mat cpcar2008 3a resol

8/14/2019 mat cpcar2008 3a resol

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EA CPCAR EXAME DE ADMISSO AO 3o

ANO DO CPCAR 2008 MATEMTICA VERSOA 2

01 - Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir.

( ) Se m, n e p so nmeros reais positivos e consecutivos

tais quem

npn

pn

mn 2 =

+, ento pmn =

( ) Se a e b so nmeros reais no nulos tais que

2a

b

b

a 2

2=+ , ento a um nmero real negativo.

( ) Os trinta e cinco alunos de uma turma do 1o ano doCPCAR 2007 fizeram uma prova de matemtica cuja notamxima 10 pontos. A mdia aritmtica das notas daturma foi 7,5 e apenas 15 alunos conseguiram notamxima. A mdia das notas dos alunos que NOobtiveram nota mxima foi menor que 5,6

A seqncia correta

a) V, V, V. c) F, V, F.b) F, F, F. d) V, F, V.

RESOLUO

(F) Analisando n = m p, tem-se que:

m p > 0 (pois n *+ )

m p>

Dessa forma, s possvel a seguinte ordem crescente param, n e p:

i) p, m e n

1

n m p=

n 1= m 0= e p 1= absurdo! pois p *+

Logo a proposio falsa.

ii) n, p e m

1

n m p=

n 1= m 2= e p 3=

iii) p, n e m

2

n m p=

n 2= p 1= e m 3=

Verificando os dois possveis resultados na equao dada,tem-se:

1) n = 1, m = 2 e p = 322 1 1 1 3

1 3 2

=

+ 4 = 8 (absurdo!)

2) n = 2, p = 1 e m = 323 2 2 2 1

2 1 3

=

+ 18 = 6 (absurdo!)

Logo a proposio falsa.

(V)2

2a b

ab+ 2a b=

Como 2b 0> , 2a b= nos leva a a < 0

Da, a proposio verdadeira.

(F) Sendo ni a nota de cada aluno, tem-se:

1 2 35

1 2 15

n n ... n7,5

35n n ... n 150

+ + +=

+ + + =

16 17 35150 n n ... n

7,535

+ + + +=

16 17 35n n ... n 112,5+ + + =

16 17 35n n ... n 112,5 5,62520 20

+ + += =

Portanto, a proposio falsa.

RESPOSTA: opo c

02 - Dados os conjuntos A, B e C tais queA B = {1, 3, 5}, B C = {3, 4, 5}, A C = {2, 3, 5},A B = {x * | x 6} e [(A C) (A B)] = {6}, FALSOafirmar que

a) o nmero de elementos de A igual ao nmero deelementos de Bb) a soma dos elementos do conjunto C igual a 20c) no conjunto A existem trs elementos que so nmeros

primos.d) A B tem dois elementos.

RESOLUO

A U B = {1, 2, 3, 4, 5}A = {1, 2, 3, 5}B = {1, 3, 4, 5}C = {2, 3, 4, 5, 6}A U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) Verdadeiron (A) = 4

n (A) =n (B)n (B) = 4

b) Verdadeiro2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20

c) Verdadeiro 2, 3 e 5 so nmeros primosd) Falso A B = {1, 2, 3, 5} {1, 3, 4, 5} = {2} 1 elemento

RESPOSTA: opo d

03 - Considere a funo real g: A B representada pelo grficoabaixo.

Analise as alternativas e marque a FALSA.

a) f(x) 0 {x | x = b ou b < x c ou x e}b) I x A tal que g(x) = uc) A = [a, +[ {d} e Im(g) = ]t, p]d) Se |s | |q |, ento g(a) + g(q) 0

RESOLUO

a) Verdadeira, conforme anlise grfica.b) Verdadeira g(x) = u x [a, b]c) Falsa

A = [a, +[ {d}, mas Im(g) = ]t,q] {p}d) Verdadeira


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g(a)=s e s < 0g(q)=q e q > 0como |s| |q| g(a) + g(q) 0

RESPOSTA: opo c

04 - Considere as funes reais f, g, h e j e classifique em (V)verdadeira ou (F) falsa cada proposio abaixo.

