 1201 1202 <p><u>critérios de correção</u>:</p> 1203 1204 <p>Erros conceituais causam a perda de todos os pontos da questão, 1205 erros 1206 numéricos dentro de uma estratégia correta e eficaz causam 1207 desconto de meio 1208 a 1,5 pontos dependendo da gravidade e da conseqüência ...uma 1209 estratégia 1210 ineficaz pode acentuar este desconto. Afirmações errôneas, mesmo 1211 não 1212 relacionadas ao objetivo principal do problema, podem causar perda 1213 de até meio 1214 ponto. Respostas por demais taquigráficas, sem qualquer 1215 explicação, podem 1216 perder pontos.</p> 1217 1218 <hr color="white" width="70%"> 1219 1220 <!-- q4: enunciado --> 1221 1222 <a name="q04"><p>(4) (2,5 pontos) Considere o espaço vetorial das 1223 matrizes 1224 dois por dois, M(2,2). Neste seja 1225 <nobr>W <u>⊂</u> M(2,2)</nobr> o subespaço gerado pelos quatro 1226 vetores 1227 <nobr>{v<sub>1</sub> , v<sub>2</sub> , v<sub>3</sub>, 1228 v<sub>3</sub>}</nobr> abaixo:</p></a> 1229 1230 <table bgcolor="white" align="center" border="1"> 1231 <tr> 1232 <td rowspan="2"><font size="6" 1233 color="gray">{ </font></td> 1234 <td> 1 </td> 1235 <td> -5 </td> 1236 <td rowspan="2"><font size="6" 1237 color="gray"> , </font></td> 1238 <td> 1 </td> 1239 <td> 1 </td> 1240 <td rowspan="2"><font size="6" 1241 color="gray"> , </font></td> 1242 <td> 2 </td> 1243 <td> -4 </td> 1244 <td rowspan="2"><font size="6" 1245 color="gray"> , </font></td> 1246 <td> 1 </td> 1247 <td> -7 </td> 1248
<td rowspan="2"><font size="6" 1249 color="gray"> }</font></td> 1250 </tr> 1251 <tr> 1252 <td>-4</td> 1253 <td>2</td> 1254 <td>-1</td> 1255 <td>5</td> 1256 <td>-5</td> 1257 <td>7</td> 1258 <td>-5</td> 1259 <td>1</td> 1260 </tr> 1261 </table> 1262 1263 <p>Encontre a dimensão de W e apresente uma base para este 1264 espaço.</p> 1265 1266 <!-- q4: observação prévia --> 1267 1268 <p><u>observação prévia</u>: Este exercício veio do nosso livro 1269 texto, o de 1270 número 15 ao final do capítulo 4. Da observação que fizemos na 1271 questão 1272 anterior, 'mutatis mutandis', identificamos M(2,2) com o 1273 IR<sup>4</sup>, 1274 formado pelas quádruplas de números reais ...as quádruplas estão 1275 empilhadas 1276 e não em linha. Aliás esta é uma terceira forma do velho 1277 IR<sup>4</sup>, pois 1278 na observação ao exercício 2 vimos que P<sub>3</sub>, o espaço dos 1279 polinômios 1280 de grau menor ou igual a três, é também este mesmo espaço de 1281 quádruplas de 1282 números reais, mas apresentadas como coeficientes de polinômios. 1283 Procederemos 1284 como no exercício 2, que é semelhante a este.</p> 1285 1286 <p><u>solução</u>:</p> 1287 1288 <p>Cada matriz pode ser representada pela quádrupla das suas 1289 componentes na 1290 base de Weil. Colocamos estas quádruplas nas linhas de uma matriz 1291 m.</p> 1292 1293 <p align="center"><img src="p123.gif" width="456" height="360" 1294 alt="" border="0"></p> 1295 1296 <p>Através de operações com linhas levamos esta matriz à sua forma 1297 escada.</p> 1298 1299 <p align="center"><img src="p124.gif" width="456" height="239" 1300
alt="" border="0"></p> 1301 1302 <p>As linhas da matriz na forma escada são combinações lineares 1303 das linhas da 1304 matriz na sua forma original e vice-versa, assim sendo tanto os 1305 vetores-linha 1306 da matriz original quanto os vetores-linha da matriz na forma 1307 escada geram o 1308 mesmo subespaço vetorial W. Dado que as linhas não nulas da forma 1309 escada são 1310 linearmente independentes, a dimensão de W é dois e temos para 1311 este espaço a 1312 seguinte base:</p> 1313 1314 <table bgcolor="white" align="center" border="1"> 1315 <tr> 1316 <td rowspan="2"><font size="6" 1317 color="gray">{ </font></td> 1318 <td> 1 </td> 1319 <td> 0 </td> 1320 <td rowspan="2"><font size="6" 1321 color="gray"> , </font></td> 1322 <td> 0 </td> 1323 <td> 1 </td> 1324 <td rowspan="2"><font size="6" 1325 color="gray"> }</font></td> 1326 </tr> 1327 <tr> 1328 <td> -3/2 </td> 1329 <td> 9/2 </td> 1330 <td> 1/2 </td> 1331 <td> 1/2 </td> 1332 </tr> 1333 </table> 1334 1335 <p>...o escalonamento poderia ser feito passo-a-passo, tomando a 1336 matriz original 1337 começamos por empregar a primeira linha para cancelar os primeiros 1338 elemntos das 1339 outras</p> 1340 1341 <p align="center"><img src="p125.gif" width="459" height="239" 1342 alt="" border="0"></p> 1343 1344 <p>...daí dividimos a segunda linha por seis e a empregamos para 1345 cancelar os 1346 segundos elementos das outras:</p> 1347 1348 <p align="center"><img src="p126.gif" width="454" height="324" 1349 alt="" border="0"></p> 1350 1351 <p>...chegando rapidamente à forma escada.</p> 1352
1353 <!-- q4: arquivo do mathematica --> 1354 1355 <p><a href="q04.nb"> 1356 <img src="p127.gif" width="45" height="60" alt="" border="0"></a> 1357 ...se quiser o arquivo .nb do mathematica que fez o cálculo, 1358 clique com o botão 1359 direito no ícone à esquerda.</p> 1360 1361 <!-- q4: critérios de correção --> 1362 1363 <p><u>critérios de correção</u>:</p> 1364 1365 <p>Erros conceituais causam a perda de todos os pontos da questão, 1366 erros 1367 numéricos dentro de uma estratégia correta e eficaz causam 1368 desconto de meio 1369 a 1,5 pontos dependendo da gravidade e da conseqüência ...uma 1370 estratégia 1371 ineficaz pode acentuar este desconto. Afirmações errôneas, mesmo 1372 não 1373 relacionadas ao objetivo principal do problema, podem causar perda 1374 de até meio 1375 ponto. Respostas por demais taquigráficas, sem qualquer 1376 explicação, podem 1377 perder pontos.</p> 1378 1379 <p>Saudações. Márcio</p> 1380 1381 <p>ps: 1382 <a href="cdfonte.pdf">clicaqui</a> 1383 para o código fonte da página em pdf.</p> 1384 1385 </body> 1386 </html> 1387
![Linguagem C 04x - facom.ufu.brcrlopes/IC/14-LinguagemC_vetores.pdf · ss II NN FF OO RR MM AA TT II CC AA \\00 ... (exemplos: char[], int[], etc ... matrizes quadradas An,n + Bn,n](https://img.document.onl/doc/110x75/5c0d9e3009d3f20b788bb61d/linguagem-c-04x-facomufubr-crlopesic14-linguagemc-ss-ii-nn-ff-oo-rr.jpg)
