1

Ficha Técnica

Título: Matemática, Programa da 12ª Classe

Edição: ©INDE/MINED - Moçambique

Autor: INDE/MINED – Moçambique

Capa, Composição, Arranjo gráfico: INDE/MINED - Moçambique

Arte final: INDE/MINED - Moçambique

Tiragem: 350 Exemplares

Impressão: DINAME

Nº de Registo: INDE/MINED – 6294/RLINLD/2010

2

Prefácio

Caro Professor

É com imenso prazer que colocamos nas suas mãos os Programas do Ensino Secundário Geral.

Com a introdução do Novo Currículo do Ensino Básico, iniciada em 2004, houve necessidade de

se reformular o currículo do Ensino Secundário Geral para que a integração do aluno se faça sem

sobressaltos e para que as competências gerais, tão importantes para a vida continuem a ser

desenvolvidas e consolidadas neste novo ciclo de estudos.

As competências que os novos programas do Ensino Secundário Geral procuram desenvolver,

compreendem um conjunto de conhecimentos, habilidades, atitudes e valores necessários para a

vida que permitam ao graduado do Ensino Secundário Geral enfrentar o mundo de trabalho numa

economia cada vez mais moderna e competitiva.

Estes programas resultam de um processo de consulta à sociedade. O produto que hoje tem em

mãos é resultado do trabalho abnegado de técnicos pedagógicos do INDE e da DINEG, de

professores das várias instituições de ensino e formação, quadros de diversas instituições

públicas, empresas e organizações, que colocaram a sua sabedoria ao serviço da transformação

curricular e a quem aproveitamos desde já, agradecer.

Aos professores, de que depende em grande medida a implementação destes programas,

apelamos ao estudo permanente das sugestões que eles contêm e que convoquem a vossa

criatividade e empenho para levar a cabo a gratificante tarefa de formar hoje os jovens que

amanhã contribuirão para o combate à pobreza.

Aires Bonifácio Baptista Ali.

Ministro da Educação e Cultura

3

1. Introdução

A Transformação Curricular do Ensino Secundário Geral (TCESG) é um processo que se enquadra no Programa Quinquenal do Governo e no Plano Estratégico da Educação e Cultura e tem como objectivos: Contribuir para a melhoria da qualidade de ensino, proporcionando aos alunos aprendizagens relevantes e apropriadas ao contexto socioeconómico do país. Corresponder aos desafios da actualidade através de um currículo diversificado, flexível e profissionalizante. Alargar o universo de escolhas, formando os jovens tanto para a continuação dos estudos como para o mercado de trabalho e auto emprego. Contribuir para a construção de uma nação de paz e justiça social.

Constituem principais documentos curriculares:

O Plano Curricular do Ensino Secundário (PCESG) – documento orientador que contém os objectivos, a política, a estrutura curricular, o plano de estudos e as estratégias de implementação;

Os programas de ensino de cada uma das disciplinas do plano de estudos;

O regulamento de avaliação do Ensino Secundário Geral (ESG);

Outros materiais de apoio.

1.1. Linhas Orientadoras do Currículo do ESG O Currículo do ESG, a ser introduzido em 2008, assenta nas grandes linhas orientadoras que visam a formação integral dos jovens, fornecendo-lhes instrumentos relevantes para que continuem a aprender ao longo de toda a sua vida. O novo currículo procura por um lado, dar uma formação teórica sólida que integre uma componente profissionalizante e, por outro, permitir aos jovens a aquisição de competências relevantes para uma integração plena na vida política, social e económica do país. As consultas efectuadas apontam para a necessidade de a escola responder às exigências do mercado cada vez mais moderno que apela às habilidades comunicativas, ao domínio das Tecnologias de Informação e Comunicação, à resolução rápida e eficaz de problemas, entre outros desafios.

Assim, o novo programa do ESG deverá responder aos desafios da educação, assegurando uma formação integral do indivíduo que assenta em quatros pilares, assim descritos: Saber Ser que é preparar o Homem moçambicano no sentido espiritual, crítico e estético, de modo que possa ser capaz de elaborar pensamentos autónomos, críticos e formular os seus próprios juízos de valor que estarão na base das decisões individuais que tiver de tomar em diversas circunstâncias da sua vida; Saber Conhecer que é a educação para a aprendizagem permanente de conhecimentos científicos sólidos e a aquisição de instrumentos necessários para a compreensão, a interpretação e a avaliação crítica dos fenómenos sociais, económicos, políticos e naturais; Saber Fazer que proporciona uma formação e qualificação profissional sólida, um espírito empreendedor no aluno/formando para que ele se adapte não só ao meio produtivo actual, mas também às tendências de transformação no mercado;

4

Saber viver juntos e com os outros que traduz a dimensão ética do Homem, isto é, saber comunicar-se com os outros, respeitar-se a si, à sua família e aos outros homens de diversas culturas, religiões, raças, entre outros. Agenda 2025:129 Estes saberes interligam-se ao longo da vida do indivíduo e implicam que a educação se organize em torno deles de modo a proporcionar aos jovens instrumentos para compreender o mundo, agir sobre ele, cooperar com os outros, viver, participar e comportar-se de forma responsável. Neste quadro, o desafio da escola é, pois, fornecer as ferramentas teóricas e práticas relevantes para que os jovens e os adolescentes sejam bem sucedidos como indivíduos, e como cidadãos responsáveis e úteis na família, na comunidade e na sociedade, em geral. 1.2. Os desafios da Escola A escola confronta-se com o desafio de preparar os jovens para a vida. Isto significa que o papel da escola transcende os actos de ensinar a ler, a escrever, a contar ou de transmitir grandes quantidades de conhecimentos de história, geografia, biologia ou química, entre outros. Torna-se, assim, cada vez mais importante preparar o aluno para aprender a aprender e para aplicar os seus conhecimentos ao longo da vida.

Perante este desafio, que competências são importantes para uma integração plena na vida? As competências importantes para a vida referem-se ao conjunto de recursos, isto é, conhecimentos, habilidades atitudes, valores e comportamentos que o indivíduo mobiliza para enfrentar com sucesso exigências complexas ou realizar uma tarefa, na vida quotidiana. Isto significa que para resolver um determinado problema, tomar decisões informadas, pensar critica e criativamente ou relacionar-se com os outros um indivíduo necessita de combinar um conjunto de conhecimentos, práticas e valores. Naturalmente que o desenvolvimento das competências não cabe apenas à escola, mas também à sociedade, a quem cabe definir quais deverão ser consideradas importantes, tendo em conta a realidade do país. Neste contexto, reserva-se à escola o papel de desenvolver, através do currículo, não só as competências viradas para o desenvolvimento das habilidades de comunicação, leitura e escrita, matemática e cálculo, mas também, as competências gerais, actualmente reconhecidas como cruciais para o desenvolvimento do indivíduo e necessárias para o seu bem estar, nomeadamente:

• Comunicação nas línguas moçambicana, portuguesa, inglesa e francesa; • Desenvolvimento da autonomia pessoal e a auto-estima; de estratégias de aprendizagem

e busca metódica de informação em diferentes meios e uso de tecnologia; • Desenvolvimento de juízo crítico, rigor, persistência e qualidade na realização e

apresentação dos trabalhos; • Resolução de problemas que reflectem situações quotidianas da vida económica social do

país e do mundo; • Desenvolvimento do espírito de tolerância e cooperação e habilidade para se relacionar

bem com os outros; • Uso de leis, gestão e resolução de conflitos; • Desenvolvimento do civismo e cidadania responsáveis; • Adopção de comportamentos responsáveis com relação à sua saúde e da comunidade bem

como em relação ao alcoolismo, tabagismo e outras drogas; • Aplicação da formação profissionalizante na redução da pobreza; • Capacidade de lidar com a complexidade, diversidade e mudança; • Desenvolvimento de projectos estratégias de implementação individualmente ou em

grupo; • Adopção de atitudes positivas em relação aos portadores de deficiências, idosos e

crianças.

5

Importa destacar que estas competências encerram valores a serem desenvolvidos na prática educativa no contexto escolar e extra-escolar, numa perspectiva de aprender a fazer fazendo.

(...) o aluno aprenderá a respeitar o próximo se tiver a oportunidade de experimentar situações em que este valor é visível. O aluno só aprenderá a viver num ambiente limpo se a escola estiver limpa e promover o asseio em todos os espaços escolares. O aluno cumprirá as regras de comportamento se elas forem exigidas e cumpridas por todos os membros da comunidade escolar de forma coerente e sistemática.

PCESG:27

Neste contexto, o desenvolvimento de valores como a igualdade, liberdade, justiça, solidariedade, humildade, honestidade, tolerância, responsabilidade, perseverança, o amor à pátria, o amor próprio, o amor à verdade, o amor ao trabalho, o respeito pelo próximo e pelo bem comum, deverá estar ancorado à prática educativa e estar presente em todos os momentos da vida da escola.

As competências acima indicadas são relevantes para que o jovem, ao concluir o ESG esteja preparado para produzir o seu sustento e o da sua família e prosseguir os estudos nos níveis subsequentes.

