MATEMÁTICA...2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR MATEMÁTICA Prof. Fabinho LISTA 1 – MAT F2 – MÚLTIPLOS E DIVISORES QUESTÃO 1 Um torneio de xadrez terá alunos de210 mm por

2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR

MATEMÁTICA

Prof. Fabinho

LISTA 1 – MAT F2 – MÚLTIPLOS E DIVISORES

QUESTÃO 1 Um torneio de xadrez terá alunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos; outra, 180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é a) 12 b) 23 c) 46 d) 69

QUESTÃO 2 Um ferreiro dispõe de duas barras de ferro de comprimentos 1,20 m e 1,80 m. Serrando essas barras, quantas barras menores e de máximo tamanho possível ele obterá ao final do processo? a) 10 barras de 30 cm. b) 20 barras de 30 cm. c) 5 barras de 60 cm. d) 10 barras de 60 cm. e) 5 barras de 360 cm.

QUESTÃO 3 João faz caminhada a cada 4 dias. Pedro, vizinho de João, faz caminhada no mesmo local, a cada 6 dias. Considerando que Pedro e João se encontraram hoje fazendo caminhada, eles se encontrarão novamente daqui a n dias. Qual das alternativas abaixo indica um valor possível para n? a) 30 b) 32 c) 36 d) 42

QUESTÃO 4 Um estudante recebeu um kit para montagem de minirrobôs. Para a parte eletrônica, havia peças de três tipos diferentes, com as seguintes quantidades:

O estudante distribuiu as peças em saquinhos, colocando um único tipo de peça em cada um deles, de modo que todos os saquinhos ficassem com a mesma quantidade de peças. Foram necessários para distribuir todas as peças, no mínimo, a) 17 saquinhos. b) 13 saquinhos. c) 9 saquinhos. d) 5 saquinhos. QUESTÃO 5 Giovana deseja fazer um painel usando folhas de papel de tamanhos carta e A4. O painel será composto por duas faixas, cada uma contendo apenas folhas inteiras de um tipo dispostas lado a lado (sem sobreposição e sem espaço entre elas), formando uma figura retangular, sem sobras e sem cortes de papel. As folhas do tipo carta (1) serão dispostas na posição vertical, e as folhas do tipo A4 (2) serão dispostas na posição horizontal, conforme ilustra a figura abaixo:


Sabendo que as folhas A4 têm tamanho 210 mm por 297 mm e que as folhas carta têm tamanho 216 mm por 279 mm, a menor quantidade total de folhas de papel (incluindo A4 e carta) que Giovanna precisa usar para conseguir atender às exigências do enunciado é: a) 12. b) 19. c) 21. d) 57. e) 88.

LISTA 4 – MAT F1 – CONJUNTOS

QUESTÃO 6 Foi solicitado que um grupo de 64 pessoas escolhesse um número natural maior do que 3. Após análise das escolhas, constatou-se que: 12 pessoas escolheram um número primo, 30 um número par, 14 um múltiplo de 3, e 6 um múltiplo de 6. O número de pessoas que escolheu um número ímpar, não múltiplo de 3, foi igual a: a) 14 b) 26 c) 12 d) 20 e) 34 QUESTÃO 7 Em uma enquete no centro olímpico, foram entrevistados alguns atletas e verificou-se que 300 praticam natação, 250 praticam atletismo e 200 praticam esgrima. Além disso, 70 atletas praticam natação e atletismo, 65 praticam natação e esgrima e 105 praticam atletismo e esgrima, 40 praticam os três esportes e 150 não praticam nenhum dos três esportes citados. Nessas condições, o número de atletas entrevistados foi a) 1180 b) 1030 c) 700 d) 800 QUESTÃO 8 Analisando os conteúdos nos quais os alunos possuem maiores dificuldades de aprendizagem em uma escola com 500 alunos, percebeu-se que: 208 têm dificuldades de aprendizagem em matemática; 198, em português; 154, em física; 62, em matemática e física; 38, em português e física; 52, em matemática e português e 20 têm dificuldades nas três disciplinas. Por esse viés, o número de alunos que não tem dificuldades em nenhuma dessas disciplinas é de a) 92 alunos. b) 72 alunos. c) 60 alunos. d) 20 alunos.

QUESTÃO 9 Numa turma do segundo período do Curso Técnico Subsequente em Cozinha do IFPE campus Cabo de Santo Agostinho, 60% dos alunos foram aprovados na disciplina de Cozinha Pernambucana; 30% dos alunos foram aprovados na disciplina de Habilidades e Técnicas Culinárias II; e 30% não foram aprovados em nenhuma dessas duas disciplinas. Sabendo que nessa turma existem 40 alunos, quantos alunos foram aprovados apenas na disciplina de Cozinha Pernambucana? a) 16 b) 24 c) 8 d) 4 e) 12 QUESTÃO 10 Em uma turma de cinquenta alunos de Medicina, há dezoito cursando Anatomia, quinze cursando Citologia e treze cursando Biofísica. Seis alunos cursam simultaneamente Anatomia e Citologia, cinco cursam simultaneamente Citologia e Biofísica e quatro cursam simultaneamente Anatomia e Biofísica. Dezesseis alunos não cursam nenhuma destas disciplinas. O número de alunos que cursam, simultaneamente, exatamente duas disciplinas é a) 31. b) 15. c) 12. d) 8. e) 6.

