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IME2005 MATEMÁTICA
“A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo”Galileu Galilei
Dada a função ( )( )156 156
2
x x
f x−+
= , demonstre que:
f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) . f(y) Resolução: Escrevendo f(x+y) e f(x-y) temos:
( )( )156 156
2
x y x y
f x y+ − −+
+ = (I)
( )( )156 156
2
x y x y
f x y− − ++
− = (II)
Sendo que de (I) e (II) encontramos:
156 156 156 1562
+ − − − − ++ + ++ + − =
x y x y x y x y
f ( x y ) f ( x y ) = ( ) ( )156 156 156 156
2 22 2
− −+ += ⋅ ⋅
x x y y
. . f ( x ) f ( y )
c.q.d.
O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que: • a senha utilizada possui 4 dígitos; • o primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha; • o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior. Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Teclado numérico
Q u e s t ã o 0 1
Q u e s t ã o 0 2
2
Resolução:
Analisemos cada caso usando o princípio fundamental da contagem:
Caso 1: O primeiro e último dígitos iguais e iguais a zero.
1 3 3 1 = 9 casos
0 7, 8 ou 9 7, 8 ou 9 0
Caso 2: O primeiro e último dígitos escolhidos na 3ª linha:
3 3 3 3 = 81 casos 7, 8 ou 9 4, 5 ou 5 4, 5 ou 6 7, 8 ou 9
Caso 3: O primeiro e último dígitos escolhidos na 2ª linha: 81 casos, analogamente ao caso 2. Total de casos = 9 + 81 + 81 = 171.
Sejam a, b, c e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que logad, logbd e logcd são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que:
( )log2 a dc ac=
Resolução: Com os termos da PA (loga d, logb d e logc d) podemos escrever:
2 logb d = loga d + logc d, e fazendo uma mudança de base:
2 log log logog 1 og
da a ab
a a
d d l l c⋅
= +
2 1 log 1 log log1 ,log log log log
a a a
a a a a
c c a que resultab c c c
+ += + = = :
2 log ,log log
a
a a
ca b c
= e daí:
2 logac = logab . (logaca), ou ainda:
logac2 = loga
log( ) a bca , que leva a c2 = log( ) .a bca .
No entanto, foi pedido que c2 = log( ) a dca , para isso devemos ter b=d:
Assim, a relação c2 = alog d(ca) não é verdadeira para a, b, c e d reais positivos e diferentes de 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Q u e s t ã o 0 3
3
Determine o valor das raízes comuns das equações x4 – 2x3 – 11x2 + 18x + 18 = 0 e x4 – 12x3 – 44x2 – 32x – 52 = 0.
Resolução:
Testando raízes inteiras na primeira equação: P(x) = x4 – 2x3 – 11x2 + 18x + 18 = 0 (3)4 – 2(3)3 – 11(3)2 + 18(3) + 18 = 0 ∴ 3 é raiz. Fatorando pelo dispositivo de Briot-Riffini: 3 1 -2 -11 18 18 1 1 -8 -6 0 P(x) = (x-3).(x3 + x2 – 8x – 6) (-3)3 + (-3)2 –8(-3) – 6 = 0 ∴ - 3 é raiz de x3 + x2 – 8x – 6 . E, fatorando novamente: -3 1 1 -8 -6 1 -2 -2 0 P(x) = (x-3).(x+3).(x2 – 2x – 2) Calculando as raízes de x2 – 2x – 2 = 0, vem: x = 1 3± Por fim, substituindo as raízes encontradas acima em x4 – 12x3 – 44x2 – 32x – 52 = 0
• (3)4 – 12.(3)3 – 44.(3)2 – 32.(3) – 52 ≠ 0 • (-3)4 –12.(–3)3 – 44.(–3)2 – 32.(–3) – 52 ≠ 0 • (1 + 3 )4 –12.(1+ 3 )3 – 44.(1+ 3 )2 – 32.(1+ 3 ) – 52 ≠ 0 • (1 – 3 )4 –12.(1– 3 )3 – 44.(1– 3 )2 – 32.(1– 3 ) – 52 ≠ 0
Nenhuma das raízes da 1ª equação é também raiz da 2ª , logo não existe raiz comum.
Resolva a equação 2 sen 11x + cos 3x + 3 sen 3x = 0.
Resolução:
2 . sen 11x + cos 3 x + 3 sen 3 x = 0
sen 11 x + 12
cos 3 x + 32
sen 3 x = 0
sen 11 x + sen 6π cos 3 x + sen 3 x cos
6π = 0
sen 11x + sen 36
x π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
= 0, e fatorando:
Q u e s t ã o 0 4
Q u e s t ã o 0 5
4
2 . sen 712
x π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
. cos x π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠4
12= 0. De onde vem:
7 412 12 2
x =k ou x kπ π π+ π − = + π ∴ S= /
84 7kx R x ouπ π⎧ ∈ = − +⎨
⎩ 7 ,
48 4kx k Zπ π ⎫= + ∀ ∈ ⎬
⎭
Considere um triângulo ABC de área S. Marca-se o ponto P sobre o lado AC tal que /PA PC = q, e o ponto Q sobre o lado BC de maneira que / .QB QC r= As cevianas AQ e BP encontram-se em T, conforme ilustrado na figura. Determine a área do triângulo ATP em função de S, q e r.
