Mat. EJA, unid. 1 e 2.doc

7/23/2019 Mat. EJA, unid. 1 e 2.doc

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UNIDADE 1Capítulos1. Conuntos e conjuntos numéricos2. Funções3. Funço a!m

Al"e#ra $I%&. Funço 'ua(r)tica*. Funço mo(ular+. Funço e,ponencial-. o"aritmo e /unço lo"arítmica0. ro"ressões

AENA4 Este li5ro é no consumí5el. Faça to(as as ati5i(a(es no ca(erno.

Capítulo 1 6 Conjuntos e conjuntos numéricosIntro(uço

_`[{foto de um jogo de futebol. São quatro jogadores, dois da seleçãobrasileira e dois da seleção alemã. _`]

Legenda:Jogo da seleço #rasileira na Copa (o 7un(o em 2882 6 9rasil , Aleman:a

Analise a se"uinte situaço6pro#lema; Em uma pes'uisa reali<a(a com *8 pessoas para sa#er 'ue esporte elas apreciamentre /ute#ol= #as'uete e 5>lei= o resulta(o /oi o se"uinte; 23 "ostam (e /ute#ol= 10(e #as'uete e 1& (e 5>lei ? 18 "ostam (e /ute#ol e (e #as'uete? @ (e /ute#ol e (e5>lei? 0 (e #as'uete e (e 5>lei? e * "ostam (as trs mo(ali(a(es. Buantas pessoas no "ostam (e nen:um (esses esportes Buantos "ostam somente (e /ute#ol

Buantas "ostam s (e #as'ueteBuantas "ostam apenas (e 5>leiBuantas no "ostam nem (e #as'uete nem (e 5>leiBuantas pessoas "ostam s (e /ute#ol ou s (e #as'uete ou (e am#os

ara resol5er 'uestões (esse tipo= (e5emos utili<ar con:ecimento (e conjuntosA noço (e conjunto

2. A noço (e conjuntoA noço (e conjunto é #astante simples e /un(amental na 7atem)tica= pois a partir

(ela po(em ser e,pressos os conceitos matem)ticos. Um conjunto é uma coleço 'ual'uer (e o#jetos. or e,emplo; conjunto (os esta(os (a re"iou(este (o 9rasil;

G H io (e Janeiro. 7inas Kerais= Espírito anto L

_`[{ma!a do "rasil. _`]

1



e"en(a; A(apta(o (e ra#al:an(o com mapas 6 As re"iões #rasileiras. o aulo=Mtica= 2888.

Conjunto (os nOmeros primos; 9G H2= 3= *= -= 11= 13= ...L

Conjunto (os BUADIME4;C G H'ua(ril)terosL

Um conjunto é /orma(o por elemento. Um o#jeto PaP 'ual'uer po(e ser elemento (eum (etermina(o conjunto PAP.

PaP pertence a A e escre5emos a Q A.

Caso contr)rio= (i<emos 'ue; PaP no pertence a PAP e escre5emos a R A.

Nos e,emplos acima= temos; 7inas Kerais Q e aran) R

2 Q 9 e @ R C

3 6 roprie(a(es= con(ições e conjuntos Consi(eremos a proprie(a(e PpP; p; P,P é um nOmero natural ímpar Essa proprie(a(e po(e ser e,pressa pelo conjunto lG H1= 3= *= -= @= 1 1= ..L. Assim= é in(i/erente (i<er 'ue , possui a proprie(a(e p ou 'ue P,P possui aproprie(a(e PpP ou 'ue , Q l.

Consi(eremos a"ora a con(iço PcP;

c; P,P é um nOmero inteiro 'ue satis/a< a con(iço ,2 6 & G 8 Essa con(iço po(e ser e,pressa pelo conjunto A G H62= 2L.

Nesse caso= tam#ém é in(i/erente (i<er 'ue , satis/a< a con(iço c ou 'ue , Q A

E mais simples tra#al:ar com conjuntos (o 'ue com proprie(a(es e con(ições. Além(isso= po(emos (e!nir relações e operações entre conjuntos. J) com proprie(a(es econ(ições isso seria mais (i/ícil.

I"ual(a(e (e conjuntos

Dois conjuntos so i"uais 'uan(o possuem os mesmos elementos. or e,emplo= se AG HnOmeros naturais paresL e 9 G H8= 2= &= += 0= 18= 12= ...L= ento A G 9.

e PAP no é i"ual a P9P= ento PAP é (i/erente (e P9P e escre5emos A S 9.4#ser5aço; H1= 2L G H1= 1= 1= 2= 2= 2= 2= 2L= pois possuem os mesmos elementos. A'uanti(a(e (e 5e<es 'ue eles aparecem no é importante.

&. E,ercícios propostos1. Escre5a o conjunto e,presso pela proprie(a(e;a% P,P é um nOmero natural par?#% P,P é um nOmero natural mOltiplo (e * e menor (o 'ue 31?

c% P,P é um 'ua(ril)tero 'ue possui & Tn"ulos retos.

AA EFEI o(o 'ua(ra(o é um retTn"ulo

2



2. Escre5a o conjunto (a(o pela con(iço;a% PP é um nOmero tal 'ue 2 6 2* G 8?#% PP é um nOmero tal 'ue 2 6 * V +G 8?c% PP é um nOmero (i5isor (e 1+ tal 'ue 3 G 0?(% PP é um nOmero inteiro menor (o 'ue e maior (o 'ue 62.

3. Escre5a uma proprie(a(e 'ue (e!ne o conjunto;a% $8= 1= 2= 3= &= *= += -= 0= @L#% $8= 2= &= +L

&. Escre5a uma con(iço 'ue (e!ne o conjunto; a% H63= 3L #% H*L

* 6 Conjuntos 5a<io= unit)rio e uni5erso

Um conjunto interessante é o conjunto 5a<io= cuja notaço é W Uma proprie(a(econtra(itria 'ual'uer po(e ser usa(a para (e!nir o conjunto 5a<io. or e,emplo;HnOmeros naturais ímpares menores (o 'ue 1L

H, I P,P é um nOmero natural ímpar menor (o 'ue 1L G 8=l:# l$%se &tal que'pois no :) nOmero natural ímpar menor (o 'ue 1.

Assim= o conjunto 5a<io no possui elementos. Ele po(e ser representa(o tam#émpor HL. 4utro conjunto interessante é o conjunto unit)rio= /orma(o por um Onico elemento.E,emplo;HnOmeros naturais pares e primosL G H, I , é um nOmero natural par e primoL G H2L=pois o Onico nOmero natural par e primo é o 2. Como curiosi(a(e= o#ser5e 'ue 8 é (i/erente (e H8L pois H8L é um conjunto unit)rio'ue tem como Onico elemento o conjunto 5a<io. Um conjunto importante é o conjunto uni5erso= cuja notaço é U. E o conjunto/orma(o por to(os os elementos com os 'uais estamos tra#al:an(o num (etermina(oassunto. Fi,a(o o uni5erso U= to(os os elementos pertencem a U e to(os os conjuntosso partes (e U E muito importante sa#er em 'ual uni5erso estamos tra#al:an(o. or e,emplo= se Ué o conjunto (os nOmeros naturais= ento a e'uaço , V * G 2 no tem soluço? po6rém= se U é o conjunto (os nOmeros inteiros= ento a e'uaço , V * G 2 tem comosoluço , G 63.

E,ercícios propostos*. Classi!'ue como conjunto 5a<io ou conjunto unit)rio consi(eran(o o uni5erso (osnOmeros naturais;a% A G H, I , é menor (o 'ue 1L# % 9 G H, I , é maior (o 'ue 18 e menor (o 'ue 11Lc% C G H, I , é par maior (o 'ue 3 e menor (o 'ue *L(% D G H, I , é primo maior (o 'ue - e menor (o 'ue I 1Le% E G H, I , V - G &L/% F G H, I , X 8L"% K G H, I *, G 88L

+. Escre5a 'ual é o conjunto uni5erso em ca(a caso;

3



a% 4 triTn"ulo é um polí"ono (e trs la(os= o 'ua(ril)tero é um polí"ono (e 'uatrola(os e o pent)"ono é um polí"ono (e cinco la(os.#% A a(iço (e (ois nOmeros naturais é comutati5a.c% No conjunto (os nOmeros inteiros as soluções (a e'uaço ,2 6 1+ G 8 so 6 & e &.(% No conjunto (os nOmeros naturais a soluço (a e'uaço , 6 1+ G 8 é &.

+ 6 u#conjuntos e a relaço (e incluso

Consi(eremos (ois conjuntos= A e 9. e to(os os elementos (e A /orem tam#émelementos (e 9= (i<emos 'ue A é um su#conjunto (e 9 ou 'ue A est) conti(o em 9ou= ain(a= 'ue A é parle (e 9. In(icamos esse /ato por A C 9.

A C 9 l6se:# PAP é su#conjunto (e 9 ou:# PAP est) conti(o em 9 ou:# PAP é parte (e 9

AA EFEI

Buan(o A Y 9 po(emos tam#ém escre5er 9 Z A l6se 9 contém A[.

I7AKE7e PAP su#conjunto (e P9P= escre5emos A \ 9. E,emplos;1]% Consi(eran(o PP conjunto (os nOmeros naturais pares e IN o conjunto (osnOmeros naturais= temos; G H8= 2=&.+=0= 18=...L

e IN G 1= 2= 3= &= *= += -= 0= @= ...LI7AKE7 Neste caso= Y IN= pois to(os os elementos (e PP pertencem a IN.

2]% e PAP é o conjunto (os re6 Tn"ulos e P9P é o conjunto 'ua(ril)teros= ento A Y 9pois to(o retTn"ulo é um 'ua(ril)tero.I7AKE7

elaço (e incluso

A relaço (A Y 9 c:ama6se relaço (e incluso. o casos particulares (e incluso; A Y A= pois é claro 'ue 'ual'uer elemento (e PAP pertence a PAP. W Y A= 'ual'uer 'ue seja o conjunto A= pois= se a(mitisse 'ue W Y A= teríamos um

elemento , tal 'ue , Q W e , R A. 7as , Q W é impossí5el. o"o= W Y A.

A relaço (e incluso possui trs proprie(a(es #)sicas. Da(os os conjuntos PAP P9P ePCP 'uais'uer (e um (etermina(o uni5erso U temos; A Y A $proprie(a(e reê,i5a% A Y 9 e 9 Y A ento A G 9 $proprie(a(e antissimétrica% A Y 9 e 9 Y C= ento A C C $proprie(a(e transiti5a%

A proprie(a(e antissimétrica é sempre usa(a 'uan(o se .ar 'ue (ois conjuntos soi"uais. ara pro5ar 'ue AG9 #asta pro5ar 'ue A C 9 $to(o elemento (e A pertence 9%e 'ue 9 Y A $to(o elemento (e 9 pertence o A%.

A proprie(a(e transiti5a é /un(amental nas (e(uções. Na l"ica= ela é con:eci(acomo uma /orma (e raciocínio c:ama(a silo"ismo. or e,emplo; ; conjunto (os paulistas 9; conjunto (os #rasileiros

&



; coniunto (os sul6americanos

o(o paulista é #rasileiro= _o(o #rasileiro é sul6americano. Ento to(o paulista é sul6americano.e Y 9 e 9 Y ento Y .I7AKE7

elaço (e incluso e implicaço l"ica

ìmos 'ue uma proprie(a(e po(e ser e,presso por um conjunto. àmos consi(erar Ao conjunto (os elementos (e um certo uni5erso U 'ue possuem a proprie(a(e p= e 9 oconjunto (os elementos (esse mesmo uni5erso 'ue possuem a proprie(a(e P'P.Buan(o (i<emos 'ue;

p :# ' $p implica ' ou p acarreta '%= estamos (i<en(o 'ue A Y 9.

AA EFEI

A implicaço p :# ' tam#ém po(e ser li(a assim se p= ento '. p é con(iço su!ciente para '? ' é con(iço necess)ria para p

E,emplos;1]% No uni5erso (os nOmeros naturais= 5amos consi(erar as proprie(a(es;

p; n é um nOmero natural 'ue termina com 3? '; n é um nOmero natural ímpar.

Ento A G H3= 13= 23= 33= ...L=9 G H1= 3= *= -= @= 1 1= 13= ...L e p :# ' ou A c 9.

2]% Consi(eremos= no uni5erso (os 'ua(ril)teros= as proprie(a(es; p ser 'ua(ril)tero com 'uatro la(os (e mesma me(i(a? ' ser 'ua(ril)tero com la(os opostos paralelos.

Neste caso= A é o conjunto (os losan"os e 9 é o conjunto (os paralelo"ramos e=

portanto= A C 9. o"o= p :# '= ou seja= ser losan"o implica ser paralelo"ramo= ou=ain(a= se um 'ua(ril)tero é losan"o= ento ele é paralelo"ramo

ecíproca (e uma implicaço l"ica e e'ui5alncia

Da(a a implicaço p :# '= c:amamos (e sua recíproca a implicaço ' :# p. 4#ser5e'ue nem sempre a recíproca (e uma implicaço 5er(a(eira é tam#ém 5er(a(eira. No2] e,emplo (a(o anteriormente= temos 'ue p ' é 5er(a(eira= pois to(o losan"o é umparalelo"ramo= mas sua recíproca ':# p é /alsa= pois nem to(o paralelo"ramo élosan"o.

Buan(o a implicaço p :# ' e sua recíproca ' p so am#as 5er(a(eiras=escre5emos p :# ' e lemos;p é e'ui5alente a ' ou p se e somente se ' ou p é con(iço necess)rio e su!cientepara 'E,emplo;

*



p; a proprie(a(e (e um nOmero natural , ser i"ual a 2 $, G 2% '; a proprie(a(e (e o (o#ro (este , ser i"ual a & $2, G &%'= pois= se , G 2= multiplicamos am#os os mem#ros (a i"ual(a(e por 2 e o#temos 2,G & ' :# p= pois= se 2, G &= (i5i(imos am#os os mem#ros (o i"ual(a(e por 2 eo#temos , G 2.

Assim= p :# ' e ' :# p so 5er(a(eiras. o"o= p (:# ' e po(emos escre5er , G 2(:# 2, G &.

E,ercícios propostos

Da(os os conjuntos A G H1= 2L= 9 G H1= 2= 3= &= *L= C G H3= &= *L e D G H8= 1= 2= 3= &=*L= classi!'ue em 5er(a(eiro $`% ou /also $F%;a% A Y 9#% C Y Ac% 9 Y D(% D Y 9e% C \ A/% A Y D

"% 9 Y C:% 9 Y 9i% W \ A

j% D Z Al% W Y 9m% C Z D

Consi(eran(o 'ue; A é o conjunto (os nOmeros naturais ímpares menores (o 'ue 18? 9 é o conjunto (os (e< primeiros nOmeros naturais? C é o conjunto (os nOmeros primos menores (o 'ue @? use os sím#olos C ou í erelacione esses conjuntos na or(em (a(a;a% A e 9#% C e Ac% C e 9(% A e C

@. Escre5a trs conjuntos tal 'ue A Y = sen(o A G H2= &= +L.

18. 4#ser5e o (ia"rama a se"uir. 4s conjuntos = b e no so 5a<ios. Escre5aal"umas relações 5er(a(eiras entre eles usan(o os sím#olos Y ou \.

I7AKE7

11. Escre5a= na /orma (e conjuntos= os silo"ismos;a% o(o retTn"ulo é paralelo"ramo. o(o paralelo"ramo é 'ua(ril)tero. Ento= to(oretTn"ulo é 'ua(ril)tero.

#% o(o aluno pertence a uma classe. o(a classe pertence a uma escola. Ento= to(oaluno pertence a uma escola.

+



12. Escre5a os conjuntos (e!ni(os pelas proprie(a(es= a implicaço l"ica e aincluso (e conjuntos;a% Consi(eran(o o uni5erso (os nOmeros reais;p; n é um nOmero natural par?'. n é um nOmero natural

#% Consi(eran(o o uni5erso (os polí"onos;p; , é um trapé<io?'; , é um 'ua(ril)tero.

13. Escre5a como se l a implicaço p '= sa#en(o 'ue;p; n é um nOmero natural par?'; n é um nOmero escrito na /orma n G 2m= com m Q E IN.

1&. No e,ercício anterior= a recíproca ' :# p é 5er(a(eira Em caso positi5o= como seescre5e a e'ui5alncia (as (uas proprie(a(es

- 6 Conjunto (as partes

Da(o o conjunto A G Ha= e= iL= é possí5el escre5er to(os os su#conjuntos $ou to(asas partes% (e A Esse conjunto /orma(o por to(os os su#conjuntos (e A é c:ama(o (econjunto (as partes cde A e é in(ica(o por $A%. Assim= temos; $A% G HW= HaL= HeL= HiL= Ha= eL= Ha= iL= He= iL= Ha= e= iLL

4#ser5e 'ue HaL= Ha= eL e Ha= e= iL= por e,emplo= so elementos (e $A%. ortanto=escre5emos HaL Q $A%= Ha= eL Q $A% e Ha= e= i% e $A%= e no HaL Y $A%= Ha= eL Y$A% e Ha= e= iL Y $A%. èja 'ue W C $A% e W Q $A%.

4#ser5e tam#ém 'ue :) uma relaço entre o nOmero (e elementos (e $A% e onOmero (e elementos (e A W tem 8 elemento e $W% G HWL tem 1 elemento A G HaL tem 1 elemento e $A% G HW= HaLL tem 2 elementos A G Ha= #L tem 2 elementos e $A% G HW= Haj= H#L= Ha= #LL tem & elementos A G Ha= #= cL tem 3 elementos e $A% G HW= HaL= H#L= HcL Ha= #L= Ha= cL= H#= cL= Ha=#= cLL tem 0 elementos

em#re 'ue 2] G 1? 2 G 2? 22 G &? 23 G 0. f possí5el conjecturar ento 'ue= se A temn elementos= $A% tem 2n elementos.

Essa conjectura é 5er(a(eira e ser) (emonstra(a posteriormente no capítulo 2&

$An)lise com#inatria%.AA EFEI

4 'ue si"ni!co conjecturar D um e,emplo. E,ercícios propostos

1*. Da(os AGH8=1L e e 9 G H1= 3= *L= (etermine;a. $A%#%. $9%

c% o nOmero (e elementos (e $A%(% o nOmero (e elementos (e $9%

1+. e $A% tem +& elementos= 'uantos elementos tem o conjunto A

-



1-. Escre5a um su#conjunto A (os nOmeros naturais tal 'ue $A% ten:a 1+ elementos.

0 6 Complementar (e um conjunto

Da(o o uni5erso U G H8= 1=2= 3= &= *= += -= 0= @L e o conjunto A G $1= 3= *= -L=(i<emos 'ue o complementar (e A em relaço a U é H8= 2= &= += 0= @L= ou seja= é oconjunto /orma(o pelos elementos (e U 'ue no pertencem a A.

AA EFEI

4 complementar (e um conjunto s tem senti(o 'uan(o !,amos um conjuntouni5erso U.

De um mo(o "eral= (a(o um conjunto A (e uni5erso U= c:ama6se complementar (eA em relaço a U o conjunto /orma(o pelos elementos U 'ue no pertencem a A?in(ica6se g A

U ou Ac ou h. o"o Ac G H, I , Q U e , R ALI7AKE7

roprie(a(es

f possí5el (emonstrar a 5ali(a(e (as se"uintes proprie(a(es;1% $AC%C para to(o A Y U $o complementar (o complementar (e um conjunto A é oprprio conjunto A%

2% e A Y 9 ento AC

D 9C

$se um conjunto est) conti(o em outro= seu complementarcontém o complementar (esse jtro% Escre5en(o (e outra /orma;

A Y 9 :# 9c Y Ac

AA EFEI

De mo(o "eral= po(emos consi(erar g AU sempre 'ue A Y 9. òc sa#ia 'ue o

(ia"rama (o e,ercício 1@ é c:ama(o (e (ia"rama (e enn


10. Da(os U G H8= 1= 2= 3= &= *= += -= 0= @L= A G H8= 2= &= += 0L= 9 G H1= 3= *= -= @L e CG H2= &L= (etermine;a% g A

U

#% g 9 Uc% g C

U (% g C

A

1@. Da(o o (ia"rama= :ac:ure os conjuntos /a<en(o uma !"ura para ca(a item;a% g A

U

#% 9C

c% g CU

I7AKE7

0



28. èri!'ue com um e,emplo a e'ui5alncia j) cita(a; A Y 9 (:# 9

C

Y A

C

.@ 6 Contrapositi5a J) 5imos 'ue se p é a proprie(a(e 'ue (e!ne o conjunto A e ' é a proprie(a(e 'ue(e!ne o conjunto 9= (i<er 'ue esmo 'ue (i<er 'ue p :# ' $p implica '%. àmos apresentar por p a ne"aço (e p e por ' a ne"aço (e '. Assim= (i<er 'ueum o#jeto , "o<a (a proprie(a(e p si"ni!ca a!rmar 'ue , no "o<a (a proprie(a(e p$isso 5ale tam#ém para '= em relaço a '%. Dessa /orma= po(emos escre5er ae'ui5alncia;A Y 9 (:# 9c Y Ac

(a se"uinte maneira;

p :# ' se= e somente se= ' Gk pou seja= a implicaço p G esta outra implicaço; ' ne"aço (e p%' $p implica '% é e'ui5alente a esta outra implicacaço; ' $a ne"aço (e ' implica ane"aço (e p%.

A implicaço ' :# p c:ama6se contrapositi5a (a implicaço p Gk '.

AA EFEI4 'ue é mesmo um polí"ono con5e,o

E,emplo; Consi(eremos o uni5erso U o conjunto (os 'ua(ril)teros con5e,os= p a proprie(a(e(e um 'ua(ril)tero , ser losan"o e ' a proprie(a(e (e ser um paralelo"ramo. Assim=p é a proprie(a(e 'ue tem um 'ua(ril)tero con5e,o (e no ser um losan"o e ' a (eno ser um paralelo"ramo. o"o;$1% p :# '; e , é um losan"o= ento , é um paralelo"ramo.$2% ' Gk p; e , no é um paralelo"ramo= ento , no é um losan"o.

