Christopher Machado

Pablo Pirotto

Eduardo Rodriguez

Matando a Pumba

Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Universidad de la República

Proyecto PMME

Física General 1 – Curso 2007

Fundamentos teóricos

• Movimiento de Proyectiles: Un proyectil lanzado con una velocidad inicial cualquiera (distinta de cero) formando un ángulo cualquiera con la horizontal describirá una trayectoria parabólica. Dicho movimiento se puede analizar como la composición de dos movimientos rectilíneos distintos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado, con la aceleración gravitatoria

Consigna

• Un jabalí embiste directamente a un cazador con una velocidad v0. En el instante en el que el jabalí se encuentra

a una distancia D del cazador, éste dispara una flecha cuya dirección forma un ángulo a con la horizontal. ¿Con qué velocidad debe salir la flecha para dar en el jabalí?

D x

y

Resolucion

• Es necesario aclarar que tomamos tanto a la flecha como al jabalí como partículas y despreciamos la fuerza de fricción con el aire.

• Esto nos permite analizar los movimientos horizontales como MRU y al vertical de la flecha sometido únicamente a la fuerza de su propio peso (además de su velocidad inicial), por lo tanto un MRUA

Movimiento del Jabalí

• El jabalí se encuentra en movimiento rectilíneo hacia el cazador con velocidad constante. En el momento en que el cazador lanza la flecha, el jabalí se encuentra a una distancia “D”.

• Por lo tanto la ecuación que describe su posición en función del tiempo es:

D x

y

).( tvDr jabalíjabalí

Movimiento de la Flecha

• La trayectoria de la flecha desde el momento en el que es lanzada quedará determinada por las ecuaciones de movimiento de proyectiles

• Entonces:tvirflecha ).cos.(ˆ. 0

2

.)..(ˆ.

2

0

tgtsenvjrflecha

Fundamentos

• El tiempo de viaje de la flecha hasta llegar al jabalí, es el mismo tiempo de trayectoria del jabalí. O sea que el tiempo t, es el mismo en todas las ecuaciones, lo que nos va a posibilitar despejarlo de una ecuación y reemplazarlo en las demás ecuaciones.

• En el tiempo t, en el que se encuentran la flecha y el jabalí, la altura de la flecha en comparación a la altura en que fue lanzada es la misma, ya que se supone que la flecha se lanza a la altura del lomo del jabalí.

Resolución

• Por lo tanto, como la altura de la flecha es 0 cuando se encuentra con el jabalí:

• De esta ecuación despejamos el tiempo:

2

...0

2

0

tgtsenv

v0y

2

.0

tgv y

g

senvt

2..0

Resolución

• El tiempo para que la flecha alcance la posición del jabalí debe ser igual en todas las ecuaciones entonces podemos afirmar que:

• Sustituyendo el tiempo y operando obtenemos:

tvtvD javalí .cos.).( 0

jabalíx vsenv

gDv

2..

.

00

Variaciones

• En esta parte del proyecto se fijaron ciertos parámetros y se estudió como variaban los otros para “adaptarse” a la situación.

• Se estudiaron cuatro casos por separado que se presentan a continuación…

Primera Variación

• En este caso se tomaron como fijos:

• En este caso el objetivo es determinar el ángulo y la velocidad con la que debe ser lanzada la flecha para matar al jabalí.

• t = 2 s

• vjabalí = 12 m/s

• D = 40 m

Primera Variación

• Sustituyendo los datos obtenemos que:

º77,508

8,91

tg

smsen

v /65.12)º77,50(

8,9

Posición en x según el tiempo

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2

t(s)

x(m)

JabalíFlecha

Posición en y según el tiempo

0

1

2

3

4

5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2

t(s)

y(m)

JabalíFlecha

Segunda Variación

• Ahora vamos a refinar algo más el problema…

• El jabalí dejará de ser una partícula, para ahora tener una extensión (cuerpo) en la cual si la flecha cae lo afectará. Tomaremos como longitud de su cuerpo 1m.

• El punto tomado anteriormente en referencia al jabalí esta en el medio de su cuerpo, con distancia medio metro mayor o menor a la original aun asi alcanzaría al jabalí.

• Ahora la distancia pasará a tomar los valores 39.5 m y 40.5 m para el más cercano y más distante punto de impacto respectivamente.

Resultados 2º Caso

• Obtenemos para el caso de impacto más cercano una velocidad de 12.49 m/s y un ángulo α = 51.66º.

• Para el caso de impacto más distante una velocidad de 12.81 m/s y un ángulo = 49.9º.

Posición en x según el tiempo

¿Y si le agregamos la altura?

• Ahora ademas se considera que la flecha puede impactar por debajo de la cabeza del jabalí.

• Por lo tanto consideramos la distancia como 39,5 m (distancia a la cabeza) y para un caso límite posición según y tomará el valor -1 (altura del jabalí = 1m).

• Entonces sabemos que:

• Operando obtenemos que…

Resultados

• Combinando el caso anterior con el segundo (donde le asignamos una longitud al jabalí) queda totalmente determinado el rango de ángulos y velocidades con las que la flecha llega a su objetivo (para los datos fijados).

• Observaremos en la gráfica a continuación la representación de los casos limites…

Posición en y según el tiempo