A
B
PT
QC
Resolução:
A
B
PT
QC
K
K/q x
x.q
W W/r
r.y y
Seja K a área pedida e W a área do BTQΔ :
11AQCS S
r⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
e 1
1BPCS Sq
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
Logo:
1
1
K W SKq r r
K W SWq r q
⎧ + + =⎪ +⎪⎨⎪ + + =⎪ +⎩
e
1 1. .1
1 1 .1
q SK Wq r r
r SK Wq r q
⎧⎛ ⎞++ =⎪⎜ ⎟ +⎪⎝ ⎠
⎨+⎛ ⎞⎪ + =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
( ) ( )2.
1 . .q SK
q q r q r∴ =
+ + +
Q u e s t ã o 0 6
5
Considere uma elipse de focos F e F’, e M um ponto qualquer dessa curva. Traça-se por M duas secantes MF e 'MF que interceptam a elipse em P e P’, respectivamente. Demonstre que a soma ( / ) ( ' / ' ')MF FP MF F P+ é constante. Sugestão: calcule inicialmente a soma (1/ ) (1/ ).MF FP+
Resolução: Observe a figura da elipse,
a a
M
b
bP’
F’F
P
cc
Após a rotação introduz-se uma mudança dos eixos coordenados, ou seja:
Elipse: 2 2 2
2 2 22 2 21x y b x y b
a b a+ = ⇒ + =
Fazendo bx x e y ya
= = temos
2 2 2x y b+ = (circunferência de raio b)
Fazendo a rotação da elipse até que sua projeção seja uma circunferência de raio b:
–b
P
F
bY
M x,y( )
F’ bRbc
a–bca
X
P’
–b
Após a rotação introduz-se uma mudança dos eixos coordenados, ou seja:
Elipse: 2 2 2
2 2 22 2 21+ = ⇒ + =
x y b x y ba b a
Fazendo =bX xa
e =Y y , temos:
2 2 2+ =X Y b , circunferência de raio b .
Q u e s t ã o 0 7
6
Lembrando que a razão entre medidas lineares permanece constante e fazendo potência de ponto na circunferência temos:
4
2
. ..b c b c bMF . FP b ba a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
2
. .' ' ' .b c b c bMF . F P b ba a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )2
2 24
' '' '
2 2MF MF MF MF' a MF MFFP F P MF . FP MF' . F'P b
+ = + = + =
2 222 2
4 .a bc bcx y x yb a a
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2 22 2
4 22 2 2a b cx yb a
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2 22 2
4 2
2a b cx yb a
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2 22
4 2
2a b cbb a
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )2 2
2
2 a cb+
(Que é constante).
c.q.d.
Sejam a, b e c as raízes do polinômio p(x) = x3 + rx – t, onde r e t são números reais não nulos. a) Determine o valor da expressão a3 + b3 + c3 em função de r e t. b) Demonstre que Sn+1 + r.Sn-1 – t.Sn–2 = 0 para todo número natural n ≥ 2, onde Sk = ak + bk + ck para qualquer número natural k.
Resolução: a. Dado o polinômio P(x) = x3 + 0x2 + rx – t, vamos escrever as Relações de Girard:
( )
0 01
1
1
a b c
rab ac bc r
tabc t
⎧ + + = − =⎪⎪⎪ + + = =⎨⎪⎪ −
= − =⎪⎩
E delas temos, (a + b + c)3 =03, que pode ser escrito da forma: a3 + b3 + c3 + 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c + bc2) + 6abc = 0 Ou, fatorando: a3 + b3 + c3 +3[ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)] + 6abc = 0 E, substituindo conforme primeira relação: a3 + b3 + c3 + [ab(–c) + ac(–b) + bc(–a)] + 6abc = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc = 3t b. Ainda das relações de Girard em p(x) temos: ab + bc +ac = r (I) abc = t (II) Sendo Sk = ak + bk + ck, podemos fazer k = n, e com isso, substituindo devidamente temos:
Q u e s t ã o 0 8
7
Sn+1 + rSn – 1 – tSn – 2 = Sk+1 + rSk – 1 – tSk-2 = ak.a + bk.b + ck.c + r 2 2 2
k k k k k ka b c a b cta b c a b c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E, agora, substituindo (I) e (II), temos:
aak + bbk + cck + k k k k k k k k kab bc acba ab + c a cb bc ca b acc a b
⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
– k k kbc ac ab a b ca b c
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
(ak + bk + ck)(a + b + c) = 0
c.q.d.
Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que b2 ≠ 1.
.........
b b b b b b b b
+
+
+
2
2
2
1 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 ...