As a!rmações $1% e $2% so e'ui5alentes= isto é= so (uas maneiras (i/erentes (e(i<er a mesma coisa.


21. Escre5a a contrapositi5a (a implicaço p Gk ' em 'ue p; nOmero natural maior (o'ue 2 primo= '; nOmero natural maior (o 'ue 2 ímpar= p Gk '; se um nOmero naturalmaior (o 'ue 2 é primo= ento ele é ímpar.

22. Escre5a a contrapositi5a (a implicaço;I7AKE7_e (uas retas (istintas $r e s% (e um plano a so perpen(iculares a uma terceira reta$t% (esse plano= ento elas $r e s% so paralelas._

23. Escre5a a contrapositi5a (a implicaço;_e um nOmero 'ua(ra(o per/eito é par= ento sua rc??<'ua(ra(a é par._

@



18 6 4perações entre conjuntos Di/erença Da(os os conjuntos A G H8= 1= 3= += 0= @L e 9 G H1= &= @= @8L= po(emos escre5er oconjunto C /orma(o pelos elementos 'ue pertencem a A mas 'ue no pertencem a 9.Assim= C G H8= 3= += 0L. 4 conjunto C é c:ama(o (i/erenço entre A e 9 e é in(ica(o por A 6 9 $l6se; A menos9%.De mo(o "eral= escre5emos;A 6 9 G H , l , Q A e , R 9%I7AKE7

4#ser5e 'ue= se 9 Y A= a (i/erença A 9 é i"ual ao g 9A.

or e,emplo= se A G H8= 2= &= += 0L e 9 G H&= 0L= ento A 6 9 G H8= 2= +% G g 9A.

eunio ou unio

Da(os os conjuntos A G H8= 18= 28= 38= *8L e 9 G H8= 38= &8= *8= 8L= po(emosescre5er o conjunto C /orma(o pelos elementos 'ue pertencem a A ou pertencem a 9ou a am#os. Assim= C G H8= 18= 28= 38= &8= *8= +8L. 4 conjunto C é c:ama(o reunioou unio (e A e 9 e é in(ica(o por A U 9 $l6se; A reunio 9 ou A unio 9%

De mo(o "eral= (a(os (ois conjuntos A e 9= a reunio A U 9 é o conjunto /orma(opelos elementos (e A mais os elementos (e 9A U 9 G $, I , Q A ou , Q 9L

or e,emplo= se A G $3= +L e 9 G H*= +L= ento A U 9 G H3= *= +L. Nos (ia"ramas a#ai,o= a reunio A U 9 est) colori(a;I7AKE7

4#ser5aço; Este _ou_ (a reunio no é _ou_ (e e,cluso (a lin"ua"em usual _5amosao cinema ou ao teatro_. Ele si"ni!ca; se , Q A U 9= ento Q 9 ou , pertence aam#os.

18



Intersecço

Da(os os conjuntos A G Ha= e= i= o= u L e 9 G Ha= e= u= #L= po(emos escre5er oconjunto C /orma(o pelos elementos 'ue pertencem simultaneamente a A e 9 ou seja=pelos elementos comuns a A e 9 Assim= C G Ha= e= uL 4 conjunto C é c:ama(o intersecço (e A e 9 e é in(ica(o por A 9 $l6se; Aintersecço 9 ou= simplesmente= A inter 9%. De mo(o "eral= (a(os (ois conjuntos A e 9 a intersecço A e 9 é o conjunto /orma(opelos elementos 'ue pertencem simultaneamente a A e a 9A 9 G H, l , Q A e , Q 9L or e,emplo= se A G H2= &= +L e 9 G $2= 3. &= *L= ento A 9 G H2= &L. Nos (ia"ramas a se"uir= a intersecço A 9 est) colori(a.I7AKE7

4#ser5ações;1% , Q A 9 'uan(o as (uas a/irmações= , Q A e , Q 9= so simultaneamente

5er(a(eiras.2% e A 9 G 8= ento os conjuntos A e 9 so c:ama(os (isjuntos.

roprie(a(es (a reunio e (a intersecço Da(os trs conjuntos= A= 9 e C= 5alem as proprie(a(es;1% A U 9 G 9 U A

A 9 G 9 A $comutati5a%

2% $A U 9% U C G A U $9 U C$A 9% C G A $9 C% $associati5a%

3% A $A C%A U $9 C% G $A U 9% $A U C% $(istri#uti5a%I7AKE7

A 9 G A $A n 9% U $A C%

11



&% A Y 9 (:# A U 9 G 9 (:# A 9 G AA Y 9 :# $A C% Y $9 C%

eis (e De 7or"an

Da(os A e 9 (e um uni5erso U= tem6se;$A u 9%c G A n 9c $4 complementar (a reunio é i"ual a intersecço (os

complementares.%$A n 9% c G Ac U 9c $4 complementar (a intersecço é i"ual a reunio (oscomplementares.%

òc po(e constatar a 5eraci(a(e (essas proprie(a(es (e um mo(o "eralrepresentan(o os conjuntos por (ia"ramas= como /oi /eito com a 3 e a &proprie(a(es.

AA EFEI A ne"aço (e p ou ou '_ é _nem p nem '_ e a ne"aço (e p e 'q é no p ou no 'q.


Da(o os conjuntos

A G Ha= #= c= (= e= /= "L=9 G $# ( "= := iL e C G He= /= m= nL= (etermine;

a% A 6 9#% 9 6 Cc% 9 6 A(% $A 6 9% u $9 6 A%

2*. Da(os os conjuntos A G H8= 3= &= *= = -= 0L=9 G $2= &= *. = @% eC G H8= 3= += @= 18L= (etermine;

a% A U 9#% A 9c% A U C(% A Ce% 9 C/% $A 4 9% U C"% $A C% U 9

:% $A 9% Ci% $A U 9% C j% $A U C% 9I% A U $9 C%m% A $9 C%

2+. Copie o (ia"rama no ca(erno e :ac:ure os conjuntos /a<en(o uma !"ura paraca(a item;

I7AKE7a% A n 9#% 9 U C

c% $A U 9% n C(% $9 n C% U Ae% A U $9 n C%/% $A U 9% n $A U C%

12



Compare os (ia"ramas o#ti(os nos itens PeP e P/P. 4 'ue 5oc po(e concluir

2-% In(i'ue sim#olicamente a parte colori(a no (ia"ramaI7AKE7

20. ejam os conjuntos A= 9 e C (a(os pelas con(içõesP A G H, I , é um nOmero inteiro 'ue satis/a< ,2 6 *, V + G 8L? 9 G H, I , é um nOmero inteiro 'ue satis/a< ,2 6 2, G 8L? C G H, I , é um nOmero inteiro 'ue satis/a< ,2 6 @ G 8L.Determine;a% A 9

#% A U 9c% 9 C(% A Ce% A U 9 U C

2@. Classi!'ue em 5er(a(eira $`% ou /alsa $F% e justi!'uea% e A tem 3 elementos e 9 tem & elementos= ento A U 9 tem - elementos.#% e A tem 2 elementos e 9 tem 3 elementos= ento A 9 tem 2 elementos.c% e A 9 G W= A tem * elementos e 9 tem & elementos= ento A U 9 tem @elementos.

38. Escre5a a ne"aço (e _p ou '_ e a ne"aço (e _p e ' sa#en(o 'ue; p; , é um 'ua(ril)tero 'ue tem os 'uatro Tn"ulos retos?'; , é um 'ua(ril)tero 'ue tem os 'uatro la(os com a mesma me(i(a.

31. Da(os os conjuntos;; conjunto (os polí"onosK; conjunto (os paralelo"ramos; conjunto (os losan"os; conjunto (os retTn"ulosB; conjunto (os 'ua(ra(os /aça um (ia"rama e (etermine;

a% #% U Kc% B (% Be% K U /%

Na internet= a maioria (os sites (e #usca permite 'ue o internauta /aça com#inaçõesentre as pala5ras 'ue 'uer pes'uisar. Em "eral= as re"ras (e procura so asse"uintes; Buan(o as pala5ras so (i"ita(as com um espaço entre elas= o #usca é /eita por

uma pala5ra ou pela outra pala5ra;E,emplo;

13



Di"itan(o amor esperança sero procura(os sites 'ue ten:am a pala5ra amor ou'ue ten:am a pala5ra esperança= e sero locali<a(os tanto sites 'ue conten:amapenas uma (as (uas pala5ras como a'ueles 'ue contm as (uas juntas. Buan(o se usa um sinal (e _V_ entre as pala5ras= a #usca é /eita por uma pala5ra epela outra pala5ra= juntas;E,emplo;

Di"itan(o _amor V esperança_ sero procura(os apenas os sites 'ue conten:am= ao

mesmo tempo= a pala5ra amor e a pala5ra esperança. Buan(o se usa um sinal (e _6_ entre as pala5ras= a #usca é /eita por uma pala5ra= eno pela outra pala5ra;

E,emplo; Di"itan(o amor 6 esperança sero procura(os sites 'ue conten:am a pala5ra amormas 'ue no conten:am a pala5ra esperança. 9asea(o nessas re"ras (escritasacima= um rapa< /e< a se"uinte pes'uisa em um site (e #usca apropria(o; amor #ele<a 6 (esespero V esperança

No (ia"rama (e ènn= a#ai,o= os sites com as pala5ras Amor= 9ele<a= Desespero eEsperança esto representa(os como conjuntos com a inicial (a pala5ra= ou seja=

(entro (o conjunto A esto to(os os sites 'ue contm a pala5ra Amor= e assim por(iante. inte as re"iões 'ue representam corretamente o resulta(o (a #usca /eita pelorapa<.I7AKE7

NOmero (e elementos (a reunio (e conjuntos

Consi(eremos A o conjunto (os nOmeros ímpares (e 8 a 18= e 9 o conjunto (osnOmeros primos (e 8 a 18. Ento= se n$A% representa o nOmero (e elementos (e A.temos;A G H1=3= *= -= @L :# n$A% G *9 G H2= 3= *= -% :# n$9% G &

A 9 G $3= *= -L W :# n$A 9% G 3 A U 9 G H1=2= 3= *= -= @L :# n$A U 9% G + 4#ser5e 'ue n$A U 9% n$A% n$9%= pois :) trs elementos comuns a am#os osconjuntos n$A 9 G 3.Assim; + :# n$A U 9% G *:# n$A% V & V n$9% 6 3 :# n$A U 9%

De mo(o "eral= 'uan(o A e 9 so conjuntos !nitos= tem6sen$A U 9% G n$A% V n$9% 6 n$A n 9%= 'uan(o A 9 8

Demonstraço;

4#ser5e 'ue n$A inclui n$A 4 9% e n$9% tam#ém inclui n$A n 9%;I7AKE7

1&



n$A U 9% G n$A n$A 9% V n$A 9% V n$9 6 n$A 9% n$A U 9% G n$A% V n$9% 6 n$A 9%

No caso particular (e A I 9 G 8= temos;

n$A U 9% G n$A% V n$9%= pois n$A 9% G 8

E,emplos;1]% Numa pes'uisa com jo5ens= /oram /eitas as se"uintes per"untas para 'uerespon(essem sim ou no Kosta (e mOsica Kosta (e esportes espon(eram sim primeira per"unta @8 jo5ens? -8 respon(eram sim se"un(a? 2* respon(eram sim aam#as? e &8 respon(eram no o am#as. Buantos jo5ens /oram entre5ista(osA; conjunto (os 'ue "ostam (e mOsica :# n$A% G @8

I7AKE7

9. conjunto (os 'ue "ostam (e esportes :# n$9% G -8 A 9. conjunto (os 'ue "ostam(e am#os :# n$A 9% G 2* A 6 $A 9%; conjunto (os 'ue s "ostam (e mOsica :# @8 62* G +*9 6 $A 9%; conjunto (os 'ue s "ostam (e esportes :# -8 6 2* G &* ortanto= o nOmero (e entre5ista(os é; +* V 2* V &* V &8 G 1-*

ou;

n$A U 9% V &8 G n$A% V n$9% 6 n$A 9% V &8G @8 V -8 6 2* V &8 G 1-*

2]% A"ora estamos em con(ições (e resol5er o pro#lema (a intro(uço (estecapítulo;

_Em uma pes'uisa reali<a(a com *8 pessoas para sa#er 'ue esporte elas apreciamentre /ute#ol= #as'uete e 5>lei o resulta(o /oi o se"uinte; 23 "ostam (e /ute#ol= 1 0(e #as'uete e 1& (e 5>lei? 18 "ostam (e /ute#ol e (e #as'uete ? @ (e /ute#ol e (e5>lei? 0 (e #as'uete e (e 5>lei? * "ostam (as trs mo(ali(a(es.a% Buantas pessoas no "ostam (e nen:um (esses esportes

#% Buantas "ostam somente (e /ute#ol

c. Buantas "ostam s (e #as'uete

c% Buantas "ostam apenas (e 5>lei

e. Buantas no "ostam nem (e #as'uete nem (e 5>lei

/% Buantas pessoas "ostam s (e /ute#ol ou s (e #as'uete ou (e am#os_àmos consi(erar F o conjunto (as pessoas 'ue "ostam (e 9 (as 'ue "ostam (e#as'uete e ` (as 'ue "ostam (e montar o (ia"rama com a (istri#uiço (as'uanti(a(es. De5emos começar sempre com a intersecço (os trs conjuntos= (epois

1*



com a intersecço (e (ois e= !nalmente= com a 'uanti(a(e (e pessoas 'ue "ostam s(e um esporte= sempre (esconsi(eran(o as j) conta(as.I7AKE7

a% *8 6 1* V * V 3 V & V * V 2 V @%G 1- De<essete pessoas no "ostam (e nen:um (esses esportes.

#% No5e pessoas s "ostam (e /ute#ol.

c% Cinco pessoas s "ostam (e #as'uete.(% Duas pessoas s "ostam (e 5>lei.e% ìnte e seis pessoas no "ostam nem (e #as'uete (e 5>lei $@ 'ue s "ostam (e

/ute#ol e 1- 'ue no "ostam (e nen:um (os esportes%.

/% @ V * V 18 G 2& ìnte e 'uatro pessoas "ostam s (e /ute#ol ou s (e #as'uete ou (e am#os.

4#ser5aço; No caso (e trs conjuntos A= 9 e C= po(e6se pro5ar 'ue a /rmula 'uein(ica o nOmero (e elementos (a unio A U 9 U C é; N$A U 9 U C% G n$A% V n$9% V n$C% 6 n$A 9% n$A C% 6 n$9 C% V n$A 9 C% Assim; n$F u 9 U `% G 23 V 10V1&6186@60 V * G 33


33. Uma pro5a com (uas 'uestões /oi (a(a a uma classe 'uarenta alunos De< alunosacertaram as (uas 'uestões= 2* acertaram a primeira 'uesto e 28 acertaramse"un(a 'uesto. Buantos alunos erraram as (uas 'uestões

3&. Numa pes'uisa /eita com 1 888 /amílias para se 5eri!car a au(incia (ospro"ramas (e tele5iso= os se"uintes resulta(os /oram encontra(os; *18 /amíliasassistem ao pro"rama A= 38* assistem ao pro"rama 9 e 30+ assistem ao pro"rama C.a#e6se ain(a 'ue 108 /amílias assistem aos pro"ramas A e 9 +8 assistem aos pro"ra6mas 9 e C= 2* assistem a A e C= e 18 /amílias assistem aos trs pro"ramas.

a% Buantas /amílias no assistem a nen:um (esses pro"ramas#% Buantas /amílias assistem somente ao pro"rama Ac% Buantas /amílias no assistem nem ao pro"rama A nem ao pro"rama 9

3*. Um pro/essor (e ortu"us su"eriu em uma classe a leitura (os li5ros eleno= (e7ac:a(o (e Assis= e Iracema= (e José (e Alencar. ìnte alunos leram elena= 1* lerams Iracema= 18 leram os (ois li5ros e 1* no leram nen:um (eles.

a% Buantos alunos leram Iracema#% Buantos alunos leram s elenac% Bual é o nOmero (e alunos nessa classe

AA EFEI_Buem l 5ale mais._ ano

1+



Buais li5ros 5oc j) leu este

3+. Na porta (e um supermerca(o /oi reali<a(a uma en'ue6 te= com 188 pessoas=so#re trs pro(utos. As respostas /oram; 18 pessoas compram somente o pro(uto A=38 pessoas compram somente o pro(uto 9= 1 * pessoas compram somente o pro(utoC= 0 pessoas compram A e9= * pessoas compram A e C= + pessoas compram 9 e C= e & compram os trspro(utos.

a% Buantas pessoas compram pelo menos um (os trs pro(utos#% Buantas pessoas no compram nen:um (esses pro(utosc% Buantas pessoas compram os pro(utos A e 9 e no compram C(% Buantas pessoas compram o pro(uto Ae% Buantas pessoas compram o pro(uto 9/% Buantas pessoas compram os pro(utos A ou 9

3-. Num le5antamento entre 188 estu(antes so#re o estu(o (e i(iomas= o#ti5emos osse"uintes resulta(os; &1 estu(am in"ls= 2@ estu(am /rancs e 2+ estu(am espan:ol?

1* estu(am in"ls e /rancs= 0 estu(am /rancs e espan:ol= 1@ estu(am in"ls eespan:ol? * estu(am os trs i(iomas.

a% Buantos estu(antes no estu(am nen:um (esses i(iomas

#% Buantos estu(antes estu(am apenas um (esses i(iomas

30. Uma pes'uisa mostrou 'ue 33v (os entre5ista(os leem o jornal A= 2@v leem o jornal 9. 22v leem o jornal C= 1 3v leem A e 9= +v leem 9 e C= 1&v leem A e C e +vleem os trs jornais.a% Buanto por cento no l nen:um (esses jornais

#% Buanto por cento l os jornais A e 9 e no l Cc% Buanto por cento l pelo menos um jornal

3@. Numa pes'uisa so#re au(incia (e te5 entre 1 2* entre5ista(os= o#te5e6se; +8assistem ao canal = &8 ao canal b= 1* ao canal = 2* assistem a e b= 0 a b e = 3 a e = e 1 assiste aos trs.a% Buantos no assistem a nen:um (esses canais#% Buantos assistem somente ao canal c% Buantos no assistem nem a nem a b

&8. $FK`6% Uma pes'uisa (e merca(o so#re o consumo (e trs marcas= A= 9 e C= (eum (etermina(o pro(uto apresentou os se"uintes resulta(os; A= &0v? 9= &*v? C=*8v? A e 9= 10v? 9 e C= 2*v? A e C= 1*v? nen:uma (as trs= *v.a% Bual a porcenta"em (os entre5ista(os 'ue consomem as trs marcas#% Bual a porcenta"em (os entre5ista(os 'ue consomem uma e apenas uma (as trsmarcas

11 6 Conjuntos numéricos

4s (ois principais o#jetos com 'ue se ocupa a 7atem)tica so os nOmeros e as

!"uras "eométricas. 4 o#jeti5o (este tpico é recor(ar e apro/un(ar o 'ue 5ocestu(ou so#re nOmeros no ensino /un(amental.

Conjunto (os nOmeros naturais $IN%

1-



_Deus criou os nOmeros naturais. 4 resto é o#ra (os :omens._ eopol( wronecxer

4 conjunto (os nOmeros naturais é representa(o por; IN G H8= 1= 2= 3= &= *= = -=0= ...L Um su#conjunto importante (e IN é o conjunto INP= o#ti(o e,cluin(o o <ero (e IN; INP G H1= 2= 3= &= *= += ...L ou

INP G IN 6 H8L

AA EFEI

Bual'uer nOmero natural tem um Onico sucessor.NOmeros naturais (i/erentes tm sucessores (i/erentes.

4 <ero é o Onico natural 'ue no é sucessor (e nen:um outro.

4s nOmeros naturais so usa(os nas conta"ens $por e,emplo= a populaço #rasileiraé (e apro,ima(amente 1 08 mil:ões (e :a#itantes%= nos c(i"os $por e,emplo= o CE(e uma empresa em o aulo é 82@8@6@88% e nas or(enações $por e,emplo= o 1 @

esta(o #rasileiro em super/ície é o Ama<onas= com 1 *-8-&*=- xm2

= e o 2]

é o ar)=com 12&-+0@=* xm2%.

Conjunto (os nOmeros inteiros $% 4 conjunto (os nOmeros inteiros é representa(o por;

G $...= 6&= 63= 62= 61= 8= 1= 2= 3= &= ...L Destacamos os se"uintes su#conjuntos (e

IN= pois IN Y . P G 6 H8L ou

P G H...= 6&= 63= 62= 61= 1= 2= 3= &= ...LI7AKE7

) uma simetria em relaço ao <ero. 4 oposto ou simétrico (e 3 é 6 3= #em como ooposto (e 63 é 3= 5alen(o 3 V $63% G63 V 3G8.AA EFEI

E,iste nOmero natural 'ue no é inteiro E,iste nOmero inteiro 'ue no é natural òc sa#ia 'ue é a primeira letra (a pala5ra A= 'ue em alemo si"ni!ca

nOmeroConjunto (os nOmeros racionais $B%

Ao acrescentarmos as /rações no aparentes positi5as e ne"ati5as ao conjunto =o#temos o conjunto (os nOmeros racionais $B% Assim= por e,emplo= so nOmerosracionais;62 62d3= 6 1= 61d2= 61d&= 8= y= z= 1= *d3 e 2

AA EFEI

Fraço aparente é a'uela 'ue in(ica um nOmero inteiro;12d& G 3? 60d2 G 6&? etc.