Perspectiva-se que o jovem seja capaz de lidar com economias em mudança, isto é, adaptar-se a uma economia baseada no conhecimento, em altas tecnologias e que exigem cada vez mais novas habilidades relacionadas com adaptabilidade, adopção de perspectivas múltiplas na resolução de problemas, competitividade, motivação, empreendedorismo e a flexibilidade de modo a ter várias ocupações ao longo da vida. 1.3. A Abordagem Transversal A transversalidade apresenta-se no currículo do ESG como uma estratégia didáctica com vista um desenvolvimento integral e harmonioso do indivíduo. Com efeito, toda a comunidade escolar é chamada a contribuir na formação dos alunos, envolvendo-os na resolução de situações-problema parecidas com as que se vão confrontar na vida. No currículo do ESG prevê-se uma abordagem transversal das competências gerais e dos temas transversais. De referir que, embora os valores se encontrem impregnados nas competências e nos temas já definidos no PCESG, é importante que as acções levadas a cabo na escola e as atitudes dos seus intervenientes sobretudo dos professores constituam um modelo do saber ser, conviver com os outros e bem fazer. Neste contexto, toda a prática educativa gravita em torno das competências acima definidas de tal forma que as oportunidades de aprendizagem criadas no ambiente escolar e fora dele contribuam para o seu desenvolvimento. Assim, espera-se que as actividades curriculares e co-curriculares sejam suficientemente desafiantes e estimulem os alunos a mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores. O currículo do ESG prevê ainda a abordagem de temas transversais, de forma explícita, ao longo do ano lectivo. Considerando as especificidades de cada disciplina, são dadas indicações para a sua abordagem no plano temático, nas sugestões metodológicas e no texto de apoio sobre os temas transversais. O desenvolvimento de projectos comuns constitui-se também com uma estratégias que permite estabelecer ligações interdisciplinares, mobilizar as competências treinadas em várias áreas de conhecimento para resolver problemas concretos. Assim, espera-se que as actividades a realizar no âmbito da planificação e implementação de projectos, envolvam professores, alunos e até a comunidade e constituam em momentos de ensino-aprendizagem significativos.

6

1.4 As Línguas no ESG A comunicação constitui uma das competências considerada chave num mundo globalizado. No currículo do ESG, são usados a língua oficial (Português), línguas Moçambicanas, línguas estrangeiras (Inglês e Francês). As habilidades comunicativas desenvolvem-se através de um envolvimento conjugado de todas as disciplinas e não se reserva apenas às disciplinas específicas de línguas. Todos os professores deverão assegurar que alunos se expressem com clareza e que saibam adequar o seu discurso às diferentes situações de comunicação. A correcção linguística deverá ser uma exigência constante nas produções dos alunos em todas as disciplinas. O desafio da escola é criar espaços para a prática das línguas tais como a promoção da leitura (concursos literários, sessões de poesia), debates sobre temas de interesse dos alunos, sessões para a apresentação e discussão de temas ou trabalhos de pesquisa, exposições, actividades culturais em datas festivas e comemorativas, entre outros momentos de prática da língua numa situação concreta. Os alunos deverão ser encorajados a ler obras diversas e a fazer comentários sobre elas e seus autores, a escrever sobre temas variados, a dar opiniões sobre factos ouvidos ou lidos nos órgãos de comunicação social, a expressar ideias contrárias ou criticar de forma apropriada, a buscar informações e a sistematizá-la. Particular destaque deverá ser dado à literatura representativa de cada uma das línguas e, no caso da língua oficial e das línguas moçambicanas, o estudo de obras de autores moçambicanos constitui um pilar para o desenvolvimento do espiríto patriótico e exaltação da moçambicanidade. 1.5. O Papel do Professor

O papel da escola é preparar os jovens de modo a torná-los cidadãos activos e responsáveis na família, no meio em que vivem (cidade, aldeia, bairro, comunidade) ou no trabalho.

Para conseguir este feito, o professor deverá colocar desafios aos seus alunos, envolvendo-os em actividades ou projectos, colocando problemas concretos e complexos. A preparação do aluno para a vida passa por uma formação em que o ensino e as matérias leccionadas tenham significado para a vida do jovem e possam ser aplicados a situações reais.

O ensino - aprendizagem das diferentes disciplinas que constituem o currículo fará mais sentido se estiver ancorado aos quatro saberes acima descritos interligando os conteúdos inerentes à disciplina, às componentes transversais e às situações reais.

Tendo presente que a tarefa do professor é facilitar a aprendizagem, é importante que este consiga:

• organizar tarefas ou projectos que induzam os alunos a mobilizar os seus conhecimentos, habilidades e valores para encontrar ou propor alternativas de soluções;

• encontrar pontos de interligação entre as disciplinas que propiciem o desenvolvimento de competências. Por exemplo, envolver os alunos numa actividade, projecto ou dar um problema que os obriga a recorrer a conhecimentos, procedimentos e experiências de outras áreas do saber;

• acompanhar as diferentes etapas do trabalho para poder observar os alunos, motivá-los e corrigi-los durante o processo de trabalho;

• criar, nos alunos, o gosto pelo saber como uma ferramenta para compreender o mundo e transformá-lo;

7

• avaliar os alunos no quadro das competências que estão a ser desenvolvidas, numa perspectiva formativa.

Este empreendimento exige do professor uma mudança de atitude em relação ao saber, à profissão, aos alunos e colegas de outras disciplinas. Com efeito, o sucesso deste programa passa pelo trabalho colaborativo e harmonizado entre os professores de todas as disciplinas. Neste sentido, não se pode falar em desenvolvimento de competências para vida, de interdisciplinaridade se os professores não dialogam, não desenvolvem projectos comuns ou se fecham nas suas próprias disciplinas. Um projecto de recolha de contos tradicionais ou da história local poderá envolver diferentes disciplinas. Por exemplo:

Português colaboraria na elaboração do guião de recolha, estrutura, redacção e correcção dos textos;

História ocupar-se-ia dos aspectos técnicos da recolha deste tipo de fontes;

Geografia integraria aspectos geográficos, físicos e socio-económicos da região;

Educação Visual ficaria responsável pelas ilustrações e cartazes.

Com estes projectos treinam-se habilidades, desenvolvem-se atitudes de trabalhar em equipa, de análise, de pesquisa, de resolver problemas e a auto-estima, contribuindo assim para o desenvolvimento das competências mais gerais definidas no PCESG.

As metodologias activas e participativas propostas, centradas no aluno e viradas para o desenvolvimento de competências para a vida pretendem significar que, o professor não é mais um centro transmissor de informações e conhecimentos, expondo a matéria para reprodução e memorização pelos alunos. O aluno não é um receptáculo de informações e conhecimentos. O aluno deve ser um sujeito activo na construção do conhecimento e pesquisa de informação, reflectindo criticamente sobre a sociedade.

O professor deve assumir-se como criador de situações de aprendizagem, regulando os recursos e aplicando uma pedagogia construtivista. O seu papel na liderança de uma comunidade escolar implica ainda que seja um mediador e defensor intercultural, organizador democrático e gestor da heterogeneidade vivencial dos alunos.

As metodologias de ensino devem desenvolver no aluno: a capacidade progressiva de conceber e utilizar conceitos; maior capacidade de trabalho individual e em grupo; entusiasmo, espírito competitivo, aptidões e gostos pessoais; o gosto pelo raciocínio e debate de ideias; o interesse pela integração social e vocação profissional.

8

1. A APRENDIZAGEM DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

1.1. Introdução Os conhecimentos matemáticos, têm sido, historicamente, indispensáveis para o desenvolvimento da ciência e da tecnologia. A matemática constitui um instrumento útil que permite desenvolver capacidades do pensamento e favorece atitudes compatíveis com o desenvolvimento de qualquer sociedade.

O papel da matemática é reconhecido no desenvolvimento de qualquer país, pelas suas múltiplas aplicações nos diversos campos (social, económico e cultural) da actividade humana, como por exemplo, no planeamento da economia, no controle da produção, nas estatísticas relacionadas com as doenças, natalidade, mortalidade, migrações, etc. Além disso, a matemática tem muita utilidade prática na vida quotidiana de qualquer pessoa. Pode-se dizer, com segurança que, o mundo não pode viver sem matemática.

A Matemática está presente em diversos campos de actividade humana, pelo que o seu ensino deve estar inscrito numa política de modernização económica, social e cultural no país.

Estas e outras razões fazem da matemática uma disciplina essencial na formação dos cidadãos de qualquer país.

Deste modo, a Matemática tem um papel essencial no desenvolvimento de processos de pensamento, sendo a base prioritária para a formação da personalidade dos alunos. Por isso, ensino da Matemática deverá participar, pelos princípios e métodos de trabalho praticados, na educação do jovem para a autonomia e solidariedade, independência empreendedora, responsável e consciente das relações em que está envolvido e do ambiente em que vive.