( ) Dentro de seu domnio mais amplo, se fe g so tais que

1x

2x)x)(gofog(

+

+= e a representao grfica de g

ento (fofofo...of)(x) = x ou (fofofo...of)(x) = x1

( ) Considere dois nmeros reais k e m tais que m > k e afuno j: [0, 1] B tal que j(x) = k + (m k)xSe B = [k, m], entoj funo bijetora.

( ) A funo h que associa cada ponto P de uma

semicircunferncia de dimetro MN soma dosquadrados das distncias de P at M e de P at N umafuno injetora.

Assinale a alternativa com a seqncia correta.

a) V F V c) F F Fb) F V V d) V V F

RESOLUO

I) Verdadeirog(x) = x+1 e D(g) = {1}(gofog)(x) = g(f(g(x))) = g(f(g(x))) = g(f(x+1))) =

= f(x+1) +1 =x 2

x 1

+

+

f(x+1) =x 2

x 1

+

+ 1 =

x 2 x 1

x 1

+

+=

1

x 1+ f(x) =

1

x

f(x) = x, f(f(x)) =1

x

, f(f(x)) = x

f(f(f(f(x)))) =1

x

(fofo...of)(x) = x ou

(fofo...of)(x) =1

x

II)Verdadeiroj(0) = k+(m k).0 j(0) = kj(1) = k+(m k).1 j(1) = mIm(j) = [k, m] = B j sobrejetora

j(x) = k+ (m k) x injetora

j bijetora

III) Falso

PMN retngulo (PM)2 + (PN)2 = (MN)2Qualquer que seja o ponto P, a imagem (MN)2

Logo h no injetora.A seqencia correta : V V F

RESPOSTA: opo d

05 - Considere as funes reais f, g, h e j definidas pela leis

f(x) = ln x, g(x) = x , h(x) = sen x e j(x) = cos xSabendo-se que existe a funo composta F: A B, tal queF(x) = (fogohoj)(x), correto afirmar que F

a) no funo par nem mpar.b) funo injetora.c) no admite raiz real.

d) pode ter domnio

sen(cos x) 0

sen(cosx ) 0

x ksen(cosx ) 0 2

cos x 0

>

>

+

> >

a) Falsa F(-x) = n sen(cos( x)) = n sen(cosx) = F(x),

logo F funo par.

b) Falsa Se F funo par, ela no injetora.

c) Verdadeira n sen(cosx) = 0 sen(cosx) = e0

sen(cosx) = 1 sen (cos x) = 1 cosx2

=

3,14

cosx2

= cos x 1,57 e 1,57 [-1,1]

Concluso: x F(x) = 0

d) Falsa x ] ,2

[ e cos x < 0 F(x)

RESPOSTA: opo c

06 - Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir.( ) Seja g: tal que g(x) = mx 4, tal que g(g(1)) < 0

e g uma funo decrescente. O maior valor inteiropossvel para m 1

( ) Seja f : tal que f(x) = ax2 + bx + cSabe-se que f tem duas razes reais e distintas e quef(0) > 0Se a < 0, ento x = 0 est entre as razes de f

( ) O grfico abaixo de uma funo quadrtica tal quey = ax2 + bx + c, onde a, b e c* e o ponto A tem

abscissa nula. Se o segmento AB paralelo ao eixo dasabscissas, correto afirmar que a rea S do quadriltero

ABCO , necessariamente, S = c

ab

A seqncia corret

a

a) V, V, V. c) F, V, F.b) V, V, F. d) F, V, V.