10



4#ser5e 'ue to(o nOmero racional po(e ser escrito na /orma ad#= com a Q = # Q e# 8. or e,emplo=

62 G 6+d3= 1 G 2d2= 2 G 18d*= 63d& G 63d&= 2d3= 8 G 8d2= EC.Assim= escre5emos;B; H, l , G ad#= com a Q = # Q e # 8L

4#ser5e 'ue a restriço # 8 é necess)rio= pois ad#= (i5iso (e a por #= s temsi"ni!ca(o se #= s tem si"ni!ca(o se # 8. A (esi"naço racional sur"iu por'ue ad#po(e ser 5ista como uma ra<o entre as inteiras a e #. A letra B= 'ue representa oconjunto (os nOmeros racionais= é a primeira letra (a pala5ra 'uociente.

e # G 1= temos ad# G ad1 G a Q = o 'ie implica 'ue é su#conjunto (e B. Assim;N Y Y B

I7AKE7

AA EFEI ense num silo"ismo en5ol5en(o IN= < e B

epresentaço (ecimal (os nOmeros racionais

Da(o um nOmero racional ad#= a representaço (ecimal (esse nOmero é o#ti(a(i5i(in(o6se a por #= po(en(o resultar em; (ecimais e,atas= !nitas; 1d& G 8=2* + G +d1 G +=8

6*d0 G 68=+2* &d* G 8=0

(ecimais ou (i<imas peri(icas= in!nitas;2d3 G 8=+++... G 8=+1--d@@8 G 8=1-0-0-0... G 8=1-0

AA EFEI e a (ecimal /or in!nita mas no peri(ica= ela no representa nOmero racional.naço (a /raço "eratri< (o (ecimal

Determinaço (a /raço "eratri< (o (ecimal Da mesma /orma 'ue um nOmero racional ad# po(e ser representa(o por um (ecimale,ato ou peri(ico= estes tam#ém po(em ser escritos na /orma ad# 'ue rece#e onome (e /raço "eratri< (o (ecimal.or e,emplo= 5amos escre5er a /raço "eratri< (e ca(a (ecimal.8=-* 8=-* G -* d188 :# /raço "eratri< 8=222 , G 8=222...18, G 2=222...

18, G 2 V 8=222...18, G 2 V , @, G 2

, G 2d@ /raço "eratri< 8=&1&1&1...

1@



N G 8=&1&1&1...188N G &1=&1&1...188N G &1 V 8=&1&1...188N G &1 V N @@N G &1

N G &1d@@ :# /raço "eratri< 8 1-0N G 8=1-0-0-0...

18N G 1 -0-0-0...18N G 1 V -0-0-0 .. G $8=-0-0-0... G -0d@@. èri!'ue.% 18N G 1 V -0d@@ @@8N G @@ V -0 N G 1--d@@8 :# )*

4#ser5ações; 1]% 4 nOmero 8=@@@... é i"ual a 1= pois o sím#olo 8=@@@... representa o nOmero cujos5alores apro,ima(os so 8=@; 8.@@? 8=@@@? 8=@@@@? etc.= ca(a 5e< mais pr,imos (e 1.Di<emos 'ue essa se'uncia tem 1 como limite.

2]% eja al"uns nOmeros racionais coloca(os na reta numérica; I7AKE7

Entre (ois nOmeros inteiros nem sempre e,iste outro nOmero inteiro. Entre (ois nOmeros racionais sempre e,iste outro racional. or e,emplo= entre os racionais 1d2 G 8=* e 3d& G 8=-* po(emos encontrar in!nitosracionais? entre eles *d0 G 8=+2*. 7as isso no si"ni!ca 'ue os racionais preenc:emto(a a reta. 4s nOmeros racionais so insu!cientes para me(ir to(os os se"mentos (e reta.èremos um e,emplo (isso a se"uir.Conjunto (os nOmeros irracionais

Como 5imos= :) nOmeros (ecimais 'ue po(em ser escritos na /orma /racion)riacom numera(or inteiro e (enomina(or inteiro $(i/erente (e <ero% 6 so os nOmerosracionais. 7as :) tam#ém nOmeros (ecimais 'ue no a(mitem essa representaço?so os (ecimais in!nitos e no peri(icos. Esses nOmeros so c:ama(os nOmerosirracionais. eja al"uns e,emplos;{2G 1=&1&213*...{3G 1=-328*80...|G 3=1&1*@2+*3*...

Usan(o a relaço (e it)"oras= po(emos representar al"uns (esses nOmeros na retanumérica;I7AKE7

4#ser5e 'ue o me(i(a (a (ia"onal (o 'ua(ra(o (e la(o 1= usan(o esse la(o 1 comouni(a(e= é {2 . Essa (ia"onal é um e,emplo (e se"mento 'ue no po(e ser me(i(ocom um nOmero racional ua me(i(a é o nOmero irracional {2 . 4#ser5aço; èja as leituras no !nal (o capítulo

} é irracional 4 nOmero } é o#ti(o (i5i(in(o6se a me(i(a (o comprimento (e 'ual'uer

circun/erncia pela me(i(a (e seu (iTmetro $| G 3=1&1*@2+*3*...%. o(e6se tam#ém pro5ar 'ue } é irracional. Isso "arante 'ue no se 5ai encontraruma (ecimal e,ata nem uma (í<ima peri(ica no c)lculo (os al"arismos (ecimais (e}= mesmo 'ue se o#ten:am #il:ões (e (í"itos.

28



4#ser5aço; 4 conjunto /orma(o por to(os os nOmeros irracionais ser) representa(oneste li5ro por }.

AA EFEI

òc sa#ia 'ue o nOmero irracional | /oi calcula(o com o au,ílio (e um computa(or=o#ten(o6se 1=2 tril:o (e casas (ecimais sem 'ue ten:a sur"i(o uma (ecimal e,ataou uma (í<ima òc po(e ima"inar essa representaço

21



Conjunto (os nOmeros reais $I%

Da reunio (o conjunto (os nOmeros racionais com o conjunto (os nOmeros ir6racionais o#temos o conjunto (os nOmeros reais U%.

AA EFEI

Dois conjuntos A e 9 so (isjuntos 'uan(o A n 9 G 8. èri!'ue se so (isjuntos; INe BeIr

I G B U Ur G H, I , K B ou , K UrL G G H, I , é racional ou , é irracionalL

Como 5imos= os nOmeros racionais no #asta5am para es"otar os pontos (a reta ore,emplo= os pontos (a reta correspon(entes aos nOmeros 6 {3= {2 = etc. no eramalcança(os com os nOmeros racionais. A"ora= os nOmeros reais es"otam to(os ospontos (a reta= ou seja= a ca(a ponto (a reta correspon(e um Onico nOmero real e=reciprocamente= a ca(a nOmero real correspon(e um Onico ponto (a reta.

or isso= (i<emos 'ue e,iste uma correspon(ncia #iuní5oca entre os nOmeros reais eos pontos (a reta. emos assim a reta real= 'ue é construí(a (esta /orma; numa reta=escol:emos uma ori"em $e associamos a ela o <ero%= um senti(o (e percurso e umauni(a(e (e comprimento $8~~~1%.4#ser5e al"uns nOmeros reais coloca(os na reta real;I7AKE7

AA EFEI

4 conjunto I po(e ser 5isto como mo(elo aritmético (e uma reta= en'uanto esta=

por sua 5e<= é o mo(elo "eométrico (e I.

4 (ia"rama a se"uir relaciona os conjuntos numéricos estu(a(os até a'ui;I7AKE7

IN Y Y B Y IIr Y I BB G Ir WIr G I 6 B

4#ser5aço; Com os nOmeros reais to(a e'uaço (o tipo ,2 G a= com a e IN= po(eser resol5i(a e to(os os se"mentos (e reta po(em ser me(i(os.

AA EFEIo reais; os nOmeros naturais? os nOmeros inteiros? os nOmeros racionais os nOmeros irracionais

E,istem outros nOmeros além (os reais

22



A rai< (e ín(ice par e ra(ican(o ne"ati5o é impossí5el em I= pois= por e,emplo= noe,iste nOmero real 'ue= ele5a(o ao 'ua(ra(o= ( um nOmero ne"ati5o. Assim= J6A noé um nOmero real? é um nOmero comple,o= 'ue ser) estu(a(o no capítulo 3&.

Desi"ual(a(es entre nOmeros reais

Da(os (ois nOmeros reais 'uais'uer a e #= ocorre uma= e somente uma= (asse"uintes possi#ili(a(es;aX# ou a G # ou ak# Keometricamente= a (esi"ual(a(e a X # si"ni!ca 'ue a est) es'uer(a (e # na retareal; I7AKE7 A (esi"ual(a(e a k # si"ni!ca 'ue a est) (ireita (e # na reta real;

I7AKE7

AA EFEI4r(enar os nOmeros reais aritmeticamente é como or(enar as pala5ras num

(icion)rio.Aritmeticamente= 5amos analisar al"uns e,emplos; 2=1@*... X 3=10@...= pois 2 X 3

&=120... X &=23+ ..= pois & G & e4=l X8=2 3=2+-... X 3=20@ = pois 3 G 3? 8=2 G 8=2 e 8=8+ X 8=80 *=+-2... X *=+-3 .= pois * G *? 8=+ G 8=+? 8=8- G 8=8- e 8=882 X 8=883 e assim por (iante.

Al"e#ricamente= a X # se= e somente se= a (i/erença ( G # 6 a é um nOmero positi5o?ou seja= 5ale a X # se= e somente se= e,iste um nOmero real positi5o ( tal 'ue # G a V(.

Uma 5e< (e!ni(a essa relaço (e or(em (os nOmeros (i<emos 'ue eles estoor(ena(os.Usamos tam#ém a notaço a • # para (i<er 'ue a X # ou a G # Assim;

a € # l6se a é menor (o 'ue ou i"ual a #_? # a l6se # é maior (o 'ue ou i"ual a a_.


&1. Usan(o os sím#olos Y e \= relacione os conjuntos numéricos a se"uir;

a% IN e IN P #% B e I

&2. Com os conjuntos numéricos (a(os= e/etue as operações (e unio e intersecço; a% e B #% B e lr

&3. Determine; a% IN U #% $N B% U

c% $B D lr% IN

(% $B U lr% IN

&&. èri!'ue em 5er(a(eira $`% ou /alsa $F%

23



a% o(o n mero natural representa a 'uanti(a(e (e elementos (e al"um conjunto!nito.#% E,iste um nOmero natural 'ue é maior (o 'ue to(os os (emais.

c% o(o nOmero natural tem sucessor em IN. (% o(o nOmero natural tem antecessor em IN.

&*. D a representaço (ecimal (os se"uintes nOmeros racionais; a% -d0 #% *d13 c% 3d& (% -d* e% 1 1d-

&+. Determine a "eratri< (as se"uintes (ecimais peri(icas; a% 8=333...#% 8=1++8...

c% 8=2&2&2&... (% 8=12*---...

&-. Determine 12=123&*+-0@112233&&... é racional ou irracional'ue em or(em crescente os nOmeros reais;

12 Inter5alos

Certos su#conjuntos (e I= (etermina(os por (esi"ual(a(es= tm "ran(e importTnciana 7atem)tica; so os in6 Assim (a(os (ois nOmeros reais a e #= com a X #. tem6se;a% Inter5alo a#ertoI7AKE7$a #% G H, E I I a X , X #L

$ a #olin:a 5a<ia $o% in(ica 'ue os e,tremos a e # no pertencem ao inter5alo.%

#% Inter5alo /ec:a(o I7AKE7 a= # G H, K I I a • , Gs #L$A #olin:a c:eia $% in(ica 'ue os e,tremos a e # pertencem ao inter5alo.%

c% Inter5alo /ec:a(o es'uer(a e a#erto (ireita I7AKE7 a= #% G $, e I I a • , X #L (%

(% Inter5alo /ec:a(o (ireita e a#erto es'uer(a I7AKE7 $a= # G H, K I I a X , G #L

e% emirreta es'uer(a= /ec:a(a= (e ori"em # I7AKE7 $6 ‚ V # G H, Q I I , € #L

/% emirreta es'uer(a= a#erta= (e ori"em # I7AKE7

$ 6 ‚= #% G H, Q I I , € #L

"%emirreta (ireita= /ec:a(a= (e ori"em a I7AKE7

2&



a= V ‚% G H, Q I I , aL

:% emirreta (ireita= a#erta= (e ori"em a I7AKE7a% V G H, Q I I , k aL

eta realI7AKE7$6 ‚ V ‚ % G I 4

4#ser5ações;

1]% 6 ‚ e V ‚ no so nOmeros reais? apenas /a<em porte (as notações (e inter5alosilimita(os.

2]% Bual'uer inter5alo (e e,tremos a e #= com a #= contém nOmeros racionais eirracionais.

3]% ) outras /ormas (e se representar inter5alos a#ertos usan(o6se colc:etes em 5e<(e parnteses or e,emplo $a= # G a= #? $a= #% G a= #.


&@. epresente "ra!camente na reta real os se"uintes intei5a oa% $, e I I 61 X , X 3L#% $6 ‚= 2c% 63= 1d2(% $, Q I I 2 € , X -Le% $, e I I , X 6&L

/% 8=+%

*8. Escre5a os inter5alos representa(os "ra!camentea% I7AKE7#% I7AKE7c% I7AKE7(% I7AKE7e% I7AKE7

*1. Associe ` ou F a ca(a uma (as se"uintes a!rmações;

a% 2 Q 2= +#% 61 Q $6*= 61c% 8 Q H, Q I I 61 X , X 1L(% 3 R 2 H, Q I I 3 X , X &Le% H2= *L Y 8= V ‚%

4perações com inter5alos

Como inter5alos so su#conjuntos (e I= é possí5el /a<er operações com eles Asoperações (e intersecço= unio= (i/erença e complementar sero apresenta(as pormeio (e e,emplos.

Da(osA G H, Q 61 X , X 1L9 G 8= *%= 5amos (eterminar;

2*



AA EFEI Analise os possí5eis si"ni!ca(os (e; H3= *L= $3= * e 3= *=

a% A n 9 #% A u 9 c% A 6 9 (% 9 6 A

àmos /a<er a representaço "r)!ca;a% A 9I7AKE7A 9 G H, Q I I 8 Gs , X 1L G 8= 1%

#% A U 9I7AKE7

c% A 6 9I7AKE7

(% 9 AI7AKE7

e% g A9

I7AKE7


*2. Da(os os conjuntos a se"uir= (etermine o 'ue se pe(ea% A G 2= & e 9 G 3= +; A 9= A U 9= A 6 9= 9 6 A e g A

9

#% A G H, Q I I , X &L e 9 G H, Q I I , X 1L; A U 9 9 A= g A

9 e g A9

c% A G 62= 8% e 9 G 61= V ‚%; A U 9 e A 9.

(% A G $62= 1% e 9 63= 8; A= 9= A 9 e A U 9.*3. Da(os A G $6*= 2= 9 G 6+= + e C G $6 ‚= 2= calcule;a% A U 9 U C#% A 9 Cc% $A U 9% C(% A D $9 U C%

*&. Da(os os inter5alos A G 6 1= &= 9 G 1= *=C G 2= & e D G $1= 3= 5eri!'ue se 1 pertence ao conjunto $A n 9% 6 $C 6 D%.

Desa!o em (upla

2+



4 (ia"rama (e enn para os conjuntos A= 9 e C (ecompõe o plano em oito re"iões.Numere6as e e,prima ca(a um (os conjuntos a#ai,o como reunio (e al"umas (essasre"iões. a% $Ac U 9%c

#% $Ac U 9% U Cc

13. E ituações6pro#lema en5ol5en(o nOmeros reais= "ran(e<as e me(i(as

**. Consi(ere a in/ormaço; A super/ície (o territrio #rasileiro tem uma )rea (e 0*&-&83 'uil>metros 'ua(ra(os $xm2%. eitura 4ito mil:ões= 'uin:entos e 'uarenta e sete mil= 'uatrocentos e trs uni(a(es= oumais simplesmente; 0 mil:ões= *&- mil e &83 Decomposiço o(emos (ecompor um nOmero natural usan(o potncias (e 18;0 *&-&83 G 0888888 V *88888 V &8888 V V -888 V &88 V 8 V 3 G 0 , 1888888 V V* ,188888 V & ,18888 V - , 1888 VV &,188 V 8,18 V 3,1 GG 0 , 18+ V *, 18* V & , 18&V - , V 183 V

V & , 182

V 8 , 181

V 3 , 18ƒ

AA EFEI Bual'uer nOmero natural po(e ser (ecomposto em potncias (e 18.

Arre(on(amentos

Ao /a<er arre(on(amentos= 5oc (e5e o#ser5ar o al"a65em lo"o (ireita (o al"arismo (a or(em 'ue

5ai arre(on(ar; 8 1= 2= 3 ou &= mantém6se a mesma or(em?

lor * += -= 0 ou @= arre(on(a6se _para cima_. ins e,emplos. A or(em 'ue se 5ai arre(on(ar esta assinala(a com um traço;2 3$2%+ „ 2 388 Ima= spr,imo (e 2 388 (o 'ue (e 2 &881 1 +8& 3„ 888 $mispr,imo (e 1-888 (o 'ue(e 1+888% 0 1$2%- & 3 „ 028888 $mo=s pr,imo (e 028888(o 'ue (e 018888% 0B> - & 3 6 088888 Imals pr>,mo (e 088888 (o 'ue (e @88888% 2… tk - & 3 „ 3+888888 $moo pr,imo (e 3+888888 (o 'ue (e 3*888888%

? ks ter (a(o a )rea apro,ima(a (a super/ície 1 † ; #rasileiro (e /ormaarre(on(a(a. or e,emplo arre(on(an(o para a; (a(e mais pr,ima; 0 *&-&88 xm2

6 na mais pr,ima; 0 *&-&88 xm2 `re(on(e o nOmero 0 *&-&83 para a; ; † i(a(e

(e mil:ar mais pr,ima# (e<ena (e mil:ar mais pr,ima† ntena (e mil:ar mais pr,ima

oc‡ sa#ia 'ue as (uas ca6 ? jis #rasileiras mais (istantes uma (a outra so 9oaìsta $oraima% e orto Ale"re $io Kran(e (o ul% E 'ue essa (istTncia é (e 3 --*xma Escre5a no ca(erno esse numero por e,tenso.

re5a no ca(erno esse nOmero (ecompon(o6o em potncias (e 18.† (on(e esse nOmero para a centena mais pr,ima. ; (on(e esse nOmero para a

uni(a(e (e mil:armais pr,ima.

; o aire(on(amento 'ue 5oc ac:ar mais ra<o)5el em ca(a caso.† tenso= em 'uil>metros 'ua(ra(os= (o esta(o (e ; aulo é (e 2&0 28@=

apro,ima(amente. ; † ir ia terrestre= em 'uil>metros= entre o aulo e io (e Janeiroé (e &2@.

2-



i (a ro(o5ia ransama<>nica= em 'uil>metros; *+88 $projeto inicial%. † nsc= em 'uil>metros 'ua(ra(os= (os Esta(osUni(os @+2@8@1.† ;ia mé(ia (a erra ao ol é (e 1&@+88888 'uil>metros.ira 'ue or(em /oi arre(on(a(o esse nOmero # Escre5a como se l esse nOmero. ;

aue /oi escrito _(istTncia mé(ia_ e no apenas _(istTncia_

Ale"re*@. De acor(o com o Censo 2888= reali<a(o pelo I9KE= a populaço ur#ana re"istra(a

no 9rasil é (e 13-@*3 @*@ :a#itantes e a rural= 31 0&* 211= totali<an(o 1+@-@@1-8 :a#itantes.

Nos jornais e nas re5istas= esses nOmeros aparecem arre(on(a(os e simpli!ca(os.èja como !cam os (ois primeiros; 13-@*3@*@ „ˆ 1308888886 130 mil:ões 31 0&*211 „k 31 088888 „k31=0 mil:ões 31=0 mil:ões „‰ 31 mil:ões e 0 (écimos (e 1mil:o „ „ 31 888888 V 088 888 „ˆ 31 088888 Use o proce(imento com o nOmero'ue in(ica a populaço total (o 9rasil.)8. Escre5a no ca(erno usan(o somente al"arismos;a% 1-=3 mil:ões (% 3=* #il:ões#% 8=+ mil:o e% 1*2=- #il:õesc% 1=3 mil /% 3=2 tril:ões+1 4 nOmero 'ue in(ica a populaço (e uma ci(a(e /oi arre(on(a(o para a uni(a(e

(e mil:ar mais pr,ima e resultou em *+ 888. Buais so o menor e o maior nOme6ro possí5eis para in(icar essa populaço

+2. Arre(on(amento= estimati5a= c)lculo mental e resulta(o apro,ima(o

Em uma /a<en(a= /oram col:i(as 1 1 23 cai,as (e laranjas em um ms e -03 cai,asno ms se"uinte. Nesses (ois meses= apro,ima(amente= 'uantas cai,as (e laranjas/oram col:i(asComo se 'uer apro,ima(amente o nOmero (e cai,as= /a<emos uma estimati5a (e 1123 V -03. ara estimar 1 123 V -03= arre(on(amos e somamos;arre(on(amosI I oV-03arre(on(amos1 188V088 1 @88•

estimati5a (oresulta(oapro,ima(oNesses (ois meses /oram col:i(as= apro,ima(amente= 1 @88 cai,as (e laranjas.Arre(on(e= /aça estimati5a (o resulta(o apro,ima(o e in(i'ue a resposta 'ue 5ocac:a mais pro5)5el. Em se "ui(a= con!ra o resulta(o com os (e seus cole"as. 138a% &0 V -1 „128Š 18 S388#% 3 , 2@-„+88

_S@88d*

c% @@0;281„18ŠPkS 1+8

20



(% 3@,&1 „1+88S 1+888e% ** @* 6 3@ „&* Š*/% &82 ; * „08 S088 S228 "l -@ V 122„218 S 288 ‹ 3*8:% *82 6 1&@„&*8S&882&Uni(a(e 1 Ml"e#ra $IINo 9rasil= a recicla"em (e li,o ain(a est) lon"e (o i(eal= mas aos poucos est)mel:oran(o. or e,emplo; 3*v (as em#ala"ens (e 5i(ro j) esto sen(o recicla(as.a% De acor(o com o e,emplo (a(o= para ca(a 088 I (e em#ala"ens (e 5i(ro= 'uantas

tonela(as so recicla(as#% Determine as porcenta"ens com #ase nas in/ormações (a(as= em mé(ia; apelo; em 2*8 I so recicla(as 1-* t. atas (e alumínio; para ca(a &28 t so recicla(as 2*2 t.c% 1*v (os pl)sticos ri"í(os so recicla(os. Isso si"ni!ca= em mé(ia= 'ue 388 t sorecicla(as em um total (e 'uantas tonela(as

( Formule uma per"unta com os (a(os (os itens anteriores.+&. Uso (a calcula(oraE muito /)cil calcular a porcenta"em em uma calcula(ora. èja; àmos (eterminar3*v (e &+8; eclamoswdiŒ6„ll , 7„ll v e o#temos 7!ŽiFaça 5oc. Use uma calcula(ora e (escu#ra;a% 08v (e 1 3&8#% 32v (e 1 &88c% 13*v (e +8=88+ or 'ue= no item c (o e,ercício anterior= o resulta(o é maior (o 'ue +8=88

Con5erse so#re isso com um cole"a.