LISTA 5 – MAT F1 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

QUESTÃO 11 Durante uma aula de trigonometria, o professor propôs aos alunos que determinassem o cosseno de 75° sem a utilização de fórmulas trigonométricas ou calculadoras. Após alguns minutos, um dos estudantes sugeriu os seguintes procedimentos:

1ª etapa: desenhe um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC medindo 1dm e ˆABC 75= ° 2ª etapa: tome o ponto D sobre AC de modo que BD CD.= 3ª etapa: determine o comprimento do cateto AB. Seguindo corretamente as etapas acima, encontra-se para o cosseno de 75° o valor:

a) 2 32−

b) 2 32+

c) 3 22−

d) 3 22+


QUESTÃO 12 ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo isósceles de base AB, interno ao quadrado.

Se o ângulo ˆBEC mede 90 ,° a medida do ângulo ABE é igual a: a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75° QUESTÃO 13 À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m, estacionado paralelamente ao solo a 30 m de altura. O VANT está a uma distância y metros de um holofote que foi instalado no helicóptero. O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra circular de centro O e raio R. O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60° com o feixe de luz, conforme se vê na figura seguinte.

Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto A da circunferência da sombra corre para o ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à região plana.

A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é um número entre a) 18 e 19 b) 19 e 20 c) 20 e 21 d) 22 e 23 QUESTÃO 14 O prefeito de uma cidade turística pretende construir um teleférico unindo o parque cultural ao topo de uma montanha de 200 m de altura, como mostra a figura abaixo. Considerando que a plataforma de embarque do teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão e que o pico da montanha possa ser observado sob um ângulo de 30 ,° determine a distância percorrida pelo teleférico do ponto de embarque ao topo da montanha.

a) 350 m b) 370 m c) 390 m d) 410 m QUESTÃO 15 Os quatro triângulos equiláteros congruentes, na figura a seguir, estão enfileirados de modo que os pontos A, B, C, D e E são colineares. Sabendo que o lado do triângulo equilátero mede 1cm, o valor da tangente do

ângulo IÂE é:

a) 3 .13

b) 3 .7

c) 3 .2

d) 1.2

e) 39 .26


GABARITOS E RESOLUÇÕES QUESTÃO 1 Gabarito: A O resultado pedido corresponde ao máximo divisor comum dos números 120,180 e 252, ou seja,

3 2 2 2 2

2

mdc(120,180, 252) mdc(2 3 5, 2 3 5, 2 3 7)

2 312.

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅=

QUESTÃO 2 Gabarito: C O ferreiro possui barras de ferro de comprimentos 120 cm e 180 cm. Para que estas sejam serradas em comprimentos iguais de maior medida possível, é preciso identificar o maior divisor comum entre 120 e 180, que será igual a 60. Dividindo cada uma das barras em barras menores de 60 cm, teremos um total de 5 barras. QUESTÃO 3 Gabarito: C Para que João e Pedro se encontrem novamente deve-se passar um número de dias múltiplo de 6 e 4 simultaneamente. Nesse caso, o único número dentre as alternativas que é múltiplo de 6 e 4 simultaneamente é 36. QUESTÃO 4 Gabarito: B Temos um total de 65 peças. Calculando o MDC entre 15, 20 e 30 obtemos 5. Portanto, o total de saquinhos para distribuir as peças será dado por:

65 5 13÷ = QUESTÃO 5 Gabarito: B Queremos calcular os menores inteiros positivos r e s para os quais a igualdade ⋅ = ⋅216 r 297 s é verificada. Tem-se que

3 3 3

3 3

mmc(216, 297) mmc(2 3 , 3 11)

2 3 11.

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Portanto, podemos afirmar que a resposta é

3 3 3 3

3 3 32 3 11 2 3 11r s

2 3 3 1111 819.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ = +

⋅ ⋅= +=

QUESTÃO 6 Gabarito: B Vamos, inicialmente, considerar os seguintes conjuntos:

A : conjunto dos números primos maiores que 3. B : Conjunto dos números pares maiores que 3. C : Conjunto dos múltiplos de 3 maiores que 3.