0

P


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RESOLUO

I) VerdadeiroSe g decrescente, ento m < 0g(1) = m 4g(g(1)) = m2 4m 4

g(g(1)) < 0 m2 4m 4 < 0m 2Se m < 0 e o maior valor inteiro possvel, ento m = 1

II) Verdadeirof(x) = ax2 + bx + cSe f tem duas razes reais e distintas ( > 0), entof(0) > 0 c > 0 e a < 0

Se b < 0 ou se b > 0

III) Falso

y = ax2 + bx + c

A(0, c) OA = cSe B(xB, c) ento a(xB)

2 + bxB + c = cLogo xB = 0 (no convm) ou

Bb

xa

= b

OCa

=

S = |OC| . |OA|b

S ca

bcS

a

=

=

Logo, a seqncia correta : V V F

RESPOSTA: opo b

07 - O proprietrio de um restaurante verifica que com as 10 mesasque o restaurante possui ele consegue ter um lucro dirio deR$ 12,00 por mesa. O restaurante foi reformado e foramacrescentadas x mesas. Com isso, o lucro dirio, por mesa,tanto nova quanto antiga, diminuiu R$ 0,20 para cada mesaacrescentada.Chamando de y o lucro do proprietrio, por dia, aps areforma, INCORRETO afirmar que

a) se esse lucro mximo, ento o nmero de mesas dorestaurante, aps a reforma, igual a 35

b) se 50 < x < 60, pode-se concluir que no foi vantajosofazer a reforma no restaurante.

c) se forem acrescentadas mais de 60 mesas o proprietrioter prejuzo.

d) esse lucro, aps a reforma, ser de R$ 240,00, se, esomente se, forem acrescentadas 30 mesas.

RESOLUO

Com 10 mesas, tem lucro dirio de R$ 12,00 por mesa.

Depois da reforma:

com (10 + x) mesas, tem lucro dirio de (12,00 0,2x) pormesa.

y lucro do proprietrio por dia

y = (10 + x) (12,00 0,2x) = 120 + 10x 0,2x2

a) Verdadeiro v10

x 252( 0,2)

= =

25 + 10 = 35 mesas

b) Verdadeiro 50 < x < 60 0 < y < 120

Como antes da reforma o lucro dirio do proprietrio era deR$ 120,00, se 50 < x < 60, o lucro ser abaixo deR$ 120,00, no sendo vantajoso fazer a reforma

c) Verdadeiro Se x > 60 y < 0d) Falso Para x = 20, y = 120 + 10.20 0,2.202 = 240

RESPOSTA: opo d

08 - Considere as funes reais fe g, tais que f(x) = x2 2|x| + 1 eg(x) = mx + 2m (m 0) e marque a alternativa correta.

a) Se m = 0, ento g(x) < f(x), x

b) Se 0 < m 0, x , tal que x > 2

d) Para m >2

1, g(x) f(x) > 0 1 < x < 1

RESOLUO

2

2

x 2x 1, se x 0f(x)

x 2x 1, se x 0

+ =

+ + 0 x 1

b) Verdadeiro. Se m = 0, ento f(x) = g(x) para 2 valoresdistintos de x

Se ( )1 1

m , ento g x x 12 2

= = +

f(x) = g(x) para exatamente 3 valores distintos de x

Portanto, quando1

0 m2

< < f(x) = g(x) para exatamente 4

valores distintos de x


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c) Falso. Se1 1

m , ento g(x) x 12 2

= = +

S = {x | x > 2 e x 1 e x 1}

d) Falso.g(x) = mx + 2m

RESPOSTA: opo b

09 - Sobre a funo real g: A B, definida por g(x) =x2

1x

,

correto afirmar que

a) se 4x< , ento 1)x(g2

3 1, x

RESOLUO

2 x 0 A = {2}

1

x 1 2y 1y 2y xy x 1 x xy 2y 1 x (y 1)

2 x 1 y

2x 1f (x) (x 1)

1 x

= = + = =

+

=

+

a) Verdadeiro, pois g(4) =3

2 e x< 4 3

2 < g(x) < 1

b) Falso, pois g(x) 0 1 x 2 c) Falso, pois g inversvel se B = {1}d) Falso, pois h(x) 1