++. Arre(on(amentos e estimati5asFaça apro,imações e i(enti!'ue apenas o 5alor mais a(e'ua(o a ca(a 'uesto. 28=88a% Desconto (e @v em 2@0=88#% &@v (e uma populaço (e1&1 288 :a#itantesc%22v (e um percurso (e *83 xm(% reço (e um pro(uto 'ue custa5a 08=*8e aumentou 1 1v 38=88 &8=88-8888 :a#itantes *8888 :a#itantes 08888 :a#itantes

*8 xm 188 xm 28 xm 1 08=88 @*=88 00=88+-. òc sa#e 'uais so os 'uatro esta(os #rasileiros na or(em (o maior para o

menor Con!ra sua estimati5a usan(o as in/ormações a se"uir e (escu#ra as )reasapro,ima(as (os esta(os= em 'uil>metros 'ua(ra(os. ar); -*v (o Ama<onas.

SSSSSSSSSSSAma<onas; $1+ 188888% xm2. 7inas Kerais; *8v (o or). NAƒECEÀ Nƒ U`86o7ato Krosso; (e 7inas Kerais.A"ora escre5a o nome (os 'uatro esta(os (e acor(o com a or(em (ecrescente (esuas )reas.

+0. Em uma loja (e som e ima"em= ca(a 5en(e(or rece#e 08=88 por semana emais comisso (e *=88 por aparel:o (e D`D 'ue 5en(er. uciana 5en(eu 0aparel:os em uma semana e o#erto= &.

a% òc ac:a 'ue uciana rece#eu o (o#ro (o 'ue "an:ou o#erto nessa semana

2@



#% Calcule 'uanto rece#eu ca(a um e (epois con!ra sua resposta.c% Calcule 'uantos aparel:os (e D`D um /uncion)rio precisa 5en(er para rece#er 1&*=88 no !m (a semana.@. José o#erto 5iajou (e o aulo para 9rasília. e"uiu (epois= para al5a(or e=

!nalmente= (e al5a(or /oi para eci/e.DistTncia terrestre$em xm%

oaulo

9rasília

al5a(or

eci/ e

oaulo

181* 28*2 2-1+

9rasília 181* • 1 *&2 2223

al5a(or

28*2 1 *&2 0&2

eci/e 2-1+ 2 223 0&2 Ža% 7entalmente= estime 'uantos 'uil>metros José o#erto 5iajou=apro,ima(amente.

#% Faça os c)lculos e (etermine 'uantos 'uil>metros ele 5iajou.c% In5ente uma 'uesto com os (a(os (a ta#ela ro'ue6 a com um cole"a e resol5aa (ele.-8. No jo"o (e #as'uete= as cestas po(em 5aler 3 pontos 2 pontos ou 1 ponto

$lance li5re%. Encontre to(as as maneiras (e um time /a<er 1 * pontos. $u"esto;/aça uma ta#ela or"ani<a(a.%

-1. Como 5oc j) sa#e= as calcula(oras so usa(as para au69,iliar uma pessoa a /a<er c)lculos comple,os mais rapi(amente (o 'ue utili<an(o

caneta e papel. 4#ser5e 'ue a calcula(ora a#ai,o tem teclas (e memria. 4snOmeros po(em ser arma<ena(os na memria (a calcula(ora pa ra serem usa(os

posteriormente. E,amine o si"ni!ca(o (e al"umas teclas;colo'ue um nOmero na memriaretire um nOmero (a memria#us'ue um nOmero na memriaapa"ue a memria

èja como é /)cil. Acompan:e este e,emplo.àmos calcular o 5alor (a e,presso a se"uir usan(o os teclas (e memria;

$2 &@+; 32% V $+ 2@0 ; @&%2&@+S 32 E -0S3+2@0 B @& &- BE3 -0 B dŽ2*

% e a calcula(ora para (eterminar o 5alor (e;a% 13+12 i 0+6$13--;*1% # $-12 3&% V $3&** 6 21@% c% $-*+ V 2&%6$@12; 38&%11 i estimati5os= o#ten:a resulta(os apro,ima(os e res6 ; la et6 seu ca(erno. Em 'ualinter5alo a#ai,o ca(a es. a(o po(er) ser coloca(o*88‘ 9*88

188818881*881*88a% I&- V 30* # *1@@ 6 &882 cl &@ , 1@

38



2888(% 11@@1 ; 38e% @&& V +2+Notaço cientí!caA m $=o cientí!ca permite escre5er nOmeros usan(o † is (e 18. ua principalutili(a(e é a (e /ornecer= relance= a i(eia (a or(em (e "ran(e<a (e um nO6 i =e se/osse escrito por e,tenso= no (aria essa in6 rmaço (e mo(o to ime(iato. lOmerD est) e,presso em notaço cientí!ca se est) es6 ;Xmo o pro(uto (e (ois nOmerosreais; um nOmero real † encente ao inter5alo 1= 18% e uma potncia (e 18. ; nse,emplos (e nOmeros escritos na notaço cienti!ca;U 388 G 3 188 G 3 18

8=88*2 G *=2 † 8=881 G *=2 18S3 32=&* G 3=2&* 18 G 3=2&* 18 * 2&@ G*=2&@ 1 888 G *=2&@ 183 8=8888888882 G 2 18_ 0*88888 G 0* 18* G 0=* 18+

a massa (e um )tomo (e o,i"nio; 2=- 18 _" =6j s (e um )tomo (e :i(ro"nio;1=++6 18 2& " 4 os nOmeros em notaço cientí!ca; ic t)ncia mé(ia (a erra ao ol;1&@+88888 xm #l a 5eloci(a(e (a lu<; 388888 xmdsa (istTncia em torno (a erra no e'ua(or; &88-* xm II c ( tr ia mé(ia (o ol a 7arte;22-@88888 xm † a cl i)ncia mé(ia (o ol a JOpiter; --0 388888 xm a massa (e um

elétron= apro,ima(amente %=888888888888888888888888888@11 "òc sa#ia 'ue ..#it é a menor uni(a(e (e n/ormaço usa(a pelo computa(or

#te $9% é a uni(a(e (e me(i(a usa(a para a rt X mria (o computa(or e pai6j oarma<enamento (e (a(os

èja outras uni(a(es;

9 G #te $uma uni(a(e (e in/ormaço%w9 G xilo#te $1 82& 9 ou= arre(on(an(o= 1 888 9%79 G me"a#te $1 82& w9 ou= arre(on(an(o=1 888 w9 ou 1 888888 9% K9 G "i"a#te $1 82& 79 ou= arre(on(an(o=

1 888 79 ou 1 888888888 9% 7< G me"a:ert< $1 888888 < ou 1 888888 (e6ciclos por se"un(o%a% Buan(o um pro"rama é instala(o em um computa(or ele !ca arma<ena(o no(isco rí"i(o 4 computa(or me(e a arma<ena"em em x#tes Determine o nOmero (e#tes (e um computa(or 'ue tem +& x#tes.#% Use potncias (e 18 para escre5er= (e mo(o arre(on(a(o;

088 7< em < 1 20 79 em 9c% Escre5a na notaço cientí!ca *+ w9 em 9 0 79 em 9- . Use ca(a al"arismo a#ai,o uma Onica 5e<. Escre5a (ois nOmeros (e trs

al"arismos cujo pro(uto entre eles seja c menor possí5el.m m m m m m-+. E,amine o "r)!co (e temperaturas mé(ias $em ƒC% (a ci (a(e (e 7a(ri $capital

(a Espan:a% nos primeiros (ias (e janeiro. emperaturaXƒC%

31



Dias(e janeiroa% Faça uma ta#ela 'ue correspon(a ao "r)!co.#% Bual /oi a temperatura mé(ia m),ima nesses primei ros 0 (ias Em 'ue (iaocorreuc% Bual /oi a temperatura mé(ia mínima Em 'ue (ia ocorreu(% Em 'ue (ia a temperatura mé(ia re"istra(a /oi (e 8 ƒCe% A mé(ia (as temperaturas nesses 0 (ias /oi maior oi menor (o 'ue 8 ƒC

òc sa#ia 'ue.../oi o cientista sueco An(ers Celsius $1-8161-&&% 'ue= em 1-&2= criou a escalacenlesimol para me(ir temperatura... Celsius #aseou essa escala na temperatura (e soli(i!caço $8 ƒC% e (e e#uliço$188 ƒC% (a )"ua em (etermina(as con(ições

; 66X Dntém 0 #its e po(e arma<enar um caractere † a letra= um nOmero ou umsím#olo 'ual'uer%

J2+

Uni(a(e 1 Ml"e#ra $II-d. Em uma /ol:a (e papel 'ua(ricula(o= trace os ei,os , e = locali<e os pontos A$6&=V1% e 9V&= 63%. Em se"ui(a= mar'ue os pontos; C62= V3%= D$V&= V1%= E$63= 63%=F$ V 3= „1%= K$8= 63%= $V1= 63el$63=8%. racea"o ra os triTn"ulos AACD= AIEK= AF9e classi!'ue6os 'uanto aos Tn"ulos e aos la(os.

As (uas retas perpen(iculares so c:ama(as (e ei,os , e . 4s (ois nOmeros (o paror(ena(o so as coor(ena(as (o ponto correspon(ente. 4 ponto (o par $8= 8% éc:ama(o (e ori"em.C:ama6se par or(ena(o por'ue a or(em em 'ue aparecem os nOmeros é importonleor e,emplo= a posiço (o ponto 7$62= V3% é (i/erente (a posiço (o pontoN$ V 3= 62%.

-0. 4s pontos A$6 1= 3%= 9$6 1= 63% e D$*= 3% so 5értices (e um 'ua(ra(o A9CD Escre5ao 'uarto 5értice (esse 'ua(ra(o.

-k eê,o= translaço e ampliaçoE,amine o triTn"ulo (e 5értices A$ 1= 3%= 9&= &% e C$3= 1% (a !"ura a se"uir.

32



4 triTn"ulo DEF é uma reê,o (o triTn"ulo A9C em relaço ao ei,o . Di<emostam#ém 'ue o triTn"ulo DEF é o simétrico (o triTn"ulo A9C se"un(o o ei,o àmosa"ora somar 63 se"un(a coor(ena(a (e ca(a 5értice (o triTn"ulo A9C;

A$ 1= 3% „k K$1= 8% 9$&= &% „k $&= 1% C$3= 1%6 1$3= 62%4 triTn"ulo KI é uma translaço (o triTn"ulo A9C= 3 uni(a(es para #ai,o. o(emostransla(ar uma !"ura para a es'uer(a= para a (ireita= para cima e para #ai,o. Emuma reê,o ou em uma translaço= o taman:o e a /orma (a !"ura ori"inal no semo(i!cam 7u(a6se apenas a posiço (a !"ura.àmos= a"ora= multiplicar por 2 as coor(ena(as (os 5értices (este triTn"ulo A9C;

Al= 11 „ J$2= 2% 9$2= &% „ w$&= 0% C$&. 1%6. $0= 2%4 triTn"ulo Jw é uma ampliaço (o triTn"ulo A9C. Em uma ampliaço= a /orma (a!"ura ori"inal no se altera= mas o taman:o aumenta.

àmos multiplicar a primeira coor(ena(a (e ca(a 5értice por 61;A$1= 3% „ D$ 61= 3% 9$&= &% „ˆ E$6&= &% C$3= 1% 6k F63= 1%

0 - + * & 3 2 1Capítulo 1 Conjuntos e conjuntos numéricosmm

33



1 í6 em uma /ol:a (e papel 'ua(ricula(o um ; ; J4 cujos 5értices so A$ „ 2= 61%= 9$6&=„2% e 63% Depois= multipli'ue a se"un(a coor(ena(a i(a 5értice por 61. Desen:e ono5o triTn"ulo. 4 . †;† e esse no5o triTn"ulo em relaço ao ori"inal

em uma /ol:a (e papel 'ua(ricula(o um triTn"u6 i 5értices so 1= 1%= B$2= 63% e$&= 8%. Faça a i=o(o nTn"ulo B 3 uni(a(es para cima. Escre6 . . 6 lena(as (eca(a 5értice (o triTn"ulo o#ti(o† e em uma /ol:a (e papel 'ua(ricula(o um triTn6 jos 5értices so7„1= 1%= N$3= 62% e$62= „3%. r † pi 'ue as (uas coor(ena(as (e ca(a 5érti6 ; 3 De n:e o no5otriTn"ulo. 4 'ue é esse no5o rr ;n"ulo em relaço ao ori"inal

; 66ações (e5emos e/etuar com as coor(ena(as (os † A 9 e C para 'ue o AA9Cseja o#ti(o a partir ; ..A9C Con!ra sua resposta (eterminan(o e compa6 ?coor(ena(as (os 5értices (os (ois triTn"ulos.6

C

d

A

9 Cd

dA

9

ECEIA& col:eres (e sopa (e açOcar

copo (e leite 1 col:er (e ca/é (e /ermento em p2* ,ícaras (e /arin:a (e tri"o orço para + pessoas%

o 5ai /a<er um (oce para seus ami"os 'ue 5m es6 iar † m sua casa. 4 li5ro (e

receitas in(ica os in"re(ientes a#ai,o. 3 preten(e /a<er esse (oce para trs pessoas= re5a esses 'uatro in"re(ientes comas respecti5as'uanti(a(es.Buan(o lançamos um (a(o= :) seis possi#ili(a(es 'uanto /ace 'ue !car) 5olta(apara cima; A pro#a#ili(a(e(e sair o nOmero * é (e 1 em += ou seja= 6i6A pro#a#ili(a(e (e sair um nOmero ímpar é (e 3 em

j G ~+ 2ou

AEN’4[N’4 ECEÀ N4 I`4.

3&



Bual é a pro#a#ili(a(e (e sair;a% o nOmero &#% um nOmero parc%um nOmero maior (o 'ue 2(% um (i5isor (e 12e% um nOmero maior (o 'ue -/% um nOmero primo4 "r)!co a#ai,o mostra a 5ariaço (o 5alor em reais (o (lar comercial no perío(o (e1&d2d288* a 21 d2d288*. Analise6o e respon(a;a% Bual era o 5alor (o (lar em 1*d2#% Em 21 d2= a 'uantia (e 188 (lares correspon(ia a 'uantos reaisc% De 1 0d2 a 21d2= o 5alor (o (lar su#iu ou caiu Buanto(% Em 1&d2= a 'uantia (e 388=88 correspon(ia a 'uantos (lares=apro,ima(amenteUsan(o as in/ormações acima= (etermine o 5alor mé(io (o (lar comercial no perío(o(e 1&d2d288* a 21 d2d288*. $Use calcula(ora.%-. Cíntia toca #ateria e 5iaja to(o !m (e semana com sua #an(a. Como precisaeconomi<ar= resol5eu 5eri!car como esta5a o consumo (e "asolina (e seu carro $em

xmd$% ara isso /e< o se"uinte; Antes (a 5ia"em= enc:eu o tan'ue e anotou a'uilometra"em marca(a no painel;8 1 0 @ + 0Buan(o retornou= anotou a 'uilometra"em;

enc:eu no5amente o tan'ue e 5iu 'ue "astou 10=& $ (e "asolina.

A". Esta(o Fe5.DA†CTm#io comercial $dèn(a% 2=*0*20Uni(a(e 1 Ml"e#ra $IIa% Bual /oi o consumo (o carro (e Cíntia em 'uil>metros por litro#% Buanto Cíntia "astou em "asolina para /a<er lo"o em se"ui(a uma outra 5ia"em(e 30-=* xm se ca(a litro custa5a na época 2=2@Ati5i(a(e em e'uipe

I7C é a si"la para ín(ice (e massa corporal= 'ue permite a uma pessoa /a<er ocontrole (e seu _peso_. 4 c)lculo (o I7C é /eito usan(o a /rmula a se"uir= e o con6trole= (e acor(o com a ta#ela a se"uir.I7C G

massa altura altura$massa em x" e altura em m%_eso_9ai,o Normal ré6

o#eso4#eso

Até

10=*

De 10=+a

2&=@

De 2* a

2@=@

7ais (e

38 omemos como e,emplo uma pessoa com -8 x" e 1=+& m;-8 ~ -8 ~ 2=0@I7C G2=83 $apro6

3*



1=+& † 1=+& ,ima(amente%Consultan(o a ta#ela= po(emos (e(u<ir 'ue essa pessoa é pré6o#esa.a% Usan(o a /rmula (o I7C= (etermine em 'ue /ai,a (a ta#ela est) uma pessoacom 1=-8 m (e altura e -8 x".#% èri!'ue 'ual é seu I7C e em 'ue /ai,a (a ta#ela 5oc se encontra.c% Uma pessoa tem 1=08 m (e altura. Bual (e5e ser seu _peso_ para 'ue o I7C seja28(% Faça o teste com ca(a elemento (a e'uipe= classi!can(o como I7C _#ai,o_=_normal_= _pré6o#eso_ e _o#eso_.4 "r)!co (e setores a#ai,o mostra o resulta(o (e uma eleiço na 'ual concorreramos can(i(atos A= 9eC 4 nOmero total (e 5otos 5)li(os /oi 1 2 888.

a% Buantos 5otos te5e o can(i(ato A#% Bual /oi a porcenta"em (e 5otos (a(os a 9c% Bual /oi a porcenta"em e o nOmero (e 5otos (a(os aC(% Bual é a me(i(a (o Tn"ulo central correspon(ente aos setores (e A= 9 e C no"r)!co1 e 281 " (e mercOrio e 1+ " (e o,i"nio se com#inam para /ormar 2 1 - " (e ,i(o

(e mercOrio= 'ual a porcenta"em (e ca(a elemento no ,i(o (e mercOrioòc j) tentou usar uma calcula(ora para somar /rações E claro 'ue é possí5el[èja este e,emplo. àmos somar 6Sj6 V Acompan:e ca(a passo;2~ 13

~&~ 1*2E336EI6E36•IX*6K3 K4 EI6El 6 878*i@eComo escre5er esse nOmero na /orma (e /raço rocure uma /raço e'ui5alente

com (enomina(or 1361* èja; 2 & V -3_8=&28*1202 GG 8=&28*1202ç6, 13 02 1S*_S6, 13 1* „S& ~ 02

AEN’4[NA4 ECEÀ N4 I`4.

Assim V 6r6 *3_A"ora= use calcula(ora e (etermine estas somas;

. 21 = 12 = 2 . * ==1-. & 1- _--_ _ “- -3_osa é ar'uiteta Ao /a<er a planta (e uma casa= (epa6 ji"j rou6se com a se"uinte'uesto; se a altura (a esca(a é ” (e & m e o a/astamento (a esca(a pare(e é (e+ m= 'ual (e5e ser a me(i(a (o comprimento (a esca(a Como 5oc resol5eria esta'uesto

3+



Um camin:o so#e uma rampa inclina(a em relaço ao plano :ori<ontal. e a rampatem 38 m (e comprimento e seu ponto mais alto est) a * m (e altura= 'ual é a (is6tTncia (o início (a rampa $A% ao ponto 9 Desen:e em seu ca(erno um mo(elomatem)tico= calcule o 'ue se pe(e e ( a resposta em metros e centímetros.