O mundo moderno aponta para a necessidade de adequar a Matemática a uma nova realidade. Por esta razão, o ensino desta disciplina deve dotar, o aluno de conhecimentos básicos necessários para a resolução de problemas, através de exploração de situações vividas no quotidiano. Assim, a resolução de problemas é um processo de aplicação de conhecimentos previamente adquiridos à situações novas e não familiares. Resolver problemas escritos é uma forma de resolução de problemas, porém, é importante que os alunos se defrontem com problemas que não sejam teatralizados. Eles devem saber comunicar-se matematicamente, sendo capazes de compreender as ideias matemáticas que são transmitidas verbalmente, por escrito ou através de imagens; exprimir ideias matemáticas através da fala, ou da escrita, ou com a ajuda de desenhos, gráficos, diagramas, ou materiais concretos. Durante as aulas, os alunos devem ser constantemente estimulados a debater (aspecto dialogo) com os colegas ou com o professor, argumentar e contra-argumentar através da escrita ou da fala, ajudando-os a desenvolver sua capacidade de expressão matemática. Um dos grandes obstáculos da aprendizagem da Matemática é a hierarquização dos conteúdos, bem como a sua abordagem de forma linear e rígida sem, contudo, os alunos terem a oportunidade de explorá-los na sua vida quotidiana. A transformação do programa do ensino da Matemática tem como perspectiva metodológica: A incorporação de competências Matemáticas centradas no desenvolvimento do raciocínio dos alunos; O destaque para a resolução de problemas, explorando situações vividas no dia-a-dia, mostrando a necessidade da aprendizagem da Matemática na solução dos problemas da vida; A apresentação dos conteúdos de Matemática garantindo a interdisciplinaridade e a transversalidade, isto é, a inter-relação da Matemática com diferentes disciplinas; A utilização de métodos e procedimentos heurísticos para que o aluno realize a construção do seu próprio conhecimento, assegurando a compreensão do significado dos conteúdos;

9

A garantia da sistematização de conhecimentos através da exercitação; quer dizer que, dentro de cada unidade e ao longo da classe e do ciclo, deve conseguir-se a integração das diferentes áreas da Matemática como a álgebra, a aritmética e a geometria. Pretende-se que, com o novo programa de Matemática do 2º Ciclo, o aluno se dê grande destaque não só à resolução de problemas, mas também à consideração, compreensão e importância da Matemática no tratamento de aspectos transversais como a ética, sociais, culturais, económicos, antropológicos, meio ambiente, e cognitivos. A Matemática deverá estimular o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. Pela matemática se pode destacar a importância de o aluno desenvolver a capacidade de construir os seus próprios conhecimentos matemáticos, cultivar a auto-erstima a presevença na busca de solições. Assim, o aluno deve desenvolver competências sobre:

• O pensamento algébrico por meio de representações algébricas que permitem fazer generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações problemáticas e informações contidas em tabelas e gráficos e encontrar possíveis soluções;

• O pensamento geométrico através do reconhecimento e utilização de ideias geométricas em diversas situações da vida e na comunicação;

• A resolução de problemas que exijam equações trigonométricas, a compreensão das características das funções circulates (simetria, paridade e periodicidade) assim como o comportamento das funções trigonométricas como funções reais de variável real (monotonos, extremos, concavidade e assimptotas)

• O raciocínio combinatório, estatístico e probabilístico por meio da compreensão dos fenómenos determinísticos e fenómenos aleatórios e construção de modelos de probabilidade para situações simples;

• Como operar com conceitos e procedimentos, através de métodos apropriados para o desenvolvimento do pensamento lógico;

• Resolução de problemas explorando a Matemática através de situações vividas no quotidiano e nas várias disciplinas;

• Este programa constitui um documento orientador para o trabalho do professor, e um material de apoio para a sua preparação na realização do seu trabalho com maior segurança e objectividade.

4. OBJECTIVOS GERAIS DO ENSINO DA MATEMÁTICA NO 2º CICLO O aluno deve ser capaz de:

• Interpretar diferentes escritas algébricas (expressões, igualdades e desigualdades; • Operar com expressões racionais, irracionais exponenciais, logaritmicas e trigonométricas; • Resolver equações, inequações e sistemas de equações, • Usar as noções de lógica na clarificação de conceitos; • Observar regularidades e estabelcer leis matemáticas que expressem a relação de

dependência entre variáveis; • Interpretar fenómenos e resolver problemas recorrendo a funções e seus gráficos, • Estudar sucessões definidas de diferentes formas; • Aplicar conhecimentos de análise infenitesimal no estudo da função real de variável real; • Resolver problemas de incidência, paralelismo e perpendicularidade no plano por via

intuitiva e analítica; • Utilizar vectores no estudo do plano e espaço em referencial ortonormado; • Interpretar e comparar distribuições estatísticas; • Resolver problemas de contagem; • Resolver problemas envolvendo o cálculo probabilístico; • Desenvolver o pensamento lógico ao operar com conceitos e procedimentos com métodos

apropriados; • Enunciar propriedades e dar definições com as suas próprias palavras; • Reconhecer os conhecimentos matemáticos como meio para compreensão do mundo que

nos rodeia através da investigação e desenvolvimento de acções que estimulem o interesse, a curiosidade, a resolução de problemas;

10

• Reconhecer que a Matemática é um instrumento útil para a vida e é parte integrante das nossas raízes culturais, porque ajuda a pensar e a raciocinar correctamente.

Analisar situações da vida real identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução; Seleccionar estratégias adequadas na resolução de problemas; Resolver problemas nos domínios da Matemática, da Física, da Química, Economia, Ciências Sociais e humanas, etc. Desenvolver a capacidade de comunicar conceitos, raciocínios e ideias com clareza, rigor e lógica, Interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões e símbolos); Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para a linguagem simbólica (fórmulas, símbolos, tabelas, diagramas, gráficos, etc.) e vice-versa; Aplicar propriedades na resolução de exercícios e problemas matemáticos; Desenvolver capacidades para a busca de informação em diferentes meios, e uso de tecnologia, mostrando curiosidade e disposição para a busca de novos conhecimentos; Resolver problemas matemáticos que reflectem situações quotidianas da vida económica e social do país e do mundo, sabendo validar estratégias e resultados desenvolvendo formas de racicíonio e processos, como intuição, indução e dedução, analogias, estimativas utilizando conceitos e procedimentos matemáticos assim como instrumentos tecnológicos disponíveis. Resolver problemas matemáticos que reflectem situações quotidianas da vida económica e social do país e do mundo apresentando resultados com precisão e clareza nos domínios numéricos estudados em que estejam envolvidos conhecimentos sobre:

• Cálculo algébrico; • Equações e inequações; • Sistema de equações; • Funções, • Probalilidade e Estatística; • Cálculo combinatório • Geometria no plano; • A recolha e organização de dados assim como representá-los em tabelas e gráficos; • A interpretação de fenómenos sociais, económicos, naturais, a partir de tabelas e gráficos; • Desenvolver a confiança em si próprio: exprimir e argumentar as suas opiniões; formular

juízos elementares sobre situações concretas; enfrentar com confiança situações novas e mostrar flexibilidade e criatividade.

• Desenvolver hábitos de trabalho, persistência e rigor: manifestar responsabilidade, disponibilidade, autonomia e interesse para planificar, organizar e realizar os trabalhos de matemática de forma organizada e revelar preocupação de qualidade na apresentação dos trabalhos.

• Desenvolver o espírito de tolerância e cooperação: Colaborar nos trabalhos em grupo, partilhando saberes e responsabilidades de maneira solidária e sociável, ouvindo e respeitando as opiniões dos outros, mostrando espírito crítico e autocrítica e participando na realização de actividades e na resolução de problemas.

• Interagir de forma cooperativa, trabalhando colectivamente na busca de soluções de problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não e respeitando o modo de pensar dos outros.

• Contribuir para uma atitude positiva face às Ciências. • Criar capacidade de intervenção social pelo estudo e compreensão de problemas e

situações da sociedade actual e bem assim pela discussão de sistemas e instâncias de decisão que influenciam a vida dos cidadãos, participando desse modo na formação para uma cidadania activa, participativa e responsável.

11

5. Visão geral dos conteúdos

Trimestre Unidades temáticas por classe 11ª 12ª

1º Introdução à lógica Matemática. Álgebra

Módulos. Cálculo combinatório e Probabilidades

2º

Equações e inequações exponenciais. Equações e inequações logarítmicas

Funções reais de variável real. IV. Funções reais de variável natural. V. Limites e continuidade de funções.

3º

Geometria analítica no plano. Funções, inequações e equações trigonométricas

Cálculo diferencial. Primitiva de uma função Números complexos

12

6. Objectivos gerais do Ensino da Matemática na 12ª classe Ao terminar a 11ª classe, o aluno deve possuir conhecimentos sobre: - Módulo de uma função; - Cálculo combinatório e probabilidades; - Funções reais de variável real; - Funções reais de variável natural; - Limites e continuidade de funções; - Cálculo diferencial; - Primitiva de uma função - Conjunto de números complexos

• Desenvolver a capacidade de: • Construir e Interpretar o gráfico de uma função módulo; • Resolver equações modulares simples; • Descrever as propriedades das funções; • Representar graficamente as funções; • Interpretar e comparar distribuições estatísticas; • Resolver problemas de contagem; • Identificar acontecimentos em espaços finitos; • Construir modelos de probabilidades em situações simples; • Calcular probabilidade de alguns acontecimentos; • Resolver problemas envolvendo cálculo de probabilidade; • Dar exemplos de situações em que os modelos de progressões aritmética ou geométricas

sejam adequados; • Distinguir progressões aritméticas das progressões geométricas; • Investigar as propriedades de progressões aritméticas e de progressões geométricas; • Resolver problemas simples usando progressões aritméticas e de progressões

geométricas; • Determinar limites de uma função: infinitamente grande; infinitésimo e limites notáveis; • Verificar a continuidade de uma função num ponto e no seu domínio; • Definir derivada de uma função num ponto interpretando-a geometricamente; • Determinar derivadas laterais de uma função num ponto; • Relacionar a existência de derivada com a continuidade num ponto; • Aplicar as regras de derivação ao cálculo de derivadas de funções reais de variável real; • Determinar extremos de uma função usando derivadas; • Definir primitiva de uma função; • Estabelecer as propriedades da primitiva da soma e do produto por constante; • Calcular e identificar primitivas imediatas; • Operar com números complexos na forma algébrica e na forma trigonométrica. • Interpretar geometricamente as operações com números complexos.