RESPOSTA: opo a

10 - Considere as funes reais f, g, h e v tais que f: *+

dada por f(x) = ax (0 < a < 1), g a inversa de f, h definidapor h(x) = f(g(x)) e v definida por v(x) = h(x) + 1 e, a seguir,assinale a alternativa FALSA.

a) A funo v tem conjunto imagem Im = ]1, + [b) O grfico da funo h uma reta.

c) O domnio da funo v *+

d) Os grficos das funes fe g se interceptam num ponto deabscissa menor que 1

RESOLUO

h(x) = f(g(x)) h(x) = f(loga x) h(x) = alog xa

h(x) = x (x >0)


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a) Verdadeira (vide grfico I)v(x) = h(x)+ 1 v(x) = x + 1 (x >0) e Im= ]1, + [

b) Falsa (vide grfico II)c) Verdadeira (vide grfico I)d) Verdadeira (vide grfico III)

f(a) = a, g f = P(a, a) e a < 1

RESPOSTA: opo b

11 - A populao de certo tipo de bactria triplica a cada meia hora.Em uma experincia, colocou-se, inicialmente, uma amostra de1000 bactrias. Com base nisso, correto afirmar que se

Dado: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4

a) ao final da experincia, obtm-se um total de 6,561 106bactrias, ento, o tempo total do experimento foi maiorque 6 horas.

b) o tempo da experincia foi de 2 horas, ento, o nmero debactrias obtidas foi menor que 7,5 10

4c) a populao de bactrias, ao final da experincia, chegou a

80.000, ento, o tempo da experincia foi inferior a2h30min.

d) um cientista deseja obter um nmero de bactrias entre20.000 e 40.000, ento, o tempo do experimento deverestar entre 3h25min e 4 horas.

RESOLUOSeja x tempo e y a quantidade de bactrias.

tempo t tempo(horas) quantidade de bactrias0 0 y = 10001 0,5 hora y = 3.1000 = 31.10002 1 hora y = 3.3.1000= 32. 10003 1,5 hora y = 3.3.3.1000= 33. 1000

.

.

.

.

.

.

.

.

.

tt

2hora y = 3t..1000

a) Falso3t.1000 = 6,561 . 10

6 3t= 6561 3t= 3

8 t = 8 (4 horas)b) Falso

Se o tempo de experincia de 2 horas, ento t = 4y = 34 . 103 = 8,1 . 104 > 7,5 . 104

c) Verdadeiro3t.1000 = 80000 t = log3 80 =

=log80 1 3log2

4,75 2horas 22minutose 30segundoslog3 log3

+= = =

d) Falso20000 < 3t.1000 < 40000 20 < 3

t < 40

log3 20< t < log3 40 1 log2

log3

+< t 0

c) x y =2

d) x = y

RESOLUO

Para que A no seja inversvel necessrio que det A = 0Assim; se x = y, tem-se:

2sen( y) 1 cos y

det A 0 y 0

1 cos( y) seny

+

= = =

+

e x = ou

y = e x = 0 (No convm)

Substituindo x = e y = 0 nas opes, tem-se que:

a) Verdadeiro,pois sec + cos 0 = 0b) Falso, pois (tg) . (tg0) = 0

c) Falso, pois 02

=

d) Falso, pois = 0 (absurdo!)

x = 3, y = 6 e z = 9


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x 2y 2z 18 x 2

3y z 14 z 5

17y 51 y 3

+ + = =

+ = =

= =

RESPOSTA: opo a

19 - Certo concurso teve trs provas objetivas diferentes, todascom o mesmo nmero de questes. As questes em umamesma prova tinham o mesmo valor, porm, as trs provas

tinham valores distintos entre si. Todo candidato fez as trsprovas. O nmero de questes acertadas bem como o total depontos obtidos pelos candidatos A, B e C foram dispostos natabela abaixo.

candidato1a

PROVA2a

PROVA3a

PROVA

TOTAL DEPONTOSOBTIDOS

A 6 5 4 47B 3 6 6 54C 2 7 5 50

Se um outro candidato D acertar 5 questes na primeira prova,8 na segunda e 3 na terceira, pode-se afirmar que o total depontos que esse candidato atingir

a) menor do que o total de pontos de cada um dos outros trscandidatos.

b) o segundo valor na ordem crescente dos pontos atingidospelos quatro candidatos.

c) maior do que os pontos de cada um dos outros trscandidatos.

d) o segundo valor na ordem decrescente dos pontosatingidos pelos quatro candidatos.