Capítulo 1 Conjuntos e conjuntos numéricos 21

òc sa#ia 'ue...a poie"a(a é uma uni(a(e (e me6 ; ; 3 (e comprimento in"lesa e e'ui5alente a 2*mmpole"a(a 5em (e pole"arI pc “"a(a G 2* mm G 2=* cm

nrmmittmiCentímetros; 81 i í i jole"a(as o%# or5e as !"uras e utili<e os 5alores acima para respon(er a estas 'uestões; J[ Dual ‡ a me(i(a (o para/uso (a !"ura em pole"a(as# Um para/uso com 26

Economi<e )"ua. No (ei,e a torneira pin"an(o.3

pole"a(as me(e mais ou menos (o 'ue + cm ; Em I m :) 'uantas pole"a(as Jual ‡o (iTmetro= em milímetros= (e um cano (e (e pole"a(a

e r1 tas usam a Uni(a(e Astron>mica $AU% para me(ir "ran(es (istTncias; =88 AU 661&@=+ mil:ões (e xm G 1 &@+ 18* xm (istTncia mé(ia (a erra ao ol%.A (istTncia mé(ia (e 7arte ao ol é (e= apro,ima(a6 220888888 xm. De 'uantasAU é= apro,ima(amente. essa (istTnciaòc sa#ia 'ue...a pro(uço #rasileira (e petrleo é (e 1=3 mil:o (e #arris por (ia . o consumo (i)rio#rasileiro (e petrleo é (e 1=0* mi6 (e #ari#= o#ri"an(o a importaço (e **8 mil #arrispor (iaa ca(a ms= apro,ima(amente= 2 #il:ões (e litros (e ?a ina e * #il:ões (e litros (e(iesel so consumi(os ; /rota (e 2&=* mil:ões (e 5eículos em to(o o país

$Da(os (e 2888.% ?pa (a(e (e um #arril (e petrleo é (e 1*0=@0 li6 j intos litros (epetrleo= por (ia= apro,ima(amente= o pais;a% pro(u< #% consome c% importa; ;al% é uma uni(a(e (e me(i(a (e ener"ia. E,a6 o 'ua(ro a#ai,o e respon(a;

3-



ipo (elanc:ek

Buanti(a(e (ecalorias$cal%

eito (e peruli":t

1@&

am#Or"uer

simples

2@+

am#Or"uer(uplo

*0-

sala(a -30a% Bue lanc:es (i/erentes uma pessoa po(e comer em um (ia sem ultrapassar 1 288

cal#% Cite o nome (e (ois lanc:es tal 'ue um (eles ten:a apro,ima(amente= o (o#ro (e

calorias 'ue o outro.c% Bual lanc:e possui 'uase 'uatro 5e<es o nOmero (e calorias 'ue o san(uíc:e (e

peito (e peru li":t@0. 4 (eci#el 6 (9 $a (écima parte (o #el% é usa(o como uni(a(e (e me(i(a (o ní5el

(e intensi(a(e sonora. A 4r"ani<aço 7un(ial (a aO(e $47% lecomen(a 'ue nointerior (e e(i/ícios o ruí(o (e /un(o no (e5o ser superior a &* (9= 'ue noite= nointerior (e (ormitrios= o ruí(o no seja superior a 3* (9= 'ue os ruí(os e,ternos(iurnos no sejam superiores a ** (9 e os noturnos= no superiores a &* (9. 7as5eja os sons $em (eci#éis% pro(u<i(os por;

a% (iscotecas; (e 0* (9 a 188 (9?#% motos; (e 08 (9 a 18* (9?c% a5io a jato; 128 (9?(% "ran(es "rupos (e rocx; ultrapassam 128 (9. In5ente um pro#lema com esses(a(os ro'ue com um cole"a e resol5a o (ele.

9aleia6o<ul e,pelin(o ar en'uanto na(a na super/ície (o Kol/o t. larence= naspro,imi(a(es (a costa cana(enseòc sa#ia 'ue...... as #aleias6a<uis emitem sons 'ue po(em atin"ir até 1 00 (9 'uan(o se comunicame 'ue j) /oram (etecta(as a 0*8 xm (e (istTncia por e'uipamentos especiais4 planeta erra e suas me(i(as $em 5alores apro,ima(os[

Foto"ra!a o#ti(a por satélite en/ocan(o o planeta erra na re"io (o continentesu/americano.òc sa#ia 'ue...

30



... o (iTmetro (a erra na lin:a (o e'ua(or é (e 12-*+=3& xm

... a temperatura (o planeta erra 5aria (e 60@=2 ƒC a *0 ƒC

.. o planeta erra pesa +=* se,til:ões (e tonela(as ... o mo5imento (e translaço (a erra (ura 1 ano e o (e rotaço= 1 (ia38Uni(a(e 1 Ml"e#ra $II.a super/ície (o planeta erra tem= apro,ima(amente= *18888888xm $ou *1 18xm% e A (ela soocupa(os por )"ua... o 5olume (o planeta erra é (e1 803 238888888 xm3 ou 180 323 † 18xm3Escre5a;a% a "ran(e<a e a uni(a(e cita(as em ca(a in/ormaço.#% o nOmero =* se,til:ões= usan(o s al"arismos.c% a 5ariaço= em "rau Celsius= (a temperatura mínima para a m),ima (o planeta

erra.(% como se l o nOmero 'ue in(ica a me(i(a (e 5olume (a erra em 'uil>metroscO#icos.

e% 'uantos xm (a super/ície (o planeta erra so ocupa(os por )"uaAncrlu<; uma uni(a(e para me(ir "ran(es (istTncias9Um ano6lu< é a (istTncia 'ue a lu< percorre em um ano. eia a reporta"em (a re5istafpoca (e &d+d2881 e respon(a em seu ca(erno; a 'uantos 'uil>metros (a erra est) aNKC= a _"al),ia (oura(a_3<A "al),ia NKC 1*12 en/oca(o pelo telescpio espacial u##le.As ima"ens capta(as pelo telescpio espacial u##le continuam encantan(o ospes'uisa(ores. Uma e'uipe (e israelenses e americanos (esco#riu 'ue :) 1*12estrelas na NKC= a _"al),ia (oura(a_. Ela est) a 38 mil:ões (e anos6lu< (a erra $um

ano6 lu< tem @=* tril:ões (e 'uil>metros%= relati5amente pr,ima para os pa(rõescsmicos.81 Arro#a; uni(a(e (e me(i(a (e massaŽ 88 tiC83to*Xr Xm

14 Açou"ue= o#ra (opintor italiano Anni#ale Carracci II*+861+8+1 reali<a(o por 5olta (e

1*081 arro#a 5ale= apro,ima(amente= 1&=+00 x". Nos c)lculos= usaremos; 1 arro#a; 1* x"

José comprou 1 0 arro#as (e carne para seu açou"ue e pa"ou 21=+8 a arro#a.Depois= 5en(eu to(a a carne por 3=88 o 'uilo"rama. Bual /oi o lucro (e José nessa5en(a

3@



Esta(o opulaço

Mrea$emxm2%

Densi(a(e(emo"r)!ca$:a#.dxm2%

7inas

Kerais

1-0@1&

@&

*0+*20

Koi)s *883220

3&880-

ioKran(e(o ul

1810--@0

mu 3+=1+

ar) 12&-+@8

&=@+

4s (a(os (esta ta#ela /oram le5anta(os pelo I9KE no Censo 2888. Copie6a em seuca(erno e complete6a usan(o calcula(ora. Em se"ui(a= respon(a;

a% Bual (esses 'uatro esta(os tem maior populaço#% Bual tem maior )rea

c% Bual tem maior (ensi(a(e (emo"r)!ca(% Bual é a (ensi(a(e (emo"r)!ca (e Koi)sèloci(a(e mé(iaBuan(o (i<emos 'ue um carro percorreu 2&8 xm em 3 :oras= po(emos tam#ém (i<er'ue sua 5eloci(a(e mé(ia /oi (e 08 xmd:.a% Buantos 'uil>metros percorre um carro com 5eloci(a(e mé(ia (e @8 xmd: em 3: 38 min#% Buanto tempo "asta um carro para percorrer 3&8 xm com 5eloci(a(e mé(ia (e0* xmd:18 òc sa#ia 'ue.... o trem japons 7 $5eículo le5ita(o ma"neticamente% c:e"a a (esen5ol5er &08xmd:

rem 'ue opera atra5és (e le5itaço ma"nética= (urante testes em centro (epes'uisa na ci(a(e (e 7ia<axi= JapoEm 'uanto tempo o trem japons 7` /aria o trec:o (e 188 xm entre o aulo eCampinasA "al),ia (oura(a

&8



Capítulo 1 Conjuntos e conjuntos numéricos31

lumitxA crise (os irrracionais

† oamente= os racionais esto associa(os a resulta6† † i(i= k6 Ao me(ir um se"mento (e reta A9 com uma i P u ;† me(i(a 1

po(em ocorrer estas possi#ili(a(es;; i(e u ca#e em A9 um nOmero inteiro (e 5e<es;

666666666661~~~~i~~~~~† †~~~~~~i i~~~~~~~~~~iA 9 u

. imos supor 'ue u cai#a e,atamente p 5e<es em ; (o a me(i(a (e A9 G puni(a(es= em 'ue p é um

nOmero natural.A m (a(e u no ca#e um nOmero inteiro (e 5e<es em966666661~~~~i~~~~~i~~~~~i~~~~~i~~i 16666661 1„1

A 9 U ` se caso= procuramos um se"mento (e reta 5 'ue ' . no se"mento unit)rio u e p

5e<es no se"mento†a A9 A me(i(a (e 5 ser) a /raço „ e= conse'uen6'i_ a me(i(a (e A9 ser) p 5e<es „= ou seja= i"ual„ Duan(o tal se"mento 5 e,iste= (i<emos 'ue os se"6

1e reta u e A9 so comensur)5eis e a me(i(a (e A9_ /o racional „. Nem sempre e,iste o se"mento 5in(ições. 4s pita"ricos acre(ita5am 'ue sempre ; e"mento 5 nessas con(ições= ouseja= 'ue sempre 6tos eram comensur)5eis. ara eles= o (o"ma (e

† ria UD4 E NU7E4_ se re/eria aos nOmeros ra6† es no conce#iam a e,istncia (e outros nOmeros tossem racionais $inteiro

ou /raço%.omo ) 5imos= ao me(irem a (ia"onal (e um 'ua6 I jo cujos la(os me(em 1 uni(a(e(e comprimento= os pi6 ii se (epararam com o nOmero irracional J2 G 6 &2 1 3*+2. ?ou seja= o la(o (esse 'ua(ra(o e sua ( i? mal so se"mentos incomensur)5eis.c i (esco#erta causou= na época= uma crise reli"iosa ri Jes proporções= pois pun:a porterra um (os (o"6 ais (os pita"ricos; _u(o é nOmero_ $racional%.ita ke 'ue it)"oras proi#iu seus (iscípulos (e (i6 ; i co#erta para no a#alar a sua(outrina= masum (e seus (iscípulos= ipaso= 'ue#rou o 5oto (e silncio e /oi assassina(o.

A resistncia aos nOmeros irracionais continuou por 5)rios séculos= até 'ue= no !m(o século I= o matem)tico Keor" Cantor $10&*61@10% /un(amentou6osa(e'ua(amente.ro5a (e 'ue =d2 é irracional

ara pro5ar 'ue J2 é um nOmero irracional= 5amos supor 'ue ele seja um nOmeroracional= ou seja= 'ue possa

ser escrito na /orma 6–6= pK= 'Ke'S4e c:e"ar aum a#sur(o.upomos 'ue J2 é racional= ou seja= J2 G „

'

&1



Consi(eramos „ /raço irre(utí5el= ou seja= p e ' so primos entre si= isto é= m(c$p= '%G 1

Ele5an(o am#os os mem#ros ao 'ua(ra(o= temos j2 G 6E. Gk 6ES6 G 2 Gk p2 G 2'2 $I%

5 ' 'Como to(o nOmero par po(e ser escrito na /orma 2x. em 'ue x = temos 'ue p6 1

G 2'6 é par $II%w

Assim=p2 é par Gk p é par Gk p G 2m= m E $III% 4#ser5e 'ue;

p G 2m Gk p2 G &m2 2'2 G &m2 Gk'2 G 2m2 Gk '2 é par Gk ' é par $I`%

As conclusões $III% (e 'ue _p é par_ e $I`% (e 'ue ' é par_ so contra(itrias= j) 'uep e ' /oram supostos primos entre si. C:e"amos a um a#sur(o. Assim= no po(emossupor 'ue J2 é racional. o"o= J“2 é irracional

ortanto= J2 G 1=&1&213* . no é uma (ecimal e,ata nem peri(ica.32

D E,ploran(o intuiti5amente a noço (e /unço4 conceito (e /unço é um (os mais importantes (a 7atem)tica e (as cincias em"eial. Ele est) presente sempre 'ue relacionamos (uas "ran(e<as 5ari)5eis. èjamosal"uns e,emplos;1% NOmero (e litros (e "asolina e preço a pa"arConsi(ere a ta#ela a#ai,o 'ue relaciona o nOmero (e litros (e "asolina compra(os e opreço a pa"ar por eles $em março (e 288*%NOmero (e litros reço a pa"ar

$%1 2=382 &=+83 +=@8& @=28

&8 @2=88 2=38,4#ser5e 'ue o preço a pa"ar é (a(o em /unço (o nOmero (e litros compra(os= ouseja= o preço a pa"ar (epen(e (o nOmero (e litros compra(os.preço a pa"ar G 2=38 5e<es o nOmero (e litros compra(os oup G 2=38, „ˆ lei (a /unço ou /rmula matem)tica (a /unço ou re"ra (a /unço2@% a(o (o 'ua(ra(o e perímetro

èja a"ora a ta#ela 'ue relaciona a me(i(a (o la(o (e um 'ua(ra(o $—% e o seuperímetro p%;6li 7e(i(a (o erímetro$F F4#ser5e 'ue o perímetro (o 'ua(ra(o é (a(o em /unço (a me(i(o (o seu la(o= istoé= o perímetro (epen(e(a me(i(a (o la(o. A ca(a 5alor (a(o para a me(i(a (o la(o correspon(e um Onico5alor para o perímetroperímetro G & 5e<es a me(i(a (o la(o oup G &$ „lei (a /unço ou /rmula matem)tica (a /unço ou re"ra (o /unçoNessa /unço= como (epen(e (a me(i(a (o la(o= o perímetro é a 5ari)5el (epen(entee a me(i(a (o la(o é c:ama(a (e 5ari)5el in(epen(ente.3@% A m)'uina (e (o#rar4#ser5e o (esen:o ima"in)rio (e uma m)'uina (e (o#rar um nOmero.

&2



entra(a (o#rar saí(a1 „ r 22 &3 666666666 +3=* -&=3 0.+* 18, 2,èja 'ue os nOmeros 'ue saem so (a(os em /unço (os nOmeros 'ue entram nam)'uina= ou seja= os nOmeros 'ue saem (epen(em (os nOmeros 'ue entram. Assim=a 5ari)5el (epen(ente é o nOmero (e saí(a e a 5ari)5el in(epen(ente é o nOmero (eentra(a. Nesse caso= temos;nOmero (e saí(a $n% é i"ual a (uas 5e<es o nOmero (e entra(a $,% oun G 2, „k re"ra (a /unço ou lei (a /unço= ou= ain(a= /rmula matem)tica (a /unço&*% Numa ro(o5ia= um carro mantém uma 5eloci(a(e constante (e @8 xmd:. èja a

ta#ela 'ue relaciona o tempo t $em :oras% e a (istTncia ( $em 'uil>metros%; empo$:%

8=*1 1=* 2 3 & t

DistTncia$xm% &* @813* 108 2-8 3+8 @8/ 4#ser5e 'ue a (istTncia percorri(a é (a(a em /unço (o tempo= isto é= a (istTnciapercorri(a (epen(e (o inter5alo (e tempo. A ca(a inter5alo (e tempo consi(e67e(i(a(o

erímetro

la(o $$% $%1 &2 02=* 18

3 12&=1 1+=&

C &—(o#rarCapítulo 2 Funções33

† 6 pon(e um Onico 5alor para a (istTncia percor6 (a i<emos= ento= 'ue a(istTncia percorri(a é /un6

io tempo e escre5emos;(istTncia G @8 † tempo ( G @8t?666666666666666665ari)5el in(epen(ente666666666666666 ˆ6 5ari)5el (epen(ente

E,ercícios propostos~~~~~~~~~~~~ e na ta#ela a me(i(a (o la(o $em cm% (e uma re"io 'ua(ra(a e sua )rea $em

cm2%.7e(i(a (ola(oHem cm%

1 3 & *=* 18 e

Area $emcm2%

1 @ l 38=2*

188 e

a 4 'ue é (a(o em /unço (o 'u t Bual é a 5ari)5el (epen(ente K%ual é a 5ari)5elin(epen(ente . é a lei (a /unço 'ue associa a me(i(a (o la(ocom a )reaBual é a )rea (e uma re"io 'ua(ra(a cujo la(o me(e 12 cm

i[ ‡ a me(i(a (o la(o (a re"io 'ua(ra(a cuja

&3



)rea é (e 1+@ cm2espon(a s se"uintes 'uestões; ; A (ia"onal $(% (e um 'ua(ra(o é (a(a em /unço(o la(o $/%. Bual é a /rmula matem)tica 'ue in(icaessa /unçox J comprimento $c% (a circun/erncia é (a(o em /un6 io (o seu raio $r%. Bual é ae,presso 'ue in(ica essa /unço

mero (e (ia"onais $(% (e um polí"ono é (a(o em nço (o nOmero (e la(os $n%(o polí"ono. Bual é a nula matem)tica 'ue in(ica essa /unço† ta#ela a#ai,o in(ica o custo (e pro(uço (e certo nOmero (e peças parain/orm)tica;NOmero (epeças

1 2 3 & * + - 0

Custo$%

1.28

2=&8

3=+8

&=08

+=88

-=28

0=&8

@=+8

; i(a numero (e peças correspon(e um Onico 5alorem reais t; 4 'ue é (a(o em /unço (o 'u.? jc é a /rmula matem)tica 'ue () o custo $c% em /unço (o nOmero (e peças $,% 3

6uai é o custo (e 18 peças E (e 28 peças E (e*8 peças;km um custo (e 1 28=88= 'uantas peças po(emser pro(u<i(as;; le reiro co#ra 1 2=88 pelo corte para clientes † ira marca(a e 18=88 sem :oramarca(a. Eleaten(e por (ia um nOmero !,o (e + clientes com :ora marca(a e um nOmero 5ari)5el, (e clientes sem :ora marca(a.a% Escre5a a /rmula matem)tica 'ue /ornece a 'uantia B arreca(a(a por (ia em/unço (o nOmero ,#% Bual /oi a 'uantia arreca(a(a num (ia em 'ue /oram aten(i(os 1+ clientesc% Bual /oi o nOmero (e clientes aten(i(os num (ia em 'ue /oram arreca(a(os 212=88(% Bual é a e,presso 'ue in(ica o nOmero C (e clientes aten(i(os por (ia em /unço(e ,Desa!o em (upla.E,amine e (epois complete esta ta#ela em seu ca(erno. 62 61 8 1 2 3 & * 6@ 6& 1 + m m. 7; mDescu#ra o pa(ro e escre5a o lei (a /unço 'ue representa os (a(os (a ta#ela. A noço (e /unço por meio (e conjuntos

àmos= a"ora= estu(ar essa mesma noço (e /unço usan(o a nomenclatura (econjuntos. Consi(ere os e,emplos a se"uir.1e% 4#ser5e os conjuntos A e 9 relaciona(os (a se"uinte /orma; em A esto al"uns

nOmeros inteiros e em 9 outros De5emos associar ca(a elemento (e A a seu triploem 9.

, K A K 962 6+

&&



61 638 81 32 +Note 'ue; to(os os elementos (e A tm correspon(ente em 9; a ca(a elemento (e A correspon(e um Onico elemento (e 9.

Nesse caso= temos uma /unço (e A em 9= e,pressa pela /rmula G 3,.I Da(os A G H8= &L e 9 G H2= 3= *j= relacionamos A e 9 (a se"uinte /orma; ca(aelemento (e A é menor (o 'ue um elemento (e 9;

Uni(aNesse caso no lemos uma /unço (e A em 9= pois ao elemento 8 (e A correspon(emtrs elementos (e 9 $2= 3 e *= pois 8 X 2= 8 X 3 e 8 X *%= e no apenas um Onico

elemento (e 9.3% Da(os A G H6&= 62= 8= 2= &L e 9 G H8= 2= &= += 0L= associamos elementos (e A ao

seu i"ual em 9;

4#ser5e 'ue :) elementos em A os nOmeros „& e „ 2% 'ue no tm correspon(enteem 9 Nesse caso= no temos uma /unço (e A em 9&% Da(os A G H62= 61= 8= 1= 2L e 9 G H8= 1= &= 0= 1+L e a correspon(ncia entre A e 9

(a(a pela /rmula G ,_P= com , E A e E 9= temos;

to(os os elementos (e A tm correspon(ente em 9= a ca(a elemento (e A correspon(e um Onico elemento (e 9.Assim= a correspon(ncia e,pressa pela /rmula G ,& é uma /unço (e A em 9*@ ejam o conjunto (as re"iões poli"onais (o plano e I o conjunto (os nOmeros

reais. A ca(a re"io poli"onal (o plano /a<emos correspon(er a sua )rea em I.Essa correspon(ncia é uma /unço (e em I.

De!niço e notaçoDa(os (ois conjuntos no 5a<ios A e 9= uma /unço (e A em 9 é uma re"ra 'ue (i<como associar ca(a elemento , E A a um Onico elemento E 9.Usamos a se"uinte notaço;

/; A „ 9 ou A6S9 'ue se l; / é uma /unço (e A em 9

&*



e 1 Ml"e#ra l%A /unço / trans/orma , (e A em (e 9. Denotamos isso assim;

G /$,%E,ercícios propostos*. Buais (os se"uintes (ia"ramas representam uma /unço (e A em 9

NA4 ECEÀ N4 I`4.

+. Da(os A G H62= 61= 8= 1= 2L= 9 G H61= 8= 1= 3= &L e a correspon(ncia entre A e 9(a(a por G ,;= com , – A e E 9= /aça um (ia"rama e (i"a se / é uma /unço (eA em 9.

-. Da(os A G H8= 1= 2= 3L= 9 G H6 1= 8= 1L e a correspon(ncia entre A e 9 (a(a por G , „ 2= com , E A e E 9= /aça um (ia"rama e (i"a se / é uma /unço (e A em 9

0. Da(os A G H61=8= 1= 2= 3L= 9 G j6= 1= 2= &= += 0Le uma correspon(ncia entre A e 9 e,pressa por G 2_= com , E A e E 9= essa

correspon(ncia é uma /unço (e A em 9Capítulo 2 Funções3*

J#ser5e a ta#ela a#ai,o;A 8 i & @ 1+ 2*9 8 i 2 3 & *? 6aça um (ia"rama e (i"a se / é uma /unço (e A em 9 †† im= escre5a 'ual é a

/rmula matem)tica (essa /unço e no= justi!'ue.8 Domínio= contra(omínio e conjunto ima"em; .i urna /unço / (e A em 9= o conjunto A c:ama6se ;la /unço e o conjunto 9=

contra(omínio (a /unço. ; 3 ?(a k E A= o elemento E 9 c:ama6se ima"em (e , ?o / ou o 5alor assumi(o pela /unço / para , E A o representamos por /$,% $l6se; / (e ,%.Assim= G /$,%.