Desenvolver a capacidade de comunicar:

• Conceitos, raciocínios e ideias com clareza e rigor lógico; • Interpretar textos Matemáticos; • Transcrever mensagens matemáticas de diferentes formas ou linguagens (diagramas,

gráficos, expressões e símbolos); • Traduzir representações descritas por tabelas ou gráficos.

Desenvolver a capacidade de utilizar a matemática na interpretação e intervenção real através de:

• Análise de situações da vida real identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução;

• Selecção de estratégias de resolução de problemas; • Análise crítica dos resultados no contexto do problema; • Resolução de problemas nos vários domínios do saber (Matemática, Física, Química,

Biologia, Economia, Ciências Sociais, etc).

• Desenvolver o raciocínio e o pensamento científico através de: • Descoberta de relações entre conceitos matemáticos;

13

• Formulação de generalizações a partir de experiências concretas; • Validação de conjecturas.

• Desenvolver o hábito de trabalho e persistência na procura de soluções para uma situação

nova.

• Desenvolver o espírito de colaboração em trabalhos de grupo, partilhando saberes e responsabilidades, respeitando a opinião dos outros e aceitando as diferenças.

• Valorizar o uso de recursos tecnológicos como instrumentos que podem auxiliar na

realização de trabalhos. • Apreciar o contributo da Matemática na compreensão e resolução de problemas da

Humanidade.

• Reconhecer aspectos da História da Matemática e relacioná-los com momentos históricos de relevância social e cultural.

14

Trimestre VISÃO GERAL DOS CONTEÚDOS DA 12ª CLASSE Nº de aulas

Nº de semanas

1º Módulos Cálculo combinatória e Probabilidades

16 24

10

2º Funções reais de variável real Funções reais de variável natural Limites e continuidade de funções

16 20 12

12

3º

Cálculo diferencial Primitiva de uma função Conjunto dos números Complexos Revisões

20 16 88 10

13

15

6. PLANO TEMÁTICO DETALHADO Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

I Módulo

aplicar as propriedades de função modular na resolução de problemas práticos da vida real; identificar funções modulares; determinar domínio, contradomínio, zeros da função, monotonia e variação do sinal da função módulo; construir gráficos da função módulo; resolver analítica e graficamente, equações e inequações modulares.

Definição de módulo de um número real 2. Propriedades 3. Interpretação geométrica de módulo da diferença de dois números 4. Função módulo do tipo: y = │f(x)│; y = f│(x)│ Domínio, contradomínio, zeros da função, monotonia e variação do sinal da função módulo; Equações e inequações modulares do tipo: │f(x)│= a; │f(x)│> a; e │f(x)│< a

desenvolve a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real seleccionando estratégias de resolução de problemas envolvendo o uso de valor absoluto ou módulos e, interpretando e criticando resultados no contexto do problema.

desenvolve o raciocínio e o pensamento científico, formulando generalizações a partir de experiências.

desenvolve a capacidade de se comunicar, oralmente e por escrito, com clareza e progressivo rigor lógico e usa correctamente o vocabulário específico da Matemática.

16

Sugestões metodológicas - Unidade Temática I Função, gráfico (gráfico cartesiano de uma função em referencial ortogonal) e representação gráfica.

No tratamento desta unidade temática, o professor deverá orientar os seus alunos, na aprendizagem da definição do módulo de um número, que geralmente não tem apresentado dificuldades, o problema, aparece na aplicação desta definição a expressões algébricas. Por exemplo: |x+1|=? Para dar resposta a esta questão podem aparecer muitos erros, pelo facto de que os alunos tentam responder com base numa expressão memorizada e não compreendida através da definição de |x| dada na aula. É importante que a definição de |x| seja explicada por extenso usando frases da linguagem corrente e não seja dada simplesmente através de expressões matemáticas, cujo sentido nem sempre está claro. O aluno deve compreender porque é que o conceito de módulo de um número real está associado à ideia de distância de um ponto da recta à origem. Como existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da recta e os números reais, pensar na distância de um ponto à origem ou pensar no módulo de um número é exactamente a mesma coisa.

16

Para todos os tipos de funções devem ser dados exemplos a partir de questões concretas (tanto de outras disciplinas que os estudantes frequentem, como de situações reais — por exemplo de recortes de jornais). Particular importância deverá ser dada a situações problemáticas, situações de modelação matemática e a exemplos de Geometria, devendo retomar-se alguns exemplos estudados no tema anterior. Deve se tomar em atenção o estudo intuitivo de propriedades das funções elementares e seus gráficos, tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora gráfica (caso haja possibilidade). As propriedades sugeridas são: domínio, contradomínio, pontos notáveis (intersecção com os eixos coordenados), monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relação ao eixo dos YY e `a origem, limites nos ramos infinitos. Os estudantes devem determinar pontos notáveis e extremos tanto de forma exacta como de forma aproximada (com uma aproximação definida a priori) a partir do gráfico traçado na calculadora gráfica ou computador. e recorrendo a: análise dos efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos das famílias de funções dessas classes (considerando apenas a variação de um parâmetro de cada vez); transformações simples de funções: dada a Função, esboçar o gráfico das funções definidas por y = f(x) + a, y = f(x + a), y = af(x), y = f(ax), y = |f(x)|, com a positivo ou negativo, descrevendo o resultado com recurso à linguagem das transformações geométricas. No estudo das famílias de funções os estudantes podem realizar pequenas investigações. O estudo das transformações simples de funções deve ser feito tanto usando papel e lápis como calculadora gráfica ou computador; a função f tanto pode ser dada a partir de um gráfico como a partir de uma expressão analítica. Resolução de problemas envolvendo funções polinomiais (com particular incidência nos graus 2, 3 e 4). Decomposição de um polinómio em factores em casos simples, por divisão dos polinómios e recorrendo à regra de Ruffini e justificação desta regra. Na resolução de problemas deve ser dada ênfase especial `a Modelação Matemática (por exemplo, usando dados concretos recolhidos por calculadoras gráficas ou computadores acoplados a sensores adequados). Deve ser dada ênfase especial à resolução de problemas usando métodos numéricos e gráficos, nomeadamente quando forem usadas inequações. A resolução numérica ou gráfica deve ser sempre confrontada com conhecimentos teóricos. Deve ser usada a resolução analítica sempre que a natureza do problema o aconselhar, por exemplo quando for conveniente decompor um polinómio em factores. O estudo analítico dos polinómios deve ser suscitado pela resolução de problemas e aí integrado. A resolução analítica de problemas deve ser sempre acompanhada da verificação numérica ou gráfica.

17

Indicadores de desempenho

Resolve problemas reais da vida aplicando a função modular; Determina domínio, contradomínio, zeros da função, monotonia e variação do sinal da função módulo; constrói gráficos da função módulo; interpreta gráficos da função módulo;

resolve equações e inequações modulares.

18

Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

II Cálculo combinatório e probabilidades

aplicar fórmulas de factorial, arranjos, combinações e permutações de um número para resolver problemas reais da vida; distinguir arranjos, permutações, combinações; aplica a fórmula de Newton para efectuar desenvolvimento de (x + y)n sendo n natural; reconhecer regularidades em fenómenos aleatórios; aplicar probabilidades para resolução de problemas práticos da vida; calcular frequências absolutas e relativas de um acontecimento, aplicar as propriedades de frequência relativa para o calculo de probabilidades; calcular probabilidades de acontecimentos incompatíveis e equiprováveis resolver problemas de determinação da probabilidade de um acontecimento em casos simples.

4. Calculo combinatório e probabilidades 4.1.Factorial calculo com factorial 4.2. Arranjo sem repetição,

definição, fórmula de arranjos pnA

aplicações 4.3.Permutação definição, fórmula de permutações mP

aplicações 4.4. Combinações sem repetição

definição, fórmula de arranjos pnC , propriedade

pnn

pn CC −=

aplicações Triangulo de Pascal e aplicações Binómio de Newton e aplicações Resolução de problemas Introdução ao cálculo de probabilidade Fenómenos aleatórios Operação com acontecimentos (união, intersecção) Acontecimento certo, impossível Acontecimento contrário e incompatível (disjuntos) Frequência absoluta e relativa de um acontecimento Propriedades das frequências relativas Noção de probabilidade obtida a partir da noção de frequência relativa Axiomatização do conceito de probabilidade num espaço finito. Determinação da probabilidade de um acontecimento quando os acontecimentos elementares são equiprováveis e não equiprováveis. Resolução de problemas.

aplica combinações para resolver equações e problemas concretos. resolve problemas envolvendo cálculo de probabilidade. interpreta e compara distribuições. estuda casos de incerteza e interpreta previsões baseadas na incerteza interpreta de forma crítica, toda a comunicação que utiliza a linguagem das probabilidades.