RESOLUO

x valor das questes da 1 provay valor das questes da 2 prova

z valor das questes da 3 prova

6x 5y 4z 47

3x 6y 6z 54

2x 7y 5z 50

+ + =

+ + = + + =

(3)

x 2y 2z 18

0x 3y z 14

0x 7y 8z 61

+ + =

+ + = =

Candidato D: 5x + 8y + 3y = 5.2 + 8.3 + 3.5 = 10 + 24 + 15 = 49pontosCandidato A: 47 pontosCandidato B: 54 pontosCandidato C: 50 pontos

a) Falso.b) Verdadeiro, 47 < 49 < 50 < 54c) Falso.d) Falso, 54 < 50 < 49 < 47

RESPOSTA: opo b

20 - Um jogo de pergunta e resposta tem as seguintes regras:

a cada pergunta respondida, o jogador ganha 1 ponto seacertar ou perde 1 ponto se errar;

comear jogando com 1 ponto de crdito; responder at a 5a pergunta ou, dever parar de jogar se

atingir um total de 4 pontos ou se perder todos os pontos; e s vencer se atingir os 4 pontos.

De acordo com as regras estabelecidas, analise os itens aseguir, como VERDADEIROS ou FALSOS.

I) O jogo poder se desenrolar de apenas 10 formasdistintas.

II) nica a possibilidade de o jogador vencer o jogo antesda 5a pergunta.

III) Existe apenas uma possibilidade de o jogador perder ojogo antes da 5a pergunta.

Pode-se afirmar que (so) FALSO(S) apenas

a) I. c) III.b) II. d) I e III.

RESOLUO

G ganharP perder

I) Falso.O jogo se desenrolar de 11 formas.

II) Verdadeiro.A nica possibilidade se ocorrer GGG.

III) Falso.Existem duas possibilidades de perder o jogo antes da 5pergunta: P ou GPP.

RESPOSTA: opo d

21 - Tomemos os nmeros x e y pertencentes ao conjunto dosnmeros naturais no nulos de forma que x > ySeja C a combinao desses nmeros de forma que

=

=

+

7

9

C

C

CC

1y,x

y,x

1y,xy,x

Somando-se os algarismos do nmero x aos algarismos donmero y, encontra-se um nmero

a) primo. c) quadrado perfeito.b) par. d) divisvel por 11

RESOLUO

Seja( )a,b

a!C

b! a b !=

, ento:

x,y x,y 1x! x!

C Cy!(x y)! (y 1)!(x y 1)!

x 2y 1 (1) e

+= = +

=

x,y

x,y 1

x!C 9 9y!(x y)!

7x 16y 7x!C 7 7

(y 1)!(x y 1)!

= = =

+

(2)

Assim, de (1) e (2) tem-se o sistema equivalente:

x 2y 1

7x 16y 7

=

= x 15= e y 7=

Somando-se os algarismos de x e y, encontra-se:


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1 5 7 13+ + = que um nmero primo.

RESPOSTA: opo a

22 - Analise as proposies seguintes e classifique-as em (V)verdadeiro ou (F) falso.

( ) O desenvolvimento binomial

0n

1n

+

2n

... + (1)n

nn

igual a zero.