&+



=unto (e to(os os assim o#ti(os é c:ama(o con6 lunto ima"em (a /5nço / e éin(ica(o por lm$/%.4#ser5e;=% Da(os os conjuntos A G H8= 1= 2= 3L e$8= 1 2. 3 &= *= L= 5amos consi(erar a /unço I A69 'ue trans/orma , E A em 2, E 9

Em to(a /unço / (e A em 9. Im$/% C 9ias 'ue /; A „‘ 9 é (e!ni(a por /$,% 6 2, ou por 2 † A n(icaço , „ˆ 2, si"ni!ca

'ue , é trans/orma(o pela /unço / em 2,.3 'ue para caracteri<ar uma /unço é necess)rio co6 ;er seus trs componentes; o(omínio $A%= o con6 ; ; mimo $9% e uma re"ra 'ue associa ca(a elemento A;_ Onicoelemento G /$,% (e 9. Nesse e,em6 o (omínio é A G H8= 1=2= 3L= o contra(omínio é† 6 $8. 1 2= 3= &= *= L= a re"ra é (a(a por G 2,o .onjunto ima"em é (a(o por lm/% G H8= 2= &= +L.2ƒ àmos consi(erar a /unço /; N „ IN (e!ni(a por /$,% G , V 1. Nesse caso a /unço/ trans/orma to(o nOmero natural , em outro nOmero natural 'ue é o sucessor (e ,.

a ima"em (e , G 8 é /$8% G 8V1 G 1 a ima"em (e, G lé/$l% G 1 V 1 G 2 a ima"em (e , G 2 é /$2% G 2V1G3 e assim por (iante.ortanto= o (omínio é IN $D G IN= o contra(omínio é IN $CD G IN%= a re"ra é G , V 1e o conjunto ima"em é INP G IN 6 H8L= isto é= lm$/% G INPE,ercícios propostosí 8. Consi(ere a /unço A „ 9 (a(a pelo (ia"rama e (eter mine;

a% D$/%.#% lm$/%.c% /&%.(% = 'uan(o , G *.e% ,= 'uan(o G 3./% ,= 'uan(o /$,% G 1."% /$,%= 'uan(o , G +

:% = 'uan(o , G 3.i% ,= 'uan(o G -.Š 1 Š Š

&-



d ` s ~~ =

jrIN

11. Consi(ere A 62ˆ 9 a /unço para a 'ual A G H1= 3= &L= 9 G $3= @= 1 2L e "$,% é otriplo (e , para to(o , E A.a% Construa o (ia"rama (e êc:as (a /unço?#% (etermine D$"%= CD$"% e lm$"%?c% (etermine "$3%?(% (etermine , para o 'ual "$,% G12.B Funções (e!ni(as por /rmulas matem)ticasKran(e parte (as /unções 'ue estu(amos é (etermina(a por /rmulas matem)ticas$re"ras ou leis%.No início (o capítulo= 5imos uma correspon(ncia entre o nOmero (e litros (e "asolinae o preço a pa"ar e,pressa porpreço a pa"ar G 2=38 5e<es o nOmero (e litros compra(os

em 'ue o preço (e 1 – é 2=38. Essa /unço po(e ser e,pressa pela /rmulamatem)tica; G 2=38, ou /$,% G 2=38,èja outras /unções e,pressas por /rmulas matem)ticos; /; I „k I 'ue a ca(a nOmero real , associa o seu (o#ro „k „k /$,% 6 2, ou G2,? /; I „ I 'ue a ca(a nOmero real , associa o seu cu#o „ „ˆ/$,% G ,3 ou G ,3?3+Uni(a(e 1 Ml"e#ra $II$; I „k I 'ue a ca(a nOmero real , associa o seu triplo soma(o com 1 „X /$,% G3, V 1 ou G 3, V 1? / I1 „k I 'ue a ca(a nOmero real (i/erente (e 8 associa

o seu in5erso †í$,% G „ ou G „ ou , ,6

or 'ue esto Oltima /unço no po(e ser (e I em IA"ora 5ejamos estes e,emplos;1% Numa in(Ostria= o custo operacional (e uma merca(oria é composto (e um custo!,o (e 388=88 mais um custo 5ari)5el (e 8=*8 por uni(a(e /a#rica(a. ortanto=o custo operacional= 'ue representaremos por = é (a(o em /unço (o nOmero (euni(a(es /a#rica(as= 'ue representaremos por ,. àmos e,pressar= por meio (e uma/rmula matem)tica= a lei (essa /unço= custo operacional G custo !,o V custo5ari)5el Gk Gk G 388=88 V 8=*8,Ento= a /rmula matem)tica é /$, G 388=88 V 8=*8, ou G 388=88 V 8=*8,.2 Num 'ua(ra(o= a /rmula p G &C permite calcular a me(i(a p (o perímetro em/unço (a me(i(a C (o la(o= e a /rmula ( G $J2 permite calcular a me(i(a ( (a(ia"onal em /unço (a me(i(a t (o la(o. àmos e,pressar uma /rmula matem)tica'ue permitacalcular a me(i(a ( (a (ia"onal em /unço (a me(i(ap (o perímetro.

&0



p G 7Gk ( G ej2G ~–~

& ( GJ2ortanto= a /rmula matem)tica é ( GJ23;eja a /unço I „ˆ I (a(a por G ,2 6 *, V -. àmos (eterminar;a% a ima"em (o nOmero &?#% o nOmero real , tal 'ue G 1.a% G /$&% G & 6 *$&% V -G3

#% G /$,% 1 G ,2

6 *, V - Gˆ ,2 6 *, V + G 8 G Gk , G 2 ou , G 3 ortanto= G 1 Gk , G 2$, 6 2%, 6 3% G 8 ;G 3.&ƒ% eja /. I „k I uma /unço tal 'ue;/,% GV 12.#, V c $# e I= c e I%? /$l%àmos (eterminar /$2%;

/$ 1% G 2 Gk l2 V # V c G 2 Gk # V c G 1 /$611 G 12 Gk 6# V c G 11$612 V #$6l% V c G 12

kCV c G 1 c G 1 12c G 12Gkc G +Gˆ#G„* /,% G ,2 6 *, V Gk /$2% G 226 *6 2 V + G 8

**% /; I „P I é uma /unço cuja lei en5ol5e mais (e uma sen6 3, V 1 para , • 2 , 2

para , k 2tença; /$,%a% /$*%?#% /$8%?c%/$63%?(=6$A%?

àmos (eterminar; /% /$2%.a% /$*% G *2 G 2*#% /$8% G 3$8% V1 G 1c% /$„3% G 3$63% V 1 G 60/% /$2% G 3$2% V1G-E,ercícios propostosAEN’4[NA4 ECEÀ N4 I`4.12. E,presse por meio (e uma /rmula matem)tica a /unço/; I „‘ I 'ue a ca(a nOmero real , associa;a% o seu 'ua(ra(o?#% a sua terça parte?

c% o seu (o#ro (iminuí(o (e 3?(% o seu 'ua(ra(o (iminuí(o (e &?e% a sua meta(e soma(a com 3?/% o seu cu#o soma(o com o seu 'ua(ra(o.

&@



13. Escre5a a /rmula matem)tica 'ue e,presse a lei (e ca(a uma (as /unçõesa#ai,o;a% Uma !rma 'ue conserta tele5isores co#ra uma ta,a !,a (e &8=88 (e 5isita mais

28=88 por :ora (e mo (e o#ra. Ento o preço 'ue se (e5e pa"ar peloconserto (e um tele5isor é (a(o em /unço (o nOmero , (e :oras (e tra#al:o$mo (e o#ra%.

#% Um /a#ricante pro(u< o#jetos a um custo (e 12=88 a uni(a(e= 5en(en(o6os por 28=88 a uni(a(e ortanto= o lucro (o /a#ricante é (a(o em /unço (o nOmero, (e uni(a(es pro(u<i(as e 5en(i(as

c% A 4r"ani<aço 7un(ial (a aO(e recomen(a 'ue ca(a ci(a(e ten:a no mínimo 1&nr (e )rea 5er(e por :a#itante. A )rea 5er(e mínima 'ue (e5e ter uma ci(a(e é(a(a em /unço (o nOmero , (e :a#itantes.

(% Um triTn"ulo tem #ase !,a (e + cm e altura 5ari)5el (e , cm. A )rea = em cm2= é(a(a em /unço (e ,. “r

Capítulo 2 Funções 2@ Jm retTn"ulo tem comprimento c= lar"ura í e perímetro28 Determine;ai a /rmula 'ue () o 5alor (e c em /unço (e $.

#% t em /unço (e c. J

F

A 6 mutaC G 2itr nos permite calcular o comprimento C ie uma circun/erncia em/unço (a me(i(a r (o raio. ;; †;? resse uma /rmula matem)tica 'ue permitacalcular ame(i(a r em /unço (e C.

A tormula G / nos permite calcular a )rea (e uma† " jo 'ua(ra(a em /unço (a me(i(a — (e seu la(o.†n(o p o perímetro (esse 'ua(ra(o= e,presse uma /rmula matem)tica 'ue permitacalcular a )rea em /unço (e pE

F

eia a /unço /; D „‰ I (a(a por /$,% G 2, V 1= (e (omínio D G „2= 61=8= 2L.Determine o conjunto ima"em (e / oA /unço /. IP „ I é (a(a por /$,% G J. Calcule;a%o 5alor (e /ˆd%?#%o nOmero real ,= para 'ue /$,% G +.e D G Hi 2. 3. &= *L é o (omínio (a /unço /; D „ I o 6i(a por /$,% G $, „ 2%$, 6 &%='uantos elementos tem o conjunto ima"em (a /unçoeja /; IP „ I a /unço (a(a por /$,% G , P 1 .Bual é o 5alor (e /$3% VH &_ * + F 2,=se,éín, V *= se , é par ímpar calcule;a%w*; (% /$31%?# /&% e% , tal 'ue /$,% G 1&.

*8



c 4%?22. eja /; I „‘ I a /unço (e!ni(a por/$,% G † “ S S . Determine o 5alor (e . 3,= se , EB/$`2_% V /$6J6% V /$-23. A /unço /; I „ˆ I é (a(a por /$,% G a, V #= em 'ue a – IP e # – I. en(o men

(ois nOmeros reais/$m% „ /n% m „ n(istintos= calcule o 5alor (a e,presso2&. As /unções / e " so (a(as por /$,% G 3, V 2m e "$,% G „2, V 1. Calcule o 5alor

(e m sa#en(o 'ue/$8%6"l% G 3.2*. e /$,% G ,2 V #, V c é tal 'ue /6 11 G 1 e /$l% G 6 1. calcule o 5alor (e #c.2+. eja /; I „ I uma /unço tal 'ue;I% /,% G ,2 V m, V n?II% /$l% G 61 e/$6l% G -. Nessas con(ições= (etermine /$3%.2-. Um motorista= sain(o (e um terminal A. 5iaja por uma estra(a e 5eri!ca 'ue a

(istTncia percorri(a= a pailir (o ponto inicial= po(e ser calcula(a por ($,% G *8, V+= sen (o ( em 'uil>metros e , em :oras. Faça uma ta#ela listan(o as (istTncias

percorri(as aps ca(a inter5alo (e uma :ora (es(e , G 1 até , G *.20. Um /a#ricante 5en(e um pro(uto por 8=08 a uni(o (e. 4 custo total (opro(uto consiste numa la,a !,a (e &8=88 mais o custo (e pro(uço (e 8=38por uni(a(e.

a% Bual é o nOmero (e uni(a(es 'ue o /a#iicanle (e5e 5en(er para no ter lucronem prejuí<o#% e 5en(er 288 uni(a(es (esse pro(uto= o comer ciante ter) lucro ou prejui<o4#ser5aço; E,istem /unções matem)ticas 'ue no so (e!ni(as por /rmulas. èjaos e,emplos;1@% /; „‰ I= em 'ue 2 é o conjunto (as re"iões poli"onais (o plano e= para ca(a

E/= /$% G )rea (e F

2ƒ% Consi(eremos ˜ o conjunto (os se"mentos (e reta (e um plano a e ™ o conjunto(as retas (esse mesmo plano. A re"ra 'ue associa a ca(a se"mento (e reta A9 K–k sua me(iatri< "$A9% (e!ne uma /unço "; „ í%i

Estu(o (o (omínio (e uma /unço realìmos 'ue uma /unço consta (e trs componentes (omínio= contra(omínio e lei

(e correspon(ncia. Buan(o é cita(a uma /unço / (e A em 9= j) !cam su#enten(i(oso (omínio $A% e o contra(omínio $9%.

As 5e<es= porém= é (a(a apenas a lei (a /unço /= sem 'ue A e 9 sejam cita(os.Nesses casos consi(eramos o con6Uni(ae 1 Ml"e#ra l%

3* /$,% G JSNesse caso= ele5emos ler;-6,sG8Gk,Gs-,62k8Gk,k24u seja= , – $2= -= ara ca(a , E $2= -= /$,% e,iste e ‡ Onico= pois é a (i5iso (e umnOmero real positi5o ou nulo por outro positi5o. o"o= D$/% G 2= -=E,ercício proposto2@. E,plicite o (omínio (as /unções (e!ni(as pora% /$,% G#% /$,% G

c% G 6, „ +,, 6 @ ,V 1

*1



e% /$,% G,6 1tra(omínio 9 G I e o (omínio A como o _maior_ su#conjunto (e I $A C I% tal 'ue alei (a(a (e!na uma /unço /; A „ I.èja nos e,emplos a se"uir a e,plicitaço (o (omínio em al"umas /unções./$,% G„ s é possí5el em I se , S 8 $no e,iste (i5iso por 8%.,ara ca(a , 8= o 5alor „ sempre e,iste e é Onico $o in5erso (e ,%.o"o= D$/% G I 6 H8L G IP.2*% /$,% G -3S-

J3 „ , s é possí5el em I se 3 „ , š 8 $em I no :) rai< 'ua(ra(a (e nOmerone"ati5o%. 36,s4Gk6,P63Gk,Gs3 ara ca(a , Gs 3= /$,% e,iste e é Onico= pois é a rai<'ua(ra(a (e um nOmero real maior ou i"ual a <ero. ortanto= D$/% G H, E I I , Gs 3L.8 Kr)!co (e uma /unço

Em li5ros= re5istas e jornais /re'uentemente encontramos "r)!cos e ta#elas 'ueprocuram retratar uma (etermina(a situaço. Esses "r)!cos e ta#elas= em "eral=

representam /unções= e por meio (eles po(emos o#ter in/ormações so#re a situaço'ue retratam= #em como so#re as /unções 'ue representam amos analisar al"uns;1*% 4 "r)!co (e uma /unço au,ilia na an)lise (a 5ariaço (e (uas "ran(e<as 'uan(ouma (epen(e (a outra. E,amine o "r)!co a#ai,o 'ue mostra a e5oluço (o nOmero(e can(i(atos no 5esti#ular (a Fu5est (e 1@@* a 2883= 5arian(o com o tempo/% /$,% G JS"% G ,(% /$,% GV &, 6 *:% /$,% G, 6 3

108888 1+8888 1&8888 128888tdi8[ 188888cca+3 831 088884E <

+8888 &8888 28888E5oluço (o nOmero (e can(i(atos no 5esti#ular (a Fu5est $1@@* a 2883%=1+11&-

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2888288128822883 Anos† otal (e can(i(atos6 otal (e can(i(atos oriun(os pre(ominantemente (o ensino pO#lico

otal (e can(i(atos oriun(os pre(ominantemente (o ensino particularCapítulo 2 Funções3@eio an)lise (o "r)!co 5emos 'ue; @@* a 1@@- (iminuiu o nOmero (e can(i(atos oriun(os (o ensino pO#lico. De1@@- a 1@@0 esse nOmero aumento De 1@@0 a 1@@@ :ou5e uma pe'uena 'ue(a. E (e1@@@ a 2883 :ou5e um aumento. anto aos can(i(atos oriun(os (o ensino particular :ou5e 'ue(a (e 1@@* para1@@+ e (e 2888 para 2882. ou5e jm aumento (e 1@@+ a 2888 e (e 2882 a 2883. 6 paran(o os 5esti#ulares (e 2882 e 2883= a porcenta"em (os can(i(atosoriun(os Como /oam calcu (o ensino pO#lico su#iu (e 3-v para 3@v=apro,ima(amente. lac(as. essos porcen6. ontos (e consumo (e )"ua em uma resi(ncia $em porcenta"em% ta"ens3*1 38 G

Žs 2*8 641 28 481 1*`%I 18c4u

$D C4. 38ontos (e consumo (e )"ua em uma resi(ncia $em porcenta"em%

*3



28•.

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ontos (e consumo9acia C:u5eiro ia (e 7)'uina (e a5atrio an'ue 7)'uina (e ontos (e sanit)ria

co<in:a la5ar roupas la5ar louças consumoAnc; san(o o "r)!co= 5emos 'ue;

%5atrio e o tan'ue consomem a mesma 'uanti(a(e (e )"ua. ; #acia sanit)ria consome apro,ima(amente * 5e<es mais )"ua (o 'ue o tan'ue. 6 #acia sanit)ria e o c:u5eiro so os 'ue mais consomem )"ua. ; ;; †%. a m)'uina (e la5ar louças é o aparel:o 'ue menos consome )"ua.A )"ua é um #em precioso e raro. rocure economi<)6la.E,ercício propostoAnc; se o "r)!co a se"uir e respon(a;9alança comercial #rasileira $1@@8 a 26 semana (e setem#rod288&%08888-8888 +8888

*8888 &8888–Xdk 388882888818888618888628888

6 „6 6 d ˆ-3

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Importações E,portações 6ˆ al(o1@@8 1@@1 1@@2 1@@3 1@@& 1@@* 1@@+ 1@@- 1@@0 1@@@ 2888 2881 2882 2883 288&Ano

$2P semana (e setem#ro% Fonte ./o<en(a."o5.#r. Acesso em 1* sei. 288&; Em 'ue ano as importações atin"iram 5alor m),imo E mínimo Em 'ue anos as

e,portações /oram superiores a *8 #il:ões (e (lares amparan(o o sal(o (e 2883com o (e setem#ro (e 288& :ou5e aumento ou 'ue(a De 'uanto por cento

Uni(ae 1 Ml"e#ra l%

9 Coor(ena(as cartesianasA notaço $a= #% é usa(a para in(icar o par or(ena(o (e nOmeros reais a e #. no'ual o nOmero a é a primeira coor(ena(a e o nOmero # é a se"un(a coor(ena(a.4#ser5e 'ue os pares or(ena(os $3= &% e $&= 3 so (i/erentes= pois a primeiracoor(ena(a (e $3= &% é 3= en'uanto a primeira coor(ena(a (e $&= 3% é &.istema (e ei,os orto"onais

Um sistema (e ei,os orto"onais é constituí(o por (ois ei,os perpen(iculares= 4, e4= 'ue tm a mesma ori"em 4

Usamos esse sistema para locali<ar pontos no plano. Da(o um ponto (esseplano= (i<emos 'ue os nOmeros a e # so as coor(ena(as cartesianas (o ponto = em'ue a é a a#scissa e # é a or(ena(a.

4#ser5e 'ue a ca(a par or(ena(o (e nOmeros reais correspon(e um ponto (oplano cartesiano e= reciprocamente= a ca(a ponto (o plano correspon(e um poror(ena(o (e nOmeros reais. Essa correspon(ncia #iuní5oca entre pares (e nOmerosreais e pontos (o plano permite escre5er conceitos e proprie(a(es "eométricas emuma lin"ua"em al"é#rica e= reciprocamente= interpretar "eometricamente relaçõesentre nOmeros reais$ei,o5erticalou ei,o(asor(ena(as%

**

http://www.fozenda.gov.br/

http://www.fozenda.gov.br/



8$ori"em%

$ei,o :ori<ontal ou ei,o (asa#scissas%

Damos o nome (e plano cartesiano a um plano muni(o (e um sistema (e ei,osorto"onais.

4s ei,os orto"onais (i5i(em o plano cartesiano em 'uatro re"iões c:ama(as'ua(rantes= na or(em coloca(a a#ai,o;

# t $a. #%

2*

'ua(rante

? 1 'ua(rante

_G1

8 a3

'ua(rante

& 'ua(rante

or e,emplo= 5amos locali<ar num plano cartesiano os pontos A$&= 1%= 9$l= &%= C$62=63%= D$2= 62%= E$6l= 8%= F$8= 3% e 8$8= 8%& 36/F 2 16& 63 6261 86166266C666ˆ9onto A$&= 1 % „ ponto A (e coor(ena(as cartesianas a a#scissa é & a or(ena(o é 1& e 11 e &

onto 9$ 1= &% „k ponto 9 (e coor(ena(as cartesianas a a#scissa é 1 a or(ena(a é&E,ercícios propostos31. D as coor(ena(as cartesianas (e ca(a ponto (o plano cartesiano a#ai,o.&

3 2 V 16t66616 1663 62 616666666666666:3 &616 62s ;lt32. Assinale= num plano cartesiano= os se"uintes pontos

a% A$61= 3%? c% 9$8= 62%? e% c$6l &%?#% D$&= 8%? (% E$3= 61 %? /% 62%.

