Mola Slinky

Mola Suspensa

𝐹

𝑑𝑥1

Hipótese: qualquer separação entre os elos produz uma força proporcional à separação

= 12𝑚𝑔

𝑑𝑥11

𝑑𝑥2

𝑚𝑔𝑘𝑑𝑥1

𝑚𝑔

= 11𝑚𝑔

𝑘𝑑𝑥2= 10𝑚𝑔

𝑚𝑔

12𝑚𝑔

11𝑚𝑔

𝑘𝑑𝑥11

𝐿𝑁 = 𝑑𝑥1 + 𝑑𝑥2 +⋯+ 𝑑𝑥𝑁

=𝑁 − 1 𝑚𝑔

𝑘+⋯+

2𝑚𝑔

𝑘+𝑚𝑔

𝑘

= 𝑚𝑔𝑘

𝑁(𝑁−1)2 1 + 2 +⋯+ 8 =

9 × 8

2

A extensão de uma mola slinky suspensa

𝐿21𝐿14

=41 cm

18,5 cm= 2,22

Experimento:

𝐿21𝐿14

=21 × 20

14 × 13= 2,31

Teoria:

https://www.youtube.com/watch?v=rCw5JXD18y4

Mola caindo

𝑑𝑥1 𝑘𝑑𝑥1 = 2𝑚𝑔

𝑑𝑥2 𝑘𝑑𝑥2 = 𝑚𝑔

𝐹= 3𝑚𝑔

Contrastar com a queda de uma corda inextensível

https://www.youtube.com/watch?v=ktvZ2Z_s4Bo

Aplicações da Conservação de Energia

Massa presa à mola

Você comprime a mola de 𝑑 e solta. Qual é a altura ℎ que a massa𝑚 atinge? Será que ℎ = 𝑑?

ℎ0

𝑧

−𝑑

1

2𝑚𝑣2 +𝑚𝑔𝑧 +

1

2𝑘𝑧2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Origem na mola relaxada

𝑚𝑔ℎ +1

2𝑘ℎ2 = 𝑚𝑔(−𝑑) +

1

2𝑘𝑑2

ℎ < 𝑑

sem atrito

De quanto a mola será comprimida? Quanto tempo leva para a massa parar?

Massa não presa à mola-1 (mola só empurra)

0 𝐯0

1

2𝑚𝑣2 + 𝑈𝑒𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(𝑈𝑒𝑙= 0 para 𝑥 > 0)

𝑥

1

2𝑚𝑣0

2 =1

2𝑘𝑑2

Você comprime a mola de 𝑑 e solta. Qual é a altura ℎ que a massa𝑚 atinge?

Massa não presa à mola-2 (mola só empurra)

ℎ

0

𝑧

−𝑑

1

2𝑚𝑣2 +𝑚𝑔𝑧 + 𝑈𝑒𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(𝑈𝑒𝑙= 0 para 𝑧 > 0)

𝑚𝑔 −𝑑 +1

2𝑘𝑑2 = 𝑚𝑔ℎ

𝑑 > 2𝑚𝑔/𝑘

(ℎ > 0)

Para o objeto ser lançado:

Propriedades gerais de sistemasconservativos em 1D

Forças conservativas em 1D

Hipótese: no ponto 𝑥 a partícula está sujeita à força 𝐹 𝑥(isso exclui forças de atrito/arrasto)

𝐹 𝑥 = −𝑑𝑈(𝑥)

𝑑𝑥

𝑊𝐴→𝐵 = 𝐴

𝐵

𝐹 𝑥 𝑑𝑥

Há conservação de energia

= − 𝐴

𝐵 𝑑𝑈(𝑥)

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑈 𝑥𝐴 − 𝑈(𝑥𝐵)

𝐹 𝑈

𝑧

𝑧

−𝑚𝑔

+𝑚𝑔

+𝑚𝑔𝑧

−𝑚𝑔𝑧

−𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒𝑞)1

2𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒𝑞)

2𝑥𝑥𝑒𝑞

Pontos de equilíbrio e o sentido de 𝐹(𝑥)

𝑈(𝑥)

𝑥𝑒𝑠𝑡 𝑥𝑖𝑛𝑠 𝑥𝑖𝑛𝑑𝐹 = 0

𝑥

𝑘𝑥2/2

0

São os pontos onde 𝐹 𝑥 = 0

𝑥

Energia Cinética

Posição inicial e velocidade inicial fixam o valor de 𝐸

1

2𝑚𝑣2 + 𝑈(𝑥) = 𝐸

𝑈(𝑥)

𝑥𝑥0

𝐸

𝑚𝑔𝑧

𝑧𝑧0

𝐸

𝑧0𝐯0

𝐾

Pontos de retorno (partícula só visita pontos 𝑥 com 𝑈(𝑥) ≤ 𝐸)

Um projétil não para no ponto mais alto…

𝑚𝑔𝑧

𝐸

𝑧𝑧0 ℎ𝑚𝑎𝑥

12𝑚𝑣2 = 𝐸 − 𝑈(𝑥)

𝑈(𝑥)

𝑥

𝐸

𝑏𝑎 𝑧0𝐯0

Reanalisando graficamente os problemas do início da aula

12𝑘𝑧2

𝑚𝑔𝑧

Massa presa à mola 1

2𝑚𝑣2 +𝑚𝑔𝑧 +

1

2𝑘𝑧2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

−𝑚𝑔/𝑘

0 𝑧Quando 𝐸 < 0 a mola fica comprimida o tempo todo

ℎ0

𝑧

−𝑑

12𝑘(𝑧 + 𝑚𝑔/𝑘)

2−𝑚2𝑔2/2𝑘

−𝑑 ℎ

−𝑚𝑔/𝑘

−𝑑

Massa não presa à mola-1 (mola só empurra)

sem atrito

0 𝐯0𝑥

1

2𝑚𝑣2 + 𝑈𝑒𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(𝑈𝑒𝑙= 0 para 𝑥 > 0)

𝐸 =1

2𝑚𝑣0

2

𝑈𝑒𝑙

𝑥0

Massa não presa à mola-2 (mola só empurra)1

2𝑚𝑣2 +𝑚𝑔𝑧 + 𝑈𝑒𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(𝑈𝑒𝑙= 0 para 𝑧 > 0)

𝑚𝑔𝑧𝑈𝑒𝑙

𝑧

ℎ

0

𝑧

−𝑑

O que acontece quando 𝐸 < 0?

−𝑚𝑔/𝑘𝐸

ℎ−𝑑

−2𝑚𝑔/𝑘

Potenciais Inter Atômicos

Applet: Atomic Interactions1. Ponto de equilíbrio2. Forças repulsivas e atrativas, suas origens físicas3. Assimetria do potencial e expansão térmica4. Condição inicial com 𝐸 > 0 (aproxime os átomos)