24

19

SUGESTÕES METODOLÓGICAS - Unidade Temática II

O cálculo combinatório deve dar a possibilidade de o aluno resolver equações e problemas concretos e preparar condições para realizar o cálculo de probabilidades com sucesso.

Todo o trabalho deve iniciar-se pela realização de experiências aleatórias (frequências relativas e probabilidades). Os alunos devem ser levados a elaborar formas de registo "legíveis" para os resultados das suas experiências que podem ser partilhadas em grupo. As experiências e o estudo de situações (em particular dos jogos) devem ser aproveitadas para dinamizar discussões de tipo científico, bem como o trabalho cooperativo.

A axiomática das Probabilidades pode ser obtida pela intuição a partir das conclusões que se forem tirando das experiências e de outros exemplos apresentados. A axiomática, por ser curta , permite alguns exercícios de verificação simples capazes de motivar a apropriação da utilidade deste tipo de abordagem matemática.

No caso das contagens que sejam facilitados por raciocínios combinatórios, os alunos devem começar por contar os elementos um a um, utilizando exemplos (desde os mais simples até aos complicados), até que reconheçam a utilidade dos diagramas e depois das organizações simplificadoras. Os exemplos de conjuntos para a contagem devem surgir de situações problemáticas que lhes forem sendo propostas. Mesmo o triângulo de Pascal deve ser introduzido a partir de problemas. Muitos problemas postos podem e devem resultar da análise de jogos conhecidos.

As propriedades devem ser acedidas por meio de raciocínios combinatórios, mas não deve ser desprezada a ideia de, caso seja possível, introduzir conexões matemáticas - com métodos recursivos e fazendo alguma demonstração por indução matemática.

Pascal, Tartaglia e Laplace são exemplos "interessantes" para realizar incursões na história dos conceitos matemáticos, na vida dos matemáticos, nas ligações da Matemática com outros ramos de saber e actividade. Deve ser referido que muitos resultados de contagens já eram conhecidos anteriormente noutras civilizações (o triângulo de Pascal era conhecido na China vários séculos antes de Pascal)

Pretende-se que o aluno trate agora com rigor os conceitos anteriormente estudados de forma primordialmente intuitiva.

Experiências que permitam tirar partido de materiais lúdicos e de simulações com a calculadora contribuirão para esclarecer conceitos através da experimentação e para dinamizar discussões de tipo científico, bem como para incentivar o trabalho cooperativo. A simulação e o jogo ajudam a construir adequadamente o espaço dos resultados e a encontrar valores experimentais para a probabilidade de acontecimentos que estão a ser estudados. É importante incentivar o estudante, sempre que possível, a resolver os problemas por vários processos, discutindo cada um deles com o professor e com os restantes colegas de modo a poder apreciar cada uma das formas de abordar o problema. O professor deve solicitar, frequentemente, que descrevam com pormenor, oralmente e por escrito, os raciocínios efectuados. É aconselhável elaborar boas formas de registo para os resultados das suas experiências de modo a poderem ser partilhadas em grupo. A axiomática das Probabilidades, por ser curta, permite alguns exercícios de verificação simples, capazes de motivar a apropriação da utilidade deste tipo de abordagem matemática. O facto de tanto as definições frequência e clássica de probabilidade como a probabilidade condicionada satisfazerem a axiomática das Probabilidades permite compreender melhor o papel de uma axiomática em Matemática.

20

Os alunos já sabem como descrever os acontecimentos associados a uma experiência aleatória usando o espaço ou conjunto de resultados e sabem, ainda, como determinar a probabilidade de acontecimentos. Ora, é muitas vezes necessário associar a uma experiência aleatória (associada a um modelo de probabilidade) valores numéricos pelo que é importante introduzir o conceito de variável aleatória bem como o de função massa de probablidade. Os estudantes poderão utilizar simulações para construir distribuições empíricas de probabilidades. É importante que compreendam a relação entre as estatísticas e os parâmetros populacionais. Não é objectivo do programa entrar no estudo das variáveis contínuas mas o estudante poderá investigar se não haverá nenhuma representação que seja para a população o equivalente ao histograma na amostra. Das distribuições contínuas a mais conhecida foi obtida pelo matemático Gauss e tem hoje um papel importante já que muitos processos de inferência estatística a têm por base.

Indicadores de desempenho

aplica fórmulas de factorial, arranjos, combinações e permutações de um número para resolver equações e problemas reais da vida; descreve acontecimentos associados a uma experiência aleatória; determina a probabilidade de acontecimentos; resolve problemas de determinação da probabilidade de um acontecimento em casos simples. aplica probabilidades para resolução de problemas práticos da vida; resolve problemas de contagem.

21

Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

III Funções reais de variável real

definir função;

analisar fórmulas da geometria e de outras disciplinas para identificar funções de uma variável;

-representar uma função numa tabela e num gráfico;

identificar, através da representação gráfica de uma função, domínio, contradomínio, zeros, sinal, monotonia;

identificar o domínio de uma função através da sua expressão algébrica;

construir uma tabela de variação de uma função

averiguar se uma função é injectiva;

resolver problemas práticos da vida aplicando funções. determinar o domínio e imagem de uma função real de variável real

42.Funções reais de variável real Revisão da noção de função e gráfico de uma função Domínio e contradomínio. Revisão das funções linear, quadrática, exponencial, logarítmica, trigonométrica. Função homógrafa: gráfico e propriedades Operações com funções. Classificação das funções.(injectiva, sobrejectiva e bijectiva) Função inversa: propriedades e determinação da expressão analítica. Função monótona Paridade de funções (Interpretação gráfica e geométrica). Composição de funções.

Identifica uma função de uma variável como um modelo matemático para resolver problemas do dia-a-dia. Analisa gráficos de funções elementares reconhecendo e atribuindo significado a: domínio, contradomínio, estudo da variação de sinal, intervalos de monotonia, continuidade, simetrias, paridade e pontos notáveis: zero(s), intersecção com o eixo dos YY, extremos(relativos e absolutos), etc. Comunica-se sob diversas formas, e fundamenta os seus raciocínios. Desenvolve atitudes de apreço pelo papel cultural da Matemática e de auto-confiança perante situações novas.

16

22

SUGESTÕES METODOLÓGICAS - Unidade Temática III: Funções reais de variável real

A interpretação de gráficos e tabelas que relacionam grandezas facilmente reconhecidas pelos alunos, começará pela identificação, de forma intuitiva, de variáveis, domínio, contradomínio, objectos, imagens, zeros, sinal, monotonias e extremos. Permite-se assim uma primeira abordagem dos conceitos básicos desta unidade. Também se vai proporcionar a construção de um gráfico através de um problema.

O gráfico surge como uma forma de representar uma função (além da tabela e da expressão analítica). A linguagem e simbologia utilizadas devem ser interiorizadas progressivamente a partir de exemplos do quotidiano ou das ciências. O domínio e o contradomínio são subconjuntos de IR .

Associadas ao gráfico de uma função, faz uma revisão ao conceito de função. Os alunos devem encontrar a definição formal de função.

As tabelas de variação são uma forma simples de dar a ideia da monotonia. Também se apresenta uma tabela do sinal de f que servirá posteriormente para reforçar a utilização de tabelas na resolução de inequações.

Partindo de um exemplo concreto, surge a função quadrática. A partir de x2 são obtidas as outras à custa de translações. Este estudo permite tirar reforçar os conhecimentos de transformações de funções.

Estuda-se a monotonia, concavidade, vértice, zeros e sinal nos diferentes casos. Resolve-se inequações do 2º grau algébrica e geometricamente. Em todas as circunstâncias, o professor incentiva o aluno a fazer um desenho ou esboço do problema que está abordando, não deixando que se limite à resolução exclusiva de equações e à utilização de fórmulas. O aluno deve justificar com algum detalhe o processo utilizado, justificando adequadamente. Indicadores de desempenho identifica uma função através da sua representação gráfica; identifica uma função através da sua expressão analítica; classifica funções representa uma função através da tabela e do gráfico.

23

Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

III Funções reais de variável natural (sucessões)

Determinar qualquer termo geral de uma sucessão; Verificar se um dado número é ou não termo de uma dada sucessão; Verificar se uma sucessão é ou não limitada; Verificar se uma sucessão é uma progressão aritmética ou é progressão geométrica; Resolver problemas que incidam sobre a soma de n termos de consecutivos de uma progressão; resolver problemas práticos da vida conducentes a progressão aritmética e geométrica; aplicar o termo geral de uma sucessão na resolução de problemas práticos da vida e matemáticos; determinar o domínio e imagem de uma função real de variável real aplicar as propriedades dos limites de funções para o cálculo de limites; Calcular limites de uma função, de casos notáveis e de limites laterais; estudar a continuidade de funções.

Sucessões numéricas 2.1. Noção de sucessão. 2.2. Termo geral de uma sucessão. 2.3. limite de uma sucessão. Cálculo de limites e operações com limites. 2.4. indeterminações 2.5. limites notáveis 2.6. sucessão infinitamente grande e infinitamente pequena. 2.7. Progressão aritmética e progressão geométrica: fórmula do termo geral e soma de n termos de uma progressão. 2.8. Progressão infinita 2.9. aplicações. Limites de sucessões – definição e cálculo 2.1 Limites e continuidade de funções 2.1.2. Limites de uma função Definição de limite de uma função num ponto Função infinitamente pequena e infinitamente grande. Propriedades dos limites de funções. Operações com limites. Limites notáveis. Calculo de limites. Indeterminações 2.1.3. Continuidade de funções Definição Funções contínuas. Limites laterais. Propriedades e operações sobre funções contínuas. Limites infinitos.