33. Escre5a as coor(ena(as cartesianas (e (ois pontos 'ue

esto; S 5„SSma% so#re o ei,o (as a#scissas?#% so#re o ei,o (as or(ena(as. NAo ECEÀ N8 =à

*+



3&. Um ponto tem coor(ena(as $2, „ = -% e pertence ao ei,o (as or(ena(as.Determine ,

3*. 4s pares or(ena(os $2,= % e $3 6 @= 0 6 ,% so i"uais Determine , e &1`tar'ue os pontos 62= 2%= b$2= 2%= $62= 62 e Ž J= 62% num sistema cartesianoorto"onal. Una esses e (etermine a )rea (a re"io limita(a pelo polí"ono bŽ.Coor(ena(as "eo"r)!casp† † esta locali<a(o a uma latitu(e (e 28ƒ e a ia ._i"itu(e (e &8ƒ In(icamosesse ponto assim; . &8ƒ ou 628ƒ= V&8ƒ%. Estime a latitu(e e a ' † le (e ca(aum (os pontos a#ai,o e in(i'ue6as 1 smo proce(imento 'ue !<emos com o ponto .4#ser5aço 7anti5emos a'ui o 'ue se /a< em Carto6 . n! ; pnmeiro escre5emos alatitu(e= (epois a lon"itu6 ; í~n 7atem)tica é o in5erso; a primeira coor(ena(o ‘ t) †ipre na :ori<ontal e a se"un(a na 5ertical.olo Norte

a% E#% Folo ulcl K (% e% I"% w DistTncia entre (ois pontos? (ois pontos =$,== =% e 2$,2= 2%= 'ueremos o#ter i e,presso (a (istTncia ($== 2%em termos (as (cS (e ; e 2 ara isso= é preciso intro(u<ir umno5o ponto B$2= =L..=

in"ul i B é retTn"ulo em B e o se"mento (e a sua :ipotenusa. eus catetosme(em $,2 6 ,=% toma(os em 5alores a#solutos. Usan(o a relaço

(e it)"oras temos;3$ . G $, 6 ,=%3 V $2 6 =%2= ou seja=($ = G `$,26,=% V$;

2 11x •ssõX "eral o#ii(a no (epen(e (a locali<a6SSS çc (os pontos e 2.

èjamos al"uns e,emplos;1@% àmos calcular a (istTncia entre os pontos A$ 1 „&% e 9$63= 2%.

*-



" (A= 9% G J,- 6 %2 V 2 6 % GG J63 „ 1 %2 V $2 6 $6&%% G JH6&%2 V $+%2 G G J l V 3 G J*2

o"o= ($A= 9% G J*2 „-=2 uni(a(es (e comprimento2"% àmos (emonstrar 'ue o triTn"ulo com 5értices $6&= 3%= b$&= 63 e $3= &% éisosceles.

($= b% G J& 6 6&%2 V $ „ 3 „ 3%2 GG -+& V 3+ G J›› G 18($b= % G J$3 6&%2V $&6163% G J1 V&@ GG J*›

($= % G J$3 6$6&%% V $&6 3%2 G -&@V 1 G G -*8Como ($b= % G ($= %= o triTn"ulo b é issceles.

E,ercícios propostos30. Determine a (istTncia entre os pontos A e 9 nos se"uintes casos;

a% A3= „&% e 9$61= 2%#% A$3= „3% e 9$ „ 3. 3%

3@. Demonstre 'ue a (istTncia (e um ponto $,= % ori"em 8$8= 8% é i"ual a J, V .

&8. Calcule o perímetro (o triTn"ulo cujos 5értices so A$2= 3%= 9$8= 8% e C$3= 2%.

E'uaço (e uma circu n/ernc iaA circun/erncia o conjunto (e to(os os ponlos (e um plano e'ui(istantes (e umponto !,o 'ue é o centro (ela A (istTncia constante (e 'ual'uer ponto (acircun/erncia ao seu centro é (enomina(a raio (a circun/erncia $na !"ura 4A G 49G 4D G r%.Ms 5e<es nos re/erimos ao raio como o se"mento (e rela e s 5e<es suo me(i(a.

Uni(ae 1 Ml"e#ra l%Assim se o centro (e uma circun/erncia C é o ponto 8$a= #% e o raio é o nOmero

real positi5o r= ento um ponto $,= % pertence a C se= e somente se= ($8= % G r.

AEN’4[N’4 ECEÀ N4 I`4.&2. Determine uma e'uaço (a circun/erncia 'ue tem;a% centro em 8$1= &% e raio 2?#% centro em 8$62= „*% e raio 3?ela /rmula (a (istTncia entre (ois pontos= temos;($= 4% G `$, 6 ap V 6 #p = ou seja= r G „ ap V $ „ #p = ou ain(a=

$, 6 ap V $ 6 #p G r2 „ˆ e'uaço (a circun/erncia (e centro 8a= #% e raio r.

No caso particular em 'ue o centro (a circun/erncia esti5er na ori"em= ou seja= $a=#% G $8= 8%= a e'uaço (a circun/erncia passa a ser , 2 V 2 G r2 . èjamos al"unse,emplos;1"% àmos (eterminar a e'uaço (a circun/erncia com centro 8$63= l%eraio3.

*0



Neste caso= a G 63= # G lerG3. Usan(o a e'uaço (a circun/erncia= temos;$, 6 ap V $ 6 #p G r2 Gk , V 3%2 V $ 6 1 G 32 GkGk ,2 V 2 V , 6 2 V 1 G8o"o= a e'uaço é $, V 3%2 V $ „ 1 p G @ ou,2 V 2 V +, 6 2 V 1 G8.2@% àmos escre5er a e'uaço (a circun/erncia (e centro $8= 8% e raio *.,2 V 2 G r

2 Gk ,2 V 2 G *2 Gk ,2 V 2 G 2* o"o= a e'uaço é ,2 V 2 G 2*.E,ercícios propostosD as coor(ena(as (o centro e o raio (as circun/erncias representa(as pelase'uações;a% $, 6 *p V $ 6 3 G 1 ~~~~~~~~~~~~~ #% $, V 2p V $ V 1 p G @c%, V 2 G l(% ,2 V $ 6 2%2 G 2*c% centro em 8$8= 8% e raio +;(% centro em 8$8= 1% e raio 2Desa!o em (upla~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ èri!'ue se a e'uaço ,2 V 2 6 &, V 0 V 1@ G 8 representa uma circun/erncia. Em

caso a!rmati5o= (etermine as coor(ena(os (o centro e o raio (ela.4#ser5aço; etornaremos e apro/un(aremos esse assuntono capitulo 32 $Keometria analítica; circun/erncia.Construço (e "r)!cos (e /unçõesara construir o "r)!co (e uma /unço (a(a por G /$,=com , E D$/%= no plano cartesiano= (e5emos; construir uma ta#ela com 5alores (e , escol:i(os con5enientemente no (omínio De com 5alores correspon(entes para G /$,%? a ca(a par or(ena(o $,= % (a ta#ela associar um ponto (o plano cartesiano? marcar um nOmero su!ciente (e pontos= até 'ue seja possí5el es#oçar o "r)!co (a/unço.

E,emplos;1@% àmos construir o "r)!co (a /unço (a(a por/$,% G 2, V 1= sen(o o (omínio D G H8= 1=2= 3= &%. G /$,% G

2, V 18 1

1 3

2 *

3 -

& @

3 21 “/ A66Ê66ˆC†ˆ 912 3 &Nesse caso= o "r)!co (a /unço é o conjunto (os pontos A 9= C= D e E2@% àmos construir o "r)!co (a /unço /; I „ I (a(a por /$,% G 2, V 1

Como= neste caso= D G I. 5amos escol:er al"uns 5alores ar#itr)rios (e ,; G /$,% G2, V 1

62 63

*@



61 61

8 11 3

2 *

Capítulo 2 Funções&3

; 3. o "r)!co é o conjunto (e to(os os pontos $,= %= † , ren1

e G 2, V 1= resultan(ona reta (a !"uraa#ai,o./$,% 6 2, V 1

1

G /$,% G 62 $,=%

6& 162= „&%

62=2* $61=*? 62=2*%

61 $61=611

8 $8= 8%61 $í=6D

1.* 62=2* $1=*? 62=2*%

6& 12= 6&%

/$% G „ ) na p)"ina *- 'ue 'uan(o temos . ; ut polinmio (o 1@ "rau (a /orma a, V #= . esempre uma reta. Como (ois pontos (e6 ar jma reta= #asta marcar apenas (ois pon6tos para traç)6la. . eternos isso no pr,imo capítulo.; os "r)!cos (os e,emplos I e 2 so (i/e6 es [ a lei (as (uas /unções é /,% G 2, V

1 i 6 ™ onstruir o "r)!co (a /unço I „PI (a(a por[.. G 62

+8



A cur5a 'ue contém to(os os pontos o#ti(os com G „,2 é o "r)!co (a /unço (a(a.Essa cur5a se c:ama par)#ola.Como sa#er 'ue é uma cur5a e no um se"mento (e reta 'ue li"a esses pontos4s matem)ticos j) pro5aram 'ue= 'uan(o temos i"ual a um polinmio (o 26 "rau (a/orma a,2 V #, V V c= com a P 8= o "r)!co é uma cur5a c:ama(o par)#ola.èremos isso mais a(iante= no capítulo & so#re /ur5 ço 'ua(r)tica

7onumento na ci(a(e (e aint ouis= Esta(as Uni(osE,ercício proposto13. Construa o "r)!co (e ca(a uma (as se"uintes /unções G /$,%= /; I „ I;

a% /$,% G , „ 2 e% /$,% G ,2

#% /$,% G , /% /$,% G 2Pc% G 2, "% /$,% G „= , œ 8(% G „ 2,

Determinaço (o (omínio e (a ima"em (e uma /unço= con:ecen(o o seu "r)!co4#ser5an(o o "r)!co (e uma /unço no plano cartesiano po(emos= s 5e<es=

(eterminar o (omínio D e o conjunto ima"em lm (a /unço= projetan(o o "r)!co nosei,os.

*Ima"emSj6ˆ. 1

ŠŠ "r)!co(e ttŠ

8 2 í= 1 (omínio

D$/ G H, K I I 2 Gs , • &L G 2= & lm$/% G H, I I 1 •, • *L G 1= *&&

Uni(a(e 1 Ml"e#ra $II$6666666666666X

2

1 Š11 1

"r)!co (e"

1i 8=3

61 8 1

D$"% G H, e I I 61 X,X 1L G161= 1 lm$"% G H, e I I 8=3 s , X 2L G 8=3? 2%E,ercício proposto4s se"uintes "r)!cos representam /unções? (etermine o (omínio D e o conjuntoima"em lm (e ca(a uma (elas; a%

+1



AEN’4[NA4 ECEÀ N4 I`4.

#%

1 2 3c%1

& j 6 2

i i~~ 1 12

S ,1 .

62 61 8 1

Determinan(o se um conjunto (e pontos é "r)!co (e uma /unço J) 5imos 'ue= para ter uma /unço (e A em 9= a ca(a , K A (e5e correspon(er um

Onico K 9. Keometricamente= isso si"ni!ca 'ue 'ual'uer reta perpen(icular ao ei,o, 'ue in6 tersecta o "r)!co (e5e /a<6lo num Onico ponto. Assim= se essa retaintersectar o "r)!co em mais (e um ponto= esse "r)!co no é "r)!co (e uma /unço.or e,emplo;š

4 "r)!co acima é (e uma /unço= pois 'ual'uer reta perpen(icular ao ei,o 4,intersecta6o em um Onico ponto

Este "r)!co no é (e uma /unço= pois e,istem retas perpen(iculares ao ei,o 4,intersectan(o6o em mais (e um ponto.E,ercício propostoDetermine se ca(a um (os "r)!cos a#ai,o representa uma /unço;

+2



(% Capitulo 2 6un?? o e sAnalisan(o "r)!cos; /unço crescente= (ecrescente= par ou ímpar. ir6 s analisar os "r)!cos 'ue j) construímos.

/$,% G 2, V 1

6e o "r)!co (a /unço (e I em I (a(a por $ˆ†% 2, V 1 é uma reta.'ue essa /unço é crescente= pois= 'uanto maior o 5alor (a(o a ,. maior ser) o

5alor correspon(ente /$,% G 2, V 1.;#6r5e o "r)!co (a /unço (e I em I (a(a por tj,% G 6, é uma par)#ola.

/$,% 6 62

èia 'ue; para P– 8. essa /unço é crescente. ?ra † ˆ 8= essa /unço é (ecrescente. para 8= /$,% G 8? para , 8= temos /$,% X 8. or isso= %* 'ue , S 8 é um ponto (e m),imo (a /unço.

i n6 iicoem relaço ao ei,o . or isso= (i<emos ; ; e jma /unço par= pois /$,% G /$6,%= para 'ual'uer , ; (X; nlnio D= 'ue é simétrico em relaço ori"em= isto é , e DGk 6, e D.

+3



S` I † i li ço impar= 'uan(o /$6,% G 6/$,%= para to(o , i; iominio (e /. eu "r)!co ésimétrico em relaço

ori"em 4Conclusões De mo(o "eral= analisan(o o "r)!co (e uma po(emos o#ser5arproprie(a(es importantes (ela=tais como;l@% 4n(e ela é positi5a $/$,% k 8%= on(e ela é ne"ati5a $/$,% X 8% e on(e ela se anulo

$/$,% G 8%. 4s 5alores ,8 nos 'uais ela se anula $/$,o% G 8% so c:ama(os <eros (a/unço /

2@% 4n(e ela é crescente $se ,= X ,2= ento /$,=% X /$,2%L= on(e ela é (ecrescente $se ,=X ,2= ento /$,=% k /,*% e on(e ela assume um 5alor m),imo ou um 5alor mínimose e,istirem. or e,emplo= consi(ere o "r)!co (e uma /unço (e!ni(a no inter5alo$„+= %;

/é positi5a em $6*= „ 1% e em $*= += / é ne"ati5a em $6+= 6*% e em $61= *%. / é nula em , G „*= , G 61 e , G * Esses so os <eros (a /unço. /é crescente em $6+= 63 e em 2= +%. / é (ecrescente em 63= 2=

4 ponto com , G „ 3 é um ponto (e m),imo e /$,% G 2 é o 5alor m),imo (e / 4 ponto com , G 2 é um ponto (e mínimo e /$,% G „ 3 é o 5alor mínimo (e /.3@% e ela é par $"r)!co simétrico em relaço ao ei,o ouse ela é ímpar $"r)!co simétrico em relaço ori"em 4%A /unço /; I „k I= (e!ni(a por /$,% G ,2= é par

o(a /unço par tem seu "r)!co simétrico em relaço ao ei,o .èja 'ue /$,% G /$„,%= para to(o , or e,emplo= /$2% G & e /62% G &.

m),imoUni(a(e 1 Ml"e#ra $I%A /unço /; I „ I= (e!ni(a por /$,% G ,3= é ímpar;t5

+&



Š ,

d 8 1 2Š

††d. eja /; I „‰ I a /unço cujo "r)!co é o se"uinte./

o(a /unço ímpar tem seu "r)!co simétrico em relaço ori"em 4èja 'ue /$6,% G 6/$,% para 'ual'uer , (o (omínio D='ue é simétrico em relaço ori"em= isto é=, e D Gk 6, e D.or e,emplo= /$62% G 60 e /$2% G 0.E,ercícios propostosConsi(eran(o os "r)!cos a se"uir= 'ue representam /unções= respon(a para 'ue5alores reais (e , a /unço é crescente e (ecrescente.

a% Calcule /$63%.#% Calcule , para o 'ual /$,% G 1c% /$8= *% é maior= menor ou i"ual a /$l= *%(% Calcule , para o 'ual /$,% G 3.

e% Determine D$/% e lm$/%./% Em 'ue pontos o "r)!co (e / corta os ei,os"% / é /unço par ou ímpar:% ara 'ue 5alores (e ,= /é (ecrescentei% Buais so os <eros (essa /unço

+*



?0 Analise o "r)!co a#ai,o e respon(a; àlor (e compra (o (lar comercial= emreais= no primeiro (ia Otil (e ca(a ms $entre janeirod288& e marçod288*%3=*1.*

3.1**@

2.0*02

2=00*&

2.@&-0

2.0@3-

2.00@+

2=@*+1

3=8-3@

3.8&*0

2.@2@8

2=0*8*

2=-13-S

S++-&

2=+122

2.+883

u6kmFonte; site (o 9anco Central (o 9rasil.Capítulo 2 Funções&-m 'ue ms o (lar atin"iu seu 5alor m),imo E seu5alor mínimooi . e 'ue ms para 'ue ms :ou5e 5alori<aço mais #rusca (o (lar De 'uanto porcento /oi essa 5alori<aço

luanto por cento /oi a (es5alori<aço (o (lar entre no5em#ro (e 288& e março (e

288*† _jpa< (esa!a seu pai para uma corri(a (e 188 m. 4 pa permite 'ue o !l:ocomece a corri(a 38 m sua† Um "r)!co #astante simpli!ca(o (essa corri(a é(a(o a se"uir;

†lo "ia!co= como é possí5el (i<er 'uem "an:ou a(a e 'ual /oi a (i/erença (e tempo A 'ue (istTncia (o início o pai alcançou seu

!l:o ;_† 'ue momento (epois (o início (a corri(a ocorreua ultrapassa"emBJ Funço injeti5a= so#rejeti5a e #ijeti5aFunço injeti5a $ou injetora% 3 /unço I A „‰ 9 é injeti5a $ou injetora% 'uan(o ( orentes (e A so trans/orma(ospor / em elemen6 (e 9= ou seja= no :) elemento em 9 'ue seja ; n (e mais (e um

elemento (e A. Assim= / é injeti5a'uan(o;, P ? em A Gk /$,=% /$,2% em 9 ; ; ntemente usan(o a conlrapositi5a; /$, 61 G /$, 2%em 9 Gk ,= G ,2 em A

++



. mento em 9 'ue seja ima"em (e mais (e um elemento (e A %

$) um elemento em 9 'ue é ima"em (e (ois elementos (istintos em A.%E,emplos;1@% A /unço /; I „ I (a(a por /$,% G ,2 6 1 no é injeti5a. pois;

para , G 1 correspon(e /$l% G 8? para , G 61 correspon(e /$61% G 8

Nesse caso= para (ois 5alores (i/erentes (e , encontramos um mesmo 5alor para a/unço. èja isso no (ia"rama;

I I2% A /unço /; I „‘ I (a(a por /$,% G 2, é injeti5a= pois /a< correspon(er a ca(a

nOmero real , o seu (o#ro 2, e no e,istem (ois nOmeros reais (i/erentes 'ue te6n:am o mesmo (o#ro.

Funço so#rejeti5a $ou so#rejetora%Uma /unço /; A„k 9 é so#rejeti5a $ou so#rejetora% 'uan(o= para 'ual'uer

elemento KE 9= po(e6se encontrar um elemento , K A tal 'ue /$,% G . 4u seja= / éso#rejeti5a 'uan(o to(o elemento (e 9 é ima"em (e pelo menos um elemento (e A=isto é= 'uan(o lm$/% G 9

+-



lm$/% G 9 lm$/ G 9

&0Uni(a(e 1 Ml"e#ra $IIE,emplos;1@% A /unço /; I „Î (a(a por /$, G , V 2 é so#rejeli5a= pois to(o elemento (e I é

ima"em (e um elemento (e I pela /unço , G /$,% 6 2= èja; /$,% G * é ima"em (e , G 3= pois *62 G 3? /$,% G 8 é ima"em (e , G „2= pois 8 „ 2 G 62

2@% A /unço sucessor /; IN „ˆ N (e!ni(a por /$n% G n V 1 no é so#rejeti5a= pois lm$/G INP e INP P IN. Em outras pala5ras= (a(o 8 + N= no :) natural al"um 'ue sejatrans/orma(o em 8 pela /unço /= isto é= 8 no é sucessor (e nen:um nOmeronatural.

Funço #ijeti5a ou correspon(ncia #iuní5ocaUma /unço / A „‰ 9 é #ijeti5a se ela é= simultaneamente= injeti5a e so#rejeli5a.

Buan(o isso ocorre (i<emos 'ue :) uma #ijeço ou uma correspon(ncia #iuní5ocaentre A e 9

/unço #ijeti5ano é #ijeti5a $E so#rejeti5a= mas no injeti5a.%

no é #ijeti5a $E injeti5a= mas no so#rejeti5a.%no é #ijeti5a $No é injeti5a nem so#rejeti5a.%E,emplos;

+0



l@% A /unço /; I „ˆ I (a(a por /$,% G 3, é #ijeti5a= pois ela é simultaneamenteinjeti5a e so#rejeti5a? ca(a nOmero real (o contra(omínio I tem como correspon6(ente no (omínio a sua terça parte= 'ue sempre e,iste e é Onica.

2@% A /unço / I „‘ I= (a(a por /$,% G , 2 no é #ijeti5a= pois= em#ora sejaso#rejeti5a= ela no é injeti5a;3 P 63= mas /$3% G /$63% G @E,ercício proposto*8. èri!'ue se as /unções a#ai,o so so#rejeti5as= injeti5as ou #ijeti5as;a% /; A „k 9 99@NA4 ECEÀ N4 I`4.

#% /; A6

c% /; A 6

(% /; A †

e% /; I „ I tal 'ue /,% G ,2

/% /; H8= 1= 2= 3L „ IN (a(a por /,% G , V 2"% /; I. „ I= tal 'ue /$,% G ,2

NOmero car(inalDi<emos 'ue (ois conjuntos A e 9 tm o mesmo nOmero car(inal 'uan(o se po(e

(e!nir uma #ijeço ou correspon(ncia #iuní5oca /; A „ˆ 9.E,emplos;l@% ejam A G H1= 2= 3= &= *= +L e9 G H3= +=@= 12= 1*= 10%. De!nin(o /; A„9 pela re"ra /$,% G 3,= temos uma #ijeço ouuma correspon(ncia #iuní5oca= em 'ue /$l% G 3= /$2% G += /$3% G @= /&% G 12= /$*% G 1*

e /$+% G 10.Capítulo 2 Funções &1

(i<emos 'ue A e 9 tm o mesmo nOmero car(inal.„3 +„6 •@12„61*„10A /$,% G 3, 9

N ;cr?unto (os nOmeros naturais% e o conjunto (os nOmeros naturais pares;

2= &= += 0 .... 2,= ...L. A /unço /; IN „P (e!6 3a p or /$,% G 2, para to(o , – IN é#ijeti5a. _ e 6 e N e e,iste uma correspon(ncia #iuní5oca ?; N e tm o mesmonOmero car(inal= em#ora ;oconjunto (e IN e (i/erente (e IN.òc sa#ia 'ue 'uem (esco#riu essa curiosa correspon(ncia #iuní5oca= :) mais (e&88 onos= /oi o /ísico Kalileu Kali6 lei

+@



_pio é curioso= pois além (os in!nitos nOmeros oares :) os in!nitos nOmerosimpares incluí(os nos naturais e= no entanto= IN e tm o mesmo nOmero car(inal.[am A G H8 1= 2L e 9 G H8= 1= 2= 3= &L. No é pos6 aet nir uma /unço /; A „‘ 9 'ue

seja #ijeti5a. or6 io e,iste uma correspon(ncia #iuní5oca entre os itos A e 9 o"o=eles no tm o mesmo nOmero

car(inal.E,ercício proposto

. † pc is in/ormações (a(as em ca(a caso= se os ntc ; tm o mesmo nOmero car(inal;N i ;onjunto (os nOmeros naturais%= I $conjunto † eros naturais ímpares% e /; IN „‘

I (e!ni(a por / † 6 2, V 1 para 'ual'uer , e IN.iam A G H1= 3= *= -L= 9 G H1= 3= *= -= @L e /; A „ 9 (e!ni(a por /$,% G , para

'ual'uer ,A. ?earn A G $1= 2= 3L= 9 G $1= &= @L e /; A „P 9 tini(a por /$,% G ,S para'ual'uer , K A. i iam A G H1= 2= 3= &%= 9 G $8= -= 2+= +3L e/; A„‘ 9 ; rini(a por /$,% G,3 „ 1 para 'ual'uer , e A.Conjuntos !nitos e conjuntos in!nitos

;; J E NP. 5amos in(icar por l o conjunto (os nOmeros (e I até n or e,emplo= l t GH1L= l3 G H1= 2= 3L e 2 3 &= * +L Demo(o"eral= l G H1=2= 3=& nL.