D B C := ∩ conjunto dos múltiplos de 6 maiores que 3. Organizando as informações do problema através de diagramas:

Temos então a seguinte equação: x 12 24 6 8 64 x 14+ + + + = ⇒ = Considerando que todo número primo maior que 3 é ímpar, O número de pessoas que escolheu um número ímpar, não múltiplo de 3, foi igual a: x 12 14 12 26+ = + =


QUESTÃO 7 Gabarito: C Utilizando o Diagrama de Venn temos:

Observe que o valor 40 representa a intersecção entre as três modalidades. Como 70 é a intersecção entre natação e atletismo, temos 70 40 30.− = Dessa forma, como 65 é a intersecção entre natação e esgrima, e, 105 representa a intersecção entre atletismo e esgrima, temos: 65 40 25− = e 105 40 65,− = valores a serem completados no diagrama. Logo,

Fazendo as diferenças das partes comuns pelo total de cada modalidade temos:

300 30 40 25 205250 30 40 65 115200 25 40 65 70

− − − =− − − =− − − =

Completando o diagrama, temos:

Desta maneira, para obter o total de pessoas entrevistadas, basta somar todos os valores: 205 115 70 30 40 25 65 150 700+ + + + + + + = pessoas entrevistadas.

QUESTÃO 8 Gabarito: B Utilizando o diagrama de Venn temos:

Subtraindo o total de cada matéria pelas intersecções temos:

Logo, somando todos os valores e subtraindo 500 temos: 500 428 72− =


QUESTÃO 9 Gabarito: A No diagrama abaixo iremos considerar que: A : Conjuntos dos alunos aprovados na disciplina de Cozinha Pernambucana. B : Conjuntos dos alunos aprovados na disciplina de Habilidades e Técnicas Culinárias II.

60n(A) 40 24

10030n(B) 40 12

10030n(A B) 40 12

100n(A B) x

= ⋅ =

= ⋅ =

∪ = ⋅ =

∩ =

Temos, então, a seguinte equação: 24 x x 12 x 12 40

x 48 40x 8

− + + − + =− + ==

Portanto, o número de aprovados apenas na disciplina de Cozinha Pernambucana foi de: 24 8 16.− =

QUESTÃO 10 Gabarito: E Considere o diagrama, em que A, B e C são, respectivamente, o conjunto de alunos que cursam Anatomia, o conjunto dos alunos que cursam Biofísica e o conjunto dos alunos que cursam Citologia

Desde que n(U) 50,= temos 18 x 4 5 x x 4 16 50 x 13 16

x 3.+ + + − + + + = ⇔ + =

⇔ =

Por conseguinte, a resposta é 15 3x 6.− =

QUESTÃO 11 Gabarito: A

Considerando que: DH é altura do BDC,Δ temos:

ˆˆBD DC 2x DBC DCB 90 15 75 .= = ⇒ = = ° − ° = ° BDA 15 15 30= ° + ° = ° (ângulo externo do BDC)Δ

No triângulo ABD, temos:

2

2 2

AD 3 ADcos30 AD x 32x 2 2xAB 1 ABsen30 AB x.2x 2 2x

12x 12CHD ~ CAB x12x x 3 4 (2 3)

1 (2 3) 2 3 2 3x x x4 24 (2 3) (2 3)

Δ Δ

° = ⇒ = ⇒ = ⋅

° = ⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ = ⇒+ ⋅ +

− − −= ⋅ ⇒ = ⇒ =

⋅ + −

Portanto, o valor do cosseno de 75° é 2 3 .2−


QUESTÃO 12 Gabarito: C

Considerando que ˆABE ,α= temos:

22 2 2 2

MBE ~ NECL

L h L2 h L h L 4 h L 4h 0 (L 2h) 0 L 2hL h 42

Δ Δ

−= ⇒ = ⋅ − ⇒ − ⋅ ⋅ + = ⇒ − = ⇒ =

Portanto: No MBE,Δ observamos que:

h htg 1 45L h2

α α= = = ⇒ = °

QUESTÃO 13 Gabarito: C Considere a figura.

Desde que os ângulos BAO e BCD são correspondentes, temos

BD ytgBCD tg603CD

y 3 3 m.

= ⇔ ° =

⇔ =

Portanto, segue que

BO 3 3 30tgBAO tg60xAO

30x 33

x 3 10 3x 20,3 m.

+= ⇔ ° =

⇔ = +

⇔ = +⇒ ≅

É imediato que x ]20, 21[.∈ QUESTÃO 14 Gabarito: C

195 1 195sen30 x 390 mx 2 x

° = ⇒ = ⇒ =


QUESTÃO 15 Gabarito: B O primeiro passo é considerar o triângulo retângulo AMI na figura dada:

Considerando que: IÂE α= e que 1 3IM2⋅

= (altura do triângulo equilátero), podemos escrever que:

3 31IM 32 2tg1 7AM 71 1 12 2

α⋅

= = = =+ + +

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