Distingue função real de sucessão e respectivas representações gráficas Reconhece e dá exemplos de situações em que os modelos de sucessões sejam adequados; Tem noção do significado de limite Identifica uma função de uma variável como um modelo matemático. Analisa gráficos de sucessões e funções reconhecendo e atribuindo significado a: domínio, contradomínio, estudo da variação de sinal, intervalos de monotonia, continuidade, simetrias, paridade e pontos notáveis: zero(s), intersecção com o eixo dos YY, extremos(relativos e absolutos), etc. Desenvolve o espírito crítico, nomeadamente no referente à utilização de instrumentos tecnológicos. Resolve problemas da vida real , nomeadamente de modelação, envolvendo sucessões e funções. Sabe comunicar, sob diversas formas, e fundamentar os raciocínios efectuados. .

24

24

SUGESTÕES METODOLÓGICAS - Unidade Temática IV: Funções reais de variável natural (Sucessões) Sucessões - Definição e diferentes formas de representação. Estudo de propriedades: - monotonia e limitação. Progressões aritméticas e

geométricas - termo geral e soma de n termos consecutivos. Estudo intuitivo da sucessão de termo geral n

n )(1

+1 num contexto de modelação

matemática - primeira definição do numero e. As sucessões aparecem como uma forma de organizar possíveis resoluções para situações problemáticas que são apresentadas, com base em aspectos da realidade (social) e em aspectos do estudo das diversas ciências (Matemática incluída). O estudo das sucessões pode e deve servir para evidenciar conexões entre a matemática e as outras disciplinas: a introdução do conceito de sucessão e das suas propriedades pode ser feita propondo vários problemas. Exemplos sugestivos podem versar assuntos diversos: da geometria —- por exemplo, comprimento da espiral construída a partir de quartos de circunferências; da economia —- por exemplo, problemas com empréstimos ou depósitos bancários com juros sobre um capital constante (ou variável); da biologia — por exemplo, calculo do numero de elementos de uma população considerado um determinado modo de reprodução de cada elemento, etc. O estudo das sucessões como funções de variável natural deve ser feito só depois de terem sido construídos vários exemplos/modelos. Mas a escrita de expressões para os termos gerais das sucessões deve ser procurada como forma de representar as situações que se vão descrevendo. Do mesmo modo se podem introduzir as noções de termo, de ordem, ou até de razão, etc. O estudo da monotonia, minorantes, majorantes, etc. pode ser feito à medida que vão aparecendo como aspectos a considerar durante a resolução dos diferentes problemas. Do mesmo modo, podem ser abordadas as propriedades de certas sucessões (progressões). Estes problemas podem ainda servir para introduzir a definição por recorrência, para casos simples. Os alunos podem utilizar livremente a calculadora para procurar responder aos problemas que lhes são propostos e devem procurar formas próprias de organização e expressão para a modelação das situações. O professor deve explorar o uso da calculadora e ajudar a construir tabelas, a desenhar e a interpretar gráficos. Só depois de serem experimentadas variadas redacções, são introduzidas as redacções simbólicas consagradas. As redacções simbólicas serão testadas com exercícios rápidos.

Depois de se terem introduzido as noções de sucessão como função de variável natural, de ordem, de termo geral, etc. podem apresentar-se exemplos de sucessões definidas pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora gráfica (ou não), através de cálculos e representações gráficas de sequências de termos chegar aos conceitos de infinitamente grande, de infinitamente pequeno, de limite de uma sucessão.

Cada definição deve ser suportada por exemplos e contra-exemplos que esclareçam as ideias imediatas e corrijam eventuais concepções alternativas e erradas. Deste modo, os estudantes ganham confiança nos seus próprios saberes e compreendem as novas aquisições como complementares e facilitadoras, aprofundamentos das suas competências para dar respostas a situações cada vez mais complexas.

As definições são estabelecidas em linguagem corrente seguindo as conclusões a tirar de cada exemplo e contra-exemplo. Após cada redacção em linguagem corrente deve ser estabelecida uma redacção em simbologia matemática e devem então ser aplicados exercícios rápidos em que as definições simbólicas sejam testadas.

25

Teoria de limites Limite de função segundo Heine. Propriedades operatórias sobre limites (informação); limites notáveis (informação). Indeterminações. Assímptotas. Continuidade. Teorema de Bolzano–Cauchy (informação) e aplicações numéricas. O conceito de limite de função, a ser formalizado mais tarde, deve ser utilizado de forma intuitiva (incluindo o de limite lateral esquerdo e direito). Neste contexto devem ser introduzidos os símbolos +∞ e −∞, devendo chamar-se a atenção para o facto de não serem números reais, mas apenas símbolos com um significado preciso. Este conceito deve ser abordado de uma forma experimental. No cálculo de limites de Funções reais de variável real, as indeterminações são referidas apenas para mostrar as limitações dos teoremas operatórios. Apenas se devem levantar as indeterminações em casos simples.

Dificuldade a não exceder são por exemplo: 3125lim 2

4

++−

∞→ xxx

x; xxx

−+∞+→

1lim ; 11lim

3

1 −−

→ xx

x.

Os teoremas a demonstrar devem incluir: - continuidade implica limitação numa vizinhança; - continuidade e f(xo ) <> 0 implicam permanência de sinal numa vizinhança de xo. Com as novas famílias de funções surgem, também, novas oportunidades para cada estudante obter uma maior compreensão da matemática e suas aplicações, bem como para conectar e relacionar os novos conhecimentos com os já adquiridos em anos anteriores (quer dentro do mesmo tema quer com temas diferentes). É fundamental apresentar aos estudantes actividades diversificadas (ver, por exemplo, brochura de apoio ao programa sobre este tema) tendo-se em conta que a exploração com a utilização das várias tecnologias pode permitir discussões ricas, quer sobre o processo de modelação, quer sobre os conceitos matemáticos fundamentais, para além de facilitarem propostas aconselháveis de investigações. Os estudantes precisam de desenvolver a compreensão de procedimentos algébricos e utilizá-los sem que para isso tenham que fazer exercícios repetitivos. Noção de taxa média de variação; cálculo da taxa média de variação. Noção de taxa de variação; obtenção da taxa de variação (valor para que tende a t.m.v. quando a amplitude do intervalo tende para zero) em casos simples. Interpretação geométrica da taxa de variação; definição de derivada (recorrendo `a noção intuitiva de limite). Para calcular derivadas de funções simples, não é necessário invocar questões especiais sobre limites, basta recorrer `a noção intuitiva. Determinação da derivada em casos simples: Funções polinomiais do 2o e 3o grau, função racional do 1o grau, função módulo. Podem ser propostos alguns problemas simples que envolvam derivadas num contexto de aplicações. Constatação, por argumentos geométricos, de que: - i) se a derivada é positiva num intervalo aberto a função é crescente nesse intervalo e, se a derivada é negativa num intervalo aberto a função é decrescente nesse intervalo; ii) se a função é derivável num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num ponto desse intervalo então a derivada é nula nesse ponto.

26

Indicadores de desempenho

• Determina termo geral de uma sucessão; • Averigua se uma sucessão é ou não limitada; • Diferencia uma progressão aritmética de uma progressão geométrica; • Resolve problemas relacionados com a soma de n termos de consecutivos de uma progressão; • Resolve problemas práticos da vida conducentes a progressão aritmética e geométrica; • Averigua a existência de limite ou de limites laterais de uma função quando a variável x tende para um ponto; • Calcula o limite de uma função num ponto dado; • Averigua a existência de casos de indeterminação:

Averigua se uma função é ou não contínua em casos simples.

27

Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

V Limites e Continuidade de funções

Explicar a noção de limite de uma função aplicar as propriedades dos limites de funções para o cálculo de limites; Identificar as formas indeterminadas de limites de funções; Levantar as indeterminações de funções; Calcular limites laterais Calcular limites notáveis Definir uma função contínua num ponto e num intervalo; Identificar uma função contínua dado o seu gráfico; Determinar se uma função é contínua, dada a sua expressão analítica

2.1 Limites e continuidade de funções 2.1.2. Limites de uma função Definição de limite de uma função num ponto Função infinitamente pequena e infinitamente grande. Operações com limites. Propriedades dos limites de funções. Limites notáveis. Calculo de limites. Indeterminações 2.1.3. Continuidade de funções Definição Funções contínuas. Limites laterais. Propriedades e operações sobre funções contínuas. Limites infinitos.

Identifica uma função de uma variável como um modelo matemático. Analisa gráficos de funções reconhecendo e atribuindo significado a: domínio, contradomínio, estudo da variação de sinal, intervalos de monotonia, continuidade, simetrias, paridade e pontos notáveis: zero(s), intersecção com o eixo dos YY, extremos(relativos e absolutos), etc. Desenvolve o espírito crítico, nomeadamente no referente à utilização de instrumentos tecnológicos. Resolve problemas da vida real , nomeadamente de modelação, envolvendo funções. Usa funções para se comunicar, sob diversas formas, e fundamentar os seus raciocínios.