( ) No desenvolvimento den

84

x

1x

, para que exista

termo independente de x, necessrio que n sejamltiplo de 3

( ) Dados os binomiais

pn

= a e

++

1p1n

= b, ento o

binomial ba1p

n =

+

Tem-se a seqncia correta em

a) V V F c) V V Vb) F F V d) F V F

RESOLUO

( V ) ( ) ( ) ( )n n nn n n n

1 a b 1 1 00 1 2 n

+ + = = =

( V ) n481x

x

Usando a frmula do termo geral, tem-se:

( )

( )

4pn p

p4n 4p 8p8

p 4n 12p

n n1x . x 1 .x

p px

n1 .x

p

= =

=

Para o termo independente:

4n 12p 0 nx x 4n 12p 0 p3

= = =

( F ) Pela relao de Stifel, tem-se:

n n n 1 n na b b a

p p 1 p 1 p 1 p 1

+ + = + = =

+ + + +

RESPOSTA: opo a

23 - Num grupo de 30 pessoas esto apenas homens e mulheres,com os dois olhos apenas azuis ou os dois olhos apenascastanhos.20 so homens; 12 pessoas tm olhos azuis e destas, 8 somulheres.Completando a tabela seguinte de acordo com a situaoacima, se uma pessoa for escolhida ao acaso, corretoafirmar que a probabilidade dela ser/ter

a) homem de olhos azuis ou castanhos 9

8

b) mulher, se tem olhos azuis 5

4

c) homem, se tem olhos castanhos 5

4

d) olhos azuis de5

2

RESOLUOCompletando a tabela, temos:

a) Falso,20 2

30 3= c) Falso,

16 8

18 9=

b) Falso,8 2

12 3= d) Verdadeiro,

12 2

30 5=

RESPOSTA: opo d

24 - Um aparelho, usado em laboratrios para decantao delquidos, foi construdo, ligando-se um cone eqiltero, umcubo e uma esfera, por um tubo, como no esquema da figuraabaixo.

Na passagem de uma das formas a outra, pelo tubo, existeuma torneira para liberar ou interromper a passagem do lquidono sistema.Num experimento, estando todas as torneiras fechadas,coloca-se uma certa quantidade de lquido no cone, de modo a

ench-lo por completo, sem desperdcio. Logo aps, abre-se aprimeira torneira, possibilitando a passagem do lquido do conepara o cubo, o que acontece at que este encha e o cone

esteja com8

5da capacidade total, fechando-se a primeira

torneira. Com o cubo completamente cheio, abre-se a segundatorneira para que o lquido possa fluir do cubo para a esfera, oque acontece at que esta esteja completamente cheia e o

cubo com65

de sua capacidade. Se no h desperdcio de

lquido e o volume que resta no interior do tubo e das torneiras desprezvel, e se o raio da esfera 30 dm, o raio da basedo cone , em dm, igual a

a) 3180 c) 30 3

b)6 3

120d)

6 3

90

RESOLUO

Cubo3Esfera Cubo

4Cubo

V1 41) V V R

6 3 6

V 216.000

= =

=


10/10



4Cone Cubo Cone

34

6

32) V V V 576.000

8

r 3 120576.000 r

3 3

= =

= =

RESPOSTA: opo b

25 - De um bloco de madeira, com formato de cubo de aresta12 cm, so retiradas, exatamente, 4 pirmides regulares cujasbases so quadrados de lado 5 cm. As pirmides so retiradasde faces opostas, fazendo com que seus vrtices coincidamcom o centro do bloco.A rea da superfcie total do slido, aps a retirada das 4pirmides , em cm2, igual a

a) 1224 c) 1024b) 1124 d) 1004

RESOLUOConsidere o seguinte esquema que ilustra a situao:

Dessa forma, a rea da superfcie total do slido ser dadapor:S = rea da superfcie do cubo (1) + rea lateral das quatropirmides (2) rea das bases das quatro pirmides (3)

Representao de uma pirmide:

H =12

6cm2

=

h2 = H2 + a2 h =13

2

(1) 2 2 21 1 1S 6a S 6 (12) S 864cm= = =

(2) 22 2 2

135b h 2S 4 S 4 S 260cm

2 2

= = =

(3) 2 2 23 3 3S 4 b S 4 5 S 100cm= = =

S = 864 + 260 100 2S 1024 cm=

RESPOSTA: opo c

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