...
b b b b
+
+
2
2
0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 ...
n linhas
b b
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪
+ ⎪⎭20 0 1
n colunas
Resolução: Seja D o determinante pedido,
2
2
2
2
1 0 ... 01 ... 0
0 1 ... 0
0 0 0 ... 1
b bb b b
D b b
b
++
= +
+
Substituindo a linha 2 pela sua soma com o produto da linha 1 por 2 1b
b−⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠:
2
4 2
2
2
2
1 0 ... 010 ... 0
10 1 ... 0
0 0 0 ... 1
b bb b b
bDb b
b
+
+ ++=
+
+
E, agora, substituindo a linha 3 pela sua soma com o produto da linha 2 por ( )2
4 2
11
b bb b
⎡ ⎤− +⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦:
2
4 2
2
6 4 2
4 2
2
1 0 ... 010 ... 0
110 0 ... 0
1
0 0 0 ... 1
+
+ ++
= + + ++ +
+
b bb b b
bD b b b
b b
b
Q u e s t ã o 0 9
8
E, procedendo da mesma forma até a n-ésima linha, temos:
2
4 2
2
6 4 2
4 2
2 2 2 2
2 2 2
1 0 ... 010 ... 0
110 0 ... 0
1
... 10 0 0 ...... 1
n n
n
b bb b b
bb b bD
b b
b b bb b
−
−
+
+ ++
+ + +=+ +
+ + + ++ + +
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
4 2 6 4 2 2 2 2 22
2 4 2 2 2 2
1 1 ... 11 . . .....
1 1 ... 1
n n
n
b b b b b b b bb
b b b b b
−
−
+ + + + + + + + += + =
+ + + + + +
( )( )122 2
2 2 2 22 2
1. 1 11 ...1 1
nn
n nb bb b bb b
++
−− −
+ + + + = =− −
Sendo assim:
2 2
2
11
nbDb
+ −=
−
Considere os pontos P e Q sobre faces adjacentes de um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância entre P e Q, cruzando a aresta BC em M e a aresta CD em N, conforme ilustrado na figura abaixo. É dado que os pontos P, Q, M e N são coplanares.
a) Demonstre que MN é perpendicular a .AC . b) Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que contém P, Q e M em função de BC = a e BM = b.
Resolução: a.
I. Como a formiga percorre o caminho mínimo, quando a figura está planificada temos ∠PMB = θ e ∠QND = 90 - θ. Se P, M, N e Q são coplanares, então PM e QN encontram-se em R. Ainda no ΔRMC temos MC=x e no ΔRNC temos CN = y. Sendo assim, RC = x . tg θ e y = RC.tg θ, ou seja, y = x.tg2 θ. De onde só vale x = y se θ = 450. II. Por outro lado, no ΔMNC temos,
Tg θ = CN/CM = RC. Tg θ/RC. Tg (90 - θ). Então, tg (90 - θ) = 1 ⇒ θ = 450.
Logo, de I e II concluímos que x = y.
Q u e s t ã o 1 0
B
P
MC
N Q
A D
9
B
P
�
�
x
MC
R
N
y
Q90–0
DA b. Considerando MN perpendicular a AC, teríamos os seguintes cortes da figura:
F G
a–b
Pb
Bb
M C G
N
Qb
AD b
H
P
O
2b
S
2b
Na b⋅( ) 2
M
2b
a b⋅( ) 2
T
Q
a b⋅( ) 2
FT
BQ M
NC
G
HOP
D
E
A Deles tiramos,
( ) ( )222 32 3
3.4 4
ba bS
⎡ ⎤+⎣ ⎦= −
( )2 23 2 22
S a ab b= + −
10
Comentários O IME manteve sua tradição. A prova possui conteúdos distribuídos de forma homogênea, com questões em dois níveis: médio e difícil. Uma prova em que o candidato tem que demonstrar suas habilidades com os cálculos e a capacidade de inter-relacionar conteúdos diferentes. A prova é longa, como de costume, em que o candidato deve selecionar as questões que ele faz em pouco tempo, deixando as maiores e de mesmo peso, para o final. Todo o conteúdo cobrado nelas foi trabalhado em sala com nossos alunos, de forma que só coube a eles a organização dos dados e dissertação e/ou escolha do caminho correto.
Incidência de assuntos:
Trigonometria9%
Análise Combinatória9%
Conjuntos/Funções9%
Polinômios18%
Geometria28%
Determinantes9%
Progressões9%
Potências/Logarítmos9%
Professores :
Marcelo Moraes Manim
Bernadelli
Colaborares:
Manfredo Rodrigo Lacerda
Digitação e Diagramação
Diego Bernadelli Márcia Samper
Projeto Gráfico
Frederico Bueno
Assistente Editorial
Diego Bernadelli
Supervisão Editorial
Rodrigo Bernadelli
Copyright©Olimpo2004
A Resolução Comentada das provas do IME poderá ser obtida diretamente no
OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefone (62) 251 – 9009