12

SUGESTÕES METODOLÓGICAS - Unidade Temática V: Limites e Continuidade de funções Limite de função segundo Heine. Propriedades operatórias sobre limites (informação); limites notáveis (informação). Indeterminações. Assímptotas. Continuidade. Teorema de Bolzano–Cauchy (informação) e aplicações numéricas. O conceito de limite de função, a ser formalizado mais tarde, deve ser utilizado de forma intuitiva (incluindo o de limite lateral esquerdo e direito). Neste contexto devem ser introduzidos os símbolos +∞ e −∞, devendo chamar-se a atenção para o facto de não serem números reais, mas apenas símbolos com um significado preciso. Este conceito deve ser abordado de uma forma experimental. No cálculo de limites de Funções reais de variável real, as indeterminações são referidas apenas para mostrar as limitações dos teoremas operatórios. Apenas se devem levantar as indeterminações em casos simples.

Dificuldade a não exceder são por exemplo: 3125lim 2

4

++−

∞→ xxx

x; xxx

−+∞+→

1lim ; 11lim

3

1 −−

→ xx

x.

28

Os teoremas a demonstrar devem incluir: - continuidade implica limitação numa vizinhança; - continuidade e f(xo ) <> 0 implicam permanência de sinal numa vizinhança de xo. Com as novas famílias de funções surgem, também, novas oportunidades para cada estudante obter uma maior compreensão da matemática e suas aplicações, bem como para conectar e relacionar os novos conhecimentos com os já adquiridos em anos anteriores (quer dentro do mesmo tema quer com temas diferentes). É fundamental apresentar aos estudantes actividades diversificadas (ver, por exemplo, brochura de apoio ao programa sobre este tema) tendo-se em conta que a exploração com a utilização das várias tecnologias pode permitir discussões ricas, quer sobre o processo de modelação, quer sobre os conceitos matemáticos fundamentais, para além de facilitarem propostas aconselháveis de investigações. Os estudantes precisam de desenvolver a compreensão de procedimentos algébricos e utilizá-los sem que para isso tenham que fazer exercícios repetitivos. Noção de taxa média de variação; cálculo da taxa media de variação. Noção de taxa de variação; obtenção da taxa de variação (valor para que tende a t.m.v. quando a amplitude do intervalo tende para zero) em casos simples. Interpretação geométrica da taxa de variação; definição de derivada (recorrendo `a noção intuitiva de limite). Para calcular derivadas de funções simples, não é necessário invocar questões especiais sobre limites, basta recorrer `a noção intuitiva. Determinação da derivada em casos simples: Funções polinomiais do 2o e 3o grau, função racional do 1o grau, função módulo. Podem ser propostos alguns problemas simples que envolvam derivadas num contexto de aplicações. Constatação, por argumentos geométricos, de que: - i) se a derivada é positiva num intervalo aberto a função é crescente nesse intervalo e, se a derivada é negativa num intervalo aberto a função é decrescente nesse intervalo; ii) se a função é derivável num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num ponto desse intervalo então a derivada é nula nesse ponto.

Indicadores de desempenho

• Determina termo geral de uma sucessão; • Averigua se uma sucessão é ou não limitada; • Diferencia uma progressão aritmética de uma progressão geométrica; • Resolve problemas relacionados com a soma de n termos de consecutivos de uma progressão; • Resolve problemas práticos da vida conducentes a progressão aritmética e geométrica; • Averigua a existência de limite ou de limites laterais de uma função quando a variável x tende para um ponto; • Calcula o limite de uma função num ponto dado; • Averigua a existência de casos de indeterminação: • Averigua se uma função é ou não contínua em casos simples.

29

Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

VI Cálculo diferencial

interpretar derivadas geometricamente; determinar a derivada de uma função num ponto dado, aplicando a definição; aplicar as regras de derivação para resolver exercícios diversificados de funções; aplicar as derivadas para o estudo da variação da função, variação da inclinação da função e de resolução de problemas práticos; fazer o estudo analítico de uma função tendo em referência questões como domínio, zeros, pontos de descontinuidade, monotonia, máximos e mínimos e concavidades; construir gráficos de uma função aplicando limites e derivadas. Obter a partir do gráfico informações relativas a contradomíno, zeros, intervalos de monotonia, extremos absolutos, extremos relativos, pontos de descontinuidade, sentido da concavidade.

3. Calculo diferencial Introdução do calculo diferencial Conceito de razão incremental 3.1. Derivadas de uma função Conceito de derivada de uma função num ponto. Interpretação geométrica. Derivadas laterais Derivabilidade e continuidade de uma função. 3.1.1.Função derivável Regras de derivação de uma função. Derivação de uma função composta. Derivada de uma função inversa. Calculo da segunda derivada de uma função. Aplicação da derivada ao estudo da variação da função: determinação de extremos e dos intervalos de monotonia. Aplicação da derivada ao estudo da variação da inclinação da função: determinação dos pontos de inflexão e do tipo de convexidade. Estudo completo e construção do gráfico de funções, aplicando limites e derivadas. Aplicação da derivada na resolução de problemas práticos. 3.1.2. Função primitiva Cálculo de integral indefinido. (de tabela).

Utiliza o conceito de derivada de uma função num ponto, na interpretação de situações da realidade. Associa o conceito de derivada na resolução de problemas da vida real. Faz o estudo completo de uma função e constrói o respectivo gráfico interpreta o significando dos pontos críticos do cálculo de derivadas e aplica na resolução de problemas da vida real. Aplica os conceitos de derivada para resolver problemas de optimização. Desenvolve o espírito crítico, nomeadamente no referente à utilização de instrumentos tecnológicos. 20

30

SUGESTÕES METODOLÓGICAS - Unidade Temática VI: Cálculo diferencial Cálculo Diferencial Funções deriváveis. Regras de derivação (demonstração da regra da soma e do produto; informação das restantes regras). Derivadas de funções elementares (informação baseada em intuição numérica e gráfica). Segunda definição do número e. Teorema da derivada da função composta (informação). Segundas derivadas e concavidade (informação baseada em intuição geométrica).

Derivada da função composta: grau de dificuldade a não ultrapassar: f(ax), f(x+b), f(xk)

Em todos os teoremas se deve analisar a necessidade das condições do enunciado através de contra-exemplos.

Deve ser adoptada a definição: f é derivável quando a derivada existe (isto é, é um número real); limites infinitos não existem, +(inf) e -(inf) não devem nunca ser considerados como números reais.

O número e é o único número real tal que xx ee =)´( .

Dificuldade a não ultrapassar: xxxf 22)( += − , 121)(

2

+++

=xxxxf ,

xxxflog1

)(−

= .

Estudo de funções em casos simples O estudo de funções deve seguir o modelo que se encontra no Manual de apoio. Integração do estudo do Calculo Diferencial num contexto histórico. Os alunos poderão realizar trabalhos individuais ou em grupo de História do Cálculo Diferencial referindo o trabalho de alguns matemáticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastácio da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc.

Os problemas de optimização devem ser escolhidos de uma forma a que um aluno trabalhe de uma forma tão completa quanto possível a modelação. É uma boa oportunidade para discutir com os alunos o processo de modelação matemática e a sua importância no mundo actual.

Indicadores de desempenho

• interpreta geometricamente o conceito de derivada; • aplica a definição para determinar a derivada de uma função num ponto dado; • aplica as regras de derivação para determinar derivadas de funções; • aplica as derivadas para o estudo da variação da função, variação da inclinação da função e de resolução de problemas práticos; • faz o estudo analítico de uma função tendo em referência questões como domínio, zeros, pontos de descontinuidade, monotonia, máximos

e mínimos e concavidades; • constrói gráficos de uma função aplicando limites e derivadas.

31

• Calcula a derivada de uma função num ponto do domínio, e interpreta o seu significado geométrica e analiticamente. • Determina a primitiva de uma função conhecendo a respectiva derivada e interpreta o seu significado.

32

Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

VII Primitiva de uma função

Definir primitiva de uma função; Estabelecer as propriedades da primitiva da soma e do produto por constante; Calcular e identificar primitivas imediatas; Identificar casos adequados à utilização de primitivação por partes, Calcular primitivas por partes.

3.1.2. Função primitiva Primitiva e integral indefinido. (de tabela): definição e propriedades Técnicas de primitivação: primitivas imediatas e primitivação por partes.

Utiliza o conceito de integral indefinido, na interpretação de situações da realidade. Aplica conhecimentos de Matemática na modelação e resolução de problemas ligados às ciências e a vida quotidiana. Desenvolve o espírito crítico, nomeadamente no referente à utilização de instrumentos tecnológicos.

16

SUGESTÕES METODOLÓGICAS - Unidade Temática VI: : Primitiva de uma função Cálculo Diferencial A derivada e a integral são duas noções básicas do cálculo diferencial e integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, embora tenha outras interpretações. Não se pretende que nesta unidade sejam explorados com profundidade todos aspectos do cálculo integral mas que o aluno tenha uma ideia da importância assim como algumas propriedades do cálculo. Por exemplo, o aluno deverá saber que a primitiva de uma função f = f(x) é uma outra função F = F(x) cuja derivada coincide com f, isto é F´(x) = f(x) e que podem existir várias primitivas para uma mesma funçãof. Por exemplo: algumas primitivas para a função f(x) = x2 são

F(x) = 3

31 x ou F(x) = 3

31 x + 3 ou ainda F(x) = 3

31 x + C pois as derivadas destas funções são iguais a f(x) = x2 .

Os alunos devem perceber que C é uma constante arbitrária e pode assumir qualquer valor numérico. Também é importante que os alunos se debrucem de aspectos históricos sobre o conceito de integral, destacando o trabalho realizado poe Newton e Leibniz no sec.XVII assim como pelo matemático francês Cauchy (1789-1857). É preciso ter em conta que a definição de integral é de certa forma abstrata com pouco uso operacional daí que seja importante a introdução de mecanismos que facilitem determinados cálculos. Essses mecanismos constituem as propriedades das integrais. A preocupação não deve ser a demonstração das propriedades mas a sua aplicação prática no cálculo intergral. Os alunos deverão identificar algumas aplicações da integral indefinido. Por exemplo problemas relacionados com a taxa de crescimento população em uma determinada cidade ou país.

33

Indicadores de desempenho

• indica a primitiva de uma função; • usa as propriedades no cálculo da primitiva de uma função • determina a primitiva de uma função conhecendo a respectiva derivada e interpreta o seu significado.

34

Unidade temática

Objectivos específicos O aluno deve ser capaz de:

Conteúdos Competências básicas O aluno:

Carga horária

VIII Números complexos

identificar números complexos e a relação entre os diversos universo numéricos. Operar com números complexos na forma algébrica e na forma trigonométrica. Interpretar geometricamente as operações com números complexos.

8. 1. Apontamento histórico 8.2. O conjunto dos números complexos 8.3. Módulo de um número complexo. Propriedades 8.4. Representação geométrica de números complexos 8.5. Forma trigonométrica dos números complexos

8

SUGESTÕES METODOLÓGICAS - Unidade Temática VIII: Conjunto dos números Complexos Na resolução de equações algébricas, um dos factores fundamentais é o conjunto universo que representa o contexto onde podemos encontrar as soluções. Há equações que tem soluções num determinado domínio mas que num outro as mesmas não têm soluções. Por esta razão o surgimento de vários domínios de números. Os números complexos vêm resolver problemas que o conjunto de números reais não resolvia. Por exemplo a equação x2 + 1 = 0 em IR não tem soluções isto é a solução é a solução é um conjunto vazio. Esta situação obriga-nos a ter que desenvolver outros modelos que nos ajudem a resolver a equação. Dai o surgimento do conjunto dos números imaginários e a teoria dos números complexos. O aluno precisa de explorar sempre que possível a ligação dos números complexos com a geometria. A introdução do conjunto de números complexos deve partir de uma breve abordagem histórica, do ponto de vista de problemas que foram aparecendo ao longo do desenvolvimento da matemática. As operações com números complexos podem ser definidos na base da manutenção das propriedades das operações e do quadrado de i ser – 1. sugere-se que │z│, seja introduzido de forma intuitivo, estendendo a noção de valor absoluto de um número real (distância de dois pontos no eixo, distância de dois pontos no plano cartesiano), que os alunos já conhecem. A pasagem á forma trigonométrica poderá ser explorada fazendo referência a outros sistemas de coordenadas. Explorar a multiplicação por i e as diversas operações ligadas a outras realidades matemáticas como por exemplo vectores, operações com vectores e transformações geométricas já estudadas.

Indicadores de desempenho

• relaciona os diferentes conjuntos numéricos estudados; • opera com números complexos na forma algébrica; • operar com números complexos na forma trigonométrica; • calcula as raízes de quadrados de números negativos; • interpreta geometricamente o produto de um número complexo i ou –i.

converte a forma algébrica na forma trigonométrica e vice-versa.

35

Avaliação A avaliação é um instrumento do processo de ensino e aprendizagem, através do qual se pode verificar como estão sendo cumpridos os objectivos e a finalidade da Educação, permitindo melhorar ou adaptar as estratégias de ensino face aos objectivos propostos, aos conteúdos e às condições concretas existentes. Assim, a avaliação tem por função: Permitir que se tenha uma imagem mais fiável sobre o desempenho dos alunos e do professor, em termos de competências básicas descritas nos curricula, ao longo e no final de cada etapa do processo de ensino-aprendizagem; Permite verificar se os programas de ensino estão provocando mudanças desejadas de modo a proporcionar ao professor elementos para a planificação de estratégias adequadas; Permitir ao professor tirar conclusões dos resultados obtidos para o desenvolvimento do trabalho pedagógico subsequente; Permitir verificar a necessidade do reajuste curricular, de acordo com as necessidades educativas dos alunos. Deste modo, a avaliação deve ter em conta a análise do processo de ensino-aprendizagem a fim de intervir para o seu aperfeiçoamento e o estudo dos resultados, não apenas os previstos nos objectivos, mas também os imprevistos. A avaliação deve ser vista como um processo assim como um sistema. Assim, quando se fala de avaliação, refere-se a um conjunto de etapas que se condicionam mutuamente. Essas etapas ordenam-se sequencialmente e actuam de forma integrada. Cada avaliação deve responder a várias intenções por exemplo, como vão os alunos, que estratégias devem ser adoptadas para organizar uma nova aprendizagem. Da avaliação podemos também analisar o clima relacional da classe ou turma. A mudança na concepção dos programas e na abordagem dos conteúdos de matemática implica a necessidade de se repensar na forma da abordagem da avaliação. Tendo em conta que os objectivos desta classe estão definidos de acordo com as competências relevantes para a vida, assentes nos quatro pilares da educação nomeadamente o saber, o saber fazer, o saber conviver e o saber ser ou estar é preciso que a avaliação também tenha em conta estas competências. Ao avaliar o desenvolvimento de competências, pressupõe que se avalia o processo de aprendizagem do aluno. Assim, a avaliação deve atingir as dimensões de carácter social e pedagógica. Sugere-se ao professor a ter em conta na avaliação não só aspectos de carácter cognitivos, isto é, a compreensão de conceitos, a memorização de regras e procedimentos, mas também, o saber fazer. Segundo PCN: 54, a avaliação, deve fornecer aos estudantes informações sobre o desenvolvimento das capacidades e competências que são exigidas socialmente, bem como auxiliar os professores a identificar quais objectivos foram atingidos, com vista a reconhecer a capacidade matemática dos alunos, para que possam inserir-se no mercado de trabalho e participar da vida sócio-cultural. Por outro lado, a avaliação fornece aos professores as informações sobre como está ocorrendo a aprendizagem: conhecimentos adquiridos, os raciocínios desenvolvidos, as crenças, hábitos e valores incorporados, o domínio de certas estratégias, para que ele possa propor revisões e reelaborações de conceitos e procedimentos ainda parcialmente consolidados, PCN: 54. Os instrumentos de avaliação que o professor usa, nomeadamente provas escritas ou orais, tpc, trabalhos de pesquisa, trabalhos práticos, entrevistas, trabalhos de grupo, etc, devem fornecer ao professor informações sobre as competências de cada aluno em resolver problemas, em usar convenientemente a linguagem matemática, em utilizar a matemática para o desenvolvimento social.

36

Não é justo continuar a avaliar o aluno apenas na base destes instrumentos. É preciso ter em conta também o seu desempenho e suas atitudes na sala de aula, durante o processo de elaboração de conhecimentos, nos trabalhos individuais e em grupos, sua preocupação em consolidar o saber e o saber fazer e de ajudar (explicar) os colegas, etc. Assim sendo, propõe-se ao professor o uso de fichas de controle, nas quais ele poderá anotar todo o desenvolvimento do aluno em termos de competências. Nestas fichas se podem colocar questões tais como, o aluno resolve os problemas usando: Estratégias pessoais; Estratégias aprendidas na sala de aula; O aluno colabora nos trabalhos de grupo, partilhando saberes e responsabilidades; O aluno respeita as opiniões dos colegas; O aluno trabalha de forma organizada; O aluno expressa-se com clareza e fundamenta as suas opiniões; O aluno ajuda os outros na resolução de problemas? Entre outros aspectos que o professor achar pertinente incluir na ficha. Os resultados que são expressos pelos instrumentos de avaliação elaborados pelo professor devem ser tomados sempre em consideração, pois constituem uma base para o professor fazer juízos de valor sobre um determinado aluno. Quando se avalia o nível de desempenho do aluno, em termos de competências, o professor deve ter presente também a questão do erro. Na aprendizagem, o erro é inevitável e muitas vezes pode ser uma boa pista para a superação das dificuldades dos seus alunos. A concepção construtivista da aprendizagem defende "o direito ao erro "que o aluno tem. Considerando-o como um revelador dum saber em via de constituição. Por isso, aconselha-se ao professor a não desprezar os erros que os alunos cometem, encarando-os como algo importante na aprendizagem e saber tirar proveito deles como indicadores do trabalho subsequente do professor e do aluno, visando a superação das dificuldades dos seus alunos.

37

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Matemática 10º, 11º e 12º anos. (1995) Programa: Ministério da Educação. Departamento do Ensino Secundário. Martins, A a tal. (2005) Matemática B 10º, 11º e 12º anos: Ministério da Educação. Direcção-Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular. Secretaria de Educação Fundamental. (1998) Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática-Brasília. MEC/SEF.