Di<emos 'ue um conjunto A tem n elementos e é !nito 'uan(o é possí5el

esta#elecer uma correspon(ncia #iuní5oca /; ln „‰ A. 4 nOmero natural n c:ama6seento nOmero car(inal (o conjunto A= ou= simplesmente= nOmero (e elementos (e A.or e,emplo= se A G Ha= e= i= o= uL= é possí5el (e!nir a #ijeço ou correspon(ncia

#iuní5oca /; U „‘ A. o"o= o nOmero car(inal (e A é * ou= simplesmente= o nOmero (eelementos (e A é *.

A(mite6se o conjunto 5a<io como sen(o !nito e (i<emos 'ue 8 tem <ero elemento.Assim= por (e!niço= <ero é o nOmero car(inal (o conjunto 5a<io.

Di<emos 'ue um conjunto A é in!nito 'uan(o ele no é !nito= ou seja= A no é5a<io e para 'ual'uer n E INP no e,iste correspon(ncia #iuní5oca /; l „k A.E 5er(a(e 'ue to(o nOmero natural n é o nOmero car(inal (e al"um conjunto !nito? 1 Funço composta Intro(uço

àmos consi(erar a se"uinte situaço; Um terreno /oi (i5i(i(o em 28 lotes= to(os(e /orma 'ua (ra(a e (e mesma )rea. Nessas con(ições= 5amos mostrar 'ue a )rea(o terreno é uma /unço (a me(i(a (o la(o (e ca(a lote= representan(o umacomposiço (e /unções. ara isso= in(icaremos por; , G me(i(a (o la(o (e ca(a lote= G )rea (e ca(a lote? < G )rea (o terreno.í Mrea (e ca(a lote G $me(i(a (o la(o% 2 G ,2 Ento= a )rea (e ca(a lote é uma

/unço (a me(i(a (o la(o= ou seja; G /$,% G ,2

$2% Mrea (o terreno G 28 $)rea (e ca(a lote% Gk < G 28 Ento= a )rea (o terreno é

uma /unço (a )rea (e ca(a lote= ou seja; < G "$% G 28=3% Comparan(o $% e $2%= temos;Mrea (o terreno G 28 $me(i(a (o la(o%= ou seja= < G 28, 2= pois G ,2 e < G 28.Ento= a )rea (o terreno é uma /unço (a me(i(a (e ca(a lote= ou seja; < G :$,% G28,28,2

:I666composta (e " com I

-8



*8Uni(a(e 1 Ml"e#ra $IIA /unço := assim o#ti(a= (enomina6se /unço composta (e " com / e po(e serin(ica(a por " o /.

/ . d

G ,2

1† 28,èmos 'ue; a ca(a , e A correspon(e um Onico E 9 tal 'ue G ,2? a ca(a K 9 correspon(e um Onico < E C tal 'ue < G 28? a ca(a , E A correspon(e um Onico < E C tal 'ue < G 28 G 28,2.o"o= e,iste uma /unço : $composta (e " e /% (e A em C (e!ni(a por :$,% G 28,2.Assim= :$,% G $" o /%$,% G "/,%; l6se " (e / (e ,.G "$/$,%%= para lo(o , E D$/%De!niço (e /unço compostaDa(as as /unções /; A „ˆ 9 e "; 9 „ˆC= (enominamos /unço composta (e " e / a/unço " o /; A „‘ C= 'ue é (e!ni(a por $" o /%$,% G "$/$,%%= , e A.

i

/$% J

"$/$,%%E,emplos;1*% Da(os os conjuntos A G $1= 2= 3= &L= 9 G H2= 3= &= *L e C G H&= @= l= 2*L= 5amos

consi(erar as /unções; /; A „ˆ 9 (a(a por /$,% G ,V 1 e "; 9 C (a(a por2

"$% 6

Notamos 'ue;$"o/%$l% G "$/$l%% G "$2% G &e'ue$l V 1%2 G & $" o /%$2% G "$/$2%% G "3% G @ e 'ue $2 V1 %2 G @ $"o/%$3% G "$/$3%% G "$&G l e 'ue $3 V l% 2 G $" o /%$&% G "$/$&% G "$*% G 2* e'ue $& V 1 %2 G ;erce#emos 'ue "$/$,%% G $, V l%2= ou seja= $" o ^,% G "$/$,% G ", V l% G $,V l%2.2% ejam /$,% G ,2 6 1 e "$,% G , V 2. àmos (eterminar $/o"%$,%e$"o/%$,%.$/o"$,% G /$"$,%% G /$, V 2% G $,V2%26 1 G G ,2 V &, V & 6 1 G ,2 V &, V 3 $" o /%$,% G"$/$,%% G ",2 6 1% G $,2 6 l% V 2 G G ,2 6 1 V 2 G ,2 V 1

3*% Da(as as /unções /$,% G 2, V a e "$,% G 3, 6 1= 5amos (eterminar o 5alor (e apara 'ue se ten:a $/o"%$,% G $"o/%$,%.

$/ o "%$,% G /$"$,% G /$3, 6 1% G 2$3, 6 1% V a G G , 6 2 V a$" o /%$,% G "$/$,%% G "$2, V a% G 3$2, V a% 6 1 G G +, V 3a 6 1

-1



Como $/ o "%$,% G $" o /%$,%= temos, 6 2 V a G +, V 3a „ 1 Gk a 6 3a G 61 V 2 GkGk 62a G 1 Gk 2a G 61 a G 66JpE,ercícios propostos*2. ejam as /unções /$,% G ,2 6 2, V 1 e "$,% G 2, V 1 Calcule;a% /$"^%% #% "$/$2%% c% /$/$l%%*3. $FK 6% e / e " so /unções tal 'ue /$,% G 3, 6 1 e /$"$,%% G ,= (etermine "$,%*&. $UFC% Da(as as /unções /$,% G J* 6 , e "$,% G ,2 6 1= 'ual é o 5alor (e $" o /%$&**. $Uni/or6CE% ejam / e " /unções (e I em I. Calcule "$„2j2% sa#en(o 'ue /$,% G

, „ 2 e /$"$,%% G ,2 „ 1.*+. $7acx6% Na !"ura= temos os es#oços (os "r6 A !cos (as /unções / e ". A soma/"l%% V "$/$6l%%é i"ual a;a% „ 1. (% 2.#%8. e% 3.

c% 1.

Funço in5ersaIntro(uço

Buan(o associamos o la(o e o perímetro (e um 'ua(ra(o= po(emos pensar em(uas /unções #ijeti5as; $ uma= 'ue a ca(a 5alor (a me(i(a (o la(o associa o perímetro $ G & i%= outra= 'ue a ca(a 5alor (o perímetro associa a me(i(a (ola(o$—G J%.

J F

Capítulo 2 Funções &34#ser5e;

D$/% G H1? 2? 2=*? 3? -L lm$/% G H&? 0? 18? 12? 20LD$"% G $&? 0? 18? 12? 20L lm$"% G Hl?2? 2=*? 3? -L emos 'ue; Di G Imt"J D$" G lm$/%

-2



/ e " so #ijeti5ascasos assim= (i<emos 'ue uma /unço é a in5ersa (a † a E ostume in(icar a /unço "=in5ersa (e /= por /_;/ A „ 9 /6;9 „A/$,% G &, e /6i7 G J&De!niço (e /unço in5ersa; ii 3 uma /unço /; A „‘ 9= #ijeti5a= (enomina6se ir.66sa (e / a /unço "; 9 „k A tal'ue= se er io "$#% G a= com a E A e # E 9.mpli!can(o no (ia"rama (e ec:as; I A69 ";9 „ A3 „„

„__ 0 0 66„ 6&6 63

A 9 9 ADe mo(o "eral= se / é #ijeti5a= temos; A 9

e,iste /unço in5ersa (e uma /unço #ijeti5a.em 'ue "; 9 „‘ A é a /unço in5ersa (a /unço /; A „ 9= uma 5e< 'ue se tem;"$% G "$/$,%% G , e /$"$%% G para 'uais'uer ,E AeE 9.rocesso para (eterminar a /unço in5ersa (e uma /unço #ijeti5a (a(aNo e,emplo (a(o anteriormente= a /unço #ijeti5a /; A „‘ 9= (e!ni(a por /$,% G &,=tem como /unço in5ersa a/unço "; 9 „‘ A= (e!ni(a por "j% G = uma 5e< 'ue;&,

"l% G "$/$,%l G "$&,% G 6 P e^"ll% G /$,% G & G

para 'uais'uer , E A e E 9.èjamos um roteiro 'ue nos permite= a partir (a /rmula (a /unço #ijeti5a /=

c:e"ar /rmula (e / 6; escre5emos /$,% G &, na /orma G &,? em G &,= trocamos por , e , por = o#ten(o , G &? em , G &= (eterminamos em /unço (e ,= o#ten(o G $pois no é comum= neste ní5el= consi(erar como 5ari)5el in(epen(ente%? escre5emos G „ na /orma /_$,% G „= 'ue é a in5ersa (e r.4utro e,emplo;

/; I „k I é /unço #ijeti5a tal 'ue /$,% G „3, V *. àmos (eterminar sua in5ersa/“$,%. G „ 3, V *6, V *, 6 „ 3 V * Gk 3 G 6, V * Gˆ /_$,% G G

estan(o 5alores; or /; , G 1 „ˆ/$l% G63 V * G 262 V * 66666666666666666666666or /_; , G 2 „ˆ/_$2% G4#ser5aço; a#emos 'ue as /unções /; A „‰ 9. (e!ni(apor /$,% G 0, e "; 9 „‘ A= (e!ni(a por "$% G 6S6= por

0e,emplo= so in5ersas. 4#ser5e 'ue;$" o /,% G "$/$,%% G "$0,% G 6Sr$S,% G , para to(o , E A$/ o "%$% G ^"ll% G /$6S6% G 8 † $6S% G para to(o E 9Uni(a(e 1 Ml"e#ra l

-3



De mo(o "eral (i<emos 'ue a /unço "; 9 „ˆ A é in5ersa (a /unço /; A „ 9 'uan(ose lem;$" ƒ /%$,% G "$/$,%% G , para 'ual'uer , + A e$/ o "%$% G /$"$% G para 'ual'uer e 9E,ercícios propostos- Determine a /unço in5ersa (as se"uintes /unções #ijeti6 5as (e I em I?a% /$,% G , 6 + c% /$,% G 3, V &#% /$,% G 1 6 2, (% /$,% G 3,Determine a /unço in5ersa /“$,% (a /unço /; I 6 H2L „Î „ H1L (a(a por /$,% G , P.4#ser5e as sentenças (e Fe (e / 1 e os conjuntos I 6 H2L e I 6 H1L. ire conclusões.Kr)!co (a /unço in5ersa

àmos o#ser5ar= atra5és (e e,emplos= como !cam (ispostos os "r)!cos (e uma/unço / e (a sua /unço in5ersa / em um mesmo sistema (e ei,os.1% eja a /unço / (a(a por /$,% G , V 2 e a sua /unço in5ersa (a(a por / $,% G , „

2./ /

G/$,%8 21 32 &

G/$,%

8 621 61

2 8

26% eja a /unço #ijeti5a /; I~ „ I (a(a por /$,% G , e a sua /unço in5ersa F 1; IV

„ˆ I. (a(a por /6$,% G J,./ / G

/$,%8 81 12 &

G/$,%

8 8

-&



1 i& 2&3 2 1reta • ,r1

e $a= # pertence ao "r)!co (e /= ento $#= a% pertence ao "r)!co (e / .$o= #% e #= a so pontos simétricos em relaço reta G ,.4s e,emplos (a(os su"erem 'ue o "r)!co (e uma /unço / e o "r)!co (a sua

/unço in5ersa / 1 so simétricos em relaço reta G , 'ue representa a #issetri<(os 'ua(rantes impares. E possí5el pro5ar 'ue isso ocorre em to(os os casos (e (uas/unções in5ersas.E,ercício proposto*@. eja /; I „ I a /unço (e!ni(a por /$, G „ +, V 2.

a% Determine /_ $,%.#% Construa os "r)!cos (e / e / 1 no mesmo sistema (e ei,os.

Funço e se'uncias

Uma se'uncia é uma /unço cujo (omínio é o conjunto INP= conjunto (os naturaise,cetuan(o6se o <ero./; INP „ I

A ca(a nOmero natural (i/erente (e <ero correspon(e um Onico nOmero real ,n;1 „ˆ i? 2 „ ,2? 3 „ ,3? = n „ˆ ,? .

Uma se'uncia é in(ica(a por;$= ,2= ...= ,= ...% ou $,j

or e,emplo= a /unço (e INP em I (a(a por /$,% G 3, (etermina a se'uncia $3= =@= 12= ...% (os mOltiplos positi5os (e 3.o(emos ter tam#ém se'uncias !nitas Neste caso= a /unço é /; H1= 2= 3= .= n% 6k I ea se'uncia , ,2= ...= , tem n termos.Capítulo 2 Funções*3† lantes e,emplos (e se'uncias so as pro"res6es aritmética e "eométrica.ro"resso aritmética† e'i † ncia 1 0= 1*= 22= 2@= 3+= &3= ... é uma pro6 ; ai 5‡tica $A%. 4#ser5e 'ueca(a termo= a partir (o†† _* ‡ a soma (o termo anterior com -. Nesse caso= or ante - c:ama6se ra<o (aA. A ra<o (e uma A um nOmero positi5o= ne"ati5o ou i"ual a <ero. ore,emplo.

.1* 1@= 23= 2-= ... é uma A (e ra<o & $crescente%2 @= + 3= 8= 63= 6+= ... é uma A (e ra<o 63i (ecrescente%0. 0= 0 é uma A (e ra<o 8 $constante%#ser5e tam#ém 'ue na A;1= 0= 1*= 22= 2@= 3+= &3= ...temos0G1V- 1* G 0 V -G 1V26- ? 22G 1* V -G 1V36- ?2@ G 22 V - G 1V&6- ? etc.. † io(o "eral= em uma pro"resso aritmética como = , (e ra<o r= temos ,n V i „ ,G r para to(o K e ,~ G , V r; ,3 G ,2 V r G V 2r? , G ,t V 3r? ,& G V nr ? etc.

ro"resso "eométricaA se'uncia;2= += 10= *&= 1+2= &0+= ...

-*



† ; pro"resso "eométrica $K%. 4#ser5e 'ue ca(a ter6 a partir (o se"un(o= é opro(uto (o anterior por 3. Nes6 ; essa constante 3 c:ama6se ra<o (a K.4#ser5e 'ue;+ G 26 3? 10 G + 3 G 2 32 ?*& G 1063 G 2633 ?1+2 G *&63 G 263& ? etc. mo(o "eral em uma pro"resso "eométrica como

etomaremos e apro/un(aremos o estu(o (e se'uncias no capítulo 0.E,ercícios propostos+8. Escre5a a se'uncia (etermina(a pela /unço / (e NP em I= tal 'ue /$,% G $, 6 1%2.I+1. Bual é a lei (a /unço / (e INP em I 'ue (etermina a se'uncia $1= 3= *= -=@= ...%+2. Buais (as se'uncias a#ai,o so pro"ressões aritméticas ou pro"ressões"eométricas Nas 'ue /orem pro"ressões= in(i'ue 'ual é a ra<o.a% 18= *= 8= 6*= 618= 61*=#% 3= += 12= 2&= &0= @+= ...c% 2= *= 0= 18= 13= 1*= 10= .. N’4 ECEÀ N4 I`4.

(% 1+= 0= &= 2= 1= 61= ...+3. 4 primeiro termo (e uma A é +. A ra<o é *. Bual é o 186 termo (essa A+&. 4 primeiro termo (e uma K é &. A ra<o é 3. Bual é o +@ termo (essa K+*. In5ente uma A.++. In5ente uma K.Desa!o em (upla

race o "r)!co (a /unço (e!ni(a por /$,% G n= se n X , s n V 1= sen(o n um nOmerointeiro. Bual o (omínio e a ima"em (a /unçoCuriosi(a(e ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ resso 5aria em /unço (a pro/un(i(a(eA )"ua 'ue escorre (os 5)rios /uros (esse "arra/o ilustra uma importante /unço (a

Física; 'ue a presso (a )"ua 5aria em /unço (a pro/un(i(a(e. A maior presso nos/uros in/eriores (o "oi ra/o /a< a )"ua es"uic:ar mais lon"e= em trajetria 'uase reto;a presso mais #ai,a nos /uros (e cima pro(u< um jorro /raco.(e ra<o ' S 8= temos,. .' pa6Sa to(o n e INP e ,3 G '? ,3 G ,2 ' G '2? .;G ' G 'Š = ,nV I G ,= '_ ? ...

En r n*&Funço a!m

-+



Intro(uçoUm representante comercial rece#e= mensalmente= um sal)rio composto (e (uas

partes; uma parte !,a= no 5alor (e 1 *88=88= e uma parte 5ari)5el= 'uecorrespon(e a uma comisso (e v $8=8+% so#re o total (as 5en(as 'ue ele /a<(urante o ms. Nessas con(ições= po(emos (i<er 'ue;sal)rio mensal G 1 *88=88 V 8=8+ $total (as 5en(as (o ms%

4#ser5amos ento 'ue o sal)rio mensal (esse 5en(e(or é (a(o em /unço (o total(e 5en(as 'ue ele /a< (urante oms= ou seja;s$,% G 1 *88=88 V 8=8+,ou s$,% G 8=8+, V 1 *88=88ou G 8=8+, V 1 *88=88em 'ue , é o total (as 5en(as (o ms. Esse é um e,emplo (e /unço a!m.

De!niço (e /unço a!mUma /unço /; I „ I c:ama6se /unço a!m 'uan(o e,istem (ois nOmeros reais ae # tal 'ue /$,% G a, V #= para to(o , + I. or e,emplo;$a G 2= # G 1% $a G 61= # G &%$a G &6=# G *% /$,% G &,$a G &= # G 8%/$,% G 2, V 1 /$,% G 6, V &. /$, G 6J6, V *Casos particulares importantes (a /unço a!m /$,% G a, V #1@% Funço i(enti(a(e/; I „‘ I (e!ni(a por /$,% G , para to(o , — I. Nesse caso= a G 1 e # G 8.2*% Funço linear

/; I „ I (e!ni(a por /$,% G a, para to(o , K I. Nesse caso= # G 8. Al"uns e,emplos; /$,% G 62, $a G62%/7Gk $a G 3_% /$,% G J, $a G %

3% Funço constante/; I „k† I (e!ni(a por /$,% G # para to(o , K I. Nesse caso= a G 8. Al"unse,emplos;

/$,% G 3 /$,% G A /$,% G 62 . /$,% G J2&@% ranslaço $(a /unço i(enti(a(e%/; I „‘ I (e!ni(a por /$,% G , V # para to(o , – I e # œ 8. Nesse caso= a G 1.

Al"uns e,emplos; /$,% G , V 2 /$,% G , 6 3 1/$,% G , V

/$,% G , 6

àlor (e uma /unço a!m4 5alor (e uma /unço a!m /$,% G a, V # para , G B é (a(o por /$,o% G a," V #.

or e,emplo= na /unço a!m /,% G *, V 1= po(emos (eterminar; . /$l% G * . l V 1 G *V 1 G +. o"o= /$l% G +. /$63% G *$63% V 1 G 61* V 1 G 61&. o"o= /$63% G 61&. /6j6% G *$U6% V1 G 1V1G2. o"o= /$6i6% G 2.

/$, V :% G *$, V :% V 1 G *, V *: V 1àlor inicial

Numa /unço a!m /$,% G a, V #= o nOmero # G /$8% c:a6 ma6se 5alor inicial (a/unço /.

--



or e,emplo= o 5alor inicial (a /unço /$,% G „ 2, V 3 3= pois/$4% G6268 V 3 G 3. Determinaço (e uma /unço a!m con:ecen(o6se seus 5alores em (ois pontos

(istintosUma /unço a!m /$,% G a, V # !ca inteiramente (etermina(a 'uan(o con:ecemos

(ois (os seus 5alores /$,i% e /$,2% para 'uais'uer e ,2 reais= com i iG ,2. 4u seja=com esses (a(os (eterminamos os 5alores (e a e (e # or e,emplo; se /$2% G 62= ento para , G 2 tem6se /$,% G 62= ou seja= 62 G 2a V #? se /$l% G 1= ento para , G 1 tem6se /$,% G 1= ou seja= 1 G a V #.

Documents

Mat. EJA, unid. 1 